【2013年全国高分类解析】理科11：概率与统计

2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 【答案】D5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π-D ．4π 【答案】A6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ） A ．14B ．12C ．34D ．78【答案】C7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B8 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】11概率与统计1．（2013届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80)内的人数是________。

【答案】30由题意，分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．则分数在[70，80）内的人数是0.3×100=30人。

2．（2013届东城区一模理科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．【答案】84 2甲的测试成绩的平均数是180(434710)845+-++++=，乙的测试成绩的平均数是180(12811)845+-+++=，乙的测试成绩的中位数为82，所以乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是84822-=。

专题：概率 一、选择题1.（2013届北京石景山区一模理科）3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p =（m ，n ），q =（3，6），则向量p 与q共线的概率为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D由题意可得,基本事件（m ，n ）（m ，n=1，2，…，6）的个数=6×6=36． 若,p q 共线，则630m n -=，得到2n m =．满足此条件的共有（1，2），（2，4），（3，6）三个基本事件．因此向量,p q 共线的概率313612P ==,选D. 2．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（ ） A ．14 B ．34 C ．3π24π+ D ．π24π-【答案】C要使方程有实根，则判别式44()a b ∆=-+>，即10a b +-<，,如图，阴影部分。

教学参谋1考卷解析2018年8月2013〜2018年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析®内江师范学院数学与信息科学学院余小芬蒲葭露刘成龙多数高考试题立意深刻、构思巧妙、设计新颖，直接 体现了高考命题理念、命题原则、命题思路.研究高考试 题，对把握试题特点、知识考点、难易程度有益;对把握 高考命题动态、领会命题精神有利;对提高复习的针对 性、减少复习盲目性有效.本文以2013~2018年高考数学 全国卷中“概率与统计”试题为研究对象，从试题特点、考查要点、教学建议进行分析，以飨读者.—、2013~2018年全国卷“概率与统计”试题特点1.命题背景概率与统计是高考数学中考查实际应用能力和数 学建模能力的一个重要载体，也是考查必然与或然数学 思想的重要内容.全国卷概率与统计命题取材贴近生产、生活，比如，概率部分常以抽签选号、比赛得分、电路 流通、质量抽检等角度命题，考查各类随机事件的概率；统计部分常从成本控制、利润获取、方案决策、数据预测 等角度命题，考查利用样本数据估计总体特征，利用均 值、方差等对实际问题作出评价或判断.特别指出，2018 年高考重视数学文化考查，比如2018年全国I卷理科第 10题以古希腊数学家希波克拉底研究的直角三角形外 接半圆图形为载体考查几何概型，2018年全国n卷理科 第8题以哥德巴赫猜想为背景考查古典概型等等.2知识考查近年全国卷中概率与统计部分主要考查抽样方法 (以分层抽样为主)、统计图(表)的应用(识图、作图、用 图)、系数的相关性（独立性检验思想、回归思想的运 用)、随机事件(互斥事件、独立事件、独立重复试验、等 可能事件)的概率、离散型随机变量的分布列、期望、方 差、正态分布.概率与统计命题中呈现一定的交汇性.首先，概率 与统计知识交织紧密，尤其以统计图(表)为载体，结合 图(表)中数据，运用频率估计概率思想，考查古典概型、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率乘法公式 等.其次，在分析生产、销售中的成本、利润问题时，概率统计与分段函数、函数最值相结合是历年考查的热点.3. 能力考查《普通高中数学课程标准（2017年版)》(下文简称 《标准》)指出数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推 理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，数 据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数 据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素 养.概率与统计部分教学的主要目的是使学生体会统计 与概率的基本思想，处理数据、制定决策,培养学生“用 数据说话”的理性思维.全国卷概率与统计部分对学生 能力的考查呈现6大特点：淡化解题技巧，重视通性通 法;减少运算速度要求，强调运算思路本身;重视形成科 学正确的随机观念认识随机现象;重视培养对信息的阅 读、筛选、分析能力;重视培养解决实际问题中的估算、判断、决策能力;重视必然与或然、分类与整合、化归与 转化等数学思想在解题中的运用■4. 命题规律⑴客观题的命题规律2013~2014年全国卷客观题主要考查概率知识，尤 其古典概型在历年试题中均有涉及.从2015年开始，客 观题重视考查统计知识，以对统计图的认识为主要考査 形式.同时，几何概型成为概率部分的“新兴”考点，尤其 在2016、2017、2018年考查题数最多，主要涉及线段、面 积模型.此外，抽样方法、样本数据特征、二项分布、正态 分布等知识点隔年交替考查，主要考查基本概念、公式 等规则的运用•⑵解答题的命题规律2010年前，全国卷考查核心为随机事件的概率，重 视逻辑推理，强调排列组合问题解答的技巧性,但在合 情推理和应用意识方面考查较少.从2011年开始，增加 考查频率分布表、频率分布直方图的应用，通过利用图 (表冲数据，利用频率估计概率的思想解决问题.2013~ 2016年，又增加对茎叶图、散点图、折线图的应用考查，增加考查绘制(或完善)茎叶图、频率分布直方图，增加 回归分析统计案例，重视结合实际生活经验对问题进行42十7龙*?高中2018年8月考卷解析教学参谋判断、评价、预测处理.2017年独立性检验在停考7年后 “重登舞台”,并且2018年依然“隆重登场”;正态分布在 停考3后,2017年“再现身影尤其是正态分布试题具有鲜明的特点:从以往考查“已知规则、简单套用”过渡到 考查“理解原理、回归运算”.(裴光亚语)总的来看，尽管 解答题焕然一新，但对中位数、均值、标准差等数据的计 算仍为考查重点，频率估计概率、样本估计总体仍是问 题解决的核心思想.二、2010~2018年全国卷"概率与统计”试题分类评析为进一步把握命题方向，下面对近八年全国卷概率 与统狀题分类评析•1.统计部分(1) 抽样方法在统计的教学中，应引导学生根据实际问题的需 求，选择不同的抽样方法获取数据，理解数据蕴含的信 息.常见抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 近年全国卷中，抽样方法主要涉及分层抽样.例如2018 年全国I卷文科第18题、2018年全国H I卷文科第14题、2013年全国I卷理科第3题.(2) 统计图表的应用统计图表具有直观、实用的特性.《标准》指出:根据 数据分析的需求，选择适当的统计图表描述和表达数 据，并从样本数据中提取需要的数字特征，估计总体的 统计规律，解决相应的实际问题.高考对统计的考查也 常以统计图表为信息载体，从多角度、多层次命制试题, 充分考查学生识图、作图、用图的能九(i )简单识图应用近年，全国卷立足生产、生活热点，设计出很多可读 性强、图文新颖、贴近生活的统计图.比如2016年全国m 卷理科第4题介绍一年中各月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图、2017年全国m卷理科第3题考查了以“旅 游”为背景的折线统计图、2018年全国I卷理科第3题呈 现了关于新农村建设的农村经济收入变化饼状图.(i i)用样本的数字特征估计总体特征“以数据进行推断的思考方式已成为现代社会普遍 应用的思维模式，以样本估计总体是统计学最核心的思 想方法历年全国卷中，不乏用样本估计总体的试题，这类题考查学生画(或完善)频率分布直方图、茎叶图 等，并从样本中提取或计算重要数据，如“三数”、标准差 等，进而要求对总体进行合理的解释或评价的能九例如2018年全国I卷文科第19题，该题坚持了高考 “立德树人”的基本导向，通过对比某家庭使用节水龙头 前后的用水量，让学生树立保护水资源的可持续发展意识，培养节约用水的良好品行.第1问考查频数分布表、频率分布直方图，强调学生的作图能力;第2问考查利用 样本数据特征估计总体特征、古典概型等基本知识，考 查学生的估算意识以及计算能力；第3问涉及对节水前 后用水量的对比，考查学生对频数分布表的理解和应 甩近年全国卷同类型考题还有:2017年全国I卷文科 第2题;2015年全国I I卷文(理)科第18题等.可见，样本 估计总体是历年全国卷文科数学的高频考点.(i i i)统计图(表)的综合应用在工农业生产与经济生活中，质量控制、成本控制、风险控制以及产品库存等问题是经常要面对并需解决 的问题，而这些问题中普遍受到随机因素或不确定性变 量的影响，自然地需要建立随机模型，需要搜集、整理和 处理数据，需要应用统计或概率的知识和方法并最终作 出决策.高考命题常以上述实际问题为背景，以统计图 (表)为载体，考查频率与概率、随机变量分布列、期望的 计算及应用等知识，考查学生的建模、数据处理等综合 能九例如2016年全国I卷理科第19题，该题以实际生产 中成本控制为命题背景，考查柱状图的应用.第1问根据 柱状图及频率估计概率的基本思想，考查分布列的求 解.在计算;r所对应的各个概率时，涉及分类讨论思想，将问题转化为互斥事件的和以及独立事件的积进行处 理;第2问在第1问分布列的基础上，考查互斥事件的概 率加法公式；第3问以费用期望值的最小化为决策依据 确定购买量.事实上，为确定最优购买量，应逐一计算n= 16,17,…,22时所对应的期望值，通过比较得出最小期 望值所对应的41即为最优购买量.但为降低运算量，减 少重复表示，命题者只要求考生计算并对比n=19与n=20 所对应的期望值，这也体现了试题设问方式和能力考查 方向的新变化.近年全国卷同类型考题还有:2017年全 国HI卷文(理)科第18题;201碑全国I卷文科第1顿等.(3)变量的相关性2017年《考试大纲》对“变量的相关性”和“统计案 例”的要求是:两个“会”一会作两个有关联变量的数 据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.三 个“了解”—了解最小二乘法的思想，了解独立性检验 (只要求2x2列联表)的基本思想、了解回归分析的基本 思想.两个“能”—能根据给出的线性回归方程系数公 式建立线性回归方程;能应用一些常见的统计方法解决 一些实际问题.特别指出，在教学中，不要求学生记忆线 性回归方程、独立性检验中的相关公式或取值，能利用 已知公式代值计算、并利用所得结果对问题进行判断或 预测即可.重点考查统计思想的运用.高中十龙*? 43(i ) 独立性检验思想的应用独立性检验可谓是逐步登上高考舞台的新生花且. 独立性检验试题首次出现在2009年辽宁省卷中，由此拉 开了对独立性检验考查的序幕.近年全国卷独立性检验 的试题有:2018年全国H I 卷文(理)科第19题,2017年全 国n 卷文(理)科第19题.鉴于独立性检验在实际问题中 的应用广泛，其极有可能成为新的热门考点，复习备考 中应引起重视.以2018年全国m 卷文(理)科第19题为例,该题第2 问考查学生对独立性检验思想的应甩首先根据中位数m 完善两种生产方式下工人完成工作情况的列联表，进而 利用公式得出随机变量於的观测值，最后与临界值比较 得出结论.(i i ) 回归思想的应用回归思想是统计学的重要思想.高考试题对回归思 想的应用往往从画散点图，理解相关系数的意义，利用 最小二乘法求回归方程,预测等角度设置问题以2018年全国n 卷文(理)科第18题为例，该题考查 折线图，变量间的相关关系.第1问直接利用题中所给两 模型的回归方程，不难得出该地区2018年的环境基础设 施投资额的预测值;该题考查了对利用回归方程进行数 据计算、模型拟合的回归思想的应用.近年全国卷同类 型考题还有:2016年全国ID 卷文(理)科第18题,2015年 全国I 卷文(理)科第19题等.2•概率部分(1)随机事件的概率例1 (2013年大纲卷•文20)甲、乙、丙三人进行羽 毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结 束时，负的一方在下一局当裁判,设各局双方获胜的概率均为各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判.(I )求第4局甲当裁判的概率；(n )求前4局中乙恰好当1次裁判的概率_评析:本例考查相互独立事件、互斥事件、对立事件 概率的求法.（I )问考查学生的逻辑推理能力.由于第1 局甲当裁判，所以“第4局甲当裁判”必推出“第2局比赛 结果为甲胜”(这样甲才能进入第三局比赛)且“第三局 比赛结果为甲负进而利用相互独立事件同时发生的 概率乘法公式解决问题.（n )问考查分类讨论、化归与 转化的数学思想.解题关键是分析出“前4局中乙恰好当 1次裁判”的三种具体赛况：（乙负，乙裁，乙胜，乙赛）, (乙胜，乙胜，乙负，乙裁）,（乙胜，乙负，乙裁，乙赛).近 年全国卷同类型考题还有:2014年大纲卷文科第20题.特别指出，在随机事件的概率部分，除了事件的关 系和运算是考查的重点，古典概型、几何概型、条件概率参谋J 考卷醜f ____________________________________2018年8月也是近年考查的热点.例如古典概型的考题有:2018年 全国n 卷文科第5题、理科第8题,2017年全国n 卷文科 第11题等;几何概型的考题有:2018年全国I 卷文科第9 题、理科第10题，2017年全国I 卷文科第4题、理科第2 题等;条件概率的考题有:2018年全国m 卷文科第5题、2016年全国n卷文(理)科第18题（n )问等.⑵离散型随机变量的分布列、均值与方差均值和方差(或标准差)是统计学的重要概念.均值 反映了随机变量取值的平均水平，方差(或标准差)刻画 随机变量的分散程度，它们都是解决实际问题的重要理 论依据.高考对离散型随机变量的分布列、均值、方差的 常见考查方式有两种:一是利用随机事件的概率性质或 公式求解分布列，再求期望、方差.这是2014年前大纲卷 理科数学解答题的高频考点.二是结合统计图（表)考 查，利用分布列、均值、方差等对实际问题作出判断、决 策等，这是历年新课标卷解答题的考查重点、热点.例2 (2018年全国I 卷•理20)某工厂的某种产品 成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对 产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验 时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果 决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合 格品的概率都为;),且各件产品是否为不合格品 相互独立.(I )记20#产品中恰有2件不合格品的概率为办),求/t p )的最大值点P 。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．602 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11B ．12C ．13D ．143 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4 ．（2013年高考湖南卷（理））某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是 （ ）A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法5 ．（2013年高考陕西卷（理））如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是（ ）A ．14π- B ．12π-C ．22π-D ．4π6 ．（2013年高考四川卷（理））节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 （ ）A ．14B ．12C ．34 D ．787 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ）A ．588B ．480C ．450D ．1208 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。

2013高考试题解析分类汇编（理数)11：概率与统计一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版）)某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( ）A ．45B ．50C ．55D ．60B第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2,所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。

选B 。

2 ．(2013年高考陕西卷（理)）某单位有840名职工， 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查， 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中， 编号落入区间[481， 720]的人数为 （ )A ．11B ．12C ．13D ．14B【KS5U 解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人.,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人,接着从编号481~720共240人中抽取12人。

故选B3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94，88，92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88，93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数C对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。

对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。

对C选项，男生方差为40，女生方差为30。

所以C选项正确。

对D选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91。

2013高考：概率统计基础【2013高考题组】（一）计数原理问题1、（2013北京，理12）将序号为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一个人两张参观券连号，那么不同的分法种数是 。

2、（2013全国大纲，文14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种。

（用数字作答）3、（2013全国大纲，理14）6个人排成一排，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种。

（用数字作答）4、（2013山东，理10）用0，1，…，9十个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A 、243B 、252C 、261D 、2795、（2013浙江，理14）将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 种。

（用数字作答）6、（2013福建，理5）满足,{1,0,1,2}a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A 、14B 、13C 、12D 、10答案：1、962、603、4804、B5、4806、B（二）概率问题1、（2013全国课标I ，文3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值等于2的概率为（ ）A 、12B 、13C 、14D 、162、（2013全国课标II ，文13）从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数字，其和为5的概率是 。

3、（2013全国课标II ，理14）从n 个正整数1，2，…，n 中任意取出两个不同的数字，若取出的两数之和等于5的概率是114，则n = 。

4、（2013山东，理14）在区间[3,3]-上随机取一个数x ，使得不等式121x x +--≥成立的概率是。

5、（2013江苏，7）现有某类病毒记作m n X Y ，其中正整数m ，n （7m ≤，9n ≤）可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为 。

第十三章 概率与统计第1节 概率及其计算题型140 古典概型1.（2013广东理17）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1) 根据茎叶图计算样本均值；(2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；(3) 从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率.2. (2013全国新课标卷理14）从n 个正整数12n ，，，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n = . 3.（2013江苏7）现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7m …，9n …）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 .4. (2013安徽理21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心里测试活动，分别由李老师和 张老师负责.已知该系共有n 位学生，每次活动均需要该系k 位学生参加（n 和k 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机的发给该系k 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m .5.（2014 江西理 12）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 .6.（2014 江苏理 4 ）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ．7.（2014 广东理 11）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .8.（2014 新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都1 7 92 0 1 53 0有同学参加公益活动的概率（ ）.A.18 B.38 C. 58 D. 789.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A.15 B. 25 C. 35 D. 4510.（2014 新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.A.18 B.38 C. 58 D. 7811.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A.15 B. 25 C. 35 D. 4512.（2015广东理科4）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）. A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1 12.解析 从袋中任取2个球共有215C 105=种，其中恰好1个白球1个红球共有11105C C 50=种，所以恰好1个白球1个红球的概率为501010521=．故选B ． 13. (2015北京理科16) A ，B 两组各由7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果25a =，求甲的康复事件比乙的康复时间长的概率；（3）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）13. 解析 （1）设甲的康复事件为ξ，则()3147P ξ=…， 即甲的康复时间不少于14天的概率为37. （2）设乙的康复事件为η，集合{}10,11,12,13,14,15,16A =，{}12,13,14,15,16,17,25B =，则选取病人的基本事件空间为(){},,A B ξηξη∈∈，共49个基本事件，其中符合题意的基本事件为：()13,12，()14,12，()14,13，()15,12，()15,13，()15,14，()16,12，()16,13，()16,14，()16,15，共10个.从而()1049P ξη>=. （3）可以看出A 组7个连续的正整数，B 组为12至17共6个连续的正整数和a ，从而11a =或18时，两组离散程度相同，即方差相等.14.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ．14.56解析 将先后两次点数记为(),x y ，则基本事件共有6636⨯=（个）， 其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6，共6种，则点数之和小于10共有30种，所以概率为305366=． 15.（2016上海理14）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，()11,0A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足i j OP OA OA ++=0，则点P 落在第一象限的概率是 ．15.528解析 由题意()i j OP OA OA =-+，若要使得点P 落在第一象限，则只需使i j OA OA +在第三象限，可考虑变动i ，当1,2,3i =时，不存在；当4i =时，7j =符合要求，同理顺次画图即可．(((所有的满足条件的(),i j 的数组为()()()()()4,7,5,6,5,7,5,8,6,7，共5组， 故所求概率为285528C =．故填528． 16.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.16.解析 （1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的事件为M ，则48510C 5().C 18P M ==题型141 几何概型1．（2013四川理9）节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） A.14 B.12 C.34 D.782. (2013陕西理5）如图，在矩形区域ABCD 的AC ，两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）.A. π14-B. π12-C. π22-D. π43. (2013福建理11）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为_________.4.（2013山东理14） 在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--…成立的概率为__________.5.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点()1,1A --，()1,1B -，()1,1C ，()1,1D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD的概率是 .6.（2014 福建理 14）如图所示，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .7.（2015陕西理科11）设复数()1i z x y =-+(,)x y ∈R ，若1z …，则y x …的概率为（ ）．x22xA ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+ 7. 解析 由||1z …()22111x y ⇒-+.所以y x …表示如图所示的阴影部分，所以2211π1111142π142πS P S ⨯-⨯⨯===-⨯阴总.故选B. 命题意图 考查复数的基本概念与知识，并与几何概型相结合，具备一定的新颖性.8.（2015湖北理科7）在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +…”的概率，2p 为事件“1||2x y -…”的概率，3p 为事件“12xy …”的概率，则（ ）． A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<8. 解析 123,,p p p 依次为如图所示的三个图形的面积，观察知，选B. 也可作如下的计算： 由图（1）得11117=12228p -⨯⨯=； 由图（2）得21113=122224p -⨯⨯⨯=；由图（3）得111312211111ln 2=1d ln 222222p x x x ⨯+=+|=+⎰.三个值比较得231p p p <<，故选B.图2图3图1命题意图 考查不等式表示的平面区域、几何概型及定积分的计算.9.（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A.13B.12 C.23 D.349. B 解析 如图所示，画出时间轴.A 8:208:307:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟. 根据几何概型，所求概率10101402P +==.故选B. 10.（2016山东理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件”直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ． 10.34解析 首先k 的取值空间的长度为2，由直线kx y =与圆22(5)9x y -+=相交，所 3<，解得3344k -剟，所以得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，其长度 为23，利用几何概型可知，所求概率为43=223.11.（2016全国甲理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）. A.4n m B.2n mC.4m nD.2m n11. C 解析 由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41m n=，所以4πmn =.故选C ．12.（2017江苏07）记函数()f x =D ．在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．12.解析 由题意260x x +-…，故[]2,3D =-，所以()()325549P --==--．故填59． 13.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A.14 B. π8 C. 12 D. π4AB D13. 解析 设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则正方形的面积为224⨯=，圆的面积为2π1π⨯=，图中黑色部分的面积为π2，则此点取自黑色部分的概率为ππ248=.故选B.第2节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率1.（2014 新课标2理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）.A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.（2015全国Ⅰ理科4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）. A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.3122. 解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2233=C 0.60.40.6P ⨯⨯+=0.648．故选A ．3.（2015江苏5）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．3. 解析 解法一：1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ， 则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件，满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．解法二（理科做法）：从反面考查，反面情况为摸出的2只球颜色相同，故2224C 51C 6P =-=． 4.（2015陕西理科19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（1）求的分布列与数学期望；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 4.解析 （1）以频率估计概率得T 的分布列为：所以250.2300.3350.4400.132ET =⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）.(2)设12,T T 分别表示往返所需时间，设A =从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟，则：()()1212()(25)40(30)40P A P T P T P T P T ==+=+剟()()1212(35)35(40)30P T P T P T P T =+==剟0.210.310.40.90.10.50.91⨯+⨯+⨯+⨯=.5.（2015湖北理科20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 5. 解析 （1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ， 则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W xy x y x y +⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪⎩………厖（1）目标函数为10001200z x y =+． 图3()图2()图1()当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大， 最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利Z 的分布列为：因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：()3311110.30.973P p =--=-=.命题意图 考查线性规划，分布列、均值与二项分布.6.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234.（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.6.解析 （2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+=== (0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ==+==1111111142424448=⨯+⨯=. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差1.（2013湖北理9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）.A ．125126 B ．56C ．125168D ．572．（2013广东理4则X A ．32B ．2C ．52D ．33.（2013江西理18）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X =就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队． (1) 求小波参加学校合唱团的概率；(2) 求X 的分布列和数学期望．4．(2013湖南理18）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.5. (2013重庆理18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. （1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()E X . 6. (2013全国新课标卷理19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x （单位：t ，100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （1）将T 表示为x 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)x ∈，则取105x =，且105x =的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望.7. (2013天津理16）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1， 2， 3， 4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1) 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率； (2) 再取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望．8.（2013山东理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立.（1）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分；对方得1分；求乙队得分X 的分布列及数学期望.10. (2013福建理16）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为52，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ,求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累 计得分的数学期望较大？11．（2013四川理18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生． （1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；开始结束（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （3）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．12. (2013陕西理19）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望. 13.（2013浙江理19）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分， 取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a14.（2014 浙江理 12）随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 15.（2014 浙江理 9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3m n 厖，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=； （b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则( ).A.()()1212,p p E E ξξ><B. ()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<16.（2014 陕西理 9）设样本数据1210,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则1210,,y y y 的均值和方差分别为（ ）.A. 1,4a +B. 1,4a a ++C. 1,4D. 1,4a + 17.（2014 重庆理 18）（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字 是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望（注：若三个数,,a b c满足a b c剟，则称b为这三个数的中位数）.18.（2014 辽宁理18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望()E X 及方差()D X.19.（2014 陕西理19）（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.20.（2014 四川理17）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 21.（2014 天津理16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的7个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）. （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 22.（2014 辽宁理 18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .日销售量/个23.（2014 江西理 21）（本小题满分14分）随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成,A B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记21a a ξ=-，21b b η=-.（1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率()P C ；（3）对（2）中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断()P C 和()P C 的大小关系，并说明理由. 24.（2014 江苏理 22）（本小题满分10 分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球, 这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球, 求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别记为1x ，2x ，3x ，随机变量X 表示1x ，2x ，3x 中的最大数． 求X 的概率分布和数学期望()E X ．25.（2014 湖南理 17）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. （1）求至少有一种新产品研发成功的概率;（2）若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.26.（2014 湖北理 20）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.日销售量/个(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？27.（2014 安徽理17）（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.28.（2014 北京理16）（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较EX与x的大小.（只需写出结论）29.（2014 大纲理20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.。

第十三章 概率与统计 第1节 概率及其计算2. (2013全国新课标卷理14）从n 个正整数12n ，，，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n = . 3.（2013江苏7）现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7m …，9n …）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 .5.（2014 江西理 12）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是 .6.（2014 江苏理 4 ）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ．7.（2014 广东理 11）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .8.（2014 新课标1理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）.A.18 B.38 C. 58 D.789.（2014 陕西理 6）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）.A.15 B. 25 C. 35 D. 4512.（2015广东理科4）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）. A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1 13. (2015北京理科16) A ，B 两组各由7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果25a =，求甲的康复事件比乙的康复时间长的概率； （3）当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）14.（2016江苏7）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 15.（2016上海理14）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，()11,0A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足i j OP OA OA ++=0，则点P 落在第一象限的概率是 ．16.（2017山东理18（1））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 和4名女志愿者1B ，2B ，3B ，4B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含1B 的概率.17．【2018年浙江卷】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时，A. D （ξ）减小B. D （ξ）增大C. D （ξ）先减小后增大D. D （ξ）先增大后减小18．【2018年理新课标I 卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A. p 1=p 2B. p 1=p 3C. p 2=p 3D. p 1=p 2+p 319．【2018年理新课标I 卷】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半20．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设位成员中使用移动支付的人数，，A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.321．【2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 8022．【2018年理数全国卷II 】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A.B. C. D.23．【2018年浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)24、【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 25【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.26．【2018年江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．27．【2018年江苏卷】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．28．【2018年理新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 题型141 几何概型1．（2013四川理9）节日 家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） A.14 B.12 C.34 D.782. (2013陕西理5）如图，在矩形区域ABCD 的AC ，两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）.A. π14-B. π12-C.2 D. π43. (2013福建理11）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为_________.4.（2013山东理14） 在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--…成立的概率为__________.5.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点()1,1A --，()1,1B -，()1,1C ，()1,1D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是 .6.（2014 福建理 14）如图所示，在边长为e （e 为自然对数的为 .7.（2015陕西理科11）设复数()1i z x y =-+(,)x y ∈R ，若1z …，则y x …的概率为（ ）．A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+ 8.（2015湖北理科7）在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +…”的概率，2p 为事件“1||2x y -…”的概率，3p 为事件“12xy …”的概率，则（ ）． A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<9.（2016全国乙理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）.A.13B.12C.23D.3410.（2016山东理14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件”直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 ．11.（2016全国甲理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ，2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）. A.4n m B.2n mC.4m nD.2mn12.（2017江苏07）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[]4,5-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．x2x13.（2017全国1卷理科2）如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）.A. 14B. π8C. 12D. π4第2节 随机变量及其分布题型142 条件概率及相互独立事件同时发生的概率1.（2014 新课标2理5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）.A.0.8B.0.75C.0.6D.0.452.（2015全国Ⅰ理科4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）. A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.3123.（2015江苏5）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．4.（2015陕西理科19）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：（1）求的分布列与数学期望；（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．5.（2015湖北理科20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率． 6.（2107天津理16（2））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 题型143 离散型随机变量的分布列及其数学期望与方差1.（2013湖北理9）如图，将一个各面都凃了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）.A ．125126 B ．56C ．125168 D ．572．（2013广东理4 则X 的数学期望（ ）.A．32 B ．2C ．52D ．33.（2013江西理18）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若0X =就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1) 求小波参加学校合唱团的概率； (2) 求X 的分布列和数学期望．6A4．(2013湖南理18）某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y （单位：kg ）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.5. (2013重庆理18）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； （2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望()EX .6. (2013全国新课标卷理19）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以x （单位：t ，100150x ≤≤）表示市场需求量，T 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （1）将T 表示为x 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)x ∈，则取105x =，且105x =的概率等于需求量落入[100,110)的T 的数学期望.7. (2013天津理16）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2， 3， 4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1) 求取出的4张卡片中， 含有编号为3的卡片的概率； (2) 再取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X， 求随机变量X的分布列和数学开始期望．8.（2013山东理19）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立.（1）分别求甲队以3:0，，胜利的概率；（2）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分；对方得1分；求乙队得分X的分布列及数学期望.9. （2013辽宁理19）10. (2013福建理16）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为32，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为52，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ,求3≤X 的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累 计得分的数学期望较大？ 11．（2013四川理18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =；（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（3）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．12. (2013陕西理19）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； （2）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望.13.（2013浙江理19）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分， 取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a14.（2014 浙江理 12）随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________.15.（2014 浙江理 9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3m n 厖，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则( ).A.()()1212,p p E E ξξ><B. ()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<16.（2014 陕西理 9）设样本数据1210,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若i i y x a =+（a 为非零常数， 1,2,,10i =），则1210,,y y y 的均值和方差分别为（ ）.A.1,4a + B. 1,4a a ++ C. 1,4 D. 1,4a +17.（2014 重庆理 18）（本小题满分13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片. （1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率; （2）X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望（注：若三个数,,a b c满足a b c 剟，则称b 为这三个数的中位数）.18.（2014 辽宁理 18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X.19.（2014 陕西理 19）（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.20.（2014 四川理17）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）.设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.21.（2014 天津理16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学. 在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的7个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.22.（2014 辽宁理18）（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望()E X及方差()D X.23.（2014 江西理21）（本小题满分14分）随机将()1,2,,2,2n n n*⋅⋅⋅∈N…这2n个连续正整数分成,A B两组，每组n个数，A组最小数为1a，最大数为2a；B组最小数为1b，最大数为2b，记21a aξ=-，21b bη=-. （1）当3n=时，求ξ的分布列和数学期望；（2）令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率()P C；（3）对（2）中的事件C，C表示C的对立事件，判断()P C和()P C的大小关系，并说明理由.24.（2014 江苏理22）（本小题满分10 分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球, 这些球除颜色外完全相同．日销售量/个（1）从盒中一次随机取出2个球, 求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球, 其中红球、黄球、绿球的个数分别记为1x，2x，3x，随机变量X表示1x，2x，3x中的最大数．求X的概率分布和数学期望()E X．25.（2014 湖南理17）某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲,乙两组的研发是相互独立的.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率;（2）若新产品A研发成功,预计企业可获得120万元；若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.26.（2014 湖北理20）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？27.（2014 安徽理17）（本小题满分12分）甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）. 28.（2014 北京理16）（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较EX与x的大小.（只需写出结论）（2014 大纲理20）（本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.30.（2014 福建理18）（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.31.（2015福建理科16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．32.（2015重庆理科17）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.33. (2015安徽理科17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.34.（2015山东理科19）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137359567，，等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1 分；若能被10整除，得1分.（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX.35.（2015四川理科17）某市,A B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X标识参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望.36.（2015天津理科17）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.37.（2015湖南理科18）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；。

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于 （ ）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙， 则 x 甲______x 乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。

4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是 （ ）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为 （ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。