必修一数学培优辅导教材第7讲：函数的单调性

第7讲函数的单调性1.设函数y=f(x)的定义域为A，区间D⊆A，如果取区间M中的两个任意值1x，2x，当改变量∆x=x2-x1＞0时，有∆y=f(x2)-f(x1)＞0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是；当改变量∆x=x2-x1＞0时，有∆y=f(x2)-f(x1)＜0，那么就称函数y=f(x)在区间M上是_______。

2.如果一个函数在某个区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有。

3.对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于时，单调区间就不包括这些点。

例1 证明函数f （x ）=x+x 1在（0，1）上是减函数。

例2讨论函数f （x ）=1-x ax 2在x ∈﹙-1，1﹚上的单调性，其中a 为非零常数。

例3做出函数f （x ）=96x -x 2++96x x 2++的图象，并指出函数f （x ）的单调区间。

例4已知f （x ）=8+2x-2x ，g （x ）=f （2-2x ），试求g （x ）的单调区间。

例5判断函数y=44x x 4-2x 22+++）（在（-2，+∞）上的单调性。

例6 求函数y=2x-1-4x -13的最大值。

A1.设（a ，b ），（c ，d ）都是函数f （x ）的单调增区间，且1x ∈（a ，b ），2x ∈（c ，d ），1x ﹤2x ，则f （1x ）与f （2x ）的大小关系是（ ）A.f （1x ）﹤f （2x ）B.f （1x ）﹥f （2x ）C.f （1x ）=f （2x ）D.不能确定2.设f （x ）、g （x ）都是单调函数，有如下四个命题：1）若f （x ）单调递增，g （x ）单调递增，则f （x ）-g （x ）单调递增；2）若f （x ）单调递增，g （x ）单调递减，则f （x ）-g （x ）单调递增；3）若f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，则f （x ）-g （x ）单调递减；4）若f （x ）单调递减，g （x ）单调递减，则f （x ）-g （x ）单调递减。

目录第七讲函数的单调性 (2)考点1：单调性的概念 (2)题型一：函数单调性的判别 (2)考点2：单调性的严格证明 (3)题型二：定义法证明函数单调性 (3)考点3：利用单调性解简单的函数不等式 (6)题型三：利用单调性解函数不等式 (6)考点4：常见函数的单调性 (7)题型四：已知单调性反求参 (7)考点5：复合函数单调性 (11)题型四：复合函数单调性判断 (11)课后综合巩固 (12)第七讲 函数的单调性考点1：单调性的概念1.一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当x x <时，都有()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当x x <时，都有()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2.单调性：如果函数()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．题型一：函数单调性的判别例1.函数2()23f x x x =-+在(1]-∞，上单调________，在[1)+∞，上单调_______． 【解答】递减,递增例2.(1)（2015秋•承德校级月考）如图是定义在区间[5-，5]上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【解答】解：从函数图象上看，当52x --时，图象呈下降趋势，所以[5-，2]-为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当21x -时，图象呈上升趋势，所以[2-，1]为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当13x 时，图象呈下降趋势，所以[1，3]为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当35x 时，图象呈上升趋势，所以[3，5]为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．(2)（2014秋•香洲区校级月考）画出函数|1|y x =-的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数．【解答】解：1,1|1|1,1x x y x x x -⎧=-=⎨-+<⎩．图象如图所示，由图可知函数在(,1)-∞为减函数，(1,)+∞为增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．题型二：定义法证明函数单调性例3.(1)()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增; 【解答】①取值：任取12x x ∈R ，，12x x <，②比较12()()f x f x ，的大小，怎么比：作差121212()()(21)(21)2()0f x f x x x x x -=+-+=-<； ③结论：12x x <，12()()f x f x <，故()f x 在R 上单调递增． (2)证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减； 【解答】第1步：任取120x x <≤第2步：()()()()22121212120f x f x x x x x x x -=-=+-> 结论：12120()()x x f x f x <>≤，，故()f x 在(0]-∞，上单调递减；(3)证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减; 【解答】第1步：任取120x x <<结论：120x x <<，()()12f x f x >，()f x 在(0)+∞，上单调递减．(4)证明:函数()f x =在[0)+∞，上单调递增; 【解答】第一步：任取120x x <≤，结论：120x x ≤<，()()12f x f x <，()f x 在(0)+∞，上单调递增． （5）（2010秋•泰州校级期中）试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【解答】证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <， 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->， 故12()()0f x f x ->， 即12()()f x f x >． （6）（2012秋•青铜峡市校级期中）已知36()x f x x-=（1）用单调性定义证明：()f x 在区间(0,)+∞上是增函数． 【解答】（1）证明：设1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，10x x <<12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <()y f x ∴=在(0,)+∞上是增函数． （7）（2016•咸阳模拟）已知函数()af x x x=+，(0,)x ∈+∞．当1a =时，试用函数单调性的定义，判断函数()f x 的单调性； 当0x >时，任取1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x <，21()()0f x f x ∴-<，为减函数，21()()0f x f x ∴->，为增函数．即函数()f x 的单调递增区间为为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； （8）（2009秋•梅江区校级月考）讨论函数2()(11)1axf x x x =-<<-的单调性并证明． 【解答】证明：设1211x x -<<<，1211x x -<<<，1210x x ∴+>，210x x ->，2110x -<，2210x -<， ∴当0a >时，12()()f x f x >，()f x ∴在(1,1)-是减函数，当0a <时，12()()f x f x <，()f x ∴在(1,1)-上是增函数， 当0a =时，()0f x =，()f x ∴在(1,1)-上不具有单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式遇到函数不等式相关的问题都要往函数的单调性上思考，这样的问题还需要注意函数的定义域．题型三：利用单调性解函数不等式例3.(1)已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______． 【解答】(3)+∞，(2)函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________． 【解答】2(23)(1)f a a f -+<(3)（2017秋•翠屏区校级期中）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，且(1)(21)0f m f m +-->，则m 的取值范围是 ． 【解答】解：因为函数()f x 是定义在R 上的减函数， 所以(1)(21)1212f m f m m m m +>-⇔+<-⇒>． 故答案为：(2,)+∞．(4)（2017秋•陇西县校级期中）若函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则( ) A ．()f a (2)f a >B ．2()()f a f a <C ．2(1)()f a f a -<D ．2(1)()f a f a +<【解答】解：函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，故自变量越大，函数的值越小． a 与2a 的大小关系不能确定，故f （a ）与(2)f a 的大小关系不确定，故排除A ；2a 与a 的大小关系不能确定，故f （a ）与(2)f a 的大小关系不确定，故排除B ； 21a a --故2()f a 与(1)f a -的大小关系不确定，故排除C ；21a a +-故选：D ．（5）（2019秋•滕州市校级月考）已知函数()f x =，若22(254)(4)f a a f a a -+<++，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，1)(22⋃，)+∞B ．[2，6)C ．1(0,][2,6)2D ．(0,6)【解答】解：由题意可知，函数()f x 在[2，)+∞上单调递增，22(254)(4)f a a f a a -+<++， 则2222544a a a a -+<++， 即260a a -<且22520a a -+， 26a <或102a ． 故选：C ．考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-，当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减． 2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠． 当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减； 当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增．4．()3f x x =单调递增、()f x =单调递增.题型四：已知单调性反求参例4.(1)（2017秋•晋江市校级月考）已知函数y ax =和by x=-在(0,)+∞上都是增函数，则函数()f x bx a =+在R 上是( ) A ．减函数且(0)0f < B ．增函数且(0)0f <C ．减函数且(0)0f >D ．增函数且(0)0f >则有0a >，0b <，对于函数()f x bx a =+，有0a >，0b >， 为增函数且(0)0f >； 故选：D ．(2)（2017秋•高要市校级月考）若函数y ax =与by x =-在(0,)+∞上都是减函数，则函数2y ax bx =+在(0,)+∞上的单调性是( )A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减解：函数0a ∴<，0b <，2y ax =+∴函数2y ax bx =+在(0,)+∞上是单调递减函数．故选：D ．(3)已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________． 【解答】1a >或1a <-(4)（2018秋•东莞市期末）已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1，)+∞上单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(2,)+∞B ．[2，)+∞C ．(,2)-∞D ．(-∞，2]12a，解得2a ， 故选：D ．(5)若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ． 【解答】3a -≤。

专题7常见函数的单调性与值域、最值目录【题型一】单调性定义................................................................................................................................................1【题型二】1：反比例函数..........................................................................................................................................3【题型三】2：一元二次函数......................................................................................................................................5【题型四】3：分段函数..............................................................................................................................................7【题型五】4：“对勾”函数........................................................................................................................................8【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数）..............................................................................................................10【题型七】6：无理函数............................................................................................................................................12【题型八】7：max 与min 函数.................................................................................................................................14【题型九】8：“放大镜”函数..................................................................................................................................16【题型十】9：取整函数（高斯函数）....................................................................................................................18培优第一阶——基础过关练......................................................................................................................................20培优第二阶——能力提升练......................................................................................................................................22培优第三阶——培优拔尖练.. (26)【题型一】单调性定义【典例分析】下列说法错误的是（）A ．函数()f x 的定义域为(),a b ，若()12,,x x a b ∀∈，当12x x <时，()()21f x f x <，则函数()f x 是(),a b 上的减函数B ．函数()f x 的定义域为(),a b ，若()12,,x x a b ∃∈，当12x x <时，()()21f x f x <，则函数()f x 不是(),a b 上的增函数C ．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，在(],b c 上也是增函数，则函数()f x 在[],a c 上是增函数D ．若函数()f x 在[],a b 上是增函数，在[],b c 上也是增函数，则函数()f x 在[],a c 上是增函数【答案】C【分析】根据函数单调性定义知AB 正确，举出反例(),011,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩知C 错误，D 选项两区间有重合部分，正确，得到答案.【详解】由减函数的定义，知A 说法正确；对于B ，()12,,x x a b ∃∈，当12x x <时，()()12f x f x >，所以()f x 不是(),a b 上的增函数，B 说法正确；对于C ，若(),011,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩，则()f x 在[0，1]和（1，2]上均是增函数，但()f x 在[0，2]上不是增函数，C 说法错误；对比C 选项，D 选项两区间有重合部分，正确.故选：C ．1.若函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的1x ，[]2,x a b ∈（12x x ≠），则下列结论不正确的是（）A ．()()12120f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x ≠【答案】C【分析】根据函数单调性的等价条件进行判断即可．【详解】解：由函数的单调性定义知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -，与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B ，D 都正确.若12x x >，则()()12f x f x >，故选项C 不正确.故选：C.2.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（）A ．若()f x 为增函数，()g x 为增函数，则()()f x g x +为增函数B ．若()f x 为减函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +为减函数C ．若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +为增函数D ．若()f x 为减函数，()g x 为增函数，则()()f x g x -为减函数【答案】C【解析】根据函数的单调性定义及性质，可判断选项A ，B ，D 选项正确，选项C 可结合具体函数说明其不正确.【详解】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B 正确；选项D:()g x 为增函数，则()g x -为减函数，()f x 为减函数，()()()f x g x +-为减函数，选项D 正确；选选C:若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x +的增减性不确定.例如()2f x x =+为R 上的增函数，当()12g x x =-时，()()22xf xg x +=+在R 上为增函数；当()3g x x =-时，()()22f x g x x +=-+在R 上为减函数，故不能确定()()f x g x +的单调性.故选:C3.下列函数f x （）中，满足“对任意()120x x ∈+∞，，，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（）A ．f x =（）B ．2f x xx=-（）C ．22f x x x =+-（）D ．3f x x =-（）【答案】D【解析】对任意1x ，()20x ∈+∞，，且12x x <都有()()12f x f x >，可知函数f x （）在()0+∞，上单调递减，结合选项即可判断．【详解】“对任意1x ，()20x ∈+∞，，且12x x <都有()()12f x f x >”，∴函数f x （）在()0+∞，上单调递减，结合选项可知，A ：f x =（）()0+∞，单调递增，不符合题意，B ：2f x x x=-（）在()0+∞，单调递增，不符合题意，C ：2219224f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭（）在()0+∞，单调递增，不符合题意，D ：3f x x =-（）在()0+∞，单调递减，符合题意.故选：D ．【题型二】1：反比例函数【典例分析】()f x =，*N x ∈，则()f x 取得最大值时的x 值为______．【答案】45【分析】先对函数变形，判断函数的单调性，从而可求出函数的最值【详解】()x f x +=+此函数是由反比例函数y =个单位，再向上平移1个单位得到的，所以()f x 在(-∞和)+∞上单调递减，因为*N x ∈，4445<<，所以()f x 取得最大值时的x 值为45．故答案为：451.关于函数3125x y x -=-，下列说法正确的是（）A ．若x N ∈，则函数只有最大值没有最小值B ．若x N ∈，则函数只有最小值没有最大值C ．若x N ∈，则函数有最大值没有最小值D ．若x N ∈，则函数有最小值也有最大值【答案】D【分析】根据反比例函数的性质求出函数的最值即可.【详解】函数的定义域为52x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，()31325+3131322==+252522(25)x x y x x x --=---，由反比例函数的性质，得y 在5()2+∞，单调递减，此时32y >；y 在5()2-∞，单调递减，此时32y <；若x ∈N ，则min y 在5()2-∞，上取到，所以min 25x y y ===-，同理，max y 在5()2+∞，上取到，所以max y 38x y ===，所以当x ∈N ，函数有最大值和最小值.故选：D2.已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 无最大值，最小值75【答案】A【分析】先化简函数()f x ，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法【详解】因为函数()()2132132111x x f x x x x -++===+---，所以()f x 在[)8,4--上单调递减，则()f x 在8x =-处取得最大值，最大值为53，4x =-取不到函数值，即最小值取不到.故选A .3..已知函数31()1x f x x -=-，其定义域是[4-，2)-，则（）A ．()f x 有最大值73-，最小值135-B ．()f x 有最大值73-，无最小值C ．()f x 有最大值135-，最小值73-D ．()f x 有最小值135-，无最大值【答案】D【解析】利用分离常数法化函数()f x ，求出[4x ∈-，2)-时()f x 的取值范围，即可得出结论．【详解】解：函数312()311x f x x x-==-+--，因为[4x ∈-，2)-，所以(2x -∈，4]，所以1(3x -∈，5]；所以22[15x ∈-，2)3，所以2133[15x -+∈--，73-，所以13()[5f x ∈-，7)3-，所以()f x 有最小值为135-，无最大值．故选：D ．【题型三】2：一元二次函数【典例分析】若函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，则b a -（）A ．有最大值，但无最小值B ．既有最大值，也有最小值C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】A【分析】取()2f x x=，判断b a -无最小值；由于()()()2222b a a b f a f b f -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，故结合题意得2b a -≤，进而得答案.【详解】解：()2f x x =，不妨设0a b <<，则()2f x x =在[],a b 上的值域为22,a b ⎡⎤⎣⎦，由于函数2()f x x =在区间[,]a b 上的值域为[,1]()t t t +∈R ，所以221b a -=，故1b a a b-=+无最小值；因为()2f a a =，()2f b b =，222a b a b f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于抛物线开口向上，故()()1,1f a t f b t ≤+≤+，2a b f t +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以()()()22112222b a a b f a f b f t t t -+⎛⎫=+-≤+++-= ⎪⎝⎭，所以2b a -≤，当且仅当22,22k kb a -+==-时取得最大值2.故选：A.1.函数y ）A ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3∞--【答案】D 【分析】先考虑函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法可求函数的单调减区间.【详解】错解：令23t x x =+，y 23y t x x ==+，而y 在[)0,+∞上单调递增，23t x x =+在3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，在3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：y 3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递减，即其减区间为3,2⎛⎤-∞- ⎝⎦.故选：A.错因：没有考虑函数y .正解：由230x x +≥可得3x ≤-或0x ≥，故函数的定义域为(][),30,-∞-+∞ .令23t x x =+，y 23y t x x ==+，而y 在[)0,+∞上单调递增，23t x x =+在(],3-∞-上单调递减，在[)0+∞上单调递增，根据复合函数同增异减的原则可知：y (],3-∞-上单调递减，即其减区间为(],3-∞-.故选：D2..已知2()2a f x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求．【详解】解：因为2()2a f x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =，①122a 即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02a g a f ==，故()1,12,12aa g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，故当1a =时，()g a 取得最小值12．故选：B ．3.若函数2()45f x x mx =-+在区间[1,)-+∞上是增函数，则(2)f 的最小值是A ．8B ．8-C ．37D ．37-【答案】C【详解】试题分析：由题意得18m ≤-，∴8m ≤-， ()224225f m =⨯-+，∴()22122f m =-，∴()221822f -≤-，.故选C ．【题型四】3：分段函数【典例分析】.已知函数()21,=,2x c f x x x x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【答案】A【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.【详解】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或1x =-，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A1.已知()32f x x =-，()22g x x x =-，若()()()()()()(),,g x f x g x F x f x f x g x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则()F x 的最值是（）A．最大值为3，最小值1-B ．最大值为7-C ．最大值为3，无最小值D 1-【答案】B【分析】作出()F x 的图象，()F x 其实表示的是(),()f x g x 较小的值.如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故可得答案．【详解】解：根据已知条件，可以求出()23222232x x F x x x x x x ⎧+≤⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩，，，如图所示，()F x 在A 处取得最大值，没有最小值.由23+22x x x =-得2=3+2=7A A A x yx =∴-.所以有最大值7-，无最小值.故选：B ．2..函数2,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩的最值情况为（）.A ．最小值0，最大值1B ．最小值0，无最大值C ．最小值0，最大值5D ．最小值1，最大值5【答案】B【分析】根据二次函数和反比例函数的性质进行求解即可.【详解】当[1,0]x ∈-时，函数2y x =单调递减，所以[0,1]y ∈，当(0,1]x ∈时，函数1y x=单调递减，所以1y ≥，综上所述：0y ≥，所以()f x 有最小值0，无最大值.故选：B.【题型五】4：“对勾”函数【典例分析】.函数()41f x x x =++在区间1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．103B ．152C ．3D ．4【答案】B【分析】利用换元法以及对勾函数的单调性求解即可．【详解】设1t x =+，则问题转化为求函数()41g t t t =+-在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．根据对勾函数的性质，得函数()g t 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]2,3上单调递增，所以()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭．故选：B1.若函数()f x 的值域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（）A ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．556⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】令()f x t =，1y t t =+，则132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，然后由对勾函数1y t t =+的单调性可求出函数的值域【详解】解：令()f x t =，1y t t =+，则132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当112t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1y t t =+单调递减，当[]13t ∈，时，1y t t=+单调递增，又当12t =时，52y =，当1t =时，2y =，当3t =时，103y =，所以函数()F x 的值域为1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选：B ．2.设0a >，函数100()f x x x=+在区间(0,]a 上的最小值为m 1，在区间[,)a +∞上的最小值为m 2，若122020m m =，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．100D ．1或100【答案】D【分析】f (x )为对勾函数，可以根据其图像知道其在(0，＋∞)上的单调性，然后根据a 的范围分类讨论，求出12m m 、的值，代入122020m m =求解﹒【详解】()f x 为对钩函数，在(]010，上单调递减，在[)10∞，＋上单调递增．当(]010a ∈，时，()()1210m f a m f ＝，＝；当[)10a ∞∈，＋时，()()1210m f m f a ＝，＝．因此总有()()12102020f a f m m ＝＝，即1001001010a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋＋＝2020，解得1a ＝或100a ＝．故选：D3..函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（）A ．2B ．103C ．174D ．265【答案】C【解析】令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值.【详解】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥，任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，124t t >≥ ，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=.故选：C.4.．函数2y =）A ．2B ．52C ．1D ．不存在【答案】B【解析】()2t t =≥，原函数化简为1y t t=+，在[)2,+∞上也是增函数，可得当2t =，min 52y =．()2t t =≥， 函数1y t t=+在()1,+∞上是增函数，1y t t ∴=+在[)2,+∞上也是增函数．∴当2t =，2=，0x =时，min 52y =．故选：B ．【题型六】5：“双刀”函数（双曲函数）【典例分析】已知函数4(),[,)af x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（）A ．13a >B ．13a <C ．14a >D ．14a <【答案】D【分析】根据a 讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定a 的取值范围.【详解】①当0a ≤时，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，所以min 4()()220a f x f b b b bb ==+=>∴=Q0a ≤满足题意；②当0a >时，()f x 在)+∞上单调递增，在上单调递减因此⑴当b ≤时，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，所以2min 4()()2220180,a f x fb b b b a a b b ==+=-+=∴∆=-≥=Q ，()2221204243b b b a b b b b b ≤∴≤∴-≤>∴≥∴112≥ 1016a ⇒<≤或111601618161a a a a ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪-≥-⎩或11101699a a <<∴<≤⑵当b >时，()f x在)+∞上单调递增，在[,b 上单调递减，所以min 11()202094f x f b b a ==+=<<∴>->∴<<Q ；综上，a 的取值范围为14a <故选：D 1.函数y ＝x －1x在[1，2]上的最大值为（）A ．0B ．32C ．2D ．3【答案】B【分析】依题意,函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数即可求出最大值.【详解】解:函数y ＝x 在[1，2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1，2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1，2]上是增函数．当x ＝2时，ymax ＝2－12＝32.故选:B2..函数()12f x x x=-在区间[]1,2上的最小值是（）A ．72-B ．72C ．1D ．-1【答案】A【分析】由题意结合函数的单调性可得函数()f x 在[]1,2上为减函数，即可得解.【详解】∵函数()f x 在[]1,2上为减函数，∴()()min 1722222f x f ==-⨯=-.故选：A.3.已知0x >，则92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为A ．B ．48C ．79316D ．60【答案】B【解析】转化条件得29251535148x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，根据函数单调性确定15x x -的取值范围后即可得解.【详解】由题意229252253035219x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22151515249148x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()15f x x x=-，0x >，由函数单调性可知()(),f x ∈-∞+∞，所以当151x x -=-时，92535x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最小值48.故选：B.【题型七】6：无理函数【典例分析】若()f x =()g x =0a >）的最大值相等，则a 的值为（）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】由()f x 在[)2,+∞递增，可得()2f 为最小值，由()g x 在[),a +∞递增，可得()g a 取得最大值，解方程可得a 的值．【详解】()f x 在定义域[)2,+∞上是增函数，所以()f x 的最小值()22f =，又()g x=[),a +∞上是减函数，()g x 的最大值()g a =2, 2.a ==故选C ．1.函数y =的值域为A ．⎡⎣B ．(C ．(-∞D ．)⎡+∞⎣【答案】A【解析】求出该函数的定义域，分析该函数的单调性，利用单调性即可求出该函数的值域.【详解】由题意可得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，则函数y =的定义域为[]1,1-，由于函数1y =[]1,1-上为增函数，函数2y =在区间[]1,1-上为减函数，所以，函数y =-在定义域[]1,1-上为增函数，当1x =-时，该函数取得最小值，即min y =；当1x =时，该函数取得最大值，即max y =.因此，函数y =-的值域为⎡⎣.故选：A.2.已知函数()f x x =()f x有（）A ．最小值1，无最大值B ．最大值32，无最小值C ．最小值32，无最大值D ．无最大值，无最小值【答案】C【分析】先用换元法将()f x 变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则()f x 的最值情况可知.【详解】因为()f x x =+[)0,t =∈+∞，所以232t x +=，所以()()()[)()2231110,22t f x g t t t t +==+=++∈+∞，因为()g t 的对称轴为1t =-，所以()g t 在[)0,+∞上递增，所以()()min 302g t g ==，无最大值，所以()f x 的最小值为32，无最大值，故选：C.3.关于函数y =）A ．既没有最大值也没有最小值BC D ．既有最小值0【答案】B【分析】求出函数的定义域,然后把函数的解析式进行分子有理化,最后利用函数的单调性的性质判断函数的单调性,最后选出正确答案.【详解】函数y ={}1x x ≥.y ===函数y y ==1≥x 时,都是增函数且0y y =≥=≥,因此函数()y f x ===1≥x 时,是单调递减函数故函数有最大值,最大值为(1)f =函数没有最小值.故选：B 【题型八】7：max 与min 函数【典例分析】()()()()()()}{21,1,,max ,,f x x g x x x R M x f x g x =+=+∈=则函数()M x 的最小值是__________．【答案】0【分析】根据函数定义得出函数解析式，确定函数的单调性可得最小值．【详解】由2(1)1x x +>+得1x <-或0x >，2(1)1x x +<+得10x -<<，所以2(1),10(),1,10x x x M x x x ⎧+-=⎨+-≤≤⎩或所以()M x 在(,1)-∞-上递减，在(1,)-+∞上递增，min ()(1)0M x M =-=．故答案为：0．1.设{}2()min 2,16,816(0)x f x x x x x =--+≥，其中{}min ,,a b c 表示a ，b ，c 三个数中的最小值,则()f x 的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【分析】根据{}min ,,a b c 的意义,画出函数图象,观察最大值的位置,通过求函数值,解出最大值.【详解】画出22,16,816x y y x y x x ==-=-+的图象,观察图象可知,当2x ≤时,()2x f x =,当27x ≤≤时,2()816f x x x =-+,当7x >时,()16f x x =-,()f x 的最大值在7x =时取得为9,故选D.2.对x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为()()()max{,}M x f x g x =，若()()2{3,1}M x x x =-+-，则()M x 的最小值为（）A ．-1B ．0C ．1D ．4【答案】C【解析】根据定义求出()M x 的表达式，然后根据单调性确定最小值．【详解】由23(1)x x -+=-解得：1x =-或2x =，2(1)3x x -≥-+的解集为1x ≤-或2x ≥，2(1)3x x -<-+的解为12x -<<，∴2(1),12()3,12x x x M x x x ⎧-≤-≥=⎨-+-<<⎩或，∴2x ≤时，()M x 是减函数，2x >时，()M x 是增函数，∴min ()(2)1M x M ==．故选：C ．3.已知{}max ,,a b c 表示a ，b ，c 中的最大值，例如{}max 1,2,33=，若函数(){}2max 4,2,3f x x x x =-+-++，则()f x 的最小值为（）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数24y x =-+，2y x =-+，3y x =+的图象，根据函数的新定义可得()f x 的图象，由图象即可得最小值.【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数24y x =-+，2y x =-+，3y x =+的图象，因为(){}2max 4,2,3f x x x x =-+-++，所以()f x 的图象如图实线所示：由242(0)y x y x x ⎧=-+⎨=-+<⎩可得()1,3A -，由243(0)y x y x x ⎧=-+⎨=+>⎩可得1522B ⎫⎪⎪⎝⎭，由图知()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，在512⎛- ⎝⎭上单调递减，在512⎫-+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以当1x =-时，()2143y =--+=，当512x -=时，35155322y ==-+，所以()f x 的最小值为3，故选：B.【题型九】8：“放大镜”函数【典例分析】定义域为R 的函数()f x 满足()()122f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()22f x x x =--，则当[)2,4x ∈时，()f x 的最大值为（）A ．4B ．2C ．12D ．14【答案】A【分析】利用已知等式，结合二次函数的性质进行求解即可.【详解】因为()()122f x f x -=，所以有：()()11222(4)(2)22f x f x f x f x --=-⇒-=-，因此有：11(4)()()4(4)22f x f x f x f x -=⋅⋅⇒=-，当[)2,4x ∈时，240x -≤-<，所以()224[(4)2(4)]4(3)4f x x x x =----=--+，因此当3x =时，该函数有最大值4，故选：A【提分秘籍】基本规律形如f （tx ）=mf （x ）等“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意1.定义域为R 的函数()f x 满足(1)3()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()4(1)f x x x =-，则当[2,1)x ∈--时，()f x 的最小值是（）A ．181-B ．127-C ．19-D ．0【答案】C【分析】先求得()2f -，然后将()2,1x ∈--转化为()0,1x ∈来求得()f x 的解析式，由此求得()f x 的最小值.【详解】()10f =，()()()013000f f f +=⇒=，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==，()2,1x ∈--，()20,1x +∈，依题意()()113f x f x =+，且当(0,1]x ∈时，()4(1)f x x x =-，所以()()()111239f x f x f x =+=+()()4219x x =++，故当()()21322x -+-==-时，()f x 取得最小值41119229⎛⎫⎛⎫⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C2..定义域为R 的函数()f x 满足()()12f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()2f x x x =-，则当(]2,1x ∈--时，()f x 的最小值为（）A ．116-B ．18-C ．14-D ．0【答案】A 【分析】根据()()12f x f x +=，结合当(0,1]x ∈时函数的解析式求出当(]2,1x ∈--的解析式，然后根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】由()()112(2)2(1)()(2)4f x f x f x f x f x f x +=⇒+=+∴=+.当(]2,1x ∈--时，2211131()(2)[(2)(2)](444216f x f x x x x =+=+-+=+-，当32x =-时，函数的最小值为116-.故选：A3.已知定义在R 上的函数()y f x =满足()2(1)f x f x =+，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当(1,0]x ∈-时，函数()y f x =的最小值为（）．A ．18-B ．14-C ．12-D ．1-【答案】C【分析】求出函数在(1,0]-上的解析式，再由二次函数性质得最小值．【详解】∵(1,0]x ∈-时，1(0,1]x +∈．∴22()2(1)2(1)(1)2()f x f x x x x x ⎡⎤=+=⨯+-+=+⎣⎦，由二次函数的最值易知最小值为1122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选：C ．【题型十】9：取整函数（高斯函数）【典例分析】世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数[][],y x x =表示不超过x 的最大整数，例如][1.11, 1.12⎡⎤=-=-⎣⎦.已知()()()21,,32,1x f x x x ∞∞-⎡⎤=∈--⋃+⎢⎥+⎣⎦，则函数()f x 的值域为（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2,3C ．{}2,3,4D ．{}2,3【答案】B【分析】根据题意，设21()1x g x x -=+，将()g x 解析式变形，分析()g x 的取值范围，结合取整函数[]y x =的定义，分析可得答案．【详解】解：根据题意，设21()1x g x x -=+，则212(1)33()2111x x g x x x x -+-===-+++，在区间(,3)-∞-上，301x <+，且()g x 为增函数，则有72()2g x <<，在区间(2,)+∞上，301x >+，且()g x 为增函数，则有1()2g x <<，综合可得：()g x 的取值范围为1()2g x <<或72()2g x <<，又由21()[][()]1x f x g x x -==+，则()f x 的值域为{1，2，3}.故选：B ．【变式训练】1.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[0.5]0=，[1.4]1=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是（）A ．()f x 区间[0，2]上的值域为[0，1)B ．()f x 区间[0，2]上的值域为[0，1]C ．()f x 区间[0，2]上的值域为(0，1]D ．()f x 区间[0，2]上的值域为(0,1)【答案】A【分析】根据高斯函数的定义，可得函数()[]f x x x =-的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当01x < 时，[]0x =，则[]x x x -=，当12x < 时，[]1x =，则[]1x x x -=-，当23x < 时，[]2x =，则[]2x x x -=-，当34x < 时，[]3x =，则[]3x x x -=-，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，()f x 在[0，2]的值域也为[0，1).故选：A2.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[]3π=，[]5,16-=-，已知函数()221xf x x =+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}1,1-B ．{}1,0-C ．{}1,0D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】利用基本不等式可求得函数()f x 的值域，由此可求得函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域.【详解】当0x >时，()2220111x f x x x x <===++，当且仅当1x =时，等号成立；当0x <时，()()()222111x f x x x x ==-≥=-+-+-，当且仅当1x =-时，等号成立，此时()10f x -≤<；又因为()00f =，所以，函数()f x 的值域为[]1,1-，当()10f x -≤<时，()1f x ⎡⎤=-⎣⎦；当()01f x ≤<时，()0f x ⎡⎤=⎣⎦；当()1f x =时，()1f x =⎡⎤⎣⎦.综上所述，函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0,1-.故选：D.3.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=，已知函数2221()13x f x x =-+，则函数[()]y f x =的值域是（）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】结合[]x 表示不超过x 的最大整数，利用函数的值域求法求解.【详解】解：()2222221221152()131331x x f x x x x +-=-=-=-+++，因为x ∈R ，所以211t x =+≥，21011x <≤+，则()15[)33f x ∈-，当1[,0)3x ∈-时，[()]1y f x ==-；当[0,1)x ∈时，[()]0y f x ==；当5[1,)3x ∈时，[()]1y f x ==；所以函数[()]y f x =的值域是{}1,0,1-，故答案为：D分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.若()f x 是R 上的严格增函数，令()()13F x f x =++，则()F x 是R 上的（）A ．严格增函数B ．严格减函数C ．先是严格减函数后是严格增函数D ．先是严格增函数后是严格减函数【答案】A【分析】由函数的单调性的定义判断可得选项.【详解】解：因为()f x 是R 上的严格增函数，所以由复合函数单调性法则可得，()+1f x 也是R 上的严格增函数，所以()()13F x f x =++是R 上的严格增函数.故选：A.2．函数2(1)1x y x x +=≠-在区间［2，5）上的最大值、最小值别是A ．74，4B ．无最大值，最小值7C ．4，0D ．最大值4，无最小值【答案】D【详解】试题分析：21331111x x y x x x +-+===+---，函数在区间［2，5）上是减函数，2x ∴=时函数取得最大值4，没有最小值3.若函数2(2)f x x x -=-，则()f x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为（）A ．2-B ．74-C ．0D ．14【答案】A【分析】首先利用换元法求出()f x 的解析式，再利用二次函数的性质求最值即可求解.【详解】令2x t -=，则2x t =-，所以22()(2)(2)32f t t t t t =---=-+-，所以2()32f x x x =-+-，开口向下，对称轴为()33212-=⨯-，所以()f x 在[0,1]上单调递增，()max (1)1320f x f ==-+-=，min ()(0)2f x f ==-，所以()f x 在[0,1]上的最大值与最小值之和为202-+=-，故选：A.4.函数()211x x f x x x -≤-⎧=⎨>-⎩的最小值是()A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．【详解】当1x >-时，()2f x x =的最小值为()00f =；当1x ≤-时，()f x x =-递减，可得()1f x ≥，综上可得函数()f x 的最小值为0．故选B ．5.函数()41f x x x =++在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．153,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]3,4C ．153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．154,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】设1x t +=，1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，得到函数的单调区间，计算函数值得到值域.【详解】设1x t +=，1x t =-，1,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()41g t t t =+-，根据双勾函数性质：函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]2,3上单调递增，()()max 1151015max ,3max ,2232g t g g ⎧⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，()()min 23g t g ==，故函数值域为153,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C.6.已知函数()1f x x x=-在区间[]1,3上的最大值为（）A ．0B ．3C ．83D ．4【答案】C【分析】根据基本初等函数的性质，得到函数()f x 在区间[]1,3单调递增，即可求解最大值，得到答案.【详解】由题意，根据初等函数的性质，可得函数()1f x x x=-在区间[]1,3单调递增，所以函数的最大值为()183333f =-=.故选C.7..3y x =+）A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．7,2⎛⎤-∞ ⎝⎦【答案】D【分析】先求得x 的范围，再由单调性求值域．【详解】解：因为3y x =+-120x -≥，12x ∴≤，即函数的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，又3y x =+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦时单调递增，所以当12x =时，函数取得最大值为72，所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D.8.用{}min ,a b 表示a ，b 两个数中的最小值，设{}()min 2,4f x x x =---，则()f x 的最大值为A ．-2B ．-3C ．-4D ．-6【答案】B【详解】试题分析：由题意4,1(){2,1x x f x x x -<=--≥，所以max ()(1)3f x f ==-，故选B ．9..函数()f x 满足()()24+=f x f x ，且x ∈R ，当[]0,2x ∈时，()2416f x x x =-+，则当[]4,2x ∈--时，()f x 的最大值为___________.【答案】1【分析】根据条件写出[]4,2x ∈--时()f x 的解析式后求解【详解】由题意得，(4)4(2)16()f x f x f x +=+=，若[]4,2x ∈--，则[]40,2x +∈，∴2216()(4)4(4)16416f x x x x x =+-++=++，即2213()1(2)164164x x f x x =++=++，∴[]4,2x ∈--上，当4x =-时()f x 的最大值为1.故答案为：110.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为A ．y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ．3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C ．4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D ．5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【答案】B【详解】试题分析：根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时增加一名代表，即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是x 要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，也可以用特殊取值法，若56,5x y ==，排除C ，D ，若57,6x y ==，排除A ，故选B ．培优第二阶——能力提升练1.“函数()f x 在区间[1,2]上不是增函数”的一个充要条件是（）A ．存在(1,2)a ∈满足()(1)≤f a f B ．存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥C ．存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b =D ．存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b ≥【答案】D【分析】由函数()f x 在区间[1,2]上不是增函数举例说明A ，B ，C 错误，由此确定正确选项.【详解】∵函数23()()2f x x =--在区间[1,2]上不是增函数，但对于任意的()1,2a ∈，()(1)f a f >，∴“存在(1,2)a ∈满足()(1)≤f a f ”不是“函数()f x 在区间[1,2]上不是增函数”的充要条件，选项A 错误，∵函数23()()2f x x =-在区间[1,2]上不是增函数，但对于任意的()1,2a ∈，()(2)f a f <，∴“存在(1,2)a ∈满足()(2)f a f ≥”不是“函数()f x 在区间[1,2]上不是增函数”的充要条件，选项B 错误，∵函数2()(2)f x x =-在区间[1,2]上不是增函数，任意的[],1,2a b ∈且a b <时()()f a f b >，∴“存在,[1,2]a b ∈且a b <满足()()f a f b =”不是“函数()f x 在区间[1,2]上不是增函数”的充要条件，选项C 错误，故选：D.2.若函数21y x =-的定义域是(,1)[2,5)-∞⋃，则其值域是（）A ．(2,)+∞B ．1,[2,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2]-∞D ．1(,0)22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】根据函数的单调性，求函数的值域.【详解】 函数21y x =-在(),1-∞和[)2,5都是单调递函数，当1x <时，0y <，2x =时，2y =，5x =时，12y =，所以函数的值域是()1,0,22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D3.已知函数2()48f x kx x =-+在[5,10]上单调递减，且()f x 在[5,10]上的最小值为32-，则实数k 的值为（）A ．45-B ．0C ．0或45-D ．0或17【答案】B【解析】首先根据()f x 在[5,10]上的最小值为32-，利用单调性求得实数k 的值，然后验证函数在区间上是否单调递减即可．【详解】由函数2()48f x kx x =-+在[5,10]上单调递减可知，当10x =时，函数有最小值，即：10040832k -+=-，解得：0k =，当0k =时，()48f x x =-+，函数单调递减，满足题意．故选：B ．4.已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝(),()(),(),()(),g x f x g x f x f x g x ≥⎧⎨<⎩则F (x )的最值情况是（）A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值【答案】D【分析】易得F (x )为()f x 与()g x 中较小的函数值，故求解()f x 与()g x 的大小，分段讨论即可【详解】由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3，所以()2,02,03,3x x F x x x x x x <⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩易得F (x )无最大值，无最小值．故选：D5.若01n <<且1mn =，则2m n +）A ．)+∞B ．[3,)+∞C ．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D【解析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果.【详解】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=，设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >，函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞.故选：D.6.函数()12f x x x =-在区间12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．1B ．72C ．72-D ．1-【答案】D【分析】判断出函数的单调性，再得到其在区间12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最小值.【详解】函数()12f x x x =-是单调递减函数，所以其在区间12,2⎡⎤--⎢⎣⎦上的最小值是在12x =-时得到，111211222f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭-故选D 项.7.函数()3f xx =+在区间[-1，1]上的最大值为（）A．B ．3+C ．13-+D ．4-【答案】B【分析】将函数中的根式部分换元为t ，转化为关于t 的一元二次函数在特定区间上的最大值问题，即可得解.【详解】因为53y x =-在[11]-，上是减函数，所以[]2,8y ∈t =，所以t ∈，253t x -=，所以()()222525g t t t tt t =+-=-+∈+.因为()g t在上单调递减，所以()max 253gg t ==-+=+所以()f x 在区间[11]-，上的最大值为3+，故选B.8.对于每个实数x ，设f (x )是y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2和y ＝－2x ＋4这三个函数值中的最小值，则函数f (x )的最大值为()A ．83B ．3C ．23D ．12【答案】A【分析】先在同一直角坐标系中画出三条直线，再在不同区间上取靠下的函数图象，组成()f x 的图象，由图象即可看出函数的最大值，通过解直线方程即可得此最值【详解】由题意，可得函数()f x 的图象如图：由242y x y x =-+⎧⎨=+⎩得2(3A ，8)3()f x ∴的最大值为83故选：A ．9.已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（）A ．52B ．1C ．0D ．-1【答案】B【解析】首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++，()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦，()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+，[)1,2x ∈ ，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数()()2134142f x x x x =-+<<，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．{}1,0,1,2-D ．{}0,1,2【答案】B 【分析】根据二次函数的性质，化成顶点式，在已知定义域的情况下，根据顶点式，得到()f x 的值域，进而根据高斯函数的定义，即可求解.【详解】因为()()22111343222f x x x x =-+=--，()1,4x ∈，所以函数在()1,3上单调递减，在()3,4上单调递增，所以()()min 132f x f ==-，又()312f =，()40f =，所以()13,22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，因为()y f x ⎡⎤=⎣⎦，所以{}1,0,1y ∈-；故选：B培优第三阶——培优拔尖练1.函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，那么（）A ．可能不存在单调区间B ．()f x 是R 上的增函数C ．不可能有单调区间D ．一定有单调区间【答案】A【解析】根据题意，举出两个满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭的例子，据此分析选项可得答案.【详解】根据题意，函数()f x 对于任意x ∈R ，恒有()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式可以为：()2,1 1.51,0.510,00.5x f x x x ⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，不是增函数，没有单调区间，也可以为()f x x =，满足()12f x f x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，是增函数，其递增区间为R ，则()f x 可能存在单调区间，也可能不存在单调区间，则A 正确；BCD 错误；故选：A.2..已知x是正整数，则当函数y =x 的值为（）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【分析】先由函数解析式，得到y =x >，再由函数单调性，可得xy =.【详解】因为y =当x >0y =<；当x <时0y =>；为使函数y =x >y =x >调递增，x 是正整数，所以当x的最小正整数时，函数y =<1718<<，所以18x =.故选：C.3.已知函数223x x x f =-+在区间],1t t +上是单调函数，则t 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],0-∞D ．(][),01,-∞+∞ 【答案】D【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于t ，或大于等于1t +，从而可求出t 的取值范围.【详解】()223x x x f =-+的图像的对称轴为1x =，因为函数()223x x x f =-+在区间[],1t t +上时单调函数，所以1t ≤或11t ≥+，得1t ≥或0t ≤，即t 的取值范围是(][),01,-∞+∞ ，故选：D4.已知()()252,2f x x g x x x =-=-，设函数(),()()()(),()()f x f xg x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则()F x 的最值情况是A ．最大值为3，最小值525-B ．最大值为525+，无最小值C ．最小值525-，无最大值D ．既无最大值，又无最小值【答案】C【分析】先讨论x 的正负号将()f x 的绝对值拿掉，再解不等式()()f x g x ≥，写出函数()F x 的解析式，根据解析式说明单调性，选出答案．【详解】1)当0x ≤时()52f x x =+，解()()f x g x ≥即2522x x x +≥-解得10x -≤≤，所以252,10()2,1x x F x x x x +-≤≤⎧=⎨-<-⎩2)当0x >时()52f x x =-，解()()f x g x ≥即2522x x x -≥-解得05x <≤，所以252,05()2,5x x F x x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩综上所述22,12,1052(),05522,5x x x x x F x x x x x x <-⎧-⎪-≤≤+⎪=⎨<≤-⎪⎪->⎩所以函数()F x 在(,1)-∞-上单调递减，在[1,0]-上单调递增，在5]单调递减，在(5,)+∞上单调递增．且(1)523F -=-=,(5)525F =-，(1)(5)F F ->所以函数()F x 最小值525-，无最大值5.已知函数()2212f x x x =+-+，则()f x 的最小值（）A ．12-B ．1-C ．0D ．1【答案】A【分析】结合函数的单调性确定正确选项.【详解】对于函数()()132g x x x x=+-≥，任取122x x ≤<，()()()()12121212121211133x x x x g x g x x x x x x x ---=+---+=，其中12120,10x x x x -<->，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)2,+∞上递增.()221232f x x x =++-+，令22,2t x t =+≥，则13y t t=+-，由于13y t t =+-在[)2,+∞上递增，当2t =时有最小值为112322+-=-，所以()f x 的最小值为12-.故选：A6.函数f (x )＝－x ＋1x 在12,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．32B ．－83C ．－2D ．2【答案】A。