(1504)相似三角形判定专项练习30题(有答案)

相似三角形练习题1.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．2 如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 为BC 中点，延长AC 、DE 相交于点F ，求证BC AC ＝DFAF．.3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 至D ，使得CD ＝BC ，CE ⊥BD 交AD 于E ，连结BE 交AC 于F ，求证AF ＝FC ．4 已知：如图，F 是四边形ABCD 对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD ．求证：AB AE ＋CDCG＝1．5. 如图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H ，求证：（1）DG 2＝BG ·CG ；（2）BG ·CG ＝GF ·GH ．6. 如图，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ．（1）当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系时，△ABC ∽△CDB ？（2）过A 作BD 的垂线，与DB 的延长线交于点E ，若△ABC ∽△CDB ． 求证四边形AEDC 为矩形（自己完成图形）．7 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连结FC（AB ＞AE ）．（1）△AEF 与△EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设BCAB＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF ∽△BFC ，若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由．8 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，CA ＝8 cm ，动点P 从点C 出发，以每秒2 cm 的 速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S△BCP ＝41S △ABC ？9. 如图，小华家（点A 处）和公路（L ）之间竖立着一块35m•长且平 行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段BC 的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．10. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试问：△AOB 和△DOC 是否相似？ 某学生对上题作如下解答：答：△AOB ∽△DOC ．理由如下：在△AOB 和△DOC 中，∵AD ∥BC ，∴AO DOOC OB=， ∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ∽△DOC ．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．11. 如图：四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，①过C 作对角线BD 的垂线交BD 、AD 于点E 、F ，求证：DA DF CD ⋅=2；②如图：若过BD 上另一点E 作BD 的垂线交BA 、BC 延长线于F 、G ，又有什么结论呢？你会证明吗？ABCD FEABCDF EG12. 阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m 宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.13. （1）如图一，等边△ABC 中，D 是AB 上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE 。

类似三角形一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°,BC=_________;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．10．如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q 两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC 上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P 的地位,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t （秒）暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．22．如图,路灯（P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？23．阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达）,他们带了以下测量对象：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划．（1）所需的测量对象是：_________;（2）请鄙人图中画出测量示意图;（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们经由过程测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细疏忽不计）的高度为200cm,影长为156cm．义务请求：（1）请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友谊提醒：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC．26．如图,李华晚上在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请解释来由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;（不必证实）（2）如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD.CD的长;（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．解答：证实：∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考核的是平行线的性质及类似三角形的剖断定理．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．解答：（1）证实：∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,（6分）∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证实：∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．解答：证实：∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考核类似三角形的剖断定理,症结是找准对应的角．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证实：①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M.N分离是BE,CD的中点,∴BM=CN．又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证实：在图②中准确画出线段PD,由（1）同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN 都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．剖析：依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形类似这一剖断定理可证实图中类似三角形有：△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．解答：解：类似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°,BC=;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°,BC=;（2）类似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由解：（1）设经由x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有：（6﹣2x）x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,（2分）解方程,得x1=1,x2=2,（3分）经磨练,可知x1=1,x2=2相符题意,所以经由1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经由t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,是以有或（5分）即①,或②（6分）解①,得t=;解②,得t=（7分）经磨练,t=或t=都相符题意,所以动点M,N同时动身后,经由秒或秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似．（8分）9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情形如下六种情形：①②,①③,①④,②③,②④,③④（2分）个中有两组（①③,②④）是类似的．∴拔取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=（4分）证实：（2）选择①.③证实．在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD（8分）选择②.④证实．∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考核概率的求法：假如一个事宜有n种可能,并且这些事宜的可能性雷同,个中事宜A消失m种成果,那么事宜A的概率P（A）=,即类似三角形的证实．还考核了类似三角形的剖断．10．附加题：如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE,AE=CE．∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形类似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;（3）作AF⊥BD的延伸线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题重要考核了直角三角形的性质,类似三角形的剖断及三角形面积的求法等,规模较广．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB．∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM,PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;（3）当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．解答：证实：∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD．∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q 两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．解答：解：（1）过D 作DH ∥AB交BC于H 点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8;BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长等分．②第一种情形：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情形：8＜t≤10,P.A.D三点不克不及构成三角形;第三种情形：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不类似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE类似．③第一种情形：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E.H．∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==．∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==,DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ,10﹣t=,化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=,t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情形：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情形：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述,t=或8≤t＜10或10＜t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC 上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？解答：解：设经x秒后,△PBQ∽△BCD,因为∠PBQ=∠BCD=90°,（1）当∠1=∠2时,有：,即;（2）当∠1=∠3时,有：,即,∴经由秒或2秒,△PBQ∽△BCD．15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．解答：设经由秒后t秒后,△PBQ与△ABC类似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP：AB=BQ：BC,即（10﹣2t）：10=4t：20,解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时,有BQ：AB=BP：BC,即4t：10=（10﹣2t）：20,解得t=1．所以,经由2.5s或1s时,△PBQ与△ABC类似（10分）．解法二：设ts后,△PBQ与△ABC类似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情形：（1）当BP与AB对应时,有=,即=（2）当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经由1s或2.5s时,以P.B.Q三点为极点的三角形与△ABC类似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．解答：解：∵AC=,AD=2,∴CD==．要使这两个直角三角形类似,有两种情形：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2）有=,∴AB==3;3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4）有=,∴AB==3．故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形类似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．解答：证实：分两种情形评论辩论：①若△CDM∽△MAN,则=．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a．②若△CDM∽△NAM,则．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意．所以,能在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似．当AN=a时,N点的地位知足前提．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？解答：解：设经由x秒后,两三角形类似,则CQ=（8﹣2x）cm,CP=xcm,（1分）∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形类似．（3分）（1）当时,,∴x=;（4分）（2）当时,,∴x=．（5分）所以,经由秒或秒后,两三角形类似．（6分）点评：本题分解考核了旅程问题,类似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P 的地位,使得以P,A,D为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似．解答：解：（1）若点A,P,D分离与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测：当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP．当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP．（2）若点A,P,D分离与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC．∴=,∴=,∴AP=．磨练：当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC．是以,点P的地位有三处,即在线段AB距离点A的1..6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．解答：证实：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,（4分）而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE,∴．（8分）又∵BE=EC,∴,（10分）则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t（秒）暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．解答：解：以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得：t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得：t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．22．如图,路灯（P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP．∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达）,他们带了以下测量对象：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划．（1）所需的测量对象是：;（2）请鄙人图中画出测量示意图;（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．解答：解：（1）皮尺,标杆;（2）测量示意图如图所示;（3）如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分离为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴．（7分）24．问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们经由过程测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细疏忽不计）的高度为200cm,影长为156cm．义务请求：（1）请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友谊提醒：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴,即,（2分）∴DE=1200（cm）．所以,黉舍旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：,即,∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中,依据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602,∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm,衔接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴（7分）,又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8,∴,解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：,即,∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm,衔接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN．∴,即,（6分）∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中,依据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0,解得：r1=12,r2=﹣3（不合题意,舍去）,∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴．∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m．∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题根本上难度不大,应用类似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图,李华晚上在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请解释来由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP,∴△ABC∽△OPC．∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得：．（2）∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即．∴．同理可得：,∴=是定值．（3）依据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知,即,∴,同理可得：,∴,由等比性质得：,当李华从A走到A'的时刻,他的影子也从C移到C',是以速度与旅程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;（不必证实）（2）如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC.CA.AB的长分离为a.b.c,则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3;（2）S1=S2+S3．证实如下：显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;（3）当所作的三个三角形类似时,S1=S2+S3．证实如下：∵所作三个三角形类似∴∴=1∴S1=S2+S3;（4）分离以直角三角形ABC三边为一边向外作类似图形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,则S1=S2+S3．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE,∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB,∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD.CD的长;（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中,依据勾股定理得：BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;（2）在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．解：（1）设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,因为3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为（C+560）cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分离为240cm,800cm。

相似三角形判定专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？2．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC=∠AGF=90°．若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．3．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．4．如图，已知∠1=∠2，且AB•ED=AD•BC，则△ABC与△ADE相似吗？是说明理由．5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．6．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．7．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．（1）证明：△ADC∽△AEB；（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．8．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．9．在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．（1）求证：DF=EF；（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．12．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．13．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．14．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：（1）△DAE∽△EBA；（2）找出两个与△ABC相似的三角形（第2小题不要求写出证明过程）．15．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC 一定相似．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）△ABD与△ACE相似吗？为什么？（3）图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．18．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF．19．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s 的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的22．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q 从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．23．已知，如图，，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．24．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD （如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．25．如图，已知△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，∠BAC=∠MBN=90°，BD⊥AN．请找出与△ABD相似的三角形并给出证明，直接写出∠ANC的度数．26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．设运动时间为t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．27．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，证明：△ABE∽△AEF．28．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，连接BD，AC，且DE⊥AC于E，交AB于F，求证：△AFD∽△ADB．29．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN 是等腰三角形；（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．30．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．相似三角形判定专项练习30题参考答案：1．解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD ， 设AB=AD=CD=4a ， ∵E 为边AD 的中点，CF=3FD ， ∴AE=DE=2a ，DF=a ，∴==2，==2，∴=，而∠A=∠D ， ∴△ABE ∽△DEF ． 2．解：△EAD ∽△EBA ，△DAE ∽△DCA ． 对△ABE ∽△DAE 进行证明： ∵△BAC 、△AGF 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∠GAF=45°， ∴∠EAD=∠EBA ， 而∠AED=∠BEA ， ∴△EAD ∽△EBA ． 3．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A=∠C=60°，BC=AB ， ∵AE=BE ， ∴CB=2AE ， ∵，∴CD=2AD ，∴==，而∠A=∠C ， ∴△AED ∽△CBD ． 4．解：△ABC ∽△ADE ，理由为： 证明：∵AB •ED=AD •BC ，∴=，∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△ADE ．5．证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB==10，∴DB=AD ﹣AB=15﹣10=5 ∴DB ：AB=1：2， 又∵EB=CE ﹣BC=9﹣6=3， ∴EB ：BC=1：2，又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．6．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．7．（1）证明：∵如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，∴∠ADC=∠AEB=90°．又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△AEB；（2）由（1）知，△ADC∽△AEB，则AD：AE=AC：AB．又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．8．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠DCE=90°，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC．9．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，∴EF=BC，DF=BC，∴DF=EF；（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；（3）△ADE∽△ACB．理由如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，而∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．11．证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵D为BC中点，且DE⊥BC，∴EB=EC．∴∠B=∠DCF．∴△ABC∽△FCD．12．证明：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB．13．解：△ABD∽△CBE，△ABC∽△DBE．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE，∴∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE，∴△ABC∽△DBE14．解：（1）∵∠DEC=∠B，∴DE∥AB，∴∠DEA=∠EAB，又∵∠DAE=∠B，∴△DAE∽△EBA；（2）△CDE∽△ABC，△EAC∽△ABC．15．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．16．证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴BD=CD，AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠EAB=∠C，∴△EAB∽△ECA；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．17．解：（1）证明∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；（2）相似．证明：∵△ADE∽△ABC；∴，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE；（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．18．证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠E+∠ECA=45°（三角形外角定理）．又∠ECF=135°，∴∠ECA+∠BCF=∠ECF﹣∠ACB=45°，∴∠E=∠BCF；同理，∠ECA=∠F，∴△EAC∽△CBF．19．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．20．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．22．解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要或者∵AB=6，BC=8∴只要设时间为t则PC=8﹣2t，CQ=t∴t=或者t=；①当t=时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC理由：△ABC∽△PCQ∴∠BAC=∠CPQ∵∠BAC+∠ECP=90°，∴∠EPC+∠ECP=90°即PQ⊥AC；②当t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ理由：△ABC∽△QCP∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC∴PE=EQ=CE即AC平分PQ23．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE．理由：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△BAD∽△CAE，∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC．24．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC，∵M、N分别为AE、CD的中点，∴AM=AE，CN=DC∴AM=CN；（2）解：∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB=∠CDB，在△AMB和△DNB中∴△AMB≌△DNB（SAS），∴∠ABM=∠DBN，∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，∴∠DBN+∠MBD=60°，即∠MBN=60°；（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．25．解：△ABD∽△CBN，理由：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，BD⊥AN，∴∠MBD=∠NBD=∠BNM=∠ABC=45°，∴==，∵∠MBA+∠ABD=45°，∠ABD+∠CBN=45°，∴∠ABD=∠CBN，∴△ABD∽△CBN，∴∠BNC=∠ADB=90°，∵∠BNA=45°，∴∠ANC=45°．26．解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，∴BD=t，BE=8﹣2t，∴△BDE∽△BAC时，=，即=，解得t=2.4（秒）；当△BED∽△BAC时，=，即=，解得t=（秒）．综上所述，t的值为2.4秒或秒．27．证明：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．∴△ABE∽△ECF．∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEF=∠B=90°．∴△ABE∽△AEF．28．证明：∵∠AEF=∠ABC=90°，∠EAF=∠BAC．∴△EAF∽△BAC，=，即AE•AC=AF•AB．同理可得，△AED∽△ADC，=，即AE•AC=AD2，∴AD2=AF•AB，即=，又∵∠DAF=∠BAD，∴△AFD∽△ADB．29．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．∵M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∴△AMN为等腰三角形；（3）由（2）得△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，即∠MAN=∠BAC，又∵AM=AN，AB=AC，∴AM：AB=AN：AC，∴△AMN∽△ABC；∵AB=AC，AD=AE，∴AB：AD=AC：AE，又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE；∴△AMN∽△ABC∽△ADE．30．证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．。

相似三角形的判定与性质练习题一、单选题1.如果两个相似三角形的相似比是1:2, 那么这两个相似三角形的面积比是( ) A.2:1 B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A. AD AE BD EC= B. AF DF AE BE= C. AE AF EC FE= D. DE AF BC FE = 3.下列四条线段中，不能组成比例线段的是（ ）A.3,6,2,4a b c d ====B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C. AD AC AE AB =D. AD AE AB AC= 5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所示,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠︒＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平行四边形ABCD 中, E 为CD 上一点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则:?DE EC = ( ) A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2二、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同一条直线上，ABC △与DCE △都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ≅△△；（2）AG AF GC FE=. 16.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ⋅=⋅.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABC FCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：2.PD PB PC =⋅19.如图，//AB FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ≅△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MN AB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正方形方格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ;(2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的面积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的面积比为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标. 25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直角梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上一个动点,当PC PD +的和最小时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AO CO.28.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=︒,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为__________ 29.已知578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取一点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边1C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（用含n 的式子表示，n 为正整数）33.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FG AG=________.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成比例B 选项，因为1232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成比例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成比例D 选项，因为2252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成比例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两角分别相等的两个三角形相似,可以得出ABC AED ~△△;当AD AC AE AB=时,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D.5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,1 2.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB ∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,5555DF DF BD BD ∴=∴==⨯=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ∆~∆,∴DE EF BC CF=. ∴点E 是边AD 的中点, ∴12AE DE AD ==, ∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ∆中, 90,6,3,:2ABCAB BC AB BC ∠====. A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠∆与ABC ∆不相似,故本选项符合题意; C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; 故选:B.8.答案：C解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三角形点评：该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。

相似三角形30道经典题英文回答：1. Theorem: If two triangles are similar, then their corresponding sides are proportional.2. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding sides proportional, then they are similar.3. Theorem: If two triangles have three pairs of corresponding angles congruent, then they are similar.4. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding angles congruent, then the third pair is also congruent, and the triangles are similar.5. Theorem: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding sides.6. Corollary: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding altitudes.7. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides another side into two segments, then the ratio of the lengths of the segments is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.8. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the other two sides into segments, then the ratios of the lengths of the segments are equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.9. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratio of the areas of the parts is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.10. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratios of the areas of the parts are equal to theratio of the corresponding sides of the triangle.11. Theorem: The sum of the interior angles of a triangle is 180 degrees.12. Corollary: The sum of the exterior angles of a triangle is 360 degrees.13. Theorem: The Pythagorean Theorem: For a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.14. Corollary: The converse of the Pythagorean Theorem: If the square of one side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is a right triangle.15. Theorem: The Law of Cosines: For any triangle, the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle.16. Corollary: The Law of Sines: For any triangle, the ratio of the sine of one angle to the length of theopposite side is equal to the ratio of the sine of anyother angle to the length of its opposite side.17. Theorem: The area of a triangle is equal to halfthe product of the base and height.18. Corollary: The area of a triangle is equal to half the product of two sides and the sine of the included angle.19. Theorem: The perimeter of a triangle is equal tothe sum of the lengths of its three sides.20. Corollary: The perimeter of a triangle is equal to the sum of the lengths of two sides plus the length of the third side.21. Theorem: If a triangle is equilateral, then its angles are all equal to 60 degrees.22. Corollary: If a triangle has two sides equal, thenits angles opposite the equal sides are equal.23. Theorem: If a triangle has two angles equal, thenits sides opposite the equal angles are equal.24. Corollary: If a triangle has three equal sides,then its angles are all equal to 60 degrees.25. Theorem: If a triangle has a right angle, then its other two angles are acute.26. Corollary: If a triangle has an obtuse angle, then its other two angles are acute.27. Theorem: If a triangle has two adjacent sides equal, then the angle opposite the equal sides is greater than the other angles.28. Corollary: If a triangle has two adjacent sides unequal, then the angle opposite the greater side isgreater than the angle opposite the smaller side.29. Theorem: If a triangle has two adjacent angles equal, then the sides opposite the equal angles are equal.30. Corollary: If a triangle has two adjacent angles unequal, then the side opposite the greater angle isgreater than the side opposite the smaller angle.中文回答：1. 定理，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值相等。

相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF和AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC和△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC和△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A 方向，向点A 运动，过点Q 作QE⊥BC 于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形和△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ和△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM和△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形和△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE和AB交于点M，EF和AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE和BA的延长线交于点M，EF和AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm ．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH和⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有和（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF和AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF ≌△BGF ，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD，由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135°°，BC= ；解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形和△ACD相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB和△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB和△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC 和△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形和△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH 2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD 是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC ）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t ，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形和Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD和△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形和△BDC相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ和△ABC相似．解答：设经过秒后t秒后，△PBQ和△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ和△ABC相似（10分）．解法二：设ts后，△PBQ和△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP和AB对应时，有=，即=，解得t=2.5s（2）当BP和BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形和△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM和△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明解答：证明：分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN ，则=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，则．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点和B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM和△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形和△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别和点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别和点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE和AB交于点M，EF和AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE和BA的延长线交于点M，EF和AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）和（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN和△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN ．（12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形和△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH和⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m ．（3分）（2）解法一：和①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：和①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度和路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有和（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．在证明两个三角形相似时，首先考虑角度信息，其次考虑对应边成比例．问题2：想一想相似三角形的判定与性质的区别是什么？问题3：如果两个图形___________，而且____________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________；位似图形上__________________________________________________．相似三角形的判定一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定6.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：位似变换7.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到△．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.（2，4）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一．填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片，底边长为15cm ，底边上的高长22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第6张．【分析】设第x 张为正方形，如图，△ADE ∽△ABC ，则DE BC =AM AN，从而计算出x 的值即可．【解答】解：如图，设第x 张为正方形，则DE =3(cm )，AM =(22.5-3x )(cm )，∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AM AN ，即315=22.5-3x 22.5，解得x =6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比．2(2019秋•浦东新区校级月考)如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果BE BC=23，那么BF FD =23．【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ，再根据相似三角形的性质得BE ：DA =BF ：DF 即可解．【解答】解：ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE ：DA =BF ：DF∵BC =AD∴BF ：DF =BE ：BC =2：3．【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．3(2017秋•虹口区校级月考)如图，直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，在线段AB上取一点D ，作DF ⊥AB 交AC 于点F ，现将△ADF 沿DF 折叠，使点A 落在线段DB 上，对应点记为A 1；AD 的中点E 的对应点记为E 1，若△E 1FA 1∽△E 1BF ，则AD =165．【分析】利用勾股定理列式求出AC ，设AD =2x ，得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，然后求出BE 1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ，然后利用勾股定理列式求出E 1F ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值，从而可得AD 的值．【解答】解：∵∠ACB =90°，AB =10，BC =6，∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8，设AD =2x ，∵点E 为AD 的中点，将△ADF 沿DF 折叠，点A 对应点记为A 1，点E 的对应点为E 1，∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ，∵DF ⊥AB ，∠ACB =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△AFD ，∴AD AC =DF BC ，即2x 8=DF 6，解得DF =32x ，在Rt △DE 1F 中，E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2，又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ，△E 1FA 1∽△E 1BF ，∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ，∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1，即(13x 2)2=x (10-3x )，解得x =85，∴AD 的长为2×85=165．故答案为：165．【点评】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．4(2021秋•普陀区校级月考)如图，在△ABC 中，4AB =5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG =FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AG FD的值为43．【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：第1步：利用角平分线的性质，得到BD =54CD ；第2步：延长AC ，构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ；第3步：过点M 作MN ∥AD ，构造平行四边形DMNG ．由MD =BD =KD =54CD ，得到等腰△DMK ；然后利用角之间关系证明DM ∥GN ，从而推出四边形DMNG 为平行四边形；第4步：由MN ∥AD ，列出比例式，求出AG FD的值．【解答】解：已知AD 为角平分线，则点D 到AB 、AC 的距离相等，设为h ．∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54，∴BD =54CD ．如图，延长AC ，在AC 的延长线上截取AM =AB ，则有AC =4CM ．连接DM ．在△ABD 与△AMD 中，AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS )，∴MD =BD =54CD ．过点M 作MN ∥AD ，交EG 于点N ，交DE 于点K ．∵MN ∥AD ，∴CK CD =CM AC =14，∴CK =14CD ，∴KD =54CD ．∴MD =KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK =∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1=∠2；∵MN ∥AD ，∴∠3=∠4=∠1=∠2，又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN =DG =2FD ．∵点H 为AC 中点，AC =4CM ，∴AH MH=23．∵MN ∥AD ，∴AG MN =AH MH ，即AG 2FD =23，∴AG FD =43．故答案为：43．方法二：如图，有已知易证△DFE ≌△GFE ，故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3，又∠1=∠2，所以∠3=∠B ，则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ，则AC =4a ，AH =2a ，所以AG /AD =AH /AB =2/5，而AD =AG +GD ，故GD /AD =3/5，所以AG ：GD =2：3，F 是GD 的中点，所以AG ：FD =4：3．【点评】本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．5(2022秋•普陀区校级月考)如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为10.5．【分析】已知△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，且两三角形相似，因此可得出A 2B 2：A 3B 3=1：2，由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底边之比，因此这两个三角形的面积比为1：2，根据△A 3B 2B 3的面积为4，可求出△A 2B 2A 3的面积，同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积．即可求出阴影部分的面积．【解答】解：△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，又∵A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3，∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3，∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3，∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3，∴A 2A 3A 3A 4=12．∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12，△A 3B 2B 3的面积是4，∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比)．同理可得：△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8；△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5．∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5．故答案为：10.5．【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似，再根据已给的面积，求出相似比，从而求阴影部分的面积．6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1，如图①，将边BC 、AC 分别2等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 1；如图②将边BC 、AC 分别3等分，BE 1、AD 1相交于点O ，△AOB 的面积记为S 2；⋯，依此类推，则S n 可表示为　12n +1　．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，先求出S △ABE 1=1n +1，再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，最后根据S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，即可求出S n ．【解答】解：如图，连接D 1E 1，设AD 1、BE 1交于点M ，∵AE1：AC =1：(n +1)，∴S △ABE 1：S △ABC =1：(n +1)，∴S △ABE 1=1n +1，∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ，∴BM BE 1=n +12n +1，∴S △ABM ：S △ABE 1=(n +1)：(2n +1)，∴S △ABM ：1n +1=(n +1)：(2n +1)，∴S n =12n +1．故答案为：12n +1．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积，关键是根据题意作出辅助线，得出相似三角形．7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE =3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则MC AM的值是　2或23　．【分析】由菱形的性质易证两三角形相似，但是由于点E 的位置未定，需分类讨论．【解答】解：分两种情况：(1)点E 在线段AD 上时，△AEM ∽△CBM ，∴MC AM =BC AE=2；(2)点E在线段AD的延长线上时，△AME∽△CMB，∴MCAM =BCAE=23．【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．8(2020秋•虹口区校级月考)如图，在△ABC中，∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E，BC=2.5AC，则ABAD+ABAE=5．【分析】根据CD平分∠ACB，可得ABDA=BCAC，根据CE平分∠ACB的外角，可得DEAE=BCAC，进而可得结果．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴AB DA =BC AC，∴BD+DADA =BC+ACAC，∴AB DA =BC+ACAC，①∵CE平分∠ACB的外角，∴DE AE =BC AC，∴BE-AEAE =BC-ACAC，∴AB AE =BC-ACAC，②①+②得，AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5．故答案为：5．【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答．9(2022秋•黄浦区校级月考)如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=1 4AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是　34　．【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB =PE ，再证△PCE ≌△PDB ，可得BD =CE ，再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ，结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论．【解答】解：如图，过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ，∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵AC ∥PE ，∴∠ACB =∠E ，∴∠B =∠E ，∴PB =PE ，∵PC =PD ，∴∠PDC =∠PCD ，∴∠BPD =∠EPC ，∴在△PCE 和△PDB 中，PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE，∴△PCE ≌△PDB (SAS )，∴BD =CE ，∵AC ∥PE ，∴PA AB =CE BC ，∵PA =14AB ，∴CE BC =14，∴BD BC =14，∴CD BC =34．故答案为：34．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，以及全等三角形的判定，解决问题的关键是正确作出辅助线，列出比例式．二．解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中，∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，点E 为AB 的中点，EC 与AD交于点G ，点F 在BC 上．(1)如图1，AC ：AB =1：2，EF ⊥CB ，求证：EF =CD ．(2)如图2，AC ：AB =1：，EF ⊥CE ，求EF ：EG 的值．【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ，根据AC ：AB =1：2及点E 为AB 的中点，得出AC =BE ，再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ，即可得出EF =CD ；(2)作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，先证明四边形EQDH 是矩形，得出∠QEH =90°，则∠FEQ =∠GEH ，再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ，得出EF ：EG =EQ ：EH ，然后在△BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ，在△AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH =32AE ，又BE =AE ，进而求出EF ：EG 的值．【解答】(1)证明：如图1，在△ABC 中，∵∠CAB =90°，AD ⊥BC 于点D ，∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB ．∵AC ：AB =1：2，∴AB =2AC ，∵点E 为AB 的中点，∴AB =2BE ，∴AC =BE ．在△ACD 与△BEF 中，∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE，∴△ACD ≌△BEF ，∴CD =EF ，即EF =CD ；(2)解：如图2，作EH ⊥AD 于H ，EQ ⊥BC 于Q ，∵EH ⊥AD ，EQ ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴四边形EQDH 是矩形，∴∠QEH =90°，∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ，又∵∠EQF =∠EHG =90°，∴△EFQ ∽△EGH ，∴EF ：EG =EQ ：EH ．∵AC ：AB =1：3，∠CAB =90°，∴∠B =30°．在△BEQ 中，∵∠BQE =90°，∴sin B =EQ BE =12，∴EQ =12BE ．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH=EHAE =32，∴EH=32AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=12BE：32AE=1：3=3：3=33．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH是矩形．11(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，连接EF、ED、DF，DE交AF于点G，且DE⊥EF．(1)求证：AE2=EG•ED；(2)求证：BC2=2DF•BF．【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB =90°，然后证明△AEG∽△DEA，即可得到结论；(2)由AE=EF，AE2=EG•ED，得到FE2=EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴AE=FE，∴∠EAF=∠AFE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠AFB=90°，∵DE⊥EF，∴∠FEG=90°，∴∠DAG=∠FEG，∵∠AGD=∠FGE，∴∠EFG=∠ADG，∴∠EAG=∠ADG，∵∠AEG=∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE =EG AE，∴AE2=EG•ED；(2)∵AE=EF，AE2=EG•ED，∴FE2=EG•ED，∴EF DE =EGEF，∵∠FEG=∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG=∠EDF，∴∠BAF=∠EDF，∵∠DEF=∠AFB=90°，∴△ABF∽△DFE，∴AB DF =BF EF，∵四边形ACBD是菱形，∴AB=BC，∵∠AFB=90°，∵点E是AB的中点，∴FE=12AB=12BC，∴BC DF =BF12BC，∴BC2=2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12(2021秋•杨浦区校级月考)如图，已知在平行四边形ABCD中，AE：ED=1：2，点F为DC的中点，连接BE、AF，BE与AF交于点H．(1)求EH：BH的值；(2)若△AEH的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．【分析】(1)延长AF，BC交于点G，证明△ADF≌△GCF(AAS)，可得AD=CG=BC，所以BG=2BC，根据AE：ED=1：2，可得AE：AD=1：3，AE：BG=1：6，，证明△AEH∽△GBH，即可解决问题；(2)在△AEH中，设AE=x，AE边上的高为h，△BGH中，BG边上的高为h′，可得平行四边形ABCD的高为h+h′，BC=3x，根据△AEH的面积为1，可得x•h=2，所以h′=6h，进而可以求平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：(1)如图，延长AF，BC交于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∴∠D =∠DCG ，∠DAF =∠G ，∵点F 为DC 的中点，∴DF =CF ，在△ADF 和△GCF 中，∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF，∴△ADF ≌△GCF (AAS )，∴AD =CG ，∴AD =CG =BC ，∴BG =2BC ，∵AE ：ED =1：2，∴AE ：AD =1：3，∴AE ：BG =1：6，∵AD ∥BC ，∴△AEH ∽△GBH ，∴EH ：BH =AE ：BG =1：6；(2)在△AEH 中，设AE =x ，AE 边上的高为h ，△BGH 中，BG 边上的高为h ′，∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′，BC =3x ，∵△AEH 的面积为1，∴12x •h =1，∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ，∴h ：h ′=1：6，∴h ′=6h ，∴h +h ′=7h ，∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．13(2021春•徐汇区校级月考)如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ；(1)求证：EG •GF=CG •GD ；(2)联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系？证明你的结论．【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ，得∠EDC =∠EBC ；利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ，即可得到EG •GF =CG •GD．(2)利用第(1)题的结论，可证明△DGE ∽△FGC ，再利用三角形内角外角关系，即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系．【解答】解：(1)证明：∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上，∴∠ECB =∠ECD ，∵BC =CD ，CE =CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴∠EDC =∠EBC ，∵EB =EF ，∴∠EBC =∠EFC ；∴∠EDC =∠EFC ；∵∠DGE =∠FGC ，∴△DGE ∽△FGC ；∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ；(2)∠ADC =2∠FDC ．证明：∵EG CG =GD FG ，∴EG DG =CG FG，又∵∠DGF =∠EGC ，∴△CGE ∽△FGD ，∵EF ⊥CD ，DA =DC ，∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ，∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC ．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用，解题时注意：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．14(2021秋•宝山区校级月考)如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形，AB =BC =6cm ，∠B =45°，则正方形DEFG 的面积为多少？【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，于是得到△ABH 是等腰直角三角形，求得AH =BH =2222AB =32cm ，由△AGF ∽△ABC ，得到GF BC =AM AH，求得GF =(62-6)cm ，即可得到结论．【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H ，交GF 于M ，∵∠B =45°，∴AH =BH =22AB =32cm ，∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，∴GF BC =AM AH，即GF 6=32-GF 32，∴GF =(62-6)cm ，∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的四条边都相等的性质，利用相似的性质：对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键．15(2021秋•松江区月考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ，交BD 于点G ，过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F ．求证：DF FC =DM CD．【分析】由GF ∥BC ，根据平行线分线段成比例定理，可得DF FC，又由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB =CD ，AB ∥CD ，继而可证得DM AB =DG BG ，则可证得结论．【解答】证明：∵GF ∥BC ，∴DF FC =DG BG，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴DM AB =DG BG ，∴DF FC =DM CD．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16(2021秋•松江区月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE 的延长线与BC 的延长线交于点F ．(1)求证：FD FC =BD DC ；(2)若BC FC =54，求BD DC的值．【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ，推出∠EDC =∠ECD ，求出∠FDC =∠B ，根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ，即可；(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54，S △BDF S △FDC =94，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94，即可求出BD DC．【解答】(1)证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°，∵E 是AC 的中点，∴DE =EC ，∴∠EDC =∠ECD ，∵∠ACB =90°，∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°，∠DCB +∠B =90°，∴∠ECD =∠B ，∴∠FDC =∠B ，∵∠F =∠F ，∴△FBD ∽△FDC ，∴FD FC =BD DC(2)解：∵BC FC =54，∴S △BDCS △FDC =54，∴S △BDFS △FDC =94，∵△FBD ∽△FDC ，∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94，∴BD DC=32．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．17(2021春•黄浦区校级月考)如图，四边形ABCD 是矩形，E 是对角线AC 上的一点，EB =ED 且∠ABE =∠ADE ．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)延长DE 交BC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，求证：EF •AG =BC •BE ．【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；(2)由AD ∥BC ，推出EF DE =EC EA ，同理DC AG =EC EA，由DE =BE ，四边形ABCD 是正方形，推出BC =DC，可得EFBE =BCAG解决问题；【解答】(1)证明：连接BD．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ABE=∠ADE，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形．(2)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴EF DE =EC EA，同理DCAG=ECEA，∵DE=BE，四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∴EF BE =BC AG，∴EF•AG=BC•BE．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18(2021秋•浦东新区校级月考)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求证：AD2=AF•AB．【分析】由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．【解答】证明：∵DE∥BC，EF∥CD，∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴AD：AB=AE：AC，AF：AD=AE：AC，∴AD：AB=AF：AD，∴AD2=AF•AB．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例．19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．【分析】(1)由DE⊥BC，D是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可证得△ABC∽△FCD；(2)首先过A作AG⊥CD，垂足为G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的长，继而求得△ABC的面积，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得△FCD的面积．【解答】(1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；(2)解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=92，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14．∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，∴S△FCD=14S△ABC=92．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．20(2021春•静安区校级月考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：(1)FD=CG；(2)CG2=FG•FC．【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ，根据全等三角形的性质得到FD =EA ，于是得到结论；(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ，根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ，根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ，等量代换得到∠DCF =∠FDA ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠FAD =∠B ，在△ADF 与△BAE 中，AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA，∴△ADF ≌△BAE ，∴FD =EA ，∵CF ∥AE ，AG ∥CE ，∴EA =CG ，∴FD =CG ；(2)∵在菱形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠DCF =∠BFC ，∵CF ∥AE ，∴∠BAE =∠BFC ，∴∠DCF =∠BAE ，∵△ADF ≌△BAE ，∴∠BAE =∠FDA ，∴∠DCF =∠FDA ，又∵∠DFG =∠CFD ，∴△FDG ∽△FCD ，∴FD FC=FG FD ，FD 2=FG •FC ，∵FD =CG ，∴CG 2=FG •FC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．21(2021秋•浦东新区校级月考)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，点E 为边DC 的中点，BE 交AC 于点F ．求：(1)AF ：FC 的值；(2)EF ：BF 的值．【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ，则有DH BC =DE CE，易得DH =BC ，加上BC =2AD ，所以AH =3AD ，然后证明△AHF ∽△CFB ，再利用相似比可计算出AF ：FC 的值；(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH ：BE =DE ：CE =1：1，则BE =EH =12BH ，由△AHF ∽△CFB 得到FH ：BF =AF ：FC =3：2；于是可设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，EH =52a ，接着可计算出EF =FH -EH =12a ，然后计算EF ：BF 的值．【解答】解：(1)延长BE 交直线AD 于H ，如图，∵AD ∥BC ，∴△DEH ∽△CEB ，∴DH BC =DE CE，∵点E 为边DC 的中点，∴DE =CE ，∴DH =BC ，而BC =2AD ，∴AH =3AD ，∵AH ∥BC ，∴△AHF ∽△CFB ，∴AF ：FC =AH ：BC =3：2；(2)∵△DEH ∽△CEB ，∴EH ：BE =DE ：CE =1：1，∴BE =EH =12BH ，∵△AHF ∽△CFB ，∴FH ：BF =AF ：FC =3：2；设BF =2a ，则FH =3a ，BH =BF +FH =5a ，∴EH =52a ，∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ，∴EF ：BF =12a ：2a =1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．22(2021秋•浦东新区校级月考)已知：如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，过点D 作DE ∥CB ，交AB 于点E ，AD DC =13，DE =6．(1)求AB 的长；(2)求S △ADE S △BCD．【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ，DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ，进而推出∠ABD =∠EDB ，由此可得BE =DE =6，由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13，进而证得AE =2，于是可得结论；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，进而证得结论．【解答】解：(1)BD 平∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∵DE ∥BC ，∴∠EDB =∠CBD ，∴∠ABD =∠EDB ，∴BE =DE =6，∵DE ∥BC ，∴AE EB =AD DC =13，∴AE 6=13，∴AE =2，∴AB =AE +BE =8；(2)△ADE 看成以DE 为底，高为h 1，△BCD 看成以BC 为底，高为h 2，∵DE ∥CB ，∴△AED ∽△ABC ，∴h 1h 2=AD DE =13，DE BC =14，∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键．23(2022春•长宁区校级月考)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、DB 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．(1)求证：EFBF =AB DB；(2)如果BD 2=2AD •DF ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ，再由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：EF BF =AB DB；(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ，又因为BD 2=2AD •DF ，所以可证明BF =DF ，再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°，所以∠ADC =∠DEF =90°，进而可证明平行四边形ABCD 是矩形．【解答】解：(1)证明：∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°，又∵∠BEF +∠DEF =180°，∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ，∵∠DEF =∠ADC ，∴∠BAD =∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠EBF =∠ADB ，∴△ADB ∽△EBF ，∴EF BF =AB DB；(2)∵△ADB ∽△EBF ，∴AD BD =BE BF，在平行四边形ABCD 中，BE =ED =12BD ，∴AD •BF =BD •BE =12BD 2，∴BD 2=2AD •BF ，又∵BD 2=2AD •DF ，∴BF =DF ，∴△DBF 是等腰三角形，∵BE =DE ，∴FE ⊥BD ，即∠DEF =90°，∴∠ADC =∠DEF =90°，∴平行四边形ABCD 是矩形．【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断，其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键．24(2021秋•宝山区校级月考)已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=6，点P是射线AD上的点，BP交AC于点E，∠CBP的角平分线交AC于点F，且CF=13AC时．求AP+BP的值．【分析】延长BF交射线AP于M，根据AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出AP+BP=AM，再根据AC=13CF求出AE=2CF，然后根据△MAF和△BCF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：如图，延长BF交射线AP于M，∵AD∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BF是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴AP+BP=AP+PM=AM，∵CF=13AC，则AF=2CF，由AD∥BC得，△MAF∽△BCF，∴AMBC =AFCF=2，∴AM=2BC=2×6=12，即AP+BP=12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BF构造出相似三角形，求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．25(2020秋•虹口区校级月考)已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA= DE．如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC=OD•CE．【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于BABC=DADE=1，根据得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA，由∠AOD=∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ，∴∠B =∠ADE ，∵BA BC=DA DE =1，∴△ABC ∽△ADE ；(2)∵△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ，∵∠COD =∠EOA ，∴△COD ∽△EOA ，∴OC OE =OD OA，∵∠AOD =∠COE ，∴△AOD ∽△EOC ，∴DA ：CE =OD ：OC ，即DA •OC =OD •CE ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26(2021秋•金山区校级月考)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在边AD 上，CE 与BD 相交于点F ，AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．(1)求证：△DFE ∽△DAB ；(2)求线段CF 的长．【分析】(1)AD ∥BC ，DE =3，BC =6，DF FB =DE BC=36=12，DF DA =DE DB ．又∠EDF =∠BDA ，即可证明△DFE ∽△DAB ．(2)由△DFE ∽△DAB ，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案．【解答】证明：(1)∵AD ∥BC ，DE =3，BC =6，∴DF FB =DE BC =36=12，∴DF BD =12，∵BD =6，∴DF =2．∵DA =4，∴DF DA =24=12，DE DB =36=12．∴DF DA=DE DB ．又∵∠EDF =∠BDA ，∴△DFE ∽△DAB ．(2)∵△DFE ∽△DAB ，∴EF AB =DE DB ．∵AB =5，∴EF 5=36，∴EF =52=2.5．∵DE ∥BC ，∴CFEF =BC DE ．∴CF 2.5=63，∴CF =5．(或利用△CFB ≌△BAD )．【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长，不管学生用了哪种方法，只要是正确的，就要积极地给予表扬，以此激发学生的学习兴趣．27(2020秋•宝山区月考)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知△ABC 的边BC =15，高AH =10，求正方形DEFG 的边长和面积．【分析】高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，所以AM =10-x ，再证明△ADG ∽△ABC ，则利用相似比得到x 15=10-x 10，然后根据比例的性质求出x ，再计算x 2的值即可．【解答】解：高AH 交DG 于M ，如图，设正方形DEFG 的边长为x ，则DE =MH =x ，∴AM =AH -MH =10-x ，∵DG ∥BC ，∴△ADG ∽△ABC ，∴DG BC =AM AH，即x 15=10-x 10，∴x =6，∴x 2=36．答：正方形DEFG 的边长和面积分别为6，36．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．28(2021秋•闵行区校级月考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM 于H ，DH 的延长线交AC 的延长线于E ．求证：(1)△AED ∽△CBM ；(2)AE •CM =AC •CD ．【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形，易得∠A +∠ABC =90°，而CD ⊥AB ，易得∠MCB +∠ABC =90°，利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ，同理可证∠1=∠2，而∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，易证∠ADE =∠CMB ，从而易证△AED ∽△CBM ；(2)由(1)知△AED ∽△CBM ，那么AE ：AD =CB ：CM ，于是AE •CM =AD •CB ，再根据△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，易知△ACD ∽△CBD ，易得AC •CD =AD •CB ，等量代换可证AE •CM =AC •CD ．【解答】证明：(1)∵△ABC 是直角三角形，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB =90°，即∠MCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠MCB ，∵CD ⊥AB ，∴∠2+∠DMB =90°，∵DH ⊥BM ，∴∠1+∠DMB =90°，∴∠1=∠2，又∵∠ADE =90°+∠1，∠CMB =90°+∠2，∴∠ADE =∠CMB ，∴△AED ∽△CBM ；(2)∵△AED ∽△CBM ，∴AE BC =AD CM，∴AE •CM =AD •CB ，∵△ABC 是直角三角形，CD 是AB 上的高，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC ：AD =CB ：CD ，∴AC •CD =AD •CB ，∴AE •CM =AC •CD ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似．解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB ．29(2022秋•徐汇区校级月考)如图，在直角坐标平面内有点A (6，0)，B (0，8)，C (-4，0)，点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动，MN 交OB 于点P ．(1)求证：MN ：NP 为定值；(2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长；(3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN ：NP 为定值53．(2)当△BNP 与△MNA 相似时，当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，所以AM AN =AB AO ，所以10-2k 5k =106，k =3031，即CM =6031；当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，所以∠PBA =∠PMO ，根据题意可以判定不成立，所以CM =6031．(3)由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP =BN ，PB =PN ，NB =NP 三种情况进行讨论．【解答】证明：(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k ，①当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：∴OH =6-3k ，OM =4-2k ，∴MH =10-5k ，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53，②当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，∵PO ∥NH ，∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53；解：(2)当△BNP 与△MNA 相似时：①当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ，∴AMAN =AB AO，。

经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．2 ．如图，梯形ABCD 中，AB∥ CD，点F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点G．（ 1 ）求证：△CDF∽△BGF；（ 2 ）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF ∥ CD交 AD 于点 E，若 AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的长．3．如图，点 D ， E 在 BC 上，且 FD∥ AB， FE∥ AC．求证：△ABC∽△FDE ．4 ．如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF ⊥ AE于 F，试说明：△ABF ∽△EAD．5 ．已知：如图①所示，在△和△ABCADE中， AB=AC ， AD=AE ，∠ BAC= ∠ DAE，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接 BE ，CD ， M ， N 分别为 BE， CD 的中点．（ 1）求证：①BE=CD ；②△AMN是等腰三角形；（ 2）在图①的基础上，将△绕点ADE 按顺时针方向旋转 180 °，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（ 3）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段 BC 于点 P．求证：△PBD∽△ AMN．6 ．如图， E 是? ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接EC，交 AD 于点 F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7 ．如图，在 4 ×3的正方形方格中，△和ABC△ DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．（1 ）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2 ）判断△ ABC与△ DEC是否相似，并证明你的结论．8 ．如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s的速度向 A 点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间，△的AMN面积等于矩形 ABCD 面积的？（ 2）是否存在时刻 t ，使以 A ，M ， N 为顶点的三角形与△相ACD似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9 ．如图，在梯形ABCD 中，若 AB∥ DC，AD=BC ，对角线BD 、 AC 把梯形分成了四个小三角形．（ 1 ）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（ 2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10 ．如图△ABC中， D 为 AC 上一点， CD=2DA，∠BAC=45 °，∠BDC=60 °，CE于⊥E，BD连接 AE．（ 1 ）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（ 2 ）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3 ）求△BEC与△BEA的面积之比．11 ．如图，在△ABC中， AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M 分别作 AB 、 AC 的平行线交AC于P，交 AB 于 Q．（1 ）求四边形 AQMP 的周长；（2 ）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3 ） M 位于 BC 的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12 ．已知： P 是正方形ABCD 的边 BC 上的点，且BP=3PC ， M 是 CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13 ．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥ BC，AD=2 ，AB=BC=8，CD=10．（ 1 ）求梯形ABCD 的面积 S；（ 2 ）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s的速度，沿B? A ?D ? C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C? D? A 方向，向点 A 运动，过点Q 作 QE⊥ BC 于点 E．若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点 P 在 B?A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、 A 、D 为顶点的三角形与△相CQE似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．14 ．已知矩形ABCD ，长 BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P 自点 A 出发，以 1cm/s的速度沿AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以 2cm/s的速度沿BC 方向运动，问经过几秒，以 P 、B、 Q 为顶点的三角形与△相BDC似？15 ．如图，在△ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s的速度移动，如果P、 Q 分别从 A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ ABC相似．16 ．如图，∠ACB= ∠ ADC=90 AC=°，，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17 ．已知，如图，在边长为 a 的正方形ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边AB 上找一点N（不含 A 、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．C=90°BC=8cm，， AC=6cm，点Q 从 B 出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，18 ．如图在△ABC中，∠点 P 从 C 出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q 、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、 P、Q为顶点的三角形与△相CBA似？19 ．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠A=90 °AB=7，， AD=2 ， BC=3 ，试在腰AB 上确定点 P 的位置，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形与以P， B，C 为顶点的三角形相似．20 ．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A= ∠ D=90 °的，顶△点 DEF位于边 BC 的中点上．（ 1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 N ，求证：△BEM∽△ CNE；（ 2）如图 2，将△ DEF绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点M ，EF 与 AC 交于点 N ，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点Q、 A 、P 为顶点的三角形与△相ABC似．22 ．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点） 20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 ．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1 ）所需的测量工具是：_________ ；（2 ）请在下图中画出测量示意图；（ 3 ）设树高AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24 ．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为 60cm ．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为 900cm ．丙组：如图 3 ，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm ．任务要求：（ 1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2 ）如图 3，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M ．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式156 2+2082=2602）25 ．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26 ．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h ，灯柱的高 OP=O′ P′ =l两灯，柱之间的距离 OO′ =m．（ 1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a ，求他影子 AC 的长；（ 2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（ 3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27 ．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1， S2， S3表示，则不难证明 S1=S 2+S 3．（ 1 ）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1， S2， S3表示，那么S1， S2， S3之间有什么关系；（不必证明）（ 2 ）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、 S3表示，请你确定 S1，S2， S3之间的关系并加以证明；（ 3 ）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2， S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（ 4 ）类比（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28 ．已知：如图，△ABC∽△ AB=15ADE，， AC=9 ， BD=5 ．求 AE ．29 ．已知：如图Rt △ ABC∽ Rt △ BDC，AB=3若， AC=4 ．（1）求 BD 、CD 的长；（2）过 B 作 BE⊥ DC于 E，求 BE 的长．30 ．（ 1 ）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（ 2 ）已知：两相似三角形对应高的比为3：10 ，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。