2019年韶关市高中必修二数学下期末第一次模拟试卷附答案

高二下学期期末数学试卷一、选择题： DABCC AADCB二、解答题：11．本题考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、古典概型及其概率和运算求解能力，考查了解独立性检验(2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．满分12分． 解：(Ⅰ)∵从评分等级(4，5]的20人中随机选取2人，共有190220=C 种结果，……2分其中恰有1人为男性的共有9618112=C C 种结果，……4分 故所求概率954819096==P ……6分 (Ⅱ)假设0H ：是否满意该商品与买家的性别之间无关 则841.3769.548525050)18203032(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ……11分 因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为满意该商品与性别有关．……12分12．本题考查利用函数导数与函数的极值的关系，求闭区间上函数的最大值、最小值．考查运算求解能力，考查函数与方程与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分12分． 解：(Ⅰ)由12)(23+++=bx ax x x f ，得b ax x x f ++='26)(2，……1分由题知⎩⎨⎧-=+-=+⇒⎩⎨⎧=++=-=+++=629026)1(612)1(b a b a b a f b a f ⎩⎨⎧-==∴123b a ……4分 经检验⎩⎨⎧-==123b a 符合题意……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，11232)(23+-+=x x x x f ，)2)(1(61266)(2+-=-+='x x x x x f ，故20)(-=⇔='x x f 或x ＝1，……6分 列表如下：∵f(2)＝5＜21＝f(－2)，∴f(x)在[－2，2]上的最大值为21，最小值为－6……12分13．本题考查利用合情推理与归纳假设得出结论的思想方法及能力，考查等比数列的求和计算；及考查用数学归纳法等其它直接证明的方法推理论证简单的数学命题的能力． 解：(Ⅰ)由正方形数的特点可知2n a n =；……2分由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为11111012-----=+++=n n n n n n C C C S ，……3分 所以1222211221-=++++=+++=-nn n n S S S T ．……5分(Ⅱ)312,4222=-==T a ，所以712,9;33322=-==>T a T a ，所以;33T a >1512,16444=-==T a ，所以3112,25;55544=-==>T a T a ，所以;55T a <6312,36666=-==T a ，所以;66T a <……猜想：当2≤n ≤4时，n n T a >；当n ≥5时，n n T a <．……8分 证明如下：法1：当2≤n ≤4时，已证；下面用数学归纳法证明：当n ≥5时，n n T a <． ①当n ＝5时，已证；②假设n ＝k(k ≥5，k ∈N *)时，猜想成立，即：k k T a <，所以122-<k k ；那么，1121)12(21221222211++=+>+-=-⋅=-=++k k k T k k k k22)1(12+=++>k k k所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综合①②，可知当n ≥5时，n n T a <．……12分 法2：当2≤n ≤4时，已证；下面证明：当n ≥5时，n n T a <，即证122-<n n ，即证122+>n n ，∵n n n n n n n C C C C ++++=+= 210)11(212222)1(12)(2222210+>++=-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++≥n n n n n n n n n C C C n n n ∴当n ≥5时，n n T a <成立……12分14．本题主要考查分段函数的认识，考查函数、导数、不等式等知识的应用，考查函数思想及转化能力、计算能力及解决实际问题的能力．满分14分． 解：(Ⅰ)当x ∈[30，50]时，设该工厂获利为S ，则700)30(160060)160040(20222---=-+-=+--=x x x x x x S ，……3分所以当x ∈[30，50]时，S ＜0，因此，该工厂不会获利．……4分 当x ＝30时，S 取得最大值－700，所以国家至少需要补贴700万元才能使该工厂不亏损．……5分 (Ⅱ)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+∈+==]50,30[,401600)30,10[,640251)(2x x x x xx x y x P ……7分①当x ∈[10，30)时，x x x P 640251)(2+=，23225)8000(2640252)('xx x x x P -=-= 因为x ∈[10，30)，所以当10≤x ＜20时，P '(x)＜0，P(x)为减函数； 当20＜x ＜30时，P '(x)＞0，P(x)为增函数；所以当x ＝20时，P(x)取得最小值48206402520)20(3=+=P ……10分 ②当x ∈[30，50]时，404016002401600)(=-⋅≥-+=xx x x x P ， 当且仅当xx 1600=， 即x ＝40∈[30,50]时，P(x)取得最小值P(40)＝40．……13分因为48＞40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最低．……14分B 卷(共50分)三、填空题： 15．5； 16．1.75； 17．(0，1)； 18．14； 19．17； 20．①④四、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．21．本题考查概率统计等基础知识，理解取有限个值的离散型随机变量的均值和方差的概念及其计算，考查数据处理能力、推理论证、运算求解能力，能解决一些实际问题，满分12分． 解： (Ⅰ)依题意，41161127=⇒=++a a ……1分 设投入到项目A 和B 的资金都为X 万元变量1X 和2X 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，则1X 和2X 的分布列分别为：由分布列得X X X X E 2.041061)2.0(1274.0)(1=⨯+⨯-+⨯=，……2分 cX bX X E 1.03.0)(2-=，……3分因为)()(21X E X E =，所以0.3b －0.1c ＝0.2，又b ＋c ＝1,解得41,43==c b ； 综上，;41,43,41===c b a ……4分 (Ⅱ)当投入100万元资金时，由(I)知X ＝100，所以20)()(21==X E X E ，60041)200(61)2020(127)2040()(2221=⨯-+⨯--+⨯-=X D ，……5分 30041)2010(43)2030()(222=⨯--+⨯-=X D ，……6分因为)()(21X D X D >，说明虽然项目A 和项目B 的平均收益相等， 但项目B 更稳妥，所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目B ……7分 (Ⅲ)2211100100,100X xY X x Y -==， 所以)100100()100()(2121X xD X x D DY DY x f -+=+=……9分 2212100100)100(DX x DX x ⎪⎭⎫⎝⎛-+=200)3100(1009])100(2[1003222+-=-+=x x x ……11分 所以当3100=x 时，f(x)取得最小值200．……12分 22．本题考查函数导数的几何意义，考查利用函数与导数运算求解、推理论证能力，考查函数与方程与整合思想、数形结合思想及化归与转化思想．满分14分． 解：(Ⅰ)∵xax f =')(，12)(-='bx x g ，……1分 由题知⎩⎨⎧'===)1()1('0)1()1(g f g f ，代入解得：⎩⎨⎧-==-1201b a b ，∴⎩⎨⎧==11a b ……3分(Ⅱ)令22ln )(ln )()()(x x a x x x x a x x g x f x h -=---=--=．……4分∴)0(2)(2>-='x x x a x h ，令h ′(x)＝0，得2a x ±=(∵x ＞0，∴2ax =) ∵ax e 1≤≤且a ＞2e ，∴1e 2>>a，显然2e a a >令h ′(x)＞0得)2,1(a ，∴h(x)在)2,1(a 单调递增； 令h ′(x)＜0得)e ,2(a a ，∴h(x)在)e ,2(a a 单调递减；……6分 故)12(ln 222ln )2()(max -=-===a a a a a a h x h ∵a ＞2e ，∴e 2>a ，∴1e ln 2ln =>a，∴0)2(>a h ，又h(1)＝－1＜0，而0)e )(e (e)e (e ln )e (222<-+=-=-=a a aa aaa a a a h ，∴方程f(x)－g(x)＝x 在],1[a e 上有2个实根……8分 (Ⅲ)2211)()()()(x x x f x f x x x f x f -->-- )0(21x x x <<<．下面证明：……9分∵)1(ln )1(lnln ln )()(111111111-=-=--=--=xx x x xx x x x x x x x x x x x f x f S ，取)1,0(11∈=x x t ， ∴)1(ln 111-=t x t S ，同理，取122>=x x t ，则)1(ln )()(22222-=--=t x t x x x f x f S ，……10分 令)0(1ln )(>-=t t t t F ，∴)0()1(ln 1)1(ln )1(1)(22>---=---='t t t t t t t tt t t F ， 再令t t t t ln 1)(--=φ，则t t ln )(-='φ，……11分 当0＜t ＜1时，0)(>'t φ，∴函数)(t φ在(0，1)上递增； 当t ＞1时，0)(<'t φ，∴函数)(t φ在(1，＋∞)上递减． 故0)1()(max ==φφt ，∴0)1()(=≤φφt ，即F '(t)≤0， ∴F(t)在(0，＋∞)上单调递减……12分 又∵210t t <<，∴)()(21t F t F >，即证1ln 1ln 2211->-t t t t ，……13分 又∵x ＞0，∴222111)1(ln )1(ln S t x t t x t S =->-=，即证得：2211)()()()(x x x f x f x x x f x f -->--……14分高二下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若i 为虚数单位，则关于 1i，下列说法不正确的是A ．1i 为纯虚数B ．1i 的虚部为i -C ．|1i |=lD ．1i在复平面上对应的点在虚轴上 2．下列式子不．正确的是 A.()23cos 6cos sin x x xx x x x '+=+- B. ()sin 22cos2x x '=C ．2sin cos sin x x x x x x -='⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．23112ln x x x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 3．已知复数),,,(,,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，下列命题中：①21,z z 不能比较大小；②若1||1≤z ，则111≤≤-z ；③⎩⎨⎧==⇔=db ca z z 21；④若021=+z z ，则021==z z .其中正确的命题是A ．②③B ．①③C ．③④D ．②④ 4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++5．(A 题）直线t ty t x (32⎩⎨⎧-=+=为参数)的倾斜角等于A ．43π B ．3π C ． 4π D ．6π （B 题）如图，空间四边形ABCD 中，G M ,分别是BC 、CD的中点，则AB +等于A ．ADB ．GAC ．AGD ．MG6．已知二项式n 的展开式中第四项为常数项，则n 等于A ．9B ．6C ．5D ．37．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有 A ．96种B ．48种C ．34种D ．144种8. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两 局才能得冠军．若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．12B ．35C ．34D ．239.已知随机变量ξ和η，其中210+=ξη，且365)(=ηE ，若ξ的分布列如右表，则m 的值为 A ．4760 B ．3760 C ．2760 D ．1810. 已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的 图象如图所示． 下列关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2， 那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的个数是 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知f(x)＝x 3的所有切线中，满足斜率等于1的切线有 条.12．已知61512++++=x x x x C C C ，则=+42x x C .13．复数i ii z +-+=1)1(2，则=||z ．14．俗话说：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，某校三位学生参加数学省举行的数学团体竞赛， 对于其中一题，他们各自解出的概率分别是41,31,51，由于发扬团队精神，此题能解出的概率是 ．15．（A 题）在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB的长度为 ．（B 题）已知α//l ，且l 的方向向量为()1,,2m ，平面α的法向量为⎪⎭⎫⎝⎛2,21,1，则=m ． 16．（A 题）已知函数|32||12|)(-++=x x x f ．若关于x 的不等 式|1|)(-<a x f 的解集非空，则实数a 的取值范围是________．（B 题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，90=∠ABC ，D 、E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为______.17．已知函数322()(0)f x x ax a x m a =+-+>若对任意的]6,3[∈a ，不等式()1f x ≤在]2,2[-∈x 上恒成立，则m 的取值范围是____________.三、解答题（本大题共5小题，共69分） 18．（本题满分13分）已知甲、乙、丙等6人 .（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率.19．（本题满分13分）（A 题）以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点)4,2(--P 的直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222，设直线L 与曲线C 分别交于N M ,；（1）写出曲线C 和直线L 的普通方程；（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值． （B 题）如图，在棱长为1的正方体1AC 中，E 、F 分别为11D A 和11B A 的中点．(1)求平面1ACC 与平面1BFC 所成的锐二面角；(2)若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的取值范围．20．（本题满分14分）某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加．为此，设计了一个挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取3题．通过考察得知：6道备选题中选手甲有4道题能够答对，2道题答错；选手乙答对每题的概率都是23，且各题答对与否互不影响．设选手甲、选手乙答对的题数分别为ξ，η.(1)写出ξ的概率分布列，并求出E(ξ)，E(η)；(2)求D(ξ)，D(η)．请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？21．（本小题满分14分）（A 题）已知+∈R z y x ,,，且1=++z y x ． (1)求证：27111222≥++zy x ； (2)若333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，求实数λ的最大值． （B 题）设函数),,,(,)(23R d c b a d cx bx ax x f ∈+++=． （1）若3)21()(x x f -=，求d c b a -++23的值； （2）若0,31<=b a ，()y f x =在0x =处取得极值1-，且过点(0,0)可作曲线()y f x =的三条切线，求b 的取值范围.22．（本题满分15分）已知函数()()2ln f x x a x a R =+∈． (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，求()a ϕ的最大值；(3)若函数)(x f 的最小值为()a ϕ，,m n 为()a ϕ定义域A 内的任意两个值，试比较()()2m n ϕϕ+与2m n ϕ+⎛⎫⎪⎝⎭的大小．参考答案1212,328t t t t a +=+=+，由22212121212()3t t t t t t t t =-⇒+=2)5(328)a ⇒+=+2340a a ⇒+-=又因为0a >，所以1a =…………………………………………………………………14分（B 题）解: （1）以D 为原点，DA ，DC ，DD 1建立如图所示的直角坐标系，则)0,0,1(A ，1(,0,1)2E ， )0,1,1(B ，)1,21,1(F 平面1ACC 的一个法向量为)0,1,1(=DB ，设平 面1BFC 的法向量为),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=+-=⋅,0)1,0,1(),,(,0211z x z y x BC n z y BF n ∴,2.x z y z =⎧⎨=⎩ 取1z =得平面1BFC 的一个法向量)1,2,1(=n ……………………………………………5分236221||||,cos =⋅+=⋅=〉〈n DB n DB ，因为〉〈n DB ,为锐角， ∴所求的锐二面角为6π． …………………………………………………7分由η～B(3，23)，D(η)＝3×23×13＝23．可见，E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，因此，建议该单位派甲参加竞赛．………………………………………………………………………………………………14分21.（A 题）解：证明（1） +∈R z y x ,,，且3103133≤<⇒≥++=xyz xyz z y x ，27)31(3)(331112233222222=≥=≥++∴xyz z y x zy x 故27111222≥++zy x 当31===z y x 时等号成立……………………………6分 （2） +∈R z y x ,,， 1=++z y x 且333222)(z y x z y x ++≤++λ恒成立，222333z y x z y x ++++≤∴λ恒成立， 2222333333)())((z y x z y x z y x z y x ++≥++++=++又 311)()111)((2222222222≥++⇒=++≥++++z y x z y x z y x 31)(31222333222333≥++++⇒++≥++∴zy x z y x z y x z y x 当31===z y x 时等号成立 31≤∴λ，故实数λ的最大值为31…………………………………………………14分 （B 题）解：（1）d cx bx ax x x f +++=-=233)21()( ，对此等式两边同时求导数得：c bx ax x ++=--23)2()21(322，令1=x 得：623-=++c b a ，又由二项式定理知1=d故71623-=--=-++d c b a ………………………………………………6分 此题还可直接利用二项式定理求出d c b a ,,,的值，然后再求d c b a -++23的值. （2）c bx x x f ++='2)(2，由题意可得'(0)0f =，(0)1f =-，解得1,0-==d c经检验，()f x 在0x =处取得极大值.∴131)(3-+=bx x x f ………………………8分 设切点为00(,)x y ，则切线方程为0'00()()y y f x x x -=-即为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ……………………………………………………9分 因为切线方程为132)2(2030020---+=bx x x bx x y ，把(0,0)代入可得01322030=++bx x ， 因为有三条切线，故方程01322030=++bx x 有三个不同的实根.………………………11分 设)0(0132)(23<=++=b bx x x g bx x x g 22)(2+='，令022)(2=+='bx x x g ，可得0x =和b x -=22. 解： (1)显然0x >，且xax f +='2)(……………………………………………1分 ① 当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内单调递增； ② 当0a <时，若0,2a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()0f x '<，函数单调递减； 若,2a x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>函数单调递增…………………………4分 (2)由(1)知，当0a ≥时，函数()f x 在定义域内单调递增，所以)(x f 无最小值. 当0a <时，2a x =-时，)(x f 最小，即()ln 22a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()ln 2a a ϕ⎛⎫'=-⎪⎝⎭因此，当2a <-时，()0a ϕ'>，函数()a ϕ单调递增； 当20a -<<时，()0a ϕ'<，函数()a ϕ单调递减；故()a ϕ的最大值是()22ϕ-=…………………………………………………………8分 (3) 由(1)知{}|0A a a =<,极小值即最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故()ln 922a a a f a a ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分对于任意的,m n A ⊂且m n ≠有，()()ln ln 22ln 222224m n m m n n m n m n m n m n M n ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪++⎡+++⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22ln ln ln ln ln 1122222422m m n n m n m n m m n n m n m n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分 不妨设0m n <<，则1m n >，令()1mt t n=>则 ()()2222ln ln ln ln 22221111m m n m n n m n t n t m m n t t n n ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设()()()22ln ln ln 2ln 1ln 2ln 111t u t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+=-++-+⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()ln 2ln 21ln(1)t t t t =+-++所以2()ln 2ln(1)ln()1t u t t t t '=-+=+，因为221110111t t t t t t t ----==>+++即211tt >+，所以()0u t '>，即函数()u t 在()1,t ∈+∞上单调递增. 从而()(1)0u t u >=，但是02n <，所以()()022m n m n ϕϕϕ++⎛⎫-< ⎪⎝⎭即)2(2)()(nm n m +<+ϕϕϕ……………………………………………………………14分侧视图主视图高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知i 是虚数单位，若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等，则=a （A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 （2）若集合{}0,1,2A =，{}24,B x x x N =≤∈，则AB =（A ）{}20≤≤x x（B ）{}22≤≤-x x （C ）{0,1,2} （D ）{1,2}（3）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为 （A） （B） （C（D （5）在区间[]1,4-上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为 （A ）23 （B ）15 （C ）52 （D ）14（6）已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点，则椭圆的离心率为（A）37 （B ）13（C ）14 （D ）17（7）以下函数，在区间[3,5]内存在零点的是（A ）3()35f x x x =--+ （B ）()24xf x =-（C ）()2ln(2)3f x x x =-- （D ）1()2f x x=-+（8）已知(2,1),(1,1)a b ==，a 与b 的夹角为θ，则cos θ=（A（B（C（D（9）在图1的程序框图中，若输入的x 值为2，则输出的y 值为（A ）0 （B ）12 （C ）1- （D ）32- （10）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的侧面积是 （A ）76 （B ）70 （C ）64 （D ）62DC 1B 1CBA （11）设2()3,()ln(3)x f x e g x x =-=+，则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为（A ）[5,1]- （B ）(3,1]- （C ）[1,5]- （D ）(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（A ）∞（-,-2） （B ）1∞（-,-) （C ）(1,+)∞ （D ）(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． （13）函数()cos f x x x =+的最小正周期为 ．（14）已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ，则y x -2的最小值为 .（15）已知直线l ：0x y a -+=，点()2,0A -，()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥， 则实数a 的取值范围为 .（16）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知2,b =3B π=，且△ABC 的面积S =a c += .三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==；数列{}n b 满足12b a =，25b a =，数列{}n n b a -为等比数列． (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S ． （18）（本小题满分12分）某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取5人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X 型车，高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人，求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.（19）（本小题满分12分）如图3，已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形，D 为1AC 的中点，AC⊥平面BCC 1B 1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB 1; （Ⅱ）若AC=BC=1，BB 1,（1）求BD 的长；（2）求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 （20）（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C ：224230x y x y +---=交于M ，N 两点. （Ⅰ）设线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程; （Ⅱ）若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. （21）（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若对任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()213022f x x ax +++≤成立，求实数a 的取值范围．请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14，得曲线C. （Ⅰ）写出C 的参数方程；（Ⅱ）设直线l ：410x y ++=与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. （Ⅰ）若2a =-，解不等式5)(≥x f ；（Ⅱ）如果当x R ∈时，()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题：（10）依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯. （11）(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤，注意 到30x +>，即3x >-，故31x -<≤.（12）当0a =时，函数2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意，故0a ≠，2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，令'()0f x =得0x =或2x a =，由题意知，0a >，且2()0f a>，解得2a >．二、填空题：（15）问题转化为求直线与圆2x y +=有公共点时，的取值范围，数形结合易得a -≤（16）由余弦定理得2222cos 4b ac ac B =+-=，即224a c ac +-=，1sin 2S ac B ===4ac =，故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==，------------------------------------------------------------------------------1分∴1(1)n a a n d n=+-=，------------------------------------------------------------------------------3分∵12b a ==2，25b a ==5，∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-，-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=，∴13n n b n -=+；-------------------------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分EA BCB 1C 1D(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 （18）解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯， ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯；-------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解法1：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3)，共10种可能；----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有：111213(,),(,),(,)a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种，------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分【解法:2：记抽取的2名高一学生为12,a a ，3名高二的学生为123,,b b b ，------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为：12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能；--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有：12(,)a a 一种，-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=.---------------------------------------------------------------------------12分（19）解：（Ⅰ）证明：连结1BC 交1B C 于E ，连结DE ， ------------------------------------------1分 ∵D、E 分别为1AC 和1BC 的中点，∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 （Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC 1B 1，BC ⊂平面11BCC B ， ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =，∴BC ⊥平面1ACC ， ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分在Rt BCD ∆,∵BC=1，1112CD AC ===,∴BD =;----------------------------------------------------------------------------------------------------8分【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】 （2）解法1：∵BC ⊥平面1ACC ，BC//B 1C 1 ∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2：取1CC 中点F,连结DF ， ∵DF为△1ACC 的中位线，∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分∵AC ⊥平面11CBB C ，从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅111132212=⨯⨯=. --------------------------------12分 （20）解法（Ⅰ）将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=,----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--= 整理得:222210x y x y +--+=,------------------------------------------------------------------------4分 ∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交, ∴点P的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---= 得2230y y --=,解得1y =-或3y =, 不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设,------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k +==-++,------------------------------------------------------------------------9分由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±,---------------------------------------------------------------------------------------------11分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =+. --------------12分 （21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()ln 1f x x '=+，令'()0f x =得1x e=，-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <，当1x e>时，'()0f x >， ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，----------------------------------------4分 ∴函数()f x 无极大值， 当1x e =时，函数()f x 在(0,)+∞有极小值，11()()f x f e e==-极小，--------------------------5分 （Ⅱ）当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()213022f x x ax +++≤，得3ln 22x a x x≤---，--------------6分记()3ln 22x g x x x =---，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-，当∈x 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭时，得'()0g x >，当∈x ()1,e 时， '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,e 上单调递减，---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()3122e g e e=---， ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ，∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即实数a的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦．------------------------------------------------------------12分 选做题：（22）解：（Ⅰ）由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=，--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数）；----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由题知，121(,0),(0,1)4P P --，--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1P 2中点11(,)82M --，---------------------------------------------------------------------------7分 ∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14， 故线段P 1P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分 即832150x y --=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得 其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分（23）解：(Ⅰ)当a ＝－2时，f(x)＝|x －2|＋|x ＋2|， ①当2x ≤-时，原不等式化为：25,x -≥解得52x ≤-，从而52x ≤-；-------------------------1分 ②当22x -<≤时，原不等式化为：45≥，无解；---------------------------------------------------2分③当2x >时，原不等式化为：25,x ≥解得52x ≥，从而52x ≥；----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时，|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时，()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------（*） 当2a ≥时，（*）等价于23,a a -≥-解得52a ≥，从而52a ≥；----------------------------------8分 当2a <时，（*）等价于23,a a -≥-无解；------------------------------------------------------------9分 故所求a的取值范围为5[,+2∞）.--------------------------------------------------------------------------10分高二下学期期末数学试卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）A ．ˆ510yx =- B ．ˆ510y x =+ C ．ˆ510y x =-- D ．ˆ510y x =-+ 2．已知随机变量X 的分布列如右图所示，则E(6X ＋8)＝( )A ．13.2B ．21.2C ．20.2D ．22.23．6)3(y x +的二项展开式中，42y x 项的系数是（ ）A ．90B ．45C ．270D ．1354．将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A ．18种B ．36种C ． 48种D ．60种5.过点(0，2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)互相垂直的直线方程为( )．A.⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－tD.⎩⎨⎧x ＝2－3ty ＝t6．已知x,y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且0.95,y x a a ∧=+=则A ．2．2B ．2．7．若直线的参数方程为12()24x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为( )A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 8．直线1:0l x y +-=与直线2,2:(x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）的交点到原点O 的距离是（ ） 9．已知随机变量ξ服从正态分布N （2，a 2），且P （ξ＜4）=0.8，则P （0＜ξ＜2）=（ ）A ．0.6 B．0.4 C ．0.3 D ．0.2 10．若随机变量X 的分布列如表:则E(X)=( )A.181 B.91 C.9 D.2011.若P(2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝5C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝012．甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为32，则甲以1:3的比分获胜的概率为（ ） A ．278 B ．8164C ． 94D ．98二、填空题（每小题5分，共计20分）.13.已知55443322105)21(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则=++++54321a a a a a ________；14．把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A ，第二次出现正面为事件B ，则P(B|A)等于________． 15．已知点A 为椭圆x225＋y29＝1上任意一点，点B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB|的最大值为_______16．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的参数方程为{cos sin x y θθ==（θ为参数），直线l 的极坐标方程为cos()63πρθ-=．点P 在曲线C 上，则点P 到直线l 的距离的最小值为________．三、解答题（共70分,写出必要的计算或证明步骤）.17．（10分）已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．18．（12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为5．（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由． 下面的临界值表供参考：1 (参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19．（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23. (1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差．20. （12分）设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋tcos α，y ＝4＋tsin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)． (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率．(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．21．（12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为23，且相互间没有影响. (1）求选手甲进入复赛的概率；(2) 设选手甲在初赛中答题的个数为X ，试求X 的分布列和数学期望.22．（12分）某高校在2018年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第3，4，5组的频率； (2)若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试， (ⅰ)已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；75 80 85 90 95错误!0.010.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05(ⅱ)学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L 面试，求ξ的分布列和数学期望．高二下学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，满分50分，每小题5分，每小题给出四个选项，只有一个是符合题目要求的。

2019-2020学年广东省韶关市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，集合B 为正整数集，则A B =（ ）A ．1,0,1,2B ．{}1C ．{}0,1,2D ．{}1,2【答案】D【解析】解一元二次不等式可得{}|12A x x =-≤≤，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为集合{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，集合B 为正整数集，所以{}1,2AB =.故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.2．设复数z 满足()14i z i +=，则z =（ ）A ．2B C ．2D ．【答案】D【解析】转化条件为41iz i=+，由复数的除法运算可得22z i =+，进而可得复数的模. 【详解】因为()14i z i +=，所以()()()41444221112i i i i z i i i i -+====+++-，所以z ==.故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．命题“对任意x ∈R ，都有20x x ->”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有20x x -≤B ．存在0x R ∈，使得2000x x -≤C ．存在0x R ∈，使得2000x x ->D ．不存在0x R ∈，使得2000x x -≤【答案】B【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可. 【详解】命题“对任意x ∈R ，都有20x x ->”是全称量词命题，则命题的否定是：存在0x R ∈，使得2000x x -≤.故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4．若将一个骰子随机掷两次，设前后两次得到的点数分别为x ，y ，则事件1x y -=的概率为（ ） A ．518B ．536C ．16D ．136【答案】A【解析】先确定前后两次得到的点数构成的总事件数，再确定事件1x y -=包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】将一个骰子随机掷两次，共有36种基本事件，其中1x y -=包含(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)这10种基本事件， 因此概率为1053618= 故选：A 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知平面向量a 与b 均为单位向量，且3a b -=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒ B ．120︒C ．30D ．150︒【答案】B【解析】由平面向量数量积的运算可得2222a b a a b b -=-⋅+，进而可得12a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，再由平面向量数量积的定义可得cos α，即可得解. 【详解】因为平面向量a 与b 均为单位向量，且3a b -=， 所以()22222223a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=-⋅=，所以12a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦， 所以1cos 2a ba bα⋅==-⋅，所以120α=.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】=，进而可得b =，再由双曲线离心率公式e =. 【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 设其中一个焦点()(),0,0F c c >，则222+=a b c则焦点到渐近线的距离bcd b c====， 所以该双曲线的离心率3c e a ====.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 7．已知函数()()22ln ||xxf x x -=+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的性质以及特殊点的位置，即可根据排除法解出． 【详解】因为函数()()22ln ||xxf x x -=+定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()f x f x -=， 所以函数()()22ln ||xxf x x -=+为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ；又因为()10f =，可排除C ；()()10f e f >=，可排除A ． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，数列{}n b 为等比数列，且77b a =，则113b b ⋅=（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】A【解析】由等差数列的性质及前n 项和公式可得74a =，再由等比数列的性质可得21137b b b ⋅=，即可得解.因为数列{}n a 为等差数列， 所以1131371313522a a S a +=⨯==，所以74a =， 所以774b a ==，又数列{}n b 为等比数列，所以2113716b b b ⋅==.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．若a ，b ，c 满足11102a =，4105b =，5ln 2c =，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【解析】转化条件为()1102048a =，()110625b =，由幂函数的性质可得1a b >>；由对数函数的性质可得ln 1c e <=，即可得解. 【详解】 因为()()111111101010222048a ===，()()411410101055625b ===，所以1a b >>， 又5lnln 12c e =<=，所以1c b a <<<. 故选：C. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及幂函数、对数函数单调性的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.10．设抛物线28y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为Q ，过点Q 作斜率为()0k k <的直线交抛物线于,A B 两点，若2AF BF =，则k 的值为（ ）A ．3-B ．C ．-D ． 【答案】A【解析】联立方程，借助韦达定理即可建立关于k 的方程，解之即可. 【详解】方法一：（韦达定理消去x ）抛物线的焦点为()2,0F ，准线2x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12AF x =+，22BF x =+，由2AF BF =得12222x x ，即有1222x x =+①，联立28y x =与直线()2y k x =+的方程得()22224840k x k x k +-+=，则有()2122480k x x k k-++=<②，124x x =③.由①、②得124,1x x ==，代入②中得()224850k k k -+=<，解得k =A . 方法二：（韦达定理消去y ）设抛物线的准线:2m x =-，分别过,A B 作AA m '⊥，BB m '⊥，由2AF BF =得2AA BB ''=，则有2QA QB ''=.设()11,A x y 、()22,B x y 从而有122y y =.联立28y x =与直线()2y k x =+的方程得28160ky y k -+=，则有128y y k +=①，1216y y =②，由122y y =则有12283y y y k+==③，2122216y y y ==④，消去2y 得()2890162k k ⎛⎫⎪⎝⎭=<，解得3k =-，故选A. 方法三：（几何法）设抛物线:2m x =-，分别过,A B 作AA m '⊥，BB m '⊥，由2AF BF =得2AA BB ''=，则有2QA QB ''=，则B '是QA '的中点，设(),A A A x y 、(),B B B x y ，从而有2A B y y =.则B 是QA 的中点，则有12OB AF =（O 是原点），而12BF AF =，则OB FB =，故点B 在线段OF 的垂直平分线上，则1B x =，从而B y =-，则A y =-，4A x =，故k =故选A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，考查了韦达定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、多选题11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是棱PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ，则有（ ）A ．异面直线PA 与BD 所成角大小为3π B ．平面PAC ⊥平面PBD C ．PB ⊥平面EFD D ．BD ED ⊥【答案】ABC【解析】连接AC 交BD 于O ，连接EO ，即可得EOD ∠或其补角即为异面直线PA 与BD 所成角，即可判断A ；由线面垂直的性质与判定可得AC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定可判断B ；利用线面垂直的性质与判定即可判断C ；由DE ⊥平面PBC 可知DE EB ⊥，即可判断D.【详解】对于A ，连接AC 交BD 于O ，连接EO ，如图，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点，所以//EO PA ， 所以EOD ∠或其补角即为异面直线PA 与BD 所成角， 不妨设1PD DC ==，则2PA BD PC ===，所以22EO OD DE ===， 所以3EOD π∠=，所以异面直线PA 与BD 所成角为3π，故A 正确； 对于B ，由PD ⊥底面ABCD 可得PD AC ⊥， 又因为BD AC ⊥，所以AC ⊥平面PBD ，由AC ⊂平面PAC 可得平面PAC ⊥平面PBD ，故B 正确； 对于C ，由PD ⊥底面ABCD 可得PD BC ⊥，又因为CD BC ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥，又PD DC =，E 是棱PC 的中点，所以DE PC ⊥，所以DE ⊥平面PBC ， 所以DE PB ⊥，因为EF PB ⊥，所以PB ⊥平面EFD ，故C 正确；对于D ，由DE ⊥平面PBC 可知DE EB ⊥，故BD ED ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的判定与性质及异面直线所成角的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.12．已知函数()2sin cos f x x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C ．函数()()1g x f x =+在区间[]0,2π上有且仅有3个零点 D ．若()()122f x f x +=，则1222k x x ππ+=+（k Z ∈） 【答案】AD【解析】由三角函数的周期性可判断A ；由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x =，结合三角函数的图象与性质即可判断B ；按照30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦、3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭分类，即可判断C ；由三角函数的图象与性质可得111,42k x k Z ππ=+∈，222,42k x k Z ππ=+∈，即可判断D ；即可得解. 【详解】由题意()sin 2,22222sin cos ,3sin 2,2222x k x k f x x x k Z x k x k ππππππππ⎧-+<≤+⎪⎪==∈⎨⎪-+<≤+⎪⎩， 对于A ，因为()()()()22sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ+=++==， 所以()f x 是周期函数，故A 正确； 对于B ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin 2f x x =，[]20,x π∈，所以函数()f x 不单调，故B 错误； 对于C ，当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()()1sin 21g x f x x =+=+， 因为[][]20,3,4x πππ∈，所以此时函数()g x 有一个零点；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1sin 21g x f x x =+=-+，因为()2,3x ππ∈，所以此时函数()g x 有一个零点； 所以函数()g x 在[]0,2π只有两个零点，故C 错误；对于D ，()()1212sin 2sin 22f x f x x x +=+=，所以12sin 2sin 21x x ==， 所以1sin 21x =±，2sin 21x =±， 所以1112,2x k k Z ππ=+∈，2222,2x k k Z ππ=+∈，所以111,42k x k Z ππ=+∈，222,42k x k Z ππ=+∈， 所以()121212,42422222k k k k k k Z x x ππππππππ++++=+=+=∈+，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三、填空题13．tan 750︒=______.【解析】由题意结合诱导公式可得tan750tan30︒=︒，即可得解. 【详解】由题意()tan 750tan 7503602tan 30︒=︒-︒⨯=︒=【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14．在6x⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项. 【详解】二项展开式通项为：366622666rr r r r r r r C x C x x C xx ----⋅⋅=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15 【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.15．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.如图，在“鳖臑”A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，且BD CD ⊥，1AB BD CD ===，点P 在侧棱AC 上运动，当PBD △的面积最小时，三棱锥P BCD -的外接球表面积为______.【答案】94π【解析】过点P 作PO BC ⊥于O ，ON BD ⊥于N ，连接PN ，由线面垂直的判定与性质可得PN BD ⊥，设PC x =，由平面几何的知识可得3x PO =33x ON -=，进而可得23332322PN x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭PBD △的面积最小时， P 为AC 的中点；确定球心所在直线后，列方程确定外接球的半径，由球的表面积公式即可得解. 【详解】过点P 作PO BC ⊥于O ，ON BD ⊥于N ，连接PN ，如图，则//PO AB ，//ON CD ，所以PO ⊥平面BCD ， 所以PO BD ⊥，BD ⊥平面PON ，所以PN BD ⊥， 由1AB BD CD ===可得2BC =3AC =设PC x =，由PO PC AB AC =可得33xPO =， 由ON OB AP CD BC AC ==可得33ON =， 所以222223332233333PN P N x x O x x O ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭-+⎝ 23332322x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当PBD △的面积最小时，PN 最小，此时3x =即P 为AC 的中点， 所以O 也为Rt BCD 斜边的中点，1222BO CB ==，1122PO AB ==， 所以三棱锥P BCD -的外接球的球心在直线PO 上，设为1O ，设外接球半径为r ，连接1O B ，则22211222O B r ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以 2221222r r ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34r =， 所以三棱锥P BCD -的外接球表面积22394444S r πππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭.故答案为：94π.本题考查了几何体外接球表面积的求解及线面位置关系的应用，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.四、双空题16．直线y x b =+被圆()()22114x y -+-=截得的弦长的最大值是______；若该圆上到此直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有4个，则b 的取值范围是______.【答案】4 (【解析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条件为圆心到直线的距离[)0,1d ∈，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆()()22114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为2，所以当直线y x b =+过圆心时，截得的弦长最大，最大值为4； 若要使该圆上到此直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有4个，则圆心到直线的距离[)0,1d ==，所以(b ∈.故答案为：4；(. 【点睛】本题考查了由圆的标准方程确定圆的圆心和半径，考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题.五、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =，1b a -=，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3π （2）2【解析】借助余弦定理进行“角转边”，得出222a b c ab +-=，利用余弦定理求出cos C ，得出角C ，已知边c 和角C ，利用余弦定理列出,a b 关系式，与1b a -=联立，求出,a b 的值，求出面积.（1）由2cos 2c B a b =-得：222222a c b c a b ac+-=-，∴ 222a b c ab +-=，∴ 2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，∴ 3C π=.（2） 3C π=,c =∴ 223a b ab +-=，又1b a =+，∴ 220a a +-=，∴ 1a =或2a =－（舍去），∴1a =，2b =，c =∴ 2ABC S ∆=.【点睛】解三角形问题是高考高频考点，一般出自解答题的17题，考查灵活应用正弦定理、余弦定理进行“角转变、边转角”解三角形，因此正弦定理和余弦定理的各种变形使用显得极为重要.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，636S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足2142n n b a n =+-（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列通项公式及前n 项和公式可得112a d =⎧⎨=⎩，再由等差数列的通项公式即可得解； （2）由题意11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再由裂项相消法即可得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为23a =，636S =，所以113656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-； （2）由题意()()()221114221212142n n b a n n n n n ===+-+--+- 11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以1231111111233557112121n n T b b b b n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-⋅⋅⋅+ ⎪⎝-+⎭-11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的基本量运算，考查了裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14A D A A ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为24时，求二面角1N A P M --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）43；（3）26-.【解析】（1）连接1B C ，ME ，由平面几何的知识结合长方体的性质可得四边形MEDN 为平行四边形，进而可得//MN ED ，由线面平行的判定即可得证；（2）由长方体的几何特征结合平面几何的知识可得1C ED S △，由三棱锥的体积公式结合11C C DE C DCE V V --=即可得解；（3）由线面角的概念可得1AP =，建立空间直角坐标系，求得平面1NA P 的一个法向量m 、平面1A PM 的一个法向量n ，由cos ,m n m n m n⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：连接1B C ，ME ，如图，因为E 、M 分别是BC 、1BB 的中点，所以1//ME B C 且112ME B C =， 又N 是1A D 的中点，所以112ND A D =， 结合长方体的性质可得//ME ND 且ME ND =， 所以四边形MEDN 为平行四边形，所以//MN ED ，又MN ⊄平面1C DE ，ED ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE ； （2）因为14A D A A ==，2AB =，1111ABCD A B C D -为长方体， E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点，所以221125C E CE C C =+=221125C D CD C C =+=，2222ED CD EC =+=所以1C ED △为等腰三角形，其底边上的高为221322DE C E ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以11223262C ED S =⨯⨯=△， 设点C 到平面1C DE 的距离为h ，则11123C C DE C ED V S h h -=⋅=△， 又11111182243323C C DE C DCE DCE V S C V C --==⋅⨯⨯⨯⨯==△，所以823h =，解得43h =，所以点C 到平面1C DE 的距离为43；（3）连接AN ，如图，由PA ⊥平面11A ADD 可得ANP ∠即为直线PN 与平面11A ADD 所成角， 又2211112222AN A D AD AA ==+=241AP AN ==, 分别以DA 、DC 、1DD 作为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()14,0,4A ，()4,1,0P ，()2,0,2N ， 所以()10,1,4A P =-，()12,0,2A N =--， 设平面1NA P 的一个法向量为(),,m x y z =， 则1140220m A P y z m A N x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1z =则()1,4,1m =-，易得平面1A PM 的一个法向量()1,0,0n =，所以cos ,61m n m n m n⋅===-+⋅，因为二面角1N A P M --为钝角，所以二面角1N A P M --的余弦值为6-. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及等体积法解决点到平面的距离问题，考查了空间向量的应用，属于中档题.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，短轴一个端点与右焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()0,3P 且与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=，（2 【解析】（1）根据条件得a ，再根据离心率得,,c b 即得椭圆C 的方程；（2）根据条件可设直线l 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求OAB 面积，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为短轴一个端点与右焦点的距离为2，所以2a =，因为离心率为2，所以2c c a ==，因此b =从而椭圆C 的方程为22142x y +=（2）由题意得直线l 斜率存在，可设为:3l y kx =+与22142x y +=联立得，22(12)12140k x kx +++=设()1122,,(,)A x y B x y ， 则2221212221214,,(12)414(12)4(814)1212k x x x x k k k k k-+==∆=-⨯+=-++1||2O ABS AB d-∴===令21218tt St=>∴=≤=+当且仅当2k=±时取等号，即OAB.【点睛】本题考查椭圆标准方程、直线与椭圆位置关系、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.21．某地的一个黄金楼盘售楼中心统计了2020年1月到5月来本楼盘看楼的人数，得到如下的相关数据.其中“1x=”表示1月份，“2x=”表示2月份，依此类推；y表示人数）：（1）试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测几月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）该楼盘为了吸引购楼者，特别推出“玩掷硬币游戏，送购楼券”活动，购楼者可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则购楼者可获得购楼券5000元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则购楼者可获得购楼券2000元，已知抛掷一枚均匀的硬币，出现正面（印有中国人民银行）朝上与反面朝上的概率是相等的，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，购楼者每抛掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若正面朝上，遥控车向前移动一格（从k到1k+），若反面朝上，遥控车向前移动两格（从k到2k +），直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n（119n≤≤）格的概率为nP，试证明{}1n nP P--是等比数列，并求购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率.附：线性回归方程y bx a=+中的斜率与截距：1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑，a y bx=-.【答案】（1）4226y x=-；预计8月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人；（2）证明见解析；2021132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）计算出x 、y 、51i ii x y =∑、521ii x=∑后，代入公式即可得b 、a ，进而可得线性回归方程；令4226300y x =->，结合x 为正整数即可估计月份； （2）由概率的加法和乘法公式可得121122n n n P P P --=+，进而可得()11212n n n n P P P P ----=--，即可证明{}1n n P P --是等比数列；再由等比数列的通项公式结合累加法即可得19P ，即可得解. 【详解】 （1）由题意1234535x ++++==，20501001501801005y ++++==，511202503100415051801920i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，522222211234555ii x==++++=∑，所以515222151920531004255535i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，从而10042326a y bx =-=-⨯=-，所以所求线性回归方程为4226y x =-；令4226300y x =->，x 为正整数，所以8x ≥， 故预计8月份来该楼盘看楼的人数能超过30000人； （2）遥控车开始在第0格为必然事件，所以01P =， 若第一次掷硬币正面朝上，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =， 遥控车移到第()219n n ≤≤格的情况有且只有两种：①遥控车先移到第1n -格，又掷出正面朝上，其概率为112n P -；②遥控车先移到第2n -格，又掷出反面朝上，其概率为212n P -； 所以121122n n n P P P --=+，所以()11212n n n n P P P P ----=--， 又1012P P -=-， 所以当119n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项为12-，公比为12-的等比数列， 所以112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()()()0102132191819P P P P P P P P P P =++++⋅⋅⋅+----2023191112111111222212⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭20202121113232⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以购楼者参与游戏一次获得购楼券5000元的概率为2021132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解与应用，考查了概率与数列的综合应用及运算求解能力，属于中档题.22．已知函数()()()2ln 1f x a x x x +-=+（其中a R ∈）.（1）当0a =时，求函数()f x 在坐标原点处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的极值点个数，并说明理由. 【答案】（1）y x =；（2）见解析.【解析】（1）当0a =时，对函数求导，由导数的几何意义即可得解；（2）对函数求导，令()[)221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，按照0a =、809a <≤、89a >、0a <分类，求得()0g x >、()0g x <的解集，进而确定函数()f x 的单调区间，结合函数极值点的概念即可得解.【详解】（1）当0a =时，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+， 所以()00f =，()01f '=，所以函数()f x 在坐标原点处的切线方程为y x =；（2）由题意函数()f x 的定义域为()1,-+∞， ()2121211ax ax a f x ax a x x +-+'=-+=++， 令()[)221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞， ①当0a =时，()10g x =>，()0f x '>，此时函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，函数无极值点；②当0a >时，()()242198a a a a a ∆=-⨯⨯-+=-， （i ）若809a <≤，0∆≤，此时()0g x ≥，()0f x '≥， 函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，函数无极值点；（ii ）若89a >，>0∆，设()0g x =的两根为1x 、2x （12x x <）， 二次函数221y ax ax a =+-+图象的对称轴为直线14x =-， 又()12110g a a a -=--+=>，所以12114x x -<<-<， 所以当()()121,x x x ∈-+∞时，()0g x >，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<；所以函数()f x 的单调增区间为()()121,,x x -+∞，单调减区间为()12,x x ， 所以函数()f x 有两个极值点；③当0a <时，()980a a ∆=->，设()0g x =的两根为1x 、2x （12x x <），二次函数221y ax ax a =+-+图象的对称轴为直线14x =-， 又()110g -=>，所以12114x x <-<-<，所以当()21,x x ∈-时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以函数()f x 有1个极值点；综上，当0a <时，函数()f x 有1个极值点；当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有2个极值点. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及利用导数解决函数极值点的问题，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.。

最新高中必修二数学下期末一模试卷(含答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．8π3- C ．83D ．7π3- 3．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）A ．1b =rB ．a b ⊥r rC ．1a b ⋅=r rD ．()4C a b +⊥B u u u r rr4．若,αβ均为锐角，5sin 5α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B ．2525C 25或2525D ．525-5．若||1OA =u u u v ，||3OB u u u v0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D 36．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23 B ．24C ．25D ．267．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．788．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>12．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o二、填空题13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.15．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______. 16．在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C--的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________． 17．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．18．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.19．若两个向量a v 与b v 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯v v”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=v v v v .若已知1a =v ，5b =v ，4a b ⋅=-v v ，则a b ⨯=v v .20．已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =u u u v u u u v，则点P 的坐标为________三、解答题21．a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =.（1）求cos B ；（2）若3a =，17b =ABC ∆的面积.22．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==.（1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．23．已知圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线与圆C 相切.（2）当直线与圆C 相交于A 、B 两点，且22AB =时，求直线的方程. 24．在ABC V 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 25．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．26．某校高一()1班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．(1)求分数在[)50,60的频数及全班人数；(2)求分数在[)80,90之间的频数，并计算频率分布直方图中[)80,90间矩形的高； (3)若要从分数在[)80,100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[)90,100之间的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．B解析：B 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故利用棱锥的体积减去半个圆锥的体积，就可求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为21118222123233ππ-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查由三视图判断几何体的结构，考查不规则几何体体积的求解方法，属于基础题.3．D解析：D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+u u u r u u u r r Q rr ,AC AB b ∴=+u u u r u u u r r ,b AC AB BC ∴=-=u u u r u u u r u u u r r ．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭or r r r r ．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r 212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭o u u u r u u u r ．()4a b BC ∴+⊥u u u r r r ．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．4．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，sin 2α= s，∴α＞45°且5cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=，且1325＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4355=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,OC OA ∴<>=u u u r u u u r2OC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r()mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2= 1OA =Q，OB =，0OA OB ⋅=u u u r u u ur=229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．7．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.8．A解析：A 【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

2019年高中高二下册数学期末考试试题答案2019年高中高二下册数学期末考试试题答案【】查字典数学网为大家带来2019年高中高二下册数学期末考试试题答案，希望大家喜欢下文!三.解答题(75分)16. (本小题满分12分)如图，(I)求证：(II)17. (本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。

每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大?18. (本小题满分12分)已知函数(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值19. (本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知cosA= ，sinB= C。

(1)求tanC的值；(2)若a= ，求△ABC的面积。

20. (本小题满分13分)已知椭圆C：的两个焦点分别为，且椭圆C经过点.(Ⅰ)求椭圆C的离心率.(Ⅱ)设过点的直线与椭圆C交于M，N 两点，点Q是MN上的点，且，求点Q的轨迹方程。

21. (本小题满分14分)已知函数其中是实数，我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。

广东省韶关市2019-2020学年数学高二下期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．等差数列{}n a 中，2583a a a ++=，n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则9S =( ) A ．9B ．18C ．27D ．542．已知,x y R ∈，那么“0xy >”是“0x >且0y >”的 A ．充分而不必要条件 B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()(ln )xe f x k x x x=--，若()f x 只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A ．(,)e -+∞B ．(,)e -∞C ．(,]e -∞D ．1(,]e-∞4．已知曲线()ln a f x x x=+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．25．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+ B ．cos cos a b b a ->- C ．sin sin a b a b ->-D ．sin sin a b b a ->-6．由数字0，1，2，3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为（ ） A ．12B ．20C ．30D ．317．设a ＝log 54，b ＝（log 53）2，c ＝log 45，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ） 参考公式：0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．12人B ．18人C ．24人D ．30人9．函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，若定点A 在直线1x ym n+=()0,0m n >>上，则3m n +的最小值为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1210．执行如图所示的程序框图，若输出的120S =，则判断框内应填入的条件是( )A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >11．4名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A ．4种B ．16种C ．64种D ．256种12．函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2B 2C ．4D ．6二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．要对如图所示的四个部分进行着色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，现有五种不同的颜色可供选择，则共有_______种不同的着色方法.（用数字作答）①②④③14．从0,1,2,3,,9这十个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是6的概率为 __________．15．设随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(14)0.8P ξ-<<=，则(05)P ξ<<=__________．16．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()31(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设实部为正数的复数z ，满足5z =且复数()13i z +在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ；(2)若复数()21i 2i 25z m m ++-+-为纯虚数，求实数m 的值.18．数列{}n a 满足112,2+-==n n a a a ，等比数列{}n b 满足1148,==b a b a .（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19．（6分）已知函数()ln mf x x x=+. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x m x ≥+-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 20．（6分）在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程 （2）若直线与曲线的两个交点分别为,直线与轴的交点为,求的值.21．（6分）已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的不恒为零的函数，对于任意非零实数,a b 满足()()()f ab f a f b =+，且当1x >时，有()0f x >.（Ⅰ）判断并证明()y f x =的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，并求不等式(1)0f x -<的解集.22．（8分）已知椭圆M 的方程是2212x y +=，直线y x m =+与椭圆M 交于A 、B 两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+，求m 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质求得a 5，再由考查等差数列的前n 项和公式求S 2． 【详解】在等差数列{a n }中，由a 2+a 5+a 8＝3，得3a 5＝3，即a 5＝2． ∴S 2()19559299922a a a a+⨯⨯====．故选：A ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 2．C 【解析】 【分析】先利用取特殊值法判断x•y ＞0时，x ＞0且y ＞0不成立，再说明x ＞0且y ＞0时，x•y ＞0成立，即可得到结论． 【详解】若x ＝﹣1，y ＝﹣1，则x•y ＞0，但x ＞0且y ＞0不成立， 若x ＞0且y ＞0，则x•y ＞0一定成立， 故“x•y ＞0”是“x ＞0且y ＞0”的必要不充分条件 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】由2()()(1),(0,)x kx e f x x x x -∈'=-+∞，令()0f x '=，解得1x =或x e k x =，令()xeg x x=，利用导数研究其单调性、极值，得出结论. 【详解】221(1)()()(1)(1),(0,)x x e x kx e f x k x x x x x--=--=-∈+∞'， 令()0f x '=，解得1x =或xek x=，令()x e g x x =，可得2(1)()x e x g x x '-=，当1x =时，函数()g x 取得极小值，(1)g e =，所以当k e <时，令()0f x '=，解得1x =，此时函数()f x 只有一个极值点， 当k e =时，此时函数()f x 只有一个极值点1，满足题意， 当k e >时不满足条件，舍去.综上可得实数k 的取值范围是(,]e -∞，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、方程与不等式的解法、分类讨论思想，属于难题. 4．D 【解析】 【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan 14f π'==可求出a 的值． 【详解】()ln a f x x x =+，()21a f x x x'∴=-， 由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题． 5．A 【解析】 【分析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >. 取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确； 同理可得：CD 正确. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 6．D 【解析】 【分析】分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是3的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数. 【详解】两位数：含数字1，2的数有22A 个，或含数字3，0的数有1个. 三位数：含数字0，1，2的数有1222C A 个，含数字1，2，3有33A 个. 四位数：有1333C A 个. 所以共有212313222333131A C A A C A ++++=个.故选D.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被3整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题. 7．D 【解析】 【详解】∵a ＝log 54＜log 55＝1， b ＝（log 53）2＜（log 55）2＝1， c ＝log 45＞log 44＝1， 所以c 最大单调增，所以又因为所以b<a 所以b<a<c. 故选D ． 8．B 【解析】 【分析】设男生人数为，女生人数为，完善列联表，计算解不等式得到答案.【详解】设男生人数为，女生人数为喜欢抖音 不喜欢抖音 总计男生女生总计男女人数为整数 故答案选B 【点睛】本题考查了独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9．D 【解析】 【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点()1,3A ，将点A 的坐标代入1x ym n+=，结合题意，利用基本不等式可得结果. 详解：1x =时，函数12(0,1)x y a a a -=+>≠值恒为3，∴函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,3A ，又点A 在直线1x y m n +=上，131m n∴+=， 又(),0,331m n m n m n >∴+=+⋅()133m n m n ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭933n m m n =+++96212n mm n≥+⋅=，（当且仅当3m n =时取“=”）， 所以，3m n +的最小值为12，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 10．B 【解析】 【分析】分析程序中两个变量和流程图可知，该算法为先计算后判断的直到型循环，模拟执行程序，即可得到答案. 【详解】 程序执行如下故当6k =时120S =，程序终止，所以判断框内应填入的条件应为5k >. 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止循环的条件是解题关键 11．B 【解析】根据题意，每个同学可以在两个课外活动小组中任选1个，即有2种选法， 则4名同学一共有222216⨯⨯⨯=种选法； 故选B. 12．A 【解析】102,446{2,46210,6x x y x x x x x -≤=-+-=<<+≥,如图所示可知,2y ≥,因此最小值为2,故选C.点睛:解决本题的关键是根据零点分段去掉绝对值,将函数表达式写成分段函数的形式,并画出图像求出最小值. 恒成立问题的解决方法(1)f(x)<m 恒成立，须有[f(x)]max <m ；(2)f(x)>m 恒成立，须有[f(x)]min >m ；(3)不等式的解集为R ，即不等式恒成立；(4)不等式的解集为∅，即不等式无解． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．180 【解析】分析：需要先给①着色，有5种结果，再给②着色，有4种结果，再给③着色有3种结果，最后给④着色，有3种结果，相乘得到结果．详解：需要先给①着色，有5种结果，再给②着色，有4种结果，再给③着色有3种结果，最后给④着色，有3种结果，则共有5433180⨯⨯⨯=种不同的着色方法.． 即答案为180.点睛：本题考查分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏． 14．528【解析】本题考査古典概型.从10个数中任取5个不同的数，有510252C =种方法，若5个数的中位数为6,则只需从0,1,2,3,4,5中选两个，再从7,8,9中选两个不同的数即可，有226345C C =种方法，故这5个数的中位数为6的概率45525228P ==. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 15．0.8【解析】分析：根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴2x =，根据正态曲线的特点，得到()()1045P P ξξ-<<=<<，从而可得结果. 详解：随机变量X 服从正态分布()22,N σ，2μ∴=，得对称轴是2x =，所以()()1045P P ξξ-<<=<<，可得(05)P ξ<<= ()04(45)P ξξ<<+<<= ()04(10)(14)0.8P P ξξξ<<+-<<=-<<=，故答案为0.8.点睛：本题考查正态曲线的性质，从形态上看，正态分布是一条单峰，对称呈种形的曲线，其对称轴x μ=，并在x μ=时取最大值，从x μ=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说明曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的. 16．21- 【解析】 【分析】画出奇函数()f x 的图像，将题意转化为函数()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标的和 【详解】由1()()02g x f x =-=，得1()2f x =，则1()()2g x f x =-的零点就是()f x 的图象与直线12y =的交点的横坐标.由已知，可画出()f x 的图象与直线12y =（如下图），根据3(1)=x f x --的对称性可知：6E D x x +=，同理可得6A B x x +=-，则0A B D E x x x x +++=从而A B C D E C x x x x x x ++++=，即12y =与2log (1)(01)y x x =+<的交点的横坐标. 由21log (1)2x +=，解得21C x =，即1()()2g x f x =-的所有零点之和为21-. 【点睛】 本题考查了函数零点和问题，解题关键是转化为两个函数的交点问题，需要画出函数的图像并结合函数的性质来解答，本题需要掌握解题方法，掌握数形结合思想解题三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）2i -；（2）3-.【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解，设(,0)z a bi a b R a =+∈>且，由题意得到关于,a b 的方程组求解即可．（2）根据纯虚数的定义求解．【详解】(1)设(,0)z a bi a b R a =+∈>且，由|z |5= ，得又复数()()()()1333i a bi a b a b i ++=-++在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上， 则，即．由2225a b a b =-⎧⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩或21a b =-⎧⎨=⎩（舍去）， ∴2z i =-．（2）由题意得()()22212252m 31i z m i i m m m ++-+-=+-+-， ∵复数()21i 2i 25z m m ++-+-为纯虚数， ∴解得∴实数m 的值为3-．【点睛】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理，求解过程中常常涉及到方程思想的运用．18．（1）2n a n =,2n n b =；（2）2(1)24n n +-+.【解析】分析：（1）由已知可得数列{}n a 为等差数列，根据等差数列的通项公式求得n a ；再求出1b 和4b ，进而求出公比，代入等比数列的通项公式，即可求得数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列的前n 项和n T .详解：解：（1）112,2n n a a a +-==，所以数列{}n a 为等差数列，则()2122n a n n =+-=；11482,16b a b a ====，所以3418,2b q q b ===，则2n n b =. （2）12n n n n c a b n +==，则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++- 整理得()2124n n T n +=-+.点睛：本题主要考查等差数列、等比数列的定义与通项公式，考查错位相减法求数列前n 项和，考查学生运算求解能力.错位相减法是必须掌握的求和方法之一：若n n n c a b =⋅，其中{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为(1)≠q q 的等比数列.具体运算步骤如下：1、写出新数列的和.1122-1-1=+n n n n n S a b a b a b a b +++ (1)2、等式左右同时乘以等比数列部分的公比q .12231+1=n n n n n qS a b a b a b a b -++++ (2)3、两式相减. （1）-（2）整理得：1123+11-=+()n n n n q S a b d b b b a b （）+++-注意：首项系数为正，末项系数为负，中间有1n -项.4、求n S .1211+1(1)+1=1n n n n db q a b a b q S q----- 最后再化简整理为最简形式即可.19．（Ⅰ）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（Ⅱ）(],2-∞【解析】【分析】（1）求出()f x '，当1m =时，求出()0,()0f x f x ''><的解即可；（2）所求的问题为ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立，设()ln 1m g x x x m x=++--，[1,)x ∈+∞，注意(1)0g =，所以()g x 在[1,)x ∈+∞递增满足题意，若存在区间0[1,)x 递减，则不满足题意，对a 分类讨论，求出()g x 单调区间即可.【详解】（Ⅰ）当1m =时，()()1ln 0f x x x x =+>， 则()22111x f x x x x-'=-=. 所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.（Ⅱ）由()1f x m x ≥+-，得ln 10m x x m x ++--≥在[)1,+∞上恒成立.设()ln 1m g x x x m x =++--，则()22211m x x m g x x x x+-'=-+=. 设()()21h x x x m x =+-≥， ①当2m ≤时，()0h x ≥，则()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立， ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=在[)1,+∞恒成立，所以当2m ≤时，ln 10m x x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立； ②当2m >时，令()20h x x x m =+-=，得1x =或2x （舍去）.所以当x ⎛∈ ⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 是⎛ ⎝⎭上的减函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 是12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上的增函数.所以当1141,2m x ⎛⎫-++∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10g x g ≤=. 因此当2m >时，ln 10m x x m x ++--≥不恒成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.20．（2），；（2）2.【解析】分析：(2)消去参数t 可得直线l 的普通方程为x ＋y －2＝2．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝2．化为极坐标即ρ＝4sin θ．(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t 2－3t ＋2＝2，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t 2·t 2|＝2．详解：(2)直线l 的参数方程为(为参数)， 消去参数t ，得x ＋y －2＝2．曲线C 的参数方程为 (θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝2．令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ．(2)在直线x ＋y －2＝2中，令y ＝2，得点P(2，2)．把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－3t ＋2＝2，∴t 2＋t 2＝3，t 2t 2＝2． 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t 2·t 2|＝2． 点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21． (1)见解析;(2)(0,2).【解析】分析：⑴先求出()10f =，继而()10f -=，令1a -＝代入得()()f x f x -=⑵构造()1122x f x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，然后利用已知代入证明 详解：（Ⅰ）()f x 是偶函数由已知得()()()111f f f =+，∴()10f =，()()()111f f f =-+-，∴()10f -=()()()1f x f f x -=-+，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.（Ⅱ）设120x x >>，则121x x >，∴120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭所以()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,+∞上为增函数. 因为()()101f x f -<=，又()f x 是偶函数，所以有11x -<，解得02x <<∴不等式()10f x -<的解集为()0,2.点睛：本题证明了抽象函数的奇偶性和单调性，在解答此类题目时方法要掌握，按照基本定义来证明，先求出()1f 和()1f -的值，然后配出形式，单调性要构造1122x x x x =⋅，然后按照已知法则来证明。

广东省韶关市2019-2020学年数学高二第二学期期末复习检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对2．已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则A ．-2B ．2C ．-98D ．983．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ） A ．3 B ．32 C ．33 D ．04．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =-C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=- 5．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．21-D ．31-6．运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．0B ．12C ．-1D ．32- 7．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25- B ．3 C ．3- D ．258．若函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y ＝log a |x|的图象大致是( ) A ． B ． C ． D ．9．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r ）等于A ．AD u u u rB ．FA u u u rC ．AF u u u rD ．EF u u u r10．已知函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若关于x 的方程()()()210f x a f x a ⎡⎤+--=⎣⎦有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[]2,4C ．()2,1--D ．(],4-∞11．已知平面向量a r ，b r 的夹角为23π，(0,1)a =-r ，2=r b ，则2a b +=r r （ ） A ．4B ．2C ．22D ．312．设232i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．713- B ．713 C ．713i - D ．713i 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在ABC △中，内角A 、B 、C 满足不等式1119A B C π++≥；在四边形ABCD 中，内角A 、B 、C 、D 满足不等式1111162A B C D π+++≥；在五边形ABCDE 中，内角A 、B 、C 、D 、E 满足不等式11111253A B C D Eπ++++≥.猜想，在n 边形12n A A A L 中，内角12,,,n A A A L 满足不等式12111nA A A +++≥L __________． 14．已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =______.15．在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y x =与椭圆()222210x y a b a b+=>>在第一象限内交于点P ，且以OP 为直径的圆恰好经过右焦点F ，则椭圆的离心率是______.16．已知球的半径为R ，A B 、为球面上两点，若A B 、之间的球面距离是3R π，则这两点间的距离等于_________三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，32=AD .（1）求sin ADB ∠；（2）若32DC =ABCD 的面积.18．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ＝＝，求随机变量X 的分布列与均值. 19．（6分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1,2,3,4,5；4个白球编号分别为1,2,3,4，从袋中任意取出3个球．（I ）求取出的3个球编号都不相同的概率；（II ）记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列与数学期望．20．（6分）从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同. (Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；(ⅱ)求抽到红球次数η的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列.21．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.22．（8分）二次函数2()f x ax bx c =++满足11()()44f x f x -+=--,且()2f x x <解集为3(1,)2- （1）求()f x 的解析式；（2）设()()g x f x mx =-()m R ∈,若()g x 在[1,2]x ∈-上的最小值为4-,求m 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．C【解析】试题分析：在正方体''''ABCD A B C D -中，与上平面''''A B C D 中一条对角线''A C 成60o 的直线有''BC B C ，，','A D AD ，','A B AB ，','D C DC 共八对直线，与上平面''''A B C D 中另一条对角线60o 的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有166⨯对直线，去掉重复，则有166=482⨯对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.2．A【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.故选A3．B【解析】【分析】利用函数的定义即可得到结果.【详解】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x=2，此时旋转6π，此时满足一个x 只会对应一个y ， 故选B ．【点睛】本题考查函数的定义，即“对于集合A 中的每一个值，在集合B 中有唯一的元素与它对应”(不允许一对多).4．D【解析】【分析】对A ，B ，C ，D 四个选项逐个进行二次求导，判断其在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的符号即可得选项. 【详解】若()sin cos f x x x =+，则()sin cos f x x x ''=--， 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()ln 2f x x x =-，则21()f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若3()21f x x x =-+-，则()6f x x ''=-，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''<； 若()x f x xe -=-，则()2(2)x x x f x e xe x e ''---=-=-.在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，恒有()0f x ''>，故选D. 【点睛】 本题主要考查函数的求导公式，充分理解凸函数的概念是解题的关键，属基础题．5．A【解析】【分析】利用点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点()0,A c ，且A 在椭圆上，得b c =，即得椭圆C 的离心率；【详解】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===． 故选A ．【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．6．B【解析】 由题设中提供的算法流程图可知22017cos cos cos 333S πππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos 3f x x π=的周期是263T ππ==，而201763361=⨯+，所以220171cos cos cos cos 33332S ππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B ．7．D【解析】【分析】根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，可得222221cos sin cos cos sin 2cos sin cos 2cos sin a a a a a a a a a a ++=+=+ 221tan 1321tan 135a a ++===++，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．A【解析】由函数y ＝a |x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，得0<a<1.y ＝log a |x|在()0,∞+上为单调递减，排除B,C,D又因为y ＝log a |x|为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确.故选A.9．C【解析】【分析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】BC uuu r -BD u u u r ＝DC u u u r ，11()22BC BD DC DF -==u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r ）AD DF AF =+=u u u r u u u r u u u r ． 故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．10．C【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f （x ）的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围．详解：函数()123,0,21,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象如图：关于f 2（x ）+（a ﹣1）f （x ）﹣a=0有7个不等的实数根，即[f （x ）+a][f （x ）﹣1]=0有7个不等的实数根，f （x ）=1有3个不等的实数根，∴f （x ）=﹣a 必须有4个不相等的实数根，由函数f （x ）图象可知﹣a ∈（1，2），∴a ∈（﹣2，﹣1）．故选：C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．11．B【解析】【分析】 将2a b +r r 两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果.【详解】依题意2a b +==r r 2===.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量模的坐标表示，属于基础题.12．B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得z ，进而可得z 的虚部.【详解】∵()()()()2322473232321313i i i z i i i i ---===-++-， ∴413713z i =+， ∴z 的虚部是713，故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．2n n (-2)π【解析】【分析】观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案。

广东省韶关市2019年高一下学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知集合，，则 =（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·桂林模拟) 如图, 空间四边形ABCD中，若，则与所成角为（）A .B .C .D .3. （2分）函数的递减区间为（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·北京) 若x，y满足|x|≤1-y，且y≥-1.则3x+y的最大值为（）A . -7B . 1C . 5D . 75. （2分） (2016高三上·杭州期中) 平面向量与的夹角为60°， =（2，0），| |=1，则| +2 |=（）A .B . 2C . 4D . 126. （2分）已知角a终边上一点p（），则2sin2a-3tana=（）A .B .C .D . 07. （2分）如图给出了函数y=ax,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2,的图象，则与函数y=ax,y=logax,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2,依次对应的图象是（）A . ①②③④B . ①③②④C . ②③①④D . ①④③②8. （2分） (2017高三下·银川模拟) 当时，，则 a 的取值范围是（）A . （0，）B . （，1C . （1，）D . （，2）9. （2分）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A . 112B . 80C . 72D . 6410. （2分）函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 311. （2分）(2017·山西模拟) 已知在△ABC中，b2+a2﹣c2＜0，且b＞a，sinA+ cosA= ，则tanA=（）A . 或B .C .D . 或12. （2分）三个数，之间的大小关系是（）A . b<c<aB . c<b<aC . b<a<cD . a<c<b二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·新宁月考) 计算：3（5 -4 )-6（ -2 )=________。

新高中必修二数学下期末一模试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么它的通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．41n a n =-D ．41n a n =+3．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +4．要得到函数223cos sin 23y x x =+-的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 5．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π6．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 7．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最小值为 A ．1B ．C ．D ．8．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）9．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．7810．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称 11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题13．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________． 14．已知函数32()21f x x x ax =+-+在区间上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是____________15．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______. 16．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u ur u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 17．直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．18．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝02的点共有________个．19．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.20．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．三、解答题21．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:122．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ； 23．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程^^^t yb a =+（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（6t =）的人民币储蓄存款.附：回归方程^^^t y b a =+中1122211()(),{().n niii ii i nni ii i x x y y x y nxyb x x xnx a y bx ====---==--=-∑∑∑∑24．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个； ②若8xy ≥，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 25．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．26．某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，当2n ≥时，221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.3．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数据1210,,,y y y L 的方差为2144⨯=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．4．C解析：C 【解析】化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】依题意2ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位.所以选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确；f8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos8ππ33⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B正确；∵f(x＋π)＝cosππ3x⎛⎫++⎪⎝⎭＝－cosπ3x⎛⎫+⎪⎝⎭，∴fππ6⎛⎫+⎪⎝⎭＝－cosππ63⎛⎫+⎪⎝⎭＝－cos2π＝0，故C正确；由于f2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos2ππ33⎛⎫+⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D错误．故选D.7．D解析：D【解析】【分析】先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由等差数列的前项和公式可得，所以，，由等差数列的基本性质可得，，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

新高中必修二数学下期末一模试题及答案一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．103．已知ABC V 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=uu u r uu u r，()()1AQ AC λλ=-∈R u u u r u u u r ，若32BQ CP ⋅=-uu u r uu r ，则λ=（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222± 4．(2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛5．已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（ ） A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或C ．{}21x x -<<D ．{}21x x x <->或6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+7．若,αβ均为锐角，25sin 5α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=A ．25B ．2525 C ．25或2525D ．2525-8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π10．在ABC V 中，已知,2,60a x b B ===o，如果ABC V 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦11．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．1512．在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o二、填空题13．已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__. 14．已知2a b ==r r ，()()22a b a b +⋅-=-r r r r ，则a r 与b r的夹角为 . 15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.16．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．17．若(2,1)x ∃∈--，使不等式()24210x xm m -++>成立，则实数m 的取值范围为________.18．函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．19．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____． 20．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 三、解答题21．已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．22．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且4cos ,25B b ==. （1）当π6A =时，求a 的值； （2）当ABC ∆的面积为3时，求a+c 的值．23．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v，且//a b v v ，a c ⊥v v .（1）求b v 和c v ；（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.24．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；25．ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ=u u u r u u u r ,1(1)2BF BC λλ=<<u u ur u u u r ,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当23λ=时，设,BA a BC b ==u u u r r u u u r r ，用向量,a b r r 表示EF u u u r ；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅u u u r u u u r取得最大值，并求出最大值．26．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且23n s n n =+；（1）求它的通项n a .（2）若12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴Q V 是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．3．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+u u u r u u u r u u u r ，CP CA AP =+u u u r u u u r u u u r，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=.故选：A. 4．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式5．A解析：A 【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得,a b ；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx ++>Q 的解集为{}12x x -<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <1212122ba a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选：A 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积． 【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ． 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之．∵α为锐角，252sin α=＞s ，∴α＞45°且5cos α= ， ∵()3sin 5αβ+=，且132252＜＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα453252555=-⨯+⨯=．故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．D解析：D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．A解析：A【解析】【分析】已知,,a b B，若ABCV有两组解，则sina Bb a<<，可解得x的取值范围.【详解】由已知可得sina Bb a<<，则sin602x x︒<<，解得23x<<.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABCV中，已知,,a b B且B为锐角，若0sinb a B<<，则无解；若sinb a B=或b a≥，则有一解；若sina Bb a<<，则有两解.11．C解析：C【解析】选取两支彩笔的方法有25C种，含有红色彩笔的选法为14C种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105CpC===.本题选择C选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些. 12．A解析：A【解析】【分析】由题意，取AC的中点O，连结1,BO C O，求得1BC O∠是1BC与侧面11ACC A所成的角，在1BC O∆中，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BOAC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．二、填空题13．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数 3【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x πϕ=--,再根据图象关于y 轴对称可求得()2cos2f x x =-,再结合余弦函数的图像求出最值即可.【详解】因为函数()()()3sin 2cos 2f x x x ϕϕ=---2sin(2)6x πϕ=--的图象关于y 轴对称,所以πππ62k ϕ--=+,即()2ππ,3k k Z ϕ=--∈. 又2πϕ<,则π3ϕ=,即()2sin(2)2cos22f x x x π=-=-. 又因为π5π612x -≤≤,所以π5π236x -≤≤,则当5π26x =,即5π12x =时,()f x 取得最大值5π2cos 36-=. 故答案为：3.【点睛】判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如：若()sin y x ωϕ=+为奇函数,则π,Z k k ϕ=∈；若()sin y x ωϕ=+为偶函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为偶函数,则π,Z k k ϕ=∈； 若()cos y x ωϕ=+为奇函数,则ππ+,Z 2k k ϕ=∈. 14．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：解析：60︒【解析】【分析】【详解】 根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-r r r r ，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-r r r r ，1cos ,602θθ︒⇒== 15．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60o【解析】【分析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DEDF DD DC ==Q ，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴，所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠.易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=o .故答案为：60o .【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.16．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】 数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则2122221333n n T -=++++L 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【解析】【分析】令将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题即可求得参数范围【详解】令由可得则问题等价于存在分离参数可得若满足题意则只需令令则容易知则只需整理得解得故答案为：【点睛】本题考查由存在性问题 解析：()4,5-【解析】【分析】令2x t =，将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题，即可求得参数范围.【详解】令2x t =，由(2,1)x ∃∈--可得11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()24210x x m m -++> 则问题等价于存在11,42t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2210m m t t -++>， 分离参数可得221t m m t +->- 若满足题意，则只需221mint m m t +⎛⎫->- ⎪⎝⎭， 令()22111t h x t t t +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令1m t =，()2,4m ∈ 则()2,2,4y m m m =--∈，容易知41620min y =--=-， 则只需220m m ->-，整理得2200m m --<，解得m ∈()4,5-.故答案为：()4,5-.【点睛】本题考查由存在性问题求参数值，属中档题.18．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出解析：3π 【解析】 试题分析：因为sin 3cos 2sin()3y x x x π=-=-，所以函数sin 3cos y x x =-的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到． 【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．19．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析：323+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解． 【详解】解：x 1>Q ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++-- ()123x 13233x 1≥-⋅+=+-，（当且仅当313x =+取等号） 故答案为233+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．20．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及y x的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆22(2)3x y -+=.y x的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率 由图可知：max 33y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即y x 3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.三、解答题21．（152）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l Q ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=，故直线1l 与2l 的距离2261d 5512-===+ ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C e所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．22．（1）53a =（2）a c +=【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系式，求出sin B ，利用正弦定理求出a 即可．（2）通过三角形的面积求出ac 的值，然后利用余弦定理即可求出a +c 的值．试题解析:解：（1）43cos ,sin 55B B =∴=Q . 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==可得. 53a ∴=. （2）ABC ∆Q 的面积13sin ,sin 25S ac B B ==， 33,1010ac ac ∴==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得4=22228165a c ac a c +-=+- ,即2220a c +=. ∴()()22220,40a c ac a c +-=+=，∴a c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.23．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v ；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r ，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r的坐标； （2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】 （1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，5m ∴==u r，n ==r设m u r 与n r 的夹角为θ，cos ,2m n m n m n⋅∴===-⋅u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则34πθ=. 因此，向量m u r 与向量n r 的夹角为34π. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.24．（1）()1122n n T n +=-⋅+（2）证明见解析,n a n =【解析】【分析】（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2n n b n =•，利用错位相减求出n T 。

【必考题】高中必修二数学下期末一模试题(含答案)一、选择题1．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ） A ．43B ．10C ．10D ．82．已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 3．已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( ) A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．5．已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．606．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．607．设正项等差数列的前n 项和为，若，则的最小值为A ．1B ．C ．D ．8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10．（2018年天津卷文）设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为 A ．6B ．19C ．21D ．4511．若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-12．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示）14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.15．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________16．等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________．17．在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有________个． 18．设，则________19．函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.20．已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．三、解答题21．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC 外接圆的半径，222a c b +-=，其中S 为ABC 的面积． （1）求sin C ；（2）若23a b -=-，求ABC 的周长．23．已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .24．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．25．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，． （1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.26．ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【解析】 【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.2．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下，对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．4．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.7．D解析：D 【解析】 【分析】先利用等差数列的求和公式得出，再利用等差数列的基本性质得出，再将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由等差数列的前项和公式可得，所以，，由等差数列的基本性质可得，， 所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。