椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二 极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三 课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2

想一想 ：
设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2=600,求椭圆的离心率的取值范围.
点P(x0，y0)为椭圆 (a>b>0)上的一点当焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2为钝角时,求x0的取值范围.
7(1)设P是椭圆 上的任意一点，F1，F2是其两焦点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β
∵ ，
∴ 点M恒在圆x2+y2=a2上．
5.设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2= ,则点P为短轴的端点时， 最大.
证明：如图5在 PF1F2中，由余弦定理可得：
cos = =
= =1-2
当且仅当 ，即点P为为短轴的端点时 最大.
6.(1)设椭圆 (a>b>0)焦点 PF1F2的顶角∠F1PF2= ,则 .
专题之七椭圆的焦点三角形
椭圆 上任意一点P(非长轴端点)与两个焦点F1、F2构成的三角形称为焦点三角形 PF1F2.如图1.
1.焦点三角形的周长为定值2(a+c).
证明：∵顶点P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a.
故l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2(a+c).
即周长是定值.
2.设F1、F2是椭圆的两焦点，P是平面上的一点，2a是椭圆的长轴长，求证：点P在椭
∵I是 PF1F2的内心，由想一想 (2)知， .由定比分点公式得内心I,即 .∴内心I的轨迹为椭圆.
且 = = = = .
(4)设点M为旁切圆的圆心，T1、T2、T3分别为切点，
AT3=x，如图9所示.∵|F1T1|=|PF1|+|PT1|=|PF1|+|PT2|

高中数学破题致胜微方法（椭圆的基本性质）11.椭圆中焦点三角
形的周长问题 Word版含答案
今天我们研究椭圆中焦点三角形的周长问题。

利用椭圆的第一定义，过椭圆一个焦点
的弦与另一个焦点构成的三角形周长为定值，即长轴的倍。

先看例题：例：如图,椭圆:的左焦点为,过的直线交椭圆于两点,求△的周长.
规律整理：椭圆
的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
椭圆的左焦点为，右焦点为，
过的直线交椭圆于，两点，则的周长为
注意：这类三角形周长为定值，与直线的倾斜角无关。

再看一个例题，加深印象例：在平面直角坐标系
中，椭圆的中心为原点，焦点
在轴上，离心率为
.过的
直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为（）
即.
又,所以,所以.故椭圆的方程是. 练习：
. 设，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，△的周长为，求；若，求椭圆的离心率.
. 已知椭圆：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若△的周长为，则的方程为( ) . . . .
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

椭圆中的“焦点三角形”性质及应用
作者：章显军
来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第5期
浙江苍南县钱库高级中学（325804）章显军
“焦点三角形”问题是考试中比较常见的考题.椭圆“焦点三角形”的定义为：椭圆上的任意一点（除长轴端点外）与两个焦点构成的三角形.通常“焦点三角形”的问题都有意地考查了椭圆的定义、三角形中的正弦、余弦定理、三角形的面积、内角大小等知识，现笔者就椭圆“焦点三角形”的性质及应用举例分析如下.
综上对椭圆“焦点三角形”性质及其应用的分析，我们可以总结出：学生的学习只有通过自身的操作活动和创造性地做才可能是有效的.教师应通过引发创新思维的问题，让学生学会自主学习，培养他们独立思考的能力，这是培养创造能力的重要手段.学生具有这种能力，就会不断获取新知识，创造也就有了根基.
(责任编辑黄春香）。

椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。

性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。

（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。

由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。

已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
第 1 页共 1 页。

F2＝120°，求tanF1PF2．
(1)由题设2｜F
F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
2a＝４，又2c＝2，∴b＝3
422yx＝1．
设∠F
PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
1e
60sin(
3sin)60sin(120sin)180sin(21oooo，
5sinθ＝3(1＋cosθ)
1bbPFPFSPFF
),0(1
222ba
yax左右两焦点分别为,,21FF设焦点三角
1FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。
),(
oyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1
1PFF中，
122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF
(余)弦定理、内角和定理、面积公式等.
1 椭圆上一点P到焦点
1,FF的距离之差为2，试判断21FPF的形状.
：由1
1622yx椭圆定义：
||,5||.2||||,8|||
12121PFPFPFPFPFPF.
又4||
1FF，故满足：,||||||2122122PFFFPF故21FPF为直角三角形.
sin)180sin(1221PFPFFFo
sin)sin(2121PFPFFF
sin(2)sin(21cFF，sinsin2sinsin21aPFPF
sin)sin(ace。
F
(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜
求椭圆的方程；
若点P在第三象限，且∠PF
.
),0(1
222ba

焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。

由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。

2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。

以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。

椭圆的焦点三角形 基础再现： 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点．1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,．2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=．3.[]22221,b c b PF PF -∈⋅，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：ab L 22= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 21PF F PF PF S ∠⋅⋅=． ⅱ．p y c b b S =⋅=+⋅=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6.22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. PF F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率． 实战演练1．已知椭圆()()221:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ∆中BC A sin sin sin +的值为 ．2．已知21,F F 为椭圆221:12516x y C +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++= ．4．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F ₁（-c ，0）、F ₂(c,0)，且椭圆上存在一点P 使得∠F ₁PF ₂ =90°，则椭圆离心率e 的取值范围是： ．5．若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 分别是其左右焦点，且︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积=S ，点P 的坐标为 ．6．已知椭圆1:222=+y ax C （a ＞1）的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为 ．7．已知椭圆14:22=+y x C 的左右焦点分别为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为 ．8．已知椭圆22194x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．9．已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∆为直角三角形时，12F MF ∆的面积=S ．若将第9题椭圆方程变为2212516x y +=，则12F MF ∆的面积=S ． 10．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，且1260PF F ∠= ，则12F PF ∆的面积=S ．11．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，直线1PF 的斜率为73，则12F PF ∆的面积=S ．。

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

椭圆焦点三角形的几个性质
泉州洛江区虹山中学 彭传成
泉州南少林武术学校 杨银福
文[1]介绍双曲线焦点三角形的性质,作为补充,本文将介绍椭圆焦点三角形的几个性质.
如图,设12,F F 是椭 圆22
221(x y a b a b
+=>>0) 的焦点,P 是椭圆上的任
意一点(异于长轴端点),
则称△12FPF 为椭圆的焦点三角形.
设121221,,F PF PF F PF F θαβ∠=∠=∠=,椭圆的离心率为e ,则△12FPF 有如下的性质.
性质1 12||||PF PF ⋅2
2cos (/2)
b θ=. 证明 在△12FPF 中由余弦定理有
221212||||2||||cos PF PF PF PF θ+−⋅
24c =. (1) 由椭圆的定义有
12||||2PF PF a +=,
∴221212||||2||||PF PF PF PF ++⋅
24a =, (2)
(2)(1)−得
122||||(1cos )PF PF θ⋅+
2224()4a c b =−=, 故有22
1222||||1cos cos (/2)
b b PF PF θθ⋅==+. 性质2 122tan 2
FPF S b θ∆=. 证明 由性质1有
12
121||||sin 2
F P F S PF PF θ∆=⋅ 2221sin tan 2cos (/2)2b b θθθ=⋅⋅=. 性质3 设P 点坐标为(,)x y ,则有 ・17・
.
一般化思维方法　
在数学教学中的应用（二）　
福建省宁德师专刘卓雄
・18・。

椭圆焦点三角形(解析版)椭圆焦点三角形(解析版)在数学几何学中，椭圆焦点三角形是一个有趣且有着独特性质的三角形。

本文将介绍椭圆焦点三角形的定义、性质以及相关定理证明。

定义椭圆焦点三角形是指一个三角形的三个顶点分别位于给定椭圆的两个焦点和一个点上的三角形。

性质1. 椭圆焦点三角形的三边和三个内角有特定的关系设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，三角形的三个顶点分别为A、B、C。

那么有以下性质成立：① AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2②∠F1AF2 + ∠F1BF2 + ∠F1CF2 = 360°2. 椭圆焦点三角形的内角和有一定范围设椭圆的离心率为e，且e < 1。

那么椭圆焦点三角形的内角和满足以下条件：π / 2 < ∠A + ∠B + ∠C < 3π / 2定理证明定理1：椭圆焦点三角形的三边与三个内角的关系假设AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = 2a，并且AF1 < AF2 < BF1 < BF2 < CF1 < CF2。

由于椭圆的几何性质可知，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2a + 2a + 2a = 6a。

根据三角形内角和的性质可知，∠A + ∠B + ∠C = π，其中∠A = ∠F1AF2，∠B = ∠F1BF2，∠C = ∠F1CF2。

由于∠A、∠B、∠C都在同一个三角形内，所以∠A + ∠B + ∠C = π。

因此，AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 6a = 2π。

得到结论：AF1 + AF2 + BF1 + BF2 + CF1 + CF2 = 2π，即AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2。

定理2：椭圆焦点三角形的内角和的范围由于e < 1，所以根据椭圆的性质可知，AF1 + AF2 > 2a， BF1 + BF2 > 2a， CF1 + CF2 > 2a。

2 的 点 P 的 个 数 为 （ ）
椭 变式圆 6：已 上F P 知 且 1， 1FF 2P 满 是 2 F 足 椭 4x 4， 829圆 2 y则 2F 41P1的 2 F_ 两 90_ ._ 个 _P焦 在 点
. y P
.
.
F1 0
F2
x
D
例1
已 知 椭 圆 C ： x 2y 2 1 右 焦 点 为 F ， 过 F 直 线 与 椭 圆 交 于 Ａ 、 Ｂ 43
D 的 连 线 互 相 垂 直 ， 则 F1PF 2的 面 积 为 （ ）
A .20 B .22 C .28 D .24
变式2
A
变式3
已 知 F 1 ， F 2是 椭 圆 x a2 2y21(a1)的 两 个 焦 点 ， P为
C 椭 圆 上 一 点 ， 且 F 1PF2=60,则 PF 1PF 2的 值 为 （）
求椭圆的离心率的取值范围。
3 e1 2
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
2.1.2.3椭圆焦点三角形的面积(通 径)及性质
椭圆焦点三角形
• 定义：椭圆上任意一点与两焦点所 构成的三角形称为焦点三角形。
• 与焦点三角形的有关问题有意地考 查了定义、三角形中的的正(余)弦 定理、内角和定理、面积公式等.
变式1
椭 圆 4 x9 22 y4 2 1上 一 点 与 椭 圆 两 个 焦 点 F 1 ， F 2，
两 点 ， A B x 轴 ， 试 求 三 角 A O B 的 面 积 。
3 2
变式（04湖北）
已 知 椭 圆 x2 y2 16 9
1的 左 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 点 P在
椭 圆 上 ， 若 P,F1， F2是 一 个 直 角 三 角 形 的 三 个 顶 点 ，

, dmin 2 2
F1
O
F2
x
x2 (2)已知直线l : x y m 0与椭圆C : y 2 1, 4 交于A, B两点，求|AB | 的最大值.
4 10 5
(2)当F 1PF 2 60 时，求F 1PF 2的面积；
4 3 3

y
F1
o
F2
x
x2 y 2 变式：已知椭圆 2 2 1 (a b 0), 焦点坐标为F1 , F2 , 点P为椭圆上的动点， a b 2 S△ PF1F2 b tan 若F1PF2 时，求F1PF2的面积； 2
2
xp2
yp2
F1
o
P F2
x
PF1 PF2 2 cos F1PF2 0 PF1 PF2 0 ( 5 x p )( 5 x p ) y p 0 | PF1 || PF2 |
4 2 9 3 5 3 5 2 x ( , ) xp 5 y p 0 x p 5 4 x p 0 x p p 9 5 5 5
3. 椭圆上一点到定直线的距离的最值问题
x2 y 2 例1：已知椭圆 1，直线L : 4 x 5 y 40 0， 25 9 椭圆上是否存在一点，它到直线L的距离最小？ 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l， 则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 由方程组 x y 1 25 9 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0
x2 y 2 2.在椭圆 C： 2 2 1（ a b 0 ）中， F1 和 F2 是椭圆的两个焦 a b

椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。

一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。

性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。

知识篇知识结构与拓展高二数学2019年1月■安徽省安庆市第一中学洪汪宝我们知道，椭圆上任意一点(除去长轴端点)与两焦点所构成的三角形称为椭圆的焦点三角形。

那么该三角形有哪些特殊的性质呢？本文对椭圆的焦点三角形的性质进行探究并举例说明其应用。

一.性质探究为了研究问题的方便，我们以焦点在工轴上的椭圆为例。

有兴趣的读者，可模仿推导焦点在3,轴上的椭圆的情况。

工2V2已知椭圆C：—+77=l(a>6>0)的两a b个焦点分别为F1(-c,O),F2(c,O)(其中c= Va2-b2),椭圆C上任意一点(异于长轴端点)，则△pf^f2是焦点三角形。

椭圆c的离心率e=—oa性质lxAFF.Fa的周长为定值，其值为2a+2c。

性质2：APF1F2的面积为c|九丨，其最大值为处，当点P位于短轴端点时焦点三角形的面积取到最大值。

性质3：若ZF】PF2=a,则厶PF1F2的面积为b2tan yo证明：(2c)2=|F】F2I?=|PF1|24-|PF2|2-2|PF1I I PF2I cos a=(|PF1|-h\PF2\y~2\PF}|I PF2|・(1+cos a)。

故I PF】||PF Z I(|PF]|+|PF2l)2—4c22(1+cos a)4a2—4c22(14-cos a)2F1+cos a°故S A pf1f2=y I PF1||PF2I sin a= b2sin a,2a7TT--------=b tan—。

1十cos a Z性质4：|PF.|=aH-ex0,|PF2|=a-ejc0o证明：设椭圆的右准线方程为工=』，根c据椭圆的第二定义知上旦丄=e,于是可得a\PF2\=a~ex0,根据椭圆的第一定义知|PF,|=2a—|PF2I=2a—(a-ez。

)=a+ eJC Q o根据此性质可知椭圆上的点到焦点的最大距离为a+c,最小距离为a—c,此时该点是椭圆长轴的端点。

性质5：若AF,PF2=a.则当点P位于上、下顶点时，a最大。