上海各区一模压轴题数学

专题2020分类汇编-23题专题一相似三角形之等量代换【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB 的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．（1）求证：AB•AD＝DF•BC；（2）如果AE∥BC，求证：BD DF DC FE．3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，点E在线段OB上，AE的延长线与BC相交于点F，OD2＝OB•OE．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果BC＝BD，AE•AF＝AD•BF，求证：△ABE∽△ACD．5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．（1）求证：AC BD AB AD；（2）求证：AC2＝2AE•AD．7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD ADDE DC=，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE ∥BC，∠ABE＝∠C．（1）求证：BE2＝DE•BC；（2）当BE平分∠ABC时，求证：BD AE BE AB=．专题二相似三角形之面积比【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB 的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果CF ACDE CD=，求证：22AC AFBC BF=．2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，S△AOD=S△BOC·(1)求证：DO CO OB OA=；(2)设ΔOAB的面积为S，CDAB=k，求证：S四边形ABCD=(k+1)2S.专题三相似三角形综合题【知识梳理】【历年真题】1．（2019秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．（1）求证：BD2＝DE•AD；（2）如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．2．（2019秋•闵行区期末）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE 于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．3．（2019秋•崇明区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，E是AD边上一点，连接BE，过点D作DF⊥BE，垂足为F，且AE•DF＝EF•CD，联结AF、CF，CF与边AD交于点O．求证：（1）∠EAF＝∠DCF；（2）AF•BD＝AC•DF．4．（2019秋•松江区期末）已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．（1）求证：EF∥BD；（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．5．（2019秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．（1）求证：FH•AC＝HG•AB；（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．专题2020分类汇编-23题专题一相似三角形之等量代换【历年真题】1．（2019秋•奉贤区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CB的延长线上，联结CE、EF，CE2＝DE•CF．（1）求证：∠D＝∠CEF；（2）联结AC，交EF于点G，如果AC平分∠ECF，求证：AC•AE＝CB•CG．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题；多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）根据CE2＝DE•CF且∠DEC＝∠ECF可证明△CDE∽△CEF，即可得结论；（2）根据AC平分∠ECF，AD∥BC，可得∠EAC＝∠ECA，进而得E＝EC，再证明△CGE∽△CAB，对应边成比例即可．【解答】（1）证明：∵CE2＝DE•CF，即CE CF DE CE=∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEC＝∠ECF，∴△CDE∽△CEF，∴∠D＝∠CEF．（2）如图所示：∵AC平分∠ECF，∴∠ECA＝∠BCA，∵∠D＝∠CEF，∠D＝∠B，∴∠CEF＝∠B，∴△CGE∽△CAB，∴CG CE AC CB=，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠ECA＝∠DAC，∴AE＝CE，∴CG AEAC CB=，即AC•AE＝CB•CG．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．2（2019秋•浦东新区期末）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．（1）求证：AB•AD＝DF•BC；（2）如果AE∥BC，求证：BD DF DC FE=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，由已知∠ADE＝∠B，证明△ABC∽△FDA，得出AB BC DF AD=，即可得出结论；（2）由三角形的外角性质得出∠CDF＝∠BAD，由平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，证出∠BAD＝∠E，证明△ABD∽△EDA，得出BD ADAD AE=，证出∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，求出ADF DF=AEFADEF AE=△的面积△的面积，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABC∽△FDA，∴AB BC DF AD=，∴AB•AD＝DF•BC；（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠CDF＝∠BAD，∵AE∥BC，∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，∴∠BAD＝∠E，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BD AD AD AE=，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FN，∵1ADF DF2=1AEF2AD FM ADEF AEAE FN⨯==⨯△的面积△的面积，∴BD DF DC FE=．方法二：∵∠B＝∠ADE，∠BAD＝∠CDF＝∠E，∴△ABD∽△EDA，∴AD BD AE AD=，∵DA＝DC，∴BD AD CDCD AE AE==①，又∵AE∥BC，∴△DFC∽△EFA，∴CD DFAE FE=②，由①②得：BD DF DC FE=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．3．（2019秋•长宁区、金山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．（1）求证：∠AFD＝∠AEC；（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ，∴BD GC GC DC CE CF==，∴CD •CG ＝FC •BD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．4．（2019秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2＝OB •OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC ＝BD ，AE •AF ＝AD •BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的判定与性质；梯形．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；梯形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由已知得出OE OD OD OB =，由平行线得出△AOD ∽△COB ，得出OA OD OC OB =，证出OA OE OC OD=，得出AF ∥CD ，即可得出结论；（2）由平行线得出∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，得出BE BF BD BC =，证出∠AEB ＝∠ADC ．由已知得出AE AD BF AF =，由平行四边形的性质得出AF ＝CD ，得出AE AD BE DC=，由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵OD 2＝OE •OB ，∴OE OD OD OB=，∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴OA OD OC OB =∴OA OE OC OD=∴AF ∥CD ，∴四边形AFCD 是平行四边形；（2）证明：∵AF ∥CD ，∴∠AED ＝∠BDC ，△BEF ∽△BDC ，∴BE BF BD BC =，∵BC ＝BD ，∴BE ＝BF ，∠BDC ＝∠BCD ，∴∠AED ＝∠BCD ．∵∠AEB ＝180°﹣∠AED ，∠ADC ＝180°﹣∠BCD ，∴∠AEB ＝∠ADC ．∵AE •AF ＝AD •BF ，∴AE AD BF AF=，∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF ＝CD ，∴AE AD BE DC =，∴△ABE∽△ADC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键．5．（2019秋•青浦区期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD ＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得CA CDCB CG=，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得DG CGAB CB=，由平行线分线段成比例可得AE AGCB GC=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴AF EFFG AF=，且∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴CA CDCB CG=，且∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴DG CGAB CB=，∵AE∥BC，∴AE AGCB GC=∴AG GCAE BC=，∴DG AGAB AE=，∴DG•AE＝AB•AG．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2019秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的中线，∠DAC＝∠B，点E在边AD上，CE＝CD．（1）求证：AC BD AB AD=；（2）求证：AC2＝2AE•AD．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质，由CD＝CE得到∠CED＝∠EDC，则可根据等角的补角相等得到∠AEC＝∠ADB，加上∠DAC＝∠B，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ACE∽△BAD．（2）由∠DAC＝∠B及公共角相等证明△ACD∽△BCA，利用相似比即可得到结论．【解答】（1）证明：∵CD＝CE，∴∠CED＝∠EDC，∵∠AEC+∠CED＝180°，∠ADB+∠EDC＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠DAC＝∠B，∴△ACE∽△BAD；∴AC CE AB AD=，∵BD＝CD＝CE，∴AC BD AB AD=；（2）∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴AC CBCD CA=，∴AC2＝CD•CB，∵△ACE∽△BAD，∴AE CEBD AD=，∴AE•AD＝BD•CE，∴2AE•AD＝2BD•CE＝BC•CD，∴AC2＝2AE•AD．7．（2019秋•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BD ADDE DC=，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；（2）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DF CFCF EF=，可得结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵BD ADDE DC=，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；（2）如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF，由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴DF CFCF EF=，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△DCF∽△CEF 是本题的关键．8．（2019秋•嘉定区期末）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ABE＝∠C．（1）求证：BE2＝DE•BC；（2）当BE平分∠ABC时，求证：BD AE BE AB=．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）证明△BDE∽△CEB，推出DE BEBE BC=可得结论．（2）利用相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，∴∠BED＝∠CBE，又∵∠ABE＝∠C，∴△BDE∽△CEB，∴DE BE BE BC=，∴BE2＝DE•BC．（2）∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C．又∠ABE＝∠C，∴∠AED＝∠ABE，又∵∠EAD＝∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴AE AD AB AE=，∵DE∥BC，∴AD AEBD CE=，即AD BEAE CE=，∴AE BDAB CE=，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵∠ABE＝∠C，∴∠CBE＝∠C，∴BE＝CE，∴BD AE BE AB=．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．专题二相似三角形之面积比【历年真题】1．（2019秋•黄浦区期末）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD •DE ＝AB •BF ；（2）联结AC ，如果CF AC DE CD=，求证：22AC AF BC BF =．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】（1）证明想办法证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题．（2）由△ACF ∽△CDE ，△CDE ∽△CBF ，推出△ACF ∽△CBF ，可得2ACF 2CBF S AC S BC =△△，又△ACF 与△CBF 等高，推出ACF CBF S AF S BF =△△，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE ＝∠DAB ，∠CBF ＝∠DAB ，∴∠CDE ＝∠CBF ，∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ，∴∠CED ＝∠CFB ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴BC CD BF DE=，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ，CD ＝AB ，∴AD AB BF DE =，∴AD •DE ＝AB •BF ．（2）连接AC ．∵CF AC DE CD =，∴CF DE AC CD=，设1CF DE AC CD k==，∴AC ＝kCF ，CD ＝kDE ，∴AF＝•CF ，CE＝•DE ，∴AF CF AC CE DE CD==，∴△ACF ∽△CDE ，又∵△CDE ∽△CBF ，∴△ACF ∽△CBF ，∴2ACF 2CBF S AC S BC=△△，∵△ACF 与△CBF 等高，∴ACF CBF S AF S BF=△△，∴22AC AF BC BF =．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．(2019秋•黄浦区期末)已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，S △AOD =S △BOC ·(1)求证：DO CO OB OA=；(2)设ΔOAB 的面积为S，CD AB =k，求证：S 四边形ABCD =(k+1)2S.【考点】相似三角形的判定与性质，等线段替换法【专题】图形的相似；推理能力.【分析】(1)由S △AOD =S △BOC 易得S △ADB =S △ACB ，根据三角形面积公式得到点D 和点C 到AB 的距离相等，则CD//AB，于是可判断△DOC∽△BOA，然后利用相似比即可得到结论；(2)利用相似三角形的性质可得结论.【解答】证明：(1)S △AOD =S △BOC ，∴S △AOD +S △AOB =S △BOC +S △AOB ，即=S △ACB ∴CD//A B,∴△DOC ∽△BOA ，DO CO OB OA =(2)∵△DOC ∽△BOA ∴CD DO CO k AB BO AO ===，22COD AOB S DO k S BO==△△（∴DO=kOB ，CO=kAO ，S △ACB =k 2S ，∴S △AOD =kS △AOD =kS ，S △co B =kS △o AB =kS ，∴S 四边形ABCD =S+kS+kS+k 2S=(k+1)2S.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,证明△DOC ∽△BOA 是本题的关键。

专题12二次函数综合题（解答题24题，压轴题）一、解答题1．（2024·上海长宁·统考一模）已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x =--经过点A 与点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF ⊥时，求PDF ∠的正切值；②如果:3:5PD DE =，求点P 的坐标．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形1111D C B A 和四边形22A B 形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的3．（2024·上海徐汇·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限的点M 在抛物线()20y ax a =>上，点M 到两坐标轴的距离都是2．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线()20y ax a =>先向右平移32个单位，再向下平移()0k k >个单位后，所得新抛物线与x 轴交于点(,0)A m 和点(,0)B n ，已知m n <，且4mn =-，与y 轴负半轴交于点C ．①求k 的值；②设直线43y x =-与上述新抛物线的对称轴的交点为D ，点P 是直线43y x =-上位于点D 下方的一点，分别连接CD 、CP ，如果3tan 4PCD ∠=，求点P 的坐标．4．（2024·上海嘉定·统考一模）定义：对于抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠），若2b ac =，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线22y x x k =-+是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D ．(1)求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；(2)点()2,B b 在这个黄金抛物线上．①点1,2C c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在这个黄金抛物线的对称轴上，求OBC ∠的正弦值．②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 所组成的三角形与AOD △相似，且相似比不为1．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024·上海静安·统考一模）在平面直角坐标系322,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在同一个二次函数的图像上．(2)如果射线BE 平分ABC ∠，交①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段②如果点P 在射线BE 上，当PBC7．（2024·上海浦东新·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c =-++过点(2,2)A 、点(0,2)B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．(1)求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；(2)点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；(3)将抛物线M 向下平移(0)t t >个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135︒得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．8．（2024·上海崇明·统考一模）已知在直角坐标平面xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()()()103003A B C -，、，、，三点．(1)求该抛物线的表达式；(2)点D 是点C 关于抛物线对称轴对称的点，连接AD BD 、，将抛物线向下平移()0m m >个单位后，点D 落在点E 处，过B 、E 两点的直线与线段AD 交于点F ．①如果2m =，求tan DBF ∠的值；②如果BDF V 与ABD △相似，求m 的值．9．（2024·上海青浦·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =++过点()1,2A 和点()2,1B ，与y 轴交于点C ．(1)求a 、b 的值和点C 的坐标；(2)点P 为抛物线上一点（不与点A 重合），当PCB ACB ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线CA 上，设平移后的抛物线的顶点为点D ，当CDP △与CAP 相似时，求平移后的抛物线的表达式．10．（2024·上海松江·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>的图像经过原点(0,0)O 、点(1,3)A a ，此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．(1)求抛物线的对称轴；(2)如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且ADC ∠的正切值为2，求a 的值；(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结PA ，如果点P 在y 轴上，PA x ∥轴，且EPA CBO ∠=∠，求新抛物线的表达式．11．（2024·上海奉贤·统考一模）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线x m =对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线x m =的镜像抛物线．(1)如图，已知抛物线22y x x =-顶点为A ．①求该抛物线关于y 轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线x m =的镜像抛物线的顶点为B ，如果1tan 4OBA ∠=（OBA ∠是锐角），求m 的值．(2)已知抛物线()2104y x bx c b =++>的顶点为C ，它的一条镜像抛物线的顶点为D ，这两条抛物线的交点为()21E ，．如果CDE 是直角三角形，求该抛物线的表达式．12．（2024·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a =--≠与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且4AB =．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果45PAC ∠=︒，求点P 的坐标；(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果1tan 2PEF ∠=，求平移后抛物线的表达式．13．（2024·上海虹口·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线22y x x m =++经过点()3,0A -，与y 轴交于点C ，连接AC 交该抛物线的对称轴于点E ．(1)求m 的值和点E 的坐标；(2)点M 是抛物线的对称轴上一点且在直线AC 的上方．①连接AM 、CM ，如果AME MCA ∠=∠，求点M 的坐标；②点N 是抛物线上一点，连接MN ，当直线AC 垂直平分MN 时，求点N 的坐标．14．（2024·上海黄浦·统考一模）如图，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A B 、．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c =++经过点A B 、，其与x 轴的另一交点为C ．(1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线平移,使其顶点在线段AB 上点P 处，得到新抛物线L ，其与直线3y x =-+的另一个交点为Q ．①如果抛物线L 经过点A ，且与x 轴的另一交点为D ，求线段CD 的长；②试问：CPQ 的面积是否随点P 在线段AB 上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出CPQ 面积．15．（2024·上海金山·统考一模）已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C -．(1)求抛物线的表达式和顶点P 的坐标；(2)点D 在抛物线对称轴上，90PAD ∠=︒，求点D 的坐标；(3)抛物线的对称轴和x 轴相交于点M ，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为点Q ，QB QM =，QO 的延长线交原抛物线为E ，QO OE =，求新抛物线的表达式．16．（2024·上海闵行·统考一模）如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（0，6）．抛物线C 1：y ＝﹣ax 2+2x 上有一点P ，以点P 为顶点的抛物线C 2经过点B （点P 与点B 不重合），抛物线C 1和C 2形状相同，开口方向相反．（1）当抛物线C 1经过点A 时，求抛物线C 1的表达式；（2）求抛物线C 2的对称轴；（3）当a ＜0时，设抛物线C 1的顶点为Q ，抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为F ，联结PQ 、QO 、FQ ，求证：QO 平分∠PQF ．。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题10 二次函数综合一．解答题（共15小题）1．（静安区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．（1）求直线AB的表达式；（2）求tan∠ABD的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．【解答】解：（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）设直线BD的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，则x＝，∴P（，0），设C（t，0），如图1，当∠ABC＝∠APB时，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP过B点作BQ⊥x轴交于点Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，此时C（，0）；综上所述：C点坐标为（﹣10，0）或（，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．2．（青浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法可求出抛物线的解析式，当x＝0时，可求出点C的坐标；（2）证出∠BCD＝90°．由锐角三角函数的定义可得出答案；（3）证出∠ACB＝∠DBO．分两种情况，由相似三角形的判定与性质可得出BP的长，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．当x＝0时，y＝﹣3．∴点C的坐标为（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点D的坐标为（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．（i）当时，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）当时，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．综上，点P的坐标为（﹣3，0）或（﹣，0）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（嘉定区）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．【分析】（1）求出C，A，B三点的坐标，由待定系数法得出方程组，解方程组可得出答案；（2）根据相似三角形的判定分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得出答案；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，求出直线AM的解析式，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），由等腰直角三角形的性质求出CH 和MH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与y轴相交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣2），∵BC∥x轴，∴点B的纵坐标是﹣2，∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2，∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2），∵这个二次函数的图象也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解这个方程组，得a＝，b＝1，∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2；（2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图象的对称轴是直线x＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC∥x轴，∴∠OBD＝∠BOE，∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种：①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去，②当时，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又点E在x轴的负半轴上，∴点E的坐标为（﹣10，0）；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3），设直线AM的解析式为y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直线AM的解析式为y＝x﹣1，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵点C的坐标为（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．4．（普陀区）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝﹣x+1交于点A（m，0），B（﹣3，n），与y轴交于点C，联结AC．（1）求m、n的值和抛物线的表达式；（2）点D在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当∠ACD＝90°时，求点D的坐标；（3）将△AOC平移，平移后点A仍在抛物线上，记作点P，此时点C恰好落在直线AB上，求点P 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求出A，B两点坐标即可解决问题．（2）过点D作DH⊥y轴于点H，由直角三角形的性质得出tan∠ACO＝tan∠CDH，则，可列出方程求出CH的长，则可得出答案；（3）设P（t，），得出N（t﹣3，），由点N在直线AB上可得出t 的值，则可得出答案．【解答】解：（1）将A（m，0）代入y＝﹣x+1，解得m＝3，∴A（3，0），将B（﹣3，n）代入y＝﹣x+1，解得n＝2，∴B（﹣3，﹣2），把A（3，0），B（﹣3，2）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）如图1，过点D作DH⊥y轴于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∴DH＝，∵∠ACD＝90°，∴∠ACO+∠DCH＝90°，又∵∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠ACO＝∠CDH，∴tan∠ACO＝tan∠CDH，∴，由（1）可知OA＝3，OC＝2，∴，∴CH＝，∴D（，﹣）；（3）如图2，若平移后的三角形为△PMN，则MN＝OC＝2，PM＝OA＝3，设P（t，t﹣2），∴N（t﹣3，t﹣2﹣2），∵点N在直线y＝﹣x+1上，∴（t﹣3）+1，∴t＝3或t＝﹣3，∴P（3，4﹣）或P（﹣3，4+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数构建方程确定点的坐标．5．（松江区）如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当＝时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）证明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性质得出∠DAE＝∠DBC，证出AE∥BC，得出C点的纵坐标为2，则可求出答案；（3）设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，则，解方程求出t的值，则可求出答案．【解答】解：（1）由y＝﹣x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝3，∴A（3，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；（2）①如图1，∵DE∥OB，∴，∵，∴，又∵∠ADE＝∠BDC，∴△ADE∽△BDC，∴∠DAE＝∠DBC，∴AE∥BC，∴C点的纵坐标为2，∴2＝﹣x2+x+2，∴x＝0或x＝2，∴C（2，2），∴t＝2；②如图2，设C（t，﹣t+2），过点B作BH⊥CE于点H，∵∠BCH＝∠ACE，∴tan∠BCH＝tan∠ACE，∴，∴，∴t＝，∴C（，），∴S△ACB＝S△ACE+S梯形BOCE﹣S△ABO＝﹣＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．6．（金山区）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1）和B（1，4），顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）求∠PAQ的度数；（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ＝CP，求平移后的抛物线解析式．【分析】（1）先将点A和点B代入抛物线解析式，求得b与c的值，然后得到抛物线的解析式；（2）先求得顶点P的坐标，然后求得点Q的坐标，最后得到∠PAQ的度数；（3）分情况讨论，①向上平移，②向下平移，然后利用两点间的距离公式求得PC和BQ的长度，然后列出方程求得平移的距离，最后求得到平移后的解析式．【解答】解：（1）将点A（0，1）和点B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+1．（2）∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，∴顶点P的坐标是（2，5），对称轴为直线x＝2，∴点Q的坐标为（2，0），∵A（0，1），∴，，PQ＝5，∴PA2+QA2＝PQ2，∴∠PAQ＝90°．（3）∵B（1，4），Q（2，0），∴BQ＝，①当点B向上平移a个单位时，C′（1，4+a），∵P（2，5），∴PC′＝＝，解得：a＝5或a＝﹣3（舍），∴抛物线向上平移5个单位，∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6；②当点B向下平移a个单位时，C′′（1，4﹣a），∵P（2，5），∴PC′′＝＝，解得：a＝3或a＝﹣5（舍），∴抛物线向下平移3个单位，∴平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x﹣2；综上所述，平移后的抛物线解析式是y＝﹣x2+4x+6或y＝﹣x2+4x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的解析式、抛物线的顶点式、勾股定理，解题的关键是会用两点间的距离公式求得线段BQ和CP的长度．7．（崇明区）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．【分析】（1）把点A和点B的坐标代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；再将抛物线解析式化为顶点式即可；（2）分析可知，OB∥PN，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则有BO＝PN，表达点P和点N的坐标，求出PN的长，建立等式求解即可；（3）根据题意画出图形，可得到∠AMP＝90°，且∠APM＝∠BPN，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，只需∠ABN＝90°或∠BNP＝90°，画出图形求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），∴，解得，∴抛物线y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣）2+；∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，）．（2）设直线A（4，0），B（0，3）的解析式为y＝ax+d，∴，解得，∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3；∵点M（m，0）为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN∥y轴，即PN∥OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN＝OB，∴﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝3，解得m＝2；即当m＝2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）由（2）可知直线解析式为y＝﹣x+3，P（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），∴PM＝﹣m+3，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为3，∴﹣m2+m+3＝3，解得m＝0（舍去）或m＝3，∴M（3，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+3﹣3＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知，当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（3，0）或（，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质，平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键（1）得到OB∥PN；（2）得到∠AMP＝90°，且∠APM＝∠BPN．8．（徐汇区）如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线AB于点D，交该抛物线于点E．（1）求直线AB的表达式，直接写出顶点M的坐标；（2）当以B，E，D为顶点的三角形与△CDA相似时，求点C的坐标；（3）当∠BED＝2∠OAB时，求△BDE与△CDA的面积之比．【分析】（1）求出A、B点的坐标，用待定系数法求直线AB的解析式即可；（2）由题意可知△BED是直角三角形，设C（t，0），分两种情况讨论①当∠BED＝90°，时，BE∥AC，此时E（t，2），由此可求t＝；②当∠EBD＝90°时，过点E作EQ⊥y轴交于点Q，可证明△ABO∽△BEQ，则＝，可求E（t，2+t），再由E点在抛物线上，则可求t ＝，进而求C点坐标；（3）作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，则有∠BQO＝∠BED，在Rt△BOQ中，BQ2＝4+（3﹣BQ）2，求出BQ＝，QO＝，则tan∠BQO＝tan∠BEG＝，设C （t，0），则D（t，﹣t+2），E（t，﹣t2+t+2），则有＝，求出t ＝，即可求＝＝．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，∴x＝﹣或x＝3，∴A（3，0），令x＝0，则y＝2，∴B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴M（，）；（2）∵∠ADC＝∠BDE，∠ACD＝90°，∴△BED是直角三角形，设C（t，0），①如图1，当∠BED＝90°，时，BE∥AC，∴E（t，2），∴﹣t2+t+2＝2，∴t＝0（舍）或t＝，∴C（，0）；②如图2，当∠EBD＝90°时，过点E作EQ⊥y轴交于点Q，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠ABO+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠BAO，∴△ABO∽△BEQ，∴＝，即＝，∴BQ＝t，∴E（t，2+t），∴2+t＝﹣t2+t+2，∴t＝0（舍）或t＝，∴C（，0）；综上所述：C点的坐标为（，0）或（，0）；（3）如图3，作BA的垂直平分线交x轴于点Q，连接BQ，过点B作BG⊥EC于点G，∴BQ＝AQ，∴∠BQA＝∠QAB，∵∠BED＝2∠OAB，∴∠BQO＝∠BED，在Rt△BOQ中，BQ2＝BO2+OQ2，∴BQ2＝4+（3﹣BQ）2，∴BQ＝，∴QO＝，∴tan∠BQO＝，∴tan∠BEG＝，设C（t，0），则D（t，﹣t+2），E（t，﹣t2+t+2），∵BG＝t，DE＝﹣t2+4t，AC＝3﹣t，DC＝﹣t+2，EG＝﹣t2+t，∴＝，∴t＝，∴S△BDE＝ED•BG，S△CDA＝AC•CD，∴＝＝＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质与判定，分类讨论，数形结合是解题的关键．9．（宝山区）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC＝45°，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）先判断△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中求tan∠CBD＝＝，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝，可得∠ACO＝∠CBD，即可证明△ACO∽△DBC；（3）设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于F，则EF＝AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝＝，设EF＝x，则CF＝3x，AF＝x，则AC＝4x＝，求得x＝，则可求CE＝x＝，EO＝，所以E（0，），即可求出直线AE的解析式为y＝x+，联立，可求P（，）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）相似，理由如下：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D（1，4），∴BC＝3，CD＝，BD＝2，∴BD2＝CD2+BC2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝，∵OC＝3，OA＝1，∴tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD，∴△ACO∽△DBC；（3）存在，理由如下：设AP与y轴交于点E，过E点作EF⊥AC交于F，∵∠CAP＝45°，∴EF＝AF，在Rt△ACO中，tan∠ACO＝，∴＝，设EF＝x，则CF＝3x，AF＝x，∴AC＝4x，∵AO＝1，CO＝3，∴AC＝，∴4x＝，∴x＝，∴CE＝x＝，∴EO＝3﹣＝，∴E（0，），设直线AE的解析式为y＝kx+t，∴，∴，∴y＝x+，联立，解得x＝﹣1（舍）或x＝，∴P（，）．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，直角三角形三角函数的应用是解题的关键．10．（杨浦区）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），点P是该抛物线在第一象限内一点，联结AP、BC，AP与线段BC相交于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC交于点E，如果点F与点E重合，求点P的坐标；（3）过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与线段BC交于点H，如果PF＝PH，求线段PH的长度．【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）分别求出B（4，0）和直线BC的解析式为y＝﹣x+2，可得E（，），再求直线AE的解析式为y＝x+，联立，即可求点P（3，2）；（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），则PH＝﹣t2+2t，用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝x+，联立，可求出F（，），直线AP与y轴交点Q（0，），则CQ＝，再由PF＝PH，可得CQ＝QF，则有方程（）2＝（）2+（﹣）2，求出t＝，即可求PH＝﹣t2+2t＝．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，∴，∴，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵y＝﹣x2+x+2，∴对称轴为直线x＝，令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或x＝4，∴B（4，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴y＝﹣x+2，∴E（，），设直线AE的解析式为y＝k'x+n，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝3或x＝﹣1（不符合题意，舍去），∴P（3，2）；（3）设P（t，﹣t2+t+2），则H（t，﹣t+2），∴PH＝﹣t2+2t，设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝x+，联立，∴x＝，∴F（，），直线AP与y轴交点Q（0，），∴CQ＝2﹣＝，∵PF＝PH，∴∠PFH＝∠PHF，∵PG∥y轴，∴∠QCF＝∠PHF，∵∠CFQ＝∠PFH，∴∠CQF＝∠CFQ，∴CQ＝QF，∴（）2＝（）2+（﹣）2，∴（4﹣t）2+4＝（5﹣t）2，∴t＝，∴PH＝﹣t2+2t＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数的交点坐标，本题计算量较大，准确地计算是解题的关键．11．（2021秋•虹口区期末）已知开口向上的抛物线y＝ax2﹣4ax+3与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．（1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；（2）当∠ABC＝90°时，求抛物线y＝ax2﹣4ax+3的表达式；（3）当∠ABC＝2∠BCD时，求OD的长．【分析】（1）由函数的对称轴为直线x＝2，结合函数的对称性即可求点的坐标；（2）过点B作BG⊥y轴交于点G，则可知AG＝BG＝2，从而求出B（2，1），可求a的值；（3）过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，求出tan∠AOC＝tan∠HNB＝，设HB＝4x，则HN＝3x，再求出tan∠HCB＝，根据∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，可得＝，即可求a＝1，再由△AOD∽△BND，得到等式＝，从而求出OD＝．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，∴A（0，3），∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2+3﹣4a，∴对称轴为直线x＝2，∵点A与点C关于对称轴对称，∴C（4，3），∴B（2，3﹣4a）；（2）如图1，过点B作BG⊥y轴交于点G，∵∠ABC＝90°，∴∠OAB＝45°，∴AG＝BG＝2，∴B（2，1），∴3﹣4a＝1，∴a＝，∴y＝x2﹣2x+3；（3）如图2，过点B作BH⊥OC交于点H，连接AC，∵∠ABC＝2∠BCD，∴∠NBC＝∠CNB，∴∠ONB＝2∠OCB，∵NB∥y轴，∴∠AOC＝∠ONB，∵AC＝4，AO＝3，∴tan∠AOC＝，∴tan∠HNB＝，设HB＝4x，则HN＝3x，∴NB＝5x，∴NB＝CN＝5x，∴CH＝8x，∴tan∠HCB＝，∵∠OCB＝∠NBC＝∠ABN，∴＝，∴a＝1，∴y＝x2﹣4x+3，∴B（2，﹣1），∵N是OC的中点，∴N（2，），∴BN＝，ON＝，∵AO∥BN，∴△AOD∽△BND，∴＝，即＝，∴OD＝．【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用等腰三角形，直角三角形的性质，直角三角形三角形函数值求解是关键．12．（奉贤区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求该抛物线的表达式的顶点D的坐标；（2）将抛物线沿y轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为M，点C的对应点为E．①如果点M落在线段BC上，求∠DBE的度数；②设直线ME与x轴正半轴交于点P，与线段BC交于点Q，当PE＝2PQ时，求平移后新抛物线的表达式．【分析】（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程即可；（2）①设直线x＝1交x轴于G，由题意可知将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），再利用勾股定理的逆定理说明△BDE是等腰直角三角形，从而得出答案；②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，利用平行线分线段成比例可知OP＝2PH，求出点M的坐标，从而解决问题．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）；（2）①设直线x＝1交x轴于G，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴GM＝GB＝2，∴DM＝DG﹣GM＝2，∴将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴向下平移2个单位时，点M落在BC上，此时E（0，1），∵D（1，4），E（0，1），B（3，0），∴DE2＝10，BE2＝10，BD2＝20，∴DE2+BE2＝BD2，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°；②当点P在x轴正半轴时，则点M在x轴下方，如图，作QH⊥x轴于H，由C（0，3），D（1，4）可知，直线CD与x轴夹角为45°，∴平移后∠QPB＝45°，∴PH＝BH，∵OE∥QH，PE＝2PQ，∴OP＝2PH，∴4BH＝3，∴BH＝∴OP＝2BH＝，∴GM＝GP＝，∴M（1，﹣），∴平移后抛物线为y＝﹣（x﹣1）2﹣．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，配方法求顶点式，抛物线的平移，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意求出平移的距离是解题的关键．13．（黄浦区）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A （﹣1.0）、B两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与BC交于点D，与x轴交于点E．（1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）如果MD＝，求抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC的下方，∠CFB＝∠BCO，求点F的坐标．【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；（2）先求出点M，点D坐标，由MD＝可列等式，可求a的值，即可求解；（3）通过证明△AOC∽△COB，可得∠CAO＝∠BCO，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），∴抛物线的的对称轴是直线x＝﹣＝，∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A（﹣1.0）、B两点，∴点B（4，0）；（2）当x＝时，y＝a﹣a﹣4a＝﹣a，∴点M（，﹣a），∵抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0），与y轴交于点C，∴点C（0，﹣4a），又∵点B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝ax﹣4a，当x＝时，y＝a﹣4a＝﹣a，∴点D（，﹣a），∵MD＝，∴＝﹣a+a，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（3）如图，∵点B（4，0），点A（﹣1.0），点C（0，2），∴OA＝1，OC＝2，OB＝4，AB＝5，∴，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠CAO＝∠BCO，∵∠CFB＝∠BCO，∴∠CAO＝∠CFB，∴点A，点C，点B，点F四点共圆，∵∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠BCO+∠ACO＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB是直径，∴点E是圆心，∴EF＝AE＝BE＝，∴点F（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．14．（浦东新区）已知，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交点C．（1）求二次函数解析式；（2）设点E（t，0）为x轴上一点，且AE＝CE，求t的值；（3）若点P是直线BC上方抛物线上一动点，联结BC，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q，求线段PQ 的最大值及此时点P的坐标．【分析】（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得方程组，解方程组即可得到结论；（2）解方程得到C点的坐标为（0，3），根据勾股定理得到CE＝＝，AE ＝|t+1|，于是得到t＝4；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b得求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过P作PH∥y轴，交BC于点H，得到C（0，3），而B（3，0），推出△BOC是等腰直角三角形，直线BC解析式为y＝﹣x+3，得到∠BCO＝45°，根据平行线的性质得到∠PHQ＝45°，推出△PHQ是等腰直角三角形，设点P（p，﹣p2+2p+3），H（p，﹣p+3），求得PH ＝（﹣p2+2p+3）﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p＝（p﹣）2+，当且仅当p＝时，PH的最大值是，即可得到结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，∴C点的坐标为（0，3），∴CE＝＝，AE＝|t+1|，∵AE＝CE，∴＝|t+1|，解得：t＝4；（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+b得，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过P作PH∥y轴，交BC于点H，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），而B（3，0），∴△BOC是等腰直角三角形，直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴∠BCO＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHQ＝45°，∵PQ⊥BC，∴△PHQ是等腰直角三角形，设点P（p，﹣p2+2p+3），H（p，﹣p+3），则PH＝（﹣p2+2p+3）﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p＝（p﹣）2+，当且仅当p＝时，PH的最大值是，PQ＝PH＝，当p＝时，﹣p2+2p+3＝，当点P（，）时，PQ的最大值是．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线等知识，证明NF∥x轴是解本题的关键．15．（长宁区）抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C （0，3），其顶点D的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ACB的正切值；（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．【分析】（1）根据对称轴公式：x＝﹣可得对称轴是：x＝﹣1，得D（﹣1，4），根据顶点式可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入可得结论；（2）如图1，构建直角三角形，计算AM和CM的长，根据正切的定义可得结论；（3）根据正切相等可得∠ACB＝∠DAB，所以得AC＝AF，根据两点的距离公式列方程可得结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，∴对称轴是：x＝﹣＝﹣1，∴顶点D的坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AM⊥BC于M，当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝3+1＝4，BC＝＝，AC＝3，∵S△ABC＝AB•OC＝BC•AM，∴＝×AM，∴AM＝，由勾股定理得：CM＝＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝2；（3）如图2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝＝＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∵∠DAB＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC，∴AC＝AF，设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3，设F（m，﹣3m+3），∴（3）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，解得：m1＝0（舍），m2＝，∴F（，﹣），∴CF＝＝．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的解析式，对称轴公式，顶点式，三角函数的定义，两点的距离，三角形面积等知识，第三问有难度，得出∠AFC＝∠ACB是本题的关键．。

2023上海各区一模数学整理(阅读理解与
第18题填空压轴)
2023年上海各区一模数学考试中，涵盖了阅读理解和第18题填空压轴两部分。

下面是对这两部分内容的整理：
阅读理解
阅读理解部分共包含多篇文章，每篇文章后面跟随几道问题。

在回答问题时，考生需要根据文章内容理解并准确回答。

这部分要求考生具备较好的阅读理解能力和运用数学知识进行推理的能力。

第18题填空压轴
第18题填空压轴是一道填空题，要求考生根据已给出的线索和条件，选择合适的数字或数学符号填入空白处，使得整个等式或不等式成立。

在解答这道题时，考生需要灵活运用数学知识，分析线索和条件，并进行合理推测和计算。

以上就是2023上海各区一模数学考试中的阅读理解和第18题填空压轴的内容概述。

注意：
- 本文档为概述性说明，不包含具体的题目内容。

- 考生在备考过程中应注重阅读理解能力的培养和数学推理能力的提升，同时熟悉各种解题方法和技巧。

- 请确保你亲自核实了题目内容，本文档不包含任何无法确认的引文。

详情请参考考试相关资料和真题。

祝你在2023上海各区一模数学考试中取得好成绩！。