复变函数论钟玉泉第六章

复变函数钟玉泉讲义大学复变函数课件复变函数第一节解析函数的概念及C.-R.方程1、导数、解析函数定义2.1：设是在区域内确定的单值函数，并且。

如果极限存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。

定义2.2：如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为或。

注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，，则称在处可导。

注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立；注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

解析函数的四则运算：和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：。

复合求导法则：设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有求导的例子：（1）、如果（常数），那么；（2）、，；（3）、的任何多项式在整个复平面解析，并且有（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与是实变量时相同。

2、柯西-黎曼条件可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理2.1 设函数在区域内确定，那么在点可微的充要条件是：1、实部和虚部在处可微；2、和满足柯西-黎曼条件（简称方程）证明：（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时其中，。

比较上式的实部与虚部，得因此，由实变二元函数的可微性定义知，，在点可微，并且有因此，柯西-黎曼方程成立。

（充分性）设，在点可微，并且有柯西-黎曼方程成立：设则由可微性的定义，有：令，当（）时，有令，则有所以，在点可微的。

定理2.2 设函数在区域内确定，那么在区域内解析的充要条件是：1、实部和虚部在内可微；2、)和在内满足柯西-黎曼条件（简称方程）关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到的；注解2、解析函数的导数形式更简洁：公式可避免利用定义计算带来的困难。

[10019]复变函数论自学考试大纲浙江省高等教育自学考试办公室二OO四年十二月指定教材：《复变函数论》，钟玉泉编，高等教育出版社2004年1月第3版一、课程性质与说明复变函数论是高等师范数学专业基础课程之一。

复变函数论主要研究解析函数。

解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。

复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。

共形映射是复变函数几何理论的基本概念。

留数理论和共形映射也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。

二、考核目标第一章复数与复变函数复数和平面点集是研究复变函数的基础。

复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因而有其新的含义与特点。

（一）目的和要求1．明确复数、区域、单连通区域、多连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。

2．明确复变函数连续性等价于其实部与虚部的连续性。

3．掌握复数的计算，会应用模和辐角的性质。

4．会作点集的图形，掌握一些简单函数的变换性质。

（二）主要内容1．复数复数的表示式及代数运算、复数的模及辐角、共轭复数、复数在几何中的应用。

2．复平面上的点集平面点集、曲线、区域。

3．复变函数复变函数的概念、极限及连续性。

4．复球面及无穷远点复球面、无穷远点及扩充复平面。

第二章解析函数解析函数是本课程的主要研究对象，它是一类特殊的可微函数。

判断函数可微和解析的主要条件是柯西－黎曼条件。

复变函数中各类基本初等函数之间，具有明确的统一性。

（一）目的和要求1．正确理解复变函数的可微、解析函数等基本概念。

2．明确柯西－黎曼条件与函数可微性、解析性的关系。

3．明确复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点。

n的单值解析分支并能求其函数值。

4．能确定根式函数z（二）主要内容1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件2．初等解析函数指数函数、三角函数、根式函数和对数函数的单值解析分支、反三角函数、一般幂函数和一般指数函数。

《复变函数》课程考试大纲（Complex Variables Functions）课程编号：03110094课程类型：专业核心课所属教研室：数学与应用数学教研室总学时：45学分数： 3考核对象：09级数学与应用数学专业本科生执笔者：编写日期：一、课程性质与考试目的：《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业核心课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。

从数学理论角度看，它是数学的重要分支之一，内容丰富而完美。

在实用上，对力学、电学及理论物理等学科有着重要的应用。

复变函数方法是工程、科技的常用方法之一。

通过本课程的学习，一方面可以加深对《数学分析》中基础理论的理解，另一方面可以进一步锻炼学习者的能力，为他们下一步的学习奠定基础。

本课程主要研究解析函数，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的幂级数表示法、解析函数的洛朗展式与孤立奇点、留数理论及其应用、共形映射这七部分必讲内容，这七部分内容涵盖了复变函数中三大理论（积分理论、级数理论、几何理论）的所有内容。

通过考试，不仅要考查学生对于该课程的基本概念、基本性质、基本理论理解、掌握得是否准确、全面，而且要考查学生分析问题和解决问题的能力是否得到提高，运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等的能力是否得到发展，从而检查平时教学是否达到了教学要求，完成了教学大纲所提出的目标和任务。

二、考试内容及要求：第一章复数与复变函数【本章重点】复变函数的概念、极限与连续性1、考试内容：复数的概念，复变函数的极限和连续的概念；复数的乘幂与方根，复数方程；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。

2、考核要求：（1）．了解：区域的概念，复变函数的极限和连续的概念，扩充复平面；（2）．理解：复变函数概念；（3）．掌握：复数的概念、表示方法及其运算；复数运算的几何意义与复数方程表示的几何图形；复数的乘幂与方根；平面曲线(特别是简单闭曲线，光滑曲线或按段光滑曲线)与平面区域(包括单连通域与多连通域)。

《复变函数论》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《复变函数论》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是数学与应用数学专业的专业主干课程。

复变函数（主要是单复变函数）是十九世纪数学最独特，最富有成果的创造，它差不多统治了整个十九世纪的数学。

在这个领域，数学家们进行了深刻，富有成效的研究，使复变函数逐渐发展成为一门相对成熟的学科，内容丰富而完美。

现在复变函数已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支。

并且广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。

开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。

教学时间应安排在第四学期。

作为数学分析课程的一门后继课程，在教学过程中应注意复变函数论与数学分析在概念方法上的相似与联系、区别与发展，强调知识的系统性。

第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用由四川大学钟玉泉编写的、高等教育出版社2004年出版的《复变函数论》第三版一书，作为本课程的主教材。

为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书：1、钟玉泉，复变函数学习指导书，高等教育出版社，19982、孙清华，赵德修，新编复变函数题解，华中科技大学出版社，20013、余家荣，复变函数，高等教育出版社（第二版），19924、郑建华，复分析，清华大学出版社，20005、方企勤，复变函数教程，北京大学出版社，1996第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章复数与复变函数本章介绍的是复变函数的一些最基本的概念，是中学学习的复数相关概念的衔接和发展。

首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan 曲线以及复变函数的极限与连续等概念；最后还要引入复球面与无穷远点的概念。

通过这一章的学习，学习者要掌握复数的三种表示；区别辐角与主辐角；熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算；对复平面上各种点集定义能够形象理解切实掌握；充分理解复球面和无穷远点与扩充复平面的对应。

《复变函数》教学大纲（课程编号：）一、教学目的和任务通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。

为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。

通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。

研究复变数之间的相互依赖关系是复变函数这门课程的主要任务。

本课程要求学生理解复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念，掌握解析函数的理论和方法。

二、本课程的基本要求复变函数论是统计学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。

它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。

学完本课程后，应达到下列要求：1、明确复变函数课程的学习目的和基本要求。

2、掌握复变函数论的基本理论和方法。

3、加强学生逻辑思维能力、抽象思维能力的训练。

4、了解本课程中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能够根据不同的要求，做出正确的解释、说明和论述。

5、初步具有独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。

三、课程内容、重点和要求第一章复数与复变函数教学内容：复数,复平面上的点集,复变函数,复平面与复球面。

本章重点：复数的运算和各种表示法；复变函数以及映射的概念。

教学要求：理解复数的概念，掌握复数的表示方法；掌握复数的四则运算及乘幂与方根；了解复平面上点集的基本概念，理解区域与约当曲线的概念；理解复变函数的概念，掌握复变函数极限与连续性；了解复球面与无穷远点的概念。

第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼方程，初等解析函数，初等多值函数。

本章重点：解析函数的概念；函数解析性的判别。

教学要求：理解解析函数的概念，掌握柯西－黎曼条件；理解初等解析函数：指数函数和三角函数的概念，了解双曲函数的概念；理解初等多值函数：根式函数和对数函数的概念，了解幂函数、指数函数和反函数的概念。

第六章 留数理论及应用第一节 留数1、留数定理：设函数f (z )在点0z 解析。

作圆rz z C =-|:|0，使f (z )在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分⎰Cdzz f )(等于零。

设函数f (z )在区域R z z <-<||00内解析。

选取r ，使0<r<R ，并且作圆r z z C =-|:|0，那么如果f (z )在0z 也解析，则上面的积分也等于零；如果0z 是f (z )的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零；这时，我们把积分⎰Cdzz f i )(21π定义为f (z )在孤立奇点0z 的留数，记作),(Res 0z f ，这里积分是沿着C 按逆时针方向取的。

注解1、我们定义的留数),(Res 0z f 与圆C 的半径r 无关：事实上，在Rz z <-<||00内，f (z )有洛朗展式：∑+∞-∞=-=n nnz z z f )()(0α，而且这一展式在C 上一致收敛。

逐项积分，我们有,2)()(10-+∞-∞==-=∑⎰⎰απαi dz z z dz z f n CnnC因此，10),(Res -=αz f 。

注解2、即f (z )在孤立奇点0z 的留数等于其洛朗级数展式中1z z -的系数。

注解3、如果0z 是f (z )的可去奇点，那么.0),(Res 0=z f定理1.1（留数定理）设D 是在复平面上的一个有界区域，其边界是一条或有限条简单闭曲线C 。

设f (z )在D 内除去有孤立奇点n z z z ,...,,21外，在每一点都解析，并且它在C 上每一点都解析，那么我们有：),,(Res 2)(1k nk Cz f i dz z f ∑⎰==π这里沿C 的积分按关于区域D 的正向取。

证明：以D 内每一个孤立奇点k z 为心，作圆kγ，使以它为边界的闭圆盘上每一点都在D 内，并且使任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点。