小波神经网络原理及其应用49页PPT

小波本(身x)是紧支撑(的) ，即只C有 小的 局(部) 2非d零定义域，
在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质， 并且完全不含有直流趋势成分，即满足

(0) (x)dx 0 7
2.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方
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主要内容
1.小波变换与傅里叶变换的比较 2.小波变换的基本原理与性质 3.几种常用的小波简介 4.小波变换的应用领域 5.小波分析应用前景 6.小波变换的去噪应用 7.小波神经网络
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1.小波变换与傅里叶变换的比较
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个 里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到 了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是傅立 叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是 傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。 遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。
△
1
叶变换为： a, () a 2e
ω，则相
j (a)
应的连
续小波
的傅立

a,
其频域窗口中心为：

1 a
0
1
a
窗口宽度为：
[1 a
0

1 2a

,
1 a
0

1 2a

]
信号在频域窗内：
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口
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3.小波变换的基本原理与性质——多分辨 分析
连续小波变换实现过程 首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与

网络结构的进化：己经成为神经网络研究和 应用的及其重要的任务之一。结构的进化最 重要的两个问题是进化计算中所使用的编码 表示方法和搜索算子。
学习规则的进化：被认为是在神经网络中的学 会学习(learning to learn)的过程，在这个过程 中自适应的学习规则通过进化被获得。它也能 被认为是是一种新颖的学习规则被自动发现的 过程。
小波变换具有良好的时频局部性质，神经网络则具有自 学习和良好的容错能力，小波神经网络由于较好的结合 了两者的优点而具有强大的优势。
2 小波分析理论基础
小波分析主要研究函数的表示，即将函数 分解为“基本函数”之和，而“基本函数” 是由一个小波函数经伸缩和平移而得到的， 这个小波函数具有很好的局部性和光滑性， 使得人们通过分解系数刻划函数时，可以 分析函数的局部性质和整体性质。
③再励学习(强化学习)
这种学习(如图3-4(3))介于上述两种情况之间，外部环 境对系统输出结果只给出评价(奖或惩)而不是给出正确 答案，学习系统通过强化那些受奖励的动作来改善自身 性能。
4 小波网络理论基础
小波神经网络是近年来神经网络研究中的一个 新分支，是结合小波变换理论与人工神经网络 的思想而设计与构造的一类新的神经网络模型， 它结合了小波变换良好的时频局域化性质以及 神经网络的自学习功能,所以具有较强的逼近能 力与容错能力，具有很好的泛化功能。
理论分析和实验均表明:小波神经网络具有逼近能力强，收敛 速度快，网络参数(隐含层节点数和权重)的选取有理论依据， 有效避免了局部最小值等优点。当然，小波神经网络也有不 足之处：小波网络的构造比较复杂，相比BP和RBF网络而言， 小波网络的运算复杂度增加了。而且高维小波网络的映射学 习时容易产生 “维数灾难”问题，即随着网络的输入维数增 加，网络所需训练样本呈指数增长，网络的收敛速度会下降。 这两点可考虑通过借助光学或VLSI技术，实现小波网络的并 行高速运算而解决。

小波的“容许”条件
用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件 的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波 变换的可逆性。
(x) ()
()2
C
d
小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，
在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质， 并且完全不含有直流趋势成分，即满足
(0) (x)dx0
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里 程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世 纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得 到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是 傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重 要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有 物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。
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2.小波变换的基本原理与性质
信号的信息表示
➢ 时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、 方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度 分布（工程上常常采用其分布参数）
➢ 频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频 率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号， 需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT
数学中的显微镜小波
小波神经网络原理及其应用 ——短时交通流量预测
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主要内容
1.小波变换与傅里叶变换的比较 2.小波变换的基本原理与性质 3.几种常用的小波简介 4.小波变换的应用领域 5.小波分析应用前景 6.小波变换的去噪应用 7.小波神经网络
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1.小波变换与傅里叶变换的比较
可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸 缩因子b的函数
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不断迭代，权重逐渐调整到最优解附近。
牛顿法
总结词
牛顿法是一种基于二阶泰勒级数的优化算法，通过迭 代更新参数，以找到损失函数的极小值点。在神经网 络训练中，牛顿法可以用于寻找最优解。
详细描述
牛顿法的基本思想是，利用二阶泰勒级数近似损失函数 ，并找到该函数的极小值点。在神经网络训练中，牛顿 法可以用于寻找最优解。具体来说，根据二阶导数矩阵 （海森矩阵）和当前点的梯度向量，计算出参数更新的 方向和步长，然后更新参数。通过不断迭代，参数逐渐 调整到最优解附近。与梯度下降法相比，牛顿法在迭代 过程中不仅考虑了梯度信息，还考虑了二阶导数信息， 因此具有更快的收敛速度和更好的全局搜索能力。
07
未来展望与挑战
深度学习的发展趋势
模型可解释性
随着深度学习在各领域的广泛应用，模型的可解释性成为研究热 点，旨在提高模型决策的透明度和可信度。
持续学习与终身学习
随着数据不断增长和模型持续更新，如何实现模型的持续学习和终 身学习成为未来的重要研究方向。
多模态学习
随着多媒体数据的普及，如何实现图像、语音、文本等多模态数据 的融合与交互，成为深度学习的另一发展趋势。
深度学习
通过构建深层的神经网络结构， 提高了对复杂数据的处理能力。
循环神经网络
适用于序列数据，如自然语言 处理和语音识别等领域。
02
神经网络的基本结构
感知机模型
感知机模型是神经网络的基本单 元，由一个输入层和一个输出层 组成，通过一个或多个权重和偏
置项来计算输出。
感知机模型只能实现线性分类， 对于非线性问题无法处理。
详细描述
反向传播算法的基本思想是，首先计算神经网络的输出层与实际值之间的误差，然后将误差逐层反向传播，并根 据梯度下降法更新每一层的权重。通过不断迭代，权重逐渐调整，使得神经网络的输出逐渐接近实际值，从而降 低误差。反向传播算法的核心是计算每一层的梯度，即权重的导数，以便更新权重。

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4、离散小波变换的应用
❖ 例子：某电信号如图所示，数据长度1024。利用 sym5小波对信号进行小波变换。分解到第二层并进 行压缩。
❖ 采用阈值：0.05*细节小波系数的绝对值最大值
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4、离散小波变换的应用
❖ 进行小 波变换 后，对 信号进 行重构 恢复信 号。
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❖ 降低采样频率的一种方法。在信号样本中隔 一个点选取一个点。
❖ 做一次隔点采样，信号的采样频率就减少一 半。信号中的数据量也减半。
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❖ 重构算法
A jf( t) 2 h ( t 2 k )A j 1 f( t) g ( t 2 k )D j 1 f( t)
k
k
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❖ 以后说明的离散小波变换一般为二进离散小波变 换。
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2、离散小波变换定义
❖ 定义：
W f( m , n ) f ( t ) ,m （ , n t ) = a 0 m / 2 f ( t )( a 0 m t n b 0 ) d t
❖ 小波变换的思想是：将任意函数和信号表示为小波 函数的线性组合。 W f (m , n ) 为小波系数。
压缩）
滤波）
❖ 1、将原始信号进行小 ❖ 1、将原始信号进行小波 波变换，得到小波系数。 变换，得到小波系数。
❖ 2、将系数中足够小的 ❖ 2、将系数中代表高频率
系数去除得到滤噪后数 信号的系数去除，得到的
据。
数据。
❖ 3、用数据对原始信号 ❖ 3、用数据对原始信号进
进行重构。
行重构。
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k
D
j
f
(t

new old old wkm wkm km wkm m 1
p
3.3.2 小波神经网络参数调整算法
输入层结点与隐含层结点之间的权值调整式
new old old wkm wkm km wkm p
N Enp Okp p ( nk wnk ) p xm wkm n 1 I k
隐含层与输出层之间的权值调整式
new old old wnk wnk nk wnk p
nk
E (d np ynp ) ynp (1 ynp ) wnk 、 分别表示调整前与调整后的隐含层结 点 k 与输出层结点 n 之间的连接权值； old wnk 为动量项。
p y n 为网络实际输出
算法的目标 不断调整网络的各项参数，使得误差 函数达到最小值
3.3.2 小波神经网络参数调整算法
隐含层输出
p M I b p k Okp h( k ), I kp wkm xm ak m 1 p xm 为输入层的输入

Okp 为隐含层的输出 wkm 为输入层结点
3.3.2 小波神经网络参数调整算法
待确定参数 连接权值 尺度系统 平移系数 小波神经网络参数调整算法 标准BP算法 BP算法的改正算法
3.3.2 小波神经网络参数调整算法
设小波神经网络为3层网络，包括输入层、隐 含层和输出层，输出层采用线性输出，输入层 有 M (m 1,2,, M ) 个神经元，隐含层有 K (k 1,2,, K ) 个神经元，输出层有 N (n 1,2,, N )个神经元。
谢谢！
3.3.1 概述
小波神经网络类型
松散型
小波分析对神经网络的输入进行初步处理，使得输入神经网 络的信息更易于神经网络进行处理

2.小波分析应用前景
（1）瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息，小波分析在故障检测和信号的多 尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。 （2）基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究，没有小波 理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析，也许非线性小波分析是解决 非线性科学问题的理性工具。 （3）小波分析用于数据或图像的压缩，小波分析的多尺度分析不但可以克服方块效应和蚊式 噪声而且可首先得到粗尺度上图像的轮廓，然后决定是否需要传输精细的图案，以提高图像 的传输速度。 （4）目前使用的二维及高维小波基主要是可分离的。不可分离二维及高维小波基的构造、性 质应用研究，由于理论上较为复杂，这方面的成果甚少。也许向量小波及高维小波的研究能 够为小波分析的应用开创一个新天地
小波神经网络的缺点
(1)在多维输入情况下，随着网络的输入维数增加，网络所训练的样本呈指数 增长，网络结构也将随之变得庞大，使得网络收敛速度大大下降。 (2)小波网络中初始化参数问题，若尺度参数与位移参数初始化不合适，将导 致整个网络学习过程的不收敛。 (3)未能根据实情况来自适应选取合适的小波基函数
总结
小波分析对信号的敏感度好，适用信号处理阶段； 1. 将小波基函数用于其他网络（循环网络、DBN）的； 2. 小波分析+卷积神经网络的尝试；
3. 小波神经网络
小波变换+人工神经网络=小波神经网络 1. 直接用于信号处理+BP神神经网络 小波变换与神经网络的结合，也称松散型结合 2. 把小波基函数作为隐含层结点的传递函数，采用BP训练 算法的神经网络。 小波变换与神经网络的融合，也称紧致型结合
小波神经网络分类 根据所选取的小波基函数的连续性的不同，可以将

0.5
0
y
-0.5
-1 -1
-0.5
0 x
0.5
1
图8 逼近结果(虚线为函数f, 实线为逼近) M=9
23
对一维函数的逼近仿真
1
——逐次剔除小波选择法 (方法2)
0.5
0
y
-0.5
-1 -1
-0.5
0 x
0.5
1
图8 逼近结果(虚线为函数f, 实线为逼近) M=9
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对一维函数的逼近仿真
1
——逐次选入小波选择法 (方法3)
0.5
0
y
-0.5
-1 -1
-0.5
0 x
0.5
1
图8 逼近结果(虚线为函数f, 实线为逼近) M=3
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三种小波选择方法比较
基于 OLS 小波选择法(方法 1) 逐次剔除小波选择法(方法 2) 逐次选入小波选择法(方法 3)
好 较好 不理想
故以下仿真实验采用 OLS 小波选择法

n 2
xb )： a
a R , b R n
5
1. 小波神经网络
─ 标架（Frame)
标架 设 H 为一 Hilbert 空间, { j } jZ 为 H 中的一个 函数序列。 若对任一 f H , 存在0 A B , 使得下述 不等式成立:
A f
2
f , j B f
1 N 2 MSE 为模型的均方误差: MSE [ yk fˆ ( xk )] N k 1
19
2. 基于小波神经网络的非线性建模
1
0.5

0
-0.5 -5
0

3.小波变换的基本原理与性质
信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于
非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时 间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于 非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失 去意义
幅度 A |Y(f)|
信 号 x(t)的 时 域 波 形 1
0.5
0
-0.5
2
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
1.小波的发展历史——工程到数学
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程 师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信 号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能 得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家 Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat 合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后 ，小波分析才开始蓬勃发展起来。
1.小波的发展历史——工程到数学
1909: Alfred Haar——发现了Haar小波 1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提
出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小 波变换CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波 1988： Stephane Mallat——Mallat快速算法（塔式分解和 重构算法）
Rx(t1,t2)ExE(t)x(t1)x ( tx2)f(x)dRxx()m,x t2 t1
Ex2(t)
非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号

定了神经网络的基础。
1957年，心理学家Frank Rosenblatt提出了感知机模 型，它可以识别一些简单的
模式，但无法处理异或 （XOR）问题。
1974年，Paul Werbos提出 了反向传播算法，解决了感 知机模型无法学习异或问题
的问题。
2006年，加拿大多伦多大学 的Geoffrey Hinton等人提出 了深度学习的概念，开启了
权重更新是根据损失函数的梯度调整权重的过程，通过不断 地迭代优化，使神经网络逐渐接近最优解。权重更新的过程 通常使用梯度下降法或其变种进行。
03
神经网络的类型
前馈神经网络
总结词
前馈神经网络是最基本的神经网络类型，信息从输入层开始，逐层向前传递，直 至输出层。
详细描述
前馈神经网络中，每一层的神经元只接收来自前一层的输入，并输出到下一层。 这种网络结构简单，易于训练和实现，常用于模式识别、分类和回归等任务。
利用神经网络进行游戏AI的决 策和策略制定，如AlphaGo
等。
02
神经网络的基本概念
神经元模型
总结词
神经元是神经网络的基本单元，模拟 生物神经元的行为。
详细描述
神经元模型通常包括输入信号、权重 、激活函数和输出信号等部分。输入 信号通过权重进行加权求和，经过激 活函数处理后得到输出信号。
激活函数
06
神经网络的应用实例
图像识别
总结词
图像识别是神经网络应用的重要领域之一， 通过训练神经网络识别图像中的物体、人脸 等特征，可以实现高效的图像分类、目标检 测等功能。
详细描述
神经网络在图像识别领域的应用已经取得了 显著的成果。例如，卷积神经网络（CNN） 被广泛用于图像分类、目标检测和人脸识别 等任务。通过训练神经网络，可以自动提取 图像中的特征，并基于这些特征进行分类或 检测目标。这大大提高了图像识别的准确性