傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略

如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧Heinrich，生娃学工打折腿这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。

但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。

老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。

（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。

所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。

至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。

但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。

这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。

无论如何，耐下心，读下去。

这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……一、嘛叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。

这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。

而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。

但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。

但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：好的！下课，同学们再见。

傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。

而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。

所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。

而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。

傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。

主要用于信号处理。

拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。

z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。

第四章Z变换1 Z变换的定义(1) 序列的ZT：(2) 复变函数的IZT：，是复变量。

(3) 称与为一对Z变换对。

简记为或(4) 序列的ZT是的幂级数。

代表了时延，是单位时延。

(5) 单边ZT：(6) 双边ZT：2 ZT收敛域ROC定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。

收敛的充要条件是它(3) 有限长序列的ROC序列在或(其中)时。

收敛域至少是。

序列的左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)当时，收敛域为( 除外)右边序列的ROC序列在时。

如果，则序列为因果序列。

ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。

左边序列的ROC序列在时。

如果，则序列为反因果序列。

ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。

双边序列的ROC序列在整个区间都有定义。

双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。

注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。

对傅里叶变换、拉氏变换、z变换详细剖析变换的实质是将一个信号分离为无穷多多正弦/复指数信号的加成，也就是说，把信号变成正弦信号相加的形式——既然是无穷多个信号相加，那对于非周期信号来说，每个信号的加权应该都是零——但有密度上的差别，你可以对比概率论中的概率密度来思考一下——落到每一个点的概率都是无限小，但这些无限小是有差别的。

所以，傅里叶变换之后，横坐标即为分离出的正弦信号的频率，纵坐标对应的是加权密度。

对于周期信号来说，因为确实可以提取出某些频率的正弦波成分，所以其加权不为零——在幅度谱上，表现为无限大——但这些无限大显然是有区别的，所以我们用冲激函数表示。

已经说过，傅里叶变换是把各种形式的信号用正弦信号表示，因此非正弦信号进行傅里叶变换，会得到与原信号频率不同的成分——都是原信号频率的整数倍。

这些高频信号是用来修饰频率与原信号相同的正弦信号，使之趋近于原信号的。

所以说，频谱上频率最低的一个峰（往往是幅度上最高的），就是原信号频率。

傅里叶变换把信号由时域转为频域，因此把不同频率的信号在时域上拼接起来进行傅里叶变换是没有意义的——实际情况下，我们隔一段时间采集一次信号进行变换，才能体现出信号在频域上随时间的变化。

我的语言可能比较晦涩，但我已尽我所能向你讲述我的一点理解——真心希望能对你有用。

我已经很久没在知道上回答过问题了，之所以回答这个问题，是因为我本人在学习傅里叶变换及拉普拉斯变换的过程中着实受益匪浅——它们几乎改变了我对世界的认识。

傅里叶变换值得你用心去理解——哪怕苦苦思索几个月也是值得的——我当初也想过：只要会算题就行。

但浙大校训“求是”时时刻刻鞭策着我追求对理论的理解——最终经过很痛苦的一番思索才恍然大悟。

建议你看一下我们信号与系统课程的教材：化学工业出版社的《信号与系统》，会有所帮助。

（另一种说法）对于周期函数f，傅立叶变换就是把这个函数分解成很多个正弦函数fn的和，每个fn的频率是f的n倍。

傅里叶变换拉普拉斯变换 z变换主题：傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换引言：在信号与系统领域，傅里叶变换、拉普拉斯变换和z变换是三种重要的数学工具。

它们被广泛应用于信号处理、图像处理、电路分析等领域。

本文将介绍这三种变换的基本概念和应用，并探讨它们之间的关系和特点。

一、傅里叶变换1.1 基本概念傅里叶变换是将一个函数表示为正弦和余弦函数的线性组合。

对于一个函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义如下：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，ω是频率，e^(-jωt)表示复指数函数。

1.2 特点和应用傅里叶变换具有如下特点：- 可以将一个信号分解成不同频率的分量，进而进行频谱分析。

- 可以将时域信号转换为频域信号，便于对信号的时频属性进行分析。

- 在信号处理中，傅里叶变换在滤波、频谱分析等方面有着重要的应用。

1.3 傅里叶变换的逆变换傅里叶变换的逆变换可以将频域信号恢复为时域信号。

逆变换的定义如下：f(t) = ∫[F(ω)e^(jωt)]dω二、拉普拉斯变换2.1 基本概念拉普拉斯变换是将一个函数表示为指数衰减函数的线性组合。

对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换F(s)定义如下：F(s) = ∫[f(t)e^(-st)]dt其中，s是复数变量，表示频域变量。

2.2 特点和应用拉普拉斯变换具有如下特点：- 可以对连续时间信号进行频域分析，并描述系统的稳定性。

- 可以求解线性时不变系统的微分方程。

- 在控制系统、电路分析等方面有着广泛的应用。

2.3 拉普拉斯变换的逆变换拉普拉斯变换的逆变换可以将频域信号恢复为时域信号。

逆变换的定义如下：f(t) = (1/2πj)∫[F(s)e^(st)]d s，积分路径为垂直于Im(s)轴的线。

三、z变换3.1 基本概念z变换是傅里叶变换和拉普拉斯变换的离散形式，也是一种离散时间信号的频域分析方法。

对于一个离散时间信号f[n]，其z变换F(z)定义如下：F(z) = ∑[f[n]z^(-n)]其中，z是复数变量。

变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换1、傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。

2、拉普拉斯变换定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。

作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。

拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。

FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。

信号三大变换公式信号处理领域中，常用的三大变换公式分别为傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。

这些变换公式在信号处理中起到了重要的作用，能够帮助我们分析和处理各种类型的信号。

下面将详细介绍这三大变换公式。

一、傅里叶变换：傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的方法。

它可以将一个信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加。

傅里叶变换的数学表达式为：F(ω) = ∫[f(t) ⨉ e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号在频域的表示，f(t)是信号在时域的表示，ω是角频率，e^(-jωt)是复指数函数。

傅里叶变换可以用于信号的频谱分析，可以将信号分解成频率分量，从而帮助我们了解信号的频率分布情况。

此外，傅里叶变换还可以用于滤波、编码和解码等方面的应用。

二、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是一种将一个信号从时域转换到复平面的变换方法。

它将时域中的信号转换为复平面上的点，可以将信号的幅度和相位信息进行分析。

拉普拉斯变换的数学表达式为：F(s) = ∫[f(t) ⨉ e^(-st)] dt其中，F(s)是信号在复平面上的表示，f(t)是信号在时域的表示，s 是复平面上的变量，e^(-st)是复指数函数。

拉普拉斯变换可以用来解决时域中的微分方程和差分方程问题，以及处理电路和控制系统等方面的信号分析和系统设计问题。

三、Z变换：Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的方法。

它是离散时间傅里叶变换的离散形式，可以将离散信号的频谱和相位信息进行分析。

Z 变换的数学表达式为：F(z)=Σ[f[n]⨉z^(-n)]其中，F(z)是信号在复平面上的表示，f[n]是信号在时域的表示，z 是复平面上的变量，z^(-n)是复数的幂。

Z变换可以用来分析和设计数字滤波器、解离散时间系统的差分方程和处理离散序列的频谱分析等问题。

总结：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换是信号处理中常用的三大变换公式。

它们分别将信号从时域、时频域和到频域进行转换，可以帮助我们理解和分析各种类型的信号，并在信号处理、滤波和系统设计等方面提供重要的工具。

拉普拉斯变换与Z变换拉普拉斯变换与Z变换从傅⾥叶变换到拉普拉斯变换1. Fourier 变换：x(t)F⟶X(jω)X(jω)F−1⟶x(t)X(jω)=|X(jω)|幅度谱e j相位谱θ(jω)F变换把时域分析的卷积运算转化为频率域的乘积运算2. 连续时间Fourier 变换收敛条件：狄⾥赫利条件1.∫+∞−∞|x(t|dt<∞，x(t)绝对可积2.在任何有限区间内，x(t)只有有限个最⼤值和最⼩值3.在任何有限区间内，x(t)只有有限个不连续点，且不连续点上信号有有限值⼀些常见信号如阶跃、斜坡、周期都不满⾜绝对可积的条件，不能直接求F变换eg: 周期信号x(t)F⟷2πX1(jω)=∑∞k=−∞2πa kδ(ω−kω0)，当t→∞，x(t) 不趋于03. 解决⽅法：在⾃然界，指数信号exp(−x) 是衰减最快的信号之⼀，对信号乘上指数信号之后，很容易满⾜绝对可积的条件。

引⼊衰减因⼦e−σt，乘以x(t)，使t→∞,x(t)e−σt→0。

F{x(t)e−σt}=∫+∞−∞x(t)e−σt e−jωt dt=∫+∞−∞x(t)e−tS(σ+jω)dt⇔X(σ+jω)=∫+∞−∞x(t)e−tS(σ+jω)dt⇔L{x(t)}=X(s)=∫+∞−∞x(t)e−st dt双边Laplace变换正变换X(s) 称为X(t) 的象函数x(t)e−σt=F−1{X(σ+jω)}=12π∫+∞−∞X(σ+jω)e jωt dωx(t)=12π∫+∞−∞X(σ+jω)e(σ+jω)t dωx(t)=L−1{X(s)}=12πj∫σ+j∞σ−j∞X(s)e st ds Laplace反变换4. 衰减因⼦e−σt：e st=e(σ+jω)t=eσt e jωt数学含义：原函数乘以衰减因⼦以满⾜绝对可积条件物理含义：频率ω变换为复频率sω只能描述振荡的重复频率s不仅描述重复频率，还描述振荡幅度的增长速率或衰减速率5. 关系：傅⾥叶变换可以看做是拉普拉斯的⼀种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)，拉普拉斯变换是傅⾥叶变换的推⼴，是⼀种更普遍的{表达形式。