下载文档原格式
候选论文•大振幅单摆（周期公式，混沌现象）•傅立叶分析•干涉的应用（建筑学中声学原理）•驻波的应用（各种乐器的原理）•（相对论）多普勒效应的应用Eox760nm400nm可见光电磁波谱红外线紫外线射线基本要求一、掌握描述简谐运动的各物理量（特别是相位）的物理意义及各量间的关系。
二、掌握描述简谐运动的旋转矢量法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析。
三、掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的机械振动)cos(ϕω+=t A x 微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动方程，并理解其物理意义。
四、理解同方向、同频率的简谐运动的合成规律，了解拍的特点。
A A-o讨论1讨论2（a ）平衡位置处（图示，木块上放置一质量为的砝码，木块沿竖直方向作简谐运动，问砝码脱离木块的可能位置将发生在m m讨论3b ）在平衡位置上方（向上运动）（向下运动）（c ）在平衡位置下方（向上运动）（向下运动）答案（b ）若木块位于平衡位置下方时，由砝如图当木块位于平衡位置上方时，木块的加速度指向平衡位置。
则由砝码受力图得a mg N ma -=N mg ma=-当时，砝码脱离木块0N =ammg N码受力图得则N mg ma -=0N mg ma =+≠又在平衡位置时！0a =o 平衡位置a mmgN o 平衡位置讨论4其动能为总能量的讨论5若合成振幅也为讨论6起点提前当物体在水平面上振动时，证明其振动是简谐振x计算题11k k =的弹簧振子等效xk+2的弹簧振子等效讨论7例2体略有偏移，测得其振动周期为第十章机械波小结提纲：一理解描述简谐波的各物理量的意义及各量间的关系.二理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．三了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件.四理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别.如图简谐波以余弦函a、b、c x-t=T/4t =0讨论1讨论2上某点P的振动方程为讨论3如图所示为一平面简谐波在t计算题1到P点反射，以后形成驻波。
习 题 九9-1 一系统由图示的状态a 经acb 到达状态b ，系统吸收了320J 热量，系统对外作功126J ． （1）若adb 过程系统对外作功 42J ，问有多少热量传入系统? （2）当系统由b 沿曲线ba 返回状态a ，外界对系统作功84 J ，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少? [解] 由热力学第一定律A E Q +∆=得 A Q E -=∆ 在acb 过程中，E E E ∆=-a b J 19412632011=-=-=A Q在adb 过程中，内能变化量与acb 过程相同 因此 J 2364219422=+=+∆=A E Q 在ba 过程中J 2788419433b a 3-=--=+∆-=+-=A E A E E Q由于热量为负值，所以本过程中系统放热．9-2 2mol 氮气由温度为 300K ，压强为510013.1⨯Pa （1atm ）的初态等温地压缩到 510026.2⨯Pa （2atm ）．求气体放出的热量． [解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以J 1046.321ln30031.82ln321T ⨯-=⨯⨯⨯===p p RT A Q ν即气体放热为J 1046.33⨯．9-3 一定质量的理想气体的内能E 随体积的变化关系为E - V图上的一条过原点的直线，如图所示．试证此直线表示等压过程．[证明] 设此直线斜率为k ，则此直线方程为kV E = 又E 随温度的关系变化式为 T k T C MM E '=⋅=v m o l所以 T k kV '= 因此 C kk T V ='=（C 为恒量）又由理想气体的状态方程知，C T pV'= （C '为恒量）所以 p 为恒量，即此过程为等压过程．9-4 2mol 氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：（1）沿l →m →2路径．（2）1→2直线．试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化．[解] （1） 在1→m →2这一过程中，做功的大小为该曲线下的面积，氧气对外做负功．()()J 1010.81010013.11050204352121⨯-=⨯⨯⨯-⨯-=--=-V V p A由气体的内能公式T C E V ν=和理想气体的状态方程RT pV ν=得pV i RR i pVRpVC RpVC E 22VV====νν对于氧气5=i ，所以其内能的变化为 ()()J 1027.11010013.15051020252543511221⨯-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=-=∆-V p V p E此过程吸收的热量为 J 1037.91010.81027.1444111⨯-=⨯-⨯-=+∆=A E Q （2）在从1→2过程中，由图知氧气对外作功为()()()()J 1007.51010013.11050520212143521122⨯-=⨯⨯⨯-⨯+⨯-=-+-=-V V p p A内能的变化 J 1027.1412⨯-=∆=∆E E吸收的热量 J 1034.61007.51027.1444222⨯-=⨯-⨯-=+∆=A E Q9-5 10mol 单原子理想气体在压缩过程中外界对它作功209J ，其温度上升1K ，试求：（1）气体吸收的热量与内能的增量．（2） 此过程中气体的摩尔热容量．[解] （1） 内能的增量为 J 65.124131.82310V =⨯⨯⨯=∆=∆T C E ν气体吸收的热量 J 35.8420965.124-=-=+∆=A E Q （2） 由气体摩尔热容量知 ())K mol J 44.835.841011⋅-=-⨯=∆=TQC ν9-6 将压强为1atm ，体积为33m 101-⨯的氧气（25V R C =）从0℃加热到100℃．试分别求在等体（积）过程和等压过程中各需吸收多少热量．[解] 由理想气体状态方程 RT pV ν= 00RT V p RTpV ==ν在等容过程中吸收的热量为 J 77.9210027310110013.1252535000V V =⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆=-T R RT V p T C Q ν在等压过程中吸收的热量为J 88.12977.92575727V p p =⨯==∆=∆=Q T R T C Q νν9-7 已知氩气的定体（积）比热为)K kg J 314V ⋅=c ，若将氩气看作理想气体，求氩原子的质量．（定体（积）摩尔热容V mol V c M C =）．[解] 由定容摩尔热容量的定义知 R R i C 232V ==因此 VVV m o l 23c Rc C M==氩原子的质量为 kg 1059.63141002.631.823232623V A Amol-⨯=⨯⨯⨯===c N RN Mm9-8 为测定气体的γ（V p C C =）值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为0T 、0V 和0p ，用一根电炉丝对它缓慢加热．两次加热的电流强度和时间相同，第一次保持体积0V 不变，而温度和压强变为1T 和1p ．第二次保持压强0p 不变，而温度和体积变为2T 和1V ．试证明 ()()001001p V V V p p --=γ[证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为()01V 1T T C Q -=ν 等压过程吸收的热量为 ()02p 2T T C Q -=ν 由 21Q Q =可得 ()()02p 01V T T C T T C -=-νν所以 0201Vp T T T T C C --==γ由理想气体状态方程 000RT V p ν= 101RT V p ν= 210RT V p ν= 因此 00101V R p p T T ν-=- 00102p RV V T T ν-=-所以得到 ()()001001p V V V p p --=γ9-9 已知1mol 固体的状态方程为bp aT v v ++=0，内能apT cT E +=，式中0v 、a 、b 、c 均为常量，求该固体的p C 、V C ．[解] 由热力学第一定律可得 V p E A E Q d d d d d +=+= （1） 由已知条件可得 p b T a V d d d += （2） T ap p aT T c E d d d d ++= （3）将（2）、（3）代入（1）得 ()p b T a p T ap p aT T c Q d d d d d d ++++= （4） 在等压过程中，0d =p所以 ()T ap c Q d 2d += 因此 ap c TQ C 2d d p +==在等容过程中 0d =V代入（2）式得 0d d =+p b T a 因此 T ba p d d -=代入（4）式得Tb T a apc T b a b T a p T ap T b a aT T c Qd d d d d d d 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 所以 bT a ap c TQ C 2V d d -+==9-10 已知范德瓦尔斯气体的内能0V E Va T C E +-=．其中V C 、a 、0E 为常数，试证明其绝热过程方程为()常数=-VC R b V T[证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为 ()RT b V V a p =-⎪⎭⎫⎝⎛+2 （1） 又由已知条件可得 V Va T C E d d d 2V += （2）绝热过程 0d =Q ，由热力学第一定律得 V p A E d d d -=-= （3） 由（2）、（3）式可得 V p V Va T C d d d 2V -=+ （4）由 （1）式可得 2Va bV RT p --=（5）将（5）代入（4）式有 V bV RT V Va V Va T C d d d d 22V --=+整理得 V bV T RTC d 1d V --=积分得()常数=-+b V T RC ln ln V即 ()常数=-RCVT b V这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程．9-11 如图所示是氮气循环过程，求：（1）一次循环气体对外作的功；（2）循环效率． [解] （1） 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为1()()1412V V p p S --= ()()J 100.2101015510335⨯=⨯⨯-⨯-=-该循环对外作功为正，所以 J 100.23⨯=A（2） 该循环过程中，从1→2，2→3为吸收热量过程 1→2为等容过程，吸收热量为()()112212V 125V p V p T T C Q -=-=ν()J 1025.110101511025335⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=-2→3为等压过程，吸收热量为 ()()223323p 227V p V p T T C Q -=-=ν()J 104.1101011051027435⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=-因此吸收的总热量为 J 10525.1421⨯=+=Q Q Q 该循环的效率为 %1.13%10010525.1100.243=⨯⨯⨯==Q A η9-12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca 为绝热过程，点 a 的状态参量为()11,V T ，点b 的状态参量为()22,V T ，理想气体的热容比为γ，求（1）气体在ab 、bc 过程中与外界是否有热交换? 数量是多少?（2）点c 的状态参量；（3）循环的效率．[解] （1） ab 过程是等温过程，系统吸收热量为121T lnV V RT A Q ν==因12V V >，故该过程是吸热过程．bc 过程是等容过程，系统吸收热量为 ()2c V V T T C Q -=ν 因 c T <2T ，故该过程是放热过程． （2） 从图上可看到 2c V V =又 ac 为绝热过程，故根据绝热方程 112111c1c T VV T VV T --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=γγ又有 γγ11c c V p V p =得到 121211121211c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=γγγννV V V RT V RT V V V V p p（3） ()()[]()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅-=--=--=-=--12121V 12111212V 121C 2V TV ln 11ln1ln11V V V V RC V V RT T V V T C V V RT T T C Q Q γγννη9-13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab 、cd 为绝热线，bc 为等体（积）线，da 为等压线，试证明其效率为bc ad T T T T ---=γη1式中a T 、b T 、c T 、d T 分别为a 、b 、c 、d 各状态的温度，V p C C =γ．[证明] da 为放热过程，其放出的热量为()a d p 2T T C Q -=νbc 为吸热过程，其吸收的热量为 ()b c V 1T T C Q -=ν 所以其效率为 ()()bc ad b c V a d p 12111T T T T T T C T T C Q Q ---=---=-=γννη9-14 如图所示，AB 、DC 为绝热线，COA 是等温线． 已知系统在COA 过程中放热J 100，OAB 的面积是J 30，ODC 的面积为 J 70，试问在BOD 过程中系统是吸热还是放热?热量是多少?[解] 因COA 是等温线，COA 过程中J 100CA CA -==Q A 又因AB 、DC 为绝热线，AB AB A E -=∆ DC DC A E -=∆ OAB 过程系统作负功，ODC 过程系统作正功，整个循环过程系统作功 3070CA DC BD AB -=+++A A A ABOD 过程中系统吸热A C BD DC AB BD BD 140140E E E E E E A Q -+=∆+∆+∆+=∆+=由于COA 是等温过程，过程中系统内能变化为零，即 0A C =-E E 因此BOD 过程中系统吸热 J 140=Q9-15 一制冷机进行如图所示的循环过程，其中ab 、cd 分别是温度为1T 、2T 的等温线，bc 、da 为等压过程，设工作物质为理想气体．证明这制冷机制冷系数为：12121ln22p p i T T T ++-=ω[证明] ab 为等温过程，吸收热量为12111lnp p RT A Q ν==cd 为等温过程，其放出的热量大小为12222lnp p RT A Q ν==bc 为等压过程，吸收的热量为 ()12p 3T T C Q -=ν da 为等压过程，放出的热量大小为 ()12p 4T T C Q -=ν所以致冷系数 ()()12121314231ln22p p i T T T Q Q Q Q Q Q Q Q Q AQ ++-=+-++=-==吸放吸吸ω9-16 mol 1单原子理想气体，初态压强为1p ，体积为1V ，经等温膨胀使体积增加一倍，然后保持压强不变，使其压缩到原来的体积，最后保持体积不变，使其回到初态． （1）试在V p -图上画出过程曲线；（2）求在整个过程中内能的改变，系统对外作的净功、从外界吸收的净热量以及循环效率．[解] （1） 过程曲线（2） 系统经过循环又回到初态，所以其内能改变量0=∆E a →b 为等温过程，系统对外作正功2ln ln11121V p V V RT A ==νa2p 1p 2V 1V OVb →c 为等压过程，系统对外作负功，其数值大小为()()122111222V V V V p V V p A -=-=过程中总功 ()1112211112119.02ln V p V V V V p V p A A A =--=-=系统从外界吸收的净热量 1119.0V p A Q == a →b 过程吸热为 2ln 1111V p A Q ==c →a 过程中吸收的热量为 ()c a V 2T T C Q -=ν()V p V V V p p V p p 112111121432323=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=所以 %2.13432ln 19.011111121=+=+=V p V p V p Q Q A η9-17 一可逆卡诺热机低温热源的温度为27℃，热机效率为 40％，它的高温热源的温度是多少? 今欲将热机效率提高到50％，若低温热源保持不变，则高温热源的温度应增加多少度?[解] 可逆卡诺循环的效率为121T T -=η所以 K 5004.01300121=-=-=ηT T若 %50='η，则 K 6005.01300121=-='-='ηT T所以 K 10050060011=-=-'=∆T T T9-18 有一卡诺热机，用29kg 空气为工作物质，高温热源和低温热源的温度分别为C 27o 和C 73-o ，求此热机的效率．若在等温膨胀过程中工作物质的体积增大到2.718倍，则此热机每一循环所作的功是多少?[解] 此热机的效率为 %3.333002001112=-=-=T T η在等温膨胀过程中，吸收的热量为J 1049.2718.2ln 30031.8291029ln631211⨯=⨯⨯⨯⨯==V V RT Q ν又 1Q A =η所以 J 103.81049.231561⨯=⨯⨯==Q A η9-19 在高温热源为127℃、低温热源为27℃之间工作的卡诺热机，一次循环对外作净功为8000J ，今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其一次循环对外做功10000J ，若两次循环该热机都工作在相同的两条绝热线之间，试求： （1）后一卡诺循环的效率．（2）后一卡诺循环的高温热源的温度．[解] （1） 设前一卡诺循环从高温热源吸收热量为1Q ，则有11Q A =η又 414003001112=-=-=T T η所以 J 320004800011=⨯==ηA Q 后一卡诺循环从高温热源吸收热量为J 34000800010000320001211=-+=-+='A A Q Q所以第二个卡诺循环的效率为 %4.29%100340001000012=⨯='='Q A η（2） 第二个卡诺循环的高温热源温度为 K 425294.01300121=-='-='ηT T9-20 一台家用冰箱，放在气温为300K 的房间内，做一盘C 13-o 的冰需从冷冻室取走J 1009.25⨯的热量．设冰箱为理想卡诺制冷机． （1）求做一盘冰所需要的功；（2）若此冰箱能以s J 1009.22⨯的速率取走热量，求所要求的电功率是多少瓦? （3）做一盘冰需时若干?[解] （1） 致冷系数为 2122T T T A Q -==ω因此 ()()J 1022.32602603001009.2452212⨯=-⨯⨯=-=T T T Q A（2） 取走制一盘冰的热量所需要的时间为 s 101009.21009.2325=⨯⨯=t所以电功率为 W 2.32101022.334=⨯==tA P（3） 做一盘冰所需要的时间为 s 103．9-21 绝热容器中间有一无摩擦、绝热的可动活塞，如图所示，活塞两侧各有mol ν的理想气体，5.1=γ，其初态均为0p 、0V 、0T ．现将一通电线圈置入左侧气体中，对气体缓慢加热，左侧气体吸热膨胀推动活塞向右移，使右侧气体压强增加为0375.3p ，求； （1）左侧气体作了多少功?（2）右侧气体的终态温度是多少?（3）左侧气体的终态温度是多少? （4）左侧气体吸收了多少热量?[解] （1） 右侧气体所发生的过程为绝热过程．它对外所做的功的负值就是左侧气体所作的功．所以左侧气体作功为 12200---='-=γV p V p A A又对右侧气体： γγγ202200375.3V p V p V p == 因此 γ102375.3V V =所以 000000122001375.3375.31V p V p V p V p V p A =--=---=γγγ（2） 对右侧气体，由绝热方程知 ()γγγγ----=210010375.3T p T p得到 00325.1375.3T T T ===（3） 左侧气体末态体积为 γ1002001375.32V V V V V V -=-+=得到 00000010011125.525.212375.3375.312375.3T T T V p V V p RV p T =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-==γν（4） 左侧气体吸收热量()()0000V 01V 1125.5V p T T C A T T C A E Q +-=+-=+∆=νν由 000RT V p ν= 知 RV p T ν000=又由 5.1VV Vp =+==C R C C C γ， 得到 R C 2V =所以 00000015.925.42V p V p RV p R Q =+⨯⨯⨯=νν9-22 如图所示，在刚性绝热容器中有一可无摩擦移动而且不漏气的导热隔板，将容器分为A 、B 两部分，各盛有1mol 的He 气和2O 气．初态He 、2O 的温度各为K 300A =T ，K 600B =T ；压强均为atm 1．求：（1）整个系统达到平衡时的温度T 、压强p （氧气可视为刚性理想气体）； （2）He气和2O 气各自熵的变化，系统的熵变．[解] （1） 因中间是导热隔板，过程中两部分气体热量变化和作功的数值都相等，所以内能变化量的数值也相等，且由于初温度不同而末温度相同所以一正一负．因此 ()()T T C T T C '-=-'B VB B A VA A νν解得 K 5.487536005300325232523BA VBVA BVB A VA =+⨯+⨯=++=++='RR RT RT C C T C T C T因平衡时温度、压强都相等，且都是1mol ，所以体积也相等．()A B A A B B B A AA BA B A45021212p RT T p R p RT p RT V V V V =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+='='νν 根据理想气体状态方程得到压强为atm 08.114505.478450A =⨯=⋅'=''='p T V T R p ν（2） He 气熵变⎰⎰⎰⎰''+=+==∆T T V V VVR TTC TVp E TQ S AAAd d d d d A VA A He He He ννK J 42.93002600300ln31.83005.487ln31.8232lnln23ABA A=⨯+⨯+⨯⨯=++'=T T T R T T R氧气熵变⎰⎰⎰⎰''+=+==∆T T V V VVR TTC TVp E TQ S BBB222d d d d d B VB B O O O ννK J 70.66002600300ln31.86005.487ln31.8252lnln25-=⨯+⨯+⨯⨯=++'=BBA BT T T R T T R系统的熵变 K J 72.270.642.92O He =-=∆+∆=∆S S S9-23 已知在0℃1mol 的冰溶化为0℃的水需要吸收热量 6000 J ，求： （1）在0℃条件下这些冰化为水时的熵变；（2）0℃时这些水的微观状态数与冰的微观状态数的比． [解] （1） 温度不变时，熵变为 K J 0.222736000d 1d 0====∆⎰⎰Q T TQ S（2） 根据玻尔兹曼熵公式 冰冰Ω=ln k S 水水Ω=ln k S冰水冰水冰水ΩΩ=Ω-Ω=-=∆lnln ln k k k S S S根据（1）结果，得2423106.11038.10.22⨯⨯∆===ΩΩ-ee ekS 冰水9-24 把2mol 的氧从40℃冷却到0℃，若（1）等体（积）冷却；（2）等压冷却．分别求其熵变是多少?[解] 在等容压缩过程中 T C Q d d V ν= 因此 K J 68.5313273ln252d d d 273313VV -=⨯====∆⎰⎰⎰R TT C TTC TQ S νν在等压冷却过程中， T C Q d d p ν=K J 95.7313273ln272d d d 273313pp -=⨯====∆⎰⎰⎰R TT C TTC TQ S νν9-25 取1mol 理想气体，按如图所示的两种过程由状态A 到达状态C ． （1）由A 经等温过程到达状态 C ；（2）由A 经等体（积）过程到达状态B ，再经等压过程到达状态C ． 按上述两种过程计算该系统的熵变A C S S -．已知A C 2V V =，A C 21p p =．[解] （1） 根据理想气体状态方程得 RV p RV p T A A AA A ==ν因此等温过程中熵变为⎰⎰⎰⎰====∆V VRTT T Vp T QTQS C Ad 1d d d AAAν2ln lnd AC AA CAR V V R VV T RT V V ===⎰（2） A →C 与A →B →C 两过程初末状态相同，熵是状态函数，只与初末位置有关，因此两过程熵变相同等于2ln R ．或：根据理想气体状态方程得 A A BB B 211V p RRV p T ⋅==νA →B →C 过程熵变等于A →B 等容过程和B →C 等压过程中熵变的和⎰⎰⎰⎰+=+=+=∆CBB ACBB ATTC TTC TQ TQ S S S d d d d p V 21νν2ln 2ln 2ln p V R C C =+-=。
