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新教材高中数学第11章解三角形11.2第2课时正弦定理2课件苏教版必修第二册

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苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第11章 解三角形 11.2 正弦定理

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第11章 解三角形 11.2 正弦定理
1
S△ABC=
2
aha=
1
bh
b
2
1
chc
2
=
.
2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则
1
S△ABC= 2
absin C=
1
acsin
2
B
=
1
bcsin
2
A
.
名师点睛
三角形面积公式的其他形式
abc
(1)S△ABC= ,其中
4R
R 为△ABC 的外接圆半径;
(2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
)
答案 AD
解析 设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得 2×2Rsin Asin C
= 2×2Rsin C,因此 sin
2
A= 2 ,故
A=45°或 135°.
知识点3 三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
2
120°=3 3.
.
2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=
.
答案 30°或150°
解析 由
1
S△ABC= absin
2
C,得
1
4= ×2×8sin
2
C,解得 sin
1
C= ,故
2
C=30°或 150°.
3.在△ABC中,已知A=75°,C=45°,b=4,求△ABC的面积.
于是 C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得

_新教材高中数学第11章解三角形1第2课时余弦定理2课件苏教版必修第二册

_新教材高中数学第11章解三角形1第2课时余弦定理2课件苏教版必修第二册

C． 6
D．32 3
【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状，然后求其面积．
【解析】选 B.因为 a－b＝c cos B－c cos A，
a2＋c2－b2
b2＋c2－a2
所以 a－b＝c· 2ac －c· 2bc ，去分母得 2a2b－2b2a＝a2b＋c2b－b3－(b2a
＋c2a－a3)，整理得 ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2－c2)，
6．△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2－b2＝4c2，cos A＝－41 ，
则bc ＝______．
【解析】由已知得 a2－b2＝4c2，由余弦定理可得－14
b2＋c2－a2 ＝cos A＝ 2bc
，
c2－4c2 所以 2bc
＝－14
，所以23bc
＝14
，所以bc
4．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A．158
B．34
C．
3 2
D．78
【解析】选 D.设顶角为 C，因为周长 l＝5c，
所以 a＝b＝2c，
a2＋b2－c2 由余弦定理得 cos C＝ 2ab
4c2＋4c2－c2 ＝ 2×2c×2c
＝78
.
5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状( ) A．是锐角三角形 B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．由增加的长度确定
(2)在△ ABC 中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，
182＋422－302 所以 cos ∠BAC＝ 2×18×42
＝1114
，所以 sin ∠BAC＝
1－（11 14
）2

苏教版高中数学11.2正弦定理课件(28张)

苏教版高中数学11.2正弦定理课件(28张)

【答案】
3 2
.
【详解】如图，
分别取 AB ， AC 的中点 D ， E ，连接OD ，OE ，则 AB OA AB 1 AB 1 c2 ； AC OA AC 1 AC 1 b2 ，因为
2
2
2
2
，设 cos B AB cosC AC 2OA
sin C
sin B
ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得 a b c 2R ，所以两边同 sin A sin B sin C
2
2
c cos B b cosC 2R
c
a2
c2 b2 2ac
b
a2
b2 c2 2ab
2 R
a 2R
.故答案为： . a sin A sin 3
3
2R
32
2
随堂练习
9．在
ABC
中，
A
0
π 2
，b
m．分别根据下列条件，求边长
a
的取值范围．
(1) ABC 有一解；
又 ，所以 ， ，则 mn sin 2C
sin 2C 2sin Ccos C sin C
0Cπ
sin C 0
所以cosC 1 ．又0 C π ，所以C π ；
2
3
（2）由已知sin Asin B 2sin C 及正弦定理得2c a b ．
因为CA AB AC CACB 18 ，所以 abcosC 18 ，所以 ab 36 ．
(2) ABC 有两解；
(3) ABC 无解．
随堂练习
【详解】（1）由正弦定理
a sin A
b sin B
可得，sin
B
b sin a

2022-2023学年高中数学 苏教版必修第二册 11-2 正弦定理教学教案

2022-2023学年高中数学 苏教版必修第二册 11-2 正弦定理教学教案

【教学目标】1. 理解正弦定理的定义和公式；2. 掌握运用正弦定理求三角形边长和角度大小的方法；3. 能够应用正弦定理解决实际问题。

【教学重点】1. 正弦定理的定义和公式；2. 运用正弦定理求三角形边长和角度大小的方法。

【教学难点】1. 如何应用正弦定理解决实际问题，需要运用数学知识来分析问题；2. 掌握不同实例中灵活使用正弦定理的技巧。

【教学过程】一、导入（5分钟）通过生活中的实例引入正弦定理的概念和应用，如计算斜面上物体滑动的速度等，让学生初步认识正弦定理的实际应用场景。

二、讲授正弦定理的概念和公式（15分钟）1. 正弦定理的定义：对于任意一个三角形ABC，我们有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。

2. 演示推导正弦定理公式的方法之一，如图形解释和向量法。

三、运用正弦定理求三角形边长和角度大小的方法（25分钟）1. 介绍正弦定理求三角形边长的方法，并结合实例演示应用。

2. 介绍正弦定理求三角形角度大小的方法，并结合实例演示应用。

四、应用正弦定理解决实际问题（25分钟）1. 演示如何应用正弦定理解决实际问题，如计算三角形的面积等。

2. 提供多个实际问题，并指导学生如何灵活运用正弦定理解决这些问题。

五、总结归纳（5分钟）1. 总结本节课所学内容，重点强调正弦定理的应用方法和技巧；2. 提醒学生注意事项和易错点，如角度对应的边需要在同一平面内等。

【板书设计】正弦定理公式：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$【教学反思】通过本节课的教学，让学生了解到正弦定理的概念和公式，并掌握了运用正弦定理求三角形边长和角度大小的方法。

同时，通过实际问题的引导，培养了学生解决实际问题的能力，提高了其数学思维能力。

在教学中，应关注学生的问题和疑惑，及时解答，帮助学生更好地理解和掌握该知识点。

高中数学必修二课件：正弦定理(第二课时)

高中数学必修二课件：正弦定理(第二课时)

例2 当△ABC为钝角三角形时，求证：S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
【证明】 不妨设B为钝角，如图，过A作AD⊥CB交CB的 延长线于D，
则AD＝AB·sin∠ABD＝AB·sin(180°－B)＝ABsin B＝csin B. 又AD＝AC·sin C＝bsin C，∴csin B＝bsin C. ∴S△ABC＝12BC·AD＝12acsin B＝12absin C.同理S△ABC＝12bcsin A＝12acsin B. 所以S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
6．4.3 余弦定理、正弦定理(二)(第2课时) 正弦定理
要点1 正弦定理的常见变形
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝2R；
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
课后巩固
1．(高考真题·课标全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
π
π
知b＝2，B＝ 6 ，C＝ 4 ，则△ABC的面积为( B )
A．2 3＋2
B. 3＋1
C．2 3－2
D. 3－1
解析
A＝π－(B＋C)＝π－
π6 ＋π4
＝
7π 12
，由正弦定理
a sin
A
＝
b sin
B
5．(2016·北京)在△ABC中，A＝2π 3 ，a＝ 3c，则bc＝____1____．
解析 ∵a＝ 3c，∴sin A＝ 3sin C，∵A＝2π3 ，∴sin A＝ 23，∴sin C＝ 12，又C必为锐角，∴C＝π6 ，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π6 ，∴B＝C，∴b＝c，∴ bc＝1.

高中数学：11《正弦定理2》课件必修

高中数学：11《正弦定理2》课件必修
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的面积表示为已知两边及夹角的函数，或者已 知三边的函数。这种方法在解决一些三角形面积问题时非常有效，特别是当已知 条件不足时。
解三角形
总结词
正弦定理是解三角形问题的重要工具，可以用于解决多种类 型的三角形问题，如求角度、求边长等。
详细描述
通过正弦定理，我们可以将三角形的角度或边长表示为已知 角度或边长的函数。这种方法在解决三角形问题时非常有效 ，特别是当已知条件不足时。
竞赛习题2
已知三角形ABC中，a=7, b=9, C=135°，求边b的大小 及角A的大小。
05
总结与反思
本节课的收获
掌握了正弦定理的基本概念和应用方法，能够运用正弦定理解决一些实际问题。
通过本节课的学习，对三角函数和三角形有了更深入的理解，提高了数学思维能力 。
学会了如何利用数学软件进行数值计算和图形绘制，提高了数学实验能力。
不足与反思
在解决一些复杂的实际问题时，对于 如何选择合适的角度和边长关系仍存 在困惑。
在课堂互动方面表现不够积极，需要 更加主动地参与课堂讨论和提问。
在运用正弦定理时，对于一些特殊情 况的处理不够熟练，需要加强练习。
下节课的预习建议
01
提前预习下一节内容《 余弦定理》，了解余弦 定理的基本概念和应用 方法。
实际应用
总结词
正弦定理在现实生活中有着广泛的应 用，如测量、建筑、航海等领域。
详细描述
正弦定理可以用于解决实际生活中与 角度和长度相关的问题，如测量山的 高度、建筑物的角度和长度等。此外 ，在航海和航空领域，正弦定理也常 被用于计算距离和角度。
03
正弦定理的拓展
定理的推广
推广到任意三角形

高中数学苏教版必修第二册第十一章《正弦定理(2)》示范公开课教学课件


在中，若，试判断的形状．
解： ∵，即，∴，即∴.又，∴，∴，∴是等腰直角三角形．
在中，已知，则的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解
D
(多选)在中，已知，，，则的面积为( ) A. B． C． D．
如图，某登山队在山脚处测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡前进后到达处，又测得山顶的仰角为，求山的高度（精确到）．
要求
先求
解
解：过点作，交于．因为，所以，于是．又因为，所以．在中，由正弦定理，得．在中，.答：山的高度约为811 m．
在中，是的平分线，用正弦定理证明：．
证明：设，，则，．在和中，分别运用正弦定理，得，．又因为，所以，即．
在中，已知两个角和任意一边，可以先求出另一个角，再根据正弦定理，即可求出．
解：在中，∵，，∴．由正弦定理，得：，即：．∴．在中，∵， ∴．
也可以先求出，再在中，求出．
解：在中，∵，，∴．由正弦定理，得：，即：．∴．在中，∵， ∴．
运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．
正弦定理：．
解：令，由正弦定理，得 ，，．代入已知条件，得：．即，．又因为，，，所以．故为正三角形．
解：由余弦定理，得：；；代入已知条件，得即，从而∵都大于，∴故为正三角形．
判断三角形形状的两种途径：化边为角，利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时注意应用这个隐含条件；化角为边，利用正（余）弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

11.2第1课时 正弦定理(1)-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件


·
8
·
情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
返 首 页
·
9
·
情 景
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
返 首 页
·
6
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：

高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件112正弦定理(第2课时)


．
2
2
2
2
2
课堂总结
求边
求角
解三角形
求理
余弦定理
题型
求周长
判断三角形形状
解四边形
课堂达标
2 3
1．在△ABC 中，若 a＝c＝2，B＝120°，则边 b＝________.
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a2
60
＝b2－bc＋c2，则 A＝________.
(1)求 B ；(2)a = 1, c = 4，角 B 的平分线交 AC 于 D ，求 AD．
解：(1)由正弦定理及 2a cos B sin C c sin A 0 ，得 2ac cos B ac 0 ，
1
2
B
0,
π
B

π．


．因为
，所以
3
2
2π
2
2
2
2
b

a

c

2
ac
cos

,
cos A cos B cos C
tan A tan B tan C , 又A, B, C （0，），
A B C ,ABC为正三角形.
数学应用
变2.在 ABC中，若
a
cos
A.等腰三角形
A
2

b
cos
B
2
B.等腰直角三角形

c
cos
，则 ABC是( D )
C
2
C.直角三角形
的形状．
解:结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为
b2＋c2－a2

新教材苏教版必修第二册第11章111余弦定理课件


判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦 定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边 的相应关系，从而判断三角形的形状.
[跟进训练]
3．在△ABC 中，b＝ccos A，则△ABC 一定为( )
A．等边三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
(2)余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC 中，c2＝a2＋b2⇔C 为直__角__；c2>a2＋b2⇔C 为_钝__角_；c2<a2
＋b2⇔C 为_锐__角_．
2．勾股定理和余弦定理有何联系与区别？ [提示] 二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定 理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角 形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．
C
＝
a2＋b2－c2 2ab
，
代
入
已
知
条
件
得
b2＋c2－a2 a· 2bc
＋
c2＋a2－b2 b· 2ca
＋
c·c2－2aa2b－b2＝0，通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－
b2)＝0，展开整理得(a2－b来自)2＝c4．∴a2－b2＝±c2， 即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
课 后 素养 落 实
点击右图进入…
谢谢观看 THANK YOU!
2．在△ABC 中，a＝3，b＝ 7，c＝2，则 B＝________． 60° [∵cos B＝a2＋2ca2c－b2＝9＋142－7＝12，∴B＝60°．]
3．在△ABC 中，若 b2＋c2－a2<0，则△ABC 必为________ 三角形．
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2．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝12bcsin
1
1
A＝__2_a_c_s_in__B__＝__2_a_b_si_n_C___，即任意三角形
的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝12ah，其中 a 为△ABC 的一边长，而 h 为该边上的高的 长．
(2,2 2) [由 asin B<b<a，得 22x<2<x，∴2<x<2 2.]
三角形的面积
【例 2】 在△ABC 中，若 a＝2，C＝π4，cos B2＝2 55，求△ABC 的面积 S.
[思路点拨] 根据 C＝π4及 cos B2＝25 5.利用 sin A＝sin(B＋C)求 出 sin A 的值．然后利用正弦定理sina A＝sinc C求出 c 值．利用 S＝12acsin B 求解．
(1)定理内容：
a sin
A＝
b sin
B
＝sinc
C＝2R(R
为外接圆半径)．
(2)正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝_a_∶__b_∶_c_；
②sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
Hale Waihona Puke C＝2_R_；③a＝__2_R_s_in_A__，b＝_2_R_s_i_n_B__，c＝_2_R_s_i_n_C__；
(2)a＝2 3，b＝6，a<b，A＝30°<90°， ∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A， ∴bsin A<a<b，∴三角形有两解． 由正弦定理得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当 B1＝60°时，C1＝90°，c1＝assiinn AC1＝2 s3insi3n09°0°＝4 3； 当 B2＝120°时，C2＝30°，c2＝assiinn AC2＝2 s3insi3n03°0°＝2 3. ∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4 3；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝ 2 3.
[解] ∵cos B2＝2 55，
∴cos B＝2cos2 B2－1＝35.
∴B∈0
2π，∴sin B＝45.
∵C＝π4，∴sin A＝sin (B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝7102.
∵sina A＝sinc C，
∴c＝assiinnAC＝7
2
× 2
22＝170.
10
三角形面积公式解决较为复杂的三
数学运算素养.
角形问题．(难点)
情景 导学 探新 知
在△ABC 中，分别根据所给条件作图，求满足条件的△ABC 的 个数．
(1)∠A＝60°，b＝4，a＝2， (2)∠A＝60°，b＝4，a＝3. 思考：∠A＝60°，b＝4，a 为何值时，作出的三角形是唯一的？
1．正弦定理及其变形
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第2课时 正弦定理(2)
学习目标
核心素养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形 公式，解决三角形中的问题．(重点)
1.通过三角形个数判断的学 习，体现了数学运算和逻辑
2．能根据条件，判断三角形解的个
推理的素养．
数．
2．借助求解三角形面积及
3．能利用正弦定理、三角恒等变换、正弦定理的综合应用，提升
∴S＝12acsin B＝12×2×170×45＝87.
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式
为 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A．
[跟进训练] 2．(1)在△ABC 中，若 a＝3 2，cos C＝13，S△ABC＝4 3，则 b＝ ________. (2)在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，则△ABC 的面积等 于________．
合作 探究 释疑 难
三角形解的个数的判断
【例 1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三 角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°； (2)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°， 讨论如下： ∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10 3， ∴a<bsin A，∴本题无解．
a
b
c
④sin A＝__2_R___，sin B＝__2_R___，sin C＝__2_R___.
思考：在△ABC 中，已知 acos B＝bcos A．你能把其中的边 a，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
提示： 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式 sin Acos B－cos Asin B＝0.
1．在△ABC 中，sin A＝sin C，则△ABC 是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
B [由正弦定理可得 sin A＝sin C⇒2aR＝2cR，即 a＝c，所以△ABC
为等腰三角形．]
2．在△ABC 中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解
(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)＝12rl，其中 r，l 分别为△ABC 的内切圆半 径及△ABC 的周长．
(4)S△ABC＝ pp－ap－bp－c，其中 p 为△ABC 的半周长，即 p＝12(a＋b＋c)．该公式称为海伦－秦九韶公式，适用于三角形三边 为有理数时，计算三角形的面积比较简便．
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角 的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定 该角有一个值还是两个值，或者根据该正弦值(不等于 1 时)在 0°～ 180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理 矛盾，就是所求.
[跟进训练] 1．△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则 x 的 取值范围是________．
B．两解
C．无解
D．无法确定
A [由 b<a 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解．]
3．在△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a＝4，
b＝3，C＝60°，则△ABC 的面积为( )
A．3 B．3 3
C．6
D．6 3
B [由 S＝12absin C＝12×4×3× 23得 S＝3 3，故选 B．]