七年级数学上册4.3.3余角和补角课件(新版)新人教版

A
动动脑
C
B O
练一练
1、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个 角的余角是多少度？
解另：解设：这设个这角个的角度的数余为角x的，度则数依为题x意，得
1则80它的x补角4(可90设为x()x 90) . x x 9060 4x
90 6x0=3300
答答：：这这个个角角的的余余角角的的度度数数为为3300。。
余角与补角
学习目标
1、掌握余角与补角的概念和性质，并能熟 练应用性质进行求值运算。 2、会利用方位角来描述物体的方位。
观赏意大利名胜比萨斜塔
1和 2有什么关系？
1
2
1和 2有什么关系？
1
2
3和 4有什么关系？
43
3和 4有什么关系？
43
2 1
4 3
如果两个角的 和为90 ，就说这两个角互为余角。
互余的互角余是的否两一个定角是一锐定角都？是锐角。
3
1
2
4
如果两个角的 和为180 ，就说这两个角互为补角。
一个角的补角是否一定是钝角？
帮找朋友 的余角 的补角
80
10
100
45
70 39'
45
19 21'
90
135
109 2个角AOB ，但人不能进入围 墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
B
CB
1 O
2 1
AO 3
A
D
2 3
2和 3都是1的余角，它们有什么关系？
同角的余角相等
例1 1与2互余，3与4互余，如果2=4， 那么1与3相等吗？为什么？
1 2
3 4
等角的余角相等

或∠2是∠1的余角
1 解得： x =60
两个锐角之和都等于90° 两个锐角之和都等于90°
角 的余角是
，补角是
O 同一个角的补角比余角大90°
同一个锐角的补角比余角大 ∠1 = 90°—∠2
B
A M 同一个锐角的补角比余角大
已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数
A
M
说明它们相等的原因。
若两个角互补,则一个为锐角,一个为钝角.
同一个角的补角比余角大90°
理解互为余角和互为补角的概念 由题意得180－x=3x
A
DB
( ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3互为余角.
∠1是∠2的余角，
或∠2是∠1的余角
理解互为余角和互为补角的概念
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？ 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
对应 图形
性质
பைடு நூலகம்同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
提高题:
认真观察下面的图形，回答下列问题： 一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中每一个角都是另一个角的余角。
ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线。
（1）图中有哪几对互余的角？ 45°+45°= 90°
（1）图中有哪几对互余的角？
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为 什么？
1
2
3
4
余角性质： 同角或等角的余角相等
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如 果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？

∠的补角是（180 °—∠ ）
5、如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是_____∠__B_O_D___ ②∠AOD的余角是____∠__C__O_D___ ③∠DOB的补角是_____∠__A_O__D__
2
13
3
3
3
4
∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2 与∠4相等吗？为什么？
x
∠α的余角
85°
58° 45° 13°
27°37′ 90° x
∠α的补角
175°
148°
135°
103°
117°37′ 180° x
从上面这张表格中,你还能得到什么信息?
若一个角的补角等于它的余角的3倍，求这 个角的度数。
1.
对应图形 数量关系 性质
互为余角
互为补角
1 2
21
∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
14
4
4
4
2
3
∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与 ∠4相等吗？为什么？
分析:由∠1与∠2互余,可得∠2=90°-_____ ∠1
由∠3与∠4互余,可得∠4=90°-_____ ∠3
答:因为∠1=∠3, 这就是∠2=∠4
所以90°-∠1= 90°-∠3,
等角的余角相等
分析:由∠1与∠2互补,可得∠2=180°-_____∠1
北
B
D
北
40°
东
西O 60°
A
东
西O 60°
A
南 C南
一艘渔船从O 点沿北偏东30°的方向以8千米/时的速度 行驶3小时到达A 处后，接到风浪警报，欲立即调头以16 千米/时的速度向正西方向行驶，争取1.5小时到达小岛B 处.A、B两处的距离是多少？B处在O点北偏西多少度？ O、B两点的距离是多少？

D
F
1
A
第六页，共十八页。
新课讲解
1.已知∠α是锐角，则∠α的余角可表示为 90°-∠α ，∠α
的补角可表示为
180°-∠.若α∠α的补角是它的3倍，则
∠α= 45. °
2.已知∠1与∠3互补，∠2与∠4互补.若∠1＝∠2，那么∠3和 ∠4 相等吗？为什么？
∠1与∠3互为补角，∠2与∠4互为补角，∠1=∠2,那 么∠3=180°-∠1,∠4=180°-∠2，所以∠3=∠4.
第十一页，共十八页。
新课讲解
分析：要找图中互余的角，就是要找和 为 90°度的两个角.
解：因为A，O，B在同一直线上，所以∠AOC 和 ∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC、∠BOC，
所以∠COD +∠COE
＝
1 2
(∠AOC+∠BOC)
＝90°
第十二页，共十八页。
新课讲解
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第十六页，共十八页。
拓展与延伸
如图①，∠AOC和∠DOB都是直角． （1）如果∠DOC＝32°，求∠AOB的度数；
（2）找出图①中相等的锐角，并说明相等的理由；
（3）在图②中，利用三角板画一个与∠FOE相等的角．
第十七页，共十八页。
拓展与延伸
解：（1）因为∠DOC＝32°，∠AOC＝90°，所以∠AOD＝58°.
练一练 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
互为余角：10°和80°，30°和60°；互为补角：10°和 170°，30°和150°，60°和120°，80°和100°.
第十页，共十八页。
新课讲解
知识点2 余角和补角的应用 如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分

数量关系 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º, 所以∠4=180º－∠3.
那么 ∠2＝180º－∠1，
有的角与∠1的和等于180º，例如（
）
∠1+ ∠2 = 90 °
根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 有的角与∠1的和等于180º，例如（ ∠1+ ∠2 = 90 ° 定义中的“互为”是什么意思？ 定义中的“互为”是什么意思？
第四章 ·几何图形初步 等角
的补角相等.
所以， ∠COD 和∠COE互为余角，
（1）一个角是70º39′，求它的余角和补角.
解：因为A，O，B在同一直线上,
（2）∠1=90º－∠2,则∠1与∠2的关系为___________.
4 . 3 角 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
运用新知
（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则__∠__1_＝__∠__3__，根据是＿＿同＿角＿的＿余＿角＿相＿等 . （2）若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补， 且∠3＝∠6, 则__∠__4_＝___∠__5_， 根据是＿＿等＿角＿的＿补＿角＿相＿等＿＿.
例题讲解
它的余角是90º－70例º39′=19º如21′，图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE
1
3 2
4
由∠1与∠2互补，得∠1＋∠2＝180º，所以 ∠2＝180º－∠1. 由∠3与∠4互补，得∠3＋∠4＝180º, 所以∠4=180º－∠3. 又因为∠1＝∠3，180º－∠1＝180º－∠3，所以∠2＝∠4.
归纳
等角（同角）的补角相等. 对于余角是否也有类似性质？
等角（同角）的余角相等.

2019/5/18 AOC=∠BOC,即OC平分∠ 精选中小学课件 所以∠ AOB. 13
知识点一 余角和补角 1.(2018广东茂名三中月考)如果一个角的度数为13°14',那么它的余角的 度数为 ( A.76°46' C.86°56' ) B.76°86' D.166°46'
答案 A 根据余角的定义,一个角的度数为13°14',则其余角度数是90° -13°14'=76°46'.故选A.
2019/5/18
精选中小学课件
10
题型一 互余、互补性质的综合运用 例1 一个角的补角比它的余角的 还多60°,求这个角. 分析 先用字母表示这个角,然后根据角的关系列出方程,求出这个角 的度数. 解析 设这个角为x°,则它的余角为(90-x)°,补角为(180-x)°. 根据题意,得180-x= (90-x)+60,解得x=30, 因此这个角是30°.
3 2 3 2
点拨 在解几何题时,我们经常运用设未知数、列方程的方法来解决问
题,这样能使问题变得简洁、明了,因此,在解题中要注意方程思想的运用.
2019/5/18 精选中小学课件 11
题型二 方向角的画法与应用 例2 一艘客轮沿射线OC(OC表示的方向为东北方向)行驶,在O处时发 现灯塔A在北偏西30°方向上,灯塔B在南偏东60°方向上. (1)在图4-3-3-4中画出射线OA,OB,OC; (2)求∠AOC与∠BOC的度数,你发现了什么?
图4-3-3-1 (1)图中互为余角的角有几对?各是哪些? (2)∠1的余角是哪些? (3)图中互为补角的角有几对?各是哪些?
(4)∠1的补角是哪个?
2019/5/18
精选中小学课件

4．3.3 余角和补角
课堂导案
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (2)∠3与∠4的大小有何关系？请说明理由．
∠3＝∠4 理由：由(1)知∠1＋∠4＝90°，
∠2＋∠3＝90°， 又∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．
4．3.3 余角和补角
＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.其推理
根据是( C )
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
4．3.3 余角和补角
课堂导案
7．如上图，∠AOB＝∠COD＝90°，则下列结论中，
正确的是( B )
A．∠1＝∠2
B．∠1＝∠3
C．∠2＝∠3
D．∠1与∠3互余
∠BOE，OD⊥OC于点O，则与∠DOE互补的角
是( D )
A．∠EOC
B．∠AOC
C．∠AOE
D．∠BOD
4．3.3 余角和补角
课后练案
16．如上图，点O是直线AB上一点，∠DOB＝90°，
∠COE＝90°，图中与∠AOC互补的角有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．3.3 余角和补角
4．3.3 余角和补角
课堂导案
8．如下图，点A、O、E在同 一条直线上，OB、OC、 OD都是射线，∠1＝∠2， ∠1与∠4互为余角． (1)∠2与∠3的大小有何关系？请说明理由．
∠2与∠3互余． 理由：∵∠1与∠4互余，∴∠1＋∠4＝90°，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2与∠3互余．
课后练案
17．一个角的补角比这个角的余角的3倍少18°，求 这个角．

45°
F
G
东北方向:___射__线__O_H__
B 南
例:如图,轮船O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时， 在它北偏东40°，南偏西10°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了 客轮B、货轮C、和海岛D，仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、 货轮C和海岛D方向的射线．
北
90°
2
3
从数量上看： ∵ 24°+66°=90° ∴∠1+∠2=∠3=90°
如图，可以说∠1和∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
探究新知 如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
4 3
如图，可以说∠3和∠4互为余角，∠3是∠4的余角，∠4是∠3的余角.
探究新知
如果两个角的和等于180º（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角.
114° 从图形上看：
α
66° β
180° γ
从数量上看： ∵ 114°+66°=180° ∴∠α+∠β=∠γ=180°
如图，可以说∠α和∠β互为余角，∠α是∠β的余角，∠β是∠α的余角.
做一做
1.图中给出的各角，哪些互为补角？
12°26′ 102°26′
27°37′ 117°37′
90 x 180 x
二、余角的性质： 1.画一画:已知∠α，请利用三角板画的∠α 的余角
1 α
2.图中∠α的余角∠1，∠2的大小有什么关 系？为什么？
3.这同一角结的论余用角文相字等怎么叙述？
例：如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别平分 ∠AOC和∠BOC， （1）求∠DOE的度数； （2）图中哪些角互为余角，那些角互补？

理由：由（1）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180° 由（2）可知 ∠1+∠3=∠2+∠4=∠1+∠4=∠2+∠3=90°
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
2.若一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角. 解：设这个角是x°， 则 180－x= 4 ( 90－x) 解得x = 60 答：这个角是60°.
第3关：合作展示 求知、求真、求健，求美
1.如下图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平
分∠AOC和∠BOC，
（1）∠AOC与∠BOC的关系是什么？
互补 （2）图中有哪几对相等的角？
因为OD平分∠AOC，所以∠1=∠2，
23
1
4
同理，∠3=∠4
（3）图中有哪几对互余的角？
∠2和∠3， ∠1和∠4， ∠1和∠3， ∠2和∠4.
的角？ ∠1=∠A ，∠2=∠B
因为∠1与∠2互余
因为∠1与∠2互余
∠A与∠2互余恭喜大家∠1！与∠B互余
所以∠1=∠A 闯关所成以功∠2！=∠B
（同角的余角相等） （同角的余角相等）
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m
课堂小结
求知、求真、求健，求美
思考：直角和平角中，被分成的两个角的度数分别有什 么关系呢？
1 2
3
4
∠1+∠2=__9_0_°，
∠3+∠4=__1_8_0.°
结论：两个角的数量关系与角的位置无关.
知识的Ne超twor市k Op，timi生zatio命n Ex的pert狂Tea欢m

3
3
从而∠BOE=∠BOD-∠DOE=45°-15°=30°。
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°.
第十三页，共22页。
如图，OC,OE分别(fēnbié)是∠AOD,∠BOD 的三等分线，已知∠AOB=150o，则∠CO1E0=0_o______.
B E D ∠COE=∠COD+∠DOE
第六页，共22页。
（1）互余和互补(hù bǔ)都是两个角之间的数量关 系的 （2）概两念个，(l不iǎ能nɡ单ɡ独è)说角哪互一余个或互角补是只余是角两或个补(角li.ǎnɡ
ɡè)角的和为90度 或180度 ，跟位置无关.
（3）当互补的两个角有公共顶点时，又称 这两个角互为邻补角（简称邻补角）.
所以∠3=∠2。
∠1+ ∠3=90°，
第八页，共22页。
补角(bǔ jiǎo)性质：同角（或等角）的补 角(bǔ jiǎo)相等
余角性质(xìngzhì)：同角（或等角）的余角相 等
第九页，共22页。
如图，点A，O，B在同一条直线上，射线 OD和射线OE分别(fēnbié)平分∠ AOC和∠ BOC， 图中哪些角互为余角？
第十一页，共22页。
小宁从A地向东北方向走62m到B地，再从B地向西走 56m到C地，这时她离A地多少(duōshǎo)米？在A 地的北偏西多少(duōshǎo)度？画出图形（用1cm 表示10m），然后用刻度尺和量角器进行测 量．（精确到1m，1°）
第十二页，共22页。
如图，∠AOB=∠COD= 90°，OC是∠AOB的平分 线，OE是∠BOD的三等分线，则∠COE=____. 75°
第十页，共22页。
如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在 它南偏东60°的方向(fāngxiàng)上，同时，在 它北偏东40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°） 方向(fāngxiàng)上又分别发现了客轮B、货轮C 和海岛D．仿照表示灯塔方位的方法，画出客轮B、 货轮C和海岛D方向(fāngxiàng)的射线．