2018年北师版数学必修1 第2章 §1 §2 2.1 函数概念

§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2．1 函数概念1．通过实例，了解生活中的变量关系．(易混点)2．理解函数的概念及函数的三要素．(重点)3．会求一些简单函数的定义域和值域．(重难点)4．能够正确使用区间表示某些函数的定义域和值域．[基础·初探]教材整理1生活中的变量关系阅读教材P23～P25内容，完成下列问题．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间具有函数关系．下列变量之间是函数关系的是()A．体重与身高的关系B．某超载检测站，通过汽车的数量与时间的关系C．在空中作斜抛运动的标枪，标枪距地面的高度与时间的关系D．数学成绩与物理成绩的关系【解析】A，B，D中两种关系不是确定的关系，不符合函数的定义，C 中标枪距地面的高度与时间的关系是函数关系．【答案】 C教材整理2函数的概念阅读教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之间的部分，完成下列问题．1．定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数．2．记法f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.3．名称x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域．集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，称y是x的函数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个非空集合之间都可以建立函数关系．()(2)根据函数的定义，定义域中的多个x可以对应同一个y值．()(3)在函数f：A→B中，值域即集合B.()【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理3区间的概念阅读教材P27从“研究函数常常用到区间的概念”～“例1”以上内容，完成下列问题．1．区间的定义条件：a<b(a，b为实数)．结论：(1)闭区间：符号表示[a，b]，数轴表示为(2)开区间：符号表示(a，b)，数轴表示为(3)半开半闭区间：符号表示[a，b)或(a，b]，数轴表示为或2．无穷大区间(1)实数集R也可以用区间表示为(－∞，＋∞)．(2)读法：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．(3)无穷大区间的表示：集合{x|－1≤x<0或1<x≤2}用区间表示为________．【解析】结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]．【答案】[－1,0)∪(1,2][小组合作型](1)圆的面积与其半径之间的关系；(2)家庭收入与消费支出之间的关系；(3)人的身高与视力之间的关系；(4)价格不变的情况下，商品销售额和销售量之间的关系．【精彩点拨】当一个变量随着另一个变量的变化而变化时，这两个变量之间存在依赖关系；存在依赖关系的两个变量，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，这两个变量具有函数关系．【尝试解答】(1)圆的面积随圆的半径的变化而变化，所以圆的面积与其半径之间存在依赖关系，又因为对每一个半径的值，都有唯一的圆的面积与之对应，故圆的面积是半径的函数．(2)消费支出随家庭收入的变化而变化，消费支出与家庭收入之间存在依赖关系，但消费支出还要受到其他因素的影响，二者之间不是函数关系．(3)人的身高与视力之间不存在依赖关系．(4)价格不变的情况下，商品销售额随销售量的变化而变化，二者存在依赖关系，且商品销售额是销售量的函数．综上可知，(1)(4)中的变量存在依赖关系，且是函数关系；(2)中的变量存在依赖关系，不是函数关系；(3)中的变量不存在依赖关系．1．判断两个变量之间是否存在依赖关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否会随之变化．2．判断两个具有依赖关系的变量是否是函数关系，关键是看二者之间的关系是否具有确定性，即验证对于一个变量的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与之对应．[再练一题]1. 下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？①正方形的面积和它的边长之间的关系；②姚明罚球次数与进球数之间的关系；③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系．【解】①②③④中两个变量都存在依赖关系，其中①④是函数关系，②③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系.(1)A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1；(2)A ＝R ＋，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； (3)A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|；(4)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |0≤x ≤1}，f ：x →y ＝13x .【精彩点拨】 解答本题可从函数的定义入手，即对于A 中的任何一个元素在确定的对应关系之下，是否有唯一的y 值与之对应．【尝试解答】 (1)A 中的元素－1在B 中没有对应元素，故不是A 到B 的函数．(2)对于集合A 中任意一个正数，在集合B 中有两个元素±x 与之对应，故不是A 到B 的函数．(3)集合A 中元素1在B 中没有对应元素，故不是从A 到B 的函数． (4)集合A 中的任意一个元素，按照对应关系f ：y ＝13x ，在集合B 中都有唯一一个确定的实数13x 与之对应，故是从集合A 到B 的函数．判断对应关系是否为函数关系的关键：,函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”，说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”.[再练一题]2. 下列各式是否表示y 是x 的函数关系？如果是，写出这个函数的解析式；若不是，请说明原因．(1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )；(2)xy ＝－3(x ≠0)； (3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )．【解】 (1)5x ＋2y ＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝－52x ＋12； (2)xy ＝－3(x ≠0)是函数关系，解析式为y ＝－3x (x ≠0)；(3)x 2＋y 2＝1(x ∈(－1,0))不是函数关系，因对于x ∈(－1,0)的任意一个值，对应的y 值有两个；(4)x 3＋y 3＝1(x ∈R )是函数关系，解析式为y ＝31－x 3.(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x. 【精彩点拨】 求函数的定义域就是求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不等式或不等式组．【尝试解答】 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎨⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． (2)要使函数有意义，必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}．1．当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 2．求函数的定义域，一般是将其转化为求解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．[再练一题]3. 求下列函数的定义域，结果用区间表示：(1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)2|x |－x ；(3)y ＝5－x －x －5－1x 2－9. 【解】 (1)要使函数有意义，则有 ⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3 ⇔x ＞－2且x ≠3.∴函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须|x |－x ＞0，解得x ＜0， ∴函数的定义域是(－∞，0)．(3)要使函数有意义，则有⎩⎨⎧5－x ≥0，x －5≥0，x 2－9≠0，得⎩⎨⎧x ≤5，x ≥5，x ≠±3.故函数的定义域是{5}． [探究共研型]探究 1 之间具有什么样的关系？【提示】 {f (x )|x ∈A }⊆B .探究 2 函数定义中，设a ∈A ，则函数值f (a )与值域{f (x )|x ∈A }之间具有怎样的关系？【提示】 f (a )∈{f (x )|x ∈A }．已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )． (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值；(3)求函数g (x )的值域. 【导学号：04100015】 【精彩点拨】 (1)将x ＝2分别代入f (x )与g (x )的函数表达式中求f (2)，g (2)；(2)先求g(3)，再求f[g(3)]；(3)利用x2≥0求值域．【尝试解答】(1)∵f(x)＝11＋x，∴f(2)＝11＋2＝13.又g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝11＋11＝112.(3)∵x2≥0，∴x2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．求函数值时，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f[g(x)]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f[g(x)]与g[f(x)]的区别.[再练一题]4. 已知函数f(x)＝x＋1 x＋2.(1)求f(2)；(2)求f[f(1)]；(3)求f(x)的值域．【解】f(x)＝x＋1 x＋2，(1)f(2)＝2＋12＋2＝34.(2)f(1)＝1＋11＋2＝23，f[f(1)]＝f⎝⎛⎭⎪⎫23＝23＋123＋2＝58.(3)f(x)＝x＋1x＋2＝x＋2－1x＋2＝1－1x＋2(x≠－2)，∵1x＋2≠0，∴f(x)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).1. 下列关于函数与区间的说法正确的是()A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了C．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【解析】结合函数的定义，A项值域不可能是空集，B项应该是定义域和对应关系确定后值域就确定了，C项离散的数集不能用区间表示，正确答案D.【答案】 D2. 下列图形中，不能确定y是x的函数的是()【导学号：04100016】【解析】A、B、C中任意一个x的值，都有唯一的y值对应，是函数关系，D中的一个x值，如x＝3时，有两个y值与之对应，故不是函数．【答案】 D3. 已知f(x)＝x－1x，则f(2)＝________.【解析】f(2)＝2－12＝32.【答案】3 24. 函数y ＝1－x ＋x ＋4的定义域为________．【解析】 要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋4≥0，解得－4≤x ≤1.故函数的定义域为[－4,1]． 【答案】 [－4,1]5. 求函数y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域． 【解】 ∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 又∵－5≤x ≤－2，∴－4≤x ＋1≤－1， ∴1≤(x ＋1)2≤16， ∴－12≤4－(x ＋1)2≤3， ∴所求函数的值域为[－12,3]．。