27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例知识要点基础练知识点1相似三角形的有关概念1.如图,△ADE∽△ABC,若AD=2,AB=6,则△ADE与△ABC的相似比是(B)A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶22.若△ABC∽△A'B'C',△ABC与△A'B'C'的相似比为2,那么△A'B'C'与△ABC的相似比为1∶2.知识点2平行线分线段成比例3.如图,已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3.若AB=4,AC=6,DF=9,则DE=(B)A.5B.6C.7D.84.如图,△ABC中,DE∥BC,AD∶AB=1∶3,AE=2 cm,则AC的长是(C)A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm知识点3判定三角形相似的预备定理5.如图,DC∥FE∥AB,图中相似三角形共有(B)A.4对B.3对C.2对D.1对【变式拓展】如图,直线AB与平行四边形MNPQ的四边所在直线分别交于A,B,C,D,则图中的相似三角形有(C) A.4对 B.5对 C.6对 D.7对6.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD与BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F,试回答:图中△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,△ABE∽△DCE.综合能力提升练7.如图,已知直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A,C,E,B,D,F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF的长为(B)A.92B.152C.6D.528.如图,AB∥CD,OH分别与AB,CD交于点F,H,OG分别与AB,CD交于点E,G.若OOOO =49,OF=12,则OH的长为(A)A.39B.27C.12D.269.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是(D) A.5 B.8.2C.6.4D.1.810.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF∶FC=(C)A.1∶4B.1∶3C.1∶2D.1∶111.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4,若EG=4,则AC=12.12.如图,在△ABC中,点D为AC上一点,且OOOO =12,过点D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=27,则EF=6.13.如图,已知AC∥BD,AD,BC相交于点E,EF∥BD,求证:1OO +1OO=1OO.证明:∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF∥BD, ∴△BEF∽△BCA,△AEF∽△ADB,∴OOOO =OOOO,OOOO=OOOO,∴OOOO +OOOO=OOOO+OOOO=OOOO=1,∴1OO +1OO=1OO.14.如图,已知在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,AE=2CE,AB=6,BC=9.求:(1)BF和BD的长度;(2)四边形BDEF的周长.解:(1)∵AE=2CE,∴OOOO =12.∵EF∥AB,∴OOOO =OOOO=23.∵BC=9,∴BF=6.∵DE∥BC,∴OOOO =OOOO=13.∵AB=6,∴BD=2.(2)∵EF∥AB,DE∥BC,∴四边形BDEF是平行四边形,∴BD=EF=2,DE=BF=6,∴四边形BDEF的周长为2×(2+6)=16.15.如图,O是△ABC内任意一点,DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,那么△ABC与△DEF相似吗?说明理由.解:△ABC∽△DEF.理由:∵DE∥AB,∴△ODE∽△OAB,∴∠ODE=∠OAB,∠OED=∠OBA,OOOO =OOOO=OOOO.同理可证:∠ODF=∠OAC,∠OFD=∠OCA,∠OEF=∠OBC,∠OFE=∠OCB,OOOO =OOOO=OOOO,OOOO=OO OO =OOOO,∴∠EDF=∠BAC,∠DEF=∠ABC,∠DFE=∠ACB,OOOO =OOOO=OOOO,∴△ABC∽△DEF.拓展探究突破练16.阅读与计算,请阅读以下材料,并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理,如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,则OOOO =OOOO.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C 作CE ∥DA ,交BA 的延长线于点E.… (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;(2)如图3,在Rt △ABC 中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD 平分∠BAC ,求△ABD 的周长.解:(1)如图2,过点C 作CE ∥DA ,交BA 的延长线于点E ,∵CE ∥AD ,∴OO OO =OO OO ,∠2=∠ACE ,∠1=∠E ,∵∠1=∠2,∴∠ACE=∠E ,∴AE=AC ,∴OOOO =OOOO. (2)如图3,∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴AC=5,∵AD 平分∠BAC ,∴OOOO =OOOO ,即35=OOOO , ∴BD=38BC=32, ∴AD=√OO 2+OO 2=√(32)2+32=3√52,∴△ABD 的周长=32+3+3√52=9+3√52.第2课时相似三角形的判定定理1,2知识要点基础练知识点1三边成比例的两个三角形相似1.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为4,6,8,乙三角形木框的三边长分别为12,18,24,则甲、乙两个三角形(A) A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.无法判断2.下列四个三角形中,与左图中的三角形相似的是(B)3.如图,△ABC中,D,E分别在边AB,AC上,AD=2BD,AE=2CE,OOOO =23,求证:△ABC与△ADE相似.证明:∵AD=2BD,AE=2CE,∴OOOO =23,OOOO=23.∵OOOO =23,∴OOOO=OOOO=OOOO,∴△ABC∽△ADE.知识点2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似4.如图所示,△ABC中,AB=6,AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开裁剪办法已在图上标注,对于各图中剪下的两个阴影三角形而言,下列说法正确的是(B)A.图1中的阴影三角形与△ABC相似B.图2中的阴影三角形与△ABC相似C.都与△ABC相似D.都与△ABC不相似5.如图,下列选项中能证明△ACD和△ABC相似的是(C)A.OOOO =OOOOB.OOOO=OOOOC.AC2=AD·ABD.CD2=AD·BD6.如图,点C在△ADE的边DE上,∠1=∠2,OOOO =OOOO.求证:(1)△ABC∽△ADE;(2)∠B=∠D.证明:(1)∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.∵OOOO =OOOO,∴OOOO=OOOO,∴△ABC∽△ADE.(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠B=∠D.综合能力提升练7.在三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下,能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)8.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAC=∠D,要使△ABC与△ADE相似,还需满足下列条件中的(C)A.OOOO =OOOOB.OOOO=OOOOC.OOOO =OOOOD.OOOO=OOOO9.如图,∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,则下列结论成立的是(C)A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA10.一个钢筋三脚架三边长分别是20 cm,50 cm,60 cm.现在再做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则下列截法:①将30 cm截出5 cm和25 cm;②将50 cm截出10 cm和25 cm;③将50 cm截出12 cm和36 cm;④将50 cm截出20 cm和30 cm.其中正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个11.如图,△OPQ在边长为1个单位的方格纸中,它们的顶点在小正方形顶点位置,点A,B,C,D,E也是小正方形的顶点,从点A,B,C,D,E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似,那么这个三角形是△CDB .12.如图,在钝角三角形ABC中,AB=5 cm,AC=10 cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C 点出发到A点止.点D运动的速度为1 cm/s,点E运动的速度为2 cm/s,如果两点同时运动,那么当以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是2.5 s或4 s.13.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(0,3)和(9,0),若坐标轴上存在点C,使△OBC和△OAB相似(不包括全等),则点C的坐标是(0,27),(0,-27).14.已知四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中的条件如图所示,试证明:△BDC∽△B'D'C'.证明:∵OOO'O'=84=2,OOO'O'=63=2,∴OOO'O'=OOO'O',又∵∠A=∠A',∴△ABD∽△A'B'D',∴OOO'O'=OOO'O'=2.∵OOO'O'=105=2,OOO'O'=42=2,∴OOO'O'=OOO'O'=OOO'O',∴△BDC∽△B'D'C'.15.如图:方格纸中的每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;(2)点P1,P2,P3,D,F是△DEF边上的5个格点,请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(写出一个即可,说明理由)解:(1)△ABC和△DEF相似.理由:∵根据图示可知AB=2√5,AC=√5,BC=5,ED=4√2,DF=2√2,EF=2√10,∴OO OO =OO OO =OOOO =√104, ∴△ABC ∽△DEF.(2)△ABC ∽△DP 2P 3.(答案不唯一,合理即可) 连接P 2P 3,由(1)知△ABC ∽△DEF ,∴∠BAC=∠EDF ,即∠BAC=∠P 2DP 3.∵DP 3=√2,DP 2=2√2,∴OO3OO =OO 2OO=√105, ∴△ABC ∽△DP 2P 3.拓展探究突破练16.(某某中考)如图,在△ABC 中,AB=AC=1,BC=√5-12,在AC 边上截取AD=BC ,连接BD.(1)通过计算,判断AD 2与AC ·CD 的大小关系; (2)求∠ABD 的度数.解:(1)∵AD=BC ,BC=√5-12, ∴AD=√5-12,CD=1-√5-12=3-√52,∴AD 2=AC ·CD.(2)∵AD=BC ,AD 2=AC ·CD ,∴BC 2=AC ·CD , 即OOOO =OOOO .又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ACB,∴OOOO =OOOO=1,∠DBC=∠A,∴DB=CB=AD,∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC.设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x.∴x+2x+2x=180°,解得x=36°.∴∠ABD=36°.第3课时相似三角形的判定定理3知识要点基础练知识点1两角分别相等的两个三角形相似1.如图,点D在BC上,△ABC和△ADE均为等边三角形,AC与DE相交于点F,则图中相似三角形有(B)A.3对B.4对C.5对D.6对2.如图,D是AC上一点,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:△ABC∽△DAE.证明:∵DE∥AB,∴∠CAB=∠EDA.∵∠B=∠DAE,∴△ABC∽△DAE.知识点2直角三角形相似的判定3.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1=90°,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)A.∠B=∠B1B.OOO1O1=OOO1O1C.OOO1O1=OOO1O1D.OOO1O1=OOO1O14.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=√6,AD=2.当AB=3或3√2时,△ABC与△ACD相似.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3;在Rt△A'B'C'中,∠C'=90°,A'B'=15,B'C'=12.试判断这两个三角形是否相似,并说明理由.解:相似.理由:∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC=4,∴OOO'O'=412=13,OOO'O'=515=13,∴OOO'O'=OOO'O',且∠C=∠C'=90°,∴△ABC∽△B'A'C'.综合能力提升练6.如图,在△ABC中,∠B=70°,AB=4,BC=6,将△ABC沿图示中的虚线DE剪开,剪下的三角形与原三角形相似的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,已知∠1=∠2,欲证△ADE∽△ACB,可补充条件(D)A.∠B=∠CB.DE=ABC.∠D=∠ED.∠D=∠C8.如图,若∠1=∠2=∠3,则图中相似的三角形有(B)A.2对B.3对C.4对D.5对9.在△ABC与△A'B'C'中,有下列条件:(1)OOO'O'=OOO'O';(2)OOO'O'=OOO'O';(3)∠A=∠A';(4)∠C=∠C'.如果从中任取两个条件组成一组,那么能判断△ABC∽△A'B'C'的共有(C)A.1组B.2组C.3组D.4组10.如图,∠BAD=∠C,DE∥AB,下列判断中错误的是(C)A.△ABD∽△CBAB.△ADE∽△ACDC.△ABD∽△DAED.△ABD∽△CDE11.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是(B)A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2)12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=24,E是AC上一点,AE=15,ED⊥AB,垂足为D,则AD的长为14.4.13.边长为2的正方形ABCD中E是AB的中点,点P在射线DC上从点D出发以每秒1个单位长度的速度运动,过点P作PF⊥DE,当运动时间为1或5秒时,以P,F,E为顶点的三角形与2△AED相似.14.如图,已知D为△ABC内一点,E为△ABC外一点,且∠1=∠2,∠3=∠4.求证:∠ACB=∠DEB.证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴△ABD∽△CBE,∴OOOO =OOOO.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC,∴∠ABC=∠DBE,∴△ABC∽△DBE,∴∠ACB=∠DEB.15.如图,已知AB⊥DB于点B,CD⊥DB于点D,AB=6,CD=4,BD=14,在DB上取一点P,使以C,D,P 为顶点的三角形与以P,B,A为顶点的三角形相似,求DP的长.解:∵AB⊥DB,CD⊥DB,∴∠D=∠B=90°.设DP=x,当DP∶AB=CD∶PB时,△PDC∽△ABP,∴O6=414-O,解得DP=2或12;当DP∶PB=CD∶AB时,△PCD∽△PAB,∴O14-O =46,解得DP=5.6.综上,DP=5.6或2或12.16.(某某中考)如图,AB为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D,连接OD.作BE⊥CD于点E,交半圆O于点F.已知CE=12,BE=9.(1)求证:△COD∽△CBE;(2)求半圆O的半径r的长.解:(1)∵CD切半圆O于点D,∴CD⊥OD,∴∠CDO=90°.∵BE⊥CD,∴∠E=90°=∠CDO.又∵∠C=∠C,∴△COD∽△CBE.(2)在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,∴BC=√OO2+OO2=15.∵△COD∽△CBE,∴OOOO =OOOO,即O9=15-O15,解得r=458.拓展探究突破练17.正方形ABCD边长为4,点M,N分别是BC,CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM 和MN垂直,设BM=x.(1)证明:Rt△ABM∽Rt△M;(2)当点M运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求x的值.解:(1)在正方形ABCD中,AB=BC=CD=4,∠B=∠C=90°.∵AM⊥MN,∴∠AMN=90°.∴∠CMN+∠AMB=90°.在Rt△ABM中,∠MAB+∠AMB=90°,∴∠CMN=∠MAB.∴Rt△ABM∽Rt△M.(2)∵∠B=∠AMN=90°,∴要使Rt△ABM∽△Rt△AMN,必须有OOOO =OOOO,由(1)知OOOO =OOOO,∴BM=MC,∴当点M运动到BC的中点时,Rt△ABM∽Rt△AMN,此时x=2.word21 / 21。
27.2.1 相似三角形的判定第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似〔学习目标〕掌握判定两个三角形相似的方法，让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔学习重点与难点〕两个三角形相似的判定方法2探究过程及其应用 〔学习设计〕 学习过程 设计意图说明新课引入：1． 复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系： SSS如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
（相似的判定方法1）2． 回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程 探究两个三角形相似判定方法3的途径从回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：利用刻度尺和量角器画∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，11AB A B 和11ACA C 都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。
延伸问题：改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。
） 探究方法： 探究2改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。
）学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A 或k 值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。
