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圆与扇形面积奥数题题目1：一个扇形的半径为7 cm，圆心角为60°，求扇形的面积。
解答：扇形的面积公式为A = (θ/360°) ×πr^2，其中θ为圆心角，r为半径。
代入已知条件，A = (60°/360°) ×π×7^2 = (1/6)π×49 = 8.17 cm^2。
题目2：一个圆的半径为10 cm，以该圆的某一直径为边，切一个圆心角为120°的扇形，求该扇形的面积。
解答：扇形的面积公式为A = (θ/360°) ×πr^2，其中θ为圆心角，r为半径。
由于圆心角为120°，同一个圆心角对应的弧长是相等的，所以扇形的圆弧长度为(120°/360°) ×2π×10 = 20πcm。
代入已知条件，A = (120°/360°) ×π×10^2 = (1/3)π×100 = 104.72 cm^2。
题目3：一个扇形的半径为8 cm，圆心角为45°，求扇形的面积。
解答：扇形的面积公式为A = (θ/360°) ×πr^2，其中θ为圆心角，r为半径。
代入已知条件，A = (45°/360°) ×π×8^2 = (1/8)π×64 = 8πcm^2。
题目4：一个圆的面积为154 cm^2，以该圆的某一直径为边，切一个圆心角为110°的扇形，求该扇形的面积。
解答：圆的面积公式为A = πr^2，其中r为半径。
已知圆的面积为154 cm^2，所以πr^2 = 154，从中解得r ≈7 cm。
扇形的面积公式为A = (θ/360°) ×πr^2，其中θ为圆心角，r为半径。
代入已知条件，A = (110°/360°) ×π×7^2 = (11/36)π×49 ≈42.62 cm^2。
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长+360n⨯2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。
求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。
例题精讲圆与扇形D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。
捆地球的绳子假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，π取3.14） 答案提示：地球赤道长：22 3.14640040192r π=⨯⨯=（千米），所以绳长40192千米； 一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：40192001264000000.159π÷-≈（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。
简直不可思议！圆的知识：1. 当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心.2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.5. 圆周长=直径×π=半径×2π 圆面积=π×半径2扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆课前预习知识框架包含与排除和旋转对称心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。
【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法：1. 常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2. 包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。
第7讲 圆与扇形综合同步练习：1. 如图，已知正方形的面积为8平方厘米，求图中谷子形（阴影部分）的面积.（π取3.14）【答案】4.56【解析】设正方形的边长（或扇形的半径）为a ，则28=a ，再来求谷子形的面积，有多种求法：法1：谷子形的面积等于弓形面积的两倍，即：2211112=22 3.1488 4.564242π⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭谷子形弓形S S a a 平方厘米法2：谷子形等于正方形面积减去两个弯角，即：12828 3.148 4.564⎛⎫=-=-⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭谷子形正方形弯角S S S 平方厘米法3：谷子形等于两个直角扇形减去一个正方形，即：122 3.1488 4.564=-=⨯⨯⨯-=谷子形正方形扇形S S S 平方厘米.2. 如图，大正方形的面积是400平方厘米，则圆环的面积是 平方厘米．（π取3.14）【答案】157平方厘米．【解析】将小正方形转45°，如下图，可以看出大正方形的面积是小正方形面积的两倍，所以大圆面积是小圆面积的两倍．因为大正方形面积是400平方厘米，所以大圆面积为314平方厘米，小圆面积为157平方厘米，圆环面积为157平方厘米．3. 如下图所示，半圆1S 的面积是14.13平方厘米.圆2S 的面积是5198平方厘米，求阴影部分的面积.（π取3.14）【答案】5平方厘米【解析】设半圆1S 和圆2S 的半径分别是12,r r ，则22121514.13,1928ππ==r r ，可分别解得13=r 厘米，2 2.5=r 厘米，所以阴影部分长方形的长为225=r 厘米，宽为1222651-=-=r r 厘米，面积为515⨯=平方厘米.4. 如图，正方形的边长为3厘米，求阴影部分的周长.（π取3.14）【答案】9.28【解析】如下图，将各点标上字母，连接AE 、BE ，因为AE 、BE 、AB 都等于正方形的边长，因此△ABE 是正三角形，因此弧BE 、AE 所对的圆心角都是60°，阴影部分的周长等于弧AE 、弧BE 和线段AB 的和，为：122 3.14339.286⨯⨯⨯⨯+=厘米.5. 如图，已知圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．(π取3.14)【答案】45【解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r ，则圆环面积为()22141.3π-=R r 平方厘米，所以阴影部分面积为22141.3 3.1445-=÷=R r （平方厘米）．6. 如图，ABCD 是边长为10厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米.（π取3.14）【答案】17.875．【解析】如图，两个阴影部分的面积相当于正方形面积—三角形DOC 的面积—半圆面积， 所以该面积=()101010104 3.14552217.875⨯-⨯÷-⨯⨯÷÷=（平方厘米）.7. 如图所示，曲线ACDB 和COD 是两个半圆，CD 平行于AB ，大半圆的半径是1米，那么阴影部分的面积是______．A ．12π- B ．3142π- C ．1 D ．2π【答案】A ．【解析】因为大半圆半径为1，所以大半圆的面积为2π， 14=+-阴影小半圆大圆等腰直角三角形S S S S ，即为111+-=4422πππ⨯-．8. 如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是_____平方厘米，(π取3.14)【答案】7.125【解析】观察可知阴影部分是被以AD 为半径的扇形、以AB 为直径的半圆形和对角线BD 分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD 的面积减去扇形ADE 的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为45∠=︒ADB ， 所以扇形ADE 的面积为：224545π 3.1459.8125360360⨯⨯=⨯⨯=AD (平方厘米)， 那么左下边空白的面积为：1559.8125 2.68752⨯⨯-=(平方厘米)，又因为半圆面积为：215π9.812522⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭(平方厘米)，所以阴影部分面积为：9.8125 2.68757.125-=(平方厘米)．9. 如图，梯形ABCD 中的两个阴影部分的面积相等，DE =1cm ，∠A =∠B =45°，则CD = ______cm ．（其中π取3.14）【答案】0.57．【解析】由于两个阴影部分面积相等，可知扇形面积为梯形面积的一半，又知道扇形面积为221+=84ππ⨯⨯（11），所以梯形面积为2π，设CD 的长为x cm ，那么(11)122π+++⨯÷=x x ， 求得CD 的长为12π-=0.57cm ．C10. 三个半圆、两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是5厘米,大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大______平方厘米.（π取3.14）【答案】78.5【解析】大半圆外的阴影面积和大半圆内的阴影面积都不好直接求，题目只要求计算它们的差，同时加上图中的所有空白部分，它们的差不变.大半圆外的阴影部分加上所有空白以后是两个小圆和两个小半圆，实际等于三个小半圆的面积，为23 3.145235.5⨯⨯=平方厘米；大半圆内的阴影部分加上所有空白以后是一个大半圆的面积，为213.14101572⨯⨯=平方厘米，它们的差为78.5平方厘米. 深化练习11. 如图，已知圆心是O ，半径9=r 厘米，1215∠=∠=︒，那么阴影部分的面积是______平方厘米．（π取3.14）【答案】42.39．【解析】因为圆的半径都相等，于是=OA OB ．在等腰三角形AOB 中两个底角都是15︒．又知道三角形内角之和是180︒，所以，三角形AOB 的顶角180(1515)150∠=︒-︒+︒=︒AOB ．同理150∠=︒AOC ，因此360(150150)60∠=︒-︒+︒=︒BOC ．这就是说，阴影部分扇形的面积是圆面积的16，即2211π 3.14942.3966⨯⨯≈⨯⨯=r （平方厘米）．12. 在下图中，AC 为圆O 的直径，三角形ABC 为等腰直角三角形，其中90∠=︒C ．以B 为圆心，BC 为半径作弧CD 交线段AB 于D 点．若AC =10cm ， 试求下图中阴影部分面积之和．(π取3)【答案】62.5cm 2．【解析】阴影部分面积为圆加扇形减三角形，阴影面积为：222115101062.582ππ⨯+⨯⨯-⨯=（cm 2）．13. 如图，圆中有四条弦，每一条弦都把圆分割成面积比为13∶的两个部分，而这些弦在圆正中正好围出一个正方形．已知这个正方形的面积为2100cm ，请问图中阴影部分的面积为多少2cm ？【答案】25cm 2．【解析】因每一条弦都把圆分割成面积比为13∶的两个部分，其中较小的部分是圆的14，四块加起来应该等于整个圆的面积，因此得知正方形面积为阴影部分面积的4倍，即阴影部分的面积为2100425(cm )÷=．14. 图中3=AB ，阴影部分的面积是______.【答案】4.5．【解析】图中有两种半径的圆弧，其中半径大的所对应的圆的面积是小的2倍，小半圆面积等于大的90°扇形的面积，可以得出下图两块小阴影面积之和等于大阴影的面积，所以原题阴影面积等于中间正方形的面积3×3÷2=4.5．15. 直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于______平方厘米．【答案】105【解析】设小圆半径为r ，大圆半径为R ，则()()222-+=+R r R R r ， 4=R r ，所以大圆面积是小圆的16倍，所以小圆面积为105平方厘米．。
五年级奥数训练
第15讲圆与扇形
内容概述
掌握圆与扇形的基本概念和性质，以及它们的周长和面积计算公式，并能熟练运用公式处理相关的几何问题；学习如何利用割补法和包含排阵的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域。
典型问题
兴趣篇
1．已知一个扇形的圆心角为120°，半径为2，这个扇形的面积和周长各是多少？（л取3.14）
2．已知一个扇形的面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，这个扇形的半径和周长各是多少？（л取3.14）
3．(1)根据图15-1所给的数值，求这个图形的外周长和面积．（л取3.14）
(2)如图15.2，有8个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部
分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心。
如果圆周率л取
1。
研究圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規則圖形，通過變動圖形的位置或對圖形進行分割、旋轉、拼補，使它變成可以計算出面積的規則圖形來計算它們的面積．圓的面積2πr =；扇形的面積2π360nr =⨯； 圓的周長2πr =；扇形的弧長2π360n r =⨯．一、 跟曲線有關的圖形元素：①扇形：扇形由頂點在圓心的角的兩邊和這兩邊所截一段圓弧圍成的圖形，扇形是圓的一部分．我們經常說的12圓、14圓、16圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾．那麼一般的求法是什麼呢？關鍵是360n ．比如：扇形的面積=所在圓的面積360n⨯； 扇形中的弧長部分=所在圓的周長360n ⨯扇形的周長=所在圓的周長+360n ⨯2⨯半徑(易錯點是把扇形的周長等同於扇形的弧長)②弓形：弓形一般不要求周長，主要求面積．一般來說，弓形面積=扇形面積-三角形面積．(除了半圓) ③”彎角”：如圖： 彎角的面積=正方形-扇形 ④”穀子”：如圖： “穀子”的面積=弓形面積2⨯二、 常用的思想方法：①轉化思想(複雜轉化為簡單，不熟悉的轉化為熟悉的) ②等積變形(割補、平移、旋轉等)例題精講圓與扇形③借來還去(加減法)④週邊入手(從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關係”) 板塊一平移、旋轉、割補、對稱在曲線型面積中的應用【例 1】如圖，圓O的直徑AB與CD互相垂直，AB=10釐米，以C為圓心，CA 為半徑畫弧。
求月牙形ADBEA（陰影部分）的面積。
D【例 2】三個半徑為100釐米且圓心角為60º的扇形如圖擺放；那麼，這個封閉圖形的周長是________釐米．（π取3.14）【例 3】分別以一個邊長為2釐米的等邊三角形的三個頂點為圓心，以2釐米為半徑畫弧，得到右圖；那麼，陰影圖形的周長是_______釐米．( 取3.14)【例 4】下圖中每一個小正方形的面積是1平方釐米，那麼格線部分的面積是多少平方釐米？【鞏固】下圖中每一個小正方形的面積是1平方釐米，那麼格線部分的面積是多少平方釐米？【例 5】如圖，在18 8的方格紙上，畫有1，9，9，8四個數字．那麼，圖中的陰影面積占整個方格紙面積的幾分之幾？【鞏固】在4×7的方格紙板上面有如陰影所示的”6”字，陰影邊緣是線段或圓弧．問陰影面積占紙板面積的幾分之幾？【例 6】在一個邊長為2釐米的正方形內，分別以它的三條邊為直徑向內作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為平方釐米．【鞏固】如圖，在一個邊長為4的正方形內，以正方形的三條邊為直徑向內作三個半圓．求陰影部分的面積．【例 7】如圖，正方形邊長為1，正方形的4個頂點和4條邊分別為4個圓的圓心和半徑，求陰影部分面積．(π取3.14)【例 8】圖中的4個圓的圓心是正方形的4個頂點，它們的公共點是該正方形的中心．如果每個圓的半徑都是1釐米，那麼陰影部分的總面積是多少平方釐米？【鞏固】如圖所示，四個全等的圓每個半徑均為2m，陰影部分的面積是．或【例 9】如右圖，有8個半徑為1釐米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個花瓣圖形，圖中的黑點是這些圓的圓心．則花瓣圖形的面積是多少平方釐米？(π取3)【例 10】如圖中三個圓的半徑都是5cm，三個圓兩兩相交於圓心．求陰影部分的面積和．(圓周率取3.14)【鞏固】如圖，大圓半徑為小圓的直徑，已知圖中陰影部分面積為S，空白部分1面積為S，那麼這兩個部分的面積之比是多少？(圓周率取3.14)2【例 11】計算圖中陰影部分的面積(單位：分米)．A A 【鞏固】如圖，陰影部分的面積是多少？422【例 12】請計算圖中陰影部分的面積．【例 13】 求圖中陰影部分的面積．1212DCB A1212DCB A【例 14】 求如圖中陰影部分的面積．(圓周率取3.14)44【鞏固】如圖，四分之一大圓的半徑為7，求陰影部分的面積，其中圓周率π取近似值227．【例 15】 求下列各圖中陰影部分的面積．(1)1010(2)ba【鞏固】求下列各圖中陰影部分的面積(圖中長度單位為cm ，圓周率按3計算)：⑴3⑵⑶111⑷2⑸2⑹【例 16】 如圖，ABCD 是正方形，且1FA AD DE ===，求陰影部分的面積．(取π3=)【鞏固】求圖中陰影部分的面積(單位：cm)．2) 【例 17】如圖，長方形ABCD的長是8cm，則陰影部分的面積是2cm．(π 3.14【例 18】如圖所示，在半徑為4cm的圖中有兩條互相垂直的線段，陰影部分面積A與其它部分面積B之差(大減小)是2cm．【鞏固】一塊圓形稀有金屬板平分給甲、乙二人．但此金屬板事先已被兩條互相垂直的弦切割成如圖所示尺寸的四塊．現甲取②、③兩塊，乙取①、④兩塊．如果這種金屬板每平方釐米價值1000元，問：甲應償付給乙多少元？5cm 7.5cm 3cm2cm ④③②①【例 19】 求右圖中陰影部分的面積．(π取3)【例 20】 如圖，邊長為3的兩個正方形BDKE 、正方形DCFK 並排放置，以BC 為邊向內側作等邊三角形，分別以B 、C 為圓心，BK 、CK 為半徑畫弧．求陰影部分面積．(π 3.14=)EE。
第11讲圆与扇形进阶一、知识点圆与正方形是两个最基本的图形，在计算面积时，圆与正方形也有很大的关系.关于正方形和圆，有以下的关系：方中圆：正方形的边长等于圆的直径；圆中方：圆的直径等于正方形的对角线.利用边长与直径的关系，我们可以得到它们面积的关系.在计算一些不规则图形的面积时，我们可以利用割补的方法，而对于一些比较特殊的图形，我们可以把它看成是一些基本图形的重叠部分,利用基本图形的面积求出它们的面积.二、典型例题.3）例1 （1）图中（1）正方形的面积是8，那么圆的面积是多少？（π取14.3）（2）图中（2）正方形的面积是16，那么圆的面积是多少？（π取14（1）（2）.3）练习1 如图，已知正方形的边长是2，求大圆及小圆的面积.（π取14.3）例2 计算下面各图中阴影部分的面积，并比较大小.（π取14.3）练习2 已知长方形的面积是12，则图中阴影部分的面积是多少？（π取14.3）例3 如图，求下图中各阴影部分的面积.（π取14例4 图中正方形的边长是4厘米，圆的半径是1厘米.当圆绕正方形顺时针滚动一周又回到.3）原来位置时，扫过的面积有多大？（π取14.3）例5 如图，求阴影部分的面积.（π取14例6 （1）如图（1），一只小狗被拴在一个边长是4米的正方形的建筑物的顶点A处，四周都是空地.绳长8米.则小狗的活动范围是多少平方米？（2）如图（2），如果小狗不是拴在A处,而是在一边的中点B处，那么小狗的活动范围是多少平方米？三、课后练习1、已知下图中正方形的面积是,16那么阴影部分的面积是多少？（π取14.3）2、如图，正方形的边长是2厘米，圆形的半径是1厘米.当圆形绕正方形顺时针滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？（π取14.3）3、如图，求阴影部分的面积.。
1.
本讲主线2.1.圆: 当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个
端点的轨迹叫做圆
2圆直径
2.圆心、直径、半径
3.⑴圆心确定了圆所在的位置
⑵半径长度确定了圆的大小.
⑶圆周率：圆周长与直径是一个固定不变的数值，称为圆周率，用π
表示.
4.圆周长:
C＝πd
5.扇形:由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形
65
6. 扇形周长
C＝2r＋弧长
7.圆的面积
8. 扇形面积:
9. 其他扇形
弓形＝扇形－△
弯角
谷子
如图，是一个由2个半圆、2个扇形、1个正方形组成的“心型”。
已知半圆的直径为10，那么，“心型”的面积是___________。
(注：π取3.14)
图中四个圆的圆心恰好是正方形的四个顶点，如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少？
求图中阴影部分的面积。
(圆周率取3.14 )
【超常大挑战】(★★★☆)
知识大总结
面积,。
年 级五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题圆与扇形（一）相对于直线型的图形，我们现在开始接触关于曲线型的几何问题。
最简单的规则曲线型图形就是圆。
圆，是非常优美、简单的图形。
几何大家族中如果没有圆，会少了很多趣味性。
本章的学习中我们一起了解关于圆的基本概念，学习如何解决与圆相关的问题。
扇形是基于圆的图形，学习过程中应注意扇形和扇形所在圆的关联。
圆的定义几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心、一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
关于圆，有个重要的数值——圆周率，用字母π表示，它表示一个圆的周长是直径的几倍。
无论圆的直径多大，圆周率都是固定的数，本讲默认圆周率取值为3.14。
扇形的定义圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
在圆上，由两条半径和所夹的一段弧围成的图形叫做扇形。
基本公式圆的周长＝圆的直径长×π圆的面积＝2半径×π 弧长＝圆的周长×周角圆心角 扇形面积＝2半径×π× 360圆心角例1 一卷紧紧缠绕着的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴。
已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？分析与解：先统一单位，0.4毫米＝0.04厘米。
纸卷的切面是圆环，面积是74.28514.331022=⨯-）（（平方厘米）， 展开后切面面积不变，切面面积可以看成是宽为0.04厘米的长方形面积，那么这卷纸的长度就是长方形的长5.714304.074.285=÷（厘米）。
例2 如图，长方形长7、宽4，BC ＝4，EF ＝3，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分的面积＝扇形ADE －曲边四边形ADFC＝扇形ADE －（长方形ABFD －扇形ABC ）＝）（224414.3477414.3⨯-⨯-⨯ ＝23.025例3 如图，正方形被两圆弧分成四块。
01视频描述1.1.图中阴影部分的周长是（π=3.14）2.2.如图是个半圆（单位：厘米），其阴影部分的周长是（）厘米。
（π=3.14）3.3.如图是三个半圆组成的图形，其中阴影部分的周长是( )厘米。
视频描述1.1.将3根半径为2分米的圆木用铁丝如下图所示的方法捆起来，接头处的长度为5cm，求捆一次至少需要（）分米长的铁丝。
（π=3.14）2.2.有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是厘米。
(π取3.14)视频描述1.1.请计算图中阴影部分的面积．2.2.如图，阴影部分的面积是。
视频描述1.1.求如图中阴影部分的面积= ．(圆周率取3.14)2.2.求图中阴影部分的面积(单位：cm)．视频描述1.1.如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)2.2.图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是（）平方厘米？视频描述1.如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．阴影部分的面积．(圆周率取3.14)视频描述1.1.如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积为．2.2.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是(圆周率π取3.14)3.3.如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)视频描述1.2.1.如图所示，在半径为4cm的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积B之差(大减小)是cm2．3.2.如图，长方形ABCD的长是8cm，则阴影部分的面积是cm2．(π=3.14)4.3.(第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三角形，分别以B、C为圆心，BK、CK为半径画弧．求阴影部分面积．(π=3.14)视频描述图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是.圆和扇形01 自测卷A1、圆的半径是3，周长是，面积是。
圆与球：跨时代、跨文化的数学故事这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。
这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。
三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！圆和球还是最实用的图形。
宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。
简单中寓深奥。
在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。
圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。
中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。
刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。
古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。
不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。
阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式： (R是球课前预习专项一 圆与扇形综合半径)。
阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。
无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。
不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。
祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。
至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。
我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。
牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。
在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。
笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。
微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。
他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。
古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。
阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。
记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。
至于圆周率π的计算，这方面的成就往往被用作衡量某一时代、某一地区文化水平的标征。
前面已提到的祖冲之，亦以圆周率的计算而彪炳史册。
据《隋书》记载，祖冲之算出圆周率的精确值在3.1415926与3.1415927之间，这在公元5世纪时创造了世界之最。
为了纪念这位文化名人，人们把月球上的一座环形山命名为“祖冲之山”。
1955年，中国还发行了祖冲之纪念邮票。
祖冲之并不是仅有的出现在邮票上并与圆周率有关的数学家。
伊朗曾发行过纪念阿拉伯数学家阿尔·卡西的邮票，阿尔·卡西恰恰是祖冲之之后刷新圆周率计算记录的第一人，他在公元14世纪，给出了准确到13位小数的圆周率近似值。
今天，电子计算机已经将数值计算到小数点后数万亿位。
然而，电子计算机的发明、使用本身离不开圆的数学。
我们已经看到，圆与球，简单，美丽，奥妙，述说着一个跨时代、跨文化的数学故事。
最后，让我们回到本文开始之处—北京天坛，去侧耳倾听沿着那圆形的回音壁回荡的永恒的“圆舞曲”吧。
圆的知识： 1.当一条线段绕着它的一个端点O 在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O 叫做这个圆的圆心. 2. 连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径. 3. 连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径. 4. 圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧. 5.圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2. 扇形的知识： 1.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。
【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)】常用方法： 1.常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)知识框架②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)2.割补法：将不规则的组合图形经过分割（用连线分割）、切拼、拼合后，转化成一个规则的几何图形，从而交易求得面积的方法，就是割补法求面积。
3.包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细思考，正确选择。
4.旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算的方法。
5.差不变原理：也称为放大法求面积，通常是求两个不规则图形的面积差，或是已知两个不规则图形的面积差，从而求面积大小或线段长短，一般我们把这两个图形经过放大（即加上同一图形），使它们变成两个规则图形，再计算解答。
重难点重点：1、圆与扇形的面积和周长计算公式。
弓形的面积公式。
2、割补法求面积。
能运用割补法求组合图形的面积。
3、利用容斥原理就是重叠相减法求面积。
4、旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。
难点：1、在解决复杂圆与扇形的周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。
2、在解决复杂圆与扇形的面积时，首先要根据图形组合的形式，用会求的图形的面积去求的题目所要求的图形面积。
3、多种方法在同一个题目中的分析及运用。
例题精讲【例 1】正方形的边长为10，求阴影部分得面积。
（用π的式子表示）【巩固】如图是一个边长为30的正方形，以各顶点为圆心，边长为半径，画圆弧，求阴影部分的面积。
【例 2】如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)【巩固】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 3】如图所示，在半径为4厘米的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A与其它部分面积B之差(大减小)是多少？【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？【例 4】 如图，边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置，以BC 为边向内侧作等边三角形，分别以B 、C 为圆心，BK 、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．(π 3.14)21BBAA 5cm 7.5cm3cm 2cm ④③②①【巩固】已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14 )KFEABA【例 5】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部π取3)分的面积之差．(【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3)【例 6】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3)33【例 7】下图中，AB=3，阴影部分的面积是多少？【巩固】如图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15，AEB 是以C 为圆心，AC 为半径的圆弧． 求阴影部分面积．FE DAACB【例 8】 (祖冲之杯竞赛试题)如图，ABCD 是一个长为4，宽为3，对角线长为5的正方形，它绕C 点按顺时针方向旋转90度，分别求出四边扫过图形的面积．CBD A【巩固】如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过取3.14)部分的面积．(【例 9】 (2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？DCB An )倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的n(1滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【例 10】传说古老的天竺国有一座钟楼，钟楼上有一座大钟，这座大钟的钟面有10平方米．每当太阳西下，钟面就会出现奇妙的阴影(如右图)．那么，阴影部分的面积是_________平方米．【巩固】图中是一个钟表的圆面，图中阴影部分甲与阴影部分乙的面积之比是多少？96312O乙甲121110987543211、有7根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们捆成一捆（如下图），此时橡皮筋的长度是多少？2、如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)课堂检测3、如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？4、(2008年“学而思杯”数学试题)如图，直角三角形ABC 中，B ∠为直角，且2BC =厘米，4AC =厘米，则在将ABC ∆绕C 点顺时针旋转120︒的过程中，AB 边扫过图形的面积为 ．(π 3.14=)解决圆与扇形较难的题目时，关键是能够对图形进行巧妙的分析，熟记每种方法的一些典型例题，或明显的图形，利用所学的各种方法，在解题的过程中灵活运用。
