2018年浙江省高考数学试卷

2018年浙江省高考数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

A＝( )1.(4.00分)已知全集U＝{1,2,3,4,5},A＝{1,3},则∁UA.∅B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.(4.00分)双曲线－y2＝1的焦点坐标是( )A.(－,0),(,0)B.(－2,0),(2,0)C.(0,－),(0,)D.(0,－2),(0,2)3.(4.00分)某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.2B.4C.6D.84.(4.00分)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i5.(4.00分)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是( )A. B. C.D.6.(4.00分)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件0 1 2A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小8.(4.00分)已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S－AB－C的平面角为θ3,则( )A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ19.(4.00分)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足－4•＋3＝0,则|－|的最小值是( )A.－1B.＋1C.2D.2－10.(4.00分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3),若a1＞1,则( )A.a1＜a3,a2＜a4B.a1＞a3,a2＜a4C.a1＜a3,a2＞a4D.a1＞a3,a2＞a4二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。

绝密★启用前2018年浙江省高考数学试卷考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号--浙江数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2018•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（4分）（2018•浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）3．（4分）（2018•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2B．4C．6D．84．（4分）（2018•浙江）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（4分）（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（4分）（2018•浙江）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）（2018•浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．（4分）（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．（4分）（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣10．（4分）（2018•浙江）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=，y=．12．（6分）（2018•浙江）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是，最大值是．13．（6分）（2018•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=．14．（4分）（2018•浙江）二项式（+）8的展开式的常数项是．15．（6分）（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．16．（4分）（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）17．（4分）（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=时，点B横坐标的绝对值最大．评卷人得分三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．19．（15分）（2018•浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．20．（15分）（2018•浙江）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．21．（15分）（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．22．（15分）（2018•浙江）已知函数f（x）=﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．2018年浙江省高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2018•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】根据补集的定义直接求解：∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合．【解答】解：根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．∁U A={2，4，5}故选：C．【点评】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于简单题．2．（4分）（2018•浙江）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【分析】根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c==2，即可得到双曲线的焦点坐标．【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．【点评】本题考查双曲线焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．3．（4分）（2018•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2B．4C．6D．8【分析】直接利用三视图的复原图求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用．4．（4分）（2018•浙江）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．【解答】解：化简可得z===1+i，∴z的共轭复数=1﹣i故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．5．（4分）（2018•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．6．（4分）（2018•浙江）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的定义和性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵m⊄α，n⊂α，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．7．（4分）（2018•浙江）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【分析】求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．【解答】解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是E（ξ）=0×+1×+2×=p+；方差是D（ξ）=×+×+×=﹣p2+p+=﹣+，∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；∴D（ξ）先增大后减小．故选：D．【点评】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8．（4分）（2018•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【分析】作出三个角，表示出三个角的正弦或正切值，根据三角函数的单调性即可得出三个角的大小．【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，连接SN，取CD中点M，连接SM，OM，OE，则EN=OM，则θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO．显然，θ1，θ2，θ3均为锐角．∵tanθ1==，tanθ3=，SN≥SO，∴θ1≥θ3，又sinθ3=，sinθ2=，SE≥SM，∴θ3≥θ2．故选：D．【点评】本题考查了空间角的计算，三角函数的应用，属于中档题．9．（4分）（2018•浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1B．+1C．2D．2﹣【分析】把等式﹣4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．10．（4分）（2018•浙江）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1＞1，设公比为q，当q＞0时，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），不成立，即：a1＞a3，a2＞a4，a1＜a3，a2＜a4，不成立，排除A、D．当q=﹣1时，a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，等式不成立，所以q≠﹣1；当q＜﹣1时，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，当q∈（﹣1，0）时，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），能够成立，故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查发现问题解决问题的能力，难度比较大．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）（2018•浙江）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=8，y=11．【分析】直接利用方程组以及z的值，求解即可．【解答】解：，当z=81时，化为：，解得x=8，y=11．故答案为：8；11．【点评】本题考查方程组的解法，是基本知识的考查．12．（6分）（2018•浙江）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是﹣2，最大值是8．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：其中B（4，﹣2），A（2，2）．设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．（4，﹣2）=﹣2．∴z最小值=F可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：z最大值=F（2，2）=8．故答案为：﹣2；8．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．13．（6分）（2018•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【分析】由正弦定理得=，由此能求出sinB，由余弦定理得cos60°=，由此能求出c．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．【点评】本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．（4分）（2018•浙江）二项式（+）8的展开式的常数项是7．【分析】写出二项展开式的通项并整理，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由=．令=0，得r=2．∴二项式（+）8的展开式的常数项是．故答案为：7．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15．（6分）（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是（1，3]∪（4，+∞）．【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力．16．（4分）（2018•浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【分析】可先从1，3，5，7，9中任取2个数字，然后通过0是否存在，求解即可．【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有种方法，从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有种方法，可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有=540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，注意“0“是否在4位数中去易错点，是中档题．17．（4分）（2018•浙江）已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当m=5时，点B横坐标的绝对值最大．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y1，y2，有x22=m﹣（）2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），=2，可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．【点评】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r，则sin（α+π）的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求sinα，cosα，cos（α+β），再由cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα代值计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P （﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．19．（15分）（2018•浙江）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明AB1⊥A1B1，AB1⊥B1C1，从而可得AB1⊥平面A1B1C1；（II）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的大小．【解答】（I）证明：∵A1A⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴AA1∥BB1，∵AA1=4，BB1=2，AB=2，∴A 1B1==2，又AB1==2，∴AA12=AB12+A1B12，∴AB1⊥A1B1，同理可得：AB1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1=B1，∴AB1⊥平面A1B1C1．（II）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A1C1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，﹣，0），B（1，0，0），B 1（1，0，2），C1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（﹣，1，0），∴cos＜＞===．设直线AC 1与平面ABB1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20．（15分）（2018•浙江）已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1﹣b n）a n}的前n项和为2n2+n．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，运用数列的递推式可得c n=4n﹣1，再由数列的恒等式求得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1），运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）等比数列{a n}的公比q＞1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项，可得2a4+4=a3+a5=28﹣a4，解得a4=8，由+8+8q=28，可得q=2（舍去），则q的值为2；（Ⅱ）设c n=（b n+1﹣b n）a n=（b n+1﹣b n）2n﹣1，可得n=1时，c1=2+1=3，n≥2时，可得c n=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1，上式对n=1也成立，则（b n+1﹣b n）a n=4n﹣1，即有b n+1﹣b n=（4n﹣1）•（）n﹣1，可得b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=1+3•（）0+7•（）1+…+（4n﹣5）•（）n﹣2，b n=+3•（）+7•（）2+…+（4n﹣5）•（）n﹣1，相减可得b n=+4[（）+（）2+…+（）n﹣2]﹣（4n﹣5）•（）n﹣1=+4•﹣（4n﹣5）•（）n﹣1，化简可得b n=15﹣（4n+3）•（）n﹣2．【点评】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查数列的恒等式和错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．21．（15分）（2018•浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）设P（m，n），A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M 的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，由韦达定理即可得到结论；（Ⅱ）由题意可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法，可得面积S关于新元的三次函数，运用单调性可得所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为（，），抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得（）2=4•，（）2=4•，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，可得n=，则PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，由（Ⅰ）可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|=（﹣m）•=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•=（n2﹣4m），可令t===，可得m=﹣时，t取得最大值；m=﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，△PAB面积的取值范围为[6，]．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，以及换元法和三次函数的单调性，属于难题．22．（15分）（2018•浙江）已知函数f（x）=﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【分析】（Ⅰ）推导出x＞0，f′（x）=﹣，由f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，得到+=，由基本不等式得：=≥，从而x 1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，利用导数性质能证明f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，推导出存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a 与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，利用导数性质能证明a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，∴x＞0，f′（x）=﹣，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，∴列表讨论：x（0，16）16（16，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓2﹣4ln2↑∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【点评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．。

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷)数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟.考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

2018年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=（）A．∅B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5}2．（4分）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）3．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（4分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i5．（4分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（4分）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012P则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小8．（4分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB 上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．（4分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣10．（4分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（）A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A，B互斥，则若事件A，B相互独立，则若事件A在一次试验中发生的概率是p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积，表示柱体的高锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}【答案】C【解析】分析:根据补集的定义可得结果.详解：因为全集，，所以根据补集的定义得,故选C.点睛：若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2. 双曲线的焦点坐标是A. (−，0)，(，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−)，(0，)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.详解：因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，因为，所以焦点坐标为，选B.点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.4. 复数(i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果.详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.5. 函数y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B; 因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6. 已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析:根据线面平行的判定定理得充分性成立，而必要性显然不成立.详解：因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：8. 已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.9. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10. 已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018浙江一．选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，则C U A ＝( )A ．∅B ． {1，3}C ． {2，4，5}D ． {1，2，3，4，5} 2．双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ． (－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ． (0，－2)，(0，2)D ． (0，－2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 84．复数21－i(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ． 1＋iB ． 1－iC ． －1＋iD ． －1－i5．函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )πππDC B A xyππOxyπOxyπOOπyx6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 7．设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 P1－p212p 2则当p 在(0，1)内增大( )A ．D (ξ)减小B ． D (ξ)增大C ．D (ξ)先减小后增大 D ． D (ξ)先增大后减小8．已知四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点(不含端点)，设SE与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S －AB －C 的平面角为θ3，则( )A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e •b＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．－1B ．＋1C ． 2D ． 2－10．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)，若a 1＞1，则( )A ．a 1＜a 3，a 2＜a 4B ．a 1＞a 3，a 2＜a 4C ．a 1＜a 3，a 2＞a 4D ．a 1＞a 3，a 2＞a 4二．填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，，当z ＝81时，x ＝___________，y ＝____________ 12．若x ，y 满足约束条件，则z ＝x ＋3y 的最小值是____________，最大值是___________13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝__________ 14．二项式(＋12x)8的展开式的常数项是_____________ 15．已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.，当λ＝2时，不等式f (x )＜0的解集是___________，若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_________个没有重复数字的四位数(用数字作答)17．已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m ＞1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B横坐标的绝对值最大．解答题(本大题共5小题，共74分)18．(14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－，－)．⑴．求sin(α＋π)的值； ⑵．若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．19．(15分)如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC ＝120°，A 1A ＝4，C 1C ＝1，AB ＝BC ＝B 1B ＝2⑴．证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1⑵．求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值20．(15分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项，数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n⑴．求q 的值⑵．求数列{b n }的通项公式21．(15分)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上⑴．设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴⑵．若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x ＜0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围22．(15分)已知函数f (x )＝x －ln x⑴．若f (x )在x ＝x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)＋f (x 2)＞8－8ln2⑵．若a ≤3－4ln2，证明：对于任意k ＞0，直线y ＝kx ＋a 与曲线y ＝f (x )有唯一公共点C 1B 1A 1CBA数 学 答 案1．解答：由题意知，∁U A ＝{2，4，5}． 2．解答：因c 2＝3＋1＝4，故双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是(－2，0)，(2，0)． 3．解答：由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6．4．解答：因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ，所以复数21－i 的共轭复数为1－i ．5．设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，故y ＝f (x )是奇函数，故排除①②；令f (x )＝0，故sin 2x ＝0，故2x ＝k π(k ∈Z )，故x ＝k π2(k ∈Z )，故排除③．故填④．6．【解】若m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，由线面平行的判定定理知m ∥α．若m ∥α，m ⊄α，n ⊂α，不一定推出m ∥n ，直线m 与n 可能异面．故“m ∥n ”是“m ∥α”的充分不必要条件．7．解答：由题可得E (ξ)＝12＋p ，所以D (ξ)＝－p 2＋p ＋14＝－(p －12)2＋12，所以当p 在(0，1)内增大时，D (ξ)先增大后减小．8．解答：作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM ．过O 作ON 垂直于直线SM ，可知θ2＝∠SEO ，θ3＝∠SMO ，过SO 固定下的二面角与线面角关系，得θ2≤θ3．易知，θ3也为BC 与平面SAB 的线面角，即OM 与平面SAB 的线面角，根据最小角定理，OM 与直线SE 所成的线线角θ3≤θ1，故θ2≤θ3≤θ1．9．解答：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x ＞0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1．解 设e ＝(1，0)，a ＝(x ，y )，b ＝(m ，n )，由题设可得a ·e ＝|a |·|e |cos π3，即x ＝12x 2＋y 2，整理得y＝3x (x ≥0)．又由b 2－4e ·b ＋3＝0可得m 2＋n 2－4m ＋3＝0，整理得(m －2)2＋n 2＝1．在直角坐标系xOy 中，分别画出圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，射线l ：y ＝3x (x ≥0)，过圆心C 作CD ⊥l ，交直线l 与点D ．由直观图可知，|a －b |的最小值是|CD |－1＝3－1．故选A ．10．解答：因ln x ≤x －1，故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，得a 4≤－1，即a 1q 3≤－1，故q ＜0．若q ≤－1，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )(1＋q 2)≤0，a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1＞1，矛盾．故－1＜q ＜0，则a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＞0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)＜0．故a 1＞a 3，a 2＜a 4．11．法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11. 法二：100－81＝19(只)，81÷3＝27(元)，100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元)．因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只)．12．解答：不等式组所表示的平面区域如图所示，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，时，z ＝x ＋3y 取最小值，最小值为－2；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.时，z ＝x ＋3y 取最大值，最大值为8．13．因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，故由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2×327＝217．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得c 2－2c －3＝0，故c ＝3．14．解析 该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r8x 8－r3(12x )r ＝C r 8(12)rx 8－4r 3．令8－4r 3＝0，解得r ＝2，所以所求常数项为C 28×(12)2＝7． 15．解答：(1)若λ＝2，当x ≥2时，令x －4＜0，得2≤x ＜4；当x ＜2时，令x 2－4x ＋3＜0，解得1＜x ＜2．综上可知，1＜x ＜4，所以不等式f (x )＜0的解集为(1，4)．(2)令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4，当x ＜λ时，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3．因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1＜λ≤3或λ＞4．16．解答：C 25C 23A 44＋C 25C 13C 13A 33＝720＋540＝1260．17．解答：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线斜率不存在时，m ＝9，x 2＝0．当直线斜率存在时，设AB 为y ＝kx ＋1．代入x 24＋y 2＝m 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＋4－4m ＝0，Δ＞0得，4mk 2＋m －1＝0，x 1＋x 2＝－8k 1＋4k 2，1224441m x x k -=+．因AP →＝2PB →，故122x x =-，解得x 1＝－16k 1＋4k 2，x 2＝8k 1＋4k 2．故228821414k x k k k==≤++(当且仅当|k |＝12时取“＝”)．x 1x 2＝－16k 1＋4k 2˙8k1＋4k 2＝－8，122442241mx x m k -==-+，得m ＝5，故当m ＝5时，点B 横坐标最大．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2．因为点A ，B 在椭圆上，故⎩⎨⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，故x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，故当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2． 18．解答：①由角α的终边过点P (－，－)得sin α＝－45，故sin(α＋π)＝－sin α＝45．②由角α的终边过点P (－，－)得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213．由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，故cos β＝－5665或cos β＝1665．19．解答：(1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz ．由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1，0，0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1，0，2)，C 1(0，3，1)．因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1→＝(0，23，－3)．由AB 1→·A 1B 1→＝0得AB 1⊥A 1B 1．由AB 1→·A 1C 1→＝0得AB 1⊥A 1C 1，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1．(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ．由(1)可知AC 1→＝(0，23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0，0，2)．设平面ABB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，令y ＝1，则x ＝－3，z ＝0，可得平面ABB 1的一个法向量n ＝(－3，1，0)．所以sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝3913．因此，直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913． 20．解答：(1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4，故a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8．由a 3＋a 5＝20得8(q ＋1q )＝20，解得q ＝2或q ＝12，因为q ＞1，故q ＝2．(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }前n 项和为S n ．由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1．由(1)可知a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝(4n －1)·(12)n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·(12)n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)·(12)n －2＋(4n －9)·(12)n －3＋…＋7·12＋3．设T n ＝3＋7·12＋11·(12)2＋…＋(4n －5)·(12)n －2，n ≥2，12T n ＝3·12＋7·(12)2＋…＋(4n －9)·(12)n －2＋(4n －5)·(12)n －1，故12T n＝3＋4·12＋4·(12)2＋…＋4·(12)n －2－()4n －5·(12)n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·(12)n －2，n ≥2，又b 1＝1，故b n ＝15－(4n ＋3)·(12)n －2，n ≥2，又b 1＝1也适合上式，故b n ＝15－(4n ＋3)·(12)n －2(n ∈N *)．21．解答：(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2．因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根．所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴．(2)解 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）．因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32．因为x 20＋y 204＝1(x 0＜0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104． 22．解答：(1)f ′(x )＝12x －1x ，不妨设f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝t ，即x 1，x 2是方程12x －1x＝t 的两根，即x 1，x 2是方程tx 2－x 2＋1＝0的根，所以Δ＝14－4t ＞0，得0＜t ＜116，且x 1＋x 2＝12t ，x 1·x 2＝1t，f (x 1)＋f (x 2)＝(x 1＋x 2)－ln x 1x 2＝12t －ln 1t 2＝12t ＋2ln t ，令g (t )＝12t ＋2ln t ，g ′(t )＝2t －12t 2＝4t －12t2＜0，故g (t )在(0，116)上单调递减．故g (t )＞g (116)＝8－8ln2，即f (x 1)＋f (x 2)＞8－8ln2．(2)设h (x )＝(kx ＋a )－f (x )＝kx ＋a －x ＋ln x ，则当x 充分小时h (x )＜0，充分大时h (x )＞0，故h (x )至少有一个零点，则h ′(x )＝k －12x ＋1x ＝k －116＋(1x －14)2，①k ≥116，则h ′(x )≥0，h (x )递增，h (x )有唯一零点，②0＜k ＜116，则令h ′(x )＝0，得h ′(x )有两个极值点x 1，x 2(x 1≠x 2)14>，故0＜x 1＜16．可知h (x )在(0，x 1)递增，(x 1，x2)递减，(x 2，＋∞)递增，故1111111()ln )ln h x kx x a x x a x =+=-+11lnx a =-++，又1111()h x x '==，故h (x 1)在(0，16)上单调递增，故h (x 1)＞h (16)＝3－a －ln16＝3－a －4ln2≥0，故h (x )有唯一零点，综上可知，k ＞0时，y ＝kx ＋a 与y ＝f (x )有唯一公共点．。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页,选择题部分1至2页;非选择题部分2至4页.满分150分,考试时间120分钟.考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答.在本试题卷上的作答一律无效.参考公式:若事件A,B互斥,则柱体的体积公式P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh若事件A,B相互独立,则其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高P(AB)=P(A)P(B) 锥体的体积公式若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次V=13Sh独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高P n(k)=C n k p k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n) 球的表面积公式台体的体积公式S=4πR2V=13(S1+√S1S2+S2)h球的体积公式其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积, V=43πR3h表示台体的高其中R表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=()A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}2.双曲线x 23-y2=1的焦点坐标是()A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.8(i为虚数单位)的共轭复数是()4.复数21-iA.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i5.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是()6.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设0<p<1,随机变量ξ的分布列是则当p在(0,1)内增大时,()A.D(ξ)减小B.D(ξ)增大C.D(ξ)先减小后增大D.D(ξ)先增大后减小8.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S-AB-C的平面角为θ3,则()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小9.已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3值是()A.√3-1B.√3+1C.2D.2-√310.已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x ,y ,z ,则{x +y +z =100,5x +3y +1z =100,则z=81时,x= ,y= .12.若x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2,则z=x+3y 的最小值是 ,最大值是 .13.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 14.二项式(√x 3+12x)8的展开式的常数项是 .15.已知λ∈R ,函数f (x )={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ.当λ=2时,不等式f (x )<0的解集是 .若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是 .16.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 17.已知点P (0,1),椭圆x 24+y 2=m (m>1)上两点A ,B 满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则当m= 时,点B 横坐标的绝对值最大.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重复,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45).(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值. 19.(本题满分15分)如图,已知多面体ABCA 1B 1C 1,A 1A ,B 1B ,C 1C 均垂直于平面ABC ,∠ABC=120°,A 1A=4,C 1C=1,AB=BC=B 1B=2. (1)证明:AB 1⊥平面A 1B 1C 1;(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值.20.(本题满分15分)已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式. 21.(本题满分15分)如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2)若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.22.(本题满分15分)已知函数f (x )=√x -ln x.(1)若f (x )在x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2;(2)若a ≤3-4ln 2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.数学(浙江卷)1.C ∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.B ∵a 2=3,b 2=1,∴c 2=a 2+b 2=3+1=4.∴c=2.又焦点在x 轴上,∴焦点坐标为(-2,0),(2,0). 3.C 由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S 底=12×(1+2)×2=3,h=2, ∴V=Sh=3×2=6.4.B ∵21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=2(1+i )2=1+i, ∴复数21-i 的共轭复数为1-i .5.D 因为在函数y=2|x|sin 2x 中,y 1=2|x|为偶函数,y 2=sin 2x 为奇函数, 所以y=2|x|sin 2x 为奇函数.所以排除选项A,B .当x=0,x=π,x=π时,sin 2x=0,故函数y=2|x|sin 2x 在[0,π]上有三个零点,排除选项C,故选D .6.A 当m ⊄α,n ⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m ∥n ⇒m ∥α;但反过来不成立,即m ∥α不一定有m ∥n ,m 与n 还可能异面.故选A .7.D 由题意可知,E (ξ)=0×(1-p 2)+1×12+2×p 2=12+p ,D (ξ)=(0-12-p)2×1-p 2+(1-12-p)2×12+(2-12-p)2×p2=12(-2p 2+2p +12)=-(p 2-p +14-12) =-(p -12)2+12,p ∈(0,1).故当p 在(0,1)内增大时,D (ξ)先增大后减小. 8.D当点E 不是线段AB 的中点时,如图,点G 是AB 的中点,SH ⊥底面ABCD ,过点H 作HF ∥AB ,过点E 作EF ∥BC ,连接SG ,GH ,EH ,SF.可知θ1=∠SEF ,θ2=∠SEH ,θ3=∠SGH. 由题意可知EF ⊥SF ,故tan θ1=SFEF =SFGH >SHGH =tan θ3.∴θ1>θ3.又tan θ3=SHGH >SHEH =tan θ2,∴θ3>θ2.∴θ1>θ3>θ2.当点E 是线段AB 的中点时,即点E 与点G 重合,此时θ1=θ3=θ2. 综上可知,θ1≥θ3≥θ2.9.A ∵e 为单位向量,b 2-4e ·b+3=0,∴b 2-4e ·b+4e 2=1. ∴(b-2e )2=1.以e 的方向为x 轴正方向,建立平面直角坐标系,如图. OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,α=π. 由(b -2e )2=1,可知点B 在以点E 为圆心,1为半径的圆上.由|a -b |=|OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 可知|a-b |的最小值即为|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值,即为圆上的点B 到直线OA 的距离. 又直线OA 为y=√3x ,点E 为(2,0),∴点E 到直线OA 的距离d=2√3=√3.∴|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3-1,即|a -b |的最小值为√3-1.10.B 设等比数列的公比为q ,则a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1-q 4)1-q ,a 1+a 2+a 3=a 1(1-q 3)1-q. ∵a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3), ∴a 1+a 2+a 3=e a 1+a 2+a 3+a 4,即a 1(1+q+q 2)=e a 1(1+q+q 2+q 3).又a 1>1,∴q<0.假设1+q+q 2>1,即q+q 2>0,解得q<-1(q>0舍去). 由a 1>1,可知a 1(1+q+q 2)>1,∴a 1(1+q+q 2+q 3)>0,即1+q+q 2+q 3>0,即(1+q )+q 2(1+q )>0,即(1+q )(1+q 2)>0,这与q<-1相矛盾.∴1+q+q 2<1,即-1<q<0.∴a 1>a 3,a 2<a 4.11.8 11 由{x +y +z =100,5x +3y +1z =100,且z=81, 可得{x +y =19,5x +3y =73,解得{x =8,y =11.12.-2 8由约束条件{x -y ≥0,2x +y ≤6,x +y ≥2画出可行域,如图所示的阴影部分.由z=x+3y , 可知y=-13x+z3.由题意可知,当目标函数的图象经过点B 时,z 取得最大值,当目标函数的图象经过点C 时,z 取得最小值. 由{y =x ,2x +y =6,得{x =2,y =2,此时z 最大=2+3×2=8, 由{2x +y =6,x +y =2,得{x =4,y =-2,此时z 最小=4+3×(-2)=-2.13.√213 由正弦定理a =b,可知sin B=bsinA=√7=2×√32√7=√21.∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2B =√47=2√77. ∴cos C=-cos(A+B )=sin A sin B-cos A cos B=√32×√217−2√77×12=3√7-2√714=√714.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3.14.7二项式(√x 3+12x)8的通项为T r+1=C 8r(x 13)8-r (12x -1)r =(12)r C 8r x 8-r 3-r =(12)r C 8r x 8-4r 3,当r=2时,8-4r3=0.故展开式的常数项为(12)2C 82=14×8×72=7.15.(1,4) (1,3]∪(4,+∞) 当λ=2时,f (x )={x -4,x ≥2,x 2-4x +3,x <2.当x ≥2时,f (x )=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.当x<2时,f (x )=x 2-4x+3<0,解得1<x<3,∴1<x<2.综上可知,1<x<4,即f (x )≤0的解集为(1,4).分别画出y 1=x-4和y 2=x 2-4x+3的图象如图,由函数f (x )恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞). 16.1 260 分两类: 第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有C 31C 52A 31A 33=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有C 32C 52A 44=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1 260种.17.5 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵P (0,1),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1,1-y 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2-1). ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{-x 1=2x 2,1-y 1=2(y 2-1),即{x 1=-2x 2,y 1=3-2y 2.又x 124+y 12=m ,∴(-2x 2)24+(3-2y 2)2=m ,即4x 224+4y 22-12y 2+9=m. 又x 224+y 22=m ,∴4m-12y 2+9=m ,即12y 2=3m+9,4y 2=m+3.∴x 224+(m+34)2=m , 即x 22+m 2+6m+94=4m ,即x 22=-m 24+52m-94.∴当m=5时,x 22的最大值为4,即点B 横坐标的绝对值最大.18.解 (1)由角α的终边过点P (-35,-45),得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45. (2)由角α的终边过点P (-35,-45),得cos α=-35,由sin(α+β)=513,得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 所以cos β=-5665或cos β=1665.19.解法一 (1)证明:由AB=2,AA 1=4,BB 1=2,AA 1⊥AB ,BB 1⊥AB ,得AB 1=A 1B 1=2√2,所以A 1B 12+A B 12=A A 12,故AB 1⊥A 1B 1.由BC=2,BB 1=2,CC 1=1,BC 1⊥BC ,CC 1⊥BC ,得B 1C 1=√5, 由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2√3,由CC 1⊥AC ,得AC 1=√13,所以A B 12+B 1C 12=A C 12,故AB 1⊥B 1C 1.因此AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)如图,过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1,交直线A 1B 1于点D ,连接AD. 由AB 1⊥平面A 1B 1C 1,得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1, 由C 1D ⊥A 1B 1,得C 1D ⊥平面ABB 1, 所以∠C 1AD 是AC 1与平面ABB 1所成的角. 由B 1C 1=√5,A 1B 1=2√2,A 1C 1=√21, 得cos ∠C 1A 1B 1=√6√7,sin ∠C 1A 1B 1=√7,所以C 1D=√3,故sin ∠C 1AD=C 1D AC 1=√3913.因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√3913.解法二(1)证明:如图,以AC 的中点O 为原点,分别以射线OB ,OC 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下:A (0,-√3,0),B (1,0,0),A 1(0,-√3,4),B 1(1,0,2),C 1(0,√3,1). 因此AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,-2),A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,-3). 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AB 1⊥A 1C 1. 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 设平面ABB 1的法向量n =(x ,y ,z ).由{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x +√3y =0,2z =0,可取n =(-√3,1,0).所以sin θ=|cos <AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=√3913. 因此,直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是√39.20.解 (1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28, 解得a 4=8.由a 3+a 5=20,得8(q +1q )=20, 解得q=2或q=12, 因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n , 由c n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1, 所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)n -1.故b n -b n-1=(4n-5)·(12)n -2,n ≥2,b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·(12)n -2+(4n-9)·(12)n -3+…+7·12+3.设T n =3+7·12+11·(12)2+…+(4n-5)·(12)n -2,n ≥2, 12T n =3·12+7·(12)2+…+(4n-9)·(12)n -2+(4n-5)·(12)n -1, 所以12T n =3+4·12+4·(12)2+…+4·(12)n -2-(4n-5)·(12)n -1, 因此T n =14-(4n+3)·(12)n -2,n ≥2,又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)n -2.21.(1)证明 设P (x 0,y 0),A (14y 12,y 1),B (14y 22,y 2).因为PA ,PB 的中点在抛物线上, 所以y 1,y 2为方程(y+y 02)2=4·14y 2+x 02,即y 2-2y 0y+8x 0-y 02=0的两个不同的实根.所以y 1+y 2=2y 0, 因此,PM 垂直于y 轴.(2)解 由(1)可知{y 1+y 2=2y 0,y 1y 2=8x 0-y 02,所以|PM|=18(y 12+y 22)-x 0=34y 02-3x 0,|y 1-y 2|=2√2(y 02-4x 0).因此,△PAB 的面积S △PAB =12|PM|·|y 1-y 2|=3√24(y 02-4x 0)32. 因为x 02+y 024=1(x 0<0), 所以y 02-4x 0=-4x 02-4x 0+4∈[4,5],因此,△PAB 面积的取值范围是[6√2,15√104]. 22.证明 (1)函数f (x )的导函数f'(x )=2√x 1x , 由f'(x 1)=f'(x 2),得2x 1x 1=2x 1x 2, 因为x 1≠x 2,所以x x =12. 由基本不等式,得12√x 1x 2=√x 1+√x 2≥2√x 1x 24,因为x 1≠x 2,所以x 1x 2>256.由题意得f (x 1)+f (x 2)=√x 1-ln x 1+√x 2-ln x 2=12√x 1x 2-ln(x 1x 2).设g (x )=12√x -ln x ,则g'(x )=14x (√x -4),所以所以g (x )在[256,+∞)上单调递增,故g (x 1x 2)>g (256)=8-8ln 2,即f (x 1)+f (x 2)>8-8ln 2.(2)令m=e -(|a|+k ),n=(|a |+1k )2+1,则f (m )-km-a>|a|+k-k-a ≥0,f (n )-kn-a<n (√n a n -k)≤n (|a |+1√n k)<0,所以,存在x 0∈(m ,n ),使f (x 0)=kx 0+a.所以,对于任意的a ∈R 及k ∈(0,+∞),直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有公共点. 由f (x )=kx+a ,得k=√x -lnx -a x . 设h (x )=√x -lnx -a x,则h'(x )=lnx -√x 2-1+a x 2=-g (x )-1+a x 2. 其中g (x )=√x 2-ln x. 由(1)可知g (x )≥g (16).又a ≤3-4ln 2,故-g (x )-1+a ≤-g (16)-1+a=-3+4ln 2+a ≤0,所以h'(x )≤0,即函数h (x )在(0,+∞)上单调递减.因此方程f (x )-kx-a=0至多1个实根.综上,当a ≤3-4ln 2时,对于任意k>0,直线y=kx+a 与曲线y=f (x )有唯一公共点.。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k kn kn nP k p p k n -=-=台体的体积公式121()3V S S h =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=UAA ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}2．双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(−2，0)，(2，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，−2)，(0，2)D ．(0，−2)，(0，2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是侧视图俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．84．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在（0，1）内增大时， A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ19．已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A 1BC ．2D 10．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a ><C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试卷卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：1．答题前,请务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试卷卷和答题纸规定的位置上。

2．答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试卷卷上的作答一律无效。

参考公式：若事件A ,B 互斥,则 若事件A ,B 相互独立,则 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率台体的体积公式其中分别表示台体的上,下底面积,表示台体的高柱体的体积公式其中表示柱体的底面积,表示柱体的高 锥体的体积公式其中表示锥体的底面积,表示锥体的高 球的表面积公式球的体积公式其中表示球的半径选择题部分（共40分）一,选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},则A ．B ．{1,3}C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}2．双曲线的焦点坐标是A ．,0)B ．(−2,0),(2,0)C ．)D ．(0,−2),(0,2)3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积（单位：cm 3）是()()()P A B P A P B +=+()()()P AB P A P B =()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=121()3V S S h =12,S S h V Sh =S h 13V Sh =S h 24S R =π343V R =πR =UA ∅221 3=x y -A ．2B ．4C ．6D ．84．复数(i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i5．函数y =sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．已知平面α,直线m ,n 满足m α,n α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设0<p <1,随机变量ξ的分布列是则当p 在（0,1）内增大时. A ．D （ξ）减小B ．D （ξ）增大C ．D （ξ）先减小后增大D ．D （ξ）先增大后减小 8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形,侧棱长均相等,E 是线段AB 上的点（不含端点）,设SE 与BC 所成的角为θ1,SE 与平面ABCD 所成的角为θ2,二面角S −AB −C 的平面角为θ3,则俯视图正视图21i-||2x ⊄⊂A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ19．已知a,b,e是平面向量,e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是A1B+1 C．2 D．210．已知成等比数列,且．若,则A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二,填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。