2015-2016年北京东城高三上学期期末文科数学试题及答案

北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分。

考试时长120分钟。

第I 卷（选择题 共40分）一、选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合{}22|<<-∈=x R x A ，{}034|2≥+-∈=x x R x B ，则=⋂B A （ ）A. ]1,2(-B. ()1,2-C. ()2,2-D. ()),3[2,∞+⋃∞-2. 已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 1C. 2D. 43. “3π=x ”是“21cos =x ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为55=s ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A. 11≤kB. 10≤kC. 9≤kD. 8≤k5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个棱锥的侧面积是（ ）A. 24cmB. 212cmC. 2248cm +D. 232244cm ++6. 已知()a x x f x ++=2||2有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. -3B. -2C. -1D. 07. 如图，直线2-=x y 与圆03422=+-+x y x 及抛物线x y 82=依次交于A 、B 、C 、D 四点，则=+||||CD AB （ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2-第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题。

北京市东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科） 2016.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b << （5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y pxp =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题： ① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ① ()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = . （10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ；()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x =+-∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π(212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()n nx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________本试卷共5页，150分。

2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm33．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．68．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=；如果|+|=|﹣|，那么y=．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a=；f（﹣t）=．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n（n＞1，n∈N*）成立；﹣1②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的．（写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，那么集合（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4}C．{1，3}D．{2，4}【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，3，4}，B={2，4}，∴∁U A={2}，∴（∁U A）∩B={2}．故选：A．2．（5分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选：A．3．（5分）设i为虚数单位，如果复数z满足（1﹣2i）z=5i，那么z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【解答】解：由（1﹣2i）z=5i，得．∴z的虚部为1．故选：B．4．（5分）已知m∈（0，1），令a=log m2，b=m2，c=2m，那么a，b，c之间的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵m∈（0，1），则a=log m2＜0，b=m2∈（0，1），c=2m＞1，那么a，b，c之间的大小关系为a＜b＜c．故选：C．5．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：直线l的倾斜角为α，斜率为k，当＞，∴k=tanα＞；当时，k=tanα＜0．∵“”是“”的必要而不充分条件，故选：B．6．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．C． D．[ln2，+∞）【解答】解：作函数f（x）=与y=k的图象如下，，∵ln2，∴结合图象可知，k≥；故选：B．7．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|=3，|BF|＞|AF|，，那么|AF|的值为（）A．1 B．C．3 D．6【解答】解：如图，作BN⊥准线l，AM⊥l，AC⊥BN，∴|BF|=|BN|，|AF|=|AM|，∵，∴cos∠BCF==，∵|BF|=3，∴|AF|=1，故选：A．8．（5分）如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：①四边形MENF为平行四边形；②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（，1），则h（x）为单调函数；其中假命题为（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，同理：FN∥EM，∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；②MENF的面积s=f（x）=（EF×MN），当M为BB′的中点时，即x=时，MN最短，此时面积最小．故正确；③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形AEF的面积是个常数．M，N到平面AEF的距离和是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，故正确．④多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x）=V ABCD=为常数函数，故错误；﹣A′B′C′D′故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）在△ABC中，a、b分别为角A、B的对边，如果B=30°，C=105°，a=4，那么b=．【解答】解：在△ABC中，∵B=30°，C=105°，∴A=45°．由正弦定理可得：，∴b====，故答案为：2．10．（5分）在平面向量，中，已知=（1，3），=（2，y）．如果•=5，那么y=1；如果|+|=|﹣|，那么y=﹣．【解答】解：∵•=5，∴1×2+3y=5，解得y=1．∵|+|=|﹣|，∴⊥，∴1×2+3y=0，解得y=﹣．故答案为．11．（5分）已知x，y满足满足约束条件，那么z=x2+y2的最大值为58．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组，解得：A（3，7）；联立方程组，解得：B（6，4）．|OA|=，|OB|=．坐标原点O到直线x+y=10的距离d=．∴z=x2+y2的最大值为58．故答案为：58．12．（5分）如果函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2．那么a= 1；f（﹣t）=0．【解答】解：∵函数f（x）=x2sinx+a的图象过点（π，1）且f（t）=2，∴，解得a=1，t2sint=1，∴f（﹣t）=t2sin（﹣t）+a=﹣t2sint+1=﹣1+1=0．故答案为：1，0．13．（5分）如果平面直角坐标系中的两点A（a﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，那么直线L的方程为x﹣y+1=0．【解答】解：∵k AB==﹣1，线段AB的中点为，两点A（a ﹣1，a+1），B（a，a）关于直线L对称，∴k L=1，其准线方程为：y﹣=x﹣，化为：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．14．（5分）数列{a n}满足：a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），给出下述命题：①若数列{a n}满足：a2＞a1，则a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立；②存在常数c，使得a n＞c（n∈N*）成立；③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N*），则a p+a q＞a m+a n；④存在常数d，使得a n＞a1+（n﹣1）d（n∈N*）都成立．上述命题正确的①④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：由a n﹣1+a n+1＞2a n（n＞1，n∈N*），得a n+1﹣a n＞a n﹣a n﹣1（n＞1，n∈N*）或a n﹣1﹣a n＞a n﹣a n+1（n＞1，n∈N*）．即数列函数{a n}为增函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大，或数列函数{a n}为减函数，且连接相邻两点连线的斜率逐渐增大．对于①，若a2＞a1，则数列函数{a n}为增函数，∴a n＞a n﹣1（n＞1，n∈N*）成立，正确；对于②，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于③，若数列函数{a n}为减函数，则命题错误；对于④，∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＞（n﹣1）（a2﹣a1）+a1；取d=a2﹣a1，即可说明命题正确．故答案为：①④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）等比数列，4a1，3a2，2a3成等差数列，且它的前4项和s4=15．（Ⅰ）求数列b n=，（n=1，2，3…）的通项公式；（Ⅱ）令b n=a n+2n，（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵q（q＞0，q≠1）是一个公比为q（q＞0，q≠1）的等比数列，∴．∵4a1，3a2，2a3成等差数列，∴6a2=4a1+2a3，即q2﹣3q+2=0．解得q=2，q=1（舍）．又它的前4和S4=15，得，解得a1=1．∴．（Ⅱ）∵b n=a n+2n=2n﹣1+2n，∴数列{b n}的前n项和=+=2n﹣1+n（n+1）．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四象限角，且，求的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知=．∴最小正周期；由，得．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）∵α为第四象限角，且，∴．∴==．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=AP，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥CD；（Ⅱ）求直线AE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM⊥AC，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．因为AD⊥CD，AD∩AP=A，所以CD⊥面PAD．由于AE⊂面PAD，所以有CD⊥AE．…（4分）（Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB=AP=2，可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．由E为棱PD的中点，得E（0，1，1）．=（0，1，1）向量，．设为平面PBD的法向量，则=0，即∫﹣2x+2y=0．不妨令y=1，可得=（1，1，1）为平面PBD的一个法向量．设直线AE与平面PBD所成角为θ，则sinθ===，所以，直线AE与平面PBD所成角的正弦值为．…（11分）（Ⅲ）解：向量，，．由点M在棱PC上，设．故．由FM⊥AC，得=0，因此，（1﹣2λ）×2+（2﹣2λ）×2=0，解得．所以．…（13分）18．（13分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦点是F1、F2，且|F1F2|=2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|•|F2B|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为，由题意知解得．所以椭圆的标准方程为．…（5分）（Ⅱ）因为F2（1，0），当直线的斜率不存在时，，，则，不符合题意．当直线y=k（x﹣1）的斜率存在时，直线y=k（x﹣1）的方程可设为y=k（x﹣1）．由消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．设，，则、是方程（*）的两个根，所以，．所以，所以所以==当k2=0时，|AF2|•|F2B|取最大值为3，所以|AF2|•|F2B|的取值范围．又当k不存在，即AB⊥x轴时，|AF2|•|F2B|取值为．所以|AF2|•|F2B|的取值范围．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=﹣a（x﹣lnx）．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a≤0时，试求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，，f′（1）=0，f（1）=e﹣1．∴方程为y=e﹣1．（Ⅱ）==．当a≤0时，对于∀x∈（0，+∞），e x﹣ax＞0恒成立，令f′（x）＞0⇒x＞1，令f′（x）＜0⇒0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅲ）若f（x）在（0，1）内有极值，则f′（x）==0在（0，1）内有解，∴e x﹣ax=0在（0，1）内有解，即y=e x和y=ax在（0，1）上有交点，如图示：，x=1时，y=e x=e，故a＞e．20．（13分）已知曲线C n的方程为：|x|n+|y|n=1（n∈N*）．（Ⅰ）分别求出n=1，n=2时，曲线C n所围成的图形的面积；（Ⅱ）若S n（n∈N*）表示曲线C n所围成的图形的面积，求证：S n（n∈N*）关于n是递增的；（Ⅲ）若方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N），xyz≠0，没有正整数解，求证：曲线C n （n＞2，n∈N*）上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．【解答】（Ⅰ）解：当n=1，2时，曲线C1、C2的方程分别为|x|+|y|=1和x2+y2=1，其图象分别如图：由图可知，S 2=π；（Ⅱ）证明：要证是关于n递增的，只需证明：．由于曲线C n具有对称性，只需证明曲线C n在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．，现在考虑曲线C n与C n+1∵|x|n+|y|n=1（n∈N*）…①，∵|x|n+1+|y|n+1=1（n∈N*）…②，在①和②中令x=x0，x0∈（0，1），当x0∈（0，1），存在y1，y2∈（0，1）使得，成立，此时必有y2＞y1．∵当x0∈（0，1）时，∴．两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）这就得到了y2＞y1，从而是关于n递增的；（Ⅲ）证明：由于x n+y n=z n（n＞2，n∈N）可等价转化为，反证：若曲线上存在一点对应的坐标（x，y），x，y全是有理数，不妨设，p，q，s，t∈N*，且p，q互质，s，t互质．则由|x|n+|y|n=1可得，．即|qs|n+|pt|n=|ps|n．这时qs，pt，ps就是x n+y n=z n（n＞2，n∈N*）的一组解，这与方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N*），xyz≠0，没有正整数解矛盾，∴曲线上任一点对应的坐标（x，y），x，y不能全是有理数．。

2015年高三上学期期末名校联考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 复数224(1)i i ++的共轭复数是（ ） A. 2i + B. 2i -+ C. 2i - D. 2i --2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A. 112 B. 110 C. 15 D. 3103. 设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A. 4B. 14-C. 2D. 12- 4. 已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A. []2,1--B. []2,1-C. []1,2-D. []1,25. 设,x y 是两个实数，则“,x y 中至少有一个数大于1”是“222x y +>”成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件6.设在△ABC 中，3AB BC ==，30ABC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，则AD AC 的值等于（ ）A. 0B. 94C. 4D. 94- 7. 设集合{}2|230A x x x =+->，集合{}2|210,0B x x ax a =--≤>。

若A B 中恰含有一个整数u ，则实数a 的取值范围是（ ） A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. ()1,+∞8. 等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ） A. 66S a B. 77S a C. 99S a D. 88S a 9. 三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ） A. 202π B. 12526π C. 12523π D. 50π 10. 已知双曲线的两个焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 是双曲线上的一点，12PFPF ⊥且122PF PF =，则双曲线方程是（ ）A. 22123x y -=B. 2214x y -=C. 22132x y -= D. 2214y x -= 11. 在如图所示的程序框图中，当*(1)n N n ∈>时，函数()n f x 等于函数1()n f x -的导函数，若输入函数1()sin cos f x x x =+，则输出的函数()n f x可化为（ ） A. 2sin()4x π+ B. 2sin()4x π- C. 2sin()4x π-- D. 2sin()4x π-+12. 已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若()1f x ax ≥-，则a 的取值范围是（ ）A. []2,0-B. []2,1-C. []4,0-D. []4,1-二、填空题（每小题5分，共20分）13. 方程210xx =-的根(,1),x k k k Z ∈+∈，则k=_____。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,3,4}A =，{2,4}B =，那么集合()U C A B =I（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2,4} （2）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于侧（左）视图俯视图（A ）32cm 3 （B ）2 cm 3 （C ）3 cm 3 （D ）9 cm 3 （3）设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为（A ）1- （B ）1 （C ） i （D ）i - （4）已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2mc =，那么,,a b c 之间的大小关系为（A ）b c a << （B ）b a c << （C ）a b c << （D ）c a b <<（5）已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“3πα>”是“k >（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞（7）过抛物线220)y px p =>（的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，如果3BF =，BF AF >，23BFO π∠=，那么AF 的值为 ()A 1 ()B 32()C 3 （D ） 6（8）如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1, ,E F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线,E F 的平面分别与棱BB '、DD '交于,M N ，设 BM x =，)1,0(∈x ，给出以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；② 若四边形MENF 面积)(x f s =,)1,0(∈x ,则)(x f 有最小 值；③ 若四棱锥A MENF 的体积)(x p V =，)1,0(∈x ，则)(x p 常函数；④ 若多面体MENF ABCD -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈， 则)(x h 为单调函数． 其中假．命题．．为 ()A ①()B ②()C ③（D ）④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9） 在ABC ∆中，a b 、分别为角A B 、的对边，如果030B =，0105C =，4a =，那么b = .（10）在平面向量a,b 中，已知(1,3)=a ，(2,y)=b .如果5⋅=a b ，那么y = ；如果-=a +b a b ，那么y = .（11）已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___.（12）如果函数2()sin f x x x a =+的图象过点(π,1)且()2f t =．那么a = ； ()f t -= ．（13）如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的 方程为__.（14）数列{}n a 满足：*112(1,)n n n a a a n n N -++>>∈，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则*1(1,)n n a a n n N ->>∈成立； ②存在常数c ，使得*()n a c n N >∈成立；③若*(,,,)p q m n p q m n N +>+∈其中，则p q m n a a a a +>+； ④存在常数d ，使得*1(1)()n a a n d n N >+-∈都成立．上述命题正确的是____．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠等比数列，1234,3,2a a a 成等差数列,且它的前4项和415s =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2,(1,2,3......)n n b a n n =+=,求数列{}n b 的前n 项和.（16）（本小题共13分）已知函数22()sincos cos ()f x x x x x x =+-∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[0,π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α为第四象限角，且3cos 5α=，求7π(212f α+的值.（17）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =,E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）证明:AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在， 求出PMMC的值，若不存在，说明理由.（18）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的焦点是12F F 、，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22||||AF F B g 的取值范围．（19）（本小题共14分）已知函数()(ln )xe f x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．（20）（本小题共13分）已知曲线n C 的方程为：*1()nnx y n N +=∈.（Ⅰ）分别求出1,2n n ==时，曲线n C 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若()n S n N *∈表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n N *∈关于n 是递增的;(III) 若方程(2,)n n n x y z n n N +=>∈，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线(2,)n C n n N *>∈上任一点对应的坐标(,)x y ，,x y 不能全是有理数.关注课外100网，及时获得最新教研资料东城区2015-2016学年第一学期期末教学统一检测参考答案高三数学 （理科） 2016.1学校___________班级_____________姓名____________考号___________ 本试卷共5页，150分。

绝密★启用前2015届北京市东城区高三上学期期末教学统一检测文科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：51分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知向量，，平面上任意向量都可以唯一地表示为，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．2、如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，某同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了四种测量方案：（△的角，，所对的边分别记为，，）①测量，，②测量，，③测量，，④测量，， 则一定能确定，间距离的所有方案的序号为A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④3、已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ．4、当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为A ．B ．C ．D ．5、设，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是A ．B ．C ．D ．7、已知集合，集合，则A ．B ．C ．D ．8、已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得△是直角三角形，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下： ①如果一次性购物不超过元，则不给予优惠； ②如果一次性购物超过元但不超过元，则按标价给予折优惠；③如果一次性购物超过元，则元按第②条给予优惠，剩余部分给予折优惠．甲单独购买商品实际付款元，乙单独购买商品实际付款元，若丙一次性购买，两件商品，则应付款 元．10、设函数则=________；若函数存在两个零点，则实数的取值范围是________．11、已知，满足则的最大值为_______．12、某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为________cm ．13、若,则________．14、已知抛物线的方程为，则其焦点到准线的距离为________．参考答案1、C2、A3、D4、C5、A6、B7、A8、B9、52010、11、712、13、-214、2【解析】1、因为平面上任意向量都可以用唯一表示，所以是平面向量的一组基底，即为不共线的非零向量，则，即，故选C.考点：平面向量基本定理.2、已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；已知两边及夹角，可以确定三角形，故②正确；已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能一个、两个或无解，故④错误；故选A.考点：解三角形.3、试题分析：由题意，所以，故选D．考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．4、该程序框图的功能为计算的值，而.考点：程序框图.5、因为，所以“”是“”的充分而不必要条件.考点：充分条件与必要条件.6、先研究函数的奇偶性：是非奇非偶函数，故排除A,C；为奇函数，且在上为增函数，故选B.考点：函数的奇偶性与单调性.7、，，则.考点：集合的运算.8、构成三角形，三点不共线，即，排除C,D；显然，当为直角时，在直线一定存在点，若至少存在三个点使△是直角三角形，即至少存在一个点，使为直角，即直线与圆至少有一个交点，则，解得，即.考点：直线与圆的位置关系.9、设商品价格为，实际付款为；则；，商品的价格为100；，商品的价格为500；令时，，即若丙一次性购买，两件商品，则应付款520元.考点：函数应用题.10、由题意，得，；的图像如图所示，存在两个零点，即与的图像有两个不同的交点；由图像，得.考点：分段函数、函数的零点.11、作出可行域与目标函数基准线（如图）；将直线化成，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大；当直线经过点时，在轴上的截距最大；联立，得即最大为.考点：线性规划.12、试题分析：由三视图还原成如图所示的几何体，该几何体为四棱锥，其中底面是边长分别为与的矩形，，且，由其结构知最长，在中.考点：空间几何体的三视图和直观图．13、，则.考点：复数的运算.14、抛物线的焦点，准线方程为；其焦点到准线的距离为2. 考点：抛物线的标准方程.。

1东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。

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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}12A x x =∈-≤≤Z ，集合{}420，，=B ，则A B I = （A ）{}02，（B ）{}420，， （C ）{}4,2,0,1- （D ）{}4,2,1,0,1-（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是（A ）x y ln = （B ）3y x =（C ）3xy = （D ）x y sin =（3）设x ∈R ，则“1x >”是“21x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）当3n =时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）6 （B ）8（C）14 （D ）30（5）已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为 （A ）38 （B ）38- （C ）8 （D ）8- （6）如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，某同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了四种测量方案：（△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ）①测量A ，C ，b ②测量a ，b ，C ③测量A ，B ，a ④测量a ，b ，B则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的序号为（A ）①②③ （B ）②③④。

北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4}2．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx3．（5分）若x∈R，则“x＞1”，则“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6 B．8 C．14 D．305．（5分）已知cosα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④7．（5分）已知=（1，3），=（m，2m﹣3），平面上任意向量都可以唯一地表示为=λ+μ（λ，μ∈R），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）D．[﹣3，3）8．（5分）已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线y=k（x﹣2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，0）∪（0，] B．[﹣，0）∪（0，] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为．10．（5分）若=1+mi（m∈R），则m=．11．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm．12．（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为．13．（5分）设函数f（x）=则f（f（））=；若函数g（x）=f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是．14．（5分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款元．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，），且f（）=1，求α的值．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；（Ⅱ）求证：CM∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=BC=CA=2，求三棱锥E﹣ABC的体积．18．（13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．（13分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程．20．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在[，e]上的最大值；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，求a的取值范围．北京市东城区2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，2，4} C．{﹣1，0，2，4} D．{﹣1，0，1，2，4} 考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的交集运算进行求解．解答：解：集合A={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B={0，2}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=3x D．y=sinx考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．解答：解：y=lnx的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，即函数为非奇非偶函数．y=x3是奇函数，又在区间（0，+∞）上为增函数，满足条件．y=3X在区间（0，+∞）上为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．y=sinx是奇函数，但在（0，+∞）上不是单调函数，故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．3．（5分）若x∈R，则“x＞1”，则“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．解答：解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判定方法的应用，考查计算能力．4．（5分）当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．6 B．8 C．14 D．30考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=5＞4，退出循环，输出s 的值为30．解答：解：由程序框图可知：k=1，s=2k=2，s=6k=3，s=14k=4，s=30k=5＞4，退出循环，输出s的值为30．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．5．（5分）已知cosα=，α∈（﹣，0），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数的关系式可先求sinα的值，从而有倍角公式即可代入求值．解答：解：∵cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了同角三角函数的关系式，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：（△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c）①测量A，C，b．②测量a，b，C．③测量A，B，a．④测量a，b，B．则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据图形，可以知道a，b可以测得，角A、B、C也可测得，利用测量的数据，求解A，B两点间的距离唯一即可．解答：解：对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离．对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．对于④测量a，b，B，，sinA=，b＜a，此时A不唯一故选：A．点评：本题以实际问题为素材，考查解三角形的实际应用，解题的关键是分析哪些可测量，哪些不可直接测量，注意正弦定理的应用．7．（5分）已知=（1，3），=（m，2m﹣3），平面上任意向量都可以唯一地表示为=λ+μ（λ，μ∈R），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞）D．[﹣3，3）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先，根据题意，得向量，不共线，然后，根据坐标运算求解实数m的取值范围．解答：解：根据平面向量基本定理，得向量，不共线，∵=（1，3），=（m，2m﹣3），∴2m﹣3﹣3m≠0，∴m≠﹣3．故选：C．点评：本题重点考查了向量的共线的条件、坐标运算等知识，属于中档题．8．（5分）已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线y=k（x﹣2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（）A．[﹣，0）∪（0，] B．[﹣，0）∪（0，] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．解答：解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，∴k≠0，如图所示，△MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，则，解得﹣≤k≤，且k≠0．∴实数k的取值范围是[﹣，0）∪（0，]．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查运用方程思想求解能力，考查数形结合思想的灵活运用．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知抛物线的方程为y2=4x，则其焦点到准线的距离为2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，可得抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，再由点到直线的距离公式计算即可得到．解答：解：抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，则抛物线y2=4x的焦点为（1，0），准线为x=﹣1，则焦点到准线的距离为2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点和准线方程，同时考查点到直线的距离的求法，属于基础题．10．（5分）若=1+mi（m∈R），则m=﹣2．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：∵1+mi===1﹣2i，∴m=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．11．（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为cm．考点：由三视图还原实物图．专题：空间位置关系与距离．分析：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．解答：解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中PA⊥平面ABCD，∴PA=3，AB=3，AD=4，∴PB=3，PC==，PD=5．该几何体最长棱的棱长为：．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键．12．（5分）已知x，y满足则z=2x+y的最大值为7．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目标函数z=2x+y的最大值为7．故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13．（5分）设函数f（x）=则f（f（））=；若函数g（x）=f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是（0.1]．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数求解第一个空，利用函数的图象求解第二问．解答：解：函数f（x）=则f（f（））=f（﹣1）=；函数g（x）=f（x）﹣k存在两个零点，即f（x）=k存在两个解，如图：可得a∈（0，1]．故答案为：；（0，1]．点评：本题考查函数的零点以及分段函数的应用，考查数形结合以及计算能力．14．（5分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额要求如下：①如果一次性购物不超过200元，则不给予优惠；②如果一次性购物超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果一次性购物超过500元，则500元按第②条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，若丙一次性购买A，B两件商品，则应付款520元．考点：分段函数的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：单独购买A，B分别付款100元与450元，而450元是优惠后的付款价格，实际标价为450÷0.9=500元，若丙一次性购买A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品，按规定（3）进行优惠计算即可．解答：解：甲单独购买A商品实际付款100元，乙单独购买B商品实际付款450元，由于商场的优惠规定，100元的商品未优惠，而450元的商品是按九折优惠后的，则实际商品价格为450÷0.9=500元，若丙一次性购买A，B两件商品，即价值100+500=600元的商品时，应付款为：500×0.9+（600﹣500）×0.7=450+70=520（元）．故答案为：520．点评：本题考查了应用函数解答实际问题的知识，解题关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的解题途径，从而解答问题，是基础题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（A＞0，ω＞0）的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）设α∈（0，），且f（）=1，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由最大值为2可求A的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T，根据周期公式即可求ω，从而得解；（Ⅱ）由得，由，得，从而可解得α的值．解答：（共13分）解：（Ⅰ）因为函数f（x）的最大值为2，所以A=2．由图象相邻两条对称轴之间的距离为，得最小正周期T=π．所以ω=2．故函数的解析式为．…（6分）（Ⅱ），由得．因为，所以．所以，故．…（13分）点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了周期公式的应用，属于基本知识的考查．16．（13分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（Ⅱ）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n 项和求得数列{c n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由a1=2，a3=8，得8=2+2d，解得d=3．∴a n=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，n∈N*．由b1=2，b3=8，得8=2q2，又q＞0，解得q=2．∴，n∈N*；（Ⅱ）∵，∴=3×2n+1﹣n﹣6．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是中档题．17．（14分）在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP．（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；（Ⅱ）求证：CM∥平面BEF；（Ⅲ）若PB=BC=CA=2，求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由PB⊥底面ABC，可证AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，即可证明AC⊥平面PBC．（Ⅱ）取AF的中点G，连结CG，GM．可得EF∥CG．又CG⊄平面BEF，有EF⊂平面BEF，有CG∥平面BEF，同理证明GM∥平面BEF，有平面CMG∥平面BEF，即可证明CM∥平面BEF．（Ⅲ）取BC中点D，连结ED，可得ED∥PB，由PB⊥底面ABC，故ED⊥底面ABC，由PB=BC=CA=2，即可求得三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（共14分）证明：（Ⅰ）因为PB⊥底面ABC，且AC⊂底面ABC，所以AC⊥PB．由∠BCA=90°，可得AC⊥CB．又PB∩CB=B，所以AC⊥平面PBC．…（5分）（Ⅱ）取AF的中点G，连结CG，GM．因为AF=2FP，G为AF中点，所以F为PG中点．在△PCG中，E，F分别为PC，PG中点，所以EF∥CG．又CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以CG∥平面BEF．同理可证GM∥平面BEF．又CG∩GM=G，所以平面CMG∥平面BEF．又CM⊂平面CMG，所以CM∥平面BEF．…（11分）（Ⅲ）取BC中点D，连结ED．在△PBC中，E，D分别为中点，所以ED∥PB．因为PB⊥底面ABC，所以ED⊥底面ABC．由PB=BC=CA=2，可得．…（14分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，三棱锥体积公式的应用，正确做出相应的辅助线是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题．18．（13分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2，列举法易得．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，a5），（a3，b1），（a3，b2），（a4，a5），（a4，b1），（a4，b2），（a5，b1），（a5，b2），（b1，b2）．其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，a5），（a2，a3），（a2，a4），（a2，a5），（a3，a4），（a3，a5），（a4，a5）．∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．点评：本题考查列举法求古典概型的概率，涉及频率分布直方图，属基础题．19．（13分）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2的中心在坐标原点，焦点在y轴上，与C1有相同的离心率，且过椭圆C1的长轴端点．（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，若=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过设椭圆C2的方程为：，由C1方程可得，计算即得结论；（Ⅱ）通过及（Ⅰ）知可设直线AB的方程为y=kx，并分别代入两椭圆中、利用，计算即可．解答：解：（Ⅰ）由C1方程可得，依题意可设椭圆C2的方程为：，由已知C1的离心率为，则有，解得a2=16，故椭圆C2的方程为；（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由及（Ⅰ）知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y=kx，将y=kx代入中，解得；将y=kx代入中，解得．又由，得，即，解得k=±1．故直线AB的方程为y=x或y=﹣x．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．（Ⅰ）若f（x）在x=1处与直线y=﹣相切，求a，b的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求f（x）在[，e]上的最大值；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由题意可得f（1）=﹣，f′（1）=0，即可解得a，b的值；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得单调区间，即可得到最大值；（Ⅲ）由题意可得alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]恒成立，即对x∈（e，e2]恒成立，求得右边函数的最大值即可．解答：解：（Ⅰ）．由函数f（x）在x=1处与直线相切，得即解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为（0，+∞）．此时=．令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1．所以f（x）在（，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，所以f（x）在上的最大值为；（Ⅲ）若不等式f（x）≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣bx2≥x对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥bx2对所有的b∈（﹣∞，0]，x∈（e，e2]都成立，即alnx﹣x≥0对x∈（e，e2]恒成立．即对x∈（e，e2]恒成立，即a大于或等于在区间（e，e2]上的最大值．令，则，当x∈（e，e2]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以，x∈（e，e2]的最大值为．即．所以a的取值范围是．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题注意运用参数分离和转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．。