第4、6章复习

第六章 实数6.4 《实数》章末复习（基础巩固）【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ）A.2个B.3 个C.4 个D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（ ）A 2=±B =2=- D ．|2|2--= 【答案】C ；例210.1=＝ 若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题 例3、把下列各数填入相应的集合： －1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ． （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝．【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】（1）有理数集合｛－1、－3.14、9、7.0 ｝；（2）无理数集合｛ 3、π、26-、22-｝； （3）正实数集合｛ 3、π、9、26-、7.0 ｝；（4）负实数集合｛ －1、－3.14、22-｝． 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三：【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；例4、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-23111112743412⎛⎫--=-+=- ⎪⎝⎭ （3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫⨯-=-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三： 【变式】计算(1) 333000216.0008.012726---- (2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-【答案】 解：(1) 333000216.0008.012726---- ()310.20.0627=---- 29150=-(2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-()184434=-⨯+-⨯- 321336=---=-. 例5、已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为 ．【答案】12． 【解析】 解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0， 解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3， 可得2b 2﹣4b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12， 故答案为：12．【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简2a ＋∣a －b ∣＝ .【答案】 解：∵a ＜0＜b , ∴a －b ＜0∴2a ＋∣a －b ∣＝－a －(a －b )＝b －2a .【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是： ；-1a【答案】21a a a a<<<-； 类型三、实数综合应用例6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式， 15012.247≈ （米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米， 所以扩建后鱼池的面积为218.247≈333.0（平方米）． 答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m ，池深1.5m ，求这个水池的底边长． 【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得2 1.5486x ⨯=2324x =18x =答：这个水池的底边长为18m .【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（ ） A ．数轴上任一点表示唯一的有理数 B ．数轴上任一点表示唯一的无理数 C ．两个无理数之和一定是无理数 D ．数轴上任意两点之间都有无数个点2.的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．D ．±3．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（ ） A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b4. 3387=-a ，则a 的值是（ ） A.87 B. 87- C. 87± D. 512343- 5. 若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是 ( ). A.21≥x B. 1≤x C.121≤≤x D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ）A.3a 中的a 可以是正数、负数或零.B.a 中的a 不可能是负数.C. 数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个. 7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（ ） A.0>+b a B. 0ab > C.0a b -> D.||||0a b ->8. 估算219+的值在 （ ）A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间 二.填空题9. 若2005的整数部分是a ，则其小数部分用a 表示为 ． 10．当x 时，32-x 有意义. 11. =--32)125.0( .12. 若12-x 是225的算术平方根，则x 的立方根是 . 13. 3343的平方根是 . 14.﹣64的立方根与的平方根之和是 ．15. 2112- ，5- 22 ， 33 216. 数轴上离原点距离是5的点表示的数是 . 三.解答题17. 一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，则a 是多少？18. 已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．19. 已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简()2b a b a ++-20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋3＝y x +，其中x 是整数，且10<<y ,求y x -的相反数.【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D ；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数. 2. 【答案】C 3. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 4. 【答案】B ； 【解析】33378a a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭.5. 【答案】A ；6. 【答案】C ；【解析】数a 不确定正负，负数没有平方根. 7. 【答案】C ； 8. 【答案】B ；【解析】4195<<，61927<+<. 二.填空题9. 【答案】2005a -； 10.【答案】为任意实数 ； 【解析】任何实数都有立方根. 11.【答案】25.0-；【解析】3233(0.125)0.250.25--=-=-. 12.【答案】3；【解析】x －12＝15, x ＝27,3273=. 13.【答案】7±；【解析】 3343＝7，7的平方根是7±.14.【答案】﹣2或﹣6． 【解析】∵﹣64的立方根是﹣4，=4，∵4的平方根是±2，∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6，∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6．15.【答案】＞；＜；＞；16.【答案】5【解析】数轴上离原点距离是5的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：∵一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，∴32-a 与a -5互为相反数，即32-a ＋a -5＝0，解得2a =-.18.【解析】解：∵x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x ﹣2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴x 2+y 2=62+82=100，∴x 2+y 2的平方根是±10．19.【解析】解：∵b ＜a ＜0 ∴()2b a b a ++-()||2a b a b a b a b b=-++=--+=- 20.【解析】解：∵11＜10＋3＜12∴x ＝11，y ＝10＋3－11＝31∴()3111312x y y x --=-=-=.。

第4章实数全章复习与测试1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.一．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．二．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．三．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．四．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．五．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．六．计算器—数的开方正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．七．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．八．实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：或实数：九．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．十．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．十一．实数大小比较实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．十二．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．十三．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．一．近似数和有效数字（共4小题）1．（2022秋•丹徒区期末）小亮的体重为44.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为45kg．【分析】利用四舍五入法，即可将44.85kg精确到1kg．【解答】解：44.85≈45（精确到1），∴小亮的体重约为45kg，故答案为：45．【点评】本题考查的是近似数和有效数字，掌握近似数的概念、四舍五入的方法是解题的关键．2．（2022秋•邗江区校级期末）用四舍五入法得到的近似数为3.59万，精确到百位．【分析】根据近似数3.59万，可知9在百位上，然后即可写出近似数3.59万精确到哪一位．【解答】解：近似数3.59万精确到百位，故答案为：百．【点评】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数的含义．3．（2022秋•常州期末）用四舍五入法把圆周率π＝3.1415926…精确到千分位得到的近似值是（）A．3.141B．3.142C．3.1415D．3.1416【分析】千分位即为小数点后第3为，用四舍五入法求得近似数即可．【解答】解：看千分位的后一位，是5，应该入1，四舍五入后，π≈3.142．故选：B．【点评】本题考查用四舍五入法求近似数，找对千分位是解题的关键．4．（2022秋•宿豫区期末）已知小明的身高为1.74m，若精确到0.1m，则小明的身高为 1.7m．【分析】把百分位上的数字4进行四舍五入即可．【解答】解：1.74m≈1.7m．故答案为：1.7m．【点评】本题考查近似数，解答本题的关键是会用四舍五入法求近似数的方法．二．平方根（共3小题）5．（2022秋•泗阳县期末）16的平方根是（）A．4B．±4C．2D．±2【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故选：B．【点评】本题考查的是平方根，熟知如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根是解题的关键．6．（2023•沛县三模）64的平方根是±8．【分析】一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x即为a的平方根，据此即可求得答案．【解答】解：∵82＝64，（﹣8）2＝64，∴64的平方根为±8，故答案为：±8．【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．7．（2022秋•常州期末）已知2（x﹣1）2＝18，求x的值．【分析】方程整理后，利用平方根的定义开方，即可求出x的值．【解答】解：∵（x﹣1）2＝9，∴x﹣1＝±3．∴x1＝4，x2＝﹣2．【点评】本题考查了利用平方根定义解方程，解题的关键是熟练掌握平方根定义．三．算术平方根（共2小题）8．（2022秋•玄武区期末）13的平方根是±；9的算术平方根是3．【分析】分别根据平方根及算术平方根的定义解答即可．【解答】解：13的平方根是±，9的算术平方根是3．故答案为：±，3．【点评】本题考查的是算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x 叫做a的算术平方根．9．（2023•淮阴区模拟）计算：＝2．【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．【解答】解：＝2．故答案为：2．【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．四．非负数的性质：算术平方根（共2小题）10．（2022秋•高邮市期末）若与（ab+6）2互为相反数，则a﹣b的值为5．【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性以及相反数的定义求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵与（ab+6）2互为相反数，∴，∴a﹣2＝0，ab+6＝0，解得a＝2，b＝﹣3，∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5，故答案为：5．【点评】本题考查偶次方、算术平方根的非负性，理解算术平方根、偶次方的非负性以及相反数的定义是正确解答的前提．11．（2022秋•大丰区期末）若+（1﹣y）2＝0，则xy的平方根＝±2．【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．【解答】解：∵+（1﹣y）2＝0，∴x﹣4＝0，1﹣y＝0，∴x＝4，y＝1，∴xy＝4，∴xy的平方根是±2．故答案为：±2．【点评】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．五．立方根（共6小题）12．（2022秋•苏州期末）若a3＝1，则a的值为（）A．﹣1B．1C．±1D．0【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵a3＝1，∴a＝1．故选：B．【点评】本题考查求一个数的立方根．掌握如果x3＝a，那么x叫做a的立方根是解题关键．13．（2022秋•无锡期末）求下列各式中的x：（1）4x2＝25；（2）（x﹣1）3＝8．【分析】（1）先求得x2＝，然后依据平方根的性质求解即可；（2）先根据立方根的性质得到x﹣1＝2，然后解方程即可．【解答】解：（1）x2＝，∴x＝±．（2）由题意得：x﹣1＝2，∴x＝3．【点评】本题主要考查的是平方根立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．14．（2022秋•无锡期末）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a﹣6．（1）求a的值，并求这个正数；（2）求10a+7的立方根．【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可；（2）求出10a+7的值，根据立方根的概念求出答案．【解答】解：（1）由平方根的性质得，a+2a﹣6＝0，解得a＝2，∴这个正数为22＝4；（2）当a＝2时，10a+7＝27，∵27的立方根3，∴10a+7的立方根为3．【点评】本题考查了平方根和立方根的概念，熟练掌握平方根和立方根的概念是解题的基础．15．（2022秋•高新区校级月考）已知2x+3的算术平方根是5，5x+y+2的立方根是3，求x﹣2y+10的平方根．【分析】如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此即可计算．【解答】解：∵2x+3的算术平方根是5，∴2x+3＝52＝25，∴x＝11，∵5x+y+2的立方根是3，∴5x+y+2＝33＝27，∴5×11+y+2＝27，∴y＝﹣30，∴x﹣2y+10＝11﹣2×（﹣30）+10＝81∴x﹣2y+10的平方根是±＝±9．【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根的概念，关键是掌握平方根，算术平方根，立方根的定义．16．（2021秋•东台市月考）已知：3x+y+7的立方根是3，25的算术平方根是2x﹣y，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．【分析】根据立方根、算术平方根以及平方根的定义解决此题．【解答】解：（1）由题意得：＝3，．∴3x+y+7＝27且2x﹣y＝5．∴x＝5，y＝5．（2）由（1）可知：x＝5，y＝5．∴x2+y2＝52+52＝50．∴x2+y2的平方根是．【点评】本题主要考查立方根、算术平方根、平方根的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键．17．（2022秋•亭湖区期末）（1）已知某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根．（2）已知y＝+﹣8，求的值．【分析】（1）先依据平方根的性质得到a+3+2a﹣15＝0，然后依据立方根的性质得到b＝﹣8，然后代入计算，最后，再求平方根即可；（2）依据被开放数为非负数可得到x的值，从而得到y的值，然后代入计算即可．【解答】解：（1）∵某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，∴a+3+2a﹣15＝0，b＝﹣8，∴a＝4，∴﹣b﹣a＝8﹣4＝4，∴﹣b﹣a的平方根为±2．（2）∵y＝+﹣8，∴x＝24，y＝﹣8，∴＝＝4．【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，求得相关字母的值是解题的关键．六．无理数（共2小题）18．（2022秋•泗阳县期末）下列实数0，，π，，其中无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数，根据以上内容判断即可．【解答】解：π，，是无理数．故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义，注意：无理数是指无限不循环小数．19．（2022秋•溧水区期末）在实数0，，π，，，中，无理数有3个．【分析】无限不循环小数叫做无理数，它有三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，由此即可判断．【解答】解：0，＝2，π，，，中，无理数有π，，，共3个．故答案为：3．【点评】本题考查无理数，算术平方根，立方根，关键是掌握无理数的概念．七．实数与数轴（共1小题）20．（2022秋•大丰区期末）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1B．C．+1D．﹣1【分析】先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解．【解答】解：∵＝，所以点A表示的数为：﹣1+，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．八．实数大小比较（共2小题）21．（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．【解答】解：∵3＜4＜5，∴＜＜，即＜2＜，则a＞b＞c，故选：C．【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．22．（2022秋•秦淮区期末）比较大小：＜．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】求出、+1的平方，比较出它们的平方的大小关系，即可判断出它们的大小关系．【解答】解：＝6，＝4+2，∵4+2＞4+2×1＝6，∴6＜4+2，∴＜．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方值大的，这个数也大．九．估算无理数的大小（共4小题）23．（2022秋•泗阳县期末）设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为3．【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∴n＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．24．（2022秋•苏州期末）下列整数中，与最接近的是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】由π﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出，从而可确定最接近的是1．【解答】解：∵π﹣4＜0，∴．∵4﹣π最接近1，∴与最接近的是1．故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质．掌握是解题关键．25．（2022秋•溧水区期末）估计﹣1的值在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】首先得出4＜＜5，进而求出﹣1的值．【解答】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴﹣1的值在3到4之间．故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定的范围．26．（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5﹣2得来的，类比来看，是无理数，而1＜＜2，所以的整数部分是1，于是可用﹣1来表示的小数部分．材料2：若10﹣＝a+b，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b＝﹣．根据以上材料，完成下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4；（2）3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，求a+b的算术平方根．【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；（2）先估算出的值的范围，从而估算出3+的值的范围，进而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是﹣4，故答案为：4，﹣4；（2）∵1＜3＜4，∴1＜＜2，∴4＜3+＜5，∵3+也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+＜b，∴a＝4，b＝5，∴a+b＝4+5＝9，∴a+b的算术平方根是3．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．一十．实数的运算（共3小题）27．（2023•苏州）计算：|﹣2|﹣+32．【分析】根据绝对值性质，算术平方根，有理数的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+9＝0+9＝9．【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．28．（2023•海州区二模）计算：．【分析】先计算乘方、零指数幂、化简二次根式，最后相加减．【解答】解：原式＝9+1﹣4＝6．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握平方、零指数幂、二次根式等知识点的运算．29．（2022秋•常州期末）计算：．【分析】直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝．【点评】本题主要考查了算术平方根的性质以及立方根的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．一．选择题（共10小题，满分27分）1．对于任意不相等的两个实数a、b，定义运算※如下：a※b＝；例如3※2＝＝．那么5※7等于（）A．B．﹣4C．D．﹣3【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：5※7＝＝﹣，故选：A．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（3分）在实数﹣，0，，﹣3.14，，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），（π﹣3.14）0这8个实数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】先计算得到＝2；（π﹣3.14）0＝1，然后根据无理数的定义得到在所给的8个数中只有，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0）是无理数．【解答】解：＝2；（π﹣3.14）0＝1．在实数﹣，0，，﹣3.14，，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），（π﹣3.14）0这8个实数中，无理数有：，，﹣0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），共3个．故选：C．【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见表现形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示，如π等．也考查了a0＝1（a≠0）．3．（3分）下列线段中，a＝5，b＝6，c＝3，d＝4，选择其中的三条能构成直角三角形的是（）A．a，b，c B．b，c，d C．a，c，d D．a，b，d【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：∵32+42＝52，∴C选项中的三条能构成直角三角形．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（3分）若a，b为实数，且|a+1|+＝0，则﹣（﹣ab）2018的值是（）A．1B．2018C．﹣1D．﹣2018【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出a、b的值，再代入求出即可．【解答】解：∵|a+1|+＝0，∴a+1＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝1，∴﹣（﹣ab）2018＝﹣[﹣（﹣1）×1）]2018＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、求代数式的值，能求出a、b的值是解此题的关键．5．（3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根（）A．±2B．2C．4D．【分析】将代入解得，再求的算术平方根即可．【解答】解：∵是二元一次方程组的解，∴，由①得，n＝8﹣2m③，将③代入②得，m＝3，将m＝3代入③得，n＝2，∴2m﹣n＝2×3﹣2＝4，∴的算术平方根为，故选：D．【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系，会求算术平方根是解题的关键．6．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．|a|＜|b|B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b|【分析】据点的坐标，可得a、b的值，根据相反数的意义，有理数的减法，有理数的加法，可得答案．【解答】解：由点的坐标，得0＞a＞﹣1，1＜b＜2．A、|a|＜|b|，故本选项正确；B、a＜b，故本选项错误；C、a＞﹣b，故本选项错误；D、|a|＜|b|，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，利用点的坐标得出a、b的值是解题关键．7．（3分）的算术平方根是（）A．﹣4B．4C．2D．﹣2【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：C．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．8．（3分）如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA，PB，PC，PD，PE，其中长度是无理数的有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】根据勾股定理分别求出PA，PB，PC，PD，PE的长度即可求解．【解答】解：AP＝4，是有理数，PB＝，是无理数，PC＝，是有理数，PD＝，是无理数，PE＝，是无理数，∴长度是无理数的有3条，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握勾股定理以及无理数的判定是解题的关键．9．（3分）将一根长为17cm的筷子，置于内径为6cm高为8cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为x cm，则x的取值范围是（）A．6≤x≤8B．7≤x≤9C．8≤x≤10D．9≤x≤11【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出x的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴x＝17﹣8＝9cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，∴AB＝＝＝10cm，∴此时x＝17﹣10＝7cm，所以x的取值范围是7cm≤x≤9cm．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出x的值最大值与最小值是解题关键．10．（3分）实数a，b在数轴上表示如图，则（）A．a﹣b＜0B．|a|＜|b|C．a+b＞0D．a2b＜0【分析】根据数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，逐一判定即可解答．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，a+b＜0，a2b＞0，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a，b的范围．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）8的立方根为x，4是y+1的一个平方根，则x﹣y＝﹣13．【分析】根据平方根和立方根的概念求出x和y的值即可得出结论．【解答】解：∵8的立方根为x，4是y+1的一个平方根，∴x＝2，y+1＝16，即x＝2，y＝15，∴x﹣y＝2﹣15＝﹣13，故答案为：﹣13．【点评】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．12．（3分）320000精确到千位应记为 3.20×105；1.02×105有3个有效数字；5.204保留三个有效数字应记为 5.20．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于320000有6位，所以可以确定n＝6﹣1＝5．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．【解答】解：320000＝3.2×100000＝3.20×105，1.02×105有1、0、3三个有效数字；5.204保留三个有效数字应记为5.20．故答案为：3.20×105，3，5.20．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．13．（3分）估计的大小约等于7或8（误差小于1）．【分析】由于49＜60＜64，则7＜＜8，当误差小于1时，可约等于7或8．【解答】解：∵49＜60＜64，∴7＜＜8，∴的大小约等于7或8（误差小于1）．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．14．（3分）在下列数中：．有理数是 1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+；无理数是﹣，|﹣|，1﹣．【分析】先计算得到|﹣|＝；﹣（﹣1）2n（n为正整数）＝﹣1；4+＝4﹣2＝2，然后根据有理数和无理数的定义得到在所给的数中1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+是有理数；﹣，|﹣|，1﹣是无理数．【解答】解：|﹣|＝；﹣（﹣1）2n（n为正整数）＝﹣1；4+＝4﹣2＝2．在下列数中：，有理数是1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+；无理数是﹣，|﹣|，1﹣．故答案为1.732，0.643，﹣（﹣1）2n（n为正整数），4+；﹣，|﹣|，1﹣．【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见表现形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示，如π等．15．（3分）数轴上有A、B、C三个点，B点表示的数是1，C点表示的数是，且AB＝BC，则A点表示的数是2﹣．【分析】设A点表示x，再根据数轴上两点间距离的定义即可得出结论．【解答】解：设A点表示x，∵B点表示的数是1，C点表示的数是，且AB＝BC，∴1﹣x＝﹣1．解得：x＝2﹣故答案为：2﹣．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间距离公式是解答此题的关键．16．（3分）数轴上，表示﹣的点与表示3的点之间的距离是4．【分析】根据数轴上两点间的距离公式计算即可．【解答】解：数轴上，表示﹣的点与表示3的点之间的距离是：3﹣（﹣）＝4，。

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图 4-1-1 （2）按铰趾位置 ①平拱 平拱是指两拱趾在同一水平线上的拱。 ②斜拱 斜拱是指不在同一水平线上的拱。 3．拱的特点 （1）优点 ①与梁相比，拱在竖向荷载作用下会产生水平反力。推力的存在与否是区别拱与梁的主 要标志。 ②由于推力的存在，拱的弯矩常比跨度、荷载相同的梁的弯矩小得多，使得拱截面上的 应力分布较为均匀。 ③主要承受压力，可利用抗拉性能较差而抗压较强的材料如砖、石、混凝土等来建造， 更能发挥材料的作用。 （2）缺点 拱支座要承受水平推力，因而要求比梁具有更坚固的地基或支承结构（墙、柱、墩、台 等）。 4．拱式结构 拱式结构是指在竖向荷载作用下会产生水平反力的结构，也称为推力结构。如三铰刚架、
b．当荷载及拱的跨度 l 不变时，推力 FH 将与拱高 f 成反比。
第一，f 愈大即拱愈陡时 FH 愈小；
第二，f 愈小即拱愈平坦时 FH 愈大；
第三，若
，则
，此时三个铰已在一直线上，属于瞬变体系。
2．内力的计算
（1）弯矩
①弯矩正负
通常规定弯矩以使拱内侧受拉者为正。
②计算公式
由图 4-1-5（b）所示的隔离体可求得截面 K 的弯矩为
图 4-1-2 6．拱的各部分名称 （1）拱轴线 拱轴线是指拱身各横截面形心的连线。 （2）拱趾 拱趾是指拱的两端支座的位置。 （3）拱的跨度 l 拱的跨度是指两拱趾间的水平距离。 （4）起拱线 起拱线是指两拱趾的连线称为起拱线。 （5）拱顶 拱顶是指拱轴上距起拱线最远的一点。 （6）拱高 f
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第 4 章 静定拱

第4章句法翻译4.1 复习笔记一、换序译法根据译文的语言习惯，对原文的词序进行调整，使译文做到最大程度上的通顺，这就是换序译法。

二、断句译法把一些长句断开来翻译也是翻译中经常采用的方法。

这种翻译方法就叫断句译法。

对长句进行语法分析，先找出句子的主语、谓语和宾语，然后找出修饰主语和宾语的定语和定语从句，以及修饰谓语的状语和状语从句。

理清句子的语法层次之后，就按照译文的语言习惯调整搭配，断开长句进行翻译。

三、转句译法英语中一个用作状语或定语的词组或者名词词组经常包含丰富的语义。

有时，不得不把英语中的词组（有时甚至是个单词）转译成汉语中的一个句子。

汉语中也有这样短小精悍、含义丰富的词组，因此，在汉译英时也经常要用到这种转词为句的翻译技巧。

转句译法同断句译法一样，都是把原文较长的句子拆开来说，以此简化原文的句子结构。

断句译法是把原文中的从句拉出来翻译成独立的句子，而转句译法是把原文中的一个词组或词语拉出来翻译成独立的句子。

四、合句译法在汉译英时，把两个或两个以上的汉语句子翻译成一个英语句子，英译汉时也经常要用合句译法，把两个或两个以上的英语句子翻译成一个汉语句子。

采用合句译法时，都是根据原文各句之间的逻辑关系，在译文的句与句之间加上连接词语，如汉语译文中的“因为”“如果”“但是”“又……又……”以及英语译文中and, while, when, so, but, because, for, as, who等。

五、缩句译法缩句译法，就是根据原文的逻辑关系和译文的语言习惯，把原文中的一个句子紧缩成译文中另一个句子的组成部分。

一般情况下，把原文上下文中相对次要的句子紧缩成相对主要的句子的组成部分，大多紧缩成状语，也有一部分紧缩成定语或同位语乃至主语。

缩句译法更多地用于汉译英。

六、转态译法转态译法，就是在翻译过程中把原文中的被动语态转换成译文，或把原文中的主动语态转换成译文中的被动语态。

英语中用了被动语态的句子在翻译成汉语时，根据汉语的语言习惯把被动语态转换成主动语态；汉语中用主动语态的一些句子在翻译成英语时，也可以根据具体情况把主动语态转换成被动语态。