2019-2020学年永州市名校数学高二(下)期末学业质量监测试题含解析

2019-2020学年永州市名校数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．随机变量a 服从正态分布()21,N σ，且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1xy a a=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750 B ．0.3000 C ．0.2500 D ．0.2000【答案】C 【解析】1x y a a =+-Q 图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且()()()()1010.3000,120.3000,210.60000.20002P a P a P a <<=∴<<=∴>=-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为0.20.250010.2=-，故选C.2．双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】依据双曲线性质，即可求出。

【详解】 由双曲线得，，即，所以双曲线的渐近线方程是，故选D 。

【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线的渐近线方程是；双曲线的渐近线方程是。

3．已知函数3()32sin f x x x x =--+，设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则 A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导，得出函数()y f x =在R 上单调递减，利用中间值法比较a 、b 、c 的大小关系，利用函数()y f x =的单调性得出()f a 、()f b 、()f c 三个数的大小关系．【详解】()332sin f x x x x =--+Q ，()222332cos 332310f x x x x x '∴=--+≤--+=--<，所以，函数()y f x =在R 上单调递减，0.30221a =>=Q ，2000.30.3<<，即01b <<，22log 0.3log 10c =<=，则a b c >>， Q 函数()y f x =在R 上单调递减，因此，()()()f a f b f c <<，故选D.【点睛】本题考查函数值的大小比较，这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小，其中单调性可以利用导数来考查，本题中自变量的结构不相同，可以利用中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题． 4．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x ，23，27，28，31，其中，中位数为22，则x 等于（） A ．21 B ．22C ．23D ．24【答案】A 【解析】 【分析】这组数据共有8个，得到这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，列出中位数的表示式，得到关于x 的方程，解方程即可． 【详解】由条件可知数字的个数为偶数，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数， ∴中位数22232x +=， ∴x ＝21 故选A ． 【点睛】本题考查了中位数的概念及求解方法，属于基础题．5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ={两个点数互不相同}，B ={出现一个5点}，则()/P B A =( )A ．13B ．518C ．16D ．14【答案】A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36−6=30， 事件B:出现一个5点，有10种， ∴()101|303P B A ==， 本题选择A 选项.点睛：条件概率的计算方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，然后利用公式进行计算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，然后求概率值. 6． “11x<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】 由11x <可得0x <或1x >，所以若1x >可得11x <，反之不成立，11x<是1x >的必要不充分条件 故选B 【点睛】命题：若p 则q 是真命题，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 7．已知函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-上方程()0f x mx m --=有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A ．1[0,)2B ．1[,)2+∞C ．1[0,)3D ．1(0,]2【答案】D 【解析】分析：首先根据题意，求得函数()f x 在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数(),y f x y mx m ==+的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈，1()1(1)f x f x =-+111x =-+1x x =-+，在同一坐标系内画出(),y f x y mx m ==+的图像，动直线y mx m =+过定点(1,0)-，当再过(1,1)时，斜率12m =， 由图象可知当102m <≤时，两图象有两个不同的交点， 从而()()g x f x mx m =--有两个不同的零点，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.8．利用反证法证明“若|2||2|0x y -+-=，则2x y ==”时，假设正确的是（ ） A ．,x y 都不为2 B ．x y ≠且,x y 都不为2 C ．,x y 不都为2 D ．x y ≠且,x y 不都为2【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的知识，选出假设正确的选项. 【详解】原命题的结论是“,x y 都为2”，反证时应假设为“,x y 不都为2”． 故选：C 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，属于基础题.9．设x ，y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2y z x =-的取值范围为( )A ．22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．[]3,3-【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域,将问题转化为可行域中的点与点(2,0)D 的斜率问题,结合图形可得答案. 【详解】画出满足条件得平面区域,如图所示:目标函数2yz x =-的几何意义为区域内的点与(2,0)D 的斜率，过(1,2)-与(2,0)时斜率最小,过(1,2)--与(2,0)时斜率最大，min max 2222,.123123z z -∴==-==---- 故选:A.【点睛】本题考查了利用线性规划求分式型目标函数取值范围问题,解题关键是转化为斜率,难度较易.10．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B 【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 11．已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x x =-=，那么A B =I ( )A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．∅【答案】C 【解析】 【分析】解出集合B ，即可求得两个集合的交集. 【详解】由题：{}{}20,1|0B x x x =-==，所以A B =I {}0,1. 故选：C 【点睛】此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出方程的解集，根据集合交集运算法则求解.12．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件为4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】 确定事件，利用古典概型的概率公式计算出和，再利用条件概型的概率公式可计算出的值. 【详解】 事件为“名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则，，，故选：A.【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题。

二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______. 【答案】ai b -,ai b -+ 【解析】 【分析】由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可. 【详解】由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z ia bi ai bi aib -+=-=+=+=-,即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+ 故答案为：ai b -,ai b -+ 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2a bi z +=的关系,属于基础题型. 14．如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．【答案】22e互为反函数的图象关于直线y x =对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积. 【详解】如图所示，连接AC ，易得(1,),(0,1),(1,0)A e B C ，12()2()2x S S S e e dx ∴=⨯-=⨯-=⎰阴影矩形曲边梯形，22P e ∴=. 【点睛】考查灵活运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维能力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法直接求. 15．已知函数2()cos (),()sin 2212x f x g x x π=-=.设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，则0()g x 的值等于_______．3【解析】 【分析】先将f （x ）的解析式进行降幂，再由x=x 0是函数y=f （x ）图象的一条对称轴可得到x 0的关系式，将x 0的关系式代入即可得到答案． 【详解】由题设知1[1]26f x cos x π=+-（）（） ． 因为0x x =是函数y=f （x ）图象的一条对称轴，所以06x k ππ-= ，即0223x k ππ=+（k∈Z）．所以003223g x sin x sin k ππ==+=（）（）． 故答案为32．本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称轴问题．属中档题. 16．在ABC V 中，2sin sin cos 3b A B a B b +=，则ab=_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出sin 3sin A B =，再次利用正弦定理的边化角公式得出sin sin a A b B=. 【详解】由正弦定理的边化角公式得出22sin sin sin cos 3sin A B A B B ⋅+⋅= 即sin 3sin A B =所以sin 3sin a A b B== 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，属于中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求；（2）猜想的表达式并证明. 【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】 【分析】 （1）分别代入计算即可求解；（2）猜想:，利用数学归纳法证明即可【详解】 当当当（2）猜想:.证明：①当时，显然成立；②假设当且时，成立.则当时，由,得，整理得.即时,猜想也成立.综合①②得.【点睛】本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题 18．设函数ππ()sin()cos()32f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()03f =. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短为原来的14倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在ππ[,]36-上的最值.【答案】（1）12；（2）最小值为32-3【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简()f x ，并利用π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭解方程，解方程求得ω的值.（2）求得图像变换后()g x 的解析式，根据x 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得()g x 的最大值和最小值. 【详解】（1）因为()πππsin cos 3326f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题设知π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以πππ,36k k Z ω-=∈，故13,2k k Z ω=+∈，又03ω<<， 所以12ω=.（2）由（1）得()1π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()π3sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.ππ2π2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ233x +=-，即π3x =-时，()g x 取得最小值32-， 当ππ232x +=，即π12x =时，()g x 取得最大值3.【点睛】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的最值的求法.19．某部门为了解人们对“延迟退休年龄政策”的支持度，随机调查了100人，其中男性60人.调查发现持不支持态度的有75人，其中男性占815.分析这75个持不支持态度的样本的年龄和性别结构，绘制等高条形图如图所示.（1）在持不支持态度的人中，45周岁及以上的男女比例是多少？（2）调查数据显示，25个持支持态度的人中有16人年龄在45周岁以下.填写下面的22⨯列联表，问能否有95%的把握认为年龄是否在45周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关.参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出45周岁及以上的男性和女性的人数，再将男性和女性人数相比可得出答案；（2）先列出22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，根据临界值表找出犯错误的概率，即可对题中结论判断正误． 【详解】（1）由已知可得持不支持态度的75人中有男性8754015⨯=人， 由等高条形图可知这40个男性中年龄在45周岁及以上的有540258⨯=人；持不支持态度的75人中有女性7753515⨯=人， 由等高条形图可知这35个女性中年龄在45周岁及以上的有435207⨯=人；故所求在持不支持态度的人中，45周岁及以上的男女比例是5:4. （2）由已知可得以下22⨯列联表：计算得2K的观测值2100(4516309)100 4.35 3.8414654752523k ⋅⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为年龄是否在45周岁以下与对“延迟退休年龄政策”的态度有关. 【点睛】本题考查独立性检验，意在考查学生对独立性检验概率的理解和掌握情况，属于基础题． 20．某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望. 【答案】 (1)1315(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为1,即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为新产品,A B 都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为23,35,则()2312211353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据对立事件概率之间的概率公式可得()()13115P A P B =-=,所以至少一种产品研发成功的概率为1315. (2)由题可得设该企业可获得利润为ξ,则ξ的取值有0,1200+,1000+,120100+,即0,120,100,220ξ=,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:()2320113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()23412013515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭;()2311001355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭;()232220355P ξ==⨯=;所以ξ的分布列如下:则数学期望0120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088140=++=. 考点：分布列 数学期望 概率 21．已知函数()2221222a f x x ax a x x=+--+． （Ⅰ）若函数f （x ）的最小值为8，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数g （x ）＝|f （x ）|+f （x ）﹣16有4个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）()1,1-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；（Ⅱ）先求()g x 的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）函数()22222121122()222a f x x ax a x a x a x x x x ⎛⎫=+--+=+-++- ⎪⎝⎭， 令1t x x=+，易知t ∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h （t ）＝t 2﹣2at+2a 2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h （t ）的对称轴为t ＝a ，①当a≥2时，()2()28min h t h a a ==-=，此时a =；②当a≤﹣2时，()2()28min h t h a a ==-=，此时a =；③当﹣2＜a ＜0时，()2()22428min h t h a a =-=++=，此时无解；④当0≤a ＜2时，()min h t ＝h （2）＝2a 2﹣4a +2＝8，此时无解； 故实数a的值为（Ⅱ）令g （x ）＝0，则f （x ）＝8，则由题意，方程t 2﹣2at+2a 2﹣2＝8，即t 2﹣2at+2a 2﹣10＝0必有两根，且一根小于﹣2，另一根大于2，则()222222442100(2)42100242100a a a a a a ⎧=--⎪⎪-++-⎨⎪-+-<⎪⎩V ＞＜，解得﹣1＜a ＜1． 故实数a 的取值范围为()1,1-． 【点睛】本题主要考查分类讨论求解最值问题和根的分布，二次函数一般是从对称轴与区间的位置关系进行讨论，侧重考查分类讨论的数学思想.22．已知函数()()()ln 11,0f x ax x a x a =+->≠． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x >时，()()2f x ax <，求证：21a e>． 【答案】 (1) 见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由f （x ）含有参数a ，单调性和a 的取值有关，通过分类讨论说明导函数的正负，进而得到结论； （2）法一：将已知变形，对a 分类讨论研究()()ln 11g x x ax a x =-+->的正负，当0a <与1a ≥时，通过单调性可直接说明，当01a <<时，可得g （x ）的最大值为1g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,利用导数解得结论． 法二：分析0a <时，01x ∃>且01x →使得已知不成立；当0a >时，利用分离变量法求解证明. 【详解】（1）()()1ln 1ln f x a x a x a x a x ⎛⎫'=+-+⋅=+ ⎪⎝⎭， ①当0a >时，由1x >得ln 0x a +>，得()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增；②当0a <时，由()0f x '>得ln 0x a +<，解得1a x e -<<， 所以()f x 在()1,ae-上单调递增，在()f x 在(),ae-+∞上单调递减；（2）法一：由()()2f x ax <得()ln 10ax x ax a -+-<（*）， 设()()ln 11g x x ax a x =-+->，则()()11g x a x x'=->， ①当0a <时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=-，可知01x ∃>且01x →时， ()00g x <，()000ax g x ⋅>，可知（*）式不成立；②当1a ≥时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，()()110g x g <=-<，可知（*）式成立；③当01a <<时，由()0g x '>得11x a<<， 所以()g x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 1ln 2g x g a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭，由（*）式得ln 20a a --<， 设()ln 2h a a a =--，则()110h a a '=-<，所以()h a 在()0,1上单调递减，而2211220h e e⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，h （1）=1-2=-1<0，所以存在t 211e ∈（，），使得h （t ）=0，由()210h a h e <<⎛⎫ ⎪⎝⎭得211t a e<<<；综上所述，可知21a e>． 法二：由()()2f x ax <得()ln 10ax x ax a -+-< （*）， ①当0a <时，得ln 10x ax a -+->，01x ∃>且01x →时，00ln 10x ax a -+-<，可知（*）式不成立；②当0a >时，由（*）式得ln 10x ax a -+-<，即ln 11x a x ->-， 设()()ln 111x g x x x -=>-，则()()()()()22111ln 12ln 11x x x x x g x x x ⋅-----'==--， 设()12ln h x x x =--，则()221110xh x x x x-'=-=<，所以()h x 在()1,+∞上单调递减，又()110h e e =->，()2210h e e =-<，所以()20,x e e ∃∈，()00012ln 0h x x x =--= （**），当()001,x x ∈时，()0h x > ，得()0g x '>，所以()g x 在()01,x 上递增， 同理可知()g x 在()0,x +∞上递减，所以()()0max 00ln 11x g x g x x -==-，结合（**）式得()max 01g x x =，所以2011a x e>>， 综上所述，可知21a e >． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，涉及到了导数的应用、分类讨论、构造函数等方法技巧，属于较难题．。