对数式化简的基本思路

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.6对数函数一、对数式的化简与求值对数的化简与求值的基本思路（1） 利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；（2） 利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；（3） 约分、合并同类项，尽量求出具体值。

对数运算的一般思路[(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.〖例1〗计算（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+； （3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅解：（1）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2=++=+=；（2）原式lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 3()()()()lg 3lg 9lg 4lg8lg 32lg 32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=；（3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++； 分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+；∴原式=43。

二、比较大小1、相关（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。

①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则log a f(x)>log a g(x)⇔f(x)>g(x)>0;②0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,则log a f(x)>log a g(x)⇔0<f(x)<g(x)（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。

对数公式推导过程及总结1.对数的定义对数的定义是为了解决指数运算的逆运算问题。

对于任意一个正实数a，我们定义对数函数y=loga(x)为满足a^y=x的实数y。

2.换底公式推导换底公式是对数计算中的一种重要公式。

它可以将对数的底从一个正实数a换成另一个正实数b，并且不改变原来的对数值。

首先，使用对数的定义可以得到：loga(x) = y 等价于 a^y = x假设有一个新的底数b，我们可以用b为底数表示原来的等式：logb(a^y) = logb(x)利用对数的性质：logb(a^y) = y*logb(a)，上述等式可化简为：y*logb(a) = logb(x)将上式中的y换成loga(x)，即得到：logb(a)*loga(x) = logb(x)以上推导过程就是换底公式的推导过程。

3.对数的乘法公式推导对数的乘法公式是求两个数的对数之和等于这两个数的乘积的对数。

假设有两个数x和y，它们的对数分别为：loga(x) = mloga(y) = n根据对数的定义，可以得到：a^m=xa^n=y将这两个等式相乘，得到：a^m*a^n=x*y根据指数的性质a^m*a^n=a^(m+n)，可以得到：a^(m+n)=x*y根据对数的定义，上式可以写成：loga(x*y) = m + n以上推导过程就是对数的乘法公式的推导过程。

4.对数的除法公式推导对数的除法公式是求两个数的对数之差等于这两个数的商的对数。

假设有两个数x和y，它们的对数分别为：loga(x) = mloga(y) = n根据对数的定义，可以得到：a^m=xa^n=y将这两个等式相除，得到：a^m/a^n=x/y根据指数的性质a^m/a^n=a^(m-n)，可以得到：a^(m-n)=x/y根据对数的定义，上式可以写成：loga(x/y) = m - n以上推导过程就是对数的除法公式的推导过程。

总结：对数公式是解决指数运算的逆运算问题的一种重要数学工具。

4.3.2对数的运算必备知识·探新知基础知识知识点1对数的运算性质条件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0性质log a(MN)＝__log a M＋log a N__log aMN＝__log a M－log a N__log a M n＝__n log a M__(n∈R)思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，log a(MNQ)＝log a M＋log a N＋log a Q，积的对数运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积．知识点2换底公式若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有log a b＝__log c blog c a__.思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a.(2)log N n M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M.基础自测1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是(A)①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log axy＝log a x÷log a y；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A ． 2．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6[解析] log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝log 66＝1.3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log 25·log 32·log 59＝__2__. [解析] 原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2. 4．求下列各式的值： (1)log 3(27×92)；(2)lg5＋lg2； (3)ln3＋ln 13；(4)log 35－log 315.[解析] (1)方法一：log 3(27×92)＝log 327＋log 392＝log 333＋log 334＝3log 33＋4log 33＝3＋4＝7；方法二：log 3(27×92)＝log 3(33×34)＝log 337＝7log 33＝7. (2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1. (3)ln3＋ln 13＝ln(3×13)＝ln1＝0.(4)log 35－log 315＝log 3515＝log 313＝log 33－1＝－1.关键能力·攻重难题型探究题型一 对数的运算性质的应用例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a (xy 2)；(2)log a (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13[log a x －log a (yz 2)] ＝13(log a x －log a y －2log a z )． [归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶ 用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log ax yz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 题型二 利用对数的运算性质化简、求值例2 化简下列各式： (1)log 2(23×45)； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)log 28＋43＋log 28－43； (5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)．[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13.(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.(3)方法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0. 方法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg14×7(73)2×18＝lg1＝0.(4)log 28＋43＋log 28－4 3＝log 2[(8＋43)(8－43)]＝log 264－48＝log 24＝2.(5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3) ＝log 2[(1＋2)2－(3)2]＝log 2(3＋22－3) ＝log 222＝log 2232＝32. [归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则 (1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 【对点练习】❷ 计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log 327＋lg 25－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50. [解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg 254＝32＋lg 110＝32＋lg10－1 ＝32－1＝12.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10) ＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5) ＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 题型三 换底公式的应用例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ，∴m ＝ 3.[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nmlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸ 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927；(3)log 21125·log 3132·log 513.[解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1 ＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1. [错解] 原方程变形为log 2(x ＋1)－12log 2(x ＋4)＝1，∴log 2(x ＋1)－log 2x ＋4＝1，∴log 2x ＋1x ＋4＝log 22， ∴x ＋1x ＋4＝2，∴x 2－2x －15＝0，∴x ＝－3或x ＝5， 故原方程的解为x ＝－3或x ＝5.[错因分析] 解题过程中忽视对数log a N 中真数N 必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解] ∵log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1， ∴log 4(x ＋1)2x ＋4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0，x＋4>0，(x＋1)2x＋4＝4，解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5 (1)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.[分析](1)欲求2x＋1y的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log a n b m＝mn log a b，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析](1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab ＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．课堂检测·固双基1．2log 510＋log 50.25的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝log 552＝2.2．(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋(19)－12的值为( B )A ．73B ．5C ．313D ．13[解析]原式＝lg(25×4)＋(3－2)－12＝lg100＋3 ＝2＋3＝5.3.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 4．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log 222； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝53log 23×92log 32＝152.。

对数的运算与化简数学中，对数是指将一个数值与某个基数进行指数运算得到的结果。

对数在实际问题中经常出现，并且在数学和科学领域中具有重要的应用。

对数的运算与化简是数学中的基本技巧之一，本文将介绍对数的基本运算法则以及一些常见的化简方法。

一、对数的基本定义和运算法则对数的定义：设a和b是正数，并且a≠1，对数的运算法则主要涉及以下几个方面：1. 指数与对数的互换性质：如果a^x = b，那么x = log_a(b)。

其中a表示底数，b表示真数。

2. 对数的加减法：log_a(b) + log_a(c) = log_a(b × c)log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)3. 对数的乘除法：log_a(b^m) = m × log_a(b)log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)4. 对数的幂运算：log_a(b^m) = m × log_a(b)以上是对数的基本定义和运算法则，通过应用这些法则可以对对数进行运算和化简。

二、对数化简的一般方法对数的化简是指将复杂的对数表达式转化为简单的形式，在数学计算和证明中经常用到。

下面介绍一些常见的对数化简方法。

1. 合并对数：如果一个对数表达式中存在多个对数相同的项，可以通过合并对数的方式化简。

例如：log_a(b) + log_a(c) = log_a(b × c)log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)2. 转化为指数形式：对数可以通过指数运算进行转化。

例如，对数表达式log_a(b)可以转化为指数形式a^x = b。

这样可以更方便地进行计算和化简。

3. 逆运算消除对数：对数的逆运算是指数运算，通过进行逆运算可以将对数表达式转化为常数。

例如，对数表达式log_a(a^x) = x可以直接化简为x。

4. 对数的换底公式：如果需要对不同底数的对数进行比较或运算，可以利用换底公式进行化简。

对数化简的基本公式1.什么是对数对数是一种数学运算方式，它可以把一个数a转化为以某个数b为底的幂，记作log_b(a)。

其中，b被称为对数的底数，a被称为真数，log_b(a)被称为对数。

2.为什么要进行对数化简对数化简是一种简化计算的方法，它可以将复杂的数学运算转换为一个更简单的形式。

通过对数化简过程，可以使得计算过程更加简洁，减少错误率，提高计算速度。

3.基本公式在对数化简中，一些基本公式是至关重要的。

这些基本公式可以帮助我们快速地化简表达式，减少犯错的可能性，提高计算效率。

以下是一些常用的对数化简基础公式：3.1对数的乘法法则log_b(a×c)=log_b(a)+log_b(c)对数的乘法法则是指在以b为底数时，相同底数下的两数乘积的对数等于相应因数的对数之和。

例如，log_2(4×8)可以化为log_2(4)+log_2(8)的形式，进而化简。

3.2对数的除法法则log_b(a÷c)=log_b(a)−log_b(c)对数的除法法则是指在以b为底数时，相同底数下的两数除法的对数等于被除数和除数的对数相减。

例如，log_2(8÷4)可以化为log_2(8)-log_2(4)的形式，进而化简。

3.3对数的幂法则log_b(a^c)=c×log_b(a)对数的幂法则是指在以b为底数时，一个数的幂次的对数等于该底数下这个数本身的对数乘以该幂次。

例如，log_2(4^3)可以化为3×log_2(4)的形式，进而化简。

3.4对数的基本换底公式log_b(a)=log_k(a)÷log_k(b)对数的基本换底公式是指可以借助其他底数的对数，将某个底数的对数转化为另一底数的对数。

例如，log_2(5)可以化为log_10(5)÷log_10(2)的形式，进而化简。

4.总结对数化简基本公式是对数学习中最基础的知识点之一，熟练掌握这些基本公式可以有效地提高数学计算的效率和准确性。

对数的化简与求值洋葱数学
摘要：
1.对数的概念与应用
2.对数的化简方法
3.对数的求值技巧
4.洋葱数学与对数的关系
5.对数在实际问题中的应用
正文：
对数是一种数学概念，广泛应用于各种实际问题中。

对数的化简与求值是数学中常见的问题，掌握对数的化简与求值技巧对于解决实际问题有着重要的意义。

一、对数的概念与应用
对数是用来表示一个数的幂的数学符号。

对数的应用非常广泛，例如在数学、物理、化学、生物等科学领域都有应用。

对数也是一种特殊的函数，可以实现数的快速计算和运算。

二、对数的化简方法
对数的化简是指将一个复杂的对数式化简为一个简单的对数式。

对数的化简方法主要有以下几种：
1.对数式的移项
2.对数式的合并同类项
3.对数式的指数运算
三、对数的求值技巧
对数的求值是指计算一个对数式的具体数值。

对数的求值技巧主要有以下几种：
1.对数式的换底公式
2.对数式的对数运算法则
3.对数式的指数运算
四、洋葱数学与对数的关系
洋葱数学是一种数学思维方式，通过将复杂的数学问题分解为一个个简单的问题，逐层解决，最终得到答案。

对数在洋葱数学中起着重要的作用，可以帮助我们将复杂的数学问题化简为简单的问题。

五、对数在实际问题中的应用
对数在实际问题中的应用非常广泛，例如在计算复利、解决指数方程、计算概率等问题中都会用到对数。

掌握对数的化简与求值技巧，可以帮助我们更快地解决实际问题。

总结起来，对数的化简与求值是数学中常见的问题，掌握对数的化简与求值技巧对于解决实际问题有着重要的意义。

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一 正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析 在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立． 答案 C点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二 原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评 方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案 －1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解 令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可． 解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8， 即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的． 点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件． 变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用． 变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围． 解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小． 已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围． 解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数 答案 D解析 已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析 方法一 若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二 注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]； 故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值． 解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2， 又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二 过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评 函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析 从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评 比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围． 分析 此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解 －1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

总结解对数方程的常用技巧解对数方程是数学中常见的问题之一，掌握解对数方程的常用技巧对于解决数学问题和应用数学具有重要意义。

本文将总结解对数方程的常用技巧，帮助读者更好地理解和应用。

一、对数方程的基本概念对数方程是指含有对数的方程，通常形如logₐ(x) = b，其中 a、b 和x 分别为底数、指数和未知数。

解对数方程的关键在于将对数方程转化为指数方程，然后通过解指数方程得到最终的解。

二、常用技巧1. 换底公式当遇到不同底数的对数方程时，可以利用换底公式将其转化为同底数的对数方程。

对于logₐ(x) = b 可以转化为logₑ(x)/logₑ(a) = b，其中底数 a 可以换成任意底数 e。

2. 对数运算法则利用对数运算法则可以化简对数方程，常用的对数运算法则有：- 对数乘法法则：logₐ(x*y) = logₐ(x) + logₐ(y)- 对数除法法则：logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)- 对数幂法则：logₐ(x^b) = b*logₐ(x)- 对数的反函数：a^logₐ(x) = x3. 指数运算法则将对数方程转化为指数方程后，可以利用指数运算法则求解。

常用的指数运算法则有：- 指数乘法法则：a^(b+c) = a^b * a^c- 指数除法法则：a^(b-c) = a^b / a^c- 指数幂法则：(a^b)^c = a^(b*c)4. 同底数相等原则当遇到logₐ(x) = logₐ(y) 的对数方程时，可根据同底数相等原则得出x = y。

5. 利用变量替换对于一些复杂的对数方程，可以通过引入新的变量替换，将方程简化为更容易解的形式。

例如，对于logₐ(x+2) + logₐ(x-1) = b，可令 u = x + 2 和 v = x - 1，转化为logₐ(u) + logₐ(v) = b。

三、实例分析为了更好地理解和应用解对数方程的常用技巧，下面通过几个实例进行分析。

4.2.2 对数运算法则【课标要求】课程标准：1.掌握对数运算法则，并能运用对数运算法则进行对数式的化简、求值与证明.2.掌握换底公式，并能运用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数.教学重点：对数运算法则、换底公式.教学难点：对数运算法则及换底公式的应用.【知识导学】知识点一 对数运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，α∈R ，那么，(1) ；推广： ；(2) ；(3) .知识点二 对数的换底公式(1)log a b ＝ ，其中a >0且a ≠1，b >0，c >0且c ≠1.(2)转换成自然对数或常用对数log a b ＝ ＝ .【新知拓展】1．对数运算性质口诀积的对数变加法，商的对数变减法；幂的乘方取对数，要把指数提到前．2．换底公式的常用推论(1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n mlog a b ； (3)log a b ·log b a ＝1；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .对于上述结论，都可采用换底公式证出，以(4)为例，证明如下：log a b ·log b c ·log c d ＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c ＝lg d lg a＝log a d . 【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( )(3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( )(4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)b log (－2)a.( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)log 325－log 35＝________.(2)lg 8＋lg 53＝________.(3)若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________.【题型探究】题型一 对数运算法则的应用例1 若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log a x log a y ＝log a x y； ⑤(log a x )n ＝log a x n ；⑥log a x ＝－log a 1x； ⑦log a x n＝log a n x ； ⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y. 其中式子成立的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6例2 化简：(1)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2；(3)log 28＋43＋log 28－4 3.[规律方法] 利用对数运算法则解决相关问题的思路(1)利用对数的运算法则解决问题的一般思路：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．(2)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg 1a＝－lg a 等． [跟踪训练1]计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8.题型二 换底公式的应用例3 (1)用log a b 表示log an b n 和log am b n (m ≠0，n ≠0)；(2)计算：(log 85＋log 25)(log 54＋log 258)；(3)已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 89.8的值．[规律方法] 换底公式的作用换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用．注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e 为底的常用对数或自然对数．[跟踪训练2](1)计算：(log 43＋log 83)lg 2lg 3； (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.题型三 与对数有关的条件求值例4 (1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a ，b 表示log 830；(2)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．[规律方法] 与对数有关的条件求值问题的解题技巧(1)通过指数式化对数式求出x ，y ，再代入所求式子中进行对数运算．(2)对等式两边取对数，是一种常用的技巧，一般地给出的等式以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的合理选取．[跟踪训练3]已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．【随堂达标】1．若a >0且a ≠1，x ∈R ，y ∈R 且xy >0，则下列各式不恒成立的是( )①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③2．计算log 916×log 881的值为( )A ．18 B.118 C.83 D.383.已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________(用m ，n 表示)．5．(1)计算：2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋ (lg 2)2－lg 2＋1；(2)已知log 35＝m,3n ＝7，用m ，n 表示log 3245.【参考答案】【知识导学】知识点一 对数运算法则(1) log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a (N 1N 2…N k )＝log a N 1＋log a N 2＋…＋log a N k (k ∈N ＋)(2) log a M α＝αlog a M(3) log a M N＝log a M －log a N 知识点二 对数的换底公式(1)l log c b log c a(2)ln b ln a lg b lg a【基础自测】1．答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2．答案 (1)log 35 (2)3 (3)a b【题型探究】题型一 对数运算法则的应用 例1 [解析] 对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24·log 22＝2×1＝2，而log 2(4＋2)＝log 26≠2，∴log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )不成立；对于②，取x ＝8，y ＝4，a ＝2，则log 28－log 24＝1≠log 2(8－4)＝2，∴log a x －log a y ＝log a (x －y )不成立；对于③，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 2(4×2)＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3，∴log a (xy )＝log a x ·log a y 不成立；对于④，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24log 22＝2≠log 242＝1，∴log a x log a y ＝log a x y不成立； 对于⑤，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，∴(log a x )n ＝log a x n 不成立；⑥成立，由于－log a 1x＝－log a x －1＝log a (x －1)－1＝log a x ；⑧成立，由于log a x －y x ＋y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y －1＝－log a x ＋y x －y . [答案] A例2 [解] ＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (2)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝5log 32－(5log 32－2)－3＝－1.(3)原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2.[跟踪训练1]解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.题型二 换底公式的应用例3 [解] (1)log an b n＝lg b n lg a n ＝n lg b n lg a ＝lg b lg a ＝log a b ； log am b n＝lg b n lg a m ＝n lg b m lg a ＝n m log a b . (2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 5lg 8＋lg 5lg 2×⎝⎛⎭⎫lg 4lg 5＋lg 8lg 25＝⎝⎛⎭⎫lg 53lg 2＋lg 5lg 2×⎝⎛⎭⎫2lg 2lg 5＋3lg 22lg 5＝23＋12＋2＋32＝143. (3)log 89.8＝lg 9.8lg 8＝lg 72×210lg 23＝2lg 7＋lg 2－13lg 2＝2b ＋a －13a. [跟踪训练2]解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.(2)解法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b .又∵log 189＝a ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 解法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b .又∵log 189＝a ，于是log 3645＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a .解法三：∵log 189＝a,18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a . 题型三 与对数有关的条件求值例4 [解] (1)∵lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 830＝lg 30lg 8＝lg 3＋lg 103lg 2＝b ＋13a. (2)对等式3x ＝4y ＝36各边都取以6为底的对数，得log 63x ＝log 64y ＝log 636，即x log 63＝y log 64＝2，∴2x ＝log 63，1y＝log 62， ∴2x ＋1y ＝log 63＋log 62＝log 66＝1，即2x ＋1y＝1. [跟踪训练3]解 解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∴x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t. ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.【随堂达标】1．答案 B解析 ∵xy >0，∴①中若x <0则不成立；③中若x <0，y <0也不成立，故选B.2．答案 C解析 log 916×log 881＝lg 16lg 9×lg 81lg 8＝4lg 22lg 3×4lg 33lg 2＝83，故选C. 3. 答案 B解析 log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b，故选B. 4．答案 m ＋2n解析log a18＝log a(2×32)＝log a2＋log a32＝log a2＋2log a3＝m＋2n. 5．解(1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)由3n＝7，得log37＝n，∴log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.。

高一数学上册对数的知识点归纳
高一数学上册关于对数的知识点归纳
在日常的学习中，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。

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一、对数的概念
(1)对数的定义：
如果ax=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.当a=10时叫常用对数.记作x=lg_N，当a=e时叫自然对数，记作x=ln_N.
(2)对数的常用关系式(a，b，c，d均大于0且不等于1)：
①loga1=0.
②logaa=1.
③对数恒等式：alogaN=N.
二、解题方法
1.在运用性质logaMn=nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*，且n为偶数).
2.对数值取正、负值的规律：
当a>1且b>1，或00;
3.对数函数的定义域及单调性：
在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y=logax的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按01进行分类讨论.
4.对数式的化简与求值的常用思路
(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
【高一数学上册关于对数的知识点归纳】。

指数与对数化简指数和对数是数学中常见的概念，它们在各个领域有着广泛的应用。

本文将重点探讨指数与对数的化简方法，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、指数化简指数是数学中表示幂运算的一种方式。

在进行指数化简时，我们可以利用一些基本的指数性质来简化计算过程。

1. 同底数乘法：当底数相同时，指数相加。

例如：3^2 * 3^4 = 3^(2+4) = 3^62. 同底数除法：当底数相同时，指数相减。

例如：5^7 / 5^3 = 5^(7-3) = 5^43. 同底数的幂：当一个指数再次进行指数运算时，指数相乘。

例如：(4^3)^2 = 4^(3*2) = 4^64. 幂的零次方：任何数的零次方等于1。

例如：2^0 = 15. 幂的负指数：当指数为负数时，可以将其转化为倒数形式。

例如：3^(-2) = 1 / 3^2 = 1/9通过运用以上指数化简的方法，我们可以将复杂的指数表达式化简为简洁的形式，进而进行进一步计算或运算。

二、对数化简对数是指数运算的逆运算，它可以将指数问题转化为等价的对数问题。

在进行对数化简时，我们可以利用一些基本的对数性质来简化计算过程。

1. 对数的乘法：两个对数相乘，相当于底数的指数相加。

例如：loga(x) + loga(y) = loga(xy)2. 对数的除法：两个对数相除，相当于底数的指数相减。

例如：loga(x) - loga(y) = loga(x/y)3. 对数的幂：对数作为一个整体进行指数运算。

例如：loga(x^k) = k * loga(x)4. 对数的换底公式：可以将对数的底数转化为其他底数的对数。

例如：loga(x) = logb(x) / logb(a)通过运用以上对数化简的方法，我们可以将复杂的对数表达式化简为简洁的形式，更加方便地进行计算或运算。

综上所述，指数与对数是数学中重要的概念，化简是在运用这两个概念时常常遇到的需求。

通过掌握基本的化简规则和性质，我们能够将复杂的指数与对数表达式化简为简洁的形式，从而更好地理解和应用这两个概念。

高中数学对数解题方法对数是高中数学中的重要概念，也是解题中常用的工具之一。

本文将介绍高中数学中一些常见的对数解题方法。

1.变底公式变底公式是对数中最基本的公式之一，它可以将对数底数不同的式子互相转化。

变底公式的形式为：loga b = logc b / logc a其中，a、b、c为正数且a≠1、b≠1、c≠1。

应用变底公式可以将不同底数的对数式子转化为同一底数的式子，从而进行计算。

2.求对数的方法在解题中，有时需要求一个数的对数。

这时可以使用换底公式或化简式子的方法来求解。

换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a其中，a、b、c为正数且a≠1、b≠1、c≠1。

通过换底公式，可以将需要求解的对数式子转化为以10为底或以e为底的式子，从而进行计算。

化简式子的方法可以用于求解形如loga (b^m * c^n)的对数式子。

将式子化简为loga b^m + loga c^n，然后应用对数的性质进行计算即可。

3.对数的运算法则在解题中，对数的运算法则也是需要掌握的重要知识点。

对数的运算法则包括以下几个方面：- 乘法法则：loga (b * c) = loga b + loga c- 除法法则：loga (b / c) = loga b - loga c- 幂法法则：loga (b^n) = n * loga b- 换底公式：loga b = logc b / logc a通过应用对数的运算法则，可以将复杂的对数式子化简为简单的形式，从而方便计算。

4.解对数方程对数方程是高中数学中比较常见的题型之一，它可以用于解决各种实际问题。

在解对数方程时，需要掌握以下几个步骤：- 化简式子，将对数式子转化为一般的代数式子。

- 求解一般的代数式子。

- 检查解是否满足原方程，若不满足则舍去。

通过掌握解对数方程的方法，可以更好地解决各种实际问题。

2.6 对数与对数函数考纲要求1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．3(1)对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (M ·N )＝__________；②log a M N ＝__________；③log a M n＝______(n ∈R )．(2)换底公式log a b ＝______________________. 4．对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义一般地，我们把函数y ＝__________叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．_________ 过定点______时，y ＝______单调性：在(0，＋∞)上是单调性：在(0，＋∞)上是x ＜1时，y ∈______＜1时，y ∈______；当5．指数函数与对数函数的关系函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与函数__________互为反函数．1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，n ∈N *，则下列各式：_①(log a x )n＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x；④nlog a x ＝1nlog a x ；⑤log a x n＝log a n x ；⑥log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y. 其中正确的有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2．函数y ＝2－xlg x的定义域是( )．A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |0＜x ＜1，或1＜x ≤2}3．已知0＜log a 2＜log b 2，则a ，b 的关系是( )． A ．0＜a ＜b ＜1 B ．0＜b ＜a ＜1 C ．b ＞a ＞1 D ．a ＞b ＞14．(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( )． A ．14 B ．12C ．2D ．4 5．函数y ＝log a (x －1)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象恒过一定点是__________． 一、对数式的化简与求值【例1－1】若x log 32＝1，则4x ＋4－x＝__________.【例1－2】(2012北京高考)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________.方法提炼对数式化简求值的基本思路：(1)利用换底公式及log m na N ＝n mlog a N 尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算； (2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值．请做演练巩固提升1二、对数函数的图象与性质【例2－1】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为__________．【例2－2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性．方法提炼1．利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法： (1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的； (2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； (3)分别求出两函数的单调区间；(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．2．图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系可按下列规律进行记忆：图中直线y ＝1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b ，在x 轴上方由左到右底数逐渐增大，在x 轴下方由左到右底数逐渐减小．请做演练巩固提升2三、对数函数性质的综合应用【例3－1】(2012上海高考改编)已知f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围； (2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的解析式．【例3－2】已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．方法提炼1．求f (a )＋f (－a )的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值．2．求形如f (2 014)，f (2 013)的值往往与函数的周期有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性．3．已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性．请做演练巩固提升5幂值、对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误【典例】已知2log 3.45a ＝，4log 3.65b ＝，3log 0.315c ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b解析：333log 0.310log log 0.3315=55c -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝，log 2 3.4＞log 2 2＝1，log 4 3.6＜log 4 4＝1，log 3103＞log 3 3＝1，又log 2 3.4＞log 2103＞log 3103，∴log 2 3.4＞log 3103＞log 4 3.6.又∵y ＝5x是增函数，∴a ＞c ＞b . 答案：C答题指导：通过高考阅卷的数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示及备考建议： 1．本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路，而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查．易错误区有：(1)不能准确地作出图象，利用图象进行大小比较． (2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较．2．通过对该题的解答过程来看，我们在备考中要注意： (1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练．(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习，提高图象、性质的应用能力．(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法，即引入中间量分组比较法的训练．1．(2012重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c2．函数f (x )＝2log 2x的图象大致是( )．3．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为__________． 4．已知：lg x ＋lg y ＝2lg(2x －3y )，则32log xy的值为__________．5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．a b＝N (a ＞0，且a ≠1) b ＝log a N a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N 2．log a N 10 lg N e ln N3．(1)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N③n log a M (2)log c blog c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)4．(1)log a x (a ＞0，且a ≠1) (2)(0，＋∞)R (1,0) 0 增函数 减函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0) 5．y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1) 基础自测1．B 解析：由对数运算性质可知③⑤⑥正确． 2．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥0，x >0，x ≠1，得0＜x ＜1或1＜x ≤2.3．D 解析：由0＜log a 2＜log b 2知，a ，b 均大于1. 又log 2a ＞log 2b ，∴a ＞b ，∴a ＞b ＞1.4．D 解析：原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4.5．(2,2)考点探究突破【例1－1】 829解析：由x log 32＝1，得x ＝log 23，∴4x ＋4－x ＝22log 3log 344-+＝9＋19＝829.【例1－2】 2 解析：由已知可得，lg(ab )＝1，∴f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.【例2－1】 4 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，得f (x )＝f (x ＋2)，则函数f (x )是以2为周期的函数，作出函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象(如图)，可知函数y ＝f (x )与y ＝log 5x 的图象的交点个数为4.【例2－2】 解：(1)由a x －1＞0，得a x＞1. 当a ＞1时，x ＞0； 当0＜a ＜1时，x ＜0.∴当a ＞1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时，设0＜x 1＜x 2，则121<xxa a <，故0＜1xa －1＜2xa －1，∴log a (1xa －1)＜log a (2xa －1)． ∴f (x 1)＜f (x 2)．故当a ＞1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．【例3－1】 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0，得－1＜x ＜1.由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2xx ＋1＜10.因为x ＋1＞0，所以x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，－23＜x ＜13.由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23＜x ＜13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x ) ＝f (2－x )＝lg(3－x )．【例3－2】 解：(1)f (x )的定义域是(－1,1)，f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，f (－x )＝x ＋log 21＋x1－x，＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )． 即f (x )＋f (－x )＝0.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x在(－1,1)内单调递减，y ＝log 2t 在t ＞0上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1,1)内单调递减．所以当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，函数f (x )存在最小值f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a.演练巩固提升1．B 解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.2．C 解析：∵f (x )＝2log 2x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.3．0 解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f (2014)＝a log 212 014＋b log 312 014＋2＋a log 22 014＋b log 32 014＋2＝4，∴f (2 014)＝0.4．2 解析：依题意，可得lg(xy )＝lg (2x －3y )2，即xy ＝4x 2－12xy ＋9y 2，整理得4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.∵x ＞0，y ＞0,2x －3y ＞0，∴x y ＝94，∴32log x y＝2. 5．解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1＜x ＜1.故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且 f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )．故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域{x |－1＜x ＜1}上是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}．。

对数与对数函数题型归纳题型一 对数式的化简与求值 【题型要点】对数运算的一般思路(1)转化：①利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)对题目条件进行转化． ②利用换底公式化为同底数的对数运算．(2)恒等式：关注log a 1＝0，log a a N ＝N ，a log aN ＝N 的应用．(3)拆分：将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简．.(4)合并：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【例1】(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________. 【例2】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．【例3】已知log 23＝a ，3b ＝7，则log 37221的值为________．【例4】．计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25等于( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6题型二 对数函数的图象及应用【题型要点】1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降.(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b . 在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎪⎭⎫⎝⎛11，a ，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况． (2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【例1】已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )【例2】在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )题型三 对数函数的性质及应用 命题角度一 比较大小【题型要点】比较对数值大小的常见类型及解题方法50.5A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b【例2】已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c的大小关系为()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b命题角度二 解对数不等式【题型要点】求解对数不等式的两种类型及方法【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【例4】已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________． 命题角度三 与对数函数有关的函数性质问题【题型要点】1.解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与1的大小关系．(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 2.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的具体步骤【例5】函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(2，＋∞)【例6】．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．【例7】已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．题型四 数形结合法在对数函数问题中的应用【例1】设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1【例2】设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．二、高效训练突破 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.222．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a3.已知a ＝log 35，b ＝1.51.5，c ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <c <bD ．a <b <c4.函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )5.设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( ) A ．ab ＜a ＋b ＜0 B ．a ＋b ＜ab ＜0 C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab6.(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg 10.1D ．10－10.17.若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5zD ．5z ＜2x ＜3y8.已知2log 311=x x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足331x ⎪⎭⎫ ⎝⎛＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2二、填空题1.已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则⎪⎭⎫⎝⎛21f ＝________． 2．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y＝2，则A 的值是________．3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________．5.已知函数y ＝log a (x －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，求f (log 23) 6．已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，则a 的值为________．7.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋1)(a ＞0且a ≠1)没有最小值，则a 的取值范围是________． 8.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)单调递减，则a 的取值范围为________． 三 解答题1.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值．2．已知函数f(x)＝log a x(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．。