构造全等三角形的常用方法

构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。

理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。

以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。

这个公理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。

这两个三角形的形状和大小将会完全相同。

利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。

通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。

利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。

这个定理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。

这样，你就可以得到两个全等的三角形。

利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。

这个定理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。

由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。

如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。

以上就是构造全等三角形的四种技巧。

理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。

已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。

两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。

已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。

北师大版初二数学下册讲义《构造全等三角形的六种常用方法》【名师点睛】在进行几何题的证明或运算时，有时需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，比较溶液找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松的解决。

常见的辅助线作法有：翻折法、构造基础三角形法、旋转法、平行线法、倍长中线法和截长补短法，目的差不多上构造全等三角形。

[方法1]翻折法1.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2=∠1+∠C.解答：证明：∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE∴AB=FB∴∠2=∠AFB∵∠AFB=∠1+∠C∴∠2=∠1+∠C.[方法2]构造基础三角形法2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,∠ABC=45∘，点D为BC 的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC =∠BDF.解答：证明：作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,如图所示：∵∠CBG=90∘，CF⊥AD∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90∘∴∠CAD=∠BCG在△ACD和△CBG中∠CAD=∠BCGAC=BC∠ACD=∠CBG=90∘∴△ACD ≌△CBG(ASA)∴CD=BG ，∠CDA=∠CGB∵CD=BD∴BG=BD∵∠ABC=45∘∴∠FBD=∠GBF=21∠CBG在△BFG 和△BFD 中BG=BD∠FBD=∠GBFBF=BF∴△BFG ≌△BFD(SAS)∴∠FGB=∠FDB∴∠ADC=∠BDF.[方法3]旋转法3.正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。

解答：延长EB 使得BG=DF ，连接AG ，在△ABG 和△ADF 中由AB=AD ，∠ABG=∠ADF=90∘，BG=DF可得△ABG ≌△ADF(SAS)∴∠DAF=∠BAG ，AF=AG又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG ，AE=AE在△AEG 和△AEF 中，AE=AE ，GE=FE ，AG=AF∴△AEG ≌△AEF(SSS)∴∠EAG=∠EAF∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90∘∴∠EAG+∠EAF=90∘∴∠EAF=45∘.[方法4]平行线法4.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交B C于P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：A B+BP=BQ+AQ.解答：证明：过点O作OD∥BC交AB于点D.∵OD∥BC∴∠ADO=∠ABC∵∠BAC=60°，∠C=40°∴∠ABC=80°∴∠ADO=80°∵BQ平分∠ABC∴∠ABQ=∠QBC=40°∴∠AQB=∠C+∠QBC=80°∴∠ADO=∠AQB∵AP平分∠BAC∴∠DAO=∠QAO=30°又∵OA=OA∴△ADO≌△AQO∴OD=OQ，AD=AQ又∵OD∥BP∴∠PBO=∠DOB又∵∠PBO=∠DBO∴∠DBO=∠DOB∴△DOB是等腰三角形∴BD=OD∴BD=OQ∵∠BAP=30°，∠ABQ=40°∴∠BOP=70°∵∠BAP=30°，∠ABC=80°∴∠APB=70°∴∠BOP=∠APB∴△BOP是等腰三角形∴BO=BP∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ，即AB+BP=BQ+AQ.[方法5]倍长中线法5.如图，△ABC中，D为BC的中点。

全等三角形的构造技巧一、利用角平分线，构造全等三角形【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：（1）在角的两边截取两条相等的线段；（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；（3）延长角平分线的垂线.（一）在角两边截取相等线段例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，在△ABE 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.练习：1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。

也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。

（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.图1 图2分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P BA E F O P G AB C E DA B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。

构造全等三角形的方法
构造全等三角形的方法有以下几种：
1. SSS（side-side-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的对应边长分别满足AB=DE，BC=EF，CA=FD，则可以得到两个全等三角形。

2. SAS（side-angle-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对边长比值相等且夹角相等，即满足AB/DE = BC/EF，∠BAC = ∠EDF，则可以得到两个全等三角形。

3. ASA（angle-side-angle）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对夹角相等且一对边长相等，即满足∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，则可以得到两个全等三角形。

4. AAS（angle-angle-side）法：给定两个三角形ABC和DEF，若它们的两对夹角相等且一对角度之和为180，即满足∠BAC = ∠EDF，∠ABC + ∠BCA = ∠DEF + ∠EFD = 180，AB/DE ≠BC/EF，则可以得到两个全等三角形。

5. HL（hypotenuse leg）法：该方法适用于直角三角形。

给定两个直角三角形ABC和DEF，若它们的斜边和一对对边分别相等，即满足AC = DF，BC = EF，则可以得到两个全等三角形。

需要注意的是，在构造全等三角形时，要保证条件足够充分，即满足对应的几个条件才能得到全等三角形。

典中点全等三角形专训4 构造全等三角形的五种常用方法
◐名师点金◑
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较多易找到一些量之间的关系,使教学问题较轻松地解决。

常见的辅助线作法:翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短法,其目的都是构造全等三角形。

分法1：翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE，垂足为D求证:∠2=∠1+∠C
方法2：构造法
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交
AB于点F,连结DF。

求证:∠ADC=∠BDF
方法3：旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为CD边上一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数。

方法4：倍长中线法
4.如图,在△ABC中,D为BC的中点。

(1)求证:AB+AC>2AD
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围
方法5：截长(补短)法
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系并证明。