初中函数概念的建立与教学研究

学科代码：学号：贵州师范大学求是学院（本科）毕业论文题目：初中函数概念的建立与教学研究Study on establishment and teaching theconcept of function in junior high school学院：专业：数学与应用数学年级：姓名：指导教师：完成时间：初中函数概念的建立与教学研究摘要：函数是中学数学的重要内容之一。

它不仅是一个重要的数学概念，函数思想也是一种重要的数学思想方法，它与现实生活紧密联系，在越来越重视数学知识运用的今天，它的地位也显得尤为重要。

论文通过对函数概念的介绍，进而深入分析了初中数学课程中的函数概念，在此基础上提出了相应的教学思考。

关键词：初中；函数概念；教学研究Abstract: the function is one of the important contents of middle school mathem atics. It is not only an important mathematical concepts, function thought is a kind of important mathematics thoughts and methods, it is closely linked with real life, in more and more attention to the use of mathematical knowledge toda y, its status is very important. Based on the introduction of the concept of fu nction, and made an in-depth analysis of the junior middle school mathematics c urriculum in the function concept, puts forward corresponding thinking teaching .Keywords: junior high school; the function concept; teaching and research.函数是中学数学的重点内容，横跨初高中两个阶段。

建立函数模型解决其他数学问题和一些实际问题的意识和能力。

针对初中生的学习能力，发现建立函数的方法和函数问题中蕴含的规律，使学生熟练的建立函数关系，并很好的运用在解题和实际生活中，达到较好的教学效果。

1. 函数概念简述在当今这个信息化的时代，当你看见股票走势，还有彩票趋势图，或者是医院设备“心电图”等，你会不会想到这些是数学中函数的应用?其实函数来源我们生活，也存在于我们的生活中。

函数和我们每个人有着密不可分的关系。

在十七世纪由于人们对运动，特别是天体运动的研究开始导入数学，直到十九世纪才把函数看作是含有变数的式子，以后逐步严密化，上升为从集合到集合的映射，并进一步推广为广义函数。

现在，函数概念已被看作是数学中最基本的概念。

1.1. 函数的发展史简述古今中外数学书刊中的说法多种多样,运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。

函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16-17世纪才逐渐产生的。

从笛卡尔的《几何学》问世起，数学领域里就有变量的概念。

直到莱布尼兹1673年手稿里的函数（表示任何一个随着曲线上点的变动而变动的量）。

随着科学的发展，在历史的各个阶段函数都有它相应的定义。

起初贝努利说，变量的函数就是变量和常量以任何表达方式组成的量。

到欧拉给出的三种定义：此后，许多数学家都试图给函数下定义，但都没有抓住函数的本质。

直到1837年，狄里赫莱指出，对于x的每一个确定的值，y都有完全确定的值与之对应，那么y叫做x 的函数。

这是函数的重大发展，它抓住了函数的本质——对应。

以致当时各方面的数学家完全一致地接受了这个定义。

直到十九世纪七十年代，康托集合论出现，笛卡尔积的子集来定义，但是函数的这个定义不能适应这种要求，这就引起函数概念的进一步扩张——广义函数。

1.2. 函数的三种定义1.2.1. 函数概念的定义定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。

另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。

（19世纪法国数学家柯西）定义2 在某变化过程中，有两个变量x和y。

如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数；x称为自变量。

(19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出) 定义3 A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。

（19世纪70年代德国数学家康托）1.2.2. 函数概念的三种定义1.2.2.1. 函数的变量说定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果变量y随着x的变化而变化，那么就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。

这种陈述性的定义，是函数的传统定义。

它建立在变量的基础上，强调了变化。

而描述变化，正是函数最重要的特征。

函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。

1.2.2.2. 函数的对应说定义设A 为非空实数集，如果存在一个对应规律f ，对A 中每个元x 按照对应规律f ，存在R 中唯一的一个实数y 与之对应，则称对应规律f 是定义在A 上的函数。

1.2.2.3. 函数的关系说定义设f 是集合X 与集合Y 的关系，即Y X f ⨯⊆。

如果还满足()f y x ∈11,，()f y x ∈21,，则21y y =，那么称f 是集合X 到集合Y 的函数。

以上三种函数定义各有各的不同特点，“变量说”是最朴素、最根本的，也是最重要的，对于初学者更容易接受。

“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。

“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。

我国中学课本里的函数定义也有多次的改革。

考虑到中学生的实际情况，目前基本是采用狄里赫勒的定义。

即“在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。

”当然这样的说法是比较抽象的。

函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。

函数f 中对应输入值的输出值x 的标准符号为f(x)。

包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。

若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

2. 初中数学课程中的函数概念2.1. 《标准》中的相关内容在函数的图像与性质中，按照给定的变量变化的规律建立函数关系，分析具体的函数关系具有的特定性质：应用相关的知识、方法解决问题。

初中函数的内容包括：1.函数的概念，2.三种表示法，3.正比例函数的图像及性质，4.一次函数的图像及性质，5.反比例函数的图像及性质，6.二次函数的图像及性质。

具体地，《标准》对函数的学习要求如下：（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。

（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

（4）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。

（5）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。

（6）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

2.2. 新旧教材中的函数概念表13. 初中函数概念的教学思考3.1. 教学片断一——函数（1）教材：1994年九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册。

学生基本情况：差生偏少。

（2）教学内容教师提问，在生产、生活实践中，一切事物间的数量关系都能用一次式表示吗?学生通过课前准备答案和素材或亲身体验有趣而丰富的调查研究过程，形成一定的观点和看法。

交流讨论并与教师交流信息，写出结论。

在学习和生活中，经常要研究一些数量关系。

先看下面的例子。

一辆汽车以30千米／时的速度行驶，行驶的路程S(千米)与行驶的时间t（时）有怎样的关系昵?这个关系可表示成S=30t．学情分析：这里，路程S的数值是随着时间t的数值的变化而变化的，S与t之间有一种对应关系。

S与t可以取不同的数值，是变量；而30的数值保持不变，是常量。

在变量S与变量t的关系式s=30t中，给变量t一个值，就可以相应地得到变量S的唯一的一个值，我们说变量t是自变量，变量S是t的函数。

一般地，在一个变化的过程中有两个变量x、Y，如果对于X的每一个值，Y都有唯一的值和它对应，那么就说x叫自变量，Y是x的函数。

教材通过一个简单的例子很快得出变量、常量及函数的定义。

这个概念突出以下两点：一是有两个变量，二是一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化。

教学设计上明确了函数概念的基础上，初步形成利用函数观点认识现实世界的意识和能力，从具体背景中列出一次函数表达式，从而概括一次函数的概念，为学习后面的知识打下基础。

（3）教学效果：通过让学生自己体会生活中发生的事迹，在课前自己能准备新课程的一些相关题目，能让学生们更容易、更迅速的进入课堂，激发学生的兴趣，调动学生的积极性。

（4）设计意图说明：实际例子(问题)--数学解答--从过程中提炼函数概念。

通过学生自己的回顾和查找资料，是对前面所学知识的进一层掌握，通过亲自查阅资料，学生就会更容易掌握本节课的知识。

3.2. 教学片断二——变量（1）教材：2005年义务教育课程标准实验教材《数学》八年级上册。

（2）教学内容○1汽车以60千米／时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，○2每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出票X张，票房收入为Y元，怎样用含X的式子表示y?○3某市一天24小时内的气温变化图：（图略）在问题(1)中，观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间t取定一个值时，行驶里程s 就随之确定一个值，例如t=l 时，则s=60；t=2，则s=120⋯⋯t=5， 则s=300。

比如当行驶时间t=1时，s=60；当t=2时，s=120。

⋯ t=-5时，s=300。

问题(2)中，经过计算发现：每当售票数量x 取定一个值时，票房收入Y 就随之确定一个值，例如早场x=150，则y=1500；日场x=205，则y=2050；晚场x=310，则y=3100。