2.2.1向量加法运算及其几何意义

2.2.1 向量加法运算及其几何意义三维目标1．知识与技能(1)掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．2．过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到特殊的认识事物规律，培养探索精神与创新意识．(2)通过本节的学习，学会用数学的方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自己的文化修养．重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．难点：理解向量加法的定义．教学建议首先从数及数的运算谈起，有了数只能进行计数，只有引入了运算，数的威力才得以充分展现．类比数的运算，向量也能够进行运算．运算引入后，向量的工具作用才能得到充分发挥．实际上，引入一个新的量后，考察它的运算及运算律，是数学研究中的基本问题．数学中，教师应引导学生体会考察一个量的运算问题，最主要的是认清运算的定义及其运算律，这样才能正确、方便地实施运算．1．教学中，应以熟悉的位移的合成和力的合成为背景，引导学生进行实验，使学生形成感知：“既有大小，又有方向的量可以相加，并且可以依据“三角形法则”来进行”．在此基础上，给出向量加法的定义．2．向量加法运算主要是向量加法的三角形法则和平行四边形法则．教科书从几何角度具体给出了通过三角形法则或平行四边形法则作两个向量和的方法．教学中要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则所对应的物理模型．另外，使学生体会两种加法法则在本质上是一致的．对任意向量与零向量相加，教科书中给出了规定．3．为了让学生认识数的加法与向量加法的区别及联系，可引导学生探究有关向量加法中模的大小关系加强理解，只不过两个数的和是一个数，两个向量的和仍是一个向量．4．引导学生类比数的运算律，通过画图验证向量加法的交换律与结合律． 知识1 向量加法的定义及其运算法则 问题导思分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F 1＝3 000 N ，F 2＝2 000 N ，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．1．从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？ 【答案】 后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB 的对角线OC →表示的力是OA →与OB →表示力的合力．体现了向量的加法运算． 2．上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ 【答案】 三角形法则和平行四边形法则． 1．向量加法的定义定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，如图.对于零向量与任一向量a ，规定0＋a ＝a ＋0＝a . 2．向量求和的法则则对角线上的向量AC →＝a ＋b向量加法的运算律 问题导思实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？ 【答案】 交换律和结合律、有.课堂探究类型1 向量的加法运算 例1 化简下列各式： (1)MB →＋AC →＋BM →； (2)P A →＋PB →＋AO →＋OP →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.解：(1)MB →＋AC →＋BM →＝(MB →＋BM →)＋AC →＝0＋AC →＝AC →. (2)P A →＋PB →＋AO →＋OP →＝(P A →＋AO →)＋(OP →＋PB →)＝PO →＋OB →＝PB →. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝0. 规律方法1．进行向量的加法运算时常常用到向量平移，还要运用运算律来调整顺序． 2．当运算结果为零向量时，不要写成数字0，因为向量的和仍为向量． 变式训练 化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →； (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：(1)(AB →＋MB →)＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →. (2)OA →＋OC →＋BO →＋CO →＝BO →＋OC →＋CO →＋OA →＝BA →. 类型2 利用向量证明几何问题例2 如图所示，已知E 、F 分别是▱ABCD 的边DC 、AB 的中点，求证：四边形AECF 是平行四边形．思路探究 要证四边形AECF 为平行四边形，只需证AE →＝FC →. 解：在▱ABCD 中，AD →＝BC →，又由E 、F 分别是DC 、AB 的中点，得DE →＝FB →. 所以AE →＝AD →＋DE →＝FB →＋BC →＝FC →， 又A 、E 、C 、F 四点不共线， 故四边形AECF 是平行四边形． 规律方法1．用向量证明几何问题的一般步骤： (1)把几何问题中的边转化成相应的向量；(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系； (3)还原成几何问题．2．要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等． 变式训练已知：如图，四边形ABCD 中，AO ＝OC ，DO ＝OB .求证：四边形ABCD 为平行四边形． 证明：∵AO ＝OC ，DO ＝OB ， ∴AO →＝OC →，DO →＝OB →. ∴DO →＋OC →＝OB →＋AO →， ∴DC →＝AB →.即DC ∥AB 且|DC →|＝|AB →|， ∴四边形ABCD 为平行四边形. 类型3 向量加法的实际应用例3 如图所示，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|； 两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →. 依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km ，两次飞行的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 规律方法向量加法的实际问题的解题步骤如下：(1)用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； (2)利用平行四边形法则或三角形法则求向量的和； (3)利用直角三角形知识解决问题．变式训练 为了调运急需物资，如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)． 解：(1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速．易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ， 则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5，|BC →|＝53， 所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝52＋532＝100＝10.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°. 课堂小结1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则． 2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行． 当堂检测1．已知向量a ∥b ，且|a |＞|b |＞0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】 如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同． 【答案】 A2．下列等式错误的是( ) A.a ＋0＝0＋a ＝a B.AB →＋BC →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →【解析】 AB →＋BC →＋AC →＝AC →＋AC →＝2AC →≠0，故B 错． 【答案】 B3．在四边形ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．正方形D ．平行四边形【解析】 AB →＋AD →＝AC →符合平行四边形法则，所以四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】 D4．化简：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG →.解：(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FG → ＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋FG → ＝AC →＋CF →＋FG →＝AF →＋FG →＝AG →.。

2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【目标导学】重点：向量的加法运算（三角形法则、平行四边形法则）【自主预习】1.若C 是线段AB 中点，则AC BC →→+=（ ） A. AB B. BA C. 0 D. 不同于以上答案2. 设→a ，→b 为非零向量，若||||||→→→→+=+b a b a ，则→a 的方向与→b 的方向必是 .3. 设→a 表示“向东走3km ”，→b 表示“向北偏东o 30走3km ”，则→→+b a 表示 __________. 【课标基础】1.在四边形ABCD 中，下列各式中正确的是( )A. →→→→+=+DC AD BC ABB. →→→+=DA CD ACC. →→=BA ABD. →→→=+DC AC AD2. 下列各向量中，不表示零向量的一个式子是( )A.→→=BA ABB. →→→++CA BC ABC. 和任意向量都平行的向量aD. b a +(其中b a 、不共线)3. 若O 是ABC ∆内一点，满足→→→→=++O OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心4.点D 、E 、F 分别是三角形ABC 的三边AB 、AC 、BC 的中点，则_______AF BE CD ++=5. 正六边形ABCDEF 中→→=a AB ，→→=b FA ，则=→EC .（用→a 与→b 表示）6.向量a 、b 满足8||=a ，12||=b ，则||b a +的最大值和最小值分别是 __________.7. 河水中水流自西向东速度为每小时20公里，小船自南岸沿正北方向行驶速度每小时【能力拓展】8. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.9. 已知OABCDE 是正六边形，→→=a OA ，→→=b OE ，试用→a ，→b 表示→OB ，→OC ，→OD .10. 已知任意四边形ABCD ，E 为AD 中点，F 为BC 中点.求证：2EF AB DC →→→=+.OE AA BC。