2018-2019学年浙教版九年级上数学1.3二次函数的性质同步导学练(含答案)

《1.3二次函数的性质》同步练习一、基础过关1.如果抛物线y =－x 2+2(m －1)x +m +1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是A.m >1B.m >－1C.m <－1D.m <12.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y (万元)与新增加的投资额x (万元)之间函数关系为A.y =25x +15B.y =2.5x +1.5C.y =2.5x +15D.y =25x +1.53.某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m 4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是①当c =0时，函数的图象经过原点 ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称 ③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根A.0个B.1个C.2个D.3个5.某产品进货单价为90元，按100元一个售出时，能售500个，如果这种商品涨价1元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为A.130元B.120元C.110元D.100元6.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根7.如图2所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为A.424 mB.6 mC.15 mD.25 m 8.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是A.(－1，0)B.(1，0)C.(－1，3)D.(1，3)二、综合训练9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.10.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？三、拓展应用11.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？参考答案一、基础过关1.B2.C3.B4.B5.C6.C7.D8.D二、综合训练9 解：(1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元.②前4月份亏盈吃平.③前5月份盈利2.5万元.④1~2月份呈亏损增加趋势.⑤2月份以后开始回升.(盈利)⑥4月份以后纯获利.……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y =21(x －2)2－2, 当x =6时，y =6(万元)(问题不唯一)10.解：(1)y =－2x 2+180x －2800.(2) y =－2x 2+180x －2800=－2(x 2－90x )－2800=－2(x －45)2+1250.当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.三、拓展应用11解：(1)依题意得鸡场面积y =－.350312x x +- ∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x ) =－31(x －25)2+3625, ∴当x =25时，y 最大=3625, 即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx -50m. ∴y =n x -50·x =－n 1x 2+n50x =－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n625, 当x =25时，y 最大=n625, 即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n 625 m 2. 结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m.（2）证明：∵点P 在抛物线y =14x 2上， ∴可设点P 的坐标为（x ，14x 2）， 过点P 作P B ⊥y 轴于点B ，则BF =14x 2﹣1，PB =x ， ∴Rt △BPF 中，PF 2114x =+， ∵PM ⊥直线y =﹣1，∴PM =14x 2+1， ∴PF =PM ，∴∠PFM =∠PMF ，又∵PM ∥x 轴，∴∠MFH =∠PMF ，∴∠PFM =∠MFH ，∴FM 平分∠OFP ；（3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°，∴∠FMH =30°，在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4，∵PF =PM =FM ，∴14x 2+1=4，解得：x =±∴14x2=14×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（3）或（﹣3）．。

1.3 二次函数的性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的增减性、最值：当a >0时，点与对称轴的距离越近，函数值越小．2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数：当Δ>0时，与x 轴有两个交点，当Δ＝0时，与x 轴有________个交点，当Δ<0时，与坐标轴有________个交点．3．已知抛物线与x 轴交点为(x 1，0)，(x 2，0)，则对称轴为直线x ＝x 1＋x 22，可设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)．4．画抛物线草图，一般需求出顶点，与x 轴两交点，与y 轴交点及对称点的坐标．A 组 基础训练1．如图，已知抛物线与x 轴的一个交点为A (1，0)，对称轴是x ＝－1，则抛物线与x 轴的另一交点的坐标是( )第1题图A ．(－2，0)B ．(－3，0 )C ．(－4，0)D ．(－5，0) 2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论错误的是( )第2题图A ．a>0B ．b>0C ．c<0D ．b 2－4ac>03．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言，下列结论错误的是( )A ．顶点坐标是(1，－2)B ．无论x 取何值，y 恒小于0C ．当x ＞2时，y 随着x 的增大而减小D ．与x 轴有两个公共点4．若A (－134，y 1)，B (－1，y 2)，C (53，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3 5．若抛物线y ＝x 2＋x －m 与坐标轴．．．有1个交点，则m 的取值范围是________． 6．已知二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于________． 7．已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2在x 轴的上方，则a 的取值范围为________． 8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横、纵坐标的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是________(填写序号)．①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．9．根据已知条件，求二次函数解析式： (1)抛物线的顶点是(3，－1)，且过点(2，3)； (2)抛物线过(0，1)，(－1，0)，(1，0)三点；(3)抛物线的对称轴是直线x ＝2，且过点(1，4)和(5，0)．10．已知二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6.(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴、图象与坐标轴的交点坐标，并画出这个函数的大致图象；(2)利用函数图象回答，当x在什么范围内时，y随着x的增大而增大？当x在什么范围内时，0＜y<6?第10题图B组自主提高11．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是( )A．m＝－1 B．m＝3 C．m≤－1 D．m≥－112．已知点A(2，m)与B(n，4)关于抛物线y＝x2＋6x的对称轴对称，那么m＋n的值为________．13．如图，二次函数的图象与x轴相交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴相交于点C(0，3)，点D是点C关于抛物线的对称轴的对称点，一次函数图象过点B，D.(1)求二次函数的表达式；(2)求点D的坐标及一次函数的表达式；(3)根据图象写出使一次函数的函数值大于二次函数的函数值的x的取值范围．第13题图C 组 综合运用14．(宁波中考)已知抛物线y ＝(x －m )2－(x －m )，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52，①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．参考答案1．3 二次函数的性质【课堂笔记】 2．1 1 【课时训练】 1－4. BBDC 5. m<－146. 167. a ＞188. ①③④9. (1)y ＝4(x －3)2－1； (2)y ＝－x 2＋1； (3)y ＝－12(x －2)2＋92.第10题图10. (1)－b 2a ＝1，4ac －b24a ＝8.令x ＝0，得y ＝6，令y ＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.∴顶点为(1，8)，对称轴为直线x ＝1，与x 轴交于点(3，0)，(－1，0)，与y 轴交于点(0，6)，图象如图所示； (2)x≤1时，y 随x 的增大而增大，当－1<x<0或2<x<3时，0＜y<6.11. D 12. －413. (1)y ＝－(x ＋3)(x －1)； (2)∵抛物线的对称轴是x ＝－1，而C 、D 关于直线x ＝－1对称，∴D(－2，3)，∴一次函数解析式为y ＝－x ＋1； (3)据图象得：x ＜－2或x ＞1. (1)∵y ＝(x －m)2－(x －m)＝(x －m)(x －m －1)，由y ＝0得x 1＝m ，x 2＝m ＋1，∵m ≠m ＋1，∴抛物线与x 轴一定有两个公共点(m ，0)，(m ＋1，0)； (2)①∵y ＝(x －m)2－(x －m)＝x 2－(2m ＋1)x ＋m(m ＋1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－－（2m ＋1）2＝52，解得m ＝2，∴该抛物线的函数解析式为y ＝x 2－5x ＋6；②∵y ＝x 2－5x ＋6＝⎝⎛⎭⎫x －522－14，∴该抛物线沿y 轴向x 轴只有一个公共点．14.。

初中数学浙教版九年级上册1.3 二次函数的性质同步练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知二次函数y＝﹣+2x+3，则该函数的最大值为（）A. ﹣2B. 2C. ﹣3D. 52.某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )A. 15元B. 400元C. 800元D. 1250元3.把一个小球以20米/秒的速度竖起向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t －5t ，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A. 1秒B. 2秒C. 4秒D. 20秒4.已知：二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（）A. （1，4）B. （2，0）C. （3，0）D. （4，0）5.已知抛物线(m是常数)，点A( ，)，B( ，)在抛物线上，若，，则m，y1，y2的大小关系的是（）A. B. C. D.6.对于二次函数，下列说法正确的是（）A. 当，随的增大而增大B. 当时，有最大值C. 图象的顶点坐标为D. 图象与轴有一个交点7.已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（）A. 9B. 8C. 1D.8.在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知二次函数(其中是自变量)，当x≥2时，随的增大而增大，且−2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A. 1或-2B.C. 或D. 110.已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），则代数式mn+1有（）A. 最小值-3B. 最小值3C. 最大值-3D. 最大值311.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. B. 或 C. 2或 D. 2或或12.已知点（x0，y0）是二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的一个点，且x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项正确的是（）A. 对于任意实数x都有y≥y0B. 对于任意实数x都有y≤y0C. 对于任意实数x都有y＞y0D. 对于任意实数x都有y＜y0二、填空题（共6题；共8分）13.已知二次函数，当0≤x≤4，y的最小值是________,最大值是________.14.如果点A(－2，y1)和点B(2，y2)是抛物线y＝(x＋3)2上的两点，那么y1________y2(填“＞”“＝”或“＜”)．15.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是________.（填序号）16.对于实数，，，表示，两数中较小的数，如，.若关于的函数，的图象关于直线对称，则的取值范围是________，对应的值是________.17.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-4≤x≤1时，y的最大值为7，则a的值为________18.已知y＝﹣x（x+3﹣a）+1是关于x的二次函数，当1≤x≤5时，如果y在x＝1时取得最小值，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（共3题；共35分）19.抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B右边），且，求点A、B的坐标．20.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(−1,0)和点C(0,3)，对称轴为直线x=1.（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，解答下列问题：①当−1<x<2时，求函数y的取值范围。

1.3 二次函数的性质知识点二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质1.已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是( )A．3 B．2 C．1 D．－12．已知二次函数y＝x2－2x＋1，当x________时，y随x的增大而增大，函数有最________(填“大”或“小”)值，为________．类型一运用二次函数的性质解题例1 [教材补充例题] 已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( ) A ．y ≥3 B ．y ≤3 C ．y ＞3 D ．y ＜3【归纳总结】运用二次函数的性质确定变量的取值范围的步骤 (1)根据二次函数的表达式画出其大致图象； (2)借助图象和二次函数的性质求出变量的取值范围．例2 [教材补充例题] 若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，y 1，B (－1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，y 3为二次函数y ＝－x 2－4x＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 3【归纳总结】比较函数值大小的方法方法一：代入法．将x 值分别代入函数表达式，求出相应的y 值，再比较大小； 方法二：图象性质法．先确定抛物线的开口方向，再求抛物线的对称轴和自变量x 到对称轴的距离．当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．类型二 会用“五点法”画二次函数的大致图象 例3 [教材例题针对练] 已知二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋6. (1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴和最值； (2)求出抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标； (3)画出函数的大致图象；(4)自变量x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？何时y 随x 的增大而减小？【归纳总结】画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)大致图象的一般步骤 (1)画出二次函数图象的顶点；(2)当b 2－4ac ＞0时，画出二次函数图象与x 轴的交点；(3)画出二次函数图象与y 轴的交点(0，c )及其关于对称轴的对称点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a，c .类型三 探索二次函数的系数与图象的关系例4 [教材补充例题] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的图象如图1－3－1所示，有下列5个结论：①abc >0；②b <a ＋c ；③4a ＋2b ＋c >0；④2c <3b ；⑤a ＋b >m (am ＋b )(m ≠1)．其中正确的结论有________(填序号)．图1－3－1【归纳总结】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数与图象的关系(1)系数a的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向决定：开口向上⇔a>0，开口向下⇔a<0；(2)系数b的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧⇔a，b同号，对称轴在y轴右侧⇔a，b异号；(3)系数c的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交⇔c>0，与y轴负半轴相交⇔c<0，与y轴交于原点⇔c＝0.若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)均在抛物线y＝x2－8x＋9上，且x1<x2，要使y1>y2，则点A与点B一定在对称轴的左侧(即x1<x2＜4)吗？为什么？详解详析【学知识】知识点 上 下 x ＝－b 2a x ＝－b2a⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 减小 增大增大 减小 4ac －b 24a 4ac －b 24a1．[解析] C ∵二次函数y ＝3x 2－12x ＋13可化为y ＝3(x －2)2＋1， ∴当x ＝2时，二次函数y ＝3x 2－12x ＋13有最小值1. 2．[答案] ≥1 小 0 【筑方法】例1 [解析] B 当x ＝2时，可求得二次函数的值y ＝－4＋4＋3＝3，又由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，可知抛物线的对称轴是直线x ＝1，在对称轴的右侧，y 的值随x 的增大而减小，所以当x≥2时，y 的取值范围是y≤3.例2 [答案] C例3 解：(1)抛物线的开口方向向下，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x ＝1，有最大值为8.(2)令y ＝0，则－2x 2＋4x ＋6＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．令x ＝0，则y ＝6，所以抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)． (3)略．(4)当x≤1时，y 随x 的增大而增大；当x≥1时，y 随x 的增大而减小． 例4 [答案] ③④⑤[解析] 由图象知抛物线开口向下，即a<0；抛物线与y 轴的正半轴相交，即c>0；再由－b2a >0及a<0得b>0，故①不正确；由图象得，当x ＝－1时，y<0，即a －b ＋c<0，也就是b>a ＋c ，故②不正确；当x ＝2时，y>0，于是有4a ＋2b ＋c>0，故③正确；由－b2a ＝1，得b＝－2a ，a ＝－b 2，代入b>a ＋c ，得b>－b 2＋c ，即2c<3b ，故④正确；m(am ＋b)＝am 2＋bm ＝a(m 2＋b a m)＝a(m ＋b 2a )2－b 24a <－b 24a ＝－（－2a ）24a＝－a ＝a ＋b ，故⑤正确．【勤反思】[小结] 2 1 无 小 大 [反思] 不一定．理由：当点A ，B 在对称轴异侧，即x 1<4<x 2且4－x 1>x 2－4(亦即x 1＋x 2<8)时，y 1>y 2仍成立．。

浙教版九年级数学上册同步练习1.3二次函数的性质一、选择题（每题3分，共24分）1．若二次函数的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过点（）A．(2，4)B．(2，－4)C．(－4，2)D．(4，2)2．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线是（）A．B．C．D．3．已知函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是（　）A．k<4B．k≤4C．k<4，且k≠3D．k≤4且k≠3 4．已知二次函数，，则下列结论一定正确的是（）A ．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．如表中列出的是二次函数y＝a＋bx＋c中x与y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧C．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大D．方程a＋（b＋2）x＋c＝﹣4的解为＝0，＝16．如图，已知抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），则满足条件的整数m有（）个A．1B．2C．3D．47．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．58．如图，抛物线y＝﹣2x2＋2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题（每题3分，共24分）9．把二次函数用配方法化成的形式是________．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，，，如果抛物线与线段AB有公共点，那么a的取值范围是______．11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式_____________．12．已知二次函数的图像顶点在x轴上，则_________ 13．已知函数，则使成立的值恰好有三个，则的值为______________．14．如图，抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．15．二次函数的图象如图所示，则三个代数式①abc，②，③中，值为正数的有______．（填序号）16．如图，抛物线与y轴交于A点，与x轴交于B、C两点，B(-1，0)，C(3，0)，连接AC，将线段AC向上平移落在EF处，且EF恰好经过这个抛物线的顶点D，则四边形ACFE的周长为______．三、解答题（每题8分，共72分）17．已知抛物线．（1）求它的对称轴和顶点坐标；（2）写出一种将它平移成抛物线的方法．18．已知一个二次函数图象的顶点是，且与轴的交点的纵坐标为4．（1）求这个二次函数的表达式；（2）当取哪些值时，的值随值的增大而增大？（3）点在这个二次函数的图象上吗？19．已知：抛物线经过点.（1）求的值；（2）若，求c的值，（3）在（2）的情况下，求这条抛物线的顶点坐标；20．已知二次函数y＝－（m＋2）x＋2m－1(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；(2)若该函数的图象与y轴交于点（0，3），求当0＜x＜5时，求y的取值范围．21．如图已知二次函数图象与直线交于点，点B．(1)求m，a的值．(2)求点B坐标．(3)连结，求面积．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程恰好有两个相等的实数根．(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x轴及其上方的部分向右平移m个单位交于点P，B，是该图象两个顶点，若恰好为等腰直角三角形，求m的值．23．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线B C．(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC 于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．24．已知二次函数．(1)求证：二次函数的图象必过点；(2)若点在函数图象上，，求该函数的表达式；(3)若该函数图象与轴有两个交点，求证：．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B （3，）两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．解：∵二次函数的图像经过点P(－2，4)，∴，解得：，∴二次函数的解析式为，当时，，∴该图像必经过点(2，4)，故选项A正确，B错误；当时，，故选项C错误；当时，，故选项D错误；故选：A．2．解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），∴向左平移2个单位，再向上平移3个单位后的顶点坐标是∴所得抛物线解析式是．故选：C．3．解：当，即时，函数的图像与x轴有交点，∴，解得：；当，即时，与x轴有交点，综上所述，k的取值范围是．故选：B4．解：，选项A：若，则，，无法判断的符号，故此选项不符合题意；选项B：若，则，，则故此选项符合题意；选项C：若，则，则这个二次函数开口向下，不可能对于任意的x，都有，故此选项不符合题意；同理选项D也不符合题意；故选B．5．解：∵抛物线经过点（0，-4），（3，-4），∴抛物线的对称轴为直线x=，而x=1时，y=-6＜-4，∴抛物线的开口向上，与x轴有两个交点，且在y轴两侧，所以A、B选项都不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y的值随x值的增大而增大，所以C选项不符合题意；∵点（0，-4），（1，-6）在抛物线上，也在直线y=-2x-4上，即y=a+bx+c与直线y=-2x-4的交点坐标为（0，-4），（1，-6），∴方程a+bx+c=-2x-4的解为=0，=1，即方程a+（b+2）x+c=-4的解为=0，=1，所以D选项符合题意．故选：D．6．由题意得，当时，，抛物线必过点，抛物线（m为常数）恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数），分情况讨论如下：①当点是抛物线的顶点时，则抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，由题意得，抛物线还经过点，如图1，把点分别代入解析式，等式成立，符合题意；②当点不是抛物线的顶点，而是抛物线上关于对称的其中一个点，则抛物线经过，如图2，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把代入解析式，得，即抛物线经过点，抛物线还经过点，符合题意；③当点不是抛物线的顶点，且在图中也找不到对应格点，要想抛物线恰好只经过图中网格区域（包括边界）中的3个格点（横纵坐标均为整数）时，抛物线应经过，如图3，抛物线对称轴为直线，解得，抛物线解析式为，把点分别代入解析式，等式成立，符合题意；综上，满足条件的整数m有3个，故选：C．7．解：由图象可知a＞0，c＜0，∵对称轴为x＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误；∵图象与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵图象与x轴的一个交点是（1，0），∴与x轴的另一个交点是（﹣3，0），∴9a﹣3b＋c＝0，故③正确；∵（﹣2，y2）到对称轴x＝﹣1的距离是1，（﹣0.5，y1）到对称轴x＝﹣1的距离是0.5，∴y1＜y2；故④错误；综上分析可知，②③正确，故A正确．故选：A．8．解：作FC⊥x轴于点C，如右图所示，则阴影部分的面积等于四边形EOCF的面积，∵抛物线y＝﹣2x2＋2，∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（0，2），∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，OE＝2，∵这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，∴OC＝AB＝2，∵四边形EOCF是矩形，∴四边形EOCF的面积是2×2＝4，∴图中阴影部分图形的面积为4，故选：A．9．解：，故答案为：．10．解：把代入得；把代入得，所以a的取值范围为．故答案为．11．解：把点代入二次函数解析式得：，则有，∴；故答案为15．12．解：由题意得，顶点纵坐标为：，即：，解得：．故答案为：2．13．解：∵，∴顶点坐标为，如图：点关于轴的对称点为，∵成立的值恰好有三个，∴．故答案为：．14．解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，∴另一个交点的坐标为（5，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．故答案为﹣3＜x＜5．15．∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，且抛物线与x轴有两个不同交点，与y 轴交于负半轴，∴ab＜0，c＜0，＞0，∴abc＞0，如图，直线x=-1，与抛物线的交点在x轴上方，∴＞0，故答案为：①②③．16．解：∵抛物线与x轴交于B、C两点，B(-1，0)，C(3，0)，∴，解得，，∴，∴x=0时，y=3，∴A(0,3)，∴，设AC的解析式为y=kx+m，则，∴，∴y=-x+3，由平移知，EF∥AC，EF=AC，∴四边形EACF是平行四边形，设EF的解析式为y=-x+n，∵，∴D(1,4)，∴4=-1+n，n=5，∴E(0,5)，∴AE=5-3=2，∴．故答案为：．17．解：（1）∵∴抛物线的对称轴为，顶点坐标为；（2）可将抛物线先向左平移个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线．18．(1)设抛物线解析式为，把(0，4)代入得，解得：，所以这个二次函数解析式为；(2)抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，所以当时，y的值随值的增大而增大；(3)当时，，所以点P(3，5)不在这个二次函数的图象上．19．（1）把点P（-1，-2b）代入抛物线y=x2+（b-1）x+c中，得1-（b-1）+c=-2b，整理，得b+c=-2；（2）把b=3代入b+c=-2中，得：c=-2-b=-5，（3）∵b=3，c=-5∴抛物线解析式为y=x2+2x-5，即y=（x+1）2-6，故抛物线顶点坐标为(-1，-6 )．20．（1）解：令则＞0方程总有两个不相等的实数根，即抛物线与轴总有两个交点；（2）函数的图象与y轴交于点（0，3）．抛物线的解析式为：抛物线的开口向上，当时，函数y的最小值为当时，当时，当0＜x＜5时，y的取值范围为：．21．(1)解：把点A坐标代入一次函数解析式得．∴m=4．∴．把点A坐标代入二次函数解析式得．∴a=1．(2)解：∵a=1，∴二次函数解析式为．联立二次函数解析式和一次函数解析式得解得或∵，∴．(3)解：如下图所示，设直线交y轴于点C．∴．∴OC=2．∴．22．（1）解：，，将代入得：，解得，，方程恰好有两个相等的实数根，这个方程根的判别式，即，解得或（不符题意，舍去），则抛物线的解析式为．（2）解：抛物线向右平移个单位后的抛物线的解析式为，，，恰好为等腰直角三角形，只能是，如图，过点作于点，，，将点代入抛物线得：，解得或（不符题意，舍去），即的值为2．23．（1）解：∵OB＝OC，∴C（0，﹣3），把A，B，C代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，连接BC，∵EB＝EC，∴E是BC的中点，∴E的坐标为（，），∴P的横坐标为，把A，B代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，把x＝代入，得y＝，∴P（，），∴EP＝＝，解得a＝，∴a的值为．24．（1）证明：，二次函数的图象必过点．（2）解：点在函数的图象上，，，，，整理得：，解得或，则该抛物线的表达式为或．（3）证明：函数的图象与轴有两个交点，，方程的两个根为，根的判别式大于0，，，．25．（1）解：将点代入得：，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：设点，对于二次函数，当时，，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，，，轴，轴，，∴当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，解得或或或，则点的横坐标为1或2或或．（3）解：①如图，当Q在BC下方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，设点的坐标为，则，解得，即，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立直线与抛物线解析式得，解得或（即为点），则此时点的坐标为；②如图，当Q在BC上方时，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理可得：此时点的坐标为，综上，存在这样的点，点的坐标为或．。

1.2 二次函数的图象(2)函数y=a(x －m)2+k(a≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右(当m>0)或向左(当m<0)平移|m|个单位，再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到，顶点是(m ，k)，对称轴是直线x=m ．1.如果将抛物线y=x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的二次函数的表达式为(C ).A.y=x 2-1B.y=x 2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)22.将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的二次函数的表达式为(B ).A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-33.函数y=ax 2+1与y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(B ). A. B. C. D.(第4题)4.二次函数y=a(x+m)2+n 的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 的图象不经过(D ).A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限5.将二次函数y=x 2+2x-1的图象沿x 轴向右平移2个单位，得到的函数表达式为(D ).A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-26.把二次函数y=-14x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式是 y=-41（x+2）2+4 ，该二次函数图象的顶点坐标是 （-2，4） ．7.如果二次函数y=(x-h)2+k 的图象经过点(-2，0)和(4，0)，那么h 的值为 1 ．8.把抛物线y=-x 2向上平移2个单位，那么所得抛物线与x 轴的两个交点之间的距离是 22 .9.已知二次函数图象的顶点坐标为(－1，5)，且经过点(1，2)，求这个二次函数的表达式．【答案】设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)2+5.将点（1，2）代入，得4a+5=2，解得a=－43.∴y=－43 (x+1)2+5. 10.已知抛物线y=43 (x －1)2－3． (1)写出抛物线的开口方向、对称轴．(2)函数y 有最大值还是最小值？求出这个最大值或最小值．(3)设抛物线与y 轴的交点为点P ，与x 轴的交点为点Q ，求直线PQ 的函数表达式．【答案】（1）开口向上，对称轴为直线x=1.（2）y 有最小值.当x=1时，最小值为－3.（3）与y 轴的交点为P （0，－49），与x 轴的交点为Q （3，0）或（－1，0）. ∴①当P （0，－49），Q （3，0）时，直线PQ 的函数表达式为y=43x －49； ②当P （0，－49），Q （－1，0）时，直线PQ 的函数表达式为y=－49x －49.11.将二次函数y=-(x-k)2+k+1的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线y=2x+1上，则k 的值为(C ).A.2B.1C.0D.-1（第12题）12.如图所示，将函数y=21 (x-2)2+1的图象沿y 轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式为(D ). A.y=21 (x-2)2-2 B.y=21 (x-2)2+7 C.y=21 (x-2)2-5 D.y=21 (x-2)2+4 13.函数y=k(x-k)与y=kx 2，y=x k (k≠0)，在同一平面直角坐标系内的图象正确的是(C ).A. B. C. D.(第15题)14.如果将抛物线y=x 2+2x-1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的函数表达式为 x 2+2x+3 .15.二次函数y=a(x-m)2的图象如图所示，已知a=21，OA=OC ，则该抛物线的函数表达式为 y=21 (x-2)2 (用顶点式表示).16.已知抛物线y=a(x-t-1)2+t 2(a ，t 是常数，且a≠0，t≠0)的顶点在直线y=-2x+1上，且经过点(-2，5)．(1)求这条抛物线的函数表达式．(2)将此抛物线沿x 轴翻折得到抛物线y 1，求y 1的函数表达式．【答案】（1）将顶点（t+1，t 2）代入y=-2x+1，得t=-1，∴所求抛物线的函数表达式为y=ax 2+1，将点（-2，5）代入，得a=1.∴抛物线的函数表达式为y=x 2+1.（2）y1=－x 2－1.(第17题)17.已知点A(2，-2)和点B(-4，n)在抛物线y=ax 2(a≠0)上.(1)求a 的值及点B 的坐标.(2)点P 在y 轴上，且△ABP 是以AB 为直角边的三角形，求点P 的坐标.(3)将抛物线y=ax 2(a≠0)向右并向下平移，记平移后点A 的对应点为点A′，点B 的对应点为点B′.若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的函数表达式.【答案】(1)把点A(2，-2)代入y=ax 2，得a=-21，∴抛物线为y=-21x 2.当x=-4时，y=-8.∴点B 的坐标为(-4，-8).∴a=-21，点B 的坐标为(-4，-8). (2)设直线AB 的函数表达式为y=kx+b 则有⎩⎨⎧-=+--=+8422b k b k ,解得⎩⎨⎧-==41b k . ∴直线AB 的函数表达式为y=x-4.∴过点B 垂直AB 的直线为y=-x-12，与y 轴交于点P(0，-12)，过点A 垂直AB 的直线为y=-x ，与y 轴交于点P′(0，0).∴点P 在y 轴上，且△ABP 是以AB 为直角边的三角形时，点P 的坐标为(0，0)或(0，-12).（第17题答图） (3)如答图所示，四边形ABB′A′是正方形，过点A 作y 轴的垂线EF ，分别过点B ，A′作x 轴的垂线交EF 于点F ，E.易知△ABF，△AA′E 是全等的等腰直角三角形. ∵AA′=AB=2266+=62，∴AE=A′E=6.∴点A′的坐标为(8，-8).∴点A 到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到的.∴抛物线y=-21x 2的顶点(0，0)，向右平移6个单位，向下平移6个单位得到(6，-6). ∴此时抛物线为y=-21 (x-6)2-6.18.【丽水】将函数y=x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是(D ).A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位（第19题）19.【岳阳】如图所示，已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为-2.现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1.下列结论中，正确的是③④ (填序号).①b＞0;②a-b+c＜0;③阴影部分的面积为4;④若c=-1，则b2=4a.20.如图所示，已知抛物线C0的函数表达式为y=x2-2x.(1)求抛物线C0的顶点坐标.(2)将抛物线C0每次向右平移2个单位，平移n次，依次得到抛物线C1，C2，C3，…，C n(n为正整数).①求抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标.②试确定抛物线C n的函数表达式.(直接写出答案，不需要解题过程)（第20题）【答案】(1)∵y=x2-2x=(x-1)2-1，∴抛物线C0的顶点坐标W为(1，-1).(2)①当y=0时，则有x2-2x=0，解得x1=0，x2=2，则O(0，0)，A1(2，0).∵将抛物线C0向右平移2个单位，得到抛物线C1，∴此时抛物线C0与x轴的交点O(0，0)，A1(2，0)也随之向右平移2个单位.∴抛物线C1与x轴的交点A1，A2的坐标分别为A1(2，0)，A2(4，0).②抛物线C n的顶点坐标为(1+2n，-1)，则抛物线Cn的表达式为y=［x-(1+2n)］2-1，即y=x2-(4n+2)x+4n2+4n.。

1．4 二次函数的应用(2)1．下列有关函数y ＝－（x ＋1）2＋2的说法中，正确的是(D) A ．有最大值2B ．有最大值2，但没有最小值C ．没有最大值，但有最小值0D ．既有最大值2，又有最小值02．当m 在取值范围内取不同的值时，代数式27－4m ＋2m 2的最小值是(B) A ．0 B ．5 C ．3 3 D ．93．某商店购进某种商品的价格是每件2．5元，在一段时间里，售出单价为13．5元时，销售量为500件，而销售单价每降低3元就可多售出600件．当销售单价为每件x 元时，所获利润为y 元，那么y 关于x 的函数表达式为(A)A ．y ＝－200x 2＋3700x －8000 B ．y ＝－200x 2＋3200x C ．y ＝－200x 2－8000 D ．以上答案都不对4．某商店销售一种纪念品，成批购进时单价为4元．根据市场调查，销售量与销售单价在一段时间内满足如下关系：当单价为10元时，销售量为300枚，而单价每降低1元，就可多售出5枚，那么当销售单价降低x 元(4<x<10)时，销售量是300＋5x 枚．若设利润为y 元，则y 关于x 的函数表达式是y ＝(6－x)(300＋5x)．5． 消防员用水管喷出的水流可以用抛物线y ＝－12x 2＋bx(b>0)来描述．已知水流的最大高度为20 m ，则b 的值为210．6．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，点O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图①所示，按图②建立直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y ＝－x 2＋2x ＋54．(第6题)请回答下列问题：(1)柱子OA 的高度是多少米？(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【解】 (1)∵点A 是抛物线y ＝－x 2＋2x ＋54与y 轴的交点，∴OA 的高度为54 m ．(2)∵y＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋94．∴最大的高度为94m ．(3)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋54＝0，∴4x 2－8x －5＝0，∴(2x －5)(2x ＋1)＝0， ∴x 1＝52，x 2＝－12(舍去)．即水池半径至少要52m 才能使喷出的水不至于落在池外．(第7题)7． 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ．点P 从点A 开始沿AB 边以1 cm/s 的速度向点B 移动，点Q 从点B 开始，沿BC 以1 cm/s 的速度向点C 移动，如果P ，Q 同时分别从A ，B 两点出发．(1)写出线段PQ 的长度l(cm)关于运动时间t(s)的函数表达式； (2)求t 的取值范围；(3)PQ 的最短距离为多少？此时的运动时间t 为多少？ 【解】 (1)由题意，得AP ＝BQ ＝t ，PB ＝AB －AP ＝6－t ， 由勾股定理，得PQ 2＝PB 2＋BQ 2， ∴l ＝PB 2＋BQ 2＝（6－t ）2＋t 2＝2t 2－12t ＋36． (2)∵0<PB<6，∴0<6－t<6，即0<t<6．(3)PQ ＝2t 2－12t ＋36＝2（t －3）2＋18．当t －3＝0，即t ＝3时，2(t －3)2＋18有最小值18，且t ＝3在0<t<6范围内， ∴当t ＝3 s 时，PQ 最短，PQ ＝18＝3 2(cm)．答：PQ 的最短距离为3 2 cm ，此时的运动时间t 为3 s ．8．某水果批发商场经销一种水果，如果每千克赢利10元，每天可售出500 kg ．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg ．(1)当每千克涨价多少元时，每天的赢利最多？最多是多少？(2)若商场只要求保证每天的赢利为6000元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？【解】 (1)设每千克涨价x 元，每天的赢利为y 元，则y ＝(10＋x)(500－20x) ＝－20x 2＋300x ＋5000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －1522＋6125(0＜x ＜25)．∴当x ＝152时，y 最大＝6125元．(2)当y ＝6000元时，－20x 2＋300x ＋5000＝6000， 解得x 1＝5，x 2＝10．∵要使顾客得到实惠，∴每千克应涨价5元．9．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品的每千克售价y 1(元)关于销售月份x(月)的函数表达式为y 1＝－38x ＋36，而其每千克成本y 2(元)与销售月份x(月)满足的关系如图．(第9题)(1)试确定b ，c 的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)关于销售月份x(月)的函数表达式； (3)五一之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25＝18×32＋3b ＋c ，24＝18×42＋4b ＋c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－158，c ＝592.(2)y ＝y 1－y 2＝－38x ＋36－⎝ ⎛⎭⎪⎫18x 2－158x ＋592＝－18x 2＋32x ＋132．(3)y ＝－18x 2＋32x ＋132＝－18(x 2－12x ＋36)＋92＋132＝－18(x －6)2＋11．∵a ＝－18＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴x ＝6的左侧y 随x 的增大而增大． ∵x ＜5，∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大， 最大利润＝－18(4－6)2＋11＝10．5(元)．10． 如图，图中的图形都是由棱长为a 的小正方体摆成的，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层……第n 层，并把第n 层的小正方体的个数记为S ．(第10题)(1)按照要求填表：n 1 2 3 4 5 … S13…(2)根据上表猜测S 与n 之间的函数关系，并求出函数表达式．【解】 (1)当n ＝3时，S ＝6；当n ＝4时，S ＝10；当n ＝5时，S ＝15． (2)根据表中数据，猜想为二次函数． 方法一：表中体现的规律是 n ＝1， S ＝1； n ＝2, S ＝1＋2＝3； n ＝3, S ＝1＋2＋3＝6； ……n ＝n, S ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ． 因此S 与n 的函数表达式为S ＝12n 2＋12n(n 为正整数)．方法二：设S ＝an 2＋bn ＋c(a≠0)．把(1，1)，(2，3)，(3，6)代入S ＝an 2＋bn ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋b ＋c ，3＝4a ＋2b ＋c ，6＝9a ＋3b ＋c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴S ＝12n 2＋12n ．把(4，10)，(5，15)代入上式进行验证，结论正确．因此S 关于n 的函数表达式为S ＝12n 2＋12n(n 为正整数)．11． 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件．若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为y 元．(1)求y 关于x 的函数表达式并直接写出自变量x 的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元．【解】 (1)y ＝(210－10x)(50＋x －40) ＝－10x 2＋110x ＋2100， 其中0＜x ≤15且x 为整数． (2)y ＝－10(x －5．5)2＋2402．5． ∵a ＝－10＜0，∴当x ＝5．5时，y 有最大值2402．5． ∵0＜x ≤15，且x 为整数，∴当x ＝5时，50＋x ＝55，y ＝2400(元)； 当x ＝6时，50＋x ＝56，y ＝2400(元)．∴当售价定为每件55元或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元． (3)当y ＝2200时，－10x 2＋110x ＋2100＝2200， 解得x 1＝1，x 2＝10．∴当售价定为每件51元或60元时，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元)．。

课时作业(五)[1.3二次函数的性质]一、选择题1．2017·金华对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是() A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是22．如图K－5－1，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数值y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是()图K－5－1A．x≥3 B．x≤3C．x≥1 D．x≤13．2017·连云港已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是链接学习手册例2归纳总结()A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞04．如图K－5－2，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是()图K－5－2A．a＞1 B．－1＜a≤1C．a＞0 D．－1＜a＜25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K－5－3所示，则链接学习手册例4归纳总结()图K－5－3A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0二、填空题6．二次函数y＝2x2－2x－1的图象的顶点坐标是________，当x______时，y随x的增大而减小．7．2017·衡阳已知函数y＝－(x－1)2图象上两点(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“＜”“＞”或“＝”).8．2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当y＜5时，x的取值范围是________.9．如图K－5－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．图K－5－4三、解答题10．已知二次函数y＝－2x2＋8x－8.(1)说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？(2)求出此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；(3)结合图象回答：当x为何值时，y随着x的增大而减小？11．已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的变化而变化的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．12．2016·宁波如图K－5－5，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A＋PC的值最小时，求点P的坐标．图K－5－513．2017·南京已知函数y＝－x2＋(m－1)x＋m(m为常数)．(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()A．0 B．1C．2 D．1或2(2)求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝(x＋1)2的图象上；(3)当－2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．思维拓展复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k为实数)．教师：请独立思考，并把你探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生独立思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动的一员，又补充了一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过点(1，0)．②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点．③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小．④若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断上述四条结论的真假，并说明理由，最后简单写出解决问题时你所用到的数学方法．详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] B 二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象的对称轴是直线x ＝1.∵－1<0，∴抛物线的开口向下，有最大值，最大值是2.2．[解析] C 因为图象开口向下，顶点的横坐标为1，所以当x ≥1时，y 随x 的增大而减小．故选C.3．[解析] C ∵a>0，∴抛物线y ＝ax 2的开口向上，对称轴为y 轴，点A(－2，y 1)在对称轴的左侧，点B(1，y 2)在对称轴的右侧，点A 离对称轴的距离大于点B 离对称轴的距离，∴y 1>y 2>0.故选C.4．[答案] B5．[答案] B6．[答案] (12，－32) ≤12[解析] 因为a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，所以－b 2a ＝12，4ac －b 24a ＝－32. 7．[答案] >[解析] 因为二次项系数－1<0，所以在对称轴直线x ＝1的左侧y 随x 的增大而增大；在对称轴直线x ＝1的右侧，y 随x 的增大而减小．因为a>2>1，所以y 1>y 2.故答案为>.8．[答案] 0＜x ＜49．[答案] 010．[解析] (1)因为a ＝－2<0，所以函数有最大值；(2)要求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标，只需在二次函数表达式中分别令y ＝0和x ＝0，并求解所得的方程，即可写出相应的交点坐标；(3)对于二次函数的增减性，可结合图象，以对称轴为分界线，进行讨论．解：(1)∵a ＝－2<0，b ＝8，c ＝－8，∴－b 2a ＝2，4ac －b 24a＝0， ∴图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)，函数有最大值，这个值为0.(2)当y ＝0时，－2x 2＋8x －8＝0，解得x ＝2，即抛物线与x 轴的交点坐标是(2，0)．当x ＝0时，y ＝－8，即抛物线与y 轴的交点坐标是(0，－8)．(3)∵a<0，∴当x ≥2时，y 随着x 的增大而减小．11．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－1＝(x －2)2－1，∴其图象的顶点C 的坐标为(2，－1)，∴当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ≥2时，y 随x 的增大而增大．(2)令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)，当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)，∴AB ＝||1－3＝2.过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∴S △ABC ＝12AB·CD ＝12×2×1＝1. 12．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入y ＝－x 2＋mx ＋3，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)如图，连结BC PC 的值最小．设直线BC 的函数表达式为y ∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴⎩⎨⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3.当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．13．解：(1)D(2)证明：y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －m －122＋（m ＋1）24， 所以该函数的图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫m －12，（m ＋1）24.把x ＝m －12代入y ＝(x ＋1)2，得y ＝⎝⎛⎭⎫m －12＋12＝（m ＋1）24. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上．(3)设函数z ＝（m ＋1）24. 当m ＝－1时，z 有最小值0；当m ＜－1时，z 随m 的增大而减小；当m>－1时，z 随m 的增大而增大．又当m ＝－2时，z ＝（－2＋1）24＝14；当m ＝3时，z ＝（3＋1）24＝4. 因此，当－2≤m ≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z ≤4.[素养提升]解：①的结论为真，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，显然x ＝1时有y ＝0，即其图象经过点(1，0)．特殊值法．②的结论为假，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，是一条直线，与坐标轴有两个不同的交点．举反例．③的结论为假，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；当k ≠0时，关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 为实数)为二次函数，其图象的对称轴为直线x ＝4k ＋14k ＝1＋14k ，若k ＞0，显然x ＝1＋14k＞1，故当x ＞1时，一部分y 随x 的增大而增大，另一部分y 随x 的增大而减小．分类讨论．④的结论为真，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，没有最值；当k ≠0时，关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 为实数)为二次函数，最值为y ＝8k （－k ＋1）－（4k ＋1）28k ＝－3k －18k， 显然，当k ＞0时，y 有最小值－3k －18k ，此时，－3k －18k＜0；当k ＜0时，y 有最大值－3k －18k，此时，－3k －18k＞0.分类讨论．。

1.2二次函数的图象知识点分类训练一．二次函数的图象1．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．2．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11B．﹣2C．1D．﹣5二．二次函数图象与系数的关系3．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点（3，0），二次函数图象对称轴为x＝1，给出四个结论：①b2＞4ac；②bc＜0；③2a+b＝0；④a+b+c＝0，其中正确结论有（）个．A．0B．1C．2D．34．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3 6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）A．B．C．D．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a＝b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是（填入正确结论的序号）．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0）．下面的四个结论：①AB＝4；②b2﹣4ac＞0；③ab＜0；④a﹣b+c＜0，其中正确的结论是（填写序号）．三．二次函数图象上点的坐标特征10．若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1 11．已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（）A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2 12．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2 13．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y＝ax2+2ax+4（0＜a＜3）上，若x1＜x2，x1+x2＝1﹣a，则（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1与y2大小不能确定14．已知函数y＝x2﹣2mx+2021（m为常数）的图象上有三点：A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），其中x1＝﹣+m，x2＝+m，x3＝m﹣1，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1 15．已知A（x1，2022），B（x2，2022）是二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）的图象上两点，则当x＝x1+x2时，二次函数的值是（）A．B．C．2022D．516．若直线y＝x+m与抛物线y＝x2+3x有交点，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m＞1D．m＜117．已知函数y＝﹣（x﹣1）2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1y2（填“＜”、“＞”或“＝”）18．当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x2﹣2x+3的函数值相等，当x＝m+n时，函数y＝x2﹣2x+3的值为．19．已知点（﹣1，m）、（2，n）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a0（用“＞”或“＜”连接）．20．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，那么m的值为．21．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）图象上的两点（x1，y1）和（3，y2），若y1＞y2，则x1的取值范围是．22．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：x…﹣2023…y…8003…当x＝﹣1时，y＝．23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…﹣7﹣1355…则的值为．24．已知点A（a，m）、B（b，m）、P（a+b，n）为抛物线y＝x2﹣2x﹣2上的点，则n＝．25．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4的图象经过点（3，0）．（1）求a的值；（2）若A（m，y1）、B（m+n，y2）（n＞0）是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．四．二次函数图象与几何变换26．抛物线y＝x2+4x+5是由抛物线y＝x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）A．向左平移1个单位B．向左平移2个单位C．向右平移1个单位D．向右平移2个单位27．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位28．二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位29．将抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为．30．将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是．31．把抛物线y＝2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为．32．将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y＝x2+4x ﹣1，则a+b+c＝．33．已知二次函数y1＝x2+2x﹣3的图象如图所示．将此函数图象向右平移2个单位得抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为．34．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是．35．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标；（2）阴影部分的面积S＝；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．36．把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q．（1）求顶点P的坐标；（2）写出平移过程；（3）求图中阴影部分的面积．参考答案一．二次函数的图象1．解：由方程组得ax2＝﹣a，∵a≠0∴x2＝﹣1，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．故选：C．2．解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y＝﹣3x2+1当x＝2时，y＝﹣11，故选：D．二．二次函数图象与系数的关系3．解：由图象知和x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；由图象知，图象与y轴交点在x轴的上方，且二次函数图象对称轴为x＝1，∴c＞0，∵﹣＝1，a＜0，∴b＞0，即bc＞0，2a+b＝0，∴②不正确，③正确；由图象知，当x＝1时y＝ax2+bx+c＝a×12+b×1+c＝a+b+c＞0，∴④不正确，综合上述：正确的个数是2，故选：C．4．解：①∵对称轴在y轴的右侧，∴ab＜0，由图象可知：c＞0，∴abc＜0，故①不正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b﹣a＞c，故②正确；③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确；④∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴a+2a+c＜0，3a＜﹣c，故④不正确；⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B．5．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，∴b＝a﹣3，∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，∵顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．故选：B．6．解：①根据抛物线开口向下可知：a＜0，因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①错误；②因为抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以b+2a＝0，所以②正确；③∵b＝﹣2a，∴b2＝4a2，如果4a+b2＜4ac，那么4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，而根据抛物线与y轴的交点，可知c＞1，∴结论③错误；④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，因为b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以④正确．所以正确的是②④，共2个．故选：B．7．解：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x＝＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选：B．8．解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故①、③都不正确；∵当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；由抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一交点在2和3之间，∴当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∵﹣2＜﹣，∴y1＜y2，故⑤不正确；综上可知正确的为②④，故答案为：②④．9．解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为（1，0），∴A（﹣3，0），∴AB＝4，故选项①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故选项②正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴a，b同号，∴ab＞0，故选项③错误；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c此时最小，为负数，故选项④正确；故答案为：①②④．三．二次函数图象上点的坐标特征10．解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；故选：D．11．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，∴y3＜y1＜y2．故选：B．12．解：y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），对称轴是直线x＝﹣＝1，即二次函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，即在对称轴的右侧y随x的增大而减小，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），∵2＜3＜4，∴y2＞y1＞y3，故选：D．13．解：将点A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入y＝ax2+2ax+4（0＜a＜3）中，得：y1＝ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①，y2＝ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②，②﹣①得：y2﹣y1＝（x2﹣x1）[a（3﹣a）]，因为x1＜x2，3﹣a＞0，则y2﹣y1＞0，即y1＜y2．故选：B．14．解：y＝x2﹣2mx+2021＝（x﹣m）2﹣m2+2021，∴抛物线开口向上，对称轴为：直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而增大，由对称性得：x1＝﹣+m与x＝m+的y值相等，x3＝m﹣1与x＝m+1的y值相等，且，∴+m＜m+1＜m+，∴y2＜y3＜y1；故选：D．15．解：∵A（x1，2022），B（x2，2022）是二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）的图象上两点，又∵点A、B的纵坐标相同，∴A、B关于对称轴x＝﹣对称，∴x＝x1+x2＝﹣，∴a+b（﹣）+5＝5；故选：D．16．解：令x+m＝x2+3x，则x2+2x﹣m＝0，令△＝22﹣4×1×（﹣m）≥0，解得，m≥﹣1，故选：A．17．解：∵函数y＝﹣（x﹣1）2，∴函数的对称轴是直线x＝1，开口向下，∵函数图象上两点A（2，y1），B（a，y2），a＞2，∴y1＞y2，故答案为：＞．18．解：∵当x＝m和x＝n（m≠n）时，二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2的函数值相等，∴以m、n为横坐标的点关于直线x＝1对称，则＝1，∴m+n＝2，∵x＝m+n，∴x＝2，函数y＝4﹣4+3＝3．故答案为3．19．解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线对称轴为x＝1，∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，∴a＞0．故答案为：＞．20．解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y＝a（x﹣1）2+h上，得（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x＝1对称，m﹣1＝1﹣（﹣1），解得m＝3，故答案为：3．21．解：∵y1＞y2，∴a﹣2ax1+c＞9a﹣6a+c，∴a﹣2ax1﹣3a＞0，∵a＜0，∴函数y＝a﹣2ax1﹣3a开口向下，令a﹣2ax1﹣3a＝0，解得x1＝﹣1或3，画出函数图象示意图：由图象可得，当﹣1＜x＜3时，a﹣2ax1﹣3a＞0，∴x1的取值范围是﹣1＜x1＜3，故答案为：﹣1＜x1＜3．22．解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＝﹣1时与x＝3时函数值相同，∴当x＝﹣1时，y＝3．故答案为：3．23．解：∵x＝1、x＝2时的函数值都是﹣1相等，∴此函数图象的对称轴为直线x＝﹣＝＝，即＝﹣．故答案为：﹣．24．解：∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，又∵点A（a，m）和B（b，m）关于直线x＝1对称，∴＝1，∴a+b＝2，把（2，n）代入抛物线的解析式得，n＝22﹣2×2﹣2＝﹣2．故答案是：﹣2．25．解：（1）将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得0＝4a﹣4，解得a＝1；（2）方法一：根据题意，得y1＝（m﹣1）2﹣4，y2＝（m+n﹣1）2﹣4，∵y1＝y2，∴（m﹣1）2﹣4＝（m+n﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝（m+n﹣1）2，∵n＞0，∴m﹣1＝﹣（m+n﹣1），化简，得2m+n＝2；方法二：∵函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象的对称轴是经过点（1，﹣4），且平行于y轴的直线，∴m+n﹣1＝1﹣m，化简，得2m+n＝2．四．二次函数图象与几何变换26．解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1），∴是抛物线y＝x2+1向左平移2个单位得到，故选：B．27．解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．故选：C．28．解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．故选：C．29．解：抛物线y＝2（x﹣1）2+2向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到y＝2（x﹣1+3）2+2﹣4＝2（x+2）2﹣2．故得到抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．故答案为：y＝2（x+2）2﹣2．30．解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，表达式为：y＝ax2+bx+2，∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，故答案为：﹣5．31．解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1﹣1）2+1＝2x2+1，故答案为：y＝2x2+1．32．解：平移后的抛物线y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，顶点为（﹣2，﹣5），根据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（0，0），又平移不改变二次项系数，∴原抛物线解析式为y＝x2，∴a＝1，b＝c＝0，∴a+b+c＝1，故答案为1．33．解：由题意知，y1＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则顶点坐标是（﹣1，﹣4）．所以，阴影部分的面积为：2×4＝8．故答案是：8．34．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m＝（1﹣2）2+1＝，n＝（4﹣2）2+1＝3，∴A（1，），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，），∴AC＝4﹣1＝3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2 +4．故答案是：y＝（x﹣2）2 +4．35．解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积＝1×2＝2；（3）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原O成中心对称．所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：y＝a（x+1）2﹣2．由对称性得a＝1，所以y3＝（x+1）2﹣2．36．解：（1）平移的抛物线解析式为y＝（x+6）x＝x2+3x＝（x+3）2﹣，所以顶点P的坐标为（﹣3，﹣）；（2）把抛物线y＝x2先向左平移3个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线y＝（x+3）2﹣；（3）图中阴影部分的面积＝S△OPQ＝×3×9＝．。

课时作业(五)[1.3二次函数的性质]一、选择题1．2019·金华对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是() A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是22．如图K－5－1，抛物线的顶点坐标是P(1，3)，则函数值y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是()图K－5－1A．x≥3 B．x≤3C．x≥1 D．x≤13．2019·连云港已知抛物线y＝ax2(a＞0)过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是链接学习手册例2归纳总结()A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞04．如图K－5－2，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是()图K－5－2A．a＞1 B．－1＜a≤1C．a＞0 D．－1＜a＜25．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K－5－3所示，则链接学习手册例4归纳总结()图K－5－3A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0二、填空题6．二次函数y＝2x2－2x－1的图象的顶点坐标是________，当x______时，y随x的增大而减小．7．2019·衡阳已知函数y＝－(x－1)2图象上两点(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1________y2(填“＜”“＞”或“＝”).8．2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当y＜5时，x的取值范围是________.9．如图K－5－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线．若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．图K－5－4三、解答题10．已知二次函数y＝－2x2＋8x－8.(1)说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？(2)求出此抛物线与x轴、y轴的交点坐标；(3)结合图象回答：当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小？11．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3.(1)用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的变化而变化的情况；(2)求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标及△ABC 的面积．12．2019·宁波如图K －5－5，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(3，0)．(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；(2)P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．图K －5－513．2019·南京已知函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数)． (1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2(2)求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上；(3)当－2≤m ≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．思维拓展复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 为实数)． 教师：请独立思考，并把你探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生独立思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动的一员，又补充了一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过点(1，0)．②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点．③当x ＞1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小．④若函数有最大值，则最大值必为正数；若函数有最小值，则最小值必为负数．教师：请你分别判断上述四条结论的真假，并说明理由，最后简单写出解决问题时你所用到的数学方法．详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析] B 二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象的对称轴是直线x ＝1.∵－1<0，∴抛物线的开口向下，有最大值，最大值是2.2．[解析] C 因为图象开口向下，顶点的横坐标为1，所以当x ≥1时，y 随x 的增大而减小．故选C.3．[解析] C ∵a>0，∴抛物线y ＝ax 2的开口向上，对称轴为y 轴，点A(－2，y 1)在对称轴的左侧，点B(1，y 2)在对称轴的右侧，点A 离对称轴的距离大于点B 离对称轴的距离，∴y 1>y 2>0.故选C.4．[答案] B5．[答案] B6．[答案] (12，－32) ≤12[解析] 因为a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，所以－b 2a ＝12，4ac －b 24a ＝－32. 7．[答案] >[解析] 因为二次项系数－1<0，所以在对称轴直线x ＝1的左侧y 随x 的增大而增大；在对称轴直线x ＝1的右侧，y 随x 的增大而减小．因为a>2>1，所以y 1>y 2.故答案为>.8．[答案] 0＜x ＜49．[答案] 010．[解析] (1)因为a ＝－2<0，所以函数有最大值；(2)要求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标，只需在二次函数表达式中分别令y ＝0和x ＝0，并求解所得的方程，即可写出相应的交点坐标；(3)对于二次函数的增减性，可结合图象，以对称轴为分界线，进行讨论．解：(1)∵a ＝－2<0，b ＝8，c ＝－8，∴－b 2a ＝2，4ac －b 24a＝0， ∴图象的开口向下，对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，0)，函数有最大值，这个值为0.(2)当y ＝0时，－2x 2＋8x －8＝0，解得x ＝2，即抛物线与x 轴的交点坐标是(2，0)．当x ＝0时，y ＝－8，即抛物线与y 轴的交点坐标是(0，－8)．(3)∵a<0，∴当x ≥2时，y 随着x 的增大而减小．11．解：(1)y ＝x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－1＝(x －2)2－1，∴其图象的顶点C 的坐标为(2，－1)，∴当x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当x ≥2时，y 随x 的增大而增大．(2)令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴当点A 在点B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)，当点A 在点B 右侧时，A(3，0)，B(1，0)，∴AB ＝||1－3＝2.过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∴S △ABC ＝12AB·CD ＝12×2×1＝1. 12．解：(1)把点B 的坐标(3，0)代入y ＝－x 2＋mx ＋3，得0＝－32＋3m ＋3，解得m ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)如图，连结BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA ＋PC 的值最小．设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b.∵点B(3，0)，C(0，3)在直线BC 上，∴⎩⎨⎧0＝3k ＋b ，3＝b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线BC 的函数表达式为y ＝－x ＋3.当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，∴当PA ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．13．解：(1)D(2)证明：y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －m －122＋（m ＋1）24， 所以该函数的图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫m －12，（m ＋1）24.把x ＝m －12代入y ＝(x ＋1)2，得y ＝⎝⎛⎭⎫m －12＋12＝（m ＋1）24. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上．(3)设函数z ＝（m ＋1）24. 当m ＝－1时，z 有最小值0；当m ＜－1时，z 随m 的增大而减小；当m>－1时，z 随m 的增大而增大．又当m ＝－2时，z ＝（－2＋1）24＝14；当m ＝3时，z ＝（3＋1）24＝4. 因此，当－2≤m ≤3时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0≤z ≤4.[素养提升]解：①的结论为真，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，显然x ＝1时有y ＝0，即其图象经过点(1，0)．特殊值法．②的结论为假，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，是一条直线，与坐标轴有两个不同的交点．举反例．③的结论为假，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而减小；当k ≠0时，关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 为实数)为二次函数，其图象的对称轴为直线x ＝4k ＋14k ＝1＋14k ，若k ＞0，显然x ＝1＋14k＞1，故当x ＞1时，一部分y 随x 的增大而增大，另一部分y 随x 的增大而减小．分类讨论．④的结论为真，理由：当k ＝0时，函数为y ＝－x ＋1，没有最值；当k ≠0时，关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 为实数)为二次函数，最值为y ＝8k （－k ＋1）－（4k ＋1）28k ＝－3k －18k， 显然，当k ＞0时，y 有最小值－3k －18k ，此时，－3k －18k＜0；当k ＜0时，y 有最大值－3k －18k ，此时，－3k －18k＞0.分类讨论．。