高一数学-第26课时—两角和与差的三角函数 精品

两角和与差的三角函数知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切函数公式类型一、化简类问题化简类问题的基本思路1、化为特殊角的三角函数值；2、化为正负相消的项，消去求值；3、化为分子分母出现公约数，约分求值。

例1.求下列各式的值（1）（2）sin 13°cos 17°+sin 77°cos 73°-变式练习1、(1)sin cos; (2)-; (3)tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°2、化简(1) (2)解决给值求值问题的关键1、寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”。

2、已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；3、已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍数关系”或“互余关系”。

例2、已知，求的值。

变式练习1、已知α∈,且sin α=,tan β=,则tan(α+β)=.2、已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=.3、设α∈,若sin α=,则cos 等于() A. B. C.- D.-4、若tan α=3,tan β=,则tan (α-β)等于() A.-3 B.- C.3 D.5、已知sin,且<α<,求cos α的值.6.[2016·江西临川模考]已知，且，求.7、已知为第二象限角，求的值。

例3、已知α,β均为锐角,且sin α =,cos β=,求α-β的值。

例4、已知x,y∈,且cos x=,cos y=,求x+y.变式练习1、已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为()A. B.- C.-或 D.无法确定2.若A,B是△ABC的内角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B等于.3、已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.4、如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.课后作业1.sin -cos 的值是()A. B. C.- D.sin2.(2016•山东青岛平度四校联考)已知tan(α+β)=,tan-,那么tan等于()A. B. C. D.3.设α,β都为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则sin β等于()A. B. C. D.-或4.已知tan =2,则的值为.5.若cos =-,θ∈,则cos θ的值为.6.已知cos-+sin α=,则sin=.7.已知cos α=-,tan β= π<α<,0<β<,求α-β的值.8.(2016•广东揭阳惠来一中检测)已知函数f(x)=2sin-,x∈R.(1)求f的值;(2)设α,β∈,f,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.9、已知<β<α<π cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.。

§4.6.1 两角和与差的余弦、正弦、正切(一)(一)1.2.两角和的余弦公式.(二)1.2.能用以上公式进行简单的求值.(三)1.2.提高学生的数学素质.启发引导式1.引导学生建立一直角坐标系xoy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.并引导学生用α、β、－β的三角函数标出点P1、P2、P3、P4的坐标.(这一过程也可用多媒体课件处理，让学生仔细观察作图过程，并加以领会.)并充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式，使学生弄懂由距离等式｜P1P3｜＝｜P2P4｜化得的三角恒等式，并整理成为余弦的和角公式，从而克服本节课的重点.2.强调两角和的三角函数的意义，例如cos（α＋β）是两角α与β的和的余弦，它表示角α＋β终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下，cos（α＋β）≠cosα＋cosβ，并变换α、β的取值，以突出本节课的重点.第一张：（§4.6.1 A第二张：（§4.6.1 B第三张：（§4.6.1 C1.①cos（45°＋30②cos1052.若1)cos(,43cos cos -=+-=βαβα，求sin αsin β. 3.求cos 23°cos 22°－sin 23°sin 22°的值.4.若点P (－3，4)在角α终边上，点Q （－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.Ⅰ.师：在这一章的第一部分咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?Ⅱ.(打出幻灯片A ，让同学观察) 师：我们在初中已经求过数轴上两点间的距离，下面请同学们回忆两点间(数轴上)的距离是如何求得的?(学生作答，老师板书)生：(口答)数轴上两点之间的距离就等于这两点所表示的两个数的差的绝对值. 师：(板书)｜AB ｜＝｜x2－x 1师：那么，我们是否可以用点的坐标来求平面内任意两点之间的距离呢?下面我们一起来看幻灯片.(结合图形讲解并推导出平面内两点间的距离公式). 师：在这个坐标平面内有两点P 1（x 1，ｙ1），P 2（x 2，ｙ2），不妨从点P 1，P 2分别作x 轴的垂线P 1M 1、P 2M 2，与x 轴交于点M 1（x 1，0），M 2（x 2，0）；再从点P 1，P 2分别作ｙ轴的垂线P 1Ｎ1，P 2Ｎ2，与ｙ轴交于点Ｎ1（0，ｙ1），N 2（0，ｙ2）.直线P 1Ｎ1与P 2M 2相交于点Q ，那么：｜P1Q ｜＝｜M 1M 2｜＝｜x 2－x 1｜QP 2｜＝｜N 1N 2｜＝｜ｙ2－ｙ1｜.｜P 1P 2｜2＝｜P 1Q ｜2＋｜QP 2｜2＝｜x 2－x 1｜2＋｜ｙ2－ｙ1｜2＝（x 2－x 1）2＋（ｙ2－ｙ1）2由此可得平面内P 1（x 1，ｙ1），P 2（x 2，ｙ2｜P 1P 2｜＝212212)()_(y y x x -+师：用此公式可将坐标平面内任意两点间的距离用其坐标求得. 例如：平面内A （2，1），B （3，5则：｜AB ｜＝17)15()23(22=-+-(利用两点间的距离公式，推导两角和的余弦公式)师：接下来，我们继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos （α＋β）用α，β的三角函数来表示的问题.首先，我们来回忆一下三角函数的定义.生(口答)：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是（x ，ｙ），它到原点的距离是)0||||(2222>+=+=y x y x r rxyr x r y ===αααtan ;cos ;sin . (打出幻灯片B ，结合图形讲解并推导出两角和的余弦公式)师：在直角坐标系xoy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4，则点P 1，P 2，P 3，P4(师生共答)：P 1（1，0 P 2（cos α，sinα P 3（cos （α＋β），sin （α＋β P 4（cos （－β），sin （－β））. 师(板书)：｜P 1P 3｜＝)(sin ]1)[cos(22βαβα++-+｜P 2P 4｜＝22]sin )[sin(]cos )[cos(αβαβ--+--又由｜P 1P 3｜＝｜P 2P 4｜，得［cos （α＋β）－1］2＋sin 2（α＋β）＝［cos （－β）－cos α］2＋［sin （－β）－sin α］22－2cos （α＋β）＝2－2（cos αcos β－sin αsinβ 即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsinβcos （α＋β）与α，β的三角函数cos α，cos β，sin α，sin β的关系.这个公式对于任意的角α，β都成立.但要注意：cos （α＋β）是两角α与β的和的余弦，它表示角α＋β终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比.例如：当,6,3时πβπα==23123216cos 3cos cos cos 02cos )63cos()cos(+=+=+=+==+=+ππβαπππβα∴cos （α＋β）≠cos α＋cos β即，不能把cos （α＋β）按分配律展开，应按两角和的余弦公式展开. 如：6cos 3cos 021*******sin 3sin 6cos 3cos )63cos(ππππππππ+≠=⋅-⋅=-=+ Ⅲ.(打出幻灯片C ，让学生板演练习)生：(板演)解：①cos （45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin3022621222322-=⋅-⋅=②︒︒-︒︒=︒+︒=︒45sin 60sin 45cos 60cos )4560cos(105cos26222232221-=⋅-⋅=师(讲评)：从这两道练习题可看出一些非特殊角的三角函数值可通过特殊角的三角函数值求得.如：①中cos （45°＋30°）＝cos75°＝226- ②中cos105°＝262- 75°，105°角均非特殊角，但其可化为两特殊角之和，所以其余弦值不必通过查表，只要利用两角和的余弦公式便可求出.另外，cos105°＝cos （180°－75°）＝－cos75生：2解：由cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β 得：sin αsin β＝cos αcos β－cos （α＋β将cos αcos β＝－43cos （α＋β）＝－1可得：sin αsin β＝41 师：这一练习提示我们应熟练掌握两角和的余弦公式，以便灵活应用其解决一些问题. 生：3解：cos23°cos22°－sin23°sin22°＝cos （23°＋22°）＝cos45°＝22 生：4解：由点P （－3，4）为角α终边上一点；点Q （－1，－2）为角β终边上一点， 得：cos α＝－53，sin α＝54.55sin ,552cos -=-=ββ ∴cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝（－53）×（－⨯-54)552）552)55(=-师：对于此类习题，首先要仔细分析题意，寻找突破口，以便求解. Ⅳ.1.平面内P 1（x 1，ｙ1），P 2（x 2，ｙ2）两点间的距离公式：｜P 1P 2｜＝212212)()(y y x x -+-2.cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β(C （α＋β） 3.以上两公式的推导及应用. Ⅴ.(一)课本P 40习题 4.6 3.(3)(4)(6)(8) (二)1.预习内容：P352.(1)将公式C （α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结果? (2)将公式C （α＋β）中的β用2π代替，看会得到什么新的结果?§4.6.11.下列命题中的假命题．．．是 ( ) A.存在这样的α和βcos（α＋β）＝cos αcos β＋sin αsin β B.不存在无穷多个α和β cos （α＋β）＝cos αcos β＋sin αsinβ C.对于任意的α和βcos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsinβ Ｄ.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cos αcos β－sin αsin β 答案：B2.在△ABC 中，已知cos A ·cos B ＞sin A ·sin Β，则△ABC 一定是钝角三角形吗？ 解：∵在△ABC 中，∴0＜C ＜π 且A ＋B ＋C ＝π 即：A ＋B ＝π－C由已知得cos A ·cos B －sin A ·sin B ＞0 即：cos （A ＋B ）＞0∴cos （π－C ）＝－cos C ＞0 即cos C ＜0 ∴C∴△ABC 一定为钝角三角形.。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。

因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。

用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。

(2)由三角形面积可得。

再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。

解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。

5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。