初中数学八年级下册第十七章反比例函数取值范围问题的破解指招Word版

新人教版初中数学八年级下册第十七章《反比例函数取值范围问题的破解指招（1）》---------------“十二字”破解法在《反比例函数》一章中，我们经常遇到根据一次函数和反比例函数的图像求自变量X的取值范围。

针对这类问题，很多学生解答的不是很顺利，而且这类问题出现的频率还是比较高的。

为此，笔者在对此类问题的深入思考的基础上，逐渐形成了“求交点、分区间、看上下、定范围”的十二字破解方法，这将有助于学生在对此类问题的探究上有一个清晰的思路。

同时，这种方法，对于处理一次函数与二次函数图像问题，也起到相当的作用。

下面试举一例阐述其分析思路：1.典型例题：如图所示，在直角坐标系中，反比例函数Y=3/X与一次函数Y=X+2交于A、B两点，根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围。

2.1）求交点列方程组Y=3/XY=X+2解方程组得：X=1,Y=3;或X=-3,Y=-1。

即A(1,3),B(-3,-1)2）分区间如图所示，分成四个区间3）看上下找反比例函数的图像在一次函数图像之上的区间。

不难发现第一和第三区间符合要求。

4）定范围根据找到的符合题意的区间写出X的取值范围。

即-3<X且0<X<1.3.方法总结：对于此类问题我们一般遵循“求交点、分区间、看上下、取范围”这十二字的分析思路进行。

1）求交点求出反比例函数和一次函数图像上的交点（一般为两个），具体过程就是联立方程组求出交点坐标；2）分区间分别过两个交点作垂直于X轴的垂线，一般情况下，这两条直线和Y 轴将图像分成四个区间；3）看上下在分得的四个区间中，根据图像上下之间的关系，找出能够满足题意的区间。

在每一区间内，哪个函数的图像在上方，哪个函数的值就越大。

YXCO AB4）定范围就是根据选定的区间确定对应的X 的取值范围。

亲爱的读者，特别是对该种类型的习题迷惑的同学，你不妨尝试运用以上四个环节，进行此类问题的取值范围的求解。

新世纪教育网 精品资料版权所有@新世纪教育网第17章第1 节反比例函数的图象与性质第2 课时总第17 个教案学习目标（1）知识与技能：进一步了解反比例函数的图象和性质，会根据问题中的条件确定反比例函数的解析式。

（2）过程与方法：渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辩证唯物主义思想。

（3）情感、态度与价值观：让学生感受数学就在身边，使学生乐于亲近数学，感受数学，喜欢数学，体会数学的应用价值。

学习重点通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性。

学习难点用待定系数法确定反比例函数的解析式教具学具直尺、三角板、课件本节课预习作业题1、已知反比例函数xky=的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的解析式为，图象在第象限，在每一象限内，y随x 的增大而，它的图象关于成中心对称．2、已知反比例函数xky=的图象经过点（-1，2），则一次函数y＝－kx+2 的图象一定不经过第象限。

3、反比例函数xky=的图象与正比例函数y＝2x的图象，交于点A（1，m），则m＝，反比例函数的解析式为，这两个图象的另一个交点坐标是．（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：教学环节教学活动过程思考与调整活动内容师生行为预习交流1、已知反比例函数xky=的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的解析式为xy2-=，图象在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，它的图象关于原点成中心对称．2、已知反比例函数xky=的图象经过点（-1，2），则一次函数y＝－kx+2 的图象一定不经过第四象限。

学生通过预习，先独立完成上述问题。

课上学生以小组的形式进行交流，对答案不统一的问题，进行再学习、再思考，争取得出一致的答案。

教师在旁边巡视，适当时给予点拨。

通过同学的再学习，师生共同得1、教师应重点关注学生对反比例函数的图象与性质的真正掌握。

2、小组合作共同寻求，探索，让学生明3、反比例函数xky =的图象与正比例函数y ＝2x 的图象，交于点A （1，m ），则m ＝ 2 ，反比例函数的解析式为 xy 2= ，这两个图象的另一个交点坐标是 （-1，-2）．出正确的结论。

第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x ky =还可以写成kx y =2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，x ky =（为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限 函数的增减性o k > 一、三象限 在每个象限内，值随的增大而减小 o k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k kkx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky =，（0≠k ）即kx y =（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点，，，，， 。

第十七章 实际问题与反比例函数导学案21.把握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科整合思想.2.深刻明白得反比例函数在现实生活中的应用.3.体会数学与物理间的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方式解决问题的能力。

重点：将反比例函数与其他学科整合.难点：如何从实际问题中抽象数学问题、成立数学模型、再解决其他学科问题.１什么叫反比例函数，写出它的标准形式？用函数观点解实际问题，一要弄清题目中的大体数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应知足什么样的关系式（包括已学过的大体公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练把握反比例函数的意义、图象和性质，专门是图象，要做到数形结合，如此有利于分析和解决问题。

这是解决实际问题的大体思路。

1．必然质量的氧气，密度是体积V 的反比例函数，当V ＝8m 3时，ρ＝1.5kg/m 3，那么ρ与V 的函数关系式为______．2．由电学欧姆定律知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R ＝20时，电流强度I ＝0.25A ．那么(1)电压U ＝______V ； (2)I 与R 的函数关系式为______；(3)当R ＝12.5时的电流强度I ＝______A ；(4)当I ＝0.5A 时，电阻R ＝______．学始于疑1．小明家新买了几桶墙面漆，预备从头粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？ 课中探究 二 三 一2．台灯的亮度、风扇的转速都能够调剂，你能说出其中的道理吗？探讨点 实际问题与反比例函数[例3]小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，别离为1200牛顿和0．5米．(1)动力F 与动力臂l 有如何的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?(2)假假想使动力F 不超过题(1)中所使劲的一半，那么动力臂至少要加长多少? 试探１：物理中的杠杆定律：阻力⨯ =动力⨯ .由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式。

初二下数学第十七章（反比率函数）教课设计17、1、 1 反比率函数的意义【一】教课目的1、使学生理解并掌握反比率函数的看法2、能判断一个给定的函数能否为反比率函数，并会用待定系数法求函数分析式3、能依据实质问题中的条件确立反比率函数的分析式，领会函数的模型思想【二】重、难点1、要点：理解反比率函数的看法，能依据条件写出函数分析式2、难点：理解反比率函数的看法3、难点的打破方法：〔1〕在引入反比率函数的看法时，可适合复习一下第 11 章的正比率函数、一次函数等有关知识，这样以旧带新，互相对照，能加深对反比率函数看法的理解〔 2〕注意指引学生对反比率函数看法的理解，看形式y k，等号左侧是函数y，等x号右侧是一个分式，自变量 x 在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为量 x 的取值范围，因为 x 在分母上，故取 x≠0 的一确实数；看函数 y≠0，且 x≠ 0，所以函数值 y 也不行能为 0。

解说时可比较正比率函数两者分析式的同样点和不一样点。

0 的常数 k；看自变的取值范围，因为 k y＝kx〔 k≠0〕，比较〔 3〕y k〔k≠0〕还可以够写成y kx1〔k≠0〕或xy＝k〔k≠0〕的形式x【三】例题的企图剖析教材第 46 页的思虑题是为引入反比率函数的看法而设置的，目的是让学生从实质问题出发，研究此中的数目关系和变化规律，经过察看、议论、概括，最后得出反比率函数的概念，领会函数的模型思想。

教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求反比率函数分析式的题，本题的目的一是要加深学生对反比率函数看法的理解，掌握求函数分析式的方法；二是让学生进一步领会函数所包含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。

增补例 1、例 2 都是常有的题型，能帮助学生更好地理解反比率函数的看法。

增补例3是一道综合题，本题是用待定系数法确立由两个函数组合而成的新的函数关系式，有必定难度，但能提升学生剖析、解决问题的能力。

新世纪教育网 精品资料版权所有@新世纪教育网第17章第1 节实际问题与反比例函数第1 课时总第18 个教案学习目标（1）知识与技能：进一步运用反比例函数的概念解决实际问题。

（2）过程与方法：1、在运用反比例函数解决实际问题过程中，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。

2、经历“实际问题-建立模型-拓展应用”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力。

（3）情感、态度与价值观：运用反比例函数解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。

学习重点运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。

学习难点用反比例函数的思想方法分析解决实际问题，在解决实际问题的过程中进一步巩固反比例函数的性质。

教具学具直尺、三角板、课件(1.5,6.4)321200150100500A VP本节课预习作业题1、已知函数xy 6=，当x=2时，y= ;当y=2时，x= 。

2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时气球内气体的气压p(千帕)是气体V(立方米)的反比例函数，其图象如下图：(1)观察图象经过已知点________ (2)求出它们的函数关系式。

(3)当气球的体积是0.8立方米时， 气球内的气压是多少千帕？3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y （m ）是面条的粗细（横截面积）S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示：（1）写出y 与S 的函数关系式； （2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计： 教学 环节教学活动过程思考与调整 活动内容师生行为预习交流1、已知函数x y 6=，当x=2时，y= 3 ;当y=2时，x= 3 。

2、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时气球内气体的气压p(千帕)是气体V(立方米)的反比例函数，其图象如下图：(1)观察图象经过已知点__（1.5.6.4）___ (2)求出它们的函数关系式。

17．2 实际问题与反比例函数(三)三维目标一、知识与技能1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．三、情感态度与价值观1．积极参与交流，并积极发表意见．2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．教学重点掌握从物理问题中建构反比例函数模型．教学难点从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．教具准备多媒体课件．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．[例1]在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R ＝5欧姆时，电流I＝2安培．(1)求I与R之间的函数关系式；(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．设计意图：运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力．师生行为：可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．师：从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I与R的一对对应值)得到字母系数k的值．生：(1)解：设I＝kR∵R＝5，I＝2，于是2＝k5，所以k＝10，∴I＝10R．(2)当I＝0.5时，R＝10I＝100.5＝20(欧姆)．师：很好!“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢?生：这是古希腊科学家阿基米德的名言．师：是的．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；阻力×阻力臂＝动力×动力臂(如下图)下面我们就来看一例子．二、讲授新课活动2[例3]小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米．(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?设计意图：物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系．因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用．师生行为：先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题．教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系．教师在此活动中应重点关注：①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣．师：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题．生：解：(1)根据“杠杆定律”有F·l＝1200×0.5．得F＝600l当l＝1.5时，F＝6001.5＝400．因此，撬动石头至少需要400牛顿的力．(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有F l＝600，l＝600F．当F＝400×12＝200时，l＝600200＝3．3－1.5＝1.5(米)因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米．生：也可用不等式来解，如下：Fl＝600，F＝600l．而F≤400×12＝200时．600l≤200l≥3．所以l≥3－1.5＝1.5．即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米．生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出．师：很棒!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题：用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l，动力为F，阻力×阻力臂＝k(常数且k＞0)，所以根据“杠杆定理”得F l ＝k ，即F ＝k l (k 为常数且k ＞0)根据反比例函数的性质，当k ＞O 时，在第一象限F 随l 的增大而减小，即动力臂越长越省力．师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛．例如在解决经济预算问题中的应用． 活动3问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x －0．4)元成反比例．又当x ＝0．65元时，y ＝0.8．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少? 设计意图：在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题． 师生行为：由学生先独立思考，然后小组内讨论完成． 教师应给予“学困生”以一定的帮助． 生：解：(1)∵y 与x －0．4成反比例， ∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入y ＝kx －0.4，得 k0.65－0.4＝0.8．解得k ＝0.2， ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2∴y 与x 之间的函数关系为y ＝15x －2(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3(1＋15x －2)＝0.3(1＋×2＝0.6(亿元)答：本年度的纯收人为0.6亿元， 师生共析：(1)由题目提供的信息知y 与(x －0.4)之间是反比例函数关系，把x －0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x ＝0.65时，y ＝0.8得出字母系数的值； (2)纯收入＝总收入－总成本． 三、巩固提高 活动4一定质量的二氧化碳气体，其体积y(m 3)是密度ρ(kg ／m 3)的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度ρ＝1.1 kg ／m 3时二氧化碳气体的体积V 的值．设计意图：进一步体现物理和反比例函数的关系． 师生行为由学生独立完成，教师讲评．师：若要求出ρ＝1.1 kg ／m 3时，V 的值，首先V 和ρ的函数关系． 生：V 和ρ的反比例函数关系为：V ＝990ρ．生：当ρ＝1.1kg ／m 3根据V ＝990ρ，得V ＝990ρ＝9901.1＝900(m 3)．所以当密度ρ＝1.1 kg ／m 3时二氧化碳气体的气体为900m 3． 四、课时小结活动5你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得． 设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结不流于形式而具有实效性．师生行为：学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流． 教师组织学生小结．反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础．用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系． 板书设计17．2 实际问题与反比例函数(三)1．2．用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力?设阻力为F 1，阻力臂长为l 1，所以F 1×l 1＝k(k 为常数且k ＞0)．动力和动力臂分别为F ，l ．则根据杠杆定理，F ·l ＝k 即F ＝k l(k ＞0且k 为常数)．由此可知F 是l 的反比例函数，并且当k ＞0时，F 随l 的增大而减小．活动与探究学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y 与另一边x 之间的函数关系式如下图所示．(1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗?(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m ，那么它的宽应控制在什么X 围内?x(m) 10203040y(m)过程：点A(40，10)在反比例函数图象上说明点A 的横纵坐标满足反比例函数表达式，代入可求得反比例函数k 的值．结果：(1)绿化带面积为10×40＝400(m 2) 设该反比例函数的表达式为y ＝kx，∵图象经过点A(40，10)把x ＝40，y ＝10代入，得10＝k40，解得，k ＝400．∴函数表达式为y ＝400x． (2)把x ＝10，20，30，40代入表达式中，求得y 分别为40，20，403，10．从图中可以看出。