五年级奥数.几何.展开图与空间想象(A级).教师版

学科教师辅导讲义班级：年 级： 五年级 辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题 立体几何拓展----三视图一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是知识图谱错题回顾三视图知识精讲相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图．三．长方体的展开图观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．上 后 前右左下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．高宽长右面左面 后面下面 前面 上面三点剖析题模精选题模一：展开图与对立面例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对．正方体有三个对面，因B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是C 与F 相对．例1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A 、B 、C 的对面分别标的是哪个字母？【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E【解析】 由已知条件，标有C ，D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有D ，或B 的对面标有D ．如果标有D ，A 的两个面相对，那么“标有C ，D 的两个面不能相对”，“标有E ，A 的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D 在朝右的面，E 在朝上的面时，F 在朝前的面上，那么只能是标有E ，C 的两个面相对，而标有F ，B 的两个面相对．经检验，这种情况满足题目要求．如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有E ，A 的两个面也不能相对，于是标有A 的对面就是标有F 的面，而标有C 的对面就是标有E 的面．此时D 在朝后的面上，E 在朝左的面上，F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D 转到朝右的面，并把E 转到朝上的面，BFA EBC FED A BCD CCEAEF D此时朝前的面上标的是A ，而朝后的面上标的是F ，与题意不符．综上所述，满足题意的答案只有一个：A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E ．例1.1.3 如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF 六个字母．其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对．现在将木块标有字母A 的那个面朝上，标有字母D 的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？【答案】 字母A【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致．那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变． 所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致．再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格木块向上的面上总是写的字母A ．例1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着1~6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？【答案】 A【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A ，B 的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A ，B ，C 的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A 面，B 面都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有1的面与C 面相对，即C 面上写的是4．1 AB C 2D 3 121A B C 2D1A B C 2D1与C 相对，C 面上写的是421 5920 19观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B 面相对，因此B 面上写的是5．则立方体展开图就如图4所示．还剩下A 面与D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有3和6．由于写有1的面，写有5的面与A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图2所示的立方体中，5与2相对，在立方体朝左的侧面上；1在朝前的侧面上．在展开图中以写有1的面为朝前的侧面，A 面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上．此时写有1的面，写有5的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此A 面上就是6．例1.1.5 下图是正方体，四边形APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图，图中的每个小方格都是边长为1的正方形．现在将其沿实线．．．折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于_________． 图3 1A B 4 2D2与B 相对， B 面上写的是5图41 A 54 2DBPEAD CB GHQFAEDCB HGFA ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】B【解析】 根据实线还原，体积为4． 题模二：三视图求表面积例1.2.1 下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（ ）．A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图【答案】C【解析】 5个在原图均已看到，易知C 符合要求．例1.2.2 右图是由18个棱长为1cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（ ）平方厘米．A ． 44B ． 46C ． 48D ． 50【答案】C【解析】 从正面、左面、上面分别可看见8、7、9块，故表面积为()21879248cm ⨯++⨯=．例1.2.3 右图中的一些积木是由16块棱长为2cm 的正方体堆成的，它的表面积是________2cm ．【答案】 200D ．B ．C ．A ．【解析】 从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩162572---=块，为可看见的1块与其下方的1块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7块、9块、8块，此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到()7982250++⨯+=个面，表面积为22250200cm ⨯=．例 1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少【答案】 37；三视图如下图所示；102【解析】 将此图分为从左到右的5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有16956137++++=块．三视图见答案，分别可看见17、15、16块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为()17151632102+++⨯=⎡⎤⎣⎦．例1.2.5 图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积． 题模三：已知三视图反推个数例1.3.1 这个图形最少是由（ ）个正方体整齐堆放而成的．正视图 俯视图 左视图A．12B．13C．14D．15【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要：122412113++++++=．例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为1的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．【答案】6【解析】根据正视图，理论上最少需要6块．而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为3166⨯=．例 1.3.3一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由__________块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个，所以该立体图形最多由23个小立方体组成．例 1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1，从前往后看是图3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？1412212从正面看从左面看【答案】16，13【解析】43416+⨯=块，424113+⨯+=块．这堆木块最多有16块，最少有13块．例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图1所示，从前面看时如图2所示，从左边看时如图3所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？【答案】10个；42平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有3个格子里是没有小立方体的，而其他6个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有1块小立方体．将所得信息填入俯视图中．图1 图2 图3从前面看1001我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2块小立方体，所以俯视图左上角处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．同理，主视图最右边一排有2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有2块小立方体．将所得信息填入俯视图中．不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：于是这一堆立方体一共有21321110+++++=个． 接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的中间共有6个会互相遮挡的面，所以表面积是()2666642⨯+++=平方厘米．从左边看1 0 0 012 1 0 0 012 1 0 0 2 0 112 1 03 0 2 011随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（）．A．A图B．B图C．C图D．D图【答案】B【解析】竖向只剪了1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上，排除A、D．易知上、下两面不在一条线上，排除C，故选B．随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________．【答案】后面、上面、左面【解析】易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排（如图），那么这五颗骰子底面上的点数之和是__________．【答案】16【解析】根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6)互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6152216++++=．随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图随堂练习形是__________．序号）【答案】 ②【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②．随练1.5 由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面积是__________．【答案】 10；34【解析】 第一层有8个，第二层有2个，共10个．其三视图分别能看到4、5、8个，故表面积为()11458234⨯⨯++⨯=．随练1.6 如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于__________平方米．【答案】 38【解析】 利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是()26672138++⨯⨯=平方米．随练1.7 如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是__________．① ② ③ ④【答案】90【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2倍，所以是()2++⨯⨯=．1415162190随练 1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】46平方厘米【解析】如图1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是9块小正方形．面积是9平方厘米．图1图2从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米．所以立体图形的表面积为927446⨯+⨯=平方厘米．随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________个这样的小正方体，最少需要__________个这样的小正方体．【答案】9；7【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个．再结合两个视图可知第二层至多4个．综上，最多9个，最少7个．作业1一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、C内的三个数字依次是_____________．【答案】3，1，2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“0”．与“B”相对的面上的数是“2”．与“C”相对的面上的数是“1”．所以A、B、C内的三个数字依次是3，1，2．作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b，而5C 2B 0A 1自我总结课后作业对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是2了，故答案是2．．作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有__________条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20条棱．作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________2cm．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个面，就可求出它露在外面的面共计()11811260++⨯=个正方形，所以它的表面积是2260160cm⨯=．作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是______平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面，所以总的表面积为54平方厘米．作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示；76【解析】将此图分为从左到右的4层，分别有11、7、5、7块，故共有1175730+++=块．三视图见答案，分别可看见13、12、11块，其中左视图有2块“被遮挡”，因此表面积为()1312112276+++⨯=⎡⎤⎣⎦．作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4B．5C．6D．8【答案】A【解析】按如图方式摆放即可．正视图俯视图左视图作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形，其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是________．正视图俯视图左视图【答案】5【解析】由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有1块，由俯视图可知底层有4块，故共有5块，体积为5．作业9一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆真方体货箱共有______________个．【答案】9【解析】俯视图确定基座，分析每块上的高度．。

年 级 五年级授课日期授课主题第6讲——立体图形问题教学内容i.检测定位通过解决立体图形问题可以培养我们的空间想象能力.许多时候拿出或自己做一个实物，亲自观察或动手操作一下，问题的解决会变得相当容易.【例1】如图6-1，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得的多面体的表面积是___________平方厘米.分析与解 先求棱长分别是1厘米、2厘米、3厘米、5厘米这四个正方体的表面积之和，然后减去图中粘贴在一起部分的面积之和.）（）（611422233-611223355⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯.19440-234（平方厘米）== 说明 解答本题的关键是要能正确分析出粘贴部分有哪几个面，以及这几个面的面积分别是多少. 随堂练习1如图6-2，将一个长方形木条平均截成6段，每段长2米，表面积增加了120平方厘米.问这根木条原来体积是多少立方厘米？【例2】在一个长24分米，宽9分米，高8分米的水槽中注入高4分米的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，问水位上升了多少分米？分析与解 首先应判断放入铁块后，水位是否能将铁块淹没.1. 假设上升水位能将铁块淹没，那么水位至少上升了6分米.由于放入的棱长为6分米的正方形铁块体积为（立方分米），216666=⨯⨯它放入水槽后水位将上升.1924216（分米）=÷÷加上原来已注入的水位高4分米.因此放入铁块后水槽中的水位高为（分米），514=+小于铁块的高6分米，因此上升的水位不能将整个铁块淹没.2. 假设水位上升了x 分米，列方程得 )4(66924+⨯⨯=⨯⨯x x ， 46+=x x ，).(8.0分米=x 答：水位上升了0.8分米. 随堂练习2一个长方体的水箱，从里面量长8分米、宽6分米.先倒入102升水，再放入一块棱长2分米的正方形铁块，这时水面离箱口2分米.问这个水箱的容积是多少立方分米（升）？【例3】正方体木块被砍掉一个角（这里的角，指三条线相交处），剩余部分最多有_____个角，最少有_____个角.分析与解 画图考虑几种情况，分别数出剩余部分有多少个角，再进行比较.截面如图6-3①，剩余部分最多有10个角；截面如图6-3②，剩余部分最少有7个角. 随堂练习3如图6-4由一个正五边形、五个长方形、五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有______条棱.【例4】如图6-5，把2、4、6、8、10、12这6个数依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，最左边的正方形上的数时12，问最右边有“？”的正方形上的数是什么？分析与解我们将展开图重新组合成立方体，令写2的面为正面得到下图6-6，可见到2与“？”相对，因此.4？随堂练习4沿图6-7的虚线折叠可以围成一个长方体.它的体积是多少？【例5】把正方体的6个面涂上六种不同的颜色，并画上朵数不同的花，各面的颜色和对应的花朵数目的情况如下表所示：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个如图6-8所示的长方体，那么这个长方体的下底面共有多少朵花？分析与解如图6-8所示，黄与蓝、紫、红、绿相邻，所以黄与白相对；又紫与黄、蓝、白（它是黄的对面）、红相邻，所以紫与绿相对；从而红与蓝相对.据此可知4个下底面的颜色依次为紫、蓝、白、红色，它们对应的花朵数分别为5、3、4、1，其和为13.随堂练习5如例5，小立方体中各面的颜色与所对应的花朵数不变，四个立方体拼成的长方体如图6-9.那么这个长方体下底面共有多少朵花？颜色红黄蓝白紫绿花朵数目 1 2 3 4 5 6【例6】在一个正方形纸板的四角剪去一个大小相同的小正方形，便可以做成一个没有盖的纸盒，按图6-10中）（A 、）（B 、）（C 、）（D 四种方法做出来的纸盒中，容积最小的是_________，容积最大的是_________.分析与解）（A 的容积为（立方厘米）64444=⨯⨯ ）（B 的容积为（立方厘米）108663=⨯⨯ ）（C 的容积为（立方厘米）128882=⨯⨯ ）（D 的容积为（立方厘米）10010101=⨯⨯ 比较后可知，容积最小的是）（A ；容积最大的是）（C . 随堂练习6下面）（A 、）（B 、）（C 是三块形状不同的铁片，将每块铁片沿虚线弯折后焊接成一个无盖的开口为正方形的长方形铁箱，装水最多的水箱是由_______铁皮焊接的.想一想如图1，将1、2、3、4、5、6、7、8分别放置于正方体的8个顶点a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 处，使每一个面上的4个数的和相等.答案如图②，每个面上的4个数的和为18.ii.针对培养1.如图是用棱长1厘米的立方体搭成的一个空间图形.问其体积是多少？表面积是多少？2.从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的长方体后，剩下的部分正好是棱长为4厘米的正方体.问原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？3.一下图中可以拼成正方体的是（）4.一根铁丝围成的长方体，长15分米，宽8分米，高7分米.如果还用这根铁丝改围成一个正方体，那么这个正方体的棱长是多少分米？5.有三个完全一样的长方体，用三种不同的方法，分别切成了两个完全一样的长方体，结果它们的表面积分别增加了40、48、60平方厘米.想一想，原来的长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？6.一个长方体水箱，长5分米、宽4分米、深3分米，水面离箱口3厘米，如果把一块棱长2分米的正方体水泥块放入水中，这时箱内会溢出多少升水？7.有一个空的长方体容器A（如图①）和一个水深24厘米的长方体容器B（如图②）.现将容器B中的水倒一部分到容器A中，使两容器水的高度相同，这时两容器的水深为几厘米？8.如图，有一个“空心”大长方体，空心部分相对的两个面是通的，问这个“空心”大长方体是由多少个小木块组成的？（这些小木块是完全相同的正方体）9.从一个长方体上截下一个体积是100立方厘米的小长方体后，剩下部分正好是一个棱长为5厘米的正方体.原来长方体的表面积是多少平方厘米？10.用三个同样的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米的小长方体，拼成一个表面积最大的长方体.这个大长方体的表面积是多少平方厘米？11.一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都涂满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块.问锯成的木块中几个三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各有多少个？有没有各个面都没有油漆的？12.一个长方体，如果长增加5厘米，则体积增加150立方厘米；如果宽增加4厘米，则体积增加160平方厘米；如果高增加3厘米，则体积增加144立方厘米.问长方体的表面积是多少平方厘米？。

五年级奥数春季班第12讲⽴体图形和空间想象第⼗⼆讲⽴体图形和空间想象模块⼀、⽴体图形展开图正⽅体展开图⼝诀：正⽅体盒巧展开，六个⾯⼉七⼑裁。

⼗四条边布周围，⼗⼀类图记分明。

四⽅成线两相卫，六种图形巧组合。

跃马失蹄四分开，两两错开⼀阶梯。

对⾯相隔不相连，识图巧排7凹⽥。

释义：正⽅体展开后，六个⾯需要七⼑才能变成平⾯图形；每个展开图⼀共14条边，共有11类不同的展开图；141型（四⽅成线两相卫）的有6种；231、33型（像失蹄的马）的有4种；222型（像阶梯）有1种。

相对的两个⾯展开后不相连，展开图不可能出现以下四种⽚段（⽤来排除）。

例1．（1）正⽅体展开图有种，你能都画出来吗？A．4B．8C．11D．22（2）下图表⽰正⽅体的展开图，将它折叠成正⽅体，可能的图形是A、B、C、D中的。

（3）将如图所⽰表⾯带有图案的正⽅体沿某些棱展开后，得到的图形是。

解（1）选C；141型（6种）231型（3种）222型和33型（2）选B；A中△的上⾓没有对齐上⾯的线段，所以不对；C中两个相邻⾯中的线段连在⼀起，不对；D中有三个⾯中没有任何线段或三⾓形，也不对。

（3）选C；例2．（1）把下⾯这个正⽅体展开后，究竟哪个展开图是正确的？你能把错误的图形改正确吗？（2）图2位正⽅体图1的展开图，图1中M、N分别是FG、GH的中点，CM、CN、MN是三条线段，试在图2中画出这些线段。

解：（1）选B；更改为（2）模块⼆、已知三视图求解例3．（1）已知某⽴体图形的三视图如下，每个⼩正⽅形的边长都是1，请问这个⽴体图形的体积是。

（2）已知某⽴体图形的三视图如下，每个⼩正⽅形的边长都是1，请问这个⽴体图形的体积是。

解：（1）6；从俯视图看得到（2）9；从俯视图看例4．⽤若⼲块单位正⽅体积⽊堆成⼀个⼏何体，⼩明正确地画出了这个⼏何体的正视图、俯视图和侧视图。

则所堆出的⼏何体的体积⾄少是。

解：18；从俯视图看，底层是11个，结合正视图和侧视图看第⼆层⾄少是5个，第三层有1个，第四层有1个，⼀共⾄少是19个。

知识框架重难点例题精讲【例1】数一数下图中有多少个正方体木块？【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？展开图与空间想象线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】沿图4的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是立方厘米。

【例3】下列图形经过折叠不能围成正方体的是________.【巩固】左下图是一个正方体，四边形APQC 表示用平面截正方体的截面．请在右下方的展开图中画出四边形APQC 的四条边．H F QGB CD EA FEH G D C B A【例4】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．甲乙丙【巩固】选项中有4个立方体，其中是用左边图形折成的是()．欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【例5】将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上．【巩固】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，哪些颜色分别涂在相对的面上？【例6】把2、4、6、8、10、12这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图1，最左边的正方形上的数字是12，则最右边的正方形上的数字是。

【巩固】如下图，一个正方体木块放在桌面上，每个面内都画有若干个点，相对的两个面内的点数和都是13，京京看见上、左、前三个面内的点数的和诗16，庆庆看见上、右、后三个面内的点数和是24。

那么贴着桌面的那个面的点数是___.【例7】用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体1111ABCD A B C D (如图)，大正方体内的对角线1AC ，1BD ，1CA ，1DB 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?D 1C 1B 1A 1D C B A欢迎关注：奥数轻松学余老师薇芯：69039270【巩固】如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。

课程五立体图形问题1。

长方体、正方体表面积的计算2.长方体、正方体的切割问题3.长方体、正方体的体积4.不规则物体的体积计算长方体和正方体的表面积应注意的问题(1）找出必备条件（长、宽、高或棱长）,如题中没有直接给出，则先求出必备条件，再求表面积(有盖还是无盖)。

（2）统一计量单位,单位不统一的，一般要通过化、聚,使单位统一后再计算。

（3)求所需用的面积材料时，一般用“进一法“取近似值。

（4)用同样多的立体拼图，由于拼法不同，重叠的次数不同，表面积就会发生变化，每重叠一次，就减少两个面;每切一刀，就增加两个面。

1.长方体和正方体的体积概念及其计算公式（1）长方体体积＝长×宽×高V 长方体＝abc（2） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长V 正方体＝a 32.求不规则物体的体积水中物体的体积＝容器的底面积×水上升或下降的高度。

水上升或下降的高度＝水中物体的体积÷容器的底面积容器的底面积＝水中物体的体积÷水上升或下降的高度例1有一个长15厘米，宽10厘米，高8厘米的长方体,现在要在这个长方体中挖去一个棱长为5厘米的小正方体,那么剩下部分的表面积是多少？(1) (2） （3）分析与解法根据长方体的特征我们可以知道，挖去小正方体的位置有3种情况,可能是在面上，如图(1），可能在顶点上，如图（2），可能在棱上，如图（3)。

在面上时，可以用长方体的表面积＋小正方体4个面的面积；在角上时，正好等于长方体的表面积；在棱上时,要用长方体的表面积+小正方体2个面的面积。

学习目标 重 点 总 结解：原长方体表面积为:（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米）在角上时,剩下部分的表面积是700（平方厘米）；在面上时，剩下部分的表面积是：700+5×5×4=800(平方厘米）在棱上时，剩下部分的表面积是:700＋5×5×2＝750(平方厘米）所以剩下部分的表面积是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米.说明：本题也是要考虑可能出现的各种情况，要做到不重不漏。

本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交： 两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角． 锐角比直角小，钝角比直角大．（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．边边顶点直角锐角钝角知识点拨（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直角边，一条叫斜边．（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．顶角顶角边边角角角顶角边直角边斜边直角边腰腰底直角边直角边斜边腰腰底边边边角角角（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．（21）扇形：（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱． 腰腰下底上底半径直径半圆直径弧半径半径高宽长底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”．三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．例题精讲模块一、几何图形的认识【例 1】请看下图，共有个圆圈。

五年级奥数.几何.展开图与空间想象(A级).教师版(推荐完整)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（五年级奥数.几何.展开图与空间想象(A级).教师版(推荐完整)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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五年级奥数。

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展开图与空间想象知识框架重难点例题精讲【例 1】数一数下图中有多少个正方体木块？【考点】长方体与正方体【难度】☆【题型】解答【解析】从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块．【答案】7【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？左面【考点】长方体与正方体【难度】☆【题型】解答【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218+++++=（个）面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条）．【答案】8个面，18条棱【例 2】如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】☆☆【题型】解答【解析】容器的底面积是(134)(94)45-⨯-=(平方厘米），高为2厘米，所以容器的体积是，45290⨯=(立方厘米)．【答案】90【巩固】沿图4的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是立方厘米。

五年级［奥数作业］第6讲：展开与折叠x［必做与选做］1.下面的展开图中,哪个图形是正方体的展开图？①②③④A. ①B. ②C. ③D. ④解析：通过动手操作,发现②通过折叠后可以折成正方体。

田字形、凹字形的正方体展开图是不存在的,一条直线上不能有五个正方形。

选B。

2. 下列能围成正方体的是几号图形？A. ①B. ①和②C. ③D. ③和④解析：通过观察或者动手操作可以发现,①和②都可以围成正方体。

选B。

3. 卡尔制作了一个如下图所示的正方体礼品盒,其对面图案都相同,那么这个正方体的平面展开图是［］。

A. ①B. ②C. ③D. ④解析：抓住条件“对面图案都相同”,通过观察,①满足条件。

选A。

4. 如图所示的立方体,如果把它展开,可以是下列图中的哪个？①②③④A.①B.②C.③D.④解析：从立体图形中看,有图案的三个面是相交于一个顶点的,通过动手操作折叠,发现只有④是立方体的展开图。

选D。

5. 下图需要再添上一个面,折叠后才能围成一个正方体,四个选项是四位同学补画的情况［图中阴影部分］,其中正确的是［］。

A.B.C.D.解析：通过观察或者动手操作,可以发现,B选项可以围成正方体。

选B。

6. 下图是一个正方体的展开图,如果将它组成原来的正方体,哪些点与P点重合？A. S、VB. Q、UC. T、VD. Z、Y解析：将上述展开图折叠,与P点重合的是T点和V点。

选C。

7. 下列哪个不是长方体的展开图？A. ①B. ②C. ③D. ④解析：通过观察或者动手操作可以发现,只有②不能围成一个长方体,其余三个都可以围成长方体。

选B。

8. 把下图中长方体的表面展开图折叠成一个长方体,那么与字母J重合的点是哪几个？A. B、FB. M、GC. H、ND. N、D解析：如果将上述展开图折叠,字母H和N会和字母J重合。

选C。

9. 下面这个几何体的展开图是［］。

A.B.C.D.解析：通过观察或者动手操作可以发现,上述几何体的展开图是D选项。

五年级奥数几何中的空间想象教师版模块一、对称图形【例 1】将一块正方形纸片沿对角线折叠一次,然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞,再展开正方形纸片,得到图1中的。

（填序号）①②③④【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空【解析】逆推法③【答案】③【例 2】(希望杯五年级一试第8题,6分)下面四幅图形中不是轴对称图形的是。

（填序号）（注：如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做对称图形。

）【考点】几何中的空间想象【难度】1星【题型】填空【解析】③④【答案】③④模块二、平面图形【例 3】(希望杯四年级二试第5题,6分)将一张长方形纸对折再对折（如图）,然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形一定是。

（填“三角形”、“长方形”、“梯形”或“菱形”）例题精讲知识点拨4-1-4.几何中的空间想象②展开①【考点】几何中的空间想象【难度】2星【题型】填空【解析】菱形【答案】菱形【例 4】(希望杯六年级一试第18题,6分)如图,房间里有一只老鼠,门外有一只小猫,如果每块正方形地砖的连长为50厘米,那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方厘米.(将小猫和老鼠分别看作两个点,墙的厚度忽略不计)【考点】几何中的空间想象【难度】4星【题型】填空【解析】猫看不到的地方如图所示阴影部分,其中梯形面积为（1+3.5）×2.5÷2=5.625平方米.三角形的面积为2×1÷2=1平方米.老鼠的活动范围共6.625平方米,即66250平方厘米.【答案】66250平方厘米模块三、立体图形【例 5】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上,每一个面只涂一种颜色．如图所示,现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中,红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【考点】几何中的空间想象 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体,由于红色和黑色、黄色相邻,所以它的对面不可能是黑黄两色．同理,由第二个正方体可知,红色的对面不能是白色；由第三个正方体知,红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理,黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色,又已推知不可能是绿色,所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．【答案】红色的对面是绿色 黄色的对面是蓝色黑色的对面是白色【例 6】 将“猫”“狗”“兔”“鸡”“猴”“虎”六个动物名称分别写在六个正方体的六个面上,从下面三种不同摆法中,判断这个正方体上哪些动物名名称分别写在相对面上.兔狗猫鸡狗兔猫猴兔【考点】几何中的空间想象 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题给的是一组立方图形,在这三幅图中,“兔”所在的一面始终不改变位置,因此,这三个图的转化只能是前后转动.把第一幅图向后反转一次得到第二幅图,由此可知,“猫”的对面是“鸡”；把第一幅图向前翻转一次得到第三幅图,所以“狗”的对面是“猴”,那么剩下的只有“兔”和“虎”相对.【答案】猫的对面是鸡；狗的对面是猴； 兔的对面是虎。

立体几何拓展----三视图 (教师版 )学科教师辅导讲义班级：年级：五年级辅导科目：小学思维学科教师：上课时间授课主题立体几何拓展---- 三视图知识图谱错题回顾三视图知识精讲一．三视图在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是1 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积．二．正方体的展开图上后左下右前我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等．11种展开图．三．长方体的展开图高长宽后面左面下面右面前面上面观察上图可以发现，长方体的展开图由 6 个长方形组成，相对面的面积相等，即上面=下面 =长×宽，左面 =右面 =宽×高，前面 =后面 =长×高．四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法．判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断．三点剖析重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积．题模精选2 / 17立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )题模一：展开图与对立面例 1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ， D ， E ， F 六个字母．请你根据图中的三 种摆放情况，判断每个字母的对面是______________， ______________， ______________A CDBFEBFE【答案】 B 与 D 相对， E 与 A 相对， C 与 F 相对【解析】 由于正方体的 6 个面上写了 6 个不同的字母， 那么每个字母在正方体的面上只能出现 1 次，如果 2 个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前 2 种摆放情况：在这 2 种摆放情况中，只有字母 B 出现了 2 次，那么由第 一种摆放可知， B 不与 A 相对，也不与 F 相对；由第二种摆放可知， B 不与 C 相对，也不 与 E 相对．那么在所有的字母中， B 只能与 D 相对．第二步，再看后 2 种摆放情况：在这 2 种摆放情况中，只有字母 E 出现了 2 次，那么由第 二种摆放可知， E 不与 B 相对，也不与 C 相对；由第三种摆放可知， E 不与 D 相对，也不 与 F 相对．那么在所有的字母中， E 只能与 A 相对．正方体有三个对面，因B 与 D 相对， E 与 A 相对，那么第三组对面上一定是 C 与 F 相对． 例 1.1.2 图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的， 请你利用图中已知的信息， 判断 A 、、 C 的对面分别标的是哪个字母？BEFA DDB C C C E A【答案】 A 的对面标有 D ， B 的对面标有 F ， C 的对面标有 E【解析】 由已知条件，标有 C ， D 的两个面不能相对，那么或A 的对面标有 D ，或 B的 对面标有 D ．如果标有 D ，A 的两个面相对，那么 “标有 C ，D 的两个面不能相对 ”，“标有 E ，A 的两个面也不能相对 ”这两个条件都可以满足．注意到当D 在朝右的面，E 在朝上的面时，F 在朝前 的面上，那么只能是标有E ， C 的两个面相对，而标有F ， B 的两个面相对．经检验，这种 情况满足题目要求．如果标有 D ，B 的两个面相对，那么由于标有 E ， A 的两个面也不能相对，于是标有 A 的对 面就是标有 F 的面，而标有 C 的对面就是标有 E 的面．此时 D 在朝后的面上， E 在朝左的 面上， F 在朝下的面上．我们把六面体旋转，把 D 转到朝右的面，并把 E 转到朝上的面，3 / 17立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )此时朝前的面上标的是 A ，而朝后的面上标的是 F ，与题意不符．综上所述， 满足题意的答案只有一个： A 的对面标有 D ，B 的对面标有 F ，C 的对面标有 E ．例 1.1.3 如图，第 1 个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着 ABCDEF 六个字母．其中 A 与 D 相对， B 与 E 相对， C 与 F 相对．现在将木块标有字母 A 的那个面朝上，标有字母 D 的那个面朝下放在第 1 个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到 21 格时，木块向上的面上写的是哪个字母？5921 20 19【答案】 字母 A【解析】 发现木块向左滚 4 格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致． 那么木块朝其它方向滚时也有类似的情况， 即木块向任意方向连滚4 格，它的各个面上标的字母不变． 所以木块向左滚 4 格到第 5 格时，各个面上标的字母与在第 1 格时的情况完全一致． 再向下 滚 4 格到第 9 格，再向右滚 4 格到第 13 格，再向下滚 4 格到第 17 格，最后向左滚 4 格到第 21 格，每次都是朝同一方向滚 4 格，因此在第 5 格，第 9 格，第 13 格，第 17 格，第 21 格 木块向上的面上总是写的字母A ． 例 1.1.4 如图，在一个正方体的表面上写着 1~6 这 6 个自然数，并且 1 对着 4，2 对着5，3对着 6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示．如果只知道 1 和 2 所在 的面，那么6 应该在哪个面上（写出字母代号）？ 3 1 A1 2 B C 2 D 【答案】 A【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．1 A 1 A B C2 B C 2D D1 与 C 相对，C 面上写的是 4图 1 图 2如图 1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1，A，B 的三个面两两相邻；再观察图 2 的虚线圈住的部分，发现写有A， B，C 的三个面也两两相邻．此时，写有 1 的面与 A 面， B 面都相邻， C 面也与 A 面， B 面都相邻，因此写有 1 的面与 C 面相对，即 C 面上写的是4．4 / 171 A B 4 2D立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )2 与 B 相对， 1 A B 面上写的是 5 5 4 2D图 3 图 4观察图 3 中的虚线圈住的部分， 容易看出写有 2 的面与 B 面相对， 因此 B 面上写的是 5．则 立方体展开图就如图 4 所示．还剩下 A 面与 D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有 3 和 6．由于写有 1 的面，写 有 5 的面与 A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中．在图 2 所示的立方体中， 5 与 2 相对，在立方体朝左的侧面上；1 在朝前的侧面上．在展开图中以写有 1 的面为朝前的侧面， A 面为下底面， 则写有 5 的面恰好在朝左的侧面上． 此时写有 1 的面，写有 5 的面都对齐了，而原立方体中下底面写有数字6，因此 A 面上就是 6． 例 1.1.5 下图是正方体，四边形 APQC 是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来．D C ADCGHBBABFEHG QEPF【答案】 见解析【解析】 截线在展开图中如图所示：例 1.1.6 右图是一个立体图形的平面展开图， 图中的每个小方格都是边长为 1 的正方形． 现在将其沿实线 折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于 _________．．．．5 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 ) A．3 B． 4 C．5 D． 6【答案】 B【解析】根据实线还原，体积为4．题模二：三视图求表面积例 1.2.1 下图是由5 个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（）．A ．B．C．D．A．A 图B．B图C．C 图D．D图【答案】 C【解析】 5 个在原图均已看到，易知 C 符合要求．例 1.2.2 右图是由18 个棱长为1 cm 的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（）平方厘米．A． 44 B． 46 C． 48 D．50【答案】C【解析】从正面、左面、上面分别可看见8、7、9 块，故表面积为 1 8 79 248cm2．例 1.2.3 右图中的一些积木是由16 块棱长为 2 cm 的正方体堆成的，它的表面积是________cm2．【答案】2006 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )【解析】从前到后的3 面依次有2 块、 5 块、 7 块，因此还剩16 2 5 7 2块，为可看见的 1 块与其下方的1 块．由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到7 块、9 块、 8块，此外离我们最近的2 块有两个面从6 个方向均无法看到，综上共可看到7 9 8 2 2 50个面，表面积为2250 200cm2．例1.2.4 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】37；三视图如下图所示； 102正视图俯视图左视图【解析】将此图分为从左到右的 5 层，分别有 16、9、5、6、1 块，故共有 16 9 5 6 1 37块．三视图见答案，分别可看见17、15、 16 块，其中左视图有3块“被遮挡”，因此表面积为 17 15 16 3 2 102 ．例 1.2.5 图中的立体图形由11 个棱长为 1 的立方块搭成，这个立体图形的表面积为_______．【答案】34【解析】按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积．题模三：已知三视图反推个数例 1.3.1 这个图形最少是由（）个正方体整齐堆放而成的．7 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )A． 12 B． 13 C．14 D． 1 5【答案】B【解析】从上面看下去，最少需要： 1 2 2 4 1 2 1 13 ．2 12 21 4 1例 1.3.2 此图是某几何体从正面和左面看到的图形．若该几何体是由若干个棱长为 1 的正方体垒成的，则这个几何体的体积最小是________．从正面看从左面看【答案】 6【解析】根据正视图，理论上最少需要6 块．而 6 块可以构造出来，例如，其俯视图如下图所示．因此，体积最小为136 6 ．例1.3.3 一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样的，那么该立体图形最多由 __________ 块小立方体组成．【答案】23【解析】按由上到下逐层分析，各层的小立方体数目分别不超过1 个、4 个、8 个、10 个，所以该立体图形最多由23 个小立方体组成．例 1.3.4 有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图3-1 ，从前往后看是图3-2 ，从左往右看是图 3-3 ，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？8 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )【答案】16，13 块．这堆木块最多有 16 块，最少有 13块．【解析】4 3 4 块，4 2 4 1 13 1 6例 1.3.5 地上有一堆小立方体，从上面看时如图1 所示，从前面看时如图2 所示，从左边看时如图3 所示．这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为1 厘米，那么这堆立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？图1图 2 图 3【答案】10 个； 42 平方厘米【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子．首先从俯视图很容易看出，有 3 个格子里是没有小立方体的，而其他 6 个格子里至少有一个小立方体．如下图，将所得信息填入俯视图中．结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有 1 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．1 00 1从前面看同样的，结合俯视图和左视图，又可以知道有一格只有 1 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．9 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 ) 从 1 0 左边看0 1我们来继续考虑，左视图中最左边一排有2 块小立方体，所以俯视图左上角处有2 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．2 1 00 1同理，主视图最右边一排有 2 块小立方体，所以俯视图最右边中间处有 2 块小立方体．将所得信息填入俯视图中．2 1 00 20 1 1不难看出，俯视图中最后剩下的那块有3 个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下：2 1 03 0 20 1 1于是这一堆立方体一共有 2 1 3 2 1 1 10 个．接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图．上下各能看到 6 个面，前后各能看到 6 个面，左右各能看到 6 个面，同时注意到立体图形的中间共有 6 个会互相遮挡的面，所以表面积是 2 6 66 6 42平方厘米．10 / 17立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )随堂练习随练 1.1 将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开， 展开成平面图， 其展开图的形状为 （ ）．A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图【答案】 B【解析】 竖向只剪了1 刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上， 排除 A 、D ．易知上、 下两面不在一条线上，排除 C ，故选 B ．随练 1.2 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表 示．如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面， “锦”表示 右面，“程”表示下面． 则“祝”、“你”、“前” 分别表示正方体的 ________________________ ．【答案】 后面、上面、左面【解析】 易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此 “祝 ”、 “你 ”、“前 ”分别表示正方体的后面、上面、左面．随练 1.3 小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排 （如图），那么这五颗骰子底面上的点数之 和是 __________．【答案】 16 【解析】 根据已知推出(4,5)(1,3)(2,6) 互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是6 1 5 2 2 16 ．随练 1.4 右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图11 / 17立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )形是 __________．序号）① ② ③ ④【答案】 ②【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③．所以正确答案是图②． 随练 1.5 由棱长为 1 的正方体搭成如图所示的图形，共有__________个正方体，它的表面 积是 __________．【答案】 10；34【解析】 第一层有8 个，第二层有 2 个，共 10 个．其三视图分别能看到 4、 5、 8个，故 表面积为11 4 5 82 34 ． 随练 1.6 如图，有 9 个边长为 1 米的正方体，如图所示堆成一个立体图形．该立体图形的表面积等于 __________ 平方米．【答案】 38【解析】 利用三视图．从前面、右面、上面看依次如图所示．所以该立体图形的表面积是6 67 2 238 平方米．1随练 1.7 如图 6，用若干个棱长为 1 的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是 __________．12 / 17立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )图 6【答案】 90【解析】 根据三视图， 大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积 +右视图面积的 2 倍，所以是14 15 16 2 1290 ． 随练 1.8 用棱长是 1 厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是__________平方厘米．【答案】 46 平方厘米【解析】 如图 1，从立体图形上方和下方看去，看到的都是 9 块小正方形．面积是 9 平方 厘米．图 1图 2从四个侧面看去，看到的是图2 形式的 7 块小正方形，面积是 7 平方厘米． 所以立体图形的表面积为9 2 7 4 46 平方厘米． 随练 1.9 把若干个棱长为 1 厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是如图所示的情形，这个图形最多需要__________ 个这样的小正方体，最少需要 __________ 个这样的小正方体．【答案】 9； 7【解析】 由从上方看到的结果可知第一层必有 5 个，且第二层至多 5 个；由从前面看到的结果可知共有 2 层，且第二层至少 2 个．再结合两个视图可知第二层至多 4 个．综上，最多13 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )9 个，最少7 个．自我总结课后作业作业 1 一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下．现在每方格内都填上相应的数字．已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A、B、 C内的三个数字依次是_____________ ．C 2B0A 1【答案】3， 1，2【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“ 0”．与“ B”相对的面上的数是“ 2”．与“ C”相对的面上的数是“ 1”．所以 A、B、 C 内的三个数字依次是 3， 1，2．作业 2 把 1 至 6 各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且 1 与 4 相对，2 与 5 相对，3 与 6 相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是___________．bA．2 B． 3 C．4 D． 5 【答案】 A【解析】如图， 4 对面是 1 ，所以在图 a 中把 4 翻到底面，顶部变成了1，如图b，而 514 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )对面是 2,所以当 6 转到正面时， 5 在左侧，右侧自然是 2 了，故答案是 2．．作业 3 下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有 __________ 条棱．【答案】20【解析】此立体图形，示意图如上：共20 条棱．作业 4 用若干个棱长为1cm 的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含下底面面积）等于___________ cm2．【答案】60【解析】根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的表面积分别相等．所以我们只要知道前面有11 个正方形，右面有 8 个正方形，上面有 11 个面，就可求出它露在外面的面共计11 8 11 2 60个正方形，所以它的表面积是60 1260cm2．15 / 17立体几何拓展----三视图 (教师版 )作业 5 如图，把 19 个边长为 1 厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是 ______ 平方厘米．【答案】54【解析】从上下左右前后六个方向看，分别可以看到9、9、8、8、10、10 个小正方形面，所以总的表面积为54 平方厘米．作业 6 图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的．这样的积木一共有多少块？画出它的三视图，表面积是多少？【答案】30；三视图如下图所示； 76正视图俯视图左视图【解析】将此图分为从左到右的4 层，分别有 11、7、5、7 块，故共有 11 75 730 块．三视图见答案，分别可看见13、 12、 11 块，其中左视图有2 块“被遮挡”，因此表面积为13 12 11 2 2 76 ．作业 7 由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这样的立体，最少用（）个这样的木块．A．4 B． 5 C．6 D．8【答案】 A【解析】按如图方式摆放即可．16 / 17立体几何拓展 ----三视图 (教师版 )作业 8 由若干个棱长为 1 的正方体堆成的立体图形， 其正视图、俯视图和左视图如下所示，请问这个立体图形体积是 ________． 正视图 俯视图 左视图 【答案】 5 【解析】 由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有 1 块，由俯视图可知底层有 4 块，故 共有 5 块，体积为 5． 作业 9 一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆 真方体货箱共有 ______________个．【答案】 9【解析】 俯视图确定基座，分析每块上的高度．17 / 17。

4-1-4.几何中的空间想象
知识点拨
　空间想象不仅是认识现实世界空间形式不可缺少的能力因素，而且是形成和发展创造力的源泉，因此，空间想象能力是数学教学必须培养的基本数学能力之一。

空间想象能力的培养与几何教学有关。

直观几何教学的主要任务是通过学生制作模型、搭积木、画图、模块一、对称图形
果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做对称图形。

色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？
直三棱柱的体积是多少。

知识框架一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；S=s③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图△ACD△BCD；反之，如果△ACD△BCD，则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）;⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.二、共角定理（鸟头定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.S:S=（AB x AC）：（AD x AE）△ABC△ADE或者三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：AO :OC =（S +S ）:（s +S ）1243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四 边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：S :S =a 2:b 2①13S :S :S :S =a 2:b 2:ab :ab.②1324；③S 的对应份数为（a +b ）2.CC四、相似模型（一）金字塔模（二）沙漏模型S:S_AF2:AG2②△ADE△ABC．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。