角的大小和边的长短无关

《角的初步认识》讲义一、角的定义在数学中，角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。

这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。

比如说，我们常见的三角板，它的每一个角都是由两条边和一个顶点组成的。

角的大小与边的长短无关，而是与两条边张开的程度有关。

两条边张开得越大，角就越大；两条边张开得越小，角就越小。

为了更准确地表示角，我们通常用数字或者三个大写字母来表示。

比如，角 AOB ，其中 O 是顶点，A 和 B 分别是角的两条边所经过的点。

二、角的度量要衡量角的大小，我们需要用到度量工具——量角器。

量角器是一个半圆形的工具，上面标有刻度。

量角的步骤如下：1、把量角器的中心与角的顶点重合。

2、把量角器的零刻度线与角的一条边重合。

3、角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。

需要注意的是，在读角的度数时，要注意是看的内圈刻度还是外圈刻度。

角按照度数的大小可以分为以下几类：1、锐角：小于 90 度的角。

2、直角：等于 90 度的角。

3、钝角：大于 90 度小于 180 度的角。

4、平角：等于 180 度的角。

5、周角：等于 360 度的角。

三、角的画法接下来，我们学习一下如何画角。

1、先画一条射线，作为角的一条边。

2、将量角器的中心与射线的端点重合，零刻度线与射线重合。

3、在量角器上找到要画的角的度数，对应的刻度线的地方点一个点。

4、以射线的端点为端点，通过刚才点的点，再画一条射线，这就是角的另一条边。

四、角在生活中的应用角在我们的日常生活中有着广泛的应用。

比如，我们常见的钟表，时针和分针之间就会形成不同的角。

在整点的时候，时针和分针会形成直角（3 点和 9 点）或者平角（6 点）。

建筑中也常常会用到角的知识。

比如，屋顶的倾斜角度，门窗的开合角度等，都需要精确的设计和计算。

在体育运动中，角也很常见。

比如，足球场上球员射门的角度，篮球运动员投篮的角度等，都会影响比赛的结果。

五、角的相关练习为了更好地掌握角的知识，我们来做一些练习题。

角的认识一、判断题（共13题；共26分）1.角的大小与边的张开大小无关，与边的长短有关。

（）2.12时15分时针和分针形成的角是锐角。

3.直角比锐角大。

（）4.9时30分，钟面上的时针和分针形成的角是直角。

（）5.在一个三角形中，最多只有一个直角或一个钝角。

（）6.角的边画的越长，角就越大。

（）7.两条直线相交的四个角中如果有一个角是直角，那么其他的三个角都是直角。

（）8.用放大镜去看90°的角，角的大小不会发生变化。

（）9.三角形有3个角，将一张三角形纸剪掉一个角后，还剩2个角。

（）10.比90°大的角是钝角。

（）11.两个锐角拼成的角一定是钝角．（）12.所有锐角的大小都是相等的。

（）13.任意两个锐角度数之和一定比钝角要大。

（）二、解答题（共2题；共10分）14.你能在下图中找到直角吗?请你用直角符号把所有的直角都标记出来。

15.根据给出的时间画上缺少的时针或者分针，再看时针和分针组成的是什么角，填在（）里。

三、作图题（共4题；共35分）16.画一画。

（1）以点O为顶点画一个角。

（2）画线段CD，长5厘米。

17.画一条比5厘米少3厘米的线段。

18.请在下面每个图中再画一条线，分别组成一个锐角、一个直角和一个钝角。

19.画一画。

（1）用一副三角板拼出一个锐角并画下来。

（2）画一条比2厘米长2厘米的线段。

四、综合题（共7题；共35分）20.数一数。

（1）一共有________条线段。

（2）一共有________个角。

21.填一填。

有________个角有________个角22.数一数，填一填。

________个角________个三角形________个角________个三角形_______个三角形________个直角，________个锐角，________个钝角________个直角，________个锐角，________个钝角________个直角，________个锐角，________个钝角24.在下面的图中，你能找到几个直角？几个锐角？几个钝角？（1）________个直角，________个锐角，________个钝角。

二年级数角练习题1、直角是角中最大的角。

2、三角板上的直角和黑板上的直角一样大，所有的直角一样大。

、角有3个顶点和3条边。

、直角没有顶点。

、扇子有3个角。

、直角不是角。

、一个角的两条边越长，这个角就越大。

、角的大小与边的长短没有关系。

、角的两条边张开得大，角就大，角的两得边张开得小，角就小。

锐角直角钝角 10、小刚身高125厘米。

角的两边越长，这个角就越大。

上面的图形中，_______________________不是角。

一张正方形的纸，用剪刀剪去1个角以后，还有3个角。

上面的图形中，_______________________是角。

用纸折角，折出的角的大小，与这张纸的大小无关。

上面的图形中，_______________________是直角。

老师的三角形板上的直角比同学们三角形板上的直角大。

一个正方形里面的直角的个数与一个长方形里面的直角的个数是相同的。

三角形中最大的角就是直角。

））五、把下图里的直角标记出来。

、在方格纸里画一个有直角/钝角/锐角。

一、我会填。

1、一个角是由个顶点和条边组成的。

、一把三角板有个角，其中直角有个。

、一个长方形有个角，有个角是直角。

、拿一张纸，先上下对折，再对折可以得到直角。

、写出下面角的各部分名称。

、数一数下面图形分别有几个角。

个角个角个角个角个角二、我会判断。

1、直角是角中最大的角。

、三角板上的直角和黑板上的直角一样大，所有的直角一样大。

、角有3个顶点和3条边。

、直角没有顶点。

、扇子有3个角。

、直角不是角。

、一个角的两条边越长，这个角就越大。

、角的大小与边的长短没有关系。

9、角的两条边张开得大，角就大，角的两得边张开得小，角就小。

10、小刚身高125厘米。

11、三角板上的三个角中，最大的一个角是直角。

三、我会找。

1、下面图形哪些是角？在下面的里画“ √ ”2、下面哪几个图形是直角？在下面的里画“√ ”、找出比直角小的角，在它下面的里画“√ ”、找出比直角大的角，在它下面的里画“√ ”）三、选一选四、我会画。

角的初步认识练习题一、我会判断。

（对的打“√”，错的打“×”。

）1、直角是角中最大的角。

（）2、三角板上的直角和黑板上的直角一样大，所有的直角一样大。

（）3、角有3个顶点和3条边。

（）4、直角没有顶点。

（）5、扇子有3个角。

（）6、直角不是角。

（）7、一个角的两条边越长，这个角就越大。

（）8、角的大小与边的长短没有关系。

（）9、角的两条边张开得大，角就大，角的两得边张开得小，角就小。

（）10、三角板上的三个角中，最大的一个角是直角。

（）11、用纸折角，折出的角的大小，与这张纸的大小无关．（）12、老师的三角板上的直角比学生三角板上的直角大．（）13、一张正方形的纸，用剪刀剪去1个角以后，还有3个角．（）14、一个正方形里的直角的个数与一个长方形里直角的个数是相同的．（）15．正方形有八个角。

( ) 16．角的大小与所画出的边的长短无关。

() 17．直角和锐角只能拼成钝角。

( ) 18．数学书封面上的直角比三角尺上的直角小。

( ) 19．每一个三角板上都有两个锐角。

( )20、只要有一个顶点和两条边的图形，都是角。

（）21、把一个角放在放大镜下面看，这个角就变大了。

（）二、填一填。

1、一个角有( )个顶点，( )条边。

2、一块三角板中，有( )个角，其中有( )个直角。

3、一个长方形有( )个角，有( )个角是直角。

4、拿一张纸，先上下对折，再( )对折可以得到直角。

5、一条红领巾有( )个角，一面国旗有( )个角。

6、一个长方形中有（）个直角，两块手帕有（）个直角。

7、三角板上有（）个角，其中最大的那个角是（）角。

8、一个角有（）个顶点，（）条边。

9、角的大小与（）无关，与（）有关。

10、比直角大的角叫（）角，比直角小的角叫（）角。

12、两条交叉在一起的直线，会形成（）个角。

13、角的边长2厘米，把每条边延长1厘米，角的大小（）。

1、画两条线段，使它有4个直角。

2、画一条线，使它有一个直角和一个锐角。

第4章《图形认识初步》角的易错题集精讲一．选择题（共5小题）1．下列时刻，时针与分针的夹角为直角的是（）A．3时30分B．9时30分C．8时55分D．6时分2．在下列说法中，正确的是（）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．A．①②B．②④C．②③D．③④3．如图中共有（）个角．A．5B．6C．7D．84．已知α=80°，β的两边与α的两边分别垂直，则β等于（）A．80°B．10°C．100°D．80°或100°5．下列各式中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=25.48°C．18°18′18″=3.33°D．22.25°=22°15′二．填空题（共10小题）6．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为_________．7．已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，AC的长为_________．8．如图，已知线段AB=9厘米，C是直线AB上的一点，且BC=3厘米，则线段AC的长是_________厘米．9．已知线段AC和BC在同一直线上，若AC=20，BC=18，线段AC的中点为M，线段BC 的中点为N，则线段MN_________．10．点A、B、C在同一条直线上，线段AB=6cm，线段BC=4cm，则线段AC=_________．11．已知点B在直线AC上，AC=18cm，AB=8cm，则BC=_________．12．已知有共公顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠AOC= _________．13．已知平面上有公共顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=100°，∠BOC=50°，则∠AOC=_________．14．已知∠AOB=30°，∠BOC=24°，∠AOD=15°，则锐角∠COD的度数_________．15．（1）如图，图中互补的角有_________对．（2）如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则图中互补的角有_________对．三．解答题（共15小题）16．（1999•杭州）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．17．一个角的补角是123°24′16″，则这个角的余角是多少．18．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．19．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．20．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．21．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．22．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）若∠DOB与∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度数．（2）若叠合所成的∠BOC=n°（0＜n＜90），则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？23．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）24．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系：_________，判断的依据是_________；（2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．25．把一副三角尺如图所示拼在一起，试确定图中∠A、∠B、∠AEB、∠ACD的度数，并用“＜”将它们连起来．26．如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!27．如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．28．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．29．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．30．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是_________；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是_________；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是_________；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE=_________．第4章《图形认识初步》角的易错题集精讲参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．下列时刻，时针与分针的夹角为直角的是（）A．3时30分B．9时30分C．8时55分D．6时分考点：钟面角．专题：计算题．分析：画出图形，利用钟表表盘的特征解答．分别计算出四个选项中时针和分针的夹角，选出90°的角即可．解答：解：A、3时30分时，时针与分针间有2.5个大格，其夹角为30°×2.5=75°，故3时30分时时针与分针的夹角不为直角，错误；B、9时30分时，时针与分针间有3.5个大格，其夹角为30°×3.5=105°，故9时30分时时针与分针的夹角不为直角，错误；C、8时55分时，时针与分针间有2+个大格，其夹角为30°×2=82.5°，故8时55分时时针与分针的夹角不为直角，错误；D、6时分时，时针与分针的夹角为（）×30°﹣=90°，故6时分时时针与分针的夹角为直角，正确；故选D．点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．2．在下列说法中，正确的是（）①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线．A．①②B．②④C．②③D．③④考点：角的概念．分析：根据角的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．解答：解：①、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故错误；②、角的大小与边的长短无关，故正确；③、角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故错误；④、角的两边是两条射线，故正确．②④正确，故选B．点评：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，注意不要忽略“公共端点”．还应注意角的大小与边的长短无关，与度数的大小一致．3．如图中共有（）个角．A．5B．6C．7D．8考点：角的概念．分析：根据角的定义即可选择．解答：解：图中的角有：∠DAC，∠BAC，∠DAB，∠B，∠D，∠ACB，∠ACD，∠BCD共有8个，故选D．点评：本题主要考查了角的定义以及表示法，是需要熟记的内容．4．已知α=80°，β的两边与α的两边分别垂直，则β等于（）A．80°B．10°C．100°D．80°或100°考点：角的概念．专题：分类讨论．分析：若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．解答：解：∵β的两边与α的两边分别垂直，∴α+β=180°，故β=100°，在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=180°﹣100°=80°；综上可知：∠β=80°或100°，故选D．点评：本题主要考查角的概念的知识点，要注意从不同的角度来分析∠β的存在情况，以免漏解．5．下列各式中，正确的角度互化是（）A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=25.48°C．18°18′18″=3.33°D．22.25°=22°15′考点：度分秒的换算．专题：计算题．分析：两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．度、分、秒的换算是60进位制．解答：解：A、63.5°=63°+0.5°×60=63°30′，错误；B、23°12′36″=23°+12′÷60+36″÷3600=23.21°，错误；C、18°18′18″=18°+18′÷60+18″÷3600=18.315°，错误；D、22.25°=22°+0.25°×60=22°15′，正确．故选D．点评：此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．二．填空题（共10小题）6．长度12cm的线段AB的中点为M，C点将线段MB分成MC：CB=1：2，则线段AC的长度为8cm．考点：比较线段的长短．专题：计算题．分析：先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度．解答：解：∵线段AB的中点为M，∴AM=BM=6cm设MC=x，则CB=2x，∴x+2x=6，解得x=2即MC=2cm．∴AC=AM+MC=6+2=8cm．点评：利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．7．已知线段AB=10cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，AC的长为4cm或16cm．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：由已知条件不能确定点C在直线AB上的位置，故要分情况讨论：当C在线段AB上时，AC=AB﹣BC；当C要线段AB的延长线上时，AC=AB+BC．然后代入数值计算即可得到答案，注意不要漏掉单位．解答：解：本题有两种情况：（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，又∵AB=10cm，BC=6cm∴AC=10﹣6=4cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，又∵AB=10cm，BC=6cm，∴AC=10+6=16cm．故答案填4cm或16cm．点评：本题渗透了分情况讨论的思想，体现了思维的严密性，解决类似的问题要防止漏解，并注意不要漏掉单位．8．如图，已知线段AB=9厘米，C是直线AB上的一点，且BC=3厘米，则线段AC的长是12或6厘米．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：本题没有给出C点位置故应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能．解答：解：当点C在AB中间时有，AC=AB﹣BC=9﹣3=6cm；当点在AB的延长线上时，有AC=AB+BC=9+3=12cm．故答案为12或6．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．9．已知线段AC和BC在同一直线上，若AC=20，BC=18，线段AC的中点为M，线段BC 的中点为N，则线段MN19或1．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运用．要考虑点B在线段AC上时和点B在线段AC的延长线上时．解答：解：①当点B在线段AC上时，根据线段的中点的概念，知：MN=AM﹣AN=AC﹣AB=10﹣9=1；②当点B在线段AC的延长线上时，根据线段的中点的概念，知：MN=AM+AN=AC+AB=10+9=19．故答案为19或1．点评：此类题要分情况讨论点的不同位置，还要结合中点的概念进行计算．10．点A、B、C在同一条直线上，线段AB=6cm，线段BC=4cm，则线段AC=10cm或2cm．考点：比较线段的长短．专题：计算题；分类讨论．分析：本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据题意画出的图形进行解答．解答：解：本题有两种情形：（1）当点C在线段AB上时，如图，AC=AB﹣BC，又∵AB=6cm，BC=4cm，∴AC=6﹣4=2cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，如图，AC=AB+BC，又∵AB=6cm，BC=4cm，∴AC=6+4=10cm．故线段AC=10cm或2cm．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．11．已知点B在直线AC上，AC=18cm，AB=8cm，则BC=10cm或26cm．考点：比较线段的长短．专题：分类讨论．分析：要求学生分情况讨论A，B，C三点的位置关系，考查学生对图形的理解与运用．本题可分为B在AC内和B在AC外．解答：解：第一种情况：B在AC内，则BC=AC﹣AB=10，第二种情况：B在AC外，则BC=AC+AB=26．故答案为10或26．点评：在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．12．已知有共公顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠AOC= 90°或150°．考点：角的计算．专题：计算题．分析：本题是角的计算的多解问题，题目中只告诉有共公顶点的三条射线OA，OB，OC，而没有告诉它们的顺序关系，所以求解时求解时要注意分情况讨论．解答：解：当OC在∠AOB内部，因为∠AOB=120°，∠BOC=30°，所以∠AOC为90°；当OC在∠AOB外部，因为∠AOB=120°，∠BOC=30°，所以∠BOC为150°；所以∠AOC为150°或90°．点评：本题是角的多解问题，经常有出现漏解的情况，所以解决此类的问题是准确地画出不同情况的图形．13．已知平面上有公共顶点的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=100°，∠BOC=50°，则∠AOC=150°或50°．考点：角的计算．专题：分类讨论．分析：本题是角的计算中的多解题，出现多解的原因在于三条射线OA，OB，OC的位置不能确定，求解时应分情况讨论．解答：解：当射线OC在∠AOB内部时，因为∠AOB=100°，∠BOC=50°，所以∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=100°﹣50°=50°当射线OC在∠AOB外部时，因为∠AOB=100°，∠BOC=50°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=100°+50°=150°所以∠AOC等于50°或150°．故填50°或150°．点评：本题是多解问题，易错点是漏解，因为题目中没有交代其中的位置关系，所以求解时要讨论，在线段的计算中有时也出现类似的情况．14．已知∠AOB=30°，∠BOC=24°，∠AOD=15°，则锐角∠COD的度数69°、39°、21°、9°．考点：角的计算．专题：计算题；分类讨论．分析：由于角的大小不同，即角的位置可能不同，故可能有不同的答案．解答：解：由题意，∠AOB=30°，∠BOC=24°，∠AOD=15°，根据角的不同和位置的不同，有以下几种情况：（1）如图（1）：∠COD=∠AOB+∠BOC+∠AOD=69°．（2）如图（2）：∠COD=∠AOB﹣∠AOD+∠BOC=39°；（3）如图（3）：∠COD=∠AOB﹣∠BOC+∠AOD=21°；（4）如图（4）：∠COD=∠AOB﹣∠BOC﹣∠AOD=9°．故答案为69°、39°、21°、9°．点评：此题主要考查了学生的开放性思维，对图象多解问题的考虑及学生的动手操作能力．15．（1）如图，图中互补的角有2对．（2）如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，则图中互补的角有6对．考点：余角和补角．分析：若两个角的和等于180°，则这两个角互补．根据已知条件和互补的定义确定各自的对数．解答：解：（1）∵点A，O，B在同一直线上，∴图中互补的角有2对，∠AOC与∠COB，BOD与∠AOD．（2）∵∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，∴图中互补的角有6对，∠AOC与∠COB，∠AOC与∠AOD，∠AOD与∠COD，∠BOC与∠COD，∠BOD与∠AOD，∠BOD与∠COB．点评：此题考查补角，在找互补的两角时，可先确定较小（或较大）角的度数，从最小（或最大）角的补角开始找，能做到不重合、不遗漏．三．解答题（共15小题）16．（1999•杭州）已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：利用题中“一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°”作为相等关系列方程求解即可．解答：解：设这个角是x，则（180°﹣x）﹣3（90°﹣x）=10°，解得x=50°．故答案为50°．点评：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．17．一个角的补角是123°24′16″，则这个角的余角是多少．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：首先根据这个角的补角求出这个角大小，再求它的余角．解答：解：若一个角的补角是123°24′16″，则这个角为180°﹣123°24′16″=56°35′46″，则它的余角为90°﹣56°35′46″=33°24′16″，故这个角的余角为33°24′16″．点评：本题考查补角、余角的定义：如果两个角的和为180°，则这两个角互为补角，如果两个角的和为90°，则这两个角互为余角．18．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．考点：余角和补角；角平分线的定义．分析：解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．解答：解：（1）与∠AOD互补的角∠BOD、∠COD；与∠BOE互补的角∠AOE、∠COE．（2）∠COD+∠COE=∠AOB=90度．（提示：因为OD平分∠BOC，所以∠COD=∠BOC）．又OE平分∠AOC，所以∠COE=∠AOC，所以∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=（∠BOC+∠AOC），所以∠COD+∠COE=∠AOB=90°．点评：此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．19．如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．考点：余角和补角；角平分线的定义．专题：计算题．分析：解此类题目关键在于：结合图形，根据余角、补角的定义，有时还需考虑角平分线的性质，分析并找到角与角之间的关系，再进行计算得出答案．解答：解：设∠AOB=x°，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180﹣x°．由题意，得．∴180﹣x﹣x=80，∴﹣2x=﹣100，解得x=50故∠AOB=50°，∠AOC=130°．点评：此题结合图形考查余角、补角的定义；涉及了角平分线的性质，及角的运算．在图形中，找补角、余角关系时，除了借助图形外，还需考虑等量关系即有没有相等的角．20．一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：首先根据余角与补角的定义，设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．解答：解：设这个角为x，则它的余角为（90°﹣x），补角为（180°﹣x），根据题意可，得90°﹣x=（180°﹣x）﹣20°，解得x=75°．故答案为75°．点评：此题综合考查余角与补角，属于基础题中较难的题，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．21．已知一个角的补角等于这个角的余角的4倍，求这个角的度数．考点：余角和补角．专题：计算题．分析：利用题中的关系“一个角的补角等于这个角的余角的4倍”作为相等关系列方程求解即可．解答：解：设这个角为x，则它的补角为（180°﹣x）余角为（90°﹣x），由题意得：180°﹣x=4（90°﹣x）解得x=60°．答：这个角的度数为60°．点评：主要考查了利用余角和补角的定义和一元一次方程的应用．解此题的关键是能准确的从题中找出各个量之间的数量关系，找出等量关系列方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．22．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）若∠DOB与∠DOA的比是2：11，求∠BOC的度数．（2）若叠合所成的∠BOC=n°（0＜n＜90），则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少？考点：余角和补角．专题：计算题．分析：根据条件可知∠AOB=∠COD=90°，并且∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC，根据这个关系就可以求解．解答：解：（1）设∠DOB=2x°，则∠DOA=11x°，∵∠AOB=∠COD∴∠AOC=∠DOB=2x°，∠BOC=7x．又∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC则得方程：11x=180﹣7x解得：x=10°∴∠BOC=70°．（2）∵∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC∴∠AOD与∠BOC互补，则∠AOD的补角等于∠BOC．故∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是1：1．点评：正确认识∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠BOC=180°﹣∠BOC这一个关系是解题的关键，这是一个常用的关系，需熟记．23．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）考点：角的计算．专题：分类讨论．分析：（1）是角的多解问题，求解时因为位置不同，可分情况讨论．（2）直线OA、OB将平面分成四个部分，分别考虑射线OC落在这四个部分的情况，解答：解：（1）当射线OA在∠COB内部时，因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，所以∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=120°﹣70°=50°当射线OA在∠COB外部时，因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=120°+70°=190°，而求解的只是小于平角的角，所以∠AOC=∠=360°﹣190°=170°所以∠AOC等于50°或170°．（2）根据题意画出图形得：∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=80°，解得x=10°∴∠AOC=30°，∠BOC=50°；∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=280°，解得x=35°∴∠AOC=105°，∠BOC=175°．点评：本题的多解情况可依据不同情况求解，在计算中我们所求的角一般都是小于平角的角．24．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系：相等，判断的依据是等角的补角相等；（2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．考点：角的计算；角平分线的定义；余角和补角．专题：计算题．分析：（1）能够发现要找的两个角都和∠BOC互补，根据等角的补角相等即可说明；（2）首先根据直角由已知角求得它的余角，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用角的关系求得∠AOC，根据上述结论，即求得了∠BOD．解答：解：（1）相等，等角的补角相等；（2）∵∠COE是直角，∠COF=35°∴∠EOF=55°又OF平分∠AOE，∴∠AOE=110°∴∠AOC=20°∴∠BOD=∠AOC=20°．故答案为相等、等角的补角相等、20°．点评：（1）理解邻补角的概念，掌握等角的补角相等的性质；（2）正确求得一个角的余角，熟练运用角平分线表示角之间的倍分关系，再根据角之间的和差关系进行计算．25．把一副三角尺如图所示拼在一起，试确定图中∠A、∠B、∠AEB、∠ACD的度数，并用“＜”将它们连起来．考点：角的大小比较．分析：答题时首先要知道一副三角板的各角度数，然后求出∠AEB，最后比较大小．解答：解：∠A=30°，∠B=45°，∠AEB=135°，∠ACD=90°∴∠A＜∠B＜∠ACD＜∠AEB．点评：本题主要考查角的比较与运算，要知道一副三角板各角的度数，比较简单．26．如图所示，设相邻两个角∠AOB，∠BOC的平分线分别为OE，OF，且∠EOF是直角，你能说明OA，OC为什么成一条直线吗？试试看吧!考点：角平分线的定义．分析：判断OA，OC是否成一条直线，只要求∠AOC，看是否是180°．解答：解：∵OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，且∠EOF是直角，∴∠AOE=∠BOE，∠COF=∠BOF，∠EOF=90°，∴（∠AOE+∠EOB）+（∠COF+∠BOF）=2×90°=180°，即∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOC=180°，∴AO、OC成一直线（即A，O，C三点共线）．点评：判断A，O，C三点共线的方法就是转化为求∠AOC的度数．27．如图，∠AOB=110°，∠COD=70°，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，求∠EOF的大小．考点：角平分线的定义．专题：计算题．分析：由∠AOB=110°，∠COD=70°，易得∠AOC+∠BOD=40°，由角平分线定义可得∠AOE+∠BOF=40°，那么∠EOF=∠AOB+∠AOE+BOF．解答：解：∵∠AOB=110°，∠COD=70°∴∠AOC+∠BOD=∠AOB﹣∠COD=40°∵OA平分∠EOC，OB平分∠DOF∴∠AOE=∠AOC，∠BOF=∠BOD∴∠AOE+∠BOF=40°∴∠EOF=∠AOB+∠AOE+BOF=150°．故答案为150°．点评：解决本题的关键利用角平分线定义得到所求角的两边的角的度数．28．如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．考点：角平分线的定义．专题：计算题．分析：此题可以设∠AOC=x，进一步根据角之间的关系用未知数表示其它角，再根据已知的角列方程即可进行计算．解答：解：设∠AOC=x，则∠BOC=2x．∴∠AOB=3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD=1.5x．∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=1.5x﹣x=20°．∴x=40°∴∠AOB=120°．故答案为120°．点评：此类题要设恰当的未知数，用同一个未知数表示相关的角，根据已知的角列方程进行计算．29．在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．考点：方向角．分析：阅读题目条件，明确飞机飞行角的概念，找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角，计算其角度解答．解答：解：由题意可知∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°．故AB与AC之间夹角为∠NAC﹣∠NAB=60°﹣35°=25°，AD与AC之间夹角为∠NAD﹣∠NAC=145°﹣60°=85°，从A飞出且方向角为105°的飞行线，即∠NAE=105°．点评：此题是一道材料分析题，解答时要认真阅读，明确题目条件，特别是题目中的新概念，依据新概念解答．30．如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50度．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是北偏东70°；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°；（3）∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是南偏西50°；（4）在（1）、（2）、（3）的条件下，∠COE=160°．考点：方向角．分析：根据方位角的概念，即可求解．解答：解：（1）∠AOC=∠AOB=90°﹣50°+15°=55°，OC的方向是北偏东15°+55°=70°；（2）OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40°；（3）OE是∠BOD的平分线，∠BOE=90°；OE的方向是南偏西50°；（4）∠COE=90°+50°+20°=160°．点评：解答此题的关键是画图并正确画出方位角，再结合各角的互余互补关系求解．。

小学数学四年级三、角的初步认识知识点：
1、角有一个顶点，两条边。

角的两条边是射线不是线段。

射线就是只有一个端点，不能测量出长度。

边
顶点
边
2、角的画法：从一个点起，用尺子向不同的方向画两条边，就画成一个角。

用三角板可以画出直角（课本41页图例）。

3、三角板上有3个角，其中只有1个角是直角。

正方形、长方形都有4个角，
4个角都是直角。

4、要知道一个角是不是直角，可以用三角板上的直角比一比。

5、用三角板上的直角判断直角的方法：顶点对顶点，一边对一边，再看另一边。

6、用三角板画直角的方法：①先画一个顶点，再从这个顶点出发画一条直线作
直角的一条边；②用三角板的直角顶点与所画的顶点重合，三角板的一条边与所画直线重合；③沿着三角板的另一条直角边画一条线，即画成一个直角。

7、角的大小与两条边的长短无关，只和两条边张开的大小有关。

比直角大或说大于直角的角叫做钝角比直角小或说小于直角的角叫锐角
第3讲、比一比
1.比较两个事物的多少时，要以其中的一个事物作为参照，或者说以其中的一个事物作为标准，然后再比较，这样就能说另一个事物比作为标准的那个事物多或少。

比多少：运用一一对应原则。

2，三个事物比较，可以先两个两个的比较。

然后根据比较的结果，得出三个事物比较的结论。

3、比较大小（小提示：做这种题型时如果不熟练要学会先做小记号，然后再判断大小，如果计算熟练可以不必。

）。

章节测试题1.【答题】角的大小只与两边张开的______有关，与两边的______无关.角的两边张开的越大，角就______.【答案】大小,长短,越大【分析】角的大小与角的两边的长短没有关系，而与两边叉开的大小有关系，两边叉开得大，角就大，两边叉开得小，角就小，由此解答.【解答】角的大小只与两边张开的大小有关，与两边的长短无关.角的两边张开的越大，角就越大.2.【答题】3时整，时针与分针组成的夹角为______度.6时整，时针与分针组成的夹角为______度.【答案】90,180【分析】因为钟面上12个数字，以表芯为旋转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°，再根据所夹格子数×30°计算出某个时刻分针与时针的夹角，从而可以求解.【解答】（1）3时整，时针指向3，分针指向12，所以时针和分针的夹角为：3×30°＝90°；答：3时整，时针与分针组成的夹角为90度.（2）6时整，时针指向6，分针指向12，所以时针和分针的夹角为：6×30°＝180°；答：6时整，时针与分针组成的夹角为180度.3.【答题】度量角的大小，可以用______器.【答案】量角【分析】度量角的大小的工具是量角器.【解答】度量角的大小，可以用量角器.故本题的答案是：量角.4.【答题】钟面上从2时到3时，分针转了______度，时针转了______度.【答案】360,30【分析】本题考查的是角的度量.【解答】钟面上一周为360°，共分为12个大格，每个大格为30°.从2时到3时，分针转了一周，即360°；时针转了1个大格，即30°.故本题的答案是360，30.5.【答题】一个30°的角在放大10倍的放大镜下看是（）A.30°B.300°C.3°【答案】A【分析】根据放大镜只能放大边的长度，而不能改变物体的形状可作出判断．【解答】放大镜只能放大边的长度，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的；方的东西再怎么放大也是方的，圆的东西再怎么放大也是圆的.30°的角在放大镜下，只有边延长，而表示形状的角度大小是不变的，还是30°；角的大小只与角的两边叉开的大小有关．6.【答题】用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（）A.50°B.500°C.100°【答案】A【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体的大小，不改变物体的形状.对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．【解答】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．7.【答题】9时整，分针和时针组成的角是（）A.30°B.60°C.90°D.180°【答案】C【分析】本题的关键是求出时针和分针之间的格子数，再根据每个格子对应的圆心角的度数，求出度数．钟面上每个格子对应的圆心角是360°÷60=6°，9时整时，时针和分针之间的格子数是15个；6时整时时针和分针之间的格子数是30个．求出角的度数，再根据角的分类进行解答．【解答】360°÷60×15=90°，故选C.8.【答题】用一个放大100倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数是（）A.150°B.15°C.1500°【答案】B【分析】本题主要考查角的定义．因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的大小有关．【解答】据分析可得：用一个放大100倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数仍然是15°．9.【答题】下面的说法，错误的是（）.A.一条直线长6厘米B.角的两边张开的越大，角越大C.钟面上2时整，分针和时针成锐角【答案】A【分析】本题考查的是直线和角的认识．【解答】A.因为直线无端点，无限长，所以一条直线长6厘米，说法错误；B.角的两边张开的越大，角越大，说法正确；C.钟面上2时整时，分针和时针形成的角是60°，60°是锐角，说法正确．选A.10.【答题】用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（）A.50°B.500°C.100°【答案】A【分析】用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．【解答】用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．11.【答题】经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差（）.A.330°B.300°C.150°D.120°【答案】A【分析】本题考查的是角度的度量.【解答】在钟面上，分针或时针转动一圈是360°，转动一个小格是6°，转动一个大格是30°．经过1小时，钟面上分针转过了一周，即360°，时针转过一个大格，即30°；所以经过1小时，钟面上分针转过的角度与时针转过的角度相差360°－30°＝330°．选A.12.【答题】用一副三角尺可以拼成的角是（）A.100°B.105°C.110°【答案】B【分析】抓住一副三角板中四种角的度数的特点即可解决问题．一副三角尺中有这样几种角，30°、45°、60°、90°，由此可以选择出正确答案．【解答】A，由一副三角板中四种角的度数拼不成100°的角；B，45°+60°=105°，所以由一副三角板可以拼成105°的角；C，由一副三角板中四种角的度数拼不成110°的角.13.【答题】9时30分时，钟面上时针和分针所成的角是______度.【答案】105【分析】钟表上有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9与10的中间，分针指向6，两者之间相隔3个半数字，据此计算即可解答.【解答】3×30°＋15°＝105°，所以钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105度.14.【答题】4时30分，时针与分钟的夹角是______度；6时整，时针与分钟的夹角是______度.【答案】45 180【分析】钟面上每相邻两个数字之间的夹角为30°，4时30分，时针与分钟的格子数是7个半，6时整，时针与分钟的格子数是30个.据此解答.【解答】30°×7＋15°＝45°，30°×6＝180°.答：4时30分，时针与分钟夹角是 45°；6时整，时针与分钟夹角是 180°.15.【答题】4时整，钟面上时针和分针的夹角是______度；8时整，时针和分针的夹角是______度.【答案】120,120【分析】本题考查的是角的度量.【解答】钟面上一周为360°，共分为12个大格，每个大格为30°.4时整，分针与时针相差4个大格，所以形成的夹角是120°；8点整时，分针与时针相差4个大格，所以形成的夹角是120°.故本题的答案是120，120.16.【答题】角的计量单位是______，用符号“°”表示.把半圆平均分成______等份，每一份所对的角的大小是1°.【答案】度,180【分析】本题考查的是认识角的计量单位和表示符号.【解答】角的计量单位是度，用符号“°”表示.把半圆平均分成180等份，每一份所对的角的大小是1°.故本题的答案是度，180.17.【答题】从7时到8时，钟面上的分针转动了（）.A.30°B.90°C.180°D.360°【答案】D【分析】本题考查的是钟面上时针与分针的夹角．【解答】从7时到8时，分针转过了一圈，也就是360°.选D.18.【答题】下列哪一句话是正确的（）A.用15°的放大镜看25°的角，角变成40°B.用四舍五入法得到的数比原数小C.所有的梯形都有无数条高【答案】C【分析】根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论．【解答】 A.用15°的放大镜看25°的角，角变成40°，说法错误，因为角的大小不变. B.用四舍五入法得到的数比原数小，说法错误，四舍得到的数比原数小，五入得到的数比原数大. C.根据梯形高的含义可知：所有的梯形都有无数条高，说法正确.19.【答题】从7：00到7：15，钟面上的分针旋转了（）.A.30°B.90°C.180°D.60°【答案】B【分析】本题考查的是角度的度量.【解答】钟面上共有12大格，因此每个大格的度数是30°.从7：00到7：15，钟表上的分针从“12”走到了“3”，走了3个大格，分针旋转的度数是90°．选B.20.【答题】用一个放大100倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数是（）A.150°B.15°C.1500°【答案】 B【分析】因为角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的大小有关．【解答】据分析可得：用一个放大100倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数仍然是15°．。