近似方法在物理中的应用

宽放市用备阳光实验学校专题02近似值计算法目录一、近似物理模型导致的近似值 (1)二、数学方法近似导致的近似值 (3)近似计算是物理问题中一种常用的估算方法，由此求出的物理量是近似值。

近似值的背后潜藏着一个确的真实值，近似值是对物理问题近似的描述，近似值与真实值存在着差值。

一类差值来源于物理模型的近似，另一类差值来源于数学方法的近似。

如果我们拨开包围在真实值周围的层层迷雾，就可以找寻出近似值背后的真实值。

一、近似物理模型导致的近似值近似值与真实值之间误差的第一种来源是物理模型的近似。

物理模型是对物理问题的简化与抽象，物理模型包括对象模型、过程模型、状态模型。

由于学生的知识结构的限制，在构建物理模型时，对研究对象做太多的简化，所构建的物理模型不能一步到位，把不该忽略的问题忽略了，导致了物理模型的缺陷，也是一种近似模型。

用这样的物理模型进行估算求出近似解也无不可，如果从精确计算来说，却不够至臻完善。

典例1. 〔1卷〕最近，我国为“九号〞研制的大推力型发动机联试，这标志着我国重型运载的研发取得突破性进展。

假设某次中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为×106 N，那么它在1 s时间内喷射的气体质量约为A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg 【答案】B【解析】设该发动机在t s时间内，喷射出的气体质量为m，根据动量理，Ft mv=，可知，在1s内喷射出的气体质量634.8101.6103000m Fm kg kgt v⨯====⨯，故此题选B。

【总结与点评】此题中构建物理模型非常关键，以在t s时间内喷射出这气体作为研究对象，忽略气体的重力，不计这流体与其他流体之间的相互作用，这样的物理模型是一种近似描述喷出气体运动过程的的物理模型。

针对训练1a.〔卷〕一攀岩者以1m/s的速度匀速向上攀登，途中碰落了岩壁上的石块，石块自由下落。

泰勒公式应用场景泰勒公式是一种数学工具，可以用来近似计算函数的值。

它的应用场景非常广泛，在科学、工程、经济等领域都有重要的应用。

下面将介绍几个常见的应用场景。

第一个应用场景是在物理学中的运动学问题。

泰勒公式可以用来近似计算物体在某一时刻的位置、速度和加速度。

例如，在研究自由落体运动时，可以利用泰勒公式来计算物体在某一时刻的下落距离，以及在下落过程中的速度和加速度变化。

第二个应用场景是在工程领域的信号处理中。

泰勒公式可以用来近似计算信号的频谱分布。

例如，在音频处理中，可以利用泰勒公式来近似计算音频信号的频谱，从而实现声音的分析和处理。

第三个应用场景是在经济学中的金融建模。

泰勒公式可以用来近似计算金融市场的波动性和价格变动。

例如，在期权定价模型中，可以利用泰勒公式来近似计算期权价格的变动，从而进行风险管理和投资决策。

第四个应用场景是在计算机图形学中的曲线绘制。

泰勒公式可以用来近似计算曲线上的点的坐标。

例如，在计算机游戏中，可以利用泰勒公式来近似计算角色或物体的运动轨迹，从而实现逼真的动画效果。

第五个应用场景是在生物医学工程中的信号处理和图像处理。

泰勒公式可以用来近似计算生物信号的频谱分布和图像的灰度变化。

例如，在脑电图信号处理中，可以利用泰勒公式来近似计算脑电图信号的频谱，从而实现对大脑活动的分析和诊断。

第六个应用场景是在天文学中的星体运动研究。

泰勒公式可以用来近似计算星体的位置、速度和加速度变化。

例如，在研究行星运动时，可以利用泰勒公式来近似计算行星的轨道和运动速度，从而揭示宇宙的奥秘。

以上只是泰勒公式的一些常见应用场景，事实上，泰勒公式在数学和物理的其他领域中也有广泛的应用。

通过使用泰勒公式，我们可以更好地理解和描述自然界中的各种现象，推动科学和技术的发展。

希望以上介绍能给读者带来一些启发和思考。

近似法在物理学中的应用作者：周继芳来源：《硅谷》2009年第23期[摘要]主要论述近似法的定义、近似法在物理学研究及题解中的地位和作用、近似法的三种类型即物理模型的近似、物理过程的近似和数学计算的近似,并列举近似法在物理学理论研究中的应用和题解中的应用实例。

[关键词]研究对象物理模型近似忽略中图分类号:O4-3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1210006-02“近似法”是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时,根据所研究问题的需要,忽略研究对象和问题的次要因素,突出其主要矛盾和本质特征,科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法。

近似法不仅是一种常用的解题方法和思维方法,而且也是物理学的重要研究方法之一,在物理学规律的建立过程中,广泛地使用了近似法;在建立物理模型、推导物理规律或结论,也处处渗透着近似处理的思想方法。

可以说,善于对实际问题进行合理的近似处理,是从事科学研究和学习的重要能力,是科学素质和综合能力的体现。

一、近似法的几种类型(一)物理模型的近似客观世界千头万绪,错综复杂,自然界中发生的一切物理现象和物理过程也是极其复杂的。

在一定的条件和目的下,可以事先建立一个物理模型,即抓住研究对象的主要特点和本质因素,忽略次要因素,把研究对象抽象为一个简单但足以表征其主要特征的理想化模型。

尽管物理模型存在着近似,但利用这个与实际情况差距极小的理想化模型对物理现象进行研究,得到的物理规律却是最能反映出实际研究对象行为的规律。

根据近似的具体情况,模型的近似可分为两种,一种是对研究对象本身的近似,即忽略研究对象本身的次要因素,只考虑其主要因素。

如在研究物体的机械运动时,物体的运动是问题的主要方面,如果物体的大小和形状在研究问题时所起的作用可以忽略,就可以把研究对象理想化成一个只有质量多少而没有体积和形状大小的“质点”[1];再比如点电荷模型也是科学近似的结果,实验表明,每个静止的带电体之间的作用力(静电力)除了与电量及相对位置有关外,还依赖于带电体的大小、形状及电荷的分布情况。

浅析中学物理中常见的科学方法—近似处理法江苏省如皋市丁堰中学张毕生近似处理法作为一种解决个别问题的算法，在中学物理教学中应用较为广泛。

由于它不是物理学科所特有的科学方法，常被不少人所忽视，现就此法在中学物理应用中的广泛发兵和重要性谈一些粗浅认识，敬请各位同仁指教。

一、模型建立和应用中含近似实际物理现象和过程一般都是十分复杂的，物理模型的建立排除了非本质因素的干扰，穿出反映事物的本质特征，从而使物理现象或过程得到简化和理想化。

中学物理涉及的模型常有：质点、单摆、理想气体、点电荷、理想变压器、原子模型等等，这些化模型的建立和应用中无不包含了近似处理的观点。

在建立质点模型时，忽略了研究对象的形状、线度，而抓住了其质量这一本质特征。

这样的近似处理研究问题大大简化。

当然，能否作这样的近似处理是有一定的条件的，即物体本身的形状、线度研究问题无影响或影响不大。

如研究地球的公转，地球可看成质点，但在研究地球自转时则不能作这样的近似处理；足球运动员踢出去的足球的运动轨迹，在旋转程度不大时常可看成质点，而常见的“香蕉球”则不能作这样的近似处理。

另外，实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下可近似地看成理想气体；实际变压器在忽略了其铜损、铁损、磁损时可以看成理想变压器等，这些都合理地运用了近似处理的方法。

在理想模型的应用中能否作近似处理一定要根据其条件把握好其“度”，才能不失其科学性。

二、规律和应用中显近似 物理规律是在实验或假说及数学演绎的基础上建议起来的，与自然规律相比它总是显得不够精细。

物理规律的近似来源于两个方面，首选来源于物理实验仪器的精度限制和实验环境的影响一方面来源于物理实验仪器的精度限制和实验环境蝗影响另一方面来源于对实际物理过程的理想化。

天空自由落体运动时，我们认为物体自由下落时，作初速度为零，加速度为ｇ的匀加速直线运动。

但试想一下，我们如果不断提升物体下落的高度，若我们有足够精密的仪器测量其加速度，它还能作匀加速运动吗？对其受力分析不难得到：ｍｆ－＋ｈ）（＝ｍ－ｆａ＝R M G F （其中：G —重力常数；M —地球质量；R —地球半径；ｈ—物体高度；f —空气阻力；m —物体质量）。

小角度近似方法及其在物理解题中的应用小角度近似方法是一种常用于力学中动态和静态问题解算中的一种方法，它具有计算过程简单、结果近似精确等优点，经常用于物理学解题中。

下面简要介绍小角度近似方法及其在物理解题中的应用：一、小角度近似方法1.定义小角度近似（Small Angle Approximation）方法是指某些运动不具有显著的变化，按近似处理，将某些情况简化。

一般来说，当向量之间的夹角很小时，可以做小角度近似。

2.方法（1）首先，使用数学推导方法分析问题，明确夹角范围及影响因素；（2）再按照夹角范围内的关系进行简化；（3）分析结果，解决问题。

三、小角度近似方法在物理解题中的应用1.某物体的运动小角度近似可以用于求解角度很小的情况下物体的惯性运动，比如要求一个物体在某一时刻运动的动量。

由它的定义，物体的角加速度可以被忽略不计，从而求得动量的表达式：P=mv。

对于角度很小的情况，由于其角加速度很小，近似地考虑该物体运动速度为不变，则其动量也不变。

这就是小角度近似方法应用与物体运动问题的案例。

2.类似问题除了物体运动问题，还可以使用小角度近似解决类似问题，比如求摩擦力、求重力势能、求感应电势等。

对某种情况来说，可以使用小角度近似法解出受力的关系：F=ma，以及类似的关系：F=N，N=H，V=gH等都可以采用小角度近似处理。

综上所述，小角度近似方法是找那种近似处理某些情况，并在其工程应用中得到广泛应用，尤其在物理解题中非常重要。

虽然它近似处理的情况具有一定的局限性，但小角度近似法解决问题的步骤简单，且结果接近真实现象。

1222013年第28卷第6期南昌教育学院学报高职教育收稿日期：2013-05-20作者简介：房成敏（1963-），女，辽宁营口人，高级讲师，从事物理学向研究。

近似法是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时，忽略研究对象和问题的次要因素，突出其主要矛盾和本质特征，科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法。

近似法是物理学的重要研究方法之一，善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事科学研究和学习的重要能力，是科学素质和综合能力的体现。

一、近似法在物理模型构建中的应用客观世界错综复杂，但在一定的条件和目的下，可以忽略事物的次要因素，抓住事物的主要方面，把研究对象抽象为一个简单但足以表征其主要特征的理想化模型，用理想的条件下的物理模型代替实际研究对象，进而使得研究的过程和方法得以简化。

(一)研究的对象模型化对物理模型的近似，是从实际情况中把物体抽象出来，是对研究对象本身的近似。

如忽略物体的体积和形状但有质量的质点、忽略线圈电阻和能量损失的理想变压器、在任意外力作用下都不发生形变的刚体等。

(二)研究条件的模型化对研究对象所处外界环境的近似，即把研究对象所处的外部条件合理化，忽略对物理过程没有决定性作用的因素而得到的一种理想模型。

如绝对光滑、轻杆、匀强电场、空气阻力忽略不计等，(三)运动的过程模型化很多物理过程均比较复杂，所以要对相关的过程加以分解简化，利用熟悉的物理情景和掌握的数学方法加以处理。

如等温气压公式推导过程中近似地把大气温度视为恒量等。

另外，匀速直线运动、匀速圆周运动、准静态过程、绝热过程、弹性碰撞等都是属于物理过程的近似。

二、近似法的应用实例例题1：求均匀带电圆盘轴线上P 点的场强。

已知圆盘半径为R ，电荷面密度为(＞0)。

解：设P 点距圆心O 点的距离为Z ，取图示小面元，其所带电量为。

当和足够小时，可近似认为为点电荷，由点电荷场强公式可求得它在轴线处P 点的场强大小为：(1)方向如图所示。

1 小角度近似在高中物理中的应用“微元法解题思想”是历年高考考查的重点和热点之一，也是《考纲》中应用数学知识处理物理问题能力要求的一个重要方面，中学物理中渗透“微元”思想有两个方面内容：一是变化率；二是无限小变化量.现就第二种情况中的“小角度近似”进行说明，当θ角很小时，有sin tan θθθ≈≈，这个关系在高中物理中有以下应用：1、 单摆问题【例1】试证明：在摆角很小的情况下，单摆的振动是简谐振动.【证明】如图1所示，在一根质量不计、不能伸长的细线下端系一小球（看作质点），把它拉离平衡位置O 让它开始振动.设小球运动到任一点P 时，摆线与竖直方向的夹角为α，受力情况如图1所示.把重力G 分解为沿摆线方向的分力F ’和沿圆弧切线方向的分力F. F ’跟拉力T 的合力，沿着摆线指向圆心（悬挂点），是小球运动时的向心力，它只改变小球运动的方向，不改变运动的快慢.因此，在研究小球振动过程中位置变 图1化时，不需要考虑向心力，而只考虑重力沿圆弧切线方向的分力F ，这个分力F 就是小球振动时的回复力.由于重力G=mg 沿圆弧切线的分力F=mgsin α.当α很小时（50以下），圆弧可以近似的看成直线，分力F 可以近似地看作沿这条直线作用，OP 就是小球偏离平衡位置的位移x.设摆长为l ，因为sin α≈x l ，所以F= -mg x l .由于m 、g 、l 都有一定的数值，mg l 可以用一个常数k 来代替，所以上式可以写成F=-Kx. 负号表示力F 跟位移x 的方向相反.可见，在摆角很小的情况下，单摆振动时的回复力跟位移成正比而方向相反，它的振动是简谐振动.2、视深问题【例2】某水池实际深度为h,垂直于水面往下看，视深度是多少（设水的折射率为n ）?【解析】.设水池底部有一点光源S ，它到水面的距离为h ，从s 发出的光线中选取两条入射光线SO 和SA ，其中SO 垂直于水面MN ，由O 点射出；SA 与SO 成极小角度，由A 点折射到空气中.因入射角极小，故折射角也极小，那么进入人眼中的两条折射光线的反向延长线将交于S ’点，该点即为我们看到的水池底部点光源S 的虚像点.设S ’点到水面的距离（视深度）为h ’. 如图2所示可以看出视深度小于实际深度.由图2知tan 1θ=AO h ,tan 2θ='AO h , ① 因为1θ、2θ很小，所以tan 1θ≈sin 1θ ；tan 2θ≈sin 2θ.② 图2 由①②知12sin sin θθ≈12tan 'tan h hθθ=.③ 又因折射率n=21sin sin θθ.④ 由③④知h ’=1h n .即视深度为实际深度的1n.。

小量近似方法应用两则小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。

这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有θθ=sin ，1cos =θ；在研究一个普通量时，可以忽略小量。

一、欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：μθe F F 12=，其中F 1代表我们所用的力，F 2代表我们所要对抗的力，e 代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。

若取2.0=μ，πθ12=，则2000188112≈=F F 。

所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。

下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧l ∆为研究对象，受力分析如图所示，F 和F F ∆+为小弧两端所受张力，N F 为柱体对绳的压力，f 为静摩擦力。

根据平衡方程，得：()2sin2sinθθ∆∆++∆=F F F F N （1） ()f F F F +∆=∆∆+2cos 2cos θθ （2）临界情况N F f μ= （3）θ∆很小，有22sin θθ∆=∆，12cos =∆θ所以 θ∆=F F Nf F =∆即 θμ∆=∆F F 或θμ∆=∆FF两边求和θμ∆∑=∆∑FFθμ∑∆=∑∆F lnμθ=-12ln ln F F或 μθ=12lnF F 故 μθeF F 12=即两张力之比按包角呈指数变化。

儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。

不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。

他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。

研究性学习课题：物理习题中的近似估算法初探一、教案描述（1）问题的提出：物理估算题和常规计算题的解题步骤虽然相似，但也有其自身特点，其题文表述简洁、条件隐蔽，常使学生无从下手，掌握其解题要领尤为重要。

近似估算法是一种半定量的物理方法，是根据物理基本原理通过粗糙的物理模型进行大致的、简单的推理或对物理量的数量级进行大致的推算。

它可以很好的培养学生对物理量的估算能力，同时增强他们对物理现象的实感，培养他们的科学素质，已成为高考命题中的一个热点。

高中物理主要涉及的力、热、光、电、原子物理等几部分知识，均涉及到估算问题。

在分析近似估算物理问题时，无需追求结果的精确性，而是忽略次要因素，突出主要矛盾，抓住问题的本质，充分运用物理规律和有关数学近似计算公式，对物理量的数量级进行快速计算和大致数据范围进行科学合理推算的方法。

它不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是一种重要的科学研究方法。

（2）问题示例：例1. 图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分辨出，在曝光时间内，子弹影象前后错开的距离约为子弹长度的1%～2%．已知子弹飞行速度约为500m/s，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（）A．10-3s B．10-6s C．10-9s D．10-12s例2.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（）A. 0.2B. 2C. 20D. 200例3.卫星电话信号需要通地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105k m，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3x108m/s）（）A．0.1s B．0.5s C．0.25s D．1s二、研究成果部分展示〈一〉力学部分的估算问题力学部分的估算问题，多集中于天体测量方面，当然其他方面也有涉及。

目录1、晶格振动和晶体热熔理论中的近似方法1.1格波的讨论1.2简正振动1.3长波近似2、能带理论中的近似方法2.1能带理论的基本假设2.2近自由电子近似2.3紧束缚近似2.4能带计算的近似方法1.1格波的讨论原子链的振动----一维布拉菲格子的情形（简谐近似）晶体中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不动，而是为绕其平衡位置作振动。

晶体中各原子的振动是相互联系的。

用格波表述原子的各种振动模式，当原子间相互作用微弱时，原子的振动可近似为相互独立的简谐振动，这里的格波为平面简谐波，讨论的是简谐近似。

具体如下：考虑由一系列质量为m 的原子构成的一维原子链。

设平衡时原子间距为a 。

（如图一）由于热运动，原子离开各自的平衡位置，由此由于受到原子间相互作用所产生的恢复力，各原子具有返回平衡位置的趋势。

下面讨论在原子间相互作用下，原子所受恢复力与相对位移的关系。

设在平衡位置r=na 时，两个原子间的相互作用势能为U(na),产生相对位移后，相互作用势能变为U(na δ+)。

将U(na δ+)在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得()2221()2nana d d U U na U na dr dr δδδ⎛⎫⎛⎫+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （1）当振动很微弱时，δ很小，势能展式中只保留到2δ项，则第n+1个原子的恢复力近似为21,12()()n nna n n dU d Uf x x d drδβδβδ++=-=-=-=-- （2）图片1 一维原子链的振动式中 22()na d Udrβ= β称为恢复力常数，相当于弹性系数。

除受到第n+1个原子的作用力外，原子n 还受到第n-1个原子的作用力，其表达式为(),11n n n n f x x β--=- （3）公式编号右对齐如果仅考虑相邻原子的相互作用，则第n 个原子所受到的总作用力为()1,,1112n n n n n n n f f f x x x β+-+-=-=-+-第n 个原子的运动方程可以写为()21122nn n n d x m x x x dtβ+-=--- ()1,2,n N = （4） 对于每一个原子，都有一个类似式（4）的运动方程，方程的数目和原子数相同。

数学物理方程及其近似方法嘿，咱今儿就来聊聊这数学物理方程及其近似方法。

你说这数学物理方程，那可真是科学世界里的一座大山啊！它就像是一个神秘的密码箱，里面藏着无数的奥秘等待我们去解开。

想想看，那些复杂的符号和式子，可不就是一个个小机关嘛！数学物理方程在很多领域都有着至关重要的作用呢！比如说在物理学中，它能帮助我们理解各种自然现象，从微小的粒子运动到浩瀚的宇宙变化。

就好像是一把神奇的钥匙，能打开各种未知世界的大门。

那这近似方法又是啥呢？这就好比是我们在爬山的时候，有时候没法一下子就爬到山顶，那就找个差不多的路先走走看呗！它能让我们在面对复杂得让人头疼的数学物理方程时，找到一个相对简单的方法来接近答案。

比如说，有时候我们直接去求解方程太难了，那我们就可以用近似方法，把一些复杂的部分简化一下，先得到一个大概的结果。

这就好像是你想吃一个大蛋糕，一下子吃不完，那就先切一小块尝尝味道嘛！你想想，要是没有这些近似方法，那我们面对那些超级复杂的方程岂不是要抓耳挠腮，毫无办法啦？近似方法就像是给我们搭了个梯子，让我们能一步步往上爬。

再打个比方，近似方法就像是我们走路时的拐杖，能帮我们在崎岖的道路上走得更稳。

它虽然不是最完美的，但却能在很多时候给我们带来很大的帮助。

而且哦，随着科技的不断发展，近似方法也在不断地改进和完善呢！就像我们的生活越来越好一样，这些方法也变得越来越厉害。

总之呢，数学物理方程及其近似方法可不是什么遥不可及的东西，它们就在我们的生活和科学研究中发挥着巨大的作用。

我们要好好去了解它们，利用它们，让它们为我们打开更多知识的大门，探索更多未知的领域呀！这不就是我们追求知识的乐趣所在嘛！难道不是吗？。

浅谈近似法在高中物理中的应用李建立浙江省象山县石浦中学高中阶段，由于受到学生认知结构和数学水平的限制，很多的物理问题均要做近似处理后方可被学生接受。

因而常常用到近似法，所谓近似法是指在研究物理问题时，忽略问题的次要因素，抓住问题的主要因素，采用近似处理的手段简化求解的过程。

在高中阶段，近似法是学生学习和处理物理问题时最常用的一种方法。

一近似法在物理模型构建中的应用解决物理问题，无不联系着一定的物理模型，对这些模型的数字描述，不可能也没必要追求“精确”，可以运用近似处理的方法，通过简化的运算和描述来反映基本的物理特征，即要用理想条件下的模型代替实际研究对象，从而使得研究的过程和方法得以简化，在高中阶段学生常见的模型有：1．研究对象的模型化研究某一具体的物理过程时，首先要选择研究对象，而现实世界中物体的形状千奇百怪，当我们研究它们时，必须排除它们的次要因素，从实际情况中把物体抽象出来，如单摆、光线、质点、点电荷、光滑平面、轻质弹簧、理想变压器、点光源、电场线、磁感线等。

2．研究条件的模型化将研究对象抽象后，接下来要分析物体的运动过程，而影响物体运动的因素有很多，所以仍要将一些次要因素予以排除，如：绝对光滑、匀强电场、空气阻力不计等。

当然很多的条件模型要分清适应的场所，如带电粒子在电场运动中重力是否可忽略不计，要看具体情况。

3．运动过程的模型化做好以上两点后，接下来应具体分析物体的运动过程。

很多的物理过程均比较复杂，因此要对相关的过程加以分解，利用熟悉的物理情景和掌握的数学方法加以处理。

如匀速直线运动、匀变速直线运动、匀速圆周运动等。

例1，光滑水平面AB长l＝0.134m，与光滑的圆弧轨道BC相连，图1所示BC所对圆心角为，圆弧半径R＝1m，在C处有一质量为m1的小球甲由静止下滑，滑至B点与质量为m2的静止小球乙正碰，碰撞后甲球以原来速率的反向弹回，乙球滑至A点与挡板弹性碰撞（动能不变），要使甲乙两球再次相遇于B点，则两球的质量之比应为多少？解析：要使甲乙两球经碰撞以后再次在B点相遇，应求得碰撞后甲球往返所需时间，而甲球在圆弧上运动的时间是很难用运动学知识得到的。

学年论文题目：浅谈固体物理学中近似方法系别：专业：年级：学号：学生：指导老师：2012年12月浅谈固体物理学中的近似方法学生姓名指导教师:系别：专业：班级：学号:摘要：本文从物理学的角度对近似法进行了介绍，并通过固体物理学中近似法的引用，让大家对近似法有了一个初步的认识，并解释了近似法在物理教学中的重要性与实用性。

关键词：近似法固体物理晶格0引言固体物理学是研究固体的性质、它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质的关系的学科。

固体的内部结构和运动形式很复杂，固体物理学中近似方法是一种重要的计算方法．指以近似数为计算对象的数学计算方法。

近似地表示某一个量的真正值的数（准确数），称为近似数。

在实际问题中所遇到的数，多半是近似数，因此，近似计算方法是极其重要的。

1 近似法“近似法”是指在分析、处理和研究某些物理现象和问题时，根据所研究问题的需要，忽略研究对象和问题的次要因素，突出其主要矛盾和本质特征，科学、合理地对所研究的问题进行近似处理的方法。

近似法不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是物理学的重要研究方法之一。

善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一。

因此在中学物理教学中注重近似方法的理解和应用，主要应使学生理解学习近似计算的实际意义，正确地建立起近似数的概念；同时使学生学会计算法则，进行合理的近似计算。

固体物理中《周期场中的电子态》的内容当中单电子近似，布洛赫波，近自由电子近似和紧束缚近似，能带，这些都是在用“近似法”。

比如近自由电子近似和紧束缚近似两种极端情形下的讨论中得出了共同的结论，即晶体中电子的能极形成允带和禁带，但为了能和实际晶体的实验结果相比较，使用尽可能符合晶体实际情况的周期势，求解具体Schredinger 方程的尝试从没有停止过，最早的一个模型是1931年kronig 一penncy 一维方形势场模型，它可以用简单的解析函数严格求解，也得出了周期场中运动的粒子允许能级形成带，能带之间是禁带的结论，但这是一维周期势场，还不能算是真正的尝试。

近似思想在解决物理问题中最普遍的应用就是小量的近似计算，主要体现在物理量趋向于无穷小、物理量呈现线性变化的关系以及小角度的几何计算等方面.这些内容均属于教学的难点，是近年来物理选考以及竞赛的重点考查内容，也是学生不容易理解与掌握的知识要点.本文从比值定义法、图像法以及三角的几何关系来对教材中所涉及的小量计算进行一定的分析说明，从近似关系的应用上结合数学工具对几个常见的涉及小量计算的问题加以探讨，体现出小量近似法在解决具体物理问题中的重要性.1比值定义法中的小量近似计算1.1教材中比值定义法的体现与应用人教版物理必修1教材中写道：平均速度只能粗略地描述物体的快慢.为了描述精确些，可以把Δt取得小一些，物体在从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异性就小一些.Δt越小，运动的描述就越精确.当Δt非常小时，我们就把ΔxΔt称作物体在时刻t时的瞬时速度[1].此处所说的“Δt非常小”渗透了无穷小的数学思想，但是对于学生而言，可能存在疑惑.首先，瞬时速度描述的是某一时刻的运动快慢，而不是一段时间里的运动快慢，即便是Δt非常小，还是一段时间；再者，瞬时速度描述的是某一时刻的速度，其对应的应该是该时刻物体所处的一个位置坐标，而非位移，显然不满足速度的比值定义法.事实上，物体运动经过某一个位置，虽然这个位置固定不动，但是运动的物体不是停留在这一点，只是经过这一点.所以在这一点的速度应该理解为在该位置附近很短时间内ΔxΔt的值[2].为了加深学生的认识与理解，结合数学计算的工具，可以设置这样的一个问题：假定一个物体做变速直线运动，其位置坐标随时间变化的关系为x=t2，求物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度.例谈小量近似法在解决高中物理问题中的体现与运用浙江省湖州市菱湖中学沈卫313018摘要：小量近似思想作为一种重要的思想方法在高中物理教学中具有重要的作用，在教学过程中针对学生的实际情况适时地对小量近似计算的方法进行一定的渗透讲解有助于发展学生思考难点、解决难题的思维与能力.本文将从比值法、图像法与几何关系的角度出发，来对教学中涉及小量近似运算的典型例子进行一定的分析说明.关键词：小量近似；比值定义法；图像面积；几何关系F 0Δm gΔx在极短的一段时间Δt 内被加速到v 0并被提起的长为Δx 的绳子体元经过理论推导，可得到在这段时间间隔内的平均速度满足：v =Δx Δt =(t +Δt )2-t 2Δt==t 2+2t Δt +Δt 2-t 2Δt=2t +Δt .当Δt 趋向于0时，计算所得的平均速度就会趋向于一个确定的速度2t .因此从近似计算的角度，当时间间隔Δt 取趋向于0的小量时，利用速度的比值定义法v =Δx Δt就可以求解物体在t时刻的瞬时速度.1.2利用比值定义法解决小量计算的具体问题问题呈现1：如图1所示，光滑水平桌面上盘绕着长为L ，质量为m 的均质柔软细绳，绳子的一端以恒定的速度v 0被匀速向上提起，当绳子被提起l 的长度时，上端作用力F 有多大？分析：对于这个问题，多数学生只以为是一个简单的平衡问题，既不会考虑小量也不会考虑近似，更加不会把它和比值定义挂上钩.因为在对绳子进行受力分析后得出的结论是：提起的长为l 的绳子，受到自身重力与向上的拉力的作用，且绳子处于匀速运动状态，由受力平衡得出F =m g lL.这种分析方式忽略了绳子被提起时由静到动所需要的作用力F 0，如图2所示，这个作用力使未被提起的绳子由静止加速到v 0，同时又保证被提起部分达到受力平衡的状态.因此解决这个问题就应该从这两个方面考虑.解析：①对于被提起的长为l 的绳子，根据匀速运动的平衡关系可以得到F =F 0+m g lL，显然F 0未知，无法根据这个关系直接得出拉力F 的大小.②设该段绳子的线密度为λ，则有λ=m L，其中盘绕在水平桌面上的绳子在极短的一段时间Δt （Δt 趋向于0）内，有很短的一段绳子体元Δx 会被加速到v 0的速度并被提起.该过程中的加速度满足牛顿第二定律：F 0-Δm g =Δma ，由于Δm =λΔx ，Δt 趋向于0，根据近似思想可略去小量Δm g ，因此该动力学方程可转化为F 0=λΔxa ，同时在Δt 时间内，绳子做匀速直线运动而被提起的长度Δx =v 0Δt ，根据加速度的比值定义法：a =Δv Δt =v 0-0Δt =v 0Δt.结合上述各式可以得到F 0=λv 0Δt v 0Δt=mv 20L .因此，当绳子被提起l 长度时，上端的作用力F =m g l L +mv 20L.其中mv20L即为提起的绳子部分与桌面绳子部分的相互作用力，而小量近似下的比值定义法能够很好地解决这个相互作用力，并且容易被学生所接受与理解.2物理量呈线性变化下的小量运算问题2.1变力做功问题——弹簧弹力做功的求解在必修2教材中，针对弹簧弹力这个变l F图1FF 0m g lL被提起的长为l 的绳子部分图2Δl 1Δl 2Δl 3Δl 4Δl 5F 1F 2F 3F 4F 5力做功的求解，所采用的方法是将弹簧拉长的过程细分成无穷多的小段Δl ，且这些小段足够的小以至于在这些小段上可近似认为弹簧的弹力是恒定不变的，从而达到化变为恒的效果，如图3所示.可以得到弹簧被拉长过程中弹簧弹力做的总功为W =F 1Δl 1+F 2Δl 2+F 3Δl 3+F 4Δl 4……由于弹簧弹力的公式满足胡克定律F =kL ，类比于应用v -t 图像中的图形面积求解匀加速直线运动的位移，在这里也可以利用F -L 图像（弹簧弹力—弹簧伸长量的图像）的图形面积求解弹簧弹力在弹簧被拉长过程中所做的功，如图4所示.2.2运用图像法求解非匀变速直线运动的时间问题呈现2：如图5，水平面内有一固定金属导轨，其MN 、PQ 边的电阻不计，MP边的电阻阻值R =1.5Ω，MN 与MP 的夹角为135°，PQ 与MP 垂直，MP 边长度小于1m.将质量m =2kg 、电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP 平行，棒与轨道间动摩擦因数μ=0.1.棒与MN 、PQ 交点G 、H 间的距离L =4m ，空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B =0.5T .在与棒垂直的水平拉力作用下，棒由GH 处以一定的初速度水平向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等.问：若初速度v 0=3m/s ，求导体棒向左移动距离2m 到达EF 所需时间Δt .分析：导体棒的切割速度在不断增大，但是运动并不是匀加速直线运动，因此运用匀变速直线运动的平均速度公式无法求解该过程的时间.由导轨的几何条件可以知道，当导体棒左移x 的距离，其切割的有效长度也变为L -x ，且切割长度随前进的距离呈现线性变化.回路中电流强度不变可知导体棒切割的感应电动势不变，由此在变化的物理过程中建立起恒定不变的物理关系BLv 0=B (L -x )v .依据小量近似思想，取极短的一段时间Δt ，对应导体棒运动了距离Δx ，此过程中导体棒的运动近似看成是匀速直线运动且导体棒切割的有效长度不变.解析：根据分析说明，可以得出v =Δx Δt，Lv 0=(L -x )v =(L -x )Δx Δt，因此有Δt =L -x Lv 0Δx ，代入数据得Δt =(13-x 12)Δx .取t (x )=13-x 12，可作出t (x )-x 图像如图6所示.显然图中阴FOLOLF以小矩形面积表示一小段位移内弹力做的功，矩形面积之和可以粗略表示整个过程的位移如果位移分得非常细，他们的面积就等于图线与两个坐标轴围成的梯形的面积图4图3MR PFHQEGN图5影部分的梯形面积表示的就是导体棒左移2m距离所需的时间，大小为Δt=0.5s.虽然对于该题的解法还可以根据电流大小恒定不变,采用电磁感应中的电荷量与磁通变化量的关系式及电流的定义式来解决，但是运用小量近似结合图像法解决问题也不失为一种可行的方式.在平时的教学实践与问题解决的过程中依据问题的条件适时地引入小量近似法可突出化变为恒、数形结合的基本思想，从而有助于锻炼学生的思维，拓宽学生考虑问题的思路与角度.3几何近似极限下的小角度运算3.1向心加速度公式推导过程中的小角度近似运算如图7所示，在一个小时间段Δt→0内，Δθ→0.根据图中的几何关系，在弧度制下，速度的改变量Δv=v·Δθ，则向心加速度a=ΔvΔt=vΔθΔt=vω=ω2r=v2r[3].这种推导过程简单明了，充分体现出了小量近似思想在物理模型运算与解析中的作用，也说明这是帮助学生理解教材内容，透析概念与规律的良好方式与途径.3.2运用几何法的三角近似关系解决实际问题问题呈现3：如图8所示，两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一个质量为m 的小物块.平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳的长度为l0.现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放，证明小物块做简谐运动.分析：当物体处于平衡状态下，可以设弹性绳的形变量为Δl，因此有2kΔl sinα0=m g，如果物体在下拉一段微小的距离x并放手后物体做的是简谐运动，那么该处就是平衡位置，而x则属于位移小量，左边的弹性绳在物体下拉后的形变如图9所示，假定弹性绳的形变量变为Δl′，则Δl′=Δl+x sinα，这个关系的得出取决于x是微小量，因此做BC垂直于AD，那么∠DBC近似等于α0.取竖直向下为物体运动的正方向，由小物块的受力条件可以得出其所受的合力F=m g-2kΔl′sin(α+α0).由二角和公式sin(α+α0)=sinαcosα0+cosαsinα0.物体被下拉微小距离x导致弹性绳与水平面的夹角变化也是极小的，所以角度变化量α属于小量且趋向于0，如此不妨取α= 0，则有cosα=1，sinα=α.在无穷小近似的情况下，圆弧的弧长近似等于圆弧上两点间的弦长，如图9的△ABC可近似看成以A 为圆心，l0为半径的扇形，在弧度制下有||BC=||BD cosα0=x cosα0，sinα=α=x sinα0l0.解析：在分析过程中渗透的小量近似计算的思想，解决了模型构建的数学分析t(x)13O24x/m图6vΔθvΔθv′图7l0α0图8α0αα0ABDC x图9问题.对于小物块是否做简谐运动，只需要证明小物块所受的回复力F满足F=-kx 即可.根据分析所得的结果，可以得到小物块在被下拉微小距离x之后所受合力F 的关系式为F=m g-2k(Δl+x sinα0)⋅(sinα0+x cos2α0 l0)，整理之后得F=m g-(2kΔl sinα+2kΔlx cos2αl0+2kx sin2α+2kx2sinα0cos2α0l0),由x的无穷小量特征，略去x的高阶无穷小，且2kΔl sinα0=m g，故有F=-(m g cos2α0 l0sinα0+2k sin2α)x，满足回复力公式，故证明物块的运动为简谐运动.4结束语思想的体现与方法的运用要依托于具体的问题载体，因此在教学中教师要善于整理、归纳、总结，对于常见的问题载体与对应方法的运用进行提炼、加工、深化，从而基于有限的问题资源将方法运用的物理实质加以呈现，突出思想与方法在解决不同问题时所具备的共性，从而引导学生在掌握解决问题方法的同时提升自身的思维能力.小量近似的思想与计算方法在教材中的体现颇多，是高中物理学科中所运用到的重要思想与方法，如果能够在平时的教学实践与问题解决中加以深化拓展，对于提升学生解决问题的能力、培养学生建立严谨科学的思维模式可以起到重要的作用.参考文献[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书物理必修1[M].北京：人民教育出版社，2010：16.[2]魏佳兵.“瞬时速度”的概念教学宜逐步推进[J].物理教学探讨，2011，29（09）:24-25. [3]胡杨洋，石尧.显化科学方法的高中物理教材编写研究[J].中学物理教学参考，2015，44（05）：16-17.解析：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n 2时，an =Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n.a1也满足an=n，故数列{}a n的通项公式为an=n.（2）由（1）知bn=2n+(-1)n⋅n.当n为偶数时，Tn=(21+22+⋯+2n)+[-1+2-3+4-⋯-(n-1)+n]=2(1-2n)1-2+n2=2n+1+n2-2；当n为奇数时，Tn =（21＋22＋…＋2n）＋[-1+2-3+4-⋯-(n-2)+(n-1)-n]=2n+1-2+n-12-n=2n+1-n2-52.所以T n=ìíîïï2n+1+n2-2(n为偶数)2n+1-n2-52(n为奇数)．点评：在求前n项和时，一般是先求出n为偶数时的和，而当n为奇数时，则前面的n-1项和可仿照前面n为偶数时的求和，然后再加上最后的第n项得到．(上接第19页)。

无穷远边界条件的近似及其对有限元方法的应用
一、无穷远边界条件的近似
在有限元方法中，往往需要考虑无穷远处的边界条件，但直接处理无穷远边界条件通常比较困难。

因此，常采用一些近似方法来处理无穷远边界条件，常见的有以下几种方法：
1.物理近似法
通过对理论或实验数据进行分析和预测，确定其在边界处的趋势，将其拓展到无穷远处，作为无穷远边界条件的近似。

2.半无限域模型
将要求解的问题看做是在一个较大的区域中求解，但实际上只需要以该区域的一部分为计算区域，将其余区域视为无穷远，利用半无限域模型来近似处理无穷远边界条件。

3.边界元法
边界元法是一种边界积分方程的求解方法，通过对物理量在边界上的积分表示进行离散化，避免了求解问题内部值，从而不需要处理无穷远边界条件。

二、无穷远边界条件的在有限元方法中的应用
1.电磁场问题中的应用
电磁场问题中常常需要考虑无穷远边界条件，通过使用物理近似法和半无限域模型来近似处理。

例如，在求解电磁波散射问题中，可以将散射点远离物体的距离设定为无穷远，以此近似无穷远边界条件，并应用有限元方法进行求解。

2.弹性力学问题中的应用
求解弹性力学问题中，需要处理无穷远处的边界条件，通常采用物理近似法和半无限域模型来处理。

例如，在求解地震波传播问题中，可以将模拟区域确定为一个有限大小的区域，并通过物理近似法来近似处理无穷远边界条件。

通过有限元方法求解，可以得到地震波在该区域内的传播情况。

总之，无穷远边界条件的近似以及在有限元方法中的应用，是求解复杂问题的关键之一。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的处理方法来保证求解的准确性和可靠性。

固体物理中,能带论的三个近似1.引言1.1 概述固体物理是研究固体材料中原子或分子的行为和性质的学科领域。

能带论是固体物理中一个非常重要的理论，它描述了电子在晶体中的能量分布及其行为规律。

能带论的三个近似是固体物理中非常重要的概念。

第一个近似是关于能带的定义和特点。

能带是指具有相似能量的电子态的集合。

在固体中，原子间的相互作用引起了电子的周期性排列，形成能带结构。

能带结构决定了电子能量的分布及其在固体中的运动方式。

根据波尔兹曼统计，能带中的电子填充情况将影响固体的导电性、磁性等物理性质。

第二个近似是关于周期势场下的能带结构。

周期势场是指固体中原子间的周期性排列造成的电子受到的平均势场。

在周期势场下，电子的行为将受到布洛赫定理的约束，即电子波函数在晶格周期性重复。

这样，能带结构就可以通过布洛赫定理进行简化描述，从而得到电子能量与波矢的关系。

第三个近似是近自由电子近似。

近自由电子近似是指在某些特定材料中，电子在晶格势场下的运动表现出类似自由电子的行为。

在近自由电子近似下，电子的能量分布可以用简单的能带模型来描述，以及电子的运动类似于自由电子在真空中的运动。

这种近似计算方法在一些金属或导体中得到了广泛应用。

综上所述，能带论的三个近似是固体物理中不可或缺的工具，它们对于解释和预测固体材料的性质具有重要意义。

本文将对这三个近似进行详细的介绍和分析，并展望能带论在未来的发展和应用前景。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分，分别是引言、正文和结论。

每个部分将有不同的子节，以便深入探讨和解释固体物理中能带论的三个近似。

引言部分将提供对整篇文章的概述，阐明本文的目的和重要性。

我们将简要介绍固体物理领域中的能带论及其在研究材料性质和电子行为上的重要性。

同时，引言还将展示本文的结构，介绍每个部分的主要内容及其相互关系。

正文部分将详细讨论能带论的三个近似。

第一个近似部分将探讨能带的定义和特点，以及简化的布洛赫定理。