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导数题型总结1.导数的几何意义2.导数四则运算构造新函数3.利用导数研究函数单调性4.利用导数研究函数极值和最值5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略9.不等式恒成立求参数范围10.不等式证明策略11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。
二.方法点拨：1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。
2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B.2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14+x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2） 若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围. 11. 已知函数f （x ）=4x-x 4，x ∈R. (1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证： 对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a+431.导数专题二 利用导数四则运算构造新函数 一．知识点睛 导数四则运算法则：[f(x)±g （x ）]’=f ′(x)±g ′(x) [f(x)·g （x ）]’=f ′(x)·g(x) +f(x)·g ′(x)[ )()(x g x f ]′=2[g(x)](x)f(x)g'(x)g(x)f'- 二．方法点拨在解抽象不等式或比较大小时原函数的单调性对解题没有任何帮助，此时我们就要构造新函数，研究新函数的单调性来解抽象不等式或比较大小。
导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。
注意增量的意义。
例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。
例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。
例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。
一、 分类讨论：分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减， 在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。
专治学霸不服——导数压轴小题1. 已知函数f(x)=xe x−m2x2−mx，则函数f(x)在[1,2]上的最小值不可能为( )A. e−32m B. −12mln2m C. 2e2−4m D. e2−2m2. 已知函数f(x)=sinxx ，若π3<a<b<2π3，则下列结论正确的是( )A. f(a)<f(√ab)<f(a+b2) B. f(√ab)<f(a+b2)<f(b)C. f(√ab)<f(a+b2)<f(a) D. f(b)<f(a+b2)<f(√ab)3. 已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[−1,1]，使得x1+x22e x2−a=0成立，则实数a的取值范围是( )A. [1,e]B. (1,e]C. (1+1e ,e] D. [1+1e,e]4. 若存在正实数x，y，z满足z2≤x≤ez且zln yz=x，则ln yx的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [1,e−1]C. (−∞,e−1]D. [1,12+ln2]5. 已知方程ln∣x∣−ax2+32=0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )A. (0,e 22) B. (0,e22] C. (0,e23) D. (0,e23]6. 设函数f(x)=e x(sinx−cosx)(0≤x≤2016π)，则函数f(x)的各极小值之和为( )A. −e 2π(1−e2016π)1−e2πB. −e2π(1−e1008π)1−eπC. −e 2π(1−e1008π)1−e2πD. −e2π(1−e2014π)1−e2π7. 若函数f(x)满足f(x)=x(fʹ(x)−lnx)，且f(1e )=1e，则ef(e x)<fʹ(1e)+1的解集为( )A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (0,1e)D. (1e,+∞)8. 已知 f (x )，g (x ) 都是定义在 R 上的函数，且满足以下条件：① f (x )=a x ⋅g (x )（a >0，且 a ≠1）；② g (x )≠0；③ f (x )⋅gʹ(x )>fʹ(x )⋅g (x )．若f (1)g (1)+f (−1)g (−1)=52，则 a 等于 ( )A. 12B. 2C. 54D. 2 或 129. 已知函数 f (x )=1+lnx x，若关于 x 的不等式 f 2(x )+af (x )>0 有两个整数解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−1+ln22,−1+ln33) B. (1+ln33,1+ln22) C. (−1+ln22,−1+ln33] D. (−1,−1+ln33]10. 已知函数 f (x )=x +xlnx ，若 m ∈Z ，且 f (x )−m (x −1)>0 对任意的 x >1 恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A. 2B. 3C. 4D. 511. 已知函数 f (x )={xln (1+x )+x 2,x ≥0−xln (1−x )+x 2,x <0，若 f (−a )+f (a )≤2f (1)，则实数 a 的取值范围是 ( )高中数学资料共享群QQ 群号：734924357A. (−∞,−1]∪[1,+∞)B. [−1,0]C. [0,1]D. [−1,1]12. 已知 fʹ(x ) 是定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 的导函数，若方程 fʹ(x )=0 无解，且 ∀x ∈(0,+∞)，f [f (x )−log 2016x ]=2017，设 a =f (20.5)，b =f (log π3)，c =f (log 43)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. b >c >aB. a >c >bC. c >b >aD. a >b >c13. 已知函数 f (x )={lnx,x ≥11−x 2,x <1，若 F (x )=f [f (x )+1]+m 有两个零点 x 1，x 2，则 x 1⋅x 2 的取值范围是 ( ) A. [4−2ln2,+∞) B. (√e,+∞)C. (−∞,4−2ln2]D. (−∞,√e)14. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=(x +1)e x ， 则对任意的 m ∈R ，函数 F (x )=f(f (x ))−m 的零点个数至多有 ( )A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 9 个15. 设 f (x )=∣lnx∣，若函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (0,1e ) B. (ln33,e) C. (0,ln33] D. [ln33,1e)16. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 fʹ(x )，若 fʹ(x )<f (x )，且 f (x +1)=f (3−x )，f (2015)=2，则不等式 f (x )<2e x−1 的解集为 ( )高中数学资料共享群QQ 群号：734924357A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,1e)17. 设函数 f (x ) 的导函数为 fʹ(x )，对任意 x ∈R 都有 fʹ(x )>f (x ) 成立，则 ( ) A. 3f (ln2)>2f (ln3) B. 3f (ln2)=2f (ln3) C. 3f (ln2)<2f (ln3)D. 3f (ln2) 与 2f (ln3) 的大小不确定18. 已知函数 f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c ，方程 fʹ(x )=0 两个根分别在区间 (0,1) 与 (1,2) 内，则 b−2a−1的取值范围为 ( )A. (14,1)B. (−∞,14)∪(1,∞)C. (−1,−14)D. (14,2)19. 已知 f (x )=∣xe x ∣，又 g (x )=f 2(x )−tf (x )(t ∈R )，若满足 g (x )=−1 的 x 有四个，则 t 的取值范围是 ( )A. (−∞,−e 2+1e) B. (e 2+1e,+∞) C. (−e 2+1e,−2) D. (2,e 2+1e)20. 已知 f (x ) 是定义在 (0,+∞) 上的单调函数，且对任意的 x ∈(0,+∞)，都有 f [f (x )−log 2x ]=3，则方程 f (x )−fʹ(x )=2 的解所在的区间是 ( ) A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)21. 已知函数 f (x )={√1+9x 2,x ≤01+xe x−1,x >0，点 A ，B 是函数 f (x ) 图象上不同两点，则 ∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是 ( )A. (0,π4) B. (0,π4] C. (0,π3) D. (0,π3]22. 定义：如果函数 f (x ) 在 [a,b ] 上存在 x 1，x 2 (0<x 1<x 2＜a) 满足 fʹ(x 1)=f (b )−f (a )b−a ，fʹ(x 2)=f (b )−f (a )b−a，则称函数 f (x ) 是 [a,b ] 上的“双中值函数”．已知函数 f (x )=x 3−x 2+a 是 [0,a ] 上的“双中值函数”，则实数 a 的取值范围是 ( )高中数学资料共享群QQ 群号：734924357 A. (13,12)B. (32,3)C. (12,1)D. (13,1)23. 已知函数 f (x )=2mx 2−2(4−m )x +1，g (x )=mx ，若对于任意实数 x ，函数 f (x ) 与 g (x ) 的值至少有一个为正值，则实数 m 的取值范围是 ( )A. (2,8)B. (0,2)C. (0,8)D. (−∞,0)24. 已知 a,b ∈R ，且 e x+1≥ax +b 对 x ∈R 恒成立，则 ab 的最大值是( )A. 12e 3B. √22e 3 C.√32e 3 D. e 325. 函数 f (x ) 是定义在区间 (0,+∞) 上的可导函数 ， 其导函数为 fʹ(x )，且满足 xfʹ(x )+2f (x )>0，则不等式 (x+2016)f (x+2016)5<5f (5)x+2016的解集为 ( ) A. {x >−2011} B. {x ∣x <−2011} C. {x ∣−2011<x <0}D. {x∣∣−2016<x ＜−2011}26. 设 D =√(x −a )2+(lnx −a 24)2+a 24+1(a ∈R )，则 D 的最小值为( ) A. √22B. 1C. √2D. 227. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 满足：函数 y =f (x +1) 的图象关于直线 x =−1 对称，且当 x ∈(−∞,0) 时，f (x )+xfʹ(x )<0 成立（fʹ(x ) 是函数 f (x ) 的导函数），若 a =0.76f (0.76)，b =log 1076f (log 1076)，c =60.6f (60.6)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b28. 对任意的正数 x ，都存在两个不同的正数 y ，使 x 2(lny −lnx )−ay 2=0 成立，则实数 a 的取值范围为 ( )A. (0,12e ) B. (−∞,12e ) C. (12e ,+∞) D. (12e,1)29. 已知函数 f (x )=x 3−6x 2+9x ，g (x )=13x 3−a+12x 2+ax −13(a >1) 若对任意的 x 1∈[0,4]，总存在 x 2∈[0,4]，使得 f (x 1)=g (x 2)，则实数 a 的取值范围为 ( )高中数学资料共享群QQ 群号：734924357 A. (1,94]B. [9,+∞)C. (1,94]∪[9,+∞)D. [32,94]∪[9,+∞)30. 定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (2−x )=f (x )，且当 x ∈[1,2] 时，f (x )=lnx −x +1，若函数g (x )=f (x )+mx 有 7 个零点，则实数 m 的取值范围为 ( )A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)B. (ln2−16,ln2−18) C. (1−ln28,1−ln26) D. (1−ln28,ln2−16)31. 已知函数 f (x )={e x ,x ≥0ax,x <0，若方程 f (−x )=f (x ) 有五个不同的根，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. (−∞,−e )B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (e,+∞)32. 已知 fʹ(x ) 是奇函数 f (x ) 的导函数，f (−1)=0，当 x >0 时，xfʹ(x )−f (x )>0，则使得 f (x )>0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−1,0)∪(1,+∞) C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)33. 已知函数 f (x ) 在定义域 R 上的导函数为 fʹ(x )，若方程 fʹ(x )=0 无解，且 f [f (x )−2017x ]=2017，当 g (x )=sinx −cosx −kx 在 [−π2,π2] 上与 f (x ) 在 R 上的单调性相同时，则实数 k 的取值范围是 ( )A. (−∞,−1]B. (−∞,√2]C. [−1,√2]D. [√2,+∞)34. 已知函数 f (x )=e x ∣x∣，关于 x 的方程 f 2(x )−2af (x )+a −1=0(a ∈R )有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是 ( ) A. (e 2−12e−1,+∞)B. (−∞,e 2−12e−1) C. (0,e 2−12e−1) D. {e 2−12e−1}35. 函数 y =f (x ) 图象上不同两点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) 处的切线的斜率分别是 k A ，k B ，规定 φ(A,B )=∣k A −k B ∣∣AB∣叫做曲线在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”．设曲线 y =e x 上不同的两点 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，且 x 1−x 2=1，若 t ⋅φ(A,B )<3 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ( )A. (−∞,3]B. (−∞,2]C. (−∞,1]D. [1,3]36. 已知函数 f (x )=ax 3+3x 2+1，若至少存在两个实数 m ，使得 f (−m )，f (1)，f (m +2) 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y =f (x ) 的切线可以作 ( ) A. 3 条B. 2 条C. 1 条D. 0 条37. 已知整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，⋯，则第 60 个整数对是 ( ) A. (5,7)B. (4,8)C. (5,8)D. (6,7)38. 已知函数 f (x )={∣log 3x ∣,0<x <3,−cos (π3x),3≤x ≤9.若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4，当 x 1<x 2<x 3<x 4 时，满足 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4 的取值范围是 ( ) A. (7,294)B. (21,1354) C. [27,30)D. (27,1354)39. 已知函数 f (x )=e 2x ，g (x )=lnx +12的图象分别与直线 y =b 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣ 的最小值为 ( )A. 1B. e 12C. 2+ln22D. e −ln3240. 设 A ，B 分别为双曲线 C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左、右顶点，P ，Q 是双曲线 C 上关于 x 轴对称的不同两点，设直线 AP ，BQ 的斜率分别为 m ，n ，则2b a+a b+12∣mn∣+ln ∣m ∣+ln ∣n ∣ 取得最小值时，双曲线 C 的离心率为 ( ) A. √2B. √3C. √6D. √6241. 已知 f (x )，g (x ) 都是定义在 R 上的函数，且满足以下条件：① f (x )=a x ⋅g (x )（a >0,a ≠1）；② g (x ) ≠0；③ f (x )⋅gʹ(x )>fʹ(x )⋅g (x )．若 f (1)g (1)+f (−1)g (−1)=52，则使 log a x >1 成立的 x 的取值范围是 ( )A. (0,12)∪(2,+∞)B. (0,12)C. (−∞,12)∪(2,+∞)D. (2,+∞)42. 已知函数 f (x )=∣sinx ∣(x ∈[−π,π])，g (x )=x −2sinx (x ∈[−π,π])，设方程 f(f (x ))=0，f(g (x ))=0，g(g (x ))=0 的实根的个数分别为 m ，n ，t ，则 m +n +t = ( )A. 9B. 13C. 17D. 2143. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (2)=0，当 x >0 时，有xfʹ(x )−f (x )x 2<0 恒成立，则不等式 x 2f (x )>0 的解集是 ( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)44. 已知函数 f (x )={−x 2+2x,x ≤0ln (x +1),x >0，若 ∣f (x )∣≥ax ，则 a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. [−2,1]D. [−2,0]45. 已知函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (−x )=2−f (x )，若函数 y =x+1x与 y =f (x ) 图象的交点为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x m ,y m )，则 ∑(x i +m i=1y i )= ( )A. 0B. mC. 2mD. 4m46. 若函数 f (x )=x −13sin2x +asinx 在 (−∞,+∞) 单调递增，则 a 的取值范围是 ( )高中数学资料共享群QQ 群号：734924357 A. [−1,1]B. [−1,13]C. [−13,13]D. [−1,−13]47. 已知两曲线 y =x 3+ax 和 y =x 2+bx +c 都经过点 P (1,2)，且在点 P处有公切线，则当 x ≥12 时，log bax 2−c 2x的最小值为 ( )A. −1B. 1C. 12D. 048. 直线 y =m 分别与 y =2x +3 及 y =x +lnx 交于 A ，B 两点，则 ∣AB∣的最小值为 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 449. 设函数 f (x )=x 2−2x +1+alnx 有两个极值点 x 1，x 2，且 x 1<x 2，则 f (x 2) 的取值范围是 ( ) A. (0,1+2ln24) B. (1−2ln24,0)C. (1+2ln24,+∞) D. (−∞,1−2ln24)50. 设直线 l 1，l 2 分别是函数 f (x )={−lnx,0<x <1,lnx,x >1,图象上点 P 1，P 2处的切线，l 1 与 l 2 垂直相交于点 P ，且 l 1，l 2 分别与 y 轴相交于点 A ，B ，则 △PAB 的面积的取值范围是 ( )A. (0,1)B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)51. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，其导函数为 fʹ(x )，对任意正实数 x 满足 xfʹ(x )>2f (−x )，若 g (x )=x 2f (x )，则不等式 g (x )<g (1−3x ) 的解集是 ( ) A. (14,+∞)B. (−∞,14)C. (0,14)D. (−∞,14)∪(14,+∞)52. 已知函数 f (x )=x (lnx −ax ) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,12)C. (0,1)D. (0,+∞)53. 已知函数 f (x )=x +xlnx ，若 m ∈Z ，且 (m −2)(x −2)<f (x ) 对任意的 x >2 恒成立，则 m 的最大值为 ( ) A. 4B. 5C. 6D. 854. 已知函数 f (x )=a x+xlnx ，g (x )=x 3−x 2−5，若对任意的 x 1,x 2∈[12,2]，都有 f (x 1)−g (x 2)≥2 成立，则 a 的取值范围是 ( )A. (0,+∞)B. [1,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,−1]55. 设函数 f (x )=e x (2x −1)−ax +a ，其中 a <1，若存在唯一的整数x 0 使得 f (x 0)<0，则 a 的取值范围是 ( )A. [−32e,1) B. [−32e ,34) C. [32e ,34)D. [32e,1)56. 函数 f (x )={(x −a )2+e,x ≤2xlnx+a +10,x >2（e 是自然对数的底数），若 f (2) 是函数 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围是 ( ) A. [−1,6]B. [1,4]C. [2,4]D. [2,6]57. f (x )，g (x )(g (x )≠0) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x <0时，fʹ(x )g (x )<f (x )gʹ(x )，且 f (−3)=0，f (x )g (x )<0 的解集为 ( )A. (−∞,−3)∪(3,+∞)B. (−3,0)∪(0,3)C. (−3,0)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(0,3)58. 已知函数 f (x )=x 3+bx 2+cx +d （b ，c ，d 为常数），当 x ∈(0,1) 时 f (x ) 取得极大值，当 x ∈(1,2) 时 f (x ) 取得极小值，则 (b +12)2+(c −3)2的取值范围是 ( )高中数学资料共享群QQ 群号：734924357 A. (√372,5) B. (√5,5)C. (374,25)D. (5,25)59. 若关于 x 的方程 ∣x 4−x 3∣=ax 在 R 上存在 4 个不同的实根，则实数a 的取值范围为 ( ) A. (0,427)B. (0,427]C. (427,23)D. (427,23]60. 设函数 f (x ) 在 R 上存在导函数 fʹ(x )，若对 ∀x ∈R ，有 f (−x )+f (x )=x 2，且当 x ∈(0,+∞) 时，fʹ(x )>x ．若 f (2−a )−f (a )≥2−2a ，则 a 的取值范围是 ( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. (−∞,2]D. [2,+∞)61. 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 x ∈[1e,1]，总存在唯一的 y ∈[−1,1]，使得 lnx −x +1+a =y 2e y 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. [1e ,e]B. (2e,e]C. (2e,+∞)D. (2e ,e +1e)62. 设函数 f (x )={2x +1,x >0,0,x =0,2x −1,x <0.若不等式 f (x −1)+f (mx)>0 对任意x >0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (−14,14)B. (0,14)C. (14,+∞)D. (1,+∞)63. 若 0<x 1<x 2<1，则 ( )A. e x 2−e x 1>lnx 2−lnx 1B. e x 1−e x 2<lnx 2−lnx 1C. x 2e x 1>x 1e x 2D. x 2e x 1<x 1e x 264. 函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2−x)，且(x−1)fʹ(x)<0，若a=f(0),b=f(12),c=f(3),则a，b，c的大小关系是( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. a>c>b65. 已知函数f(x)=x−4+9x+1,x∈(0,4)．当x=a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)=(1a )∣x+b∣的图象为( )A. B.C. D.66. f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对∀x∈(0,+∞)都有f(f(x)−lnx)=e+1，则方程f(x)−fʹ(x)=e的实数解所在的区间是( )高中数学资料共享群QQ群号：734924357A. (0,1e ) B. (1e,1) C. (1,e) D. (e,3)67. 已知R上的奇函数f(x)满足fʹ(x)>−2，则不等式f(x−1)<x2(3−2lnx)+3(1−2x)的解集是( )A. (0,1e) B. (0,1) C. (1,+∞) D. (e,+∞)68. 已知函数f(x)=sinxx，给出下面三个结论：①函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递增，在区间(0,π2)上单调递减；②函数f(x)没有最大值，而有最小值；③函数f(x)在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点．其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③69. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的可导函数，fʹ(x ) 为其导函数，若对于任意实数 x ，有 f (x )−fʹ(x )>0，则 A. ef (2015)>f (2016) B. ef (2015)<f (2016) C. ef (2015)=f (2016)D. ef (2015) 与 f (2016) 大小不能确定70. 若存在正实数 m ，使得关于 x 的方程 x +a (2x +2m −4ex )[ln (x +m )−lnx ]=0 有两个不同的根，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是 ( ) A. (−∞,0)B. (0,12e )C. (−∞,0)∪(12e ,+∞)D. (12e ,+∞)71. 定义在 (0,π2) 上的函数 f (x )，fʹ(x ) 是它的导函数，且恒有 f (x )⋅tanx <fʹ(x ) 成立，则 ( ) A. √3f (π4)>√2f (π3)B. f (1)<2f (π6)sin1C. √2f (π6)>f (π4) D. √3f (π6)<f (π3)72. 已知函数 f (x )=x 3+ax 2+bx +c ，下列结论中错误的是 ( )A. ∃x 0∈R ，f (x 0)=0B. 函数 y =f (x ) 的图象是中心对称图形C. 若 x 0 是 f (x ) 的极小值点，则 f (x ) 在区间 (−∞,x 0) 单调递减D. 若 x 0 是 f (x ) 的极值点，则 fʹ(x 0)=073. 已知函数 f (x )=ln x2+12，g (x )=e x−2，若 g (m )=f (n ) 成立，则 n −m 的最小值为 ( )A. 1−ln2B. ln2C. 2√e −3D. e 2−374. 设函数 f (x )=e x (x 3−3x +3)−ae x −x (x ≥−2)，若不等式 f (x )≤0有解．则实数 a 的最小值为 ( )A. 2e −1 B. 2−2eC. 1+2e2D. 1−1e75. 设函数f(x)=2lnx−12mx2−nx，若x=2是f(x)的极大值点，则m 的取值范围为( )A. (−12,+∞) B. (−12,0)C. (0,+∞)D. (−∞,−12)∪(0,+∞)76. 已知函数f(x)=ax3+bx2−2(a≠0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则( )A. 当a<0时，x1+x2<0，x1x2>0B. 当a<0时，x1+x2>0，x1x2<0C. 当a>0时，x1+x2<0，x1x2>0D. 当a>0时，x1+x2>0，x1x2<077. 已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为( )A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−∞,−1)78. 设f(x)、g(x)是定义域为R的恒大于零的可导函数，且fʹ(x)g(x)−f(x)gʹ(x)<0，则当a<x<b时，有( )A. f(x)g(x)>f(b)g(b)B. f(x)g(a)>f(a)g(x)C. f(x)g(b)>f(b)g(x)D. f(x)g(x)>f(a)g(a)79. 设函数fʹ(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，f(0)=1，且3f(x)=fʹ(x)−3，则4f(x)>fʹ(x)的解集为( )A. (ln43,+∞) B. (ln23,+∞) C. (√32,+∞) D. (√e3,+∞)80. 下列关于函数f(x)=(2x−x2)e x的判断正确的是( )①f(x)>0的解集是{x∣0<x<2}；②f(−√2)是极小值，f(√2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值；④f(x)有最大值，没有最小值．A. ①③B. ①②③C. ②④D. ①②④参考答案，仅供参考啊1. D 【解析】fʹ(x)=e x+xe x−m(x+1)=(x+1)(e x−m)，因为1≤x≤2，所以e≤e x≤e2，①当m≤e时，e x−m≥0，由x≥1，可得fʹ(x)≥0，此时函数f(x)单调递增．高中数学资料共享群QQ群号：734924357所以当x=1时，函数f(x)取得最小值，f(1)=e−32m．②当m≥e2时，e x−m≤0，由x≥1，可得fʹ(x)≤0，此时函数f(x)单调递减．所以当x=2时，函数f(x)取得最小值，f(2)=2e2−4m．③当e2>m>e时，由e x−m=0，解得x=lnm．当1≤x<lnm时，fʹ(x)<0，此时函数f(x)单调递减；当lnm<x≤1时，fʹ(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以当x=lnm时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(lnm)=−m2ln2m．2. D 【解析】fʹ(x)=xcosx−sinxx2(0<x<π)．（i）当x=π2时，fʹ(x)=−4π2<0；（ii）当0<x<π，且x≠π2时，fʹ(x)=xcosx−sinxx2=cosx(x−tanx)x2．①当0<x<π2时，根据三角函数线的性质，得x<tanx，又cosx>0，所以fʹ(x)<0；②当π2<x<π时，tanx<0，则x−tanx>0，又cosx<0，所以fʹ(x)< 0．综合（i）（ii），当0<x<π时，fʹ(x)<0．所以f(x)在(0,π)上是减函数．若π3<a<b<2π3，则π3<a<√ab<a+b2<b<2π3，所以f(a)>f(√ab)>f(a+b2)>f(b)．3. C 【解析】令f(x1)=a−x1，则f(x1)=a−x1在x1∈[0,1]上单调递减，且f(0)=a，f(1)=a−1．令g(x2)=x22e x2，则gʹ(x2)=2x2e x2+x22e x2=x2e x2(x2+2)，且g(0)=0，g(−1)=1e，g(1)=e．若对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[−1,1]，使得x1+x22e x2−a=0成立，即f(x1)=g(x2)，则f(x1)=a−x1的最大值不能大于g(x2)的最大值，即f(0)=a≤e，因为g(x2)在[−1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当g(x2)∈(0,1e]时，有两个x2使得f(x1)=g(x2)．若只有唯一的x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)，则f(x1)的最小值要比1e大，所以f(1)=a−1>1e，所以a>1+1e，故实数a的取值范围是(1+1e,e]．4. B 【解析】zln yz=x，所以xz=lny−lnz，所以lny=xz+lnz，所以ln yx =lny−lnx=xz+lnz−lnx=xz+ln zx，令zx =t，则ln yx=1t+lnt，又因为z2≤x≤ez，所以12≤xz≤e，即t∈[1e ,2]，令ln yx=1t+lnt=f(t)，则fʹ(t)=t−1t2，令fʹ(t)=0即t=1，又因为1e≤t≤2，所以t∈[1e,1]时fʹ(t)<0，f(t)单调减，t∈[1,2]时fʹ(t)>0，f(t)单调增，所以t=1时f(t)取极小值，即f(1)=1，f(2)=12+ln2，f(1e)=e+ln1e=e−1f(1e )−f(2)=e−ln2−32>e−lne−32=e−52>0，所以f(t)最大值为e−1，所以f(t)∈[1,e−1]，高中数学资料共享群QQ群号：734924357所以ln yx∈[1,e−1]．5. A【解析】由ln∣x∣−ax2+32=0得ax2=ln∣x∣+32，因为x≠0，所以方程等价为a=ln∣x∣+32x2，设f(x)=ln∣x∣+32x2，则函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=lnx+32x2，则fʹ(x)=1x⋅x2−(lnx+32)⋅2xx4=x−2xlnx−3xx4=−2x(1+lnx)x4,由fʹ(x)>0得−2x(1+lnx)>0，得1+lnx<0，即lnx<−1，得0<x<1e，此时函数单调递增，由fʹ(x)<0得−2x(1+lnx)<0，得1+lnx>0，即lnx>−1，得x>1e，此时函数单调递减，即当 x >0 时，x =1e 时，函数 f (x ) 取得极大值 f (1e)=ln 1e +32(1e)2=(−1+32)e 2=12e 2， 作出函数f (x ) 的图象如图：要使 a =ln∣x∣+32x 2，有 4 个不同的交点，则满足 0<a <12e 2．6. D 【解析】提示：令 fʹ(x )=2sinx ⋅e x =0，得 x =kπ，易知当 x =2kπ(k ∈Z ),1≤k ≤1007 时 f (x ) 取到极小值，故各极小值之和为f (2π)+f (4π)+⋯+f (2014π)=−(e 2π+e 4π+⋯+e 2014π)=−e 2π(1−e 2014π)1−e 2π.7. A 【解析】因为 f (x )=x (fʹ(x )−lnx )， 所以 xfʹ(x )−f (x )=xlnx ， 所以xfʹ(x )−f (x )x 2=lnx x，所以 [f (x )x]ʹ=lnxx，令 F (x )=f (x )x ，则 Fʹ(x )=lnx x，f (x )=xF (x )，所以 fʹ(x )=F (x )+xFʹ(x )=F (x )+lnx ， 所以 fʺ(x )=Fʹ(x )+1x=lnx+1x，因为 x ∈(0,1e )，fʺ(x )<0，fʹ(x ) 单减，x ∈(1e ,+∞)，fʺ(x )>0，fʹ(x ) 单增，所以 fʹ(x )≥fʹ(1e )=F (1e )+ln 1e =ef (1e )−1=0，所以 fʹ(x )≥0，所以 f (x ) 在 (0,+∞) 上单增，因为 e ⋅f (e x )<fʹ(1e )+1，fʹ(1e )=−1+e ⋅f (1e )=0， 所以 e ⋅f (e x )<1， 所以 f (e x )<1e ，所以 f (e x )<f (1e )， 所以 0<e x <1e ，所以不等式的解集为 x <−1． 8. A 9. C 【解析】因为 fʹ(x )=1−(1+lnx )x 2=−lnx x 2，所以 f (x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,,+∞) 上单调递减，当 a >0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )<−a 或 f (x )>0，此时不等式 f 2(x )+af (x )>0 有无数个整数解，不符合题意；当 a =0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )≠0，此时不等式 f 2(x )+af (x )>0 有无数个整数解，不符合题意；当 a <0 时，f 2(x )+af (x )>0⇔f (x )<0 或 f (x )>−a ，要使不等式 f 2(x )+af (x )>0 恰有两个整数解，必须满足 f (3)≤−a <f (2)，得 −1+ln22<a ≤−1+ln33．10. B【解析】因为 f (x )=x +xlnx ，所以 f (x )−m (x −1)>0 对任意 x >1 恒成立，即 m (x −1)<x +xlnx ， 因为 x >1，也就是 m <x⋅lnx+x x−1对任意 x >1 恒成立．令 ℎ(x )=x⋅lnx+x x−1，则 ℎʹ(x )=x−lnx−2(x−1)2，令 φ(x )=x −lnx −2(x >1)，则 φʹ(x )=1−1x=x−1x>0，所以函数 φ(x ) 在 (1,+∞) 上单调递增．因为 φ(3)=1−ln3<0，φ(4)=2−2ln2>0，所以方程 φ(x )=0 在 (1,+∞) 上存在唯一实根 x 0，且满足 x 0∈(3,4)． 当 1<x <x 0 时，φ(x )<0，即 ℎʹ(x )<0， 当 x >x 0 时，φ(x )>0，即 ℎʹ(x )>0，所以函数 ℎ(x ) 在 (1,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增． 所以 [ℎ(x )]min =ℎ(x 0)=x 0(1+x 0−2)x 0−1=x 0∈(3,4)．所以 m <[g (x )]min =x 0，因为 x 0∈(3,4)，故整数 m 的最大值是 3． 11. D 【解析】函数 f (x )={xln (1+x )+x 2,x ≥0−xln (1−x )+x 2,x <0， 将 x 换为 −x ，函数值不变，即有 f (x ) 图象关于 y 轴对称，即 f (x ) 为偶函数，有 f (−x )=f (x )，当 x ≥0 时，f (x )=xln (1+x )+x 2 的导数为 fʹ(x )=ln (1+x )+x 1+x+2x ≥0，则 f (x ) 在 [0,+∞) 递增，f (−a )+f (a )≤2f (1)，即为 2f (a )≤2f (1)， 可得 f (∣a∣)≤f (1)，可得 ∣a∣≤1，解得 −1≤a ≤1．12. D 【解析】由题意，可知 f (x )−log 2016x 是定值，不妨令 t =f (x )−log 2016x ，则 f (x )=log 2016x +t ，又 f (t )=2017，所以 log 2016t +t =2017⇒t =2016，即 f (x )=log 2016x +2016，则 fʹ(x )=1xln2016，显然当x ∈(0,+∞) 时，有 fʹ(x )>0，即函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上为单调递增，又 20.5>1>log π3>log 43，所以 f (20.5)>f (log π3)>f (log 43)． 13. D 【解析】当 x ≥1 时，f (x )=lnx ≥0， 所以 f (x )+1≥1，所以 f [f (x )+1]=ln (f (x )+1)，当 x <1，f (x )=1−x2>12，f (x )+1>32，f [f (x )+1]=ln (f (x )+1)，综上可知：F[f(x)+1]=ln(f(x)+1)+m=0，则f(x)+1=e−m，f(x)=e−m−1，有两个根x1，x2，（不妨设x1<x2），当x≥1是，lnx2=e−m−1，当x<1时，1−x12=e−m−1，令t=e−m−1>12，则lnx2=t，x2=e t，1−x12=t，x1=2−2t，所以x1x2=e t(2−2t)，t>12，设g(t)=e t(2−2t)，t>12，求导gʹ(t)=−2te t，t∈(12,+∞)，gʹ(t)<0，函数g(t)单调递减，所以g(t)<g(12)=√e，所以g(x)的值域为(−∞,√e)，所以x1x2取值范围为(−∞,√e)．14. A 【解析】当x<0时，f(x)=(x+1)e x，可得fʹ(x)=(x+2)e x，可知x∈(−∞,−2)，函数是减函数，x∈(−2,0)函数是增函数，f(−2)=−1e2，f(−1)=0，且x→0时，f(x)→1，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0，而x∈(−∞,−1)时，f(x)<0，所以函数的图象如图：令t=f(x)则f(t)=m，由图象可知：当t∈(−1,1)时，方程f(x)=t至多3个根，当t∉(−1,1)时，方程没有实数根，而对于任意m∈R，方程f(t)=m至多有一个根，t∈(−1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))−m的零点个数至多有3个．15. D【解析】函数g(x)=f(x)−ax在区间(0,3]上有三个零点即函数f(x)=∣lnx∣与y=ax在区间(0,3]上有三个交点．画图如下．当 a ≤0 时，显然，不合乎题意，当 a ＞0 时，由图知，当 x ∈(0,1] 时，存在一个交点，当 x ＞1 时，f (x )=lnx ，可得 g (x )=lnx −ax (x ∈(1,3])，gʹ(x )=1x−a =1−ax x，若 gʹ(x )＜0，可得 x ＞1a，g (x ) 为减函数，若 gʹ(x )＞0，可得 x ＜1a，g (x ) 为增函数，此时 y =f (x ) 与 y =ax 必须在 [1,3] 上有两个交点，即 y =g (x ) 在 [1,3] 上有两个零点，所以 {g (1a)＞0,g (3)≤0,g (1)≤0,解得ln33≤a ＜1e，故函数 g (x )=f (x )−ax 在区间 (0,3] 上有三个零点时，ln33≤a ＜1e．16. A 【解析】因为函数 f (x ) 是偶函数， 所以 f (x +1)=f (3−x )=f (x −3)．所以 f (x +4)=f (x )，即函数 f (x ) 是周期为 4 的周期函数． 因为 f (2015)=f (4×504−1)=f (−1)=f (1)=2， 所以 f (1)=2． 设 g (x )=f (x )e x，则 gʹ(x )=fʹ(x )e x −f (x )e xe 2x=fʹ(x )−f (x )e x<0，所以 g (x ) 在 R 上单调递减． 不等式 f (x )<2e x−1 等价于 f (x )e x<2e，即 g (x )<g (1)，所以 x >1，所以不等式 f (x )<2e x−1 的解集为 (1,+∞)． 17. C 【解析】构造函数 g (x )=f (x )e x，则函数求导得 gʹ(x )=fʹ(x )−f (x )e x．由已知 fʹ(x )>f (x )，所以 gʹ(x )>0，即 g (x ) 在实数范围内单调递增， 所以 g (ln2)<g (ln3)，即f (ln2)e ln2<f (ln3)e ln3，解得 3f (ln2)<2f (ln3)．18. A 【解析】由题意，fʹ(x )=x 2+ax +2b ，因为 fʹ(x ) 是开口朝上的二次函数，所以 {fʹ(0)>0fʹ(1)<0fʹ(2)>0，得 {b >0,a +a +2b <0,2+a +b >0, 由此可画出可行域，如图，b−2a−1表示可行域内的点 (a,b ) 和点 P (1,2) 连线的斜率，显然 PA 的斜率最小，PC 的斜率最大．19. B 【解析】令 y =xe x ，则 yʹ=(1+x )e x ，由 yʹ=0，得 x =−1，当 x ∈(−∞,−1) 时，yʹ<0，函数 y 单调递减，当 x ∈(−1,∞) 时，yʹ>0 函数单调递增．做出 y =xe x 图象，利用图象变换得 f (x )=∣xe x ∣ 图象（如图），令 f (x )=m ，则关于 m 方程 ℎ(m )=m 2−tm +1=0 两根分别在 (0,1e )，(1e ,+∞) 时（如图），满足 g (x )=−1 的 x 有 4 个，由 ℎ(1e )=1e 2−1e t +1<0 解得 t >e 2+1e．20. C【解析】根据题意，对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log2x]=3，又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，则f(x)−log2x为定值，设t=f(x)−log2x，则f(x)=log2x+t，又由f(t)=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f(x)=log2x+2，fʹ(x)=1ln2⋅x，将f(x)=log2x+2，fʹ(x)=1ln2⋅x代入f(x)−fʹ(x)=2，可得log2x+2−1ln2⋅x=2，即log2x−1ln2⋅x=0，令ℎ(x)=log2x−1ln2⋅x，分析易得ℎ(1)=−1ln2<0，ℎ(2)=1−12ln2>0，则ℎ(x)=log2x−1ln2⋅x的零点在(1,2)之间，则方程log2x−1ln2⋅x=0，即f(x)−fʹ(x)=2的根在(1,2)上．21. A 【解析】当x≤0时，由y=√1+9x2得y2−9x2=1(x≤0)，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y=−3x，此时渐近线的斜率k1=−3，当x>0时，f(x)=1+xe x−1，当过原点的直线和f(x)相切时，设切点为(a,1+ae a−1)，函数的导数fʹ(x)=e x−1+xe x−1=(x+1)e x−1，则切线斜率k2=fʹ(a)=(a+1)e a−1，则对应的切线方程为y−(1+ae a−1)=(1+a)e a−1(x−a)，即y=(1+a)e a−1(x−a)+1+ae a−1，当x=0，y=0时，(1+a)e a−1(−a)+1+ae a−1=0，即a2e a−1+ae a−1=1+ae a−1，即a2e a−1=1，得a=1，此时切线斜率k2=2，则切线和y=−3x的夹角为θ，则tanθ=∣∣−3−21−2×3∣∣=55=1，则θ=π4，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是(0,π4)．22. C 【解析】由题意可知，因为 f (x )=x 3−x 2+a 在区间 [0,a ] 存在 x 1，x 2 (a <x 1<x 2＜b)，满足 fʹ(x 1)=fʹ(x 2)=f (a )−f (0)a=a 2−a ，因为 f (x )=x 3−x 2+a ， 所以 fʹ(x )=3x 2−2x ，所以方程 3x 2−2x =a 2−a 在区间 (0,a ) 有两个不相等的解． 令 g (x )=3x 2−2x −a 2+a ，(0<x <a )． 则 {Δ=4−12(−a 2+a )>0,g (0)=−a 2+a >0,g (a )=2a 2−a >0,0<16<a. 解得：12<a <1．所以实数 a 的取值范围是 (12,1)． 23. C 【解析】当 m <0 时，函数 f (x ) 的图象为开口向下的抛物线，所以在 x >0 时，f (x )>0 不恒成立． 函数 g (x )=mx 当 x >0 时，g (x )<0． 所以不满足题意．当 m =0 时，f (x )=−8x +1，g (x )=0，不满足题意． 当 m >0 时，需 f (x )>0 在 x <0 时恒成立，所以令 Δ<0 或 {Δ≥0,−b2a ≥0,f (0)>0,即 4(4−m )2−8m <0 或 {4(4−m )2−8m ≥0,4−m 2m≥0.解得 2<m <8 或 0<m ≤2．综合得：0<m <8．24. A 【解析】若 a <0，由于一次函数 y =ax +b 单调递减，不能满足且 e x+1≥ax +b 对 x ∈R 恒成立，则 a ≥0． 若 a =0，则 ab =0．若 a >0，由 e x+1≥ax +b 得 b ≤e x+1−ax ，则 ab ≤ae x+1−a 2x ． 设函数 f (x )=ae x+1−a 2x ，所以 fʹ(x )=ae x+1−a 2=a (e x+1−a )，令 fʹ(x )=0 得 e x+1−a =0，解得 x =lna −1，因为 x <lna −1 时，x +1<lna ，则 e x+1<a ，则 e x+1−a <0， 所以 fʹ(x )<0，所以函数 f (x ) 递减；同理，x >lna −1 时，fʹ(x )>0，所以函数 f (x ) 递增；所以当 x =lna −1 时，函数取最小值，f (x ) 的最小值为 f (lna −1)=2a 2−a 2lna ．设 g (a )=2a 2−a 2lna (a >0)，gʹ(a )=a (3−2lna )(a >0)，由 gʹ(a )=0 得 a =e 32，不难得到 a <e 32时，gʹ(a )>0；a >e 32时，gʹ(a )<0；所以函数 g (a ) 先增后减，所以 g (a ) 的最大值为 g (e 32)=12e 3，即 ab 的最大值是 12e 3，此时 a=e 32，b =12e 32．25. D【解析】构造函数 g (x )=x 2f (x )，gʹ(x )=x(2f (x )+xfʹ(x ))， 当 x >0 时，因为 2f (x )+xfʹ(x )>0， 所以 gʹ(x )>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，因为不等式(x+2016)f(x+2016)5<5f(5)x+2016，所以x+2016>0时，即x＞−2016时，(x+2016)2f(x+2016)<52f(5)，所以g(x+2016)<g(5)，所以x+2016<5，所以−2016<x<−2011．26. C 【解析】S=(x−a)2+(lnx−a24)2(a∈R)，其几何意义为：两点(x,lnx)，(a,a 24)的距离的平方，由y=lnx的导数为yʹ=1x，所以k=1x1，点(a,a24)在曲线y=14x2上，所以yʹ=12x，所以k=12x2，令f(x)=lnx，g(x)=14x2，则D(x)=√(x1−x2)2+[f(x1)−g(x2)]2+g(x2)+1，而g(x2)+1是抛物线y=14x2上的点到准线y=−1的距离，即抛物线y=14x2上的点到焦点(0,1)的距离，则D可以看作抛物线上的点(x2,g(x2))到焦点距离和到f(x)=lnx上的点的距离的和，即∣AF∣+∣AB∣，由两点之间线段最短，得D最小值是点F(0,1)到f(x)=lnx上的点的距离的最小值，由点到直线上垂线段最短，这样就最小，即取B(x0,lnx0)，则fʹ(x0)⋅lnx0−1x0=−1，垂直，则 lnx 0−1=−x 02，解得 x 0=1，所以 F 到 B (1,0) 的距离就是点 F (0,1) 到 f (x )=lnx 上的点的距离的最小值， 所以 D 的最小值为 ∣DF ∣=√2．27. D 【解析】定义在 R 上的函数 y =f (x ) 满足：函数 y =f (x +1) 的图象关于直线 x =−1 对称，可知函数 f (x ) 是偶函数， 所以 y =xf (x ) 是奇函数，又因为当 x ∈(−∞,0) 时，f (x )+xfʹ(x )<0 成立（fʹ(x ) 是函数 f (x ) 的导函数），所以函数 y =xf (x ) 在 R 上既是奇函数又是减函数； 0.76∈(0,1)，60.6<912∈(2,4)，log 1076≈log 1.56∈(4,6)．所以 a >c >b ．28. A 【解析】由 x 2(lny −lnx )−ay 2=0(x,y >0)，可得：a =ln y x (y x)2，令y x=t >0，所以 a =lnt t2，设 g (t )=lnt t2，gʹ(t )=1t×t 2−2tlnt t 4=1−2lnt t 3．令 gʹ(t )>0．解得 0<t <√e ，此时函数 g (t ) 单调递增； 令 gʹ(t )<0．解得 t >√e ，此时函数 g (t ) 单调递减．又t>1时，g(t)>0；1>t>0时，g(t)<0．可得函数g(t)的图象．因此当a∈(0,12e )时，存在两个正数，使得a=lntt2成立，即对任意的正数x，都存在两个不同的正数y，使x2(lny−lnx)−ay2=0成立．29. C 【解析】函数f(x)=x3−6x2+9x，导数为f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，可得f(x)的极值点为1，3，由f(0)=0，f(1)=4，f(3)=0，f(4)=4，可得f(x)在[0,4]的值域为[0,4]；g(x)=13x3−a+1 2x2+ax−13(a>1)，导数为g′(x)=x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a)，当1<x<a时，g′(x)<0，g(x)递减；当x<1或x>a时，g′(x)> 0，g(x)递增．由g(0)=−13，g(1)=12(a−1)，g(a)=−16a3−12a2−13>−13，g(4)=13−4a，当3≤a≤4时，13−4a≤12(a−1)，g(x)在[0,4]的值域为[−13,12(a−1)]，由对任意的x1∈[0,4]，总存在x2∈[0,4]，使得f(x1)=g(x2)，可得[0,4]⊆[−13,12(a−1)]，即有4≤12(a−1)，解得a≥9不成立；当1<a<3时，13−4a>12(a−1)，g(x)在[0,4]的值域为[−13,13−4a]，由题意可得[0,4]⊆[−13,13−4a]，即有4≤13−4a，解得a≤94，即为1<a≤94；当 a >4 时，可得 g (1) 取得最大值，g (4)<−3 为最小值，即有 [0,4]⊆[13−4a,12(a −1)]，可得 13−4a ≤0，4≤12(a −1)，即 a ≥134，且 a ≥9，解得 a ≥9．综上可得，a 的取值范围是 (1,94]∪[9,+∞)．30. A【解析】因为函数 f (2−x )=f (x ) 可得图象关于直线 x =1 对称，且函数为偶函数则其周期为 T =2， 又因为 fʹ(x )=1x −1=1−x x，当 x ∈[1,2] 时有 fʹ(x )≤0，则函数在 x ∈[1,2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中 k OA =ln2−16，k OB =ln2−18，当 x <0 时 , 要使符合题意则 m ∈(ln2−16,ln2−18)，根据偶函数的对称性，当 x >0 时，要使符合题意则 m ∈(1−ln28,1−ln26)．综上所述，实数 m 的取值范围为 (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)．31. A 【解析】因为 f (x )={e x ,x ≥0ax,x <0，所以 f (−x )={−ax,x >01,x =0e −x ,x <0． 显然 x =0 是方程 f (−x )=f (x ) 的一个根， 当 x >0 时，e x =−ax, ⋯⋯① 当 x <0 时，e −x =ax, ⋯⋯②显然，若 x 0 为方程 ① 的解，则 −x 0 为方程 ② 的解， 即方程 ①，② 含有相同个数的解， 因为方程 f (−x )=f (x ) 有五个不同的根， 所以方程 ① 在 (0,+∞) 上有两解，。
1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
导数大题专题题型一．求含参数的单调性问题一． 讨论是否存在极值点问题1.求f(x)=e x -ax+1的单调区间2. 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间.2()1x a f x x +=+a R ∈()f x (1,(1))f 12y x b =+,a b ()f x3. 设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.二．讨论极值点的大小关系问题1．设0>a 且a ≠1，函数x a x a x x f ln )1(21)(2++-=. （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率；（2）求函数)(x f 的极值点。
，3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x2. 已知函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值。
3.（本小题13分）设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ； （Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围．4. 已知函数2()()x kf x x k e =-。
求()f x 的单调区间；22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈a R ∈0a =()(1,(1))y f x f =在点23a ≠()f x ()f x 2(41)43ax a x a -+++e x (1)f x ()f x三． 讨论极值点和定义域问题1．已知函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22x x (k ≥0)。
导数难题归类一．导数中与零点相关问题1.已知函数ln 1()ax f x x+= (0a >). （Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）如果关于x 的方程ln 1x bx +=有两解，写出b 的取值范围（只需写出结论）；2．已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ． （Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.3.（本小题共13分） 已知函数1()ln ()f x a x a R x=+∈. （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）如果函数()()2g x f x x =-在(0,)+∞上单调递减，求a 的取值范围；（Ⅲ）当0a >时，讨论函数()y f x =零点的个数．4. 已知函数2()ln =-f x x x .（Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）设2()=-+g x x x t ，若函数()()()=-h x f x g x 在1[,]e e上(这里 2.718≈e ）恰有两个不同的零点,求实数t 的取值范围.5.已知函数e ()xf x x=. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值；（Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；（Ⅲ）问集合{()0}x f x bx ∈-=R （b ∈R 且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）6.（本小题共13分）设函数()e (R)axf x a =∈.（Ⅰ）当2a =-时，求函数2()()g x x f x =在区间(0,)+∞内的最大值； （Ⅱ）若函数2()1()x h x f x =-在区间(0,16)内有两个零点，求实数a 的取值范围.二．利用二阶导数解决问题1.（本小题满分13分） 已知函数()()e x a f x x x=+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．2.（本小题共13分）设函数f （x ）=xe a ﹣x +bx ，曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y=（e ﹣1）x+4，（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调区间．三．导数中出现三角函数如何解决1．已知函数()sin cos f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()3f x x <； （Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π恒成立，求实数的最大值．2. 已知函数f(x)=x 2+xsin x+cos x.（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b 相切，求a 与b 的值。
高中数学导数难题一．选择题（共20小题）1．对于任意的x∈[0，]，总存在b∈R，使得|sin2x+a sin x+b|≤1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，3]D．[﹣1，1]2．设k，b∈R，若关于x的不等式ln（x﹣1）+x≤kx+b在（1，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e﹣13．设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e4．已知曲线在x＝x1处的切线为l1，曲线y＝lnx在x＝x2处的切线为l2，且l1⊥l2，则x2﹣x1的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，0）D．5．若对任意的a∈R，不等式e2a+a2+b2﹣2ab≥20恒成立，则实数b的取值范围是（）A．b B．b≥3+ln2C．b≥4+ln2D．b≥5+ln26．已知曲线f（x）＝lnx+ax+b在x＝1处的切线是x轴，若方程f（x）＝m（m∈R）有两个不等实根x1，x2，则x1+x2的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（2，+∞）D．（4，+∞）7．已知a∈R，函数f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．若a＜﹣1，则y＝f（x）（x∈R）的图象上存在唯一一对关于原点O对称的点B．存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于原点O对称的点C．不存在实数a使得y＝f（x）（x∈R）的图象上存在两对关于y轴对称的点D．若y＝f（x）（x∈R）的图象上存在关于y轴对称的点，则a＞18．定义在R上的函数f（x）满足e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），且对任意的x≥1都有f'（x）+2f（x）＞0（其中f'（x）为f（x）的导数），则下列一定判断正确的是（）A．e4f（2）＞f（0）B．e2f（3）＜f（2）C．e10f（3）＜f（﹣2）D．e6f（3）＜f（﹣1）9．已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b）≥0，则（）A．a＜0B．a＞0C．b＜0D．b＞010．已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．11．已知函数y＝f（x）在R上的图象是连续不断的，其导函数为f'（x），且f'（x）＞﹣f（x），若对于∀x＞0，不等式xf（lnx）﹣e ax f（ax）≤0恒成立，则实数a的最小值为（）A．e B．C．D．e212．若对任意的x∈R，都存在x0∈[ln2，2]，使不等式+4x+m≥0成立，则整数m的最小值为（）（提示：ln2≈0.693）A．3B．4C．5D．613．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，g（x）＝lnx﹣ax﹣1，其中0＜a＜1，e为自然对数的底数，若∃x0∈（0，+∞），使f （x0）g（x0）＞0，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．14．已知函数f（x）＝ae x﹣x（a∈R）有两个零点x1，x2，且x1＜x2则下列结论中不正确的是（）A．B．0＜x1＜1C．x1+x2＞2D．lnx1﹣x1＜lnx2﹣x215．已知函数f（x）＝lnx﹣ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（）A．B．x1+x2＜2e C．有极大值点x0，且x1+x2＞2x0D．16．已知函数f（x）＝，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则最小值为（）A．B．﹣C．D．﹣17．已知不等式e x﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，e]18．已知函数f（x）是定义在（﹣，）上的奇函数．当时，f（x）+f′（x）tan x＞0，则不等式cos x •f（x+）+sin x•f（﹣x）＞0的解集为（）A．（，）B．（﹣，）C．D．19．若关于x的不等式2lnx≤ax2+（2a﹣2）x+1恒成立，则a的最小整数值是（）A．0B．1C．2D．320．已知可导函数f（x）的导函数f'（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x）+2，且f（x）﹣2020为奇函数，则不等式f（x）﹣2018e x＜2的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．D．二．填空题（共10小题）21．已知函数f（x）＝x3﹣3x，若对任意的实数x，不等式f（x+t）＞f（x）+t（t≠0）恒成立，则实数t的取值范围．22．已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）＝f（4﹣x），且当x≠2，其导数f′（x）满足xf′（x）＜2f′（x），若f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为．23．已知函数f（x）＝，则过原点且与“曲线y＝f（x）在y轴右侧的图象”相切的直线方程为，若f（x）＝mx有两个不同的根，则实数m的取值范围是．24．已知函数f（x）＝axlnx+（a＞0）．（1）当a＝1时，f（x）的极小值为；（2）若f（x）≥ax在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为．25．若不等式x﹣2≤x2+ax+b≤4lnx对任意的x∈[1，e]恒成立，则实数b的最大值为．26．若函数f（x）＝x3﹣ax﹣2（a∈R）在（﹣∞，0）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，2]上的最小值为．27．过曲线上一点P作该曲线的切线l，l分别与直线y＝x，y＝2x，y轴相交于点A，B，C．设△OAC，△OAB的面积分别为S1，S2，则S1＝，S2的取值范围是．28．当x∈[0，+∞）时，不等式x2+3x+2﹣a≥0恒成立，则a的取值范围是．29．若不等式x2﹣|x﹣2a|≤a﹣3在x∈[﹣1，1]上恒成立，则正实数a的取值范围是．30．已知函数，若直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为；若总存在直线与函数y＝f（x），y＝g（x）图象均相切，则a的取值范围是．三．解答题（共10小题）31．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，e]时，是否存在实数a，使得f（x）的最小值为4？若存在，求出实数a，若不存在说明理由．32．已知函数f（x）＝x sin x+cos x+ax2，x∈[﹣π，π]．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＞0时，讨论f（x）的零点个数．33．已知函数f（x）＝e x+，其导函数为f′（x），函数g（x）＝，对任意x∈R，不等式g（x）≥ax+1恒成立．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若0＜m＜2e，求证：x2g（x）＞m（x+1）lnx．34．设函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）当a＞1时，存在正实数m，使得对∀x∈（0，m），都有|f（x）|＞x，求a的取值范围．35．已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若恒成立，求证：．36．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的极值；（2）令h（x）＝x2f（x），若对∀x≥1都有h（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．37．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：f（x1），f（1），f（x2）成等差数列．38．已知函数f（x）＝alnx（a≠0）与的图象在它们的交点P（s，t）处具有相同的切线．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝（x﹣1）2+mf（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求的取值范围．39．已知函数f（x）＝﹣x+（x+1）ln（x+1）（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求实数a的取值范围．40．已知实数a≥﹣1，设f（x）＝（x+a）lnx，x＞0．（1）若a＝﹣1，有两个不同实数x1，x2不满足|f'（x1）|＝|f'（x2）|，求证：x1+x2＞2；（2）若存在实数，使得|f（x）|＝c有四个不同的实数根，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．【解答】解：令t＝sin x∈[0，1]，则f（t）＝t2+at+b，t∈[0，1]．由已知得：①当，即a≥0时，则，整理得0≤a≤1；②当，即﹣1＜a＜0时，则，即，显然始终存在符合题意的b，使原式成立；③当，即﹣2＜a≤﹣1时，则，显然符合题意的b存在；④当，即a≤﹣2时，则，即，可得始终存在b，且﹣3≤a≤﹣2．综上可知，a的取值范围是[﹣3，1]．故选：A．2．【解答】解：ln（x﹣1）+x≤kx+b在（1，+∞）上恒成立，即为ln（x﹣1）+x﹣kx≤b对x＞1恒成立，可令t＝x﹣1，t＞0，则lnt+t+1﹣k（t+1）≤b，令f（t）＝lnt+（1﹣k）t+1﹣k，f′（t）＝+1﹣k，若k≤1，则f′（t）＞0，可得f（t）在t＞1递增，当t→∞时，f（t）→∞，不等式不能成立；故k＞1，当＝k﹣1时，f（t）取得最大值f（t）max＝f（）＝ln﹣1+1﹣k＝﹣ln（k﹣1）﹣k，即﹣ln（k﹣1）﹣k≤b，所以ln（k﹣1）+k﹣1≥﹣2﹣（b﹣1），则≥﹣﹣1，可令k﹣1＝u，g（u）＝﹣﹣1，g′（u）＝﹣＝，可得当lnu＝﹣1时，u＝，g（u）min＝﹣2e+e﹣1＝﹣e﹣1，则的最小值是﹣e﹣1．故选：D．3．【解答】解：kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，即为lnx﹣kx﹣1≤b在（0，+∞）上恒成立，令f（x）＝lnx﹣kx﹣1，f′（x）＝﹣k，若k≤0，则f′（x）＞0，可得f（x）在（0，+∞）递增，当x→∞时，f（x）→∞，不等式不能成立；故k＞0，当＝k时，f（x）取得最大值f（x）max＝f（）＝ln﹣2＝﹣lnk﹣2，即﹣lnk﹣2≤b，则≥﹣﹣，k＞0，可令g（k）＝﹣﹣，k＞0，g′（k）＝﹣＝，可得当lnk＝﹣1时，k＝，g（k）min＝﹣2e+e＝﹣e，则的最小值是﹣e．故选：D．4．【解答】解：由，得，则，由y＝lnx，得y′＝，则，∵l1⊥l2，∴，即．∵x2＞0，∴x1＞1，又，令h（x）＝，x＞1．则h′（x）＝．当x∈（1，+∞）时，y＝2﹣x﹣e x为减函数，故2﹣x﹣e x＜2﹣1﹣e＜0．∴h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，故h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）＜h（1）＝﹣1．又当x＞1时，＜，∴h（x）的取值范围为（﹣∞，﹣1）．即x2﹣x1的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：B．5．【解答】解：令f（x）＝e2x+x2+b2﹣2bx﹣20，f′（x）＝2e2x+2x﹣2b，f″（x）＝4e2x+2＞0，所以f′（x）在R上单调递增，又∵，所以存在x0使得f′（x0）＝0，代入化简可得，那么f（x）在（﹣∞，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴＝，又∵f（x0）≥0，即．令，则t2+t≥20，解得：t≤﹣5 （含去），t≥4，即x0≥ln2，∴，故选：C．6．【解答】解：易知，切点为（1，0），切线斜率为0，而．∴，解得a＝﹣1，b＝1．∴f（x）＝lnx﹣x+1（x＞0）．∵，易知f′（1）＝0，且当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，故若方程f（x）＝m（m∈R）有两个不等实根x1＜x2，则必有0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1．∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）﹣f（2﹣x1）＝f（x1）﹣f（2﹣x1），令g（x）＝f（x）﹣f（2﹣x）＝lnx﹣x﹣1﹣[ln（2﹣x）﹣（2﹣x）﹣1]＝lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2，x∈（0，1），∵（0＜x＜1），∴g（x）在（0，1）上单调递增，而g（1）＝0，故g（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴f（x2）﹣f（2﹣x1）＜0恒成立，即f（x2）＜f（2﹣x1）恒成立而此时x2，2﹣x1∈（1，+∞），且f（x）在（1，+∞）上是减函数，∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2．故选：C．7．【解答】解：由关于原点对称的点的特点，可将x换为﹣x，y换为﹣y，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于原点O对称的解析式g（x）＝x2﹣2x﹣a（x≥0），令h（x）＝e x﹣x2+2x+a（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2x+2，h''（x）＝e x﹣2，由x＞ln2可得h′（x）递增；0＜x＜ln2时，h′（x）递减，所以h'（x）≥h′（ln2）＝4﹣2ln2＞0，因此，h（x）是单调递增的，且h（x）＝e x﹣x2+2x+a≥h（0）＝1+a，故当a＜﹣1，h（x）有唯一零点，当a≥﹣1时，h（x）不存在零点，故A正确；B不正确；由关于y轴对称的点的特点，可将x换为﹣x，y不变，可得f（x）＝﹣x2﹣2x+a（x≤0）关于y轴对称的解析式m（x）＝﹣x2+2x+a（x≥0），令n（x）＝e x+x2﹣2x﹣a（x＞0），n′（x）＝e x+2x﹣2，n″（x）＝e x+2，所以n″（x）＞0，n′（x）递增，n′（x）≥n′（0）＝﹣1，因此，n（x）不单调，当a＜0时，n（x）有零点，当a＝1时，n（x）存在两对零点，故C，D都不正确．故选：A．8．【解答】解：设F（x）＝e2x•f（x），则F'（x）＝2e2x f（x）+e2x f'（x）＝e2x[2f（x）+f'（x）]，∵对任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）＞0；则F'（x）＞0，则F（x）在[1，+∞）上单调递增；F（x+2）＝e2（x+2）•f（x+2）；F（﹣x）＝e﹣2x•f（﹣x）；因为e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），∴e2（x+2）•e2x•f（x+2）＝f（﹣x）；∴e2（x+2）•f（x+2）＝e﹣2x•f（﹣x）∴F（x+2）＝F（﹣x），所以F（x）关于x＝1对称，则F（﹣2）＝F（4），∵F（x）在[1，+∞）上单调递增；∴F（3）＜F（4）即F（3）＜F（﹣2），∴e6•f（3）＜e﹣4•f（﹣2）；即e10•f（3）＜f（﹣2）成立．故C正确；F（3）＝F（﹣1），F（0）＝F（2）故A，D均错误；F（3）＞F（2）∴e2f（3）＞f（2）．B错误．故选：C．9．【解答】解：设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣2a﹣b），可得f（x）的图象与x轴有三个交点，即f（x）有三个零点a，b，2a+b且f（0）＝﹣ab（2a+b），由题意知，f（0）≥0在x≥0上恒成立，则ab（2a+b）≤0，a＜0，b＜0，可得2a+b＜0，ab（2a+b）≤0恒成立，排除B，D；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．则有a＝b或a＝2a+b或b＝b+2a三种情况，此时a＝b＜0显然成立；若b＝b+2a，则a＝0不成立；若a＝2a+b，即a+b＝0，可得b＜0，a＞0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，综上b＜0恒成立．故选：C．10．【解答】解：当x≥1时，f（x）＝x2﹣x+4＝（x﹣2）2+＞0，当x＜1时，f（x）＝﹣x3+x2﹣x+，则f′（x）＝﹣x2+2x﹣1＜0，故f（x）在（﹣∞，1）递减，f（x）＞f（1）＝3＞0，若关于x的不等式在R上恒成立，则﹣x2+x﹣4≤x﹣a≤x2﹣x+4且x3﹣x2+x﹣≤x﹣a≤﹣x3+x2﹣x+恒成立，即﹣x2+x﹣4≤a≤x2﹣x+4且x3﹣x2+x﹣≤a≤﹣x3+x2﹣x+恒成立，所以（﹣x2+x﹣4）max≤a≤（x2﹣x+4）min且（x3﹣x2+x﹣）max≤a≤（﹣x3+x2﹣x+）min，对于y＝﹣x2+x﹣4（x≥1），对称轴是x＝，故x＝时y取最大值﹣，对于y＝x2﹣x+4（x≥1），对称轴是x＝，故x＝时y取最小值，故﹣≤a≤①，对于y＝x3﹣x2+x﹣（x＜1），y′＝x2﹣2x+＞0，函数在（﹣∞，1）递增，故y＜y|x＝1＝﹣，对于y＝﹣x3+x2﹣x+（x＜1），y′＝﹣（x﹣1）2+，令y′＞0，解得＜x＜1，令y′＜0，解得x＜，故函数在（﹣∞，）递减，在（，1）递增，y min＝y|x＝＝，故﹣≤a≤②，综合①②，得﹣≤a≤．故选：B．11．【解答】解：根据題意，令F（x）＝e x•f（x），则F'（x）＝e x[f（x）+f'（x）]＞0，故函数F（x）在R上单调递增，F（lnx）＝e lnx f（lnx）＝xf（lnx），F（ax）＝e ax f（ax），又∀x＞0，不等式xf（lnx）﹣e ax f（ax）≤0恒成立，所以F（lnx）≤F（ax）在（0，+∞）恒成立．从而lnx≤ax，即在（0，+∞）恒成立．令，，令g'（x）＝0，则x＝e，所以在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减．所以，故．则实数a的最小值为，故选：B．12．【解答】解：设，由题意可知f（x）≥0对x∈R恒成立，则在x0∈[ln2，2]上有解，即在x0∈[ln2，2]上有解．设g（x）＝x2+2x﹣e x﹣m+4，∴h（x）＝g'（x）＝2x﹣e x+2，则h'（x）＝2﹣e x，∵x∈[ln2，2]，∴h'（x）≤h'（ln2）＝2﹣e ln2＝0，则g'（x）在[ln2，2]上单调递减．∵g'（ln2）＝2ln2＞0，g'（2）＝6﹣e2＜0，∴∃x1∈（ln2，2），g'（x1）＝0，则g（x）在[ln2，x1）上单调递增，在（x1，2]上单调递减．∵g（ln2）＝（ln2）2+2ln2+2﹣m，g（2）＝12﹣e2﹣m，∴g（2）﹣g（ln2）＝10﹣e2﹣（ln2）2﹣2ln2＞0，则g（ln2）≤0，即（ln2）2+2ln2+2﹣m≤0，故m≥（ln2）2+2ln2+2，∵m∈Z，∴m的最小值是4．故选：B．13．【解答】解：由e x﹣ax﹣1，得f′（x）＝e x﹣a，∵0＜a＜1，∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝e x﹣a＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）＞f（0）＝0；若∃x0∈（0，+∞），使f（x0）g（x0）＞0，则∃x0∈（0，+∞），使g（x0）＞0，即∃x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0﹣1＞0，∴∃x0∈（0，+∞），a＜，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x∈（0，e2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（e2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）有极大值也是最大值为h（e2）＝，则a＜，∴实数a的取值范围是，故选：A．14．【解答】解：f′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0在x∈R上恒成立，此时f（x）在R上单调递减，不合题意；当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝﹣lna，当x＜﹣lna时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞﹣lna时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴当a＞0时，f（x）单调减区间为（﹣∞，﹣lna），单调增区间为（﹣lna，+∞），可知当x＝﹣lna时，函数取得极小值为f（﹣lna）＝ae﹣lna+lna＝lna+1，又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴要使函数f（x）有两个零点，则，得0＜a＜，故A正确；由f（0）＝a＞0，极小值点x＝﹣lna＞0，可得0＜x1＜x2．∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴，．可得lnx1＝lna+x1，lnx2＝lna+x2．故lnx1﹣x1＝lnx2﹣x2，故D错误；由lnx1﹣x1＝lnx2﹣x2＝lna，设g（x）＝lnx﹣x﹣lna，则x1，x2为g（x）的两个零点，g′（x）＝﹣1＝，得g（x）在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，∴0＜x1＜1＜x2，故B正确；设h（x）＝g（x）﹣g（2﹣x），（0＜x＜1），则h（x）＝lnx﹣ln（2﹣x）+2﹣2x（0＜x＜1），h′（x）＝+﹣2＝＞0恒成立，则h（x）在（0，1）上单调增，∵h（x）＜h（1）＝0，∴h（x1）＝g（x1）﹣g（2﹣x1）＜0，即g（x1）＜g（2﹣x1），得g（x2）＜g（2﹣x1）．又g（x）在（1，+∞）上单调减，x2，2﹣x1∈（1，+∞），∴x2＞2﹣x1，即x1+x2＞2，故C正确．综上，错误的结论是D．故选：D．15．【解答】解：由f（x）＝lnx﹣ax，可得，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，与题意不符；当a＞0时，可得当，解得：，可得当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，可得当时，f（x）取得极大值点，又因为由函数f（x）＝lnx﹣ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），可得，可得，综合可得：，故A正确；由上可得f（x）的极大值为，设，设，其中，可得，可得，可得，易得当时，g′（x）＝0，当，g′（x）≤0，故，，故，，由，易得，且，且时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故由，可得，即，即：有极大值点，且，故C正确，B不正确；由函数f（x）＝lnx﹣ax有两个零点x1，x2（x1＜x2），可得lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，可得，，可得，由前面可得，，可得，故D正确．故选：B．16．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，又f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，同时g（x）＝＝＝f（e x），若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则0＜x1＜1且f（x1）＝g（x2）＝f（），所以x1＝，即x2＝lnx1，又k＝，所以＝＝k，故e k＝k3e k，令h（k）＝k3e k，k＜0，则h′（k）＝k2（k+3）e k，令h′（k）＜0，解得k＜﹣3，令h′（k）＞0，解得：﹣3＜k＜0，∴h（k）在（﹣∞，﹣3）单调递减，在（﹣3，0）单调递增，∴h（k）min＝h（﹣3）＝﹣，故选：D．17．【解答】解：由题意可知：当x＞0时，e x﹣x﹣1﹣m[x﹣ln（x+1）]＞0恒成立，设f（x）＝e x﹣x﹣1﹣m[x﹣ln（x+1）]，则f′（x）＝e x﹣1﹣m（1﹣），f″（x）＝e x﹣，①m≤0时，f″（x）＞0恒成立，∴f′（x）递增，∵f′（0）＝0，∴x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，f（x）递增，又∵f（0）＝0，∴x＞0时，f（x）＞f（0）＝0，符合题意，②m＞0时，f″′（x）＝e x+，∴f′″（x）＞0恒成立，f″（x）递增，f″（0）＝1﹣m，（i）1﹣m≥0即0＜m≤1时，与①同理，m符合题意，（ii）1﹣m＜0，即m＞1时，f″（0）＜0，另一方面，显然当x→+∞时，f″（x）＞0，且f″（x）连续，∴由零点定理，存在x0∈（0，+∞），使得f″（x0）＝0，∴0＜x＜x0时，f″（x）＜0，f′（x）递减，又∵f′（0）＝0，∴0＜x＜x0时，f′（x）＜0，f（x）递减，f（0）＝0，∴0＜x＜x0时，f（x）＜0，不合题意，综上，m的范围是（﹣∞，1]，故选：C．18．【解答】解：令g（x）＝f（x）sin x，g′（x）＝f（x）cos x+f′（x）sin x＝[f（x）+f′（x）tan x]•cos x，当x∈[0，）时，f（x）+f′（x）tan x＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增．又g（0）＝0，∴时，g（x）＝f（x）sin x＞0，∵f（x）是定义在（﹣，）上的奇函数，∴g（x）是定义在（﹣，）上的偶函数．不等式cos x•f（x+）+sin x•f（﹣x）＞0，即sin（x+）f（x+）＞sin xf（x），即g（x+）＞g（x），∴|x+|＞|x|，∴x＞﹣①，又﹣＜x+＜，故﹣π＜x＜0②，由①②得不等式的解集是（﹣，0）．故选：C．19．【解答】解：若关于x的不等式2lnx≤ax2+（2a﹣2）x+1恒成立，问题等价于a≥在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝﹣x﹣lnx，（x＞0），则h′（x）＝﹣﹣＜0，故h（x）在（0，+∞）递减，不妨设h（x）＝0的根是x0，则lnx0＝﹣x0，则x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，∴g（x）max＝g（x0）＝＝＝，∵h（1）＝1＞0，h（2）＝﹣ln2＜0，∴1＜x0＜2，＜＜1，∴a≥1，a的最小整数值是1，故选：B．20．【解答】解：设g（x）＝，由f（x）＞f′（x）+2，得：g′（x）＝＜0，故函数g（x）在R递减，由f（x）﹣2020为奇函数，得f（0）＝2020，∴g（0）＝f（0）﹣2＝2018，即g（0）＝2018，∵不等式f（x）﹣2018e x＜2，∴＜2018，即g（x）＜g（0），结合函数的单调性得：x＞0，故不等式f（x）﹣2018e x＜2的解集是（0，+∞），故选：B．二．填空题（共10小题）21．【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x，若对任意的实数x，不等式f（x+t）＞f（x）+t（t≠0）恒成立，则（x+t）3﹣3（x+t）＞x3﹣3x+t，即x3+3x2t+3xt2+t3﹣3x﹣3t＞x3﹣3x+t，所以3x2t+3xt2+t3﹣4t＞0（t≠0）恒成立，所以t＞0，且△＝（3t2）2﹣4•3t•（t3﹣4t）＝﹣3t4+48t2＜0，解得t＞4，又t＜0时，不等式不恒成立．综上，t的范围是（4，+∞）．22．【解答】解：∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）关于直线x＝2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＜2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＜0，∴当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）上的单调递减；同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递增；∵f（3）＝0，∴f（1）＝0，即当1＜x＜3时，f（x）＞0，当x＞3或x＜1时，f（x）＜0，即f（x）的草图如右：则不等式xf（x）＞0等价为或，即1＜x＜3或x＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，3），故答案为：（﹣∞，0）∪（1，3）．23．【解答】解：设切点为（x0，lnx0），由f（x）＝lnx，得f′（x）＝，则f′（x0）＝，∴曲线y＝f（x）在y轴右侧的图象在切点处的切线方程为y﹣lnx0＝，把原点代入，可得﹣lnx0＝﹣1，即x0＝e．则切线方程为y﹣1＝（x﹣e），即y＝；作出函数f（x）＝的图象如图：若f（x）＝mx有两个不同的根，则m≤0或＜m＜1．∴m的取值范围为（﹣∞，0]∪（，1）．故答案为：y＝；（﹣∞，0]∪（，1）．24．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝xlnx+，（x＞0），f′（x）＝lnx+1﹣，f″（x）＝+＞0，故f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（1）＝0，故x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）极小值＝f（1）＝1；（2）若f（x）≥ax在（0，+∞）上恒成立，即a（1﹣lnx）≤在（0，+∞）恒成立，①1﹣lnx≤0即x≥e时，∵a＞0，（1﹣lnx）≤0，＞0，故a（1﹣lnx）≤在（0，+∞）恒成立，②1﹣lnx＞0即0＜x＜e时，问题转化为a≤在（0，+∞）恒成立，即a≤[]min，只需求出g（x）＝x2（1﹣lnx）的最大值即可，（0＜x＜e），g′（x）＝x（1﹣2lnx），令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，故g（x）max＝g（）＝，故a≤＝，综上，a∈（0，]．故答案为：1，（0，]．25．【解答】解：由x﹣2≤x2+ax+b≤4lnx对任意的x∈[1，e]恒成立，得﹣x2+x﹣2≤ax+b≤4lnx﹣x2对任意的x∈[1，e]恒成立，令f（x）＝﹣x2+x﹣2，g（x）＝4lnx﹣x2．由g（x）＝4lnx﹣x2，得g′（x）＝（1≤x≤e）．当x∈（1，）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图：设过（1，﹣1）与f（x）＝﹣x2+x﹣2相切的直线方程为y+1＝k（x﹣1），联立，消去y得x2+（k﹣1）x+1﹣k＝0．由△＝（k﹣1）2﹣4（1﹣k）＝0，解得k＝﹣3或k＝1．当k＝﹣3时，直线方程为y＝﹣3x+2．由图可知，满足不等式x﹣2≤x2+ax+b≤4lnx对任意的x∈[1，e]恒成立的实数b的最大值为2．故答案为：2．26．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣ax﹣2（a∈R），∴f′（x）＝3x2﹣a（x＜0），①当a≤0时，f′（x）＝3x2﹣a＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（0）＝﹣2＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有零点；②当a＞0时，由f′（x）＝3x2﹣a＞0，解得x＜或x＞（舍）．∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（，0）上单调递减，而f（0）＝﹣2＜0，要使f（x）在（﹣∞，0）内有且只有一个零点，∴f（）＝，解得a＝3，f（x）＝x3﹣3x﹣2，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．又f（﹣1）＝0，f（1）＝﹣4，f（2）＝0，∴f（x）min＝f（1）＝﹣4．故答案为：﹣4．27．【解答】解：由y＝x+，得y′＝1﹣，设P（）（x0＞0），则，∴曲线在P处的切线方程为．分别与y＝x与y＝2x联立，可得A（2x0，2x0），B（，），取x＝0，可得C（0，），又O（0，0），∴△OAC的面积S1＝；OA＝，点B到直线x﹣y＝0的距离d＝＝．∴△OAB的面积S2＝＝＝∈（0，2）．故答案为：2；（0，2）．28．【解答】解：可设t＝，由x≥0可得t≥1，由x＝，可得不等式恒成立，即为（）2+3（）+2﹣at﹣a2≥0对t≥1恒成立，化为a2+at﹣（t2+3）（t2+1）≤0对t≥1恒成立，设f（t）＝a2+at﹣（t2+3）（t2+1），f′（t）＝a﹣（t3+2t），由题意可得f（t）的最大值小于等于0，若f（x）不单调，可得a≥3，再由t≥1时，f（t）＝（t3+2t）2+t（t3+2t）﹣﹣（t2+3）（t2+1）的导数为f′（t）＝6t5+19t3+10t＞0，即有f（t）≥f（1）＝10＞0，不等式不恒成立，可得f（x）单调，且f（x）在[1，+∞）递减，可得a﹣（t3+2t）≤0，即a≤3；又a2+a﹣×（1+3）×（1+1）≤0，解得﹣2≤a≤1，即a的范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．29．【解答】解：x2﹣|x﹣2a|≤a﹣3即|x﹣2a|≥x2﹣a+3，可得x﹣2a≥x2﹣a+3，或x﹣2a≤﹣x2+a﹣3，即为a≤x﹣x2﹣3或3a≥x2+x+3在﹣1≤x≤1恒成立，由y＝x﹣x2﹣3在[﹣1，1]的最小值为﹣1﹣1﹣3＝﹣5，可得a≤﹣5；由y＝x2+x+3在[﹣1，1]的最大值为1+1+3＝5，可得3a≥5，即a≥；由a＞0，可得a≥．故答案为：a≥．30．【解答】解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣，可得ax2﹣3x+＝0，由题意可得△＝9﹣4a•＝0，解得a＝；设y＝f（x）与y＝g（x）的图象在交点处存在切线y＝kx+t，且切点为（n，2lnn），由f′（x）＝，g′（x）＝2ax﹣1，可得＝k＝2an﹣1，2lnn＝kn+t＝an2﹣n﹣，化为kn＝2，an2＝，则2lnn＝，即4lnn+n＝1，设h（n）＝4lnn+n，h′（n）＝+1＞0，可得h（n）在（0，+∞）递增，由h（1）＝1，可得4lnn+n＝1的解为n＝1，则a＝，由y＝ax2﹣x﹣（a＞0）的图象可得，当a越大时，抛物线的开口越小，可得此时y＝f（x）和y＝g（x）的图象相离，总存在直线与它们的图象都相切，则a的范围是[，+∞）．故答案为：，[，+∞）．三．解答题（共10小题）31．【解答】解：（1）f′（x）＝a ﹣＝（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0，∴f（x）递减，当a＞0时，令f′（x）＜0，得0＜x ＜；令f′（x）＞0，得x ＞，综上：a≤0时减区间为（0，+∞），a＞0，时减区间为（0，）；增区间为[，+∞）；（2）a≤0时，f（x）在（0，e]上为减函数，∴f（x）min＝f（e）＝ae﹣1＝4，∴a ＝＞0，舍去，a＞0时①若≥e即a ≤时f（x）在（0，e]上为减函数，∴f（x）min＝f（e）＝ae﹣1＝4，∴a ＝，舍去，②若＜e即a ＞时f（x）在（0，）上递减，在（，e]上递增，∴f（x）min＝f （）＝1﹣ln＝4，∴a＝e3．32．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x sin x+cos x，x∈[﹣π，π]．f'（x）＝sin x+x cos x﹣sin x＝x cos x．当x在区间[﹣π，π]上变化时，f'（x），f（x）的变化如下表x﹣π（﹣π，﹣）﹣（﹣，0）0（0，）（，π）πf'（x）+0﹣0+0﹣f（x）﹣1极大值极小值1极大值﹣1∴f（x）的单调增区间为（﹣π，﹣），（0，）；f（x ）的单调减区间为（﹣，0），（，π）．（2）任取x∈[﹣π，π]．∵f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+cos（﹣x）+a（﹣x）2＝x sin x+cos x +ax2＝f（x），∴f（x）是偶函数．f′（x）＝ax+x cos x＝x（a+cos x）．当a≥1时，a+cos x≥0在[0，π）上恒成立，∴x∈[0，π）时，f′（x）≥0．∴f（x）在[0，π]上单调递增．又∵f（0）＝1，∴f（x）在[0，π]上有0个零点．又∵f（x）是偶函数，∴f（x）在[﹣π，π]上有0个零点．当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，得cos x＝﹣a．由﹣1＜﹣a＜0可知存在唯一x0∈（，π）使得cos x0＝﹣a．∴当x∈[0，x0）时，f′（x）≥0，f（x）单调递增；当x∈（x0，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∵f（0）＝1，f（x0）＞1，f（π）＝aπ2﹣1．①当aπ2﹣1＞0，即＜a＜1时，f（x）在[0，π]上有0个零点．由f（x）是偶函数知f（x）在[﹣π，π]上有0个零点．②当aπ2﹣1≤0，即0＜a≤时，f（x）在[0，π]上有1个零点．由f（x）是偶函数知f（x）在[﹣π，π]上有2个零点．综上，当0＜a≤时，f（x）有2个零点；当a＞时，f（x）有0个零点．33．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝e x﹣e﹣x，g（x）＝e x，h（x）＝e x﹣ax﹣1，h′（x）＝e x﹣a，（1）a≤0时，h′（x）＞0，h（x）在R递增，又h（﹣1）＝﹣1+a＜0，与题意不符，舍去，（2）a＞0时，由h′（x）＞0，解得：x＞lna，由h′（x）＜0，解得：x＜lna，故h（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，故h（x）min＝h（lna）＝a﹣alna﹣1，由已知得e x﹣ax﹣1≥0恒成立，故只需h（x）min≥0，故只需a﹣alna﹣1≥0①，设g（x）＝a﹣alna﹣1，g′（x）＝﹣lna，由g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，由g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故g（x）max＝g（1）＝0，即a﹣alna﹣1≤0②，由①②得实数a的值为1，综上：a＝1；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当x＞0时，e x﹣x﹣1＞0即e x＞x+1，x2e x＞x2（x+1），欲证x2e x＞m（x+1）lnx，x＞0，即证x2（x+1）＞m（x+1）lnx，即证x2＞mlnx（x＞0），①当x∈（0，1]时，x2＞0＞mlnx，②当x∈（1，+∞）时，令F（x）＝，则F′（x）＝，由F′（x）＞0，解得：x＞，由F′（x）＜0，解得：1＜x＜，故F（x）在（1，）递减，在（，+∞）递增，故x＞1时，F（x）≥F（）＝2e，由已知0＜m＜2e，故m＜F（x），即当x∈（1，+∞）时，m＜，故x∈（1，+∞）时，x2＞mlnx，综上，x＞0时，x2＞mlnx恒成立，故x2（x+1）＞m（x+1）lnx，x2e x＞m（x+1）lnx成立．34．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝e x﹣ax﹣1，得f′（x）＝e x﹣a，∵x∈（0，+∞），∴e x＞1，当a＞1时，由f′（x）＝e x﹣a＞0，得x＞lna，即函数y＝f（x）在（lna，+∞）上单调递增，由f′（x）＜0，得0＜x＜lna，即函数y＝f（x）在（0，lna）上单调递减；当a≤1时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤1时，函数y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，函数y＝f（x）在在（0，lna）上单调递减，（lna，+∞）上单调递增．（3分）（Ⅱ）f（0）＝0，当a＞1时，由（1）结合函数y＝f（x）的单调性知，∃x0＞0，使得对任意x∈（0，x0），都有f（x）＜0，则由|f（x）|＞x得（a﹣1）x+1﹣e x＞0．设t（x）＝（a﹣1）x+1﹣e x，则t′（x）＝a﹣1﹣e x，由t′（x）＞0得x＜ln（a﹣1），由t′（x）＜0得x＞ln（a﹣1）．（1）若1＜a≤2，则ln（a﹣1）≤0，故（0，x0）⊆（ln（a﹣1），+∞），即函数y＝t（x）在（0，x0）上单调递减，∵t（0）＝0，∴对任意x∈（0，x0），都有t（x）＜0，不合题意；（2）若a＞2，则ln（a﹣1）＞0，故（0，ln（a﹣1））⊆（﹣∞，ln（a﹣1）），∴y＝t（x）在（0，ln（a﹣1））上单调递增，∵t（0）＝0，∴对任意x∈（0，ln（a﹣1）），都有t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln（a﹣1）}，可使得对∀x∈（0，m），都有|f（x）|＞x．综上可得a的取值范围是（2，+∞）．（12分）35．【解答】解：（1）因为，所以当时，f′（x）＝﹣≤0，f（x）在R递减，当时，时，时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递增，在上单调递减，当时，时，时，f′（x）＜0，f（x）在（，2）递增，在（﹣∞，），（2，+∞）递减，综上，时，f（x）在R递减，当时，f（x）在（2，）递增，在（﹣∞，2），（，+∞）递减，a＞时，f（x）在（，2）递增，在（﹣∞，），（2，+∞）递减；证明：（2）由＞0，（x＞0）知：ax2﹣x+1＞0在（0，+∞）上恒成立，即a＞﹣+在（0，+∞）上恒成立，∵﹣+＝﹣+≤，故a＞，又1﹣2a＞0，故＜a＜，由（1）知：＜a＜时，f（x）在（，）递减，故f（a）＜f（）＝＜＝．36．【解答】解：（1）由题意，函数f（x）＝，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，当x＝e时，f（x）取得极大值，没有极小值；（2）h（x）＝x2f（x）＝xlnx，对∀x≥1，有xlnx≥ax﹣1，即a≤＝lnx+，令g（x）＝lnx+，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）递增，故g（x）min＝g（1）＝1，故a≤1，即实数a的取值范围是（﹣∞，1]．37．【解答】解：（1）由f（x）＝lnx﹣得f′（x）＝+，故切线斜率k＝f′（1）＝1+，又f（1）＝﹣，故切线方程为：y+＝（1+）（x﹣1），即（4+a）x﹣4y﹣4﹣3a＝0；（2）f′（x）＝+＝（x＞0），由题意知：x1，x2是方程f′（x）＝0在（0，+∞）内的两个不同实数解，令g（x）＝x2+（2+a）x+1（x＞0），注意到g（0）＝1＞0，其对称轴为直线x＝﹣2﹣a，故只需，解得：a＜﹣4，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4），由x1，x2是方程x2+（2+a）x+1＝0的两根，得：x1+x2＝﹣2﹣a，x1x2＝1，故f（x1）+f（x2）＝（lnx1﹣）+（lnx2﹣）＝ln（x1x2）﹣a•＝﹣a•＝﹣a，又f（1）＝﹣，即f（x1）+f（x2）＝2f（1），故f（x1），f（1），f（x2）成等差数列．38．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝alnx（a≠0）与y＝x2可知f′（x）＝，y′＝x，两图象在点P（s，t）处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即•s＝，化简得s＝①，将P（s，t）代入两个函数可得＝alns②，综合上述两式①②可解得a＝1，所以f（x）＝lnx．（2）函数g（x）＝（x﹣1）2+mf（x）＝（x﹣1）2+mlnx，定义域为（0，+∞），g′（x）＝2（x﹣1）+＝，因为x1，x2为函数g（x）的两个极值点，所以x1，x2是方程2x2﹣2x+m＝0的两个不等实根，由根与系数的关系知x1+x2＝1，x1x2＝，（*），又已知x1＜x2，所以0＜x1＜＜x2＜1，＝，将（*）式代入得＝＝1﹣x2+2x2lnx2，令h（t）＝1﹣t+2tlnt，t∈（，1），h′（t）＝2lnt+1，令h′（t）＝0，解得：t＝，当t∈（，）时，h′（t）＜0，h（t）在（，）单调递减；当t∈（，1）时，h′（t）＞0，h（t）在（，1）单调递增；所以h（t）min＝h（）＝1﹣＝1﹣，h（t）＜max{h（），h（1）}，h（）＝﹣ln2＜0＝h（1），即的取值范围是[1﹣，0）．39．【解答】解：（1）f（x）＝﹣x+（x+1）ln（x+1）的导数为f′（x）＝a•﹣1+ln（x+1）+1＝ln（x+1）﹣，当a＝1时，f′（x）＝ln（x+1）﹣，可得曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为k＝ln2﹣，又f（1）＝﹣1+2ln2，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣（﹣1+2ln2）＝（ln2﹣）（x﹣1），化为（ln2﹣）x﹣y+﹣1+ln2＝0；（2）f（x）的导数f′（x）＝ln（x+1）﹣，由∀x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），可得f（x）在（0，+∞）递增，则f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，即为a≤在（0，+∞）内恒成立，设g（x）＝，由于x＞0，所以e x＞1，ln（x+1）＞0，g（x）＞0，设h（x）＝g（x）﹣1＝，由y＝e x ln（x+1）﹣x的导数为y′＝e x（ln（x+1）+）﹣1，且y″＝e x（ln（x+1）+﹣）＝e x[ln（x+1）+]＞0，可得函数y′＝e x（ln（x+1）+）﹣1在x＞0递增，即有y′＞0，可得函数y＝e x ln（x+1）﹣x在x＞0递增，可得e x ln（x+1）＞x恒成立，则h（x）＞0恒成立，可得g（x）＞1，则a≤1．40．【解答】解：（1）证明：a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）lnx（x＞0），．因为f'（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，故f'（x1）+f'（x2）＝0（即）以下主要有三种做法：法一：由基本不等式得：（等号可不写）因此．令，可知f'（t）≥0．因为f'（t）在x＞0上单调递增，且f'（1）＝0，因此．因为x1≠x2，由基本不等式得：（（6分），若写x1+x2≥2不得分）法二：先证明：x1x2≥1．因为f'（1）＝0，故不妨x1＞1，0＜x2＜1．设．由基本不等式知：．因为f'（x）在x＞0上单调递增且f'（x1）+f'（x2）＝0，所以x1＞x2′即x1x2≥1．因为x1≠x2，由基本不等式得：（（6分），若写x1+x2≥2不得分）法三：因为f'（1）＝0，故不妨x1＞1，0＜x2＜1．设x2′＝2﹣x2＞1．由基本不等式得：（即x2x2′＜1）．因为f'（x）在x＞0上单调递增，且f'（1）＝0，因此f'（x2′）+f'（x2）＜0．所以x1+x2＞x2′+x2＞2．（（6分），若写x1+x2≥2不得分）（2）原题即f（x）＝±c共有四个不同的实数根．．①﹣1≤a≤0，因为f'（x）在x＞0上单调递增，且当x→0时f'（x）→﹣∞，当x→+∞时f'（x）→+∞，故存在唯一实数x0＞0，使得f'（x0）＝0，即a＝﹣x0（lnx0+1）．因此f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．由﹣1≤a≤0可知．把a＝﹣x0（lnx0+1）代入得：f（x）的极小值．令h（x）＝﹣x（lnx）2，h'（x）＝﹣lnx（lnx+2）．当时，h′（x）＜0；当时，h′（x）＞0．因此h（x）在上单调递减，在上单调递增．故，所以f（x）＝c上至多有两个不同的实数根，f（x）＝﹣c上至多有一个的实数根，故不合题意．②a＞0，当x→0时f'（x）→+∞，当x→+∞时f'（x）→+∞，．当x∈（0，a）时，f''（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，f''（x）＞0，f'（a）＝2+lna．因此f'（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（i）若a≥，则f'（x）≥0（当且仅当时取等），故f（x）在x＞0上单调递增．因此f（x）＝±c上至多有两个不同的实数根，故不合题意．（ii）若，则f'（a）＜0，故存在x1∈（0，a）和，使得f'（x1）＝f'（x2）＝0．因此f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减．因为当x→0时f（x）→﹣∞，当x→+∞时f'（x）→+∞，且，故f（x）＝c上有且仅有一个实数根．由①的h（x）可知：，．故存在﹣c∈（f（x2），f（x1）），使得．此时f（x）＝﹣c上恰有三个不同的实数根．此时f（x）＝±c共有四个不同的实数根．综上：满足条件．。
