功率谱估计仿真实验

功率谱估计仿真实验选题条件：对于给定的一个信号()()()t t f t f t x ϖππ++=212sin 2)2sin(，其中1f =50Hz ，2f =100Hz ，()t ϖ为白噪声，采样频率Fs 为1000Hz ，对其进行功率谱估 计。

仿真目标：采用多种方法对该指定信号进行功率谱估计，计算其功率谱密度，比较各种估计方法的优劣。

设计思路：本仿真实验采用经典谱估计中的周期图法对给定信号进行谱估计。

但是由于其自身的缺陷，使得频率分辨率较低。

为了不断满足需要，找到恰 当的估计法，实验使依次使用了周期图法的改进型方法如分段周期图法、 窗函数法以及修正的周期图法进行功率谱估计，对四种方法得出的谱估 计波形进行比较分析，得出估计效果最好的基于周期图法的谱估计方法。

仿真指标：频率分辨率、估计量的方差、频谱光滑度平台说明：本实验采用MATLAB7.0仿真软件，基于WINDOWS-XP 系统。

Matlab 是一个集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体的工程分析处理软件。

它提供的部分算法函数为功率谱估计提供了一条可行的方便途径，如PSD 和CSD 可以自动实现Welch 法估计，而不需要自己编程。

但是较为有限，大部分需要自己编写相应的M 文件来实现。

实现方法： 一、周期图法周期图法是直接将信号的采样数据()n x 进行傅立叶变换求功率谱密度估计。

假设有限长随机信号序列()n x ，将它的功率谱按定义写出如下：()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=∑-=-∞→2121lim N N n nj N j xx e n x N E e P ωω 如果忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为：()n x 10-≤≤N n ，便得到了周期图法的定义：()()210^1nj N n j xxe n x N e P ωω--=∑=， 式中的绝对值符号内的部分可以用FFT 计算，这样就可得到周期图法的计算框图如下所示：()ωj xx e ^图1 周期图法计算功率谱框图采用周期图法时，可以分取不同的信号长度256、512和1024，分别进行功率谱估计，并进行观察分析。

一、实验目的1. 了解功率谱估计的基本原理和方法。

2. 掌握使用MATLAB进行功率谱估计的步骤。

3. 通过实验验证不同功率谱估计方法的性能。

二、实验原理功率谱估计是信号处理中的一个重要分支，它能够揭示信号在频域中的特性。

功率谱估计的基本原理是将信号通过傅里叶变换转换为频域信号，然后对频域信号进行功率计算，得到功率谱。

功率谱反映了信号在不同频率上的能量分布，对于信号分析、系统设计等具有重要意义。

常用的功率谱估计方法有周期图法、Welch方法、Bartlett方法等。

本实验主要研究周期图法、Welch方法和Bartlett方法的性能。

三、实验内容1. 数据采集：使用MATLAB自带的信号生成函数生成一段模拟信号，作为实验数据。

2. 周期图法：计算信号的功率谱，并与理论功率谱进行比较。

3. Welch方法：计算信号的功率谱，并与周期图法的结果进行比较。

4. Bartlett方法：计算信号的功率谱，并与Welch方法和周期图法的结果进行比较。

四、实验步骤1. 生成模拟信号：使用MATLAB自带的信号生成函数生成一段模拟信号，如正弦波、方波等。

2. 周期图法：a. 计算信号的自相关函数；b. 对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱；c. 将计算得到的功率谱与理论功率谱进行比较。

3. Welch方法：a. 将信号分割成多个短时段；b. 对每个短时段进行自相关函数计算；c. 对所有短时段的自相关函数进行加权平均；d. 对加权平均后的自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱；e. 将计算得到的功率谱与周期图法的结果进行比较。

4. Bartlett方法：a. 将信号分割成多个短时段；b. 对每个短时段进行自相关函数计算；c. 对每个短时段的自相关函数进行 Bartlett 平滑；d. 对平滑后的自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱；e. 将计算得到的功率谱与Welch方法和周期图法的结果进行比较。

五、实验结果与分析1. 周期图法：通过实验发现，周期图法计算得到的功率谱在低频段存在较大的噪声，而在高频段噪声较小。

AR 模型的功率谱估计BURG 算法的分析与仿真一．引言现代谱估计法主要以随机过程的参数模型为基础，也可以称其为参数模型方法或简称模型方法。

现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大进步。

目前，现代谱估计研究侧重于一维谱分析，其他如多维谱估计、多通道谱估计、高阶谱估计等的研究正在兴起，特别是双谱和三谱估计的研究受到重视，人们希望这些新方法能在提取信息、估计相位和描述非线性等方面获得更多的应用。

现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种。

基于参数建摸的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR 模型、MA 模型、ARMA 模型，其中基于AR 模型的功率谱估计是现代功率谱估计中最常用的一种方法，这是因为AR 模型参数的精确估计可以通过解一组线性方程求得，而对于MA 和ARMA 模型功率谱估计来说，其参数的精确估计需要解一组高阶的非线性方程。

在利用AR 模型进行功率谱估计时，必须计算出AR 模型的参数和激励白噪声序列的方差。

这些参数的提取算法主要包括自相关法、Burg 算法、协方差法、 改进的协方差法，以及最大似然估计法。

本章主要针对采用AR 模型的两种方法：Levinson-Durbin 递推算法、Burg 递推算法。

实际中，数字信号的功率谱只能用所得的有限次记录的有限长数据来予以估计，这就产生了功率谱估计这一研究领域。

功率谱的估计大致可分为经典功率谱估计和现代功率谱估计，针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出了现代谱估计，AR 模型谱估计就是现代谱估计常用的方法之一。

信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。

功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。

南昌大学实验报告学生姓名：学号：专业班级：实验类型：□验证□综合□设计□创新实验日期：实验成绩：一、实验名称基于AR模型的功率谱估计及Matlab实现二、实验目的1.了解现代谱估计方法，深入研究AR模型法的功率谱估计2.利用Matlab对AR模型法进行仿真三、实验原理1.现代谱估计现代功率谱估计以信号模型为基础，如下图所示为x(n)的信号模型，输入白噪声ω(n)均值为0，方差为σω2，x(n)的功率谱可由下式计算：P xx(e jω)=σω2|H(e jω)|2如果通过观测数据估计出信号模型的参数，信号功率谱就可以按上式计算出来，这样估计功率谱的问题就变成由观测数据估计信号模型参数的问题。

2.功率谱估计的步骤：（1）选择合适的信号模型；（2）根据x(n)有限的观测数据，或者有限个自相关函数估计值，估计模型的参数；（3）计算模型的输出功率谱。

3.模型选择选择模型主要考虑是模型能够表示谱峰、谱谷和滚降的能力。

对于尖峰的谱，选用具有极点的模型，如AR、ARMA模型；对于具有平坦的谱峰和深谷的信号，可以选用MA模型；既有极点又有零点的谱应选用ARMA模型，应该在选择模型合适的基础上，尽量减少模型的参数。

4.AR模型功率谱估计在实际中，AR 模型的参数估计比较简单，对其有充分的研究，AR模型功率谱估计又称为自回归模型，它是一个全极点的模型，要利用AR模型进行功率谱估可以通过列文森(Levenson)递推算法由Yule-Walker 方程求AR模型的参数。

4.MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明：1．Pyulear函数：功能：利用Yule--Walker方法进行功率谱估计.格式：Pxx=Pyulear(x,ORDER,NFFT)[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)说明：Pxx =Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，采用Yule--Walker方法估计序列x的功率谱，参数ORDER用来指定AR模型的阶数，NFFT为FFT算法的长度，默认值为256，若NFFT为偶数，则Pxx为（NFFT/2 + 1）维的列矢量，若NFFT为奇数，则Pxx为（NFFT + 1）/2维的列矢量；当x为复数时，Pxx长度为NFFT。

谱估计基础及仿真分析0引言 现代信号分析中,对于常见的具有各态历经的平稳随机信号,不可能用清楚的数学关系式来描述,但可以利用给定的N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。

它是数字信号处理的重要研究内容之一。

功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。

功率谱估计在实际工程中有重要应用价值,如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域,发挥了重要作用。

一 相关的数学基础 1.1 概率论：1.1.1多维高斯分布高斯分布公式：22()2()x p x μσ--=(1)3σ准则为：(,)σσ-内68.26%；2σ：95.44%；3σ：99.74%。

向量的形式的公式为：11/21/211()exp[()()](2)||2T x xx x N xx p x x C x C μμπ--=---vv v v v (2) 其中[()()]Txx x x C E x x μμ=--v v v v；[]{[[]][[]]}xx ij i i j j C E x E x x E x =--(3)1.1.2 mont-carlo 仿真1ln ,(0,1)y u u λ=-∈为指数分布，y σ=1.2 随即过程平稳随即过程：多维联合概率密度和时间起点无关，狭义的平稳。

数字特征： ()[()]t E x t μ=相关函数：1212(,)[()()]xx r t t E x t x t =(4) 协方差：121122(,){[()()][()()]}xx x x C t t E x t t x t t μμ=--(5) 广义的平稳：1221(,)()()xx xx xx r t t r t t r τ=-=，12(,)()xx xx C t t C τ=(6)各态历经性：时间平均代替集平均。

第1篇一、实验目的1. 理解经典功率谱估计的原理和方法；2. 掌握BT法、周期图法、Bartlett法和Welch法等经典功率谱估计方法；3. 通过MATLAB仿真，验证各种方法的性能和特点；4. 分析实验结果，总结经典功率谱估计方法的优缺点。

二、实验原理功率谱估计是信号处理中的一个重要方法，用于分析信号的频率成分。

经典功率谱估计方法主要包括BT法、周期图法、Bartlett法和Welch法等。

1. BT法：先估计自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱；2. 周期图法：直接对样本进行傅里叶变换，得到功率谱；3. Bartlett法：将信号分成L段，计算每段的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱；4. Welch法：对信号进行分段，计算每段的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱，并对结果进行加权平均。

三、实验环境1. 操作系统：Windows 10；2. 编程语言：MATLAB；3. 实验数据：随机信号样本。

四、实验步骤1. 生成随机信号样本；2. 使用BT法进行功率谱估计；3. 使用周期图法进行功率谱估计；4. 使用Bartlett法进行功率谱估计；5. 使用Welch法进行功率谱估计；6. 对比分析各种方法的估计结果。

五、实验结果与分析1. BT法：BT法是一种较为精确的功率谱估计方法，其估计结果与真实功率谱较为接近。

但是，BT法需要计算样本的自相关函数，计算量较大。

2. 周期图法：周期图法是一种简单易行的功率谱估计方法，但其估计结果存在较大误差。

当样本长度N较大时，周期图法的估计结果逐渐接近真实功率谱。

3. Bartlett法：Bartlett法在Bartlett窗口的宽度较大时，估计结果较为准确。

但是，当Bartlett窗口的宽度较小时，估计结果误差较大。

4. Welch法：Welch法是一种改进的周期图法，通过分段和加权平均，提高了估计精度。

Welch法在估计精度和计算量之间取得了较好的平衡。

一、随机信号原理分析随机信号的古典法谱估计广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的福利叶变换，它取决于无数个自相关函数值。

但对于许多实际问题，可以利用的数据往往是有限的，所以要准确的计算功率谱是不可能的。

比较合理的目标是设法得出功率谱的一个好的估计，这就是功率谱估计。

功率谱估计有两类大的方法：古典谱估计和现代谱估计。

古典谱估计又有相关法估计，周期图法估计，WOSO法，Bartlett法；现代谱估计有Levinson-Durbin算法和Burg算法。

下面对他们分别作介绍。

1．相关法谱估计这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。

这种方法的具体步骤是：第一步：从无限长随机序列x(n)中截取长度N的有限长序列X N（n）。

第二步：由N长序列求（2M-1）点的自相关函数序列。

即这里，m=-(M-1),。

,-1,0,1,。

,M-1，M N，R^在此处键入公式。

x(m)是双边序列，但是由自相关函数的偶对称性式，只要求出m=0,。

,M-1的，另一半也就知道了。

第三步：由相关函数的傅式变换求功率谱。

即以上过程中经历了两次截断，一次是将x(n)截成N长，称为加数据窗，一次是将截成（2M-1）长，称为加延迟窗。

因此所得的功率谱仅是近似值，也叫谱估计，式中的，代表估值。

一般取M〈〈N，因为只有当M较小时，序列傅式变换的点数才较小，功率谱的计算量才不至于大到难以实现，而且谱估计质量也较好。

因此，在FFT问世之前，相关法是最常用的谱估计方法。

当FFT问世后，情况有所变化。

因为截断后的可视作能量信号，由相关卷积定理可得这就将相关化为线性卷积，而线性卷积又可以用快速卷积来实现。

我们可对上式两边取（2N-1）点DFT，则有于是将时域卷积变为频域乘积。

用快速相关求的完整方案如下：1.对N长的充（N-1）个零，成为（2N-1）长的。

2.求（2N-1）点的FFT，得。

3.求。

由DFT性质，是纯实的，满足共轭偶对称，而一定是实偶的，且以（2N-1）为周期。

功率谱估计性能分析及Matlab 仿真1 引言随机信号在时域上是无限长的，在测量样本上也是无穷多的，因此随机信号的能量是无限的，应该用功率信号来描述。

然而，功率信号不满足傅里叶变换的狄里克雷绝对可积的条件，因此严格意义上随机信号的傅里叶变换是不存在的。

因此，要实现随机信号的频域分析，不能简单从频谱的概念出发进行研究，而是功率谱[1]。

信号的功率谱密度描述随机信号的功率在频域随频率的分布。

利用给定的N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做谱估计。

谱估计方法分为两大类：经典谱估计和现代谱估计。

经典功率谱估计如周期图法、自相关法等，其主要缺陷是描述功率谱波动的数字特征方差性能较差，频率分辨率低。

方差性能差的原因是无法获得按功率谱密度定义中求均值和求极限的运算[2]。

分辨率低的原因是在周期图法中，假定延迟窗以外的自相关函数全为0。

这是不符合实际情况的，因而产生了较差的频率分辨率。

而现代谱估计的目标都是旨在改善谱估计的分辨率，如自相关法和Burg 法等。

2 经典功率谱估计经典功率谱估计是截取较长的数据链中的一段作为工作区，而工作区之外的数据假设为0，这样就相当将数据加一窗函数，根据截取的N 个样本数据估计出其功率谱[1]。

2.1 周期图法( Periodogram )Schuster 首先提出周期图法。

周期图法是根据各态历经的随机过程功率谱的定义进行的谱估计。

取平稳随机信号()x n 的有限个观察值(0),(1),...,(1)x x x n -，求出其傅里叶变换10()()N j j n N n X e x n e ωω---==∑然后进行谱估计21()()j N S X e Nωω-= 周期图法应用比较广泛，主要是由于它与序列的频谱有直接的对应关系，并且可以采用FFT 快速算法来计算。

但是，这种方法需要对无限长的平稳随机序列进行截断，相当于对其加矩形窗，使之成为有限长数据。

同时，这也意味着对自相关函数加三角窗，使功率谱与窗函数卷积，从而产生频谱泄露，容易使弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成频谱的模糊和失真，使得谱分辨率较低[1]。

MATLAB仿真实现功率谱估计功率谱估计是信号处理中常用的一种技术，用于分析信号的频谱特征。

自相关法是一种常用的功率谱估计方法，在MATLAB中可以很方便地实现。

自相关法的基本原理是首先对信号进行自相关运算，然后对自相关结果进行傅里叶变换，最后求得功率谱。

下面将详细介绍如何在MATLAB中使用自相关法实现功率谱估计。

首先，我们需要生成一个待分析的信号。

假设我们生成一个长度为N的随机信号x，可以使用randn函数生成一个均值为0、方差为1的随机数序列，然后使用fft函数求得x的傅里叶变换。

```matlabN=1024;%信号长度Fs=1000;%采样率t=(0:N-1)/Fs;%时间向量x = randn(1, N); % 生成随机信号X = fft(x); % 计算信号的傅里叶变换```接下来，我们可以使用MATLAB的xcorr函数对信号进行自相关运算，得到自相关结果。

```matlabrxx = xcorr(x); % 自相关运算```得到自相关结果后，我们可以对rxx进行归一化处理，即将结果除以信号长度，以消除信号长度对功率谱估计的影响。

```matlabrxx = rxx / N; % 归一化处理```然后，我们可以对rxx进行傅里叶变换，得到信号的功率谱。

```matlabPxx = fftshift(abs(fft(rxx))); % 功率谱估计f=(-N/2:N/2-1)*Fs/N;%频率向量```最后，我们可以使用plot函数将结果画出来，以便进行观察和分析。

```matlabfigure;plot(f, Pxx);xlabel('频率(Hz)');ylabel('功率谱');title('信号的功率谱估计');```通过以上步骤，我们就完成了MATLAB中利用自相关法实现功率谱估计的过程。

可以通过改变信号的长度N、采样率Fs以及噪声的统计特性等参数，观察估计结果的精确性和稳定性。

轡南昌大学卖脸掖告学生姓名：_ 学号： _________ 专业班级：________________实验类型：口验证□综合口设计口创新实验日期： _________________ 实验成绩：—一、实验名称基于AR模型的功率谱估计及Matlab实现二、实验目的1•了解现代谱估计方法，深入研究AR模型法的功率谱估计2.利用Matlab对AR模型法进行仿真三、实验原理1•现代谱估计现代功率谱估计以信号模型为基础，如下图所示为x(n)的信号模型，输入口噪声3(n)均值为0,方差为x(n)的功率谱可由下式计算：%(凶)=圈H(』3)|2如果通过观测数据估计出信号模型的参数，信号功率谱就可以按上式计•算出来, 这样估计功率谱的问题就变成III观测数据估计信号模型参数的问题。

2.功率谱估计的步骤：(1)选择合适的信号模型；(2)根据x(n)有限的观测数据，或者有限个自相关函数估讣值，估计模型的参数；(3)计算模型的输出功率谱。

3•模型选择选择模型主要考虑是模型能够表示谱稣、谱谷和滚降的能力。

对于尖稣的谱，选用具有极点的模型，如AR、ARMA模型；对于具有平坦的谱邮和深谷的信号，可以选用MA模型；既有极点又有零点的谱应选用ARMA模型，应该在选择模型合适的基础上，尽量减少模型的参数。

4.AR模型功率谱估计在实际中，AR模型的参数估计比较简单，对其有充分的研究，AR模型功率谱估计乂称为自回归模型，它是一个全极点的模型，要利用AR模型进行功率谱估可以通过列文森(Levenson)递推算法山Yiile-Walker方程求AR模型的参数。

4.MATLAB中AR模型的谱估计的函数说明：1. Pynlear 函数：功能：利用Yiile-Walker方法进行功率谱佔计.格式：Pxx=Pyiilear(x,ORDER,NFFT)[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT)[Pxx,W]=Pyulear(x,ORDER,NFFT,Fs)Pynlear(x,ORDER,NFFT,Fs,RANGE,MAGUNITS)说明：Pxx =Pyulear(x,ORDER,NFFT)中，采用Yiile—Walker 方法估计序列x 的功率谱，参数ORDER用来指定AR模型的阶数，NFFT为FFT算法的长度，默认值为256,若NFFT为偶数，则Pxx为(NFFT/2+1)维的列矢量，若NFFT为奇数，则Pxx 为(NFFT +1)/2维的列矢量；当x为复数时，Pxx长度为NFFT。

m a t l a b利用l e v i n s o n d u r b i n算法进行功率谱估计仿真实验.d o c x(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--Levinson-Durbin algorithm利用Levinson-Durbin 算法计算序列x(n)的功率谱，()()()()cos 0.3cos 0.32x n n n w n ππ=++其中w(n)为高斯白噪声序列（1） 假设x(n)的采样点数为128，AR 模型阶数为80， （2） 假设x(n)的采样点数为512，AR 模型阶数为80。

1、数学模型Levinson 算法主要是从AR(k)模型参数出发，得到AR(k+1)阶模型参数。

目前已经得到k 阶Yule-Walker 方程参数{a k,1,a k,2,⋯,a k,k ,σk 2}，接下来以此求解k+1阶Yule-Walker 方程，k 阶Yule-Walker 方程为：()()()()()()()()()2,1,1011010100k k k k R R R k a R R R k a R k R k R σ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ K+1阶Yule-Walker 方程为：211,11,1,k 11(0)(1)(k)(k 1)(1)(0)(k 1)(k)0(k)(k 1)(0)(1)0(k 1)(k)(1)(0)0k k k k k R R R R a R R R R a R R R R a R R R R σ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 将k 阶方程的系数矩阵增加一行一列，成为一下的扩大方程：2,1,(0)(1)(k)(k 1)1(1)(0)(k 1)(k)0(k)(k 1)(0)(1)0(k 1)(k)(1)(0)0k k k k k R R R R R R R R a R R R R a R R R R D σ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中D k 由下式定义：(),,001,1kk k i k i D a R k i a ==+-=∑将以上扩大方程的行倒序，列也倒序，得到预备方程：,,12(0)(1)(k)(k 1)00(1)(0)(k 1)(k)0(k)(k 1)(0)(1)(k 1)(k)(1)(0)1k k k k k D R R R R R R R R a R R R R a R R R R σ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦将待求解的k+1阶Yule-Walker 方程的解表示成扩大方程的解和预备方程的解的线性组合形式：1,1,1,11,.,11,111001k k k k k k k k k k k k a a a a a a a γ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 或：1,,1,1,1,2,,k i k i k k k i a a a i k γ+++-=-=式中γk+1是待定系数，称为反射系数，上式中各项都右乘k+1阶系数矩阵，得到：221120000k k k k k k D D σσγσ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由此可以得到：12kk kDγσ+= ()22221111k k k k k k D σσγγσ+++=-=-由扩大方程的第一个方程可以得到：()()2,10kkk i i R a R i σ==+∑从以上的推导可以归纳出如下的由k 阶模型参数求k+1阶模型参数的计算公式：()()2,10kkk i i R a R i σ==+∑(),,001,1kk k i k i D a R k i a ==+-=∑12kk kD γσ+=()222111k k k σγσ++=-1,,1,11,k 11,1,2,,;k i k i k k k i k k a a a i k a γγ+++-+++=-==-对于AR(p)模型，递推计算到k+1=p 为止，得到AR(p)模型的参数后，根据以下式子即可得到功率谱估计值：()22,1ˆ1pj pj ip i i Se a e ωωσ-==+∑2、算法模型Levinson-Durbin 算法计算流程如下：（1） 初始化：()()2000,00,1,a 1R D R σ===（2） 开始迭代计算：先由12kk k D γσ+=，根据k 阶的D k 与σk 2求出反射系数γk+1，之后利用()222111k k k σγσ++=-以及已经得到的σk 2求出σk+12，利用1,,1,1k i k i k k k i a a a γ+++-=-，求出k+1阶的AR 模型参数。

样本序列，于是有（用离散频率K代替ω）：这就是用样本序列片断的DFT来估计功率谱的式子。

由于加了矩形倍。

独方差小L倍。

采用合适的窗函数（海明窗、汉宁窗等）来消除由矩形窗旁瓣带来的谱失真。

的谱失真。

Welch方法从两个方面对Bartle 方法进行了改进。

一方面，Welch方法中数据的分段允许有重叠，另一方面，每段数据在计算周期图之前先加窗，本实验采用汉宁窗。

本实验采用汉宁窗。

设：设：表示第j个数据段，式中（j-1）K是第j个观测序列的起始点。

如果K=M，则序列不重叠（但是相邻连接的），对样本进行分段，Welch方法建议K值选为M/2，此时，有S≈2M/N个数据段（在连续字段之间有50%的重叠）。

的方差，所以在数据分所以在数据分我们希望降低被估计的PSD的方差，通过Welch方法的改进，方法的改进，我们希望降低被估计的段时允许数据之间有重叠，这样，增加了被平均的周期图数。

3.仿真思路仿真思路对信号x(t)=sin(2pi*60t)+2sin(2pi*110t)+n(t)进行功率谱估计，信号的频率为60和110Hz，其中n(t)为高斯噪声。

抽样频率为768Hz，抽样时间为1/768到1s，共768个点，将数据分为3段，每段长度为256个点，数据段之间有重叠，重叠为128个点，对每段数据进行加窗，采用汉宁窗，混叠率为分段长度的一半，能大大降低估计方差。

再使用函数psd对信号进行谱估计，将，输出谱估计图形，便于分析。

估计的结果转化为dB，输出谱估计图形，便于分析。

4.程序代码程序代码clc; fs=768; t=1/768:1/fs:1; N=length(t); N =1024; window=hanning(256); noverlap=128; s=sin(2*pi*60*t)+2*sin(2*pi*110*t)+randn(1,N); [Px,f]=psd(s,N ,fs,window,noverlap,0.95); X=10*log10(Px); plot(f,X); tle('谱分析：Welch平均修正周期图法') grid on xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB'); 5.运行结果与分析运行结果与分析Welch平均修正周期图法的谱分析图如下所示：观察曲线可知，该谱分析方法得到的谱线较为平滑，毛刺较少，且功率谱线在0dB 附近波动，这说明协方差较小，在0附近。

功率谱估计性能分析及其MATLAB实现一、经典功率谱估计分类简介1．间接法根据维纳-辛钦定理，1958年Blackman和Turkey给出了这一方法的具体实现，即先由N个观察值，估计出自相关函数，求自相关函数傅里叶变换，以此变换结果作为对功率谱的估计。

2．直接法直接法功率谱估计是间接法功率谱估计的一个特例，又称为周期图法，它是把随机信号的N 个观察值直接进行傅里叶变换，得到，然后取其幅值的平方，再除以N，作为对功率谱的估计。

3．改进的周期图法将N点的观察值分成L个数据段，每段的数据为M，然后计算L个数据段的周期图的平均，作为功率谱的估计，以此来改善用N点观察数据直接计算的周期图的方差特性。

根据分段方法的不同，又可以分为Welch法和Bartlett法。

Welch法所分的数据段可以互相重叠，选用的数据窗可以是任意窗。

Bartlett法所分的数据段互不重叠，选用的数据窗是矩形窗。

二、经典功率谱估计的性能比较1．仿真结果为了比较经典功率谱估计的性能，本文采用的信号是高斯白噪声加两个正弦信号，采样率Fs=1000Hz，两个正弦信号的频率分别为f1=200Hz，f2=210Hz。

所用数据长度N=400.仿真结果如下：(a)(b)(c)(d)(e)(f)Figure1经典功率谱估计的仿真结果Figure1(a)示出了待估计信号的时域波形；Figure2(b)示出了用该数据段直接求出的周期图，所用的数据窗为矩形窗；Figure2(c)是用BT法（间接法）求出的功率谱曲线，对自相关函数用的平滑窗为矩形窗，长度M=128，数据没有加窗；Figure2(d)是用BT法（间接法）求出的功率谱曲线，对自相关函数用的平滑窗为Hamming 窗，长度M=64，数据没有加窗；Figure2(e)是用Welch平均法求出的功率谱曲线，每段数据的长度为64点，重叠32点，使用的Hamming窗；Figure2(f)是用Welch平均法求出的功率谱曲线，每段数据的长度为100点，重叠48点，使用的Hamming窗；2．性能比较1)直接法得到的功率谱分辨率最高，但是方差性能最差，功率谱起伏剧烈，容易出现虚假谱峰；2)间接法由于使用了平滑窗对直接法估计的功率谱进行了平滑，因此方差性能比直接法好，功率谱比直接法估计的要平滑，但其分辨率比直接法低。

功率谱估计及其MATLAB仿真一、本文概述功率谱估计是一种重要的信号处理技术，它能够从非平稳信号中提取有用的信息，揭示信号在不同频率上的能量分布特征。

在通信、雷达、生物医学工程、地震分析等领域，功率谱估计都发挥着至关重要的作用。

随着计算机技术的快速发展，功率谱估计的仿真研究也越来越受到重视。

本文将对功率谱估计的基本理论进行简要介绍，包括功率谱的概念、性质以及常见的功率谱估计方法。

随后，我们将重点探讨MATLAB 在功率谱估计仿真中的应用。

MATLAB作为一种功能强大的数值计算和仿真软件，为功率谱估计的研究提供了便捷的工具。

通过MATLAB，我们可以轻松地模拟出各种信号，进行功率谱估计，并可视化结果，从而更直观地理解功率谱估计的原理和方法。

本文旨在为读者提供一个关于功率谱估计及其MATLAB仿真的全面而深入的学习机会，帮助读者更好地掌握功率谱估计的基本原理和仿真技术，为后续的实际应用打下坚实的基础。

我们将通过理论分析和实例仿真相结合的方式，逐步引导读者深入了解功率谱估计的奥秘，探索MATLAB在信号处理领域的广泛应用。

二、功率谱估计的基本原理功率谱估计是一种在信号处理领域中广泛使用的技术，它旨在从时间序列中提取信号的频率特性。

其基本原理基于傅里叶变换，通过将时域信号转换为频域信号，可以揭示信号中不同频率分量的存在和强度。

功率谱估计主要依赖于两个基本概念：自相关函数和功率谱密度。

自相关函数描述了信号在不同时间点的相似程度，而功率谱密度则提供了信号在不同频率下的功率分布信息。

在实际应用中，由于信号往往受到噪声的干扰，直接计算功率谱可能会得到不准确的结果。

因此，功率谱估计通常使用窗函数或滤波器来减小噪声的影响。

窗函数法通过在时域内对信号进行分段，并对每段进行傅里叶变换，从而减小了噪声对功率谱估计的干扰。

而滤波器法则通过在频域内对信号进行滤波，去除噪声分量，得到更准确的功率谱。

MATLAB作为一种强大的数值计算和仿真软件，为功率谱估计提供了丰富的函数和工具。

实验三 随机信号的功率谱估计方法报告人： #### 报告时间：2013.1.2一、实验目的1．利用自相关函数法和周期图法实现对随机信号的功率谱估计。

2．观察数据长度、自相关序列长度、信噪比、窗函数、平均次数等对谱估计的分辨率、稳定性、主瓣宽度和旁瓣效应的影响。

3．学习使用FFT 提高谱估计的运算速度。

4．体会非参数化功率谱估计方法的优缺点。

二、实验原理与方法假设信号x (n )为平稳随机过程，其自相关序列定义为*()[()()]m E x n x n m φ∆=+ (3-1)其中E 表示取数学期望，*表示共轭运算。

根据定义，x (n )的功率谱密度()P ω与自相关序列()m φ存在下面关系： ()()j m m P m e ωωφ∞-=-∞=∑ (3-2)1()()2j m m P e d πωπφωωπ-=⎰ (3-3)然而，实际中我们很难得到准确的自相关序列()m φ，只能通过随机信号的一段样本序列来估计信号的自相关序列，进而得到信号的功率谱估计。

目前，常用的线性谱估计方法有两种，即自相关函数法和周期图法。

1． 自相关函数法假设我们已知随机信号x(n)的M 长的自相关序列{()m φ}，利用自相关函数法可以得到x(n)的功率谱估计：*11()()()L m i m x i x i m L m φ-Λ==+-∑ 11ˆˆ()()M j m m M P m e ωωφ--=-+=∑ (3-4) 利用窗函数，上式又可表达为ˆˆ()()()R j m M m PW m m e ωωφ∞-=-∞=∑ (3-5) 其中，()R M W m 为矩形窗函数，定义为1()0RM m M W m m M <⎧=⎨≥⎩ (3-6)因此，ˆ()P ω实际上是：真正功率谱()P ω与窗函数()R MW m 傅立叶变换的卷积。

矩形窗函数不仅降低了谱估计的分辨率，而且使谱估计产生了旁瓣。

为了降低旁瓣影响，可以采用具有较小旁瓣的窗函数，如Hamming 窗，它定义为0.540.46cos ()0H M m M m W m M m Mπ⎧<+⎪=⎨≥⎪⎩ (3-7) 这种窗函数可以有效的抑制旁瓣，但是这种方法使主瓣宽度增大，从而降低了谱估计的分辨率，这种主瓣大小和旁瓣干扰之间的矛盾在线性谱估计方法中是无法解决的。

现代谱估量计算机仿真试验汇报胡敏在很多工程应用中, 利用观察到一组样本数据估量并分析一个平稳信号功率谱密度是十分关键。

比如, 在雷达信号处理中, 由回波信号功率谱密度、 谱峰宽度、 高度和位置, 能够确定目标位距离和运动速度; 在阵列信号处理中, 空间功率谱描述了信号功率随空间角度分布情况。

在很多信号处理应用中, 谐波过程常常会碰到, 它对应功率谱为线谱, 谐波过程功率谱估量就是要确定谐波个数, 频率和功率（合称谐波恢复）。

为了愈加好学习现代信号处理中该部分内容, 我们做了对应计算机仿真试验。

1 试验目1、 深入了解现代谱估量友好波恢复基础理论, 包含ARMA 模型, ARMA 谱估量, ARMA 模型识别, Pisarenko 谐波分解, 信号子空间和噪声子空间, 旋转不变技术(ESPRIT);2、 熟悉与上述谱估量友好波恢复理论相关数学方法以及各自特点, 包含最小二乘估量（LS ）, 奇异值分解（SVD ）, 总体最小二乘估量（TLS ）, 特征值分解和广义特征值分解;3、 体会ARMA 功率谱估量中Cadzow 谱估量子和Kaveh 谱估量子, ARMA 模型识别方法, Pisarenko 谐波恢复方法, ARMA 建模谐波恢复方法, MUSIC 方法进行谐波恢复, 两种ESPRIT 方法（LS-ESPRIT 和TLS-ESPRIT 进行谐波恢复;2 试验原理2.1 ARMA 谱估量相当多平稳过程都能够经过用白噪声激励线性时不变系统来产生, 而线性系统又能够用线性差分方程进行描述, 这种差分模型就是自回归—滑动平均（ARMA ）模型。

而且, 任何一个有理式功率谱密度都能够用一个ARMA 过程功率谱密度正确迫近。

ARMA 过程定义为服足下列线性差分方程离散过程{})(n x :∑∑==-+=-+qj j p i i j n e b n e i n x a n x 11)()()()( （1）式中)(n e 是一离散白噪声; 式（1）所表示差分方程称为ARMA 模型, 系统p a a ,1和q b b ,,1 分别称为自回归（AR ）参数和滑动平均（MA ）参数, 而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。