求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律

最大功率原理最大功率原理是电学中的一个重要概念。

它指出，在给定电路中，当电阻与电源连接时，电阻上的功率达到最大值。

这个原理是在19世纪中叶由德国物理学家赫尔曼·冯·亥维兹首次提出的。

根据最大功率原理，当一个电阻连接到一个电源上时，电源会向电路提供电能，而电阻则会将这部分电能消耗掉，形成热能。

在电路中，电流和电压的关系可以用欧姆定律来描述：电流与电压成正比，电阻是比例常数。

根据欧姆定律，我们可以推导出电阻上的功率表达式为P = I^2R，其中P表示功率，I表示电流，R表示电阻。

现在，我们来推导出最大功率原理。

假设我们要找到电路中电阻上的最大功率。

我们可以用微积分的方法，首先计算功率P关于电阻R的导数dP/dR，然后将导数置为零，求得临界点R。

接下来，我们需要判断这个临界点是功率的最大值还是最小值。

经过分析可知，当电流I恰好为电源电动势和电阻之比时，功率P达到最大值，即P = (V^2/R) * R = V^2/R，其中V表示电源电动势。

根据以上推导，我们可以得出结论：在一个电路中，当电源电动势和电阻之间的比值等于电流时，电阻上的功率达到最大值。

这个结果也可以用最大功率定理来表述：给定电源电动势和电阻，连接时达到最大功率的条件是电阻等于电源内阻的复共轭。

在实际应用中，最大功率原理被广泛应用于电子设备的设计和能源管理中。

最大功率原理的应用不仅限于电学领域，类似的思想也可以在其他领域中得到应用。

例如，在机械系统中，最大功率原理可以用于优化机械装置的工作效率。

在化学反应中，最大功率原理可以用来确定反应条件以达到最大产率。

总之，最大功率原理为我们理解和优化能量转换过程提供了一个有效的工具。

需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑电路的安全性和稳定性。

特别是在高功率电路中，电流和电压可能达到很高的数值，需要采取相应的保护措施，以防止电路、电源或电器受到损坏，甚至引发火灾或其他事故。

总结起来，最大功率原理是电学中的一个重要概念，它指出在给定电路中，当电阻与电源连接时，电阻上的功率达到最大值。

·中学生·一个推论解决电路的动态分析问题王　坤（济宁市育才中学　山东济宁　２７２０００） 电路的动态分析问题是高考中恒定电流这一部分的重要题型，其特点是：在纯电阻电路中，某一电阻变化，判断其他支路的电压、电流的变化．例１　（２００７年宁夏理综卷第１９题）在如图１所示的电路中，Ｅ为电源电动势，ｒ为电源内阻，Ｒ１和Ｒ３均为定值电阻，Ｒ２为滑动变阻器．当Ｒ２的滑动触点在ａ端时合上开关Ｓ，此时三个电表Ａ１、Ａ２和Ｖ的示数分别为Ｉ１、Ｉ２和Ｕ．现将Ｒ２的滑动触点向ｂ端移动，则三个电表示数的变化情况是Ａ．Ｉ１增大，Ｉ２不变，Ｕ增大Ｂ．Ｉ１减小，Ｉ２增大，Ｕ减小Ｃ．Ｉ１增大，Ｉ２减小，Ｕ增大Ｄ．Ｉ１减小，Ｉ２不变，Ｕ减小这类问题的一般思路是：根据电阻的变化判断总电阻的变化———依据闭合电路欧姆定律判断总电流的变化———依据Ｕ＝Ｅ－Ｉｒ判断总电压的变化———依据欧姆定律和串联分压规律判断支路电压的变化———依据欧姆定律和并联分流的规律判断支路电流的变化．如上题：将Ｒ２的滑动触点向ｂ端移动，则Ｒ２接入电路的电阻减小———电路总电阻减小———总电流变大———总电压变小———Ｒ３两端的电压变大所以Ｒ１和Ｒ２所构成的并联支路的电压变小———Ｒ１两端的电压变小所以电流变小———因总电流变大所以通过Ｒ２的电流变大，Ｂ正确．这一分析过程过于繁琐，我们可以通过一个推论直接得出结果．推论的内容可以表述为：在所接电源电动势不变的情况下，电路的任意一部分支路（包括干路）的电阻增大，则该支路的电压增大、电流减小；电阻减小，则该支路的电压减小、电流增大．用上述推论分析例１，直接可以得出结论：Ｒ２减小，则通过Ｒ２的电流增大，Ｒ２两端的电压减小———所以Ｒ１两端电压减小，通过Ｒ１的电流减小；Ｒ２减小，总电阻减小，则总电压减小，Ｂ正确．我们用同样的方法分析一下下面两个例题，大家可以看出这种方法的优越性．例２　（２０１１年海南卷第２题）如图２，Ｅ为内阻不能忽略的电池，Ｒ１、Ｒ２、Ｒ３为定值电阻，Ｓ０、Ｓ为开关，Ｖ与Ａ分别为电压表与电流表．初始时Ｓ０与Ｓ均闭合，现将Ｓ断开，则Ａ．Ｖ的读数变大，Ａ的读数变小Ｂ．Ｖ的读数变大，Ａ的读数变大Ｃ．Ｖ的读数变小，Ａ的读数变小Ｄ．Ｖ的读数变小，Ａ的读数变大分析　Ｓ断开相当于Ｒ２变大，则并联支路的电阻变大，根据推论可得出并联支路的电压变大，所以Ｒ３的电压变大、电流变小；Ｒ２变大，总电阻变大，则总电压变大，Ｂ正确．例３　（２００９年广东卷第１０题）如图３所示，电动势为Ｅ、内阻不计的电源与三个灯泡和三个电阻相接，只合上开关Ｓ１，三个灯泡都能正常工作，如果再合上Ｓ２，则下列表述正确的是Ａ．电源输出功率减小Ｂ．Ｌ１上消耗的功率增大Ｃ．通过Ｒ１上的电流增大Ｄ．通过Ｒ３上的电流增大分析　电路结构是Ｒ３与Ｌ３串联，然后与Ｌ２、Ｌ１、Ｒ２并联，并联支路与Ｒ１串联．合上Ｓ２相当于Ｒ２减小，并联支路的总电阻减小，根据推论可得出并联支路的电压减小、电流增大，所以通过Ｒ１上的电流增大，通过Ｒ３、Ｌ１上的电流减小，Ｌ１上消耗的功率减小，因通过Ｒ１的电流即干路电流增大，内阻不计，电源的输出功率即ＥＩ增大，Ｃ正确．这个推论把电压和电流的变化直接与电阻的变化联系在一起，在解决问题时既可节省时间，又能避免因复杂的分析过程而容易产生的错误．·０８·２０１２年１０月 Ｖｏｌ．３０　Ｎｏ．１９ 中学物理电源输出功率最大值求解六法及比较作者：刘益民作者单位：扬州市宝应县中学 江苏扬州 225800刊名：中学物理（高中版）英文刊名：ZHONGXUE WULI(GAOZHONG BAN)年，卷(期)：2012,30(10)引用本文格式：刘益民电源输出功率最大值求解六法及比较[期刊论文]-中学物理（高中版） 2012(10)。

【最新整理，下载后即可编辑】求解电源的最大输出功率的几种方法及其规律太原市第十二中学 姚维明【题目1】如图1所示的电路，若电源的电动势为E ，内电阻为r ，外部电路有滑动变阻器R ，问在什么条件下电源的输出功率最大？设电源的输出功率为P ，端压为U ，流过电源的电流为I 。

方法一：运用P~R 函数关系法：因为UI P =、IR U =和R r EI +=， 所以22)(R r RE P +=，得R r RrE P ++=222。

可见，当R Rr =2，即r R =时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。

P~R 的函数图像如图2所示。

①当R=r时，电源的输出功率最大，P m =rE 42。

②当R ＞r 时，随着R 的增大输出功率减小。

③当R ＜r 时，随着R 的减小输出功率减小。

方法二：运用P~I 函数关系法因为UI P =、Ir E U -=，所以r I EI P 2-=，推得r E r E I r P 4)2(22+--=。

可见，当r EI 2=时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。

P~I 的函数图像如图3所示。

方法三：运用P~U 函数关系因为UI P =、rUE I -=，所以rU U r E P 2-=，图1图4图3图2推得rE E U r P 4)2(122+--=。

可见，当2EU =时P 有最大值，且最大值rE P 42max =。

P~U 的函数图像如图4所示。

【规律总结】当R=r 时电源的输出功率最大，且电源的最大输出功率为rE 42，此时2EU=，rE I 2=。

此时 U ~I 图像如图5所示，图5中斜线部分的“面积”表示了电源的最大输出功率。

“等效电源”解决功率问题【题目2】如图所示，电源的电动势E=2V ，内阻r=1Ω，定值电阻R 0=2Ω，变阻器R 的阻值变化范围为0~10Ω，求：（1）变阻器R 的阻值为多大时，R 0消耗的功率最大？（2）变阻器R 的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大？是多少？（3）变阻器R 的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？方法：（1）对定值电阻，直接运用公式。

电源最大功率问题的几种解法关于学习的“三部曲”，西方有的学者总结为”3W”，就是“1.是什么(What)2.为什么(Why)3.怎么样(How)”。

中国学者总结为“知其然知其所以然和举一反三”。

把它用到物理学习上，就是说，首先要知道某个知识，还要知道这个知识为什么是这样的，最后，还有应用这个知识解决问题。

但是，有的人知其然不知其所以然，照本宣科，死记硬背，套用公式，就会造成错误。

本文以电源最大输出功率问题为例加以说明。

关于电源最大输出功率问题，1980年代的教科书上有这个实验，以后没有了。

高考也以计算题考过，全国卷考过，江苏卷考过，上海卷考过，每题都不同。

可见此问题的重要。

本文从基本问题谈起。

一、电源最大输出功率问题的基本问题如下图所示，电源电动势为E=6V,内阻为r=2Q,外电路接一滑动变阻器_9R,求电源输出功率最大的条件及其值。

rz_"RE,r【解法1】公式法E-R厂八仟2电源输出功率为P=I2R=------=------2----(R+')2(R t)23R£2当R=r=2Q时，电源输出功率最大值为7^=——=4.5W.4r【解法2】图象法根据p=〃R=E R,=36^2作出p~R图象如下：(R+尸)(R+2)2PR—-PR从图象可以看出，当R=2Q时，电源输出功率最大值为p m=4.5W.【解法3】求导数法电功率表达式：P=-^R,根据求导公式(凹)，=凹胃史，得导数：(R+r)2v v2P，(R)=E"(R+r)2_E2R.2(R+r)=E2.(R+r).(r_R),当R=r时，导数的分(R+r)4(R+r)4''A2x9子为零，即此时有极大值，将R=r=2Q代入P式得最大值pg=(二2)2=4.5W.二、变式如下图所示，电源电动势为E=6V,内阻为r=2Q,外电路接一滑动变阻器R和一定值电阻氏=0.50,求：(1)滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。

高中物理闭合电路的欧姆定律常见题型及答题技巧及练习题(含答案)及解析一、高考物理精讲专题闭合电路的欧姆定律1．如图所示，R 为电阻箱，V 为理想电压表．当电阻箱读数为R 1＝2Ω时，电压表读数为U 1＝4V ；当电阻箱读数为R 2＝5Ω时，电压表读数为U 2＝5V ．求：（1）电源的电动势E 和内阻r ．（2）当电阻箱R 读数为多少时，电源的输出功率最大？最大值P m 为多少？ 【答案】（1）E =6 V r =1 Ω （2）当R=r =1 Ω时，P m =9 W 【解析】 【详解】（1）由闭合电路欧姆定律E U Ir =+得：111U E U r R =+，代入得44422E r =+=+①， 222U E U r R =+，代入得：5555E r r =+=+②， 联立上式并代入数据解得：E=6V ，r=1Ω（2）当电阻箱的阻值等于电源的内电阻时电源的输出功率最大，即有R=r=1Ω电源的输出功率最大为：22226()92441m E E P I R r W W r r =====⨯；2．有一个100匝的线圈，在0.2s 内穿过它的磁通量从0.04Wb 增加到0.14Wb ，求线圈中的感应电动势为多大？如果线圈的电阻是10Ω，把它跟一个电阻是990Ω的电热器串联组成闭合电路时，通过电热器的电流是多大？ 【答案】50V ， 0.05A ． 【解析】 【详解】已知n =100匝，△t =0.2s ，△Φ=0.14Wb-0.04Wb=0.1Wb ，则根据法拉第电磁感应定律得感应电动势0.1100V=50V 0.2E nt ∆Φ==⨯∆ 由闭合电路欧姆定律得，通过电热器的电流50A=0.05A 10990E I R r ==++3．如图所示，电路中电阻R 10=Ω，电源的内电阻2r =Ω，灯泡L 上标有“3V 0.25A”的字样，闭合开关S ，灯泡正常发光．求：（1）灯泡的功率； （2）电源的电动势； （3）电源的总功率；【答案】(1) 0.75W (2) 6V (3) 1.5W 【解析】 【详解】（1）由题知，灯泡正常发光，则灯泡的电压为 U=3V ，电流为 I=0.25A 所以灯泡的功率为 P=UI=0.75W （2）由闭合电路欧姆定律得：电源的电动势 E=U+I （R+r ）=3+0.25×（10+2）=6V （3）电源的总功率：P=IE=0.25×6W=0.5W.4．如图所示，电源电动势E =30 V ，内阻r =1 Ω，电阻R 1=4 Ω，R 2=10 Ω．两正对的平行金属板长L =0.2 m ，两板间的距离d =0.1 m ．闭合开关S 后，一质量m =5×10﹣8kg ，电荷量q =+4×10﹣6C 的粒子以平行于两板且大小为 =5×102m/s 的初速度从两板的正中间射入，求粒子在两平行金属板间运动的过程中沿垂直于板方向发生的位移大小？（不考虑粒子的重力）【答案】【解析】根据闭合电路欧姆定律，有：电场强度：粒子做类似平抛运动，根据分运动公式，有：L=v 0ty=at 2 其中：联立解得：点睛：本题是简单的力电综合问题，关键是明确电路结构和粒子的运动规律，然后根据闭合电路欧姆定律和类似平抛运动的分运动公式列式求解．5．如图所示，电路由一个电动势为E 、内电阻为r 的电源和一个滑动变阻器R 组成。

电源最大输出功率的条件论证及应用在闭合电路中，电源提供的功率等于内外电路消耗的功率之和，对于含有可变电阻的纯电阻电路，可变电阻的阻值变化直接影响着电源的总功率，也影响着闭合电路中各部分的功率分配。

电源的最大输出功率是电源性能的重要标志之一，求电源最大输出功率的问题也是电功率这部分内容的难点，学生虽经反复练习，但仍不得其法。

笔者经过调查得知，学生出错的根本原因在于不理解功率取最大值的条件。

这里笔者就电源最大输出功率的条件论证及应用，结合自己的教学实际谈一点粗浅的认识，请同仁指教。

一、基本规律及条件论证1.规律一，当电源电动势E和内电路电阻r一定，外电路的电阻R可变时，电源的输出功率在满足条件的情况下，可取得最大值。

下面用多种方法对此结论加以证明，旨在让中学生读者选择适合自己认识的证法，以加深对电源最大输出功率条件的理解。

1.1 证明方法之一，公式法电源的输出功率，即消耗在外电路电阻上的功率，据闭合电路的欧姆定律有，所以（1）(1)式可变形为（2）根据公式“若a、b均为正数，则a+b≥，当且仅当a＝b时，a＋b取最小值”可得 (2)式分母中，当（即）时，取最小值，因而，当电源的输出功率有最大值1.2 证明方法之二，解析法可将(1)式变形为（3）当(3)式分母中（即）时，分母取最小值，因而电源有最大输出功率。

1.3 证明方法之三，利用二次函数的极值。

若路端电压为U，电路中电流为I，则外电路中消耗的功率应为，而据闭合电路的欧姆定律有（4）所以电源输出功率可以表示为（5）由(5)式可以看出，输出功率P是电流I的二次函数，且二次项系数为负，因而当电流（此时）时，电源输出功率有最大值1.4 证明方法之四，图像法根据(4)式作出路端电压随电路中电流变化的图像（图1），图像上任意一点N所对应的路端电压为U，电流为I，则这时消耗在外电路上的功率可以用图中矩形（画斜线部分）的面积来表示。

从图中可以看出，当电路中电流很小或者很大时，图中矩形的面积均较小，而只有当时，，矩形面积最大，即电源的输出功率有最大值1.5 证明方法之五，利用导数求极值 (1)式中P 对R 求导可得。

电源的输出功率及有关的几个重要推论摘要：通过对电源输出功率问题的分析研究，总结出比较实用的电源的输出功率及有关的几个重要推论，以便快速准确解题。

关键词：电源输出功率；等效电源；等效内阻；重要推论电源的输出功率问题是高频出现于各类试卷中的典型题目.现就电源的输出功率及有关的几个重要推论简要探讨其后，以便进一步理解和快速解答此类问题.一、电源输出功率的变化规律探讨 1.对于如图1所示的纯电阻电路，电源电动势E ，内阻为r ，当滑动变阻器R 的滑片移动时，试分析电源的输出功率P 出如何变化？因P 出＝I 2R ＝E 2R (R ＋r )2＝E 2(R －r )2R ＋4r .则电源的输出功率P 出随R 的变化规律大致如图2曲线所示，即：①当R ＝r 时，电源的输出功率最大为P m ＝E 24r ．②当R >r 时，随着R 的增大输出功率越来越小．③当R <r 时，随着R 的增大输出功率越来越大． 针对电源的最大输出功率，由R ＝r 和欧姆定律知：④当端电压2E U =时，电源的输出功率最大为P m ＝E 24r ，⑤当总电流rE I 2=时，电源的输出功率最大为P m ＝E 24r .2.对于图3所示的电路等，可结合等效电源法用上述推论快速解答问题.即当R 2= r ′（r ′为等效内阻，即r ′＝R 1+r ）时，滑动变阻器R 2消耗的功率最大，且P 2m =rE '42…特别说明：上述推论成立有条件的，即电路为纯电阻电路，且内阻及等效内阻必须为定值电阻.典例1. 如图3所示的电路，已知电源电动势E ＝5 V ，内阻＝2 Ω，定值电阻R 1＝0.5 Ω，滑动变阻器R 2的阻值范围为0～10 Ω.求：(1)当滑动变阻器R 2的阻值为多大时，电阻R 1消耗的功率最大？最大功率是多少？ (2)当滑动变阻器的阻值为多大时，滑动变阻器消耗的功率最大？最大功率是多少？ (3)当滑动变阻器的阻值为多大时，电源的输出功率最大？最大功率是多少？ 解析：(1)定值电阻R 1消耗的电功率为P 1＝I 2R 1＝E 2R 1(R 1＋R 2＋r )2，可见当滑动变阻器的阻值R 2＝0时，R 1消耗的功率最大，最大功率为P 1m ＝E 2R 1(R 1＋r )2＝2 W.· E r SR P 图1 图2图3(2)将定值电阻R 1看做电源内阻的一部分，则等效电源的等效内阻r ′＝R 1＋r ＝2.5 Ω，等效电动势仍为E ，故当滑动变阻器的阻值R 2＝r′＝2.5 Ω时，滑动变阻器消耗的功率最大，最大功率为P 2m ＝E 24r ′＝)(412r R E +=2.5 W.(3)由电源的输出功率与外电阻的关系可知，当R 1＋R 2＝r ，即R 2＝r －R 1＝(2－0.5) Ω＝1.5 Ω时，电源有最大输出功率，最大功率为P m ＝E 24r ＝3.125 W.二、电源输出功率非最大时的电阻、电流和电压的变化规律探讨当P 出<P m 时，每个输出功率P 对应两个外电阻R 1和R 2，两个电流I 1和I 2，两个外电压U 1和U 2，它们的关系如下：①由Ｐ＝I 2R =R rR E 2)(+，即222Pr Pr)2(+--R E PR ＝０ ，分别设两个根为R 1、R 2，整理得：r PE R R 2221-=+ 和221r R R =. ②由I Ir E UI P )(-==整理得，02=+-P EI rI ，由韦达定理等得：rEI I =+21和r P I I =21．③ 由UI P ==rU E U)(- 整理得，0Pr 2=+-EU U ，由韦达定理等得：E U U =+21和Pr 21=U U典例２.如图４甲所示电路中，R 为电阻箱，电源的电动势为E ，内阻为r ．图乙为电源的输出功率P 与电流表示数I 的关系图象，其中功率P 0分别对应电流I 1、I 2，外电阻R 1、R 2．下列说法中正确的是（ ）A ．I 1+I 2＞rE B.r EI I =+21 BC ．rR 1＞2R r D ．r R 1=2R r解析：由闭合电路欧姆定律得：U =E ﹣Ir ，则输出功率为：P =UI =EI ﹣I 2r ，故有，整理得：rEI I =+21，故A 错误，B 正确； 图４根据电功率表达式，P 0==，且rR EI +=，则有：；整理得：221r R R =，则C 错误、D 正确,；故答案为BD ．巩固练习：1.在纯电阻电路中，当用一个固定的电源(E 、r 是定值)向变化的外电阻供电时，关于电源的输出功率P 随外电阻R 变化的规律如图5所示，则( )A ．当R ＝r 时，电源有最大的输出功率B ．电源有最大的输出功率时电源的效率η＝100%C ．电源的总功率P ′随外电阻R 的增大而增大D ．电源的输出功率P 随外电阻R 的增大而增大2．某同学将一直流电源的总功率P E 、输出功率P R 和电源内部的发热功率P r 随电流I 变化的图线画在同一坐标系内，如图6所示，根据图线可知( )A ．反映P r 变化的图线是bB ．电源电动势为8 VC ．电源内阻为2 ΩD ．电源的最大输出功率为2W3. 将阻值相等的R 1和R 2串联后接在一个稳压电源上，两个电阻均是用金属丝绕制而成的，设R 1温度不变，对R 2加热或冷却，则关于R 2的电功率变化情况，下列说法正确的是( )A. 加热变大，冷却变小B. 加热变小，冷却变大C. 加热、冷却都变小D. 加热、冷却都变大4. 在一些电路中，我们常可以将一部分含电源的未知电路等效成一个不知内阻和电动势的电源.如图7所示，电路虚线框内的各元件参数未知但均为定值，当它的输出端a 、b 间分别接入不同阻值的电阻R x 时，电流表有不同读数I ，则（1）表格中①、②的数值应为（ ） A ．①＝28Ω②＝0.1A B ．①＝38Ω②＝0.2A C ．①＝48Ω②＝0.3A D ．①＝58Ω②＝0.4A（2）R x 为多大时其消耗的功率最大？最大功率为多少？ （3）与10Ω电阻消耗功率相等的另一电阻阻值是多大？5. 如图8所示电路中，R 为电阻箱，电源的电动势为E ，内阻为r 。