2020年中考数学二轮核心考点讲解第13讲新定义材料理解问题原卷板

重难点01 新定义与材料理解问题【命题趋势】新定义与材料理解问题是中考数学的热点问题，一般为小题（选择题或填空题）。

这种类型的问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力．这种类型的问题往往与代数知识结合的比较多，所以同学们一定要重视，一般这种类型的问题难度不大，平时多注意对这种问题的训练拿下这个问题不是难事。

新定义与材料理解问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念。

这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

【满分技巧】1）读懂题目，搜集信息，理解本质﹕要想做好这类新定义型问题，关键在于读懂题目中所给新定义的信息，真正理解新概念的本质．题目中可能会给出很多信息，有些是无关紧要的，有些是重要的，我们一定要抓住关键词，关键信息，彻底弄懂其问题的本质，这是我们解决问题的关键所在．2）新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕1.实数的运算→高中的虚数的运算、数列的求和、向量等知识、．2.平面直角坐标系，反比例函数，一次函数，二次函数→幂函数或指数函数3.一元一次、一元二次方程、分式方程→指数方程、三角方程等特殊方程4.其他类型3）熟练掌握和运用数学的常用思想方法我们在解决新定义型问题时，往往都是利用现有的知识结合一些重要的数学思想方法去解决新定义的问题，比如，我们用初中所学的实数的知识结合类比和转化的数学思想方法来解决复数或者虚数的一些问题等等．所以一定要把未学的问题转化成已学的数学问题，利用现有的知识和方法，结合转化、类比等数学思想解决问题．【限时检测】A 卷（建议用时：90分钟）1．（2020·广东省华南师大附中初三模拟）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!1=，2!21=⨯，3!321=⨯⨯，4!4321=⨯⨯⨯，…，那么计算2020!2019!的值是（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 【答案】C 【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果．【解析】根据题中的新定义得：原式=20202019120191⨯⨯⋯⨯⨯⋯⨯=2020，故选：C ． 【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2020·山东菏泽·中考模拟）规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(,)m n ，向量OP 可以用点P 的坐标表示为：(,)OP m n =.已知：11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA 与OB 互相垂直.下列四组向量，互相垂直的是（ ）A ．(3,2)OC =，(2,3)OD =-B ．(21,1)OE =，(21,1)OF =C ．0(3,2018)OG =，1(,1)3OH =--D ．31(8,)2OM =-，2((2),4)ON = 【答案】A分析：根据向量垂直的定义一一进行判断即可.【解析】A.()32230,⨯-+⨯= OC 与OD 互相垂直.B.)111120,+⨯=≠ OE , O F 不垂直. C.()0132018120,3⎛⎫⨯-+⨯-=-≠ ⎪⎝⎭OG , O H 不垂直.21420,2⎛⎫+-⨯=≠ ⎪⎝⎭OM , O N 不垂直.故选A. 点睛：考查向量垂直的定义，掌握向量垂直的定义是解题的关键.3．（重庆市兼善中学中考模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B 【解析】解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x -y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x -y=10， 组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，平方差方式，难点在于要分情况讨论，熟记平方差公式结构是解题的关键．4．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：1a b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果21x =☆，则x 的值是（ ）．A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【解析】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可．5．（2020·江苏盐城·中考真题）把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为：（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6【答案】A 【分析】根据题意求出“九宫格”中的y ，再求出x 即可求解．【解析】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y 解得y=6∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A ．【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．6．（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满足()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数） 是关于x 的方程，则它的根的情况是（ ）A ．有一个实根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根 【答案】B【分析】将x k *按照题中的新运算方法展开，可得()()1x k x k x k *=+--，所以x k x *=可得()()1x k x k x +--=，化简得：2210x x k ---=，()()222141145k k ∆=--⨯⋅--=+，可得>0∆，即可得出答案.【解析】解：根据新运算法则可得：()()2211x k x k x k x k *=+--=--， 则x k x *=即为221x k x --=，整理得：2210x x k ---=，则21,1,1a b c k ==-=--，可得：()()222141145k k ∆=--⨯⋅--=+ 20k ≥，2455k ∴+≥；0∴∆>，∴方程有两个不相等的实数根；故答案选：B.【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号. 7．（2020·河南中考真题）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案．【解析】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=- ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0,∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．8．（2020·湖北咸宁·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A ．y x =-B ．2y x =+C ．2y x =D ．22y x x =- 【答案】B【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x 上的点，再各函数中令y=x ，对应方程无解即不存在“好点”.【解析】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：x =经检验x =即“好点”为）和（，），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合； 故选B.【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.9．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定【答案】A 【分析】根据杠杆原理及cos α的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小， ∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大，又∵动力臂1cos L L α=⋅，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A ．【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．10．（2020·四川广元市·中考真题）规定：()()()sin sin ,cos cos ,cos cos cos sin sin x x x x x y x y x y -=--=+=-给出以下四个结论：（1）()1sin 302-︒=- ；（2）22cos 2cos sin x x x =-；（3）()cos cos cos sin sin x y x y x y -=+ ；（4）cos15︒=其中正确的结论的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．【详解】解：（1）()1sin 30sin 302-︒=-︒=-，故此结论正确； （2）()22cos2cos cos cos sin sin cos sin x x x x x x x x x =+=-=-，故此结论正确；（3）()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin x y x y x y x y x y x y ⎡⎤-=+-=---=+⎣⎦故此结论正确；（4）cos15︒=()cos 4530︒-︒=cos45cos30sin 45sin30︒︒+︒︒12==4=，故此结论错误.故选：C ． 【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.11．（2020·湖北中考真题）对于实数,m n ，定义运算2*(2)2m n m n =+-．若2*4*(3)a =-，则a =_____．【答案】13-【分析】根据给出的新定义分别求出2*a 与4*(3)-的值，根据2*4*(3)a =-得出关于a 的一元一次方程，求解即可．【解析】解：∵2*(2)2m n m n =+-，∴()22222162a a a *=+-=-，()()()243422342*-=+-⨯-=，∵2*4*(3)a =-，∴16242a -=，解得13a =-，故答案为：13-．【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键． 12．（2019·四川遂宁·中考真题）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-； 2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-；2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=；22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．【答案】7i -【分析】根据题目材料，可得复数计算方法，先去括号，再进行加减运算.【解析】222(12)(2)(2)24244i i i i i i i i +-+-=-+-++-26i i =--61i =-+7i =-． 故答案为：7i -．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握有理数的混合运算.13．（2020.浙江台州·中考模拟）任何实数a ，可用[]a 表示不超过a 的最大整数，如，现对72进行如下操作：123727288221⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=→=→=⎣⎦⎣⎦⎣⎦第次第次第次，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .【答案】①3；②255．【解析】①∵根据定义，12381931→=→=→=第次第次第次， ∴对81只需进行3 次操作后变为1.②设1=，x 为正整数，则1≤，∴1x<4≤，即最大正整数是3.设3=，y 为正整数，则3，∴9y<16≤，即最大正整数是15.设15=，z 为正整数，则15≤，∴225z<256≤，即最大正整数是255.∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255.故答案为3，255.14．（2020·湖南中考真题）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0， 因此，方程x ﹣n ＝0和x 2+nx ﹣1＝0的所有解就是方程x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0的解．解决问题：求方程x 3﹣5x +2＝0的解为_____．【答案】x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【分析】将原方程左边变形为x 3﹣4x ﹣x +2＝0，再进一步因式分解得（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x 的方程求解可得．【解析】解：∵x 3﹣5x +2＝0，∴x 3﹣4x ﹣x +2＝0， ∴x （x 2﹣4）﹣（x ﹣2）＝0，∴x （x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，则（x ﹣2）[x （x +2）﹣1]＝0，即（x ﹣2）（x 2+2x ﹣1）＝0，∴x ﹣2＝0或x 2+2x ﹣1＝0，解得x ＝2或x ＝﹣1，故答案为：x ＝2或x ＝﹣或x ＝﹣1．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法．15．（2020.山东聊城·中考模拟）若x 为实数，则[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.6]1=，[]3π=，[ 2.82]3-=-等. []1x +是大于x 的最小整数，对任意的实数x 都满足不等式[][]1x x x ≤<+. ①，利用这个不等式①，求出满足[]21x x =-的所有解，其所有解为__________． 【答案】12或1. 分析: 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x 的取值范围，本题得以解决.【解析】∵对任意的实数x 都满足不等式[x]≤x ＜[x]+1，[x]=2x -1，∴2x -1≤x ＜2x -1+1，解得，0＜x≤1，∵2x -1是整数，∴x=0.5或x=1，答案为x=0.5或x=1.点睛：本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，会解答一元一次不等式.16．（2019·湖北荆州·中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．【答案】．【分析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.【解析】解：依题意得：解得．故答案是：．【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.17．（2020·湖南常德·中考模拟）平面直角坐标系中有两点M （a ，b ），N （c ，d ），规定（a ，b ）⊕（c ，d ）=（a +c ，b +d ），则称点Q （a +c ，b +d ）为M ，N 的“和点”．若以坐标原点O 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A （2，5），B （﹣1，3），若以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C 的坐标是___________．【答案】（1，8）.【解析】已知以O ，A ，B ，C 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，根据题意可得点C 的坐标为（2﹣1，5+3），即C （1，8）考点：阅读理解题.18．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ，以22O A 为边作正方形2222O A B C ，，则点2020B 的坐标______．x ()x n 0.50.5n x n -≤<+()x n =()1.341=()4.865=()0.516x -=x 1315x ≤<60.50.5160.5x -≤-<+1315x ≤<1315x ≤<【答案】()20202020231,3⨯-【分析】根据题意得出三角形AMO 为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段的长度，表示出B 1和B 2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解【解析】解：∵AM 的解析式为1y x =+，∴M （-1，0），A （0，1），即AO=MO=1，∠AMO=45°， 由题意得：MO=OC=CO 1=1，O 1A 1=MO 1=3，∵四边形1111O A B C 是正方形，∴O 1C 1=C 1O 2=MO 1=3，∴OC 1=2×3-1=5，B 1C 1=O 1C 1=3，B 1（5，3）， ∴A 2O 2=3C 1O 2=9，B 2C 2=9，OO 2=OC 2-MO=9-1=8，综上，MC n =2×3n ，OC n =2×3n -1，B n C n =A n O n =3n ，当n=2020时，OC 2020=2×32020-1，B 2020C 2020 =32020，点B ()20202020231,3⨯-，故答案为：()20202020231,3⨯-． 【点睛】本题考查规律型问题、等腰直角三角形的性质以及点的坐标，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．19．（2020·四川雅安市·中考真题）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________．【答案】20【分析】由垂美四边形的定义可得AC ⊥BD ，再利用勾股定理得到AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，从而求解.【详解】∵四边形ABCD 是垂美四边形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD 2+BC 2=AO 2+DO 2+BO 2+CO 2，AB 2+CD 2=AO 2+BO 2+CO 2+DO 2，∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2，∵AD=2，BC=4，∴AD 2+BC 2=22+42=20，故答案为：20.【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理.20．（2020·山东枣庄市·中考真题）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点ABCD AC BD 、O 24AD BC ==，22AB CD +=22AB CD +=多边形，它的面积S 可用公式112S a b =+-（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S =________．【答案】6【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入112S a b =+-计算即可．【详解】由图可知：五边形内部格点有４个，故4a = 五边形边上格点有6个，故6b = ∴112S a b =+-＝146162+⨯-=故答案为：6． 【点睛】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可．21．（2020·重庆中考真题）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”． 例如：14524÷=，14342÷=，所以14是“差一数”；19534÷=，但19361÷=，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 【答案】（1）49不是“差一数”， 74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389 【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算即可；（2）根据“差一数”的定义可知被5除余4的数个位数字为4或9；被3除余2的数各位数字之和被3除余2，由此可求得大于300且小于400的所有“差一数”． 【解析】解：（1）∵49594÷=；493161÷=，∴49不是“差一数”，∵745144÷=；743242÷=，∴74是“差一数”；（2）∵“差一数”这个数除以5余数为4，∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，∵“差一数”这个数除以3余数为2，∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389．【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，本题用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数是解决本题的关键．22．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校初三期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．【答案】(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.分析：（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.【解析】(1).1+2(x-y)+(x+y) ²=（x﹣y+1）2；（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．点睛;本题考查了因式分解的应用，解题的关键是认真审题你，理解题意，掌握整体思想解决问题. 23．（2020·山东泗水·中考模拟）阅读下面的解答过程，然后作答：化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且，则可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2例如：∵=2+）2=2请你仿照上例将下列各式化简：（1，（2【答案】（1）（2-【分析】参照范例中的方法进行解答即可.【解析】解：（1）∵22241(1+=+=+1=+（2）∵2227-=-=== 24．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b 定义为[]n b 如表2：定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m >．若[]n b m =，则22n m b m -+． 如：[]4175b =表示417521752b -+，即4173177b ．（1）通过观察表2，猜想出n a 与序号n 之间的关系式，[]n b 与序号n 之间的关系式； （2）用含n a 的代数式表示[]n b ；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【答案】（1）21n a n =+，[]155n b n =+；（2）鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm ~262mm ；（3）应购买44号的鞋．【分析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论；（2）把n 用含有a n 的式子表示出来，代入[]5155n b n =+化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[]5155n b n =+求解即可；（3）首先计算[]270n b =，再代入[]550n n b a =+求出n a 的值即可． 【解析】（1）21n a n =+ []1605(1)5155n b n n =+-=+ （2）由21n a n =+与[]5155n b n =+解得：[]550n n b a =+ 把42n a =代入21n a n =+得21n = 所以[]2154250260b =⨯+= 则得：2126022602b -≤≤+，即21258262b ≤≤ 答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm ~262mm ．（3）根据[]5155n b n =+可知[]n b 能被5整除 而27022712702-≤≤+ 所以[]270n b = 将[]270n b =代入[]550n n b a =+中得44n a = 故应购买44号的鞋． 【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键．25．（2020·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x 的取值范围． 【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x 的取值范围．【解析】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；（2）由题意得：3（2x －3）≥2（x+2） 6x －9≥2x+4 4x≥13 x ≥ ∴x 的取值范围为x≥．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键． 26．（2019·四川凉山·中考真题）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若0ab >（或0ab >），则00a b >⎧⎨>⎩或00a b <⎧⎨<⎩；②若0ab <（或a0b <），则00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩． 根据上述知识，求不等式(2)(3)0x x -+>的解集:,a b min{,}a b a b <min{,}a b a =a b min{,}a b b =min{4,2}2,min{5,5}5-=-=min{1,3}-=2322min ,233x x x -++⎧⎫=⎨⎬⎩⎭1342x 3x+223－≥min{1,3}-=2x 3x+223－≥134134解：原不等式可化为：（1）2030x x ->⎧⎨+>⎩或（2）2030x x -<⎧⎨+<⎩．由（1）得，2x >，由（2）得，3x ＜﹣，∴原不等式的解集为：3x ＜﹣或2x ＞ 请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题： （1）不等式2230x x ﹣﹣＜的解集为 ．（2）求不等式401x x+<-的解集（要求写出解答过程） 【答案】（1）13x -＜＜；（2）1x >或4x <-． 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得．【解析】解：（1）原不等式可化为：①3010x x ->⎧⎨+<⎩或②3010x x -<⎧⎨+>⎩．由①得，空集，由②得，13x，∴原不等式的解集为：13x ，故答案为13x ．（2）由401x x +<-知①4010x x +>⎧⎨-<⎩或②4010x x +<⎧⎨->⎩，解不等式组①，得：1x >；解不等式组②，得：4x <-； 所以不等式401x x+<-的解集为1x >或4x <-． 【点睛】考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关键．27．（2019·贵州黔东南·中考真题）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实，数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如=4，，．请结合上述材料，解决下列问题： （1）①_____，②_____； （2）若，则的取值范围为_____；（3）若，求的值；（4）如果，求的值．【答案】（1）①，② ；（2）；（3）或；（4）． 【分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可．（2）根据不等式解决问题即可．（3）构建方程即可解决问题．（4）把问题转化为不等式组解决即可．a b c {,,}M a b c min{,,}a b c {1,2,9}M 1293++=min{1,2,3}3-=-min{3,1,1}1=222{(2),2,2}M --=min{sin 30,cos 60,tan 45}=min{32,13,5}5x x -+-=-x 2{2,,3}2M x x -=x {2,1,2}min{2,1,2}M x x x x +=+x 431224x -≤≤1x =-31x =【解析】（1）①，②；故答案为：，．（2），，解得，故答案为．（3），，解得或．（4），又，，解得，．【点睛】本题考查了不等式组，平均数，最小值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题．28．（2019·内蒙古赤峰·中考真题）阅读下面材料：我们知道一次函数y kx b=+（0k≠，k b、是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成0Ax By C++=（0A≠，、、A B C是常数）的形式，点()00,P x y到直线0Ax By C++=的距离可用公式d=计算．例如：求点()3,4P到直线25y x=-+的距离．解：∵25y x=-+∴250,x y+-=其中2,1,5A B C===-∴点()3,4P到直线25y x=-+的距离为：d====根据以上材料解答下列问题：（1）求点()2,2Q-到直线370x y-+=的距离；（2）如图，直线y x=-沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．2224{(2),2,2}3M--=1min{sin30,cos60,tan45}2=4312 min{32x,13x,5}5-+-=-325135xx-≥-⎧∴⎨+≥-⎩24x-≤≤24x-≤≤2{2,,3}2M x x-=22323x x-++∴=1x=-3{2,1,2}min{2,1,2}M x x x x+=+21213x xx+++=+1212xx x+≤⎧∴⎨+≤⎩11x≤≤1x∴=【答案】（1）1010；（2）2 【分析】根据题意370x y -+=则3,1,7A B C ==-=，将点Q 代入公式即可解得.根据题意直线y x =-沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线为2y x =-+，在直线y x =-上任意取一点P ，当0x =时，0y =．代入P 点即可解得.【解析】解：（1）∵370x y -+=，∴3,1,7A B C ==-=． ∵点()2,2Q -，∴2210103(1)d ===+-． ∴点()2,2Q -到到直线370x y -+=10 （2）直线y x =-沿y 轴向上平移2个单位得到另一条直线为2y x =-+， 在直线y x =-上任意取一点P ，当0x =时，0y =．∴()0,0P ． ∵直线2y x =-+，∴1,1,2A B C ===-∴22211d ==+2．【点睛】b 本题考查平移，熟练掌握平移的性质及运算法则是解题关键29．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，O 的半径为R ，其内接锐角三角形ABC 中，A ∠、B 、C ∠所对的边分别是a 、b 、c（1）求证：2sin sin sin a b cR A B C===∠∠∠（2）若60A ∠=，45C ∠=，43BC =1）的结论求AB 的长和sin B ∠的值【答案】(1)详见解析;(2)AB=,sin B ∠=. 【分析】(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BD ⊥AC,利用三角函数求出AC 的值,再根据(1)的结论求出sin B ∠. 【详解】(1)如图所示,连接BO 并延长交圆于A 1,连接A 1C,可得190BCA ∠=,1A A ∠=∠,根据三角函数可得11sin sin2BC a A A A B R ∠=∠==,则2sin a R A =∠.同理可得2sin b R B =∠,2sin c R C=∠. ∴2sin sin sin a b cR A B C===∠∠∠.(2)根据(1)的结论可得sin sin a c A C =∠∠,a BC ==1sin 2A ∠=,sin 2C ∠=.将值代入得: =,解得c =即AB=28sin a R A ===∠过点B 作BD ⊥AC,由题意可得130∠=,245∠=, ∴AD=AB·sin 1∠=12=2∠=2262.∴AC=AD+CD=.∴2sin b R B =∠8=,得sin B ∠==.【点睛】本题考查圆周角的性质,三角函数,关键在于会利用性质作出相应的辅助线.B 卷（建议用时：50分钟）1．（2020·湖北随州·中考真题）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A ．1B ．3-C ．1+D ．3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．【解析】∵210x x --=，∴2=+1x x ，1x 2==∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ，∵x =，且0x >，∴x =，∴原式=2，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次． 2．（2019·湖南株洲·中考真题）从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】找出i i a b +的值，结合对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，即可得出S 的最大值．【解析】解：∵110,121-+=-+=，143,123-+=+=，145,246+=+=， ∴i i a b +共有5个不同的值．又∵对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+， ∴S 的最大值为5．故选：C ．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，找出i i a b +共有几个不同的值是解题的关键． 3．（2020·湖南常德·中考模拟）阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是（ ） A ．21732D ==-- B ．14x D =-C ．27yD =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【解析】A 、D=2132-=2×（-2）-3×1=﹣7，故A 选项正确，不符合题意；B 、D x =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，故B 选项正确，不符合题意；C 、D y =21312=2×12﹣1×3=21，故C 选项不正确，符合题意；D 、方程组的解：x=147x D D -=-=2，y=217y D D =-=﹣3，故D 选项正确，不符合题意，故选C ． 【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.4．（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：设x=，>，故0x>，由22332x==+=，解得x=，即=）A．5+B．5C．5D．5-【答案】D2323+-进行化简，然后再进行合并即可.【解析】设x=<0x<，∴266x=-+，∴212236x=-⨯=，∴x=5=-，∴原式5=--5=-D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.5．（2020·四川宜宾·中考真题）定义：分数nm（m，n为正整数且互为质数）的连分数（其中为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1），记作1211....nm a a∆++=：例如711111....19511119222221177111515222∆====++++++++=，719的连分数是11211122+++，记作71111192122∆+++=，则________________111123∆++=．【答案】710【分析】根据连分数的定义即可求解．。

专题五、新定义一、考点透视：新定义往往是代数与几何的综合题。

其实很多问题复杂的代数问题，最终都转化成了几何问题。

著名的费马大定理亦是如此。

这类题难度较大，综合性强，题目定位：（1）区分高端，适度中上，兼顾中下；（2）多问，环环相扣；（3）新定义；现场学习；（4）借助几何直观，探究问题之间的数量和空间关系；（5）考察学生是否形成正确的数学观和知识体系。

二、解题策略：1、做第一问不要担忧，只要读懂题意，根本就能解决。

不要纠结于那个新的定义名称是什么，它就是一个新同学呗，也是一个鼻子两只眼睛。

哈哈。

假如定义很长，题目一般都会举例子，这就更简单了。

2、做第二问最好能在第一问的根底上总结出一般性的规律，运用规律，解决问题。

有时题目还会考察逆向思维才能。

3、第三问往往考察存在性，最值问题或者取值范围问题。

近些年考察取值范围问题比拟多。

做题时一定要画图，感受图形的变化，找到临界值，进而解决问题。

注意考虑全面，不要漏解，以及是否可以取等号的问题。

三、例题精讲。

一定要感受出题者的意图，以及李教师说的大的解题策略。

剩下的就是你的根本功了。

28．〔昌平〕对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，给出如下定义：记点P 到x 轴的间隔 为1d ，到y 轴的间隔 为2d ，假设12d d ≥，那么称1d 为点P 的最大间隔 ；假设12d d <，那么称2d 为点P 的最大间隔 .例如：点P 〔3-，4〕到到x 轴的间隔 为4，到y 轴的间隔 为3，因为3 < 4，所以点P 的最大间隔 为4.〔1〕①点A 〔2，5-〕的最大间隔 为 ；②假设点B 〔a ，2〕的最大间隔 为5，那么a 的值为 ； 〔2〕假设点C 在直线2y x =--上，且点C 的最大间隔 为5，求点C 的坐标；〔3〕假设⊙O 上存在．．点M ，使点M 的最大间隔 为5，直接写出⊙O 的半径r 的取值范围. 27．〔海淀〕对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，假设平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q 〔点Q 可以与点P 重合〕，且12PA QA≤≤，那么点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点〞． 点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A 〔-1，0〕．〔1〕假设点P 是点A 关于⊙O 的“生长点〞，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；〔2〕假设点B 是点A 关于⊙O 的“生长点〞，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；〔3〕直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，假设线段MN 上存在点A关于⊙O的“生长点〞，直接写出b 的取值范围是_____________________________．25.〔通州〕点P 的“d 值〞定义如下：假设点Q 为圆上任意一点，线段PQ 长度的最大值与最小值之差即为点P 的“d 值〞，记为P d .特别的，当点P ，Q 重合时，线段PQ 的长度为0.当⊙O 的半径为2时：〔1〕假设点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21C ，()4,3D ，那么=C d _________，=D d _________； 〔2〕假设在直线22+=x y 上存在点P ，使得2=P d ，求出点P 的横坐标；〔3〕直线()033>+-=b b x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B .假设线段AB 上存在点P ，使得32<≤P d ，请你直接写出b 的取值范围.备用图 备用图28．〔丰台〕对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：假如⊙C 的半径为r ，⊙C 外一点P 到⊙C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做⊙C 的“离心点〞. 〔1〕当⊙O 的半径为1时，①在点P 1〔12，3〕，P 2〔0，－2〕，P 350〕中，⊙O 的“离心点〞是 ； ②点P 〔m ，n 〕在直线3y x =-+上，且点P 是⊙O 的“离心点〞，求点P 横坐标m 的取值范围；〔2〕⊙C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线121+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . 假如线段AB 上的所有点都是⊙C 的“离心点〞，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围.28.〔怀柔〕在平面直角坐标系xOy 中，点P 的横坐标为x ，纵坐标为2x ，满足这样条件的点称为“关系点〞.(1)在点A (1,2)、B (2,1)、M (21，1)、N (1，21)中， 是“关系点〞的 ；(2)⊙O 的半径为1，假设在⊙O 上存在“关系点〞P ，求点P 坐标；(3)点C 的坐标为(3，0)，假设在⊙C 上有且只有．．．．一个．．“关系点〞P ，且“关系点〞P 的横坐标满足 -2≤x≤2.请直接写出⊙C 的半径r 的取值范围．28．〔平谷〕在平面直角坐标系中，将某点〔横坐标与纵坐标不相等〕的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点〞，如〔-3，5〕与〔5，-3〕是一对“互换点〞．〔1〕以O 为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点〞，请写出一对符合条件的“互换点〞 ；〔2〕点M ,N 是一对“互换点〞，点M 的坐标为(m ,n )，且(m ＞n )，⊙P 经过点M ,N ．①点M 的坐标为(4,0)，求圆心P 所在直线的表达式；②⊙P 的半径为5，求m －n 的取值范围．燕山东城28．〔西城〕在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下定义：假设点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部〔不含边界〕，那么称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．〔1〕点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②假设点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；〔2〕点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，假设点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且满足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．朝阳28. 〔大兴〕一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，那么单位圆与x 轴的交点分别为〔1，0〕，〔-1,0〕，与y 轴的交点分别为〔0,1〕，〔0，-1〕.在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O 重合，α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,且点P 在第一象限.〔1〕 1x =_ __ (用含α的式子表示);1y =____ _ (用含α的式子表示) ;〔2〕将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转90︒后与单位圆交于点22(,)Q x y .①判断1y 2与的数量关系,并证明；x②12y y +的取值范围是:_ ___.28.〔密云〕 在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G,给出如下的定义：假设在图形G 上存在一点Q ,使得Q P 、之间的间隔 等于1，那么称P 为图形G 的关联点.〔1〕当O 的半径为1时，①点11(,0)2P ,2P ,3(0,3)P 中，O 的关联点有_____________________. ②直线l 经过〔0，1〕点，且与y 轴垂直，点P 在直线l 上.假设P 是O 的关联点，求点P 的横坐标x 的取值范围.〔2〕正方形ABCD 的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.假设正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r 的取值范围.备用图 备用图28．〔门头沟〕以点P 为端点竖直向下的一条射线PN ，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线1PN ，2PN ，我们规定：12N PN ∠为点P 的“摇摆角〞， 射线PN 摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域〞〔含1PN ，2PN 〕.在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)P .〔1〕当点P 的摇摆角为60︒时，请判断(0,0)O 、(1,2)A 、(2,1)B 、(20)C 属于点P 的摇摆区域内的点是______________________〔填写字母即可〕；〔2〕假如过点(1,0)D ，点(5,0)E 的线段完全在点P 的摇摆区域内，那么点P 的摇摆角至少为_________°；〔3〕⊙W 的圆心坐标为(,0)a ，半径为1，假如⊙W 上的所有点都在点P 的摇摆角为60︒ 时的摇摆区域内，求a 的取值范围．。

中考数学二轮复习重要考点精析新定义型题型一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例1 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°=12，cos30°=2，则sin230°+cos230°= ；①sin45°=2，cos45°=2，则sin245°+cos245°= ；②sin60°=，cos60°=12，则sin260°+cos260°= ．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A= ．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=35，求cosA．思路分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1；（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=BD AB ，cosA=ADAB ，则sin2A+cos2A=222BD AD AB +，再根据勾股定理得到BD2+AD2=AB2，从而证明sin2A+cos2A=1；（2）利用关系式sin2A+cos2A=1，结合已知条件cosA ＞0且sinA=35，进行求解．解：∵sin30°=12，cos30°=3， ∴sin230°+cos230°=（12）2+（3）2=14+34=1；①∵sin45°=2，cos45°=2，∴sin245°+cos245°=（22）2+（22）2=12+12=1；②∵sin60°=32，cos60°=12，∴sin260°+cos260°=（3）2+（12）2=34+14=1．③观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin2A+cos2A=1．④（1）如图，过点B 作BD ⊥AC 于D ，则∠ADB=90°．∵sinA=BD AB ，cosA=ADAB ，∴sin2A+cos2A=（BD AB ）2+（ADAB ）2=222BD AD AB +，∵∠ADB=90°，∴BD2+AD2=AB2，∴sin2A+cos2A=1．（2）∵sinA=35，sin2A+cos2A=1，∠A为锐角，∴45 =．点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．对应训练1．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：23 AO AD=；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足23AOAD=，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究BCHGAGHSSV四边形的最大值．（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O 是△ABC 的重心，∴CE 是中线，点E 是AB 的中点．∴DE 是中位线，∴DE ∥AC ，且DE=12AC ． ∵DE∥AC，∴△AOC ∽△DOE ，∴AO AC OD DE =2， ∵AD=AO+OD ，∴AO AD =23．（2）答：点O 是△ABC 的重心．证明：如答图2，作△ABC 的中线CE ，与AD 交于点Q ，则点Q 为△ABC 的重心．由（1）可知，AO AD =23，而AO AD =23，∴点Q 与点O 重合（是同一个点），。

2020年中考数学总复习巅峰冲刺专题02 新定义理解问题【难点突破】着眼思路，方法点拨, 疑难突破；新定义问题：是指题目提供一定的材料,或介绍一个新概念,或给出一种解法等,在理解材料的基础上,获得探索解决问题的方法,从而加以运用,解决问题. 这类问题一般由“阅读材料”和“提出问题”两个部分组成．解决此类题的步骤: ①理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况；③类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

类型1：方法模拟型，该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．类型2：新知识学习型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．类型3：信息处理型，这类题目主要是根据提供的表格，从中获得信息，并结合题意进行解答，这就需要我们将表格内容转化为数学信息或者已知条件。

类型4：阅读操作型，这类题目就是由阅读材料给出一个新的定义、运算等，涉及的知识可能是以后要学到的数学知识，也有可能是其他学科的相关内容，然后利用所提供的新知识解决所给问题．解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】2018年某省积极推进乡村规划和特色小城镇建设，各市地将结合本地实际，因地制宜培育一到三个设施完善、特色鲜明的典型示范镇，全面推进特色小城镇建设。

【中考数学】专题16 新定义问题【达标要求】【知识梳理】1.“新定义”问题的概念及特征“新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，通过分析近年来中考试卷中出现的这类“新定义”型试题大致分为三种类型：（1）定义“新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型.2.“新定义”问题类型和常用解题方法（1）定义“新规则，新运算”型“新规则，新运算”型一般是先通过阅读示例的解题过程，理解方法要点，并体会蕴含其中的数学思想；再由特殊到一般对新方法加以应用，特别是在解决一般情况时要注意题目中看似不经意的限制条件.（2）定义数学新概念型定义数学新概念型在中考试题中一般以中档题出现，能较好的考查学生领悟定义的性质与判定的功能，认真审题、缜密思维的习惯以及对数学知识的综合运用能力、迁移能力和发现探究能力.（3）定义新函数，新知识型定义新函数，新知识型主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力.解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质.3. “新定义”问题类型应对策略数学教学也就是数学语言的教学，这是因为数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表达出来并获得理解、掌握、交流和应用.因此，在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法.在中考复习中，要关注初、高中内容的衔接，对与初中数学知识密切相关，或简单的高中数学问题要尽量关注,适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的教学活动.【精练精解】1.对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c 有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜－3 B．c＜－2 C．14c D．c＜12.从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =L ，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．43.已知: [x]表示不超过x 的最大整数，例: [3.9]=3,[−1.8]=−2，令关于k 的函数f(k)=[k+14]−[k4] (k 是正整数)，例：f(3)=[3+14]−[34]=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ．f(1)=0 B ．f(k +4)=f(k) C ．f(k +1)≥f(k)D ．f(k)=0或14.已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =，例如：点(0,1)到直线26y x =+的距离d ==y x =和4y x =-之间的距离为_______．5.阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=； 22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．6.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号）7.如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．8.阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位，把形如a +bi （a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：（4+i ）+（6﹣2i ）＝（4+6）+（1﹣2）i ＝10﹣i ； （2﹣i ）（3+i ）＝6﹣3i +2i ﹣i 2＝6﹣i ﹣（﹣1）＝7﹣i ； （4+i ）（4﹣i ）＝16﹣i 2＝16﹣（﹣1）＝17； （2+i ）2＝4+4i +i 2＝4+4i ﹣1＝3+4i 根据以上信息，完成下面计算： （1+2i ）（2﹣i ）+（2﹣i ）2＝ 7﹣i ．9.已知点P （x 0，y 0）到直线y ＝kx +b 的距离可表示为d ＝，例如：点（0，1）到直线y ＝2x +6的距离d ＝＝．据此进一步可得两条平行线y ＝x 和y ＝x ﹣4之间的距离为 2 ．10.对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n 为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是完全平方数．若四位数m 为“极数”，记D （m ）=33m，求满足D （m ）是完全平方数的所有m.11.阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）又∵m+n＝log a M+log a N∴log a（M•N）＝log a M+log a N根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝．12.阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．13.阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a 1，排在第二位的数称为第二项，记为a 2，依此类推，排在第n 位的数称为第n 项，记为a n ．所以，数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a 1＝1，a 2＝3，公差为d ＝2． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d 为 ，第5项是 ．（2）如果一个数列a 1，a 2，a 3，…，a n …，是等差数列，且公差为d ，那么根据定义可得到：a 2﹣a 1＝d ，a 3﹣a 2＝d ，a 4﹣a 3＝d ，…，a n ﹣a n ﹣1＝d ，…． 所以 a 2＝a 1+da 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d ， a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d ，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n ＝a 1+（ ）d ． （3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？14．一般地，如果x 4=a （a≥0），则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为=10，则m=__________．15．对于实数a ，b ，定义运算“◎”如下：a ◎b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2．若（m+2）◎（m ﹣3）=24，则m=__________．16.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P 是二次函数y=x 2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线y=－1于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）17．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A=80°，则它的特征值k= ．18. 《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现14在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．19.定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE=2BE,求邻余线AB的长.20.若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝图象与性质．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．21.数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C 与点O重合．数学思考（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．①用含x的代数式表示：AD的长是cm，BD的长是cm；②y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格x（cm）654 3.53 2.5210.50y（cm）00.55 1.2 1.58_____ 2.473 4.29 5.08_____②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．22.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．23.如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l 2的垂线，垂足分別为A 1，B 1，我们把线段A 1B 1叫做线段AB 在直线l 2上的正投影，其长度可记作T （AB ，CD ）或T （AB ，2l ），特别地线段AC 在直线l 2上的正投影就是线段A 1C ．请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC 中，AB ＝5，T （AC ，AB ）＝3，则T （BC ，AB ）＝ ；（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，T （AC ，AB ）＝4，T （BC ，AB ）＝9，求△ABC 的面积；（3）如图3，在钝角△ABC 中，∠A ＝60°，点D 在AB 边上，∠ACD ＝90°，T （AD ，AC ）＝2，T （BC ，AB ）＝6，求T （BC ，CD ），24.已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆： ；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （1，0），C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若d ＝2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点（0，2）且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．25.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x ＝，y ＝那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．26.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝；②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（3）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，求x的取值范围．【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝6；当n＝5，m＝3时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝n+2（m﹣1）（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．27.若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若+＝45，则x＝2；②若﹣＝26，则y＝4；③若+＝，则t＝7；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被11整除，﹣一定能被9整除，•﹣mn一定能被10整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为495；②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．28.（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x 轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n＞1，则．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．29.【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是（1，2）．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）30.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADE的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）31.我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（假）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（假）32.如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．33.定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点P2是“线点”；（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．34.定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．35.图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．【中考数学】专题16 新定义问题【达标要求】【知识梳理】1.“新定义”问题的概念及特征“新定义”问题其主要特征是以初中生已学过的知识为出发点，通过类比、引申、拓展给出新的数学概念（数学公式）；或将一些能与初中知识相衔接的高中“新知识”，通过阅读材料呈现给初中学生，让他们将这些“新知识”与已学知识联系起来，正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，通过分析近年来中考试卷中出现的这类“新定义”型试题大致分为三种类型：（1）定义“新规则，新运算”型；（2）定义数学新概念型；（3）定义新函数、新知识型.2.“新定义”问题类型和常用解题方法（1）定义“新规则，新运算”型“新规则，新运算”型一般是先通过阅读示例的解题过程，理解方法要点，并体会蕴含其中的数学思想；再由特殊到一般对新方法加以应用，特别是在解决一般情况时要注意题目中看似不经意的限制条件.（2）定义数学新概念型 定义数学新概念型在中考试题中一般以中档题出现，能较好的考查学生领悟定义的性质与判定的功能，认真审题、缜密思维的习惯以及对数学知识的综合运用能力、迁移能力和发现探究能力.（3）定义新函数，新知识型 定义新函数，新知识型主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力.解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质.3. “新定义”问题类型应对策略 数学教学也就是数学语言的教学，这是因为数学语言是数学知识和数学思想的载体，数学知识与数学思想最终要通过数学语言表达出来并获得理解、掌握、交流和应用.因此，在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法. 在中考复习中，要关注初、高中内容的衔接，对与初中数学知识密切相关，或简单的高中数学问题要尽量关注,适当进行“一题多变”、“一题多解”、“一法多用”的教学活动.【精练精解】1.对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y=x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2C ．14c <D ．c ＜1【答案】B【解析】 当y=x 时，x=x 2+2x+c ，即为x 2+x+c=0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c +=-⎧⎨⋅=⎩，∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0，即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1)＋1＜0，∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0，解得：c ＜14∴c 的取值范围为c ＜－2 . 2.从1-，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作,k k a b ）构成一个数组{},K k k M a b =（其中1,2,,k S =L ，且将{},k k a b 与{},k k b a 视为同一个数组），若满足：对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，则S 的最大值（ ）A ．10B ．6C ．5D ．4【答案】C【分析】找出i i a b +的值，结合对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+，即可得出S 的最大值．【详解】解：∵110,121-+=-+=，143,123-+=+=，145,246+=+=， ∴i i a b +共有5个不同的值．又∵对于任意的{},i i i M a b =和{},(,1,1)j i j M a b i j i S j S =≠≤≤≤≤都有i i j j a b a b +≠+， ∴S 的最大值为5． 故选：C ．3.已知: [x]表示不超过x 的最大整数，例: [3.9]=3,[−1.8]=−2，令关于k 的函数f(k)=[k+14]−[k4] (k 是正整数)，例：f(3)=[3+14]−[34]=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ．f(1)=0 B ．f(k +4)=f(k) C ．f(k +1)≥f(k) D ．f(k)=0或1【答案】C 【详解】 A. f (1)=[1+14]−[14]=0-0=0，故A 选项正确，不符合题意；B. f (k +4)=[k+4+14]−[k +44]=[1+k +14]−[1+k 4]=[k +14]−[k 4]，f (k )=[k +14]−[k 4]， 所以f (k +4)=f (k )，故B 选项正确，不符合题意； C. f (k +1)=[k+1+14]−[k +14]=[k +24]−[k +14]，f (k )= [k +14]−[k 4]， 当k=3时，f (3+1)=[3+24]−[3+14]=0，f (3)= [3+14]−[34]=1，此时f (k +1)<f (k )，故C 选项错误，符合题意； D.设n 为正整数， 当k=4n 时，f (k )=[4n +14]−[4n4]=n -n=0， 当k=4n+1时，f (k )=[4n +24]−[4n +14]=n -n=0， 当k=4n+2时，f (k )=[4n +34]−[4n +24]=n -n=0， 当k=4n+3时，f (k )=[4n +44]−[4n +34]=n+1-n=1， 所以f (k )=0或1，故D 选项正确，不符合题意， 故选C.4.已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为d =，例如：点(0,1)到直线26y x =+的距离d ==y x =和4y x =-之间的距离为_______．【答案】【解析】当0x =时，0y x ==，即点(0,0)在直线y x =上， 因为点(0,0)到直线4y x =-的距离为：d === 因为直线y x =和4y x =-平行，所以这两条平行线之间的距离为故答案为5.阅读材料：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（a ，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(4)(62)(46)(12)10i i i i ++-=++-=-；2(2)(3)6326(1)7i i i i i i i -+=-+-=---=-； 2(4)(4)1616(1)17i i i +-=-=--=； 22(2)4444134i i i i i +=++=+-=+根据以上信息，完成下面计算：2(12)(2)(2)i i i +-+-=_______．【答案】7i -【解析】根据题目材料，可得复数计算方法，先去括号，再进行加减运算. 【详解】解：222(12)(2)(2)24244i i i i i i i i +-+-=-+-++-26i i =--61i =-+7i =-．故答案为：7i -．6.规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M 、N 的坐标分别为(0,1),(0,1),-P 是二次函数214y x =的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线1y =-于点Q ，则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_____．（填序号） 【答案】①②④【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点21,4P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(),1Q m -，由勾股定理可得2114PQ MP m ==+，MP PQ =和//MN PQ ，所以四边形PMNQ 是广义菱形．④正确；【详解】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确； ②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误； ③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误； ④设点21,4P m m ⎛⎫⎪⎝⎭，则(),1Q m -，∴2114MP m ==+，2114PQ m =+，∵点P 在第一象限， ∴0m >， ∴2114MP m =+， ∴MP PQ =， 又∵//MN PQ ，∴四边形PMNQ 是广义菱形． ④正确；。

第13讲新定义材料理解问题新定义材料理解问题，其特点是：(1)创设新情境，赋予新内涵；(2)试题呈现形式活泼新颖；(3)一般取材于学生熟悉的生活实际，具有时代气息和教育价值．这种问题一般都是先提供一种情景，或者一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题．对于这类题求解步骤是“阅读→分析→理解→创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材．因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力．1. 涉及到定义知识的新情景问题它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．解此类型题的步骤有三：(1)认真阅读，正确理解新定义的含义；(2)运用新定义解决问题；(3)得出结论．2. 涉及到数学理论应用探究问题学习此类型题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．3. 涉及到日常生活中的实际问题处理此类问题需要结合生活实际将图形转化为数学图形，利用数学知识进行解答。

【例题1】（2019•遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i根据以上信息，完成下面计算：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．【变式1-1】（2019•湘西州）阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝．【变式1-2】（2019•娄底）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．【例题2】（2019•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”． 定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行n +（n +1）+（n +2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位．（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”； （2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．【变式2-1】对任意一个四位数n ，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n 为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a 是另一个正整数b 的平方，则称正整数a 是完全平方数．若四位数m 为“极数”，记D （m ）=33m，求满足D （m ）是完全平方数的所有m.【例题3】（2019•安顺）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）又∵m+n＝log a M+log a N∴log a（M•N）＝log a M+log a N根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝．【变式3-1】阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝，f（﹣4）＝；（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【变式3-2】（2019•张家界）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为，第5项是．（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，a n…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+da3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+（）d．（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？【例题4】（2019•郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝图象与性质．列表：x…﹣3﹣﹣2﹣﹣1﹣0123…y…121012…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1y2，x1x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）②当函数值y＝2时，求自变量x的值；③在直线x＝﹣1的右侧函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．【变式4-1】（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C 与点O重合．数学思考（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．①用含x的代数式表示：AD的长是cm，BD的长是cm；②y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格x（cm）654 3.53 2.5210.50y（cm）00.55 1.2 1.58_____ 2.473 4.29 5.08_____②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．【例题5】（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【变式5-1】（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正l），特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，2请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），【变式5-2】（2019•常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．1．（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a ＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（）A．6B．6C．18D．2．定义一种新运算n•x n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣n2，若﹣x﹣2dx＝﹣2，则m＝（）A．﹣2B．﹣C．2D．3．（2019•柳州）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（）A．﹣6B．6C．5D．﹣54．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作a k，b k）构成一个数组M K＝{a k，b k}（其中k＝1，2…S，且将{a k，b k}与{b k，a k}视为同一个数组），若满足：对于任意的M i＝{a i，b i}和M j ＝{a j，b j}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有a i+b i≠a j+b j，则S的最大值（）A．10B．6C．5D．45．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣16．（2019•常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．7．（2019•百色）阅读理解：已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦P A的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．设B（m，n），则m，n满足的等式是（）A．m2+n2＝9B．（）2+（）2＝9C．（2m+3）2+（2n）2＝3D．（2m+3）2+4n2＝98．（2019•温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．9．（2019•湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A．2B．C．D．10．（2019•宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是．（只填序号）11．（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O 的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝．12．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）13．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．依上述规律，解决下列问题：（1）若s＝1，则a2＝；（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝．14．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD 可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是．15．（2019•赤峰）阅读下面材料：我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C ＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算．例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．解：∵y＝﹣2x+5∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：d＝＝＝＝根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．16．（2019•青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．17．（2019•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．18．（2019•重庆）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；（2）求出不大于100的“纯数”的个数．19．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x ＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．20. （2019•毕节市）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝；②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（3）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，求x的取值范围．21．（2019•常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．22．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．【基础训练】（1）解方程填空：①若+＝45，则x＝；②若﹣＝26，则y＝；③若+＝，则t＝；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被整除，﹣一定能被整除，•﹣mn一定能被整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为；②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．23．（2019•威海）（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n＞1，则．（2）证明命题小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明（1）中的命题．24．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）25．（2019•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC 与S△ADE的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）26．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）27．（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为cm．28．（2019•南通）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点是“线点”；（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．29. （2020•雨花区校级模拟）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．30．（2020•历下区一模）图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．31．（2020•曲江区校级一模）已知二次函数L与y轴交于点C（0，3），且过点（1，0），（3，0）．（1）求二次函数L的解析式及顶点H的坐标（2）已知x轴上的某点M（t，0）；若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；试说明四边形CHC′H′为平行四边形．（3）若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时，称这种平行四边形为“和谐四边形”；在（2）的条件下，当平行四边形CHC′H′为“和谐四边形”时，求t的值．32．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为G1、G2的“密距”，当线段PQ的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），正方形ABCD的对称中心点O．（1）线段AB和CD的“密距”是，“疏距”是．（2）设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与正方形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）在同一平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为4+2，在旋转过程中，求它与四边形KLMN的“密距”的取值范围．33．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到。

三．归纳与猜想一、 知识综述归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。

猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。

猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。

我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。

二、理解掌握例1、用等号或不等号填空：（1）比较2x 与x 2＋1的大小①当x ＝2时，2x x 2＋1；②当x ＝1时，2x x 2＋1；③当x ＝－1时，2x x 2＋1．（2）可以推测：当x 取任意实数时，2x x 2＋1．分析：本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。

解：（1）＜，＝，＜； （2）≤。

例2、观察下列分母有理化的计算：12121-=+，23231-=+，34341-=+，45451-=+…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。

分析：解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。

还要注意相消后所剩下的是什么。

解：1)2002)(200120021341231121(+++++++++=)12002)(20012002342312(+-++-+-+-=)12002)(12002(+-=2002—1 =2001。

例3、 观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。

（用含正整数n 的式子表示）分析：本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。