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初中实际问题与一元二次方程
数学解题技巧大招
第一种类型：增长(下降)率模型
列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：平均增长率公式为a(1+x)^n=b (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)
(2)降低率问题：平均降低率公式为a(1-x)^n=b (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
第二种类型：利润问题(销售问题)
在利润问题中，常有销售量随销售价格的变化而变化的问题，在这些问题中总存在着数量关系：“日利润=单件利润×日销售数量”，这类问题通常可以列一元二次方程求解.
要解决这类型的问题，我们必须熟记利润问题常用的公式，即：
利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本);
总利润=每件的利润×总件数
这里特别要说明的是，在没有打折的时候，标价就是售价，而售价就是消费者付的钱，标价就是标签上的价格。
进价就是成本价，也就是老板进货的钱，也可以理解为老板给的钱。
利润就是老板赚的钱或亏的钱。
第三种类型：几何面积模型
面积问题常与长方形有关，经典的是类似于“草坪中修建小路”的问题。
如下图中的问题：
具体解法是：
解：设草坪四周道路的宽为x米，
则草坪的长为(32-2x)米，宽为(20-2x)米. 依题列方程为： (32-2x) (20-2x)=540
解方程得x1=1，x2=25
当x=25时，20-2x<0，因此不合题意，舍去; 答：图中道路的宽是1米.。
[列方程解决实际问题的基本步骤]并求解。
[多媒体展示]根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？师：下面我们尝试求解表格信息问题，首先解决此类问题的关键在于理解题干内容，从题干中获取信息。
生：师：结合题目内容，你觉得这两个结果都符合题意吗？生：结合题目信息，人均消费不低于500元，则x=70时人均消费400元不符合题意，故删去，所以参加本次旅游人数为40人。
[多媒体展示]典例2 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下：师：尝试求解本题？生：设参加这次旅游的员工有x人，∵30×80=2400<2800，∴x>30．根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70．当x=40时，80-（x-30）=70>55，当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．答：A公司参加这次旅游的员工有40人．教师通过多媒体展示表格类问题的求解过程，加深同学理解，难点为理解题干内容，从题干中获取信息列方程并求解，结合实际生活选择合适的解。
通过配套例题，举一反三，进而消化本节课所学内容【师生互动】教师通过多媒体，展示表格问题的求解过程，加深理解。
[多媒体展示]如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm²？师：设x s后△DPQ的面积等于28cm²，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt△DAP、 Rt△PBQ、 Rt△QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程。
生：师：动点类问题的解题思路为在动点中观察图形的变化情况，需理解动点在图形不同位置情况，才能做好计算推理过程。
9．实际问题与一元二次方程（二）增长率与利润问题
归预习纳
1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x ，根据题意，可列方程________________．
例题讲解
【例】．2011年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元，三月份此新房均价降为每平方米8100元，求二、三月份此新房均价的平均月下降率．
基础题训练
1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。
已知两次降价的百分率都为x ,那么x 满足的方程是（ ）
A ． 10081)1(2=+x
B ．2100(1)81x -=
C ．2100(1%)81x -=
D ． 1002
x ＝81
2.某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增产率．设该果园水果产量的年平均增长率为X ，则根据题意可列方程为（ ）
A ．100)1(1442=-x
B ．144)1(1002=-x 100)1(1442=+x D ．144)1(1002=+x
3.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设该厂八，九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程为（ ）
A ．196)1(502=+x
B ．50＋196)1(502=+x
C ．196)1(50)1(50502=++++x x
D ．196)21(50)1(5050=++++x x
4．某电视机厂2008年生产一种彩色电视机，每台成本3000元，由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至2010年这种彩电每台成本仅为1920元，设平均每件降低成本的百分数为x ，根据题意，可列方程____________________．
5．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345．6元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是____________．
6.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元。
（1）如果第二天，第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率．
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
中档题训练
7．2006年1月6日，李宪生市长在武汉市第十一届人民代表大会第四次会议上的《政府工作报告》中指
出：过去的五年，是武汉经济发展实现新跨越的五年生产总值(GDP )由2000年的1207亿元增加到2005年的2238亿元，平均增长13％，按以上数据，下列说法：①2002年生产总值为1207(1＋13％)2亿元；②2003年生产总值为2238(1－13％)亿元；③2004年生产总值为13
.012238 亿元；④按2005年武汉市总人口850万计算，2005年武汉市人均GDP 超过2．6万元，其中正确的是 ( )
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②③
D ．①②④
8．两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元，生产一吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产一吨甲种药品的成本是1800元，生产一吨乙种药品的成本是2160元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
9． 小丽为学校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件时，单价为80元，如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？
10．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：
⑴商场日销售量增加____件，每件商品盈利_______元(用含x 的代数式表示)；
⑵在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？。
