专题1 利用奇偶性、单调性解函数不等式问题(解析版)-2021年新高考数学函数压轴小题专题突破

重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称， 当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称， 当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

（共8题；共40分）1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( =（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有，解得故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( )单调递增的区间是（）A. (0, )B. ( , )C. ( , )D. ( , ) 【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由得，k∈Z，当k=0时，是函数的一个增区间，显然，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 6【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6，则由基本不等式可得|MF1||MF2|≤，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.6.若tan =-2,则 =（）A. B. C. D.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：原式故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为x=0，当x趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x的下方.故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则，对于A，P(AC)=0；对于B，；对于C，；对于D，P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),故B正确.故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。

专题05 函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1.若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．2.以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1 (2021·江苏启东期初)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是()A. B.∪(1，＋∞)C. D.∪【答案】A【分析】发现函数f(x)为偶函数，直接利用f(x)＝f(|x|)，将“变量化正”，转化为研究函数函数f(x)在（0，+∞）上单调性，逆用单调性脱“f”．【解析】易知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为偶函数．当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，易知此时f(x)单调递增．所以f(x)>f(2x－1)⇒f(|x|)>f(|2x－1|)，所以|x|>|2x－1|，解得<x<1.故选A.例2 （2017·江苏·11）已知函数31()2eexxf x x x=-+-, 其中e是自然对数的底数.若2(1)(2)0f a f a-+≤,则实数a的取值范围是 .【答案】1 [1,]2 -【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将2(1)(2)0f a f a-+≤移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f”．【解析】因为31()2e()exxf x x fx x-=-++-=-，所以()f x是奇函数又因为22()32e e320x xf'x xx-=-++≥-+，所以数()f x在R上单调递增由2(1)(2)0f a f a-+≤、()f x是奇函数得2(2)(1)(1)f a f a f a--≤-=，由()f x在R上单调递增，得221a a≤-，即2120a a+-≤，解得112a-≤≤，1。

利用函数单调性与奇偶性解不等式三种单调性的表达方法：1，当x1>x2，f(x1)>f(x2）恒成立⇔f(x)单调递增。

2，（x1−x2）【f(x1)-f(x2）】>0⇔f(x)单调递增。

{x1>x2f(x1)>f(x2）或者{x1<x2f(x1)<f(x2）同号意味着单调递增3、f(x1)−f(x2）（x1−x2）>0 ⇔f(x)单调递增（ 2、3等价）（纯粹单调性)例1、已知函数f(x)定义域为R，且对任意两个不相等的实数a,b都有（a-b)[f(a)-f(b)]>0,则不等式f(3x-1)>f(5+x)的解集为___________.解：由题目条件（a-b)[f(a)-f(b)]>0⇔{a>bf(a)>f(b)或者{a<bf(a)<f(b)∵x1−x2与f(x1)-f(x2）同号∴f(x)在R上为增函数∵f(3x-1)>f(5+x)⇔3x-1>x+5∴3x-1>x+52x>6x>3∴不等式f(3x-1)>f(5+x)的解集为(3,+∞)（利用奇函数加单调性）2、已知定义在R上的奇函数y=f(x)在区间（−∞，0]上单调递减，若f(2m2+m)+f(2m-2)≧f(0），则实数m的取值范围__________.（假设函数草图）解：由题意可知，f(x)在R上是奇函数，定义域关于原点（0，0）对称，∴f(0)=0,且f(-x)+f(x)=0.∵f(x)在（-∞，0）是单调递减的，函数关于原点（0，0)对称，所以f(x)在（0，+∞）上单调递减，从而f（x)在R上单调递减。

即{x1<x2f(x1)>f(x2）或者{x1>x2f(x1)<f(x2）由题可知：f(2m2+m)+f(2m-2)≧f(0）∵f(0）=0，∴f(2m2+m)+f(2m-2)≧0⇒f(2m2+m)≧-f(2m-2)∵f(x)是奇函数，所以分（-x)=-f(x),∴-f(2m-2)=f（2-2m)∴f(2m2+m)≧f（2-2m)又∵x1−x2与f(x1)-f(x2）异号∴2m2+m ≤2-2m2m2+3m-2≤0（m+2）（2m-1)≤0⇒-2≤m≤12（利用偶函数加单调性）不完全单调性3、已知y=f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，则不等式f(2x+1)>f(x+2)的解集为__________.解：由题意可知f(x)是定义在R上的偶函数，定义域关于原点对称，所以f(x)=f(-x),f(x)在[0,+∞)上单调递增，由函数图像的对称性可知f(x)在（-∞，0]单调递减，对称轴是Y轴（x=0),不等式f(2x+1)>f(x+2)的问题即是横坐标距离Y轴距离的绝对值大小的问题，即|2x+1-0|>|x+ 2−0|，（假设函数草图如下所示）。

新高考数学《不等式选讲》专题解析一、141．设n*∈N）A>BC=D．不能确定【答案】B【解析】【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系．【详解】22-===.22-===.*n N∈42,31n n n n+>++>+>>><<成立，因此本题选B．【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．2．设集合{}1,RA x x a x=-<∈，{}15,RB x x x=<<∈．若A B=∅I，则实数a 的取值范围是（）A．{}06a a≤≤B．{}64a a a≤≥或C．{}06a a a≤≥或D．{}24a a≤≤【答案】C【解析】【分析】根据公式()0x a a a x a<>⇔-<<解出集合A，再根据交集的运算即可列出关系式，【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。

3．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数以及当0x „时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.4．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.5．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.6．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.7．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n=+++++L L ，则（ ） A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】 由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n 进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.8．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( )A ．|a+b|+|a-b|>2B ．|a+b|+|a-b|<2C ．|a+b|+|a-b|=2D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.9．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．10．2018年9月24日, 英国数学家M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记2221111.........,23S n 则（）=+++++A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S > 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用不等式放缩后裂项确定S 的范围即可. 【详解】由题意可知：222111123S n=+++++L L()111123341n n >+++++⨯⨯+L L111111123341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 13122>+=， 且222111123S n =+++++L L()111112231n n <+++++⨯⨯-⨯L L 11111112231n n L L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭122n L =-+<，综上可得：322S <<. 本题选择C 选项. 【点睛】本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．11．集合{}|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3-【答案】B 【解析】 【分析】计算得到{}13A x x =-<<，{}12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.12．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.13．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则αβ-的值（ ） A ．与m 有关，且与n 有关 B ．与m 有关，但与n 无关 C ．与m 无关，且与n 无关 D ．与m 无关，但与n 有关【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先解出不等式2x m n -<的解集，再根据解集求出αβ-的值，即可判断其与,m n 之间的关系.【详解】2222m n m nx m n n x m n x -+-<⇒-<-<⇒<<Q ,22m n m nαβ∴-+==22m n m nn αβ-+-∴==-- 因此，αβ-的值与m 无关，但与n 有关.故选：D. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，形式如(0)x m a a -<> 的绝对值不等式，可以转化为a x m a -<-< 的简单不等式进行求解.15．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A BC ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()f x cosx =…=当且仅当3cosx =时取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.16．不等式33log log x x x x +<+的解集（ ） A ．(),-∞+∞ B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()0,∞+【答案】B 【解析】 【分析】依题意知,0x >,32log 0x x <,原不等式等价于3log 0x <,解不等式即可. 【详解】根据对数的意义可知,0x >, 因为33log log x x x x +<+,两边同时平方可得,332log 2log x x x x <, 即32log 0x x <,因为0x >,所以原不等式等价于3log 0x <, 所以原不等式的解集为}{01x x <<, 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法;熟练掌握对数函数的定义域和单调性是求解本题的关键;属于中档题.17．已知()12?f x x x =-++,若关于x 的不等式()22f x a a >-对于任意的x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-1,3) B ．(1,1) C ．(1,3) D ．(-3,1)【答案】A 【解析】 【分析】首先求得()f x 的最小值，然后将原问题转化为求解二次不等式的问题即可. 【详解】因为()()12123x x x x -++≥--+=,所以函数()f x 的最小值为3. 要使不等式()22f x a a >-对于任意的x ∈R 恒成立,只需223a a -<,即()()130a a +-<,解得13a -<<. 故a 的取值范围为(1,3)-. 本题选择A 选项. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .18．已知函数()1()02f x x a a a =-+≠．当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．8,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】将函数的零点问题转化为方程的根问题，再构造函数1(2)g x x a x =+--求得函数的值域，可得关于a 的不等式，解不等式即可得到答案. 【详解】Q 函数()()21g x f x x =+-有零点，∴方程2112x ax a -=+--有根， 令1(2)g x x a x =+--，则31,,1()1,,2131,,2x a x a g x x a a x x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ ∴1()[,)2g x a ∈--+∞，∴11,221,2a a a ⎧-≥--⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得：1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查已知函数存在零点求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将函数的零点转化为方程的根.19．为使关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|≤a 2＋a ＋1(a ∈R)的解集在R 上为空集，则a 的取值范围是（ ） A ．(0, 1) B ．(－1, 0)C ．(1, 2)D ．(－∞, －1)【答案】B 【解析】由绝对值几何意义可知，最小值为1，则当，即时，满足题意20．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( ) A ．a ＋2＋1) B ．a ＋2＋1 C ．a －21)2 D ．a ＋b ＞2＋1)【答案】A 【解析】 【分析】ab 2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解. 【详解】2a b .所以ab≤14 (a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋故答案为：A【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

重难点第5讲利用函数性质解不等式5大题型——每天30分钟7天掌握利用函数性质解不等式5大题型问题【命题趋势】高中数学解不等式主要分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；另一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。

利用函数性质解不等式一般情况以选择题形式出现，考查的角度较多，除了基础的函数性质，有时候还需要构造函数结合导数知识，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】利用单调性、奇偶性解不等式原理1、解()()<型不等式f m f n（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“f”，而是常数（如()<f m a），那么我们应该将常数转化带有函数符号“f”的函数值再解。

2、()+<的不等式的解法f m f nf x为奇函数，形如()()0第一步：将()f m f n；>-f n移到不等式的右边，得到()()第二步：根据()f m f n；f x为奇函数，得到()()>-第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“f”，列出不等式求解。

二、构造函数解不等式的技巧1、此类问题往往条件较零散，不易寻找入手点，所以处理这类问题要将条件与结论结合分析，在草稿上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么，两者对接通常可以确定入手点；2、在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能具备乘除关系的函数，在构造时多进行试验与项的调整；3、此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性和图象知识辅助手段，所以要能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点，那么问题便易于解决了。

三、利用函数性质解不等式的要点1、构函数：根据所解不等式的结构特征和已知条件构造相应的函数，把不等式看作一个函数的两个函数值大小比较问题；2、析性质：分析所构造函数的相关性质，主要包括函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等；3、巧转化：根据函数的单调性，把函数值大小比较转化为某个单调区间内自变量大小比较；4、写解集：解关于自变量的不等式，写出解集。

考点50：利用导数求函数的单调性【思维导图】【常见考法】考法一：求函数的单调性1. 函数y ＝4x 21x+单调递增区间是 。

2．函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是 。

3．函数13y lnx x=+的单调增区间为 。

4.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是_____．考法二：单调函数求参数1．已知函数321()13f x ax ax x =+++在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

2．已知函数21()22f x ax ax lnx =++在区间(0,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 。

3.已知2()()f x x b lnx x =-+在区间[1，]a 上单调递增，则实数b 的取值范围是 。

4.若函数21()2f x ax xlnx x =+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是 。

考法三：非单调函数求参数1.已知函数2()(1)f x mln x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是 .2．函数()()2121,32f x ax ax lnx =-+在上不单调的一个充分不必要条件是 。

3.函数32()1f x x x mx =-++不是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 。

4.已知函数2()93f x x lnx x =-+在其定义域内的子区间(1,1)m m -+上不单调，则实数m 的取值范围为 。

考法四：利用单调性比大小1．已知函数()x a x a f x e e --+=+，若33log ab c ==，则()()()f a f b f c 、、的大小关系 。

2．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系 。

3．已知奇函数()f x 是R 上增函数,()()g x xf x =则233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、的大小关系 。

第四节函数性质的综合问题(对应学生用书第24页)考点1函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．3．(20xx·滨州模拟)设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f （x ）－2f （－x ）5x＜0的解集为( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(0，1)D [∵奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x )的图象关于原点对称，且过点(1，0)和(－1，0)，且f (x )在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x )的大致图象如图所示．∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式3f （x ）－2f （－x ）5x ＜0可化为f （x ）x ＜0，即xf (x )＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x 的范围，据图象可知x ∈(－1，0)∪(0，1).]考点2 函数的周期性与奇偶性已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 021)＝________．－2 [因为f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ). 所以f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 021)＝f (673×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2) [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，∴f (5)＝2a －3＜1，即a ＜2.]考点3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：(特例法)由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.](1)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与直线x ＝b 对称，那么函数的周期是2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，那么函数的周期是2|b －a |.③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，那么函数的周期是4|b －a |.(2)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系①函数f （x ）是偶函数；②函数图象关于直线x ＝a 对称；③函数的周期是2|a|.①函数f(x)是奇函数；②函数图象关于点(a ，0)对称；③函数的周期是2|a|.①函数f （x ）是奇函数；②函数图象关于直线x ＝a 对称；③函数的周期是4|a|.。

1单调性的压轴练习【巩固训练】1. 已知函数log ,01()(41)2,1a x x f x a x a x <<⎧=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．106⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．106⎛⎤ ⎥⎝⎦， C ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．()1+∞， 2.已知函数2(),(0,)x e f x ax x x =-∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．2 ,12e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3.若对∀x 1，x 2∈(m ，＋∞)，且x 1<x 2，都有x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1<1，则m 的最小值是( ) 注：(e 为自然对数的底数，即e ＝2.718 28…)A.1e B ．e C ．1 D.3e4.已知函数()sin f x x a x =-，对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥25.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f -=-，当[],1,1a b ∈-，且0a b +≠时，()(()())0a b f a f b ++>成立，若()221f x m tm <-+对任意的[]1,1t ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．{}(,2)0(2,)-∞-+∞ B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(22)-，D ．(20)(02)-，，6.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()20f -=，若对任意两个不相等的正数12,x x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则不等式()0f x x<的解集为______.7.已知21()2f x alnx x x =++，若对任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有122212()()1f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是 ．3【答案与提示】1. 【答案】B【解析】因为函数对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，所以函数在定义域内单调递减，所以()01141006log 14112aa a a a a⎧<<⎪-<∴<≤⎨⎪≥-⋅+⎩，.故选B. 2. 【答案】A【分析】令()()g x xf x =，由()()12210f x f x x x -<可知()g x 在()0,∞+上单调递增，从而可得()230x g x e ax '=-≥在()0,∞+上恒成立；通过分离变量可得23x ea x≤，令()()20x e h x x x =>，利用导数可求得()()2min 24e h x h ==，从而可得234e a ≤，解不等式求得结果. 【解析】由()()12210f x f x x x -<且210x x >>得：()()1122x f x x f x <令()()3xg x xf x e ax ==-，可知()g x 在()0,∞+上单调递增()230x g x e ax '∴=-≥在()0,∞+上恒成立，即：23xea x≤令()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'= ()0,2x ∴∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增 ()()2min24e h x h ∴== 234e a ∴≤，解得：2,12e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦本题正确选项：A 点评：本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将已知关系式变形为符合4单调性的形式，从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题；解决恒成立问题常用的方法为分离变量，将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题，属于常考题型. 3.【答案】 C【解析】 由题意，当0≤m <x 1<x 2时，由x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1<1，等价于x 1ln x 2－x 2ln x 1<x 2－x 1，即x 1ln x 2＋x 1<x 2ln x 1＋x 2， 故x 1(ln x 2＋1)<x 2(ln x 1＋1)，故ln x 2＋1x 2<ln x 1＋1x 1， 令f (x )＝ln x ＋1x ，则f (x 2)<f (x 1)， 又∵x 2>x 1>m ≥0，故f (x )在(m ，＋∞)上单调递减，又由f ′(x )＝－ln xx 2，令f ′(x )<0，解得x >1， 故f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故m ≥1. 4. 【答案】B【解析】因为12x x ≠，不妨设12x x >，则()()1212f x f x a x x ->-可化为()()1212)(f x f x a x x ->-，即()()1122f x ax f x ax ->-设()()F x f x ax =-则()()1212f x f x a x x ->-恒成立，即()()1122f x ax f x ax ->-对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞且12x x >时恒成立，即12()()F x F x >对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞且12x x >时恒成立所以()()F x f x ax =-在R 上单增故()()sin 1cos 0F x x a x ax a x a ''=--=--≥在R 上恒成立 所以11cos a x≤+，故min 111cos 2a x ⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭ 所以实数a 的取值范围是12a ≤， 选B ．55. 【答案】B【解析】令12,a x b x ==-，则[]12,1,1x x ∈-，1212()(()())0x x f x f x -->成立， 则()f x 为单调增函数，若()221f x m tm <-+对任意的[]1,1t ∈-恒成立，则()2max 21f x m tm <-+，即()2121f m tm <-+，即[]1,1t ∀∈-都有220m tm ->，令2()20g t m tm =->，则min ()0g t >，∴(1)0(1)0g g >⎧⎨->⎩，∴(,2)(2,)m ∈-∞-+∞，故选B 6.【答案】()(),22,-∞-+∞【解析】构造函数()()=f xg x x,则因为()f x 是定义在R 上的奇函数,故()g x 为定义域是{}|0x x ≠ 的偶函数,又对任意两个不相等的正数12,x x都有()()2112120x f x x f x x x -<-,即()()()()121212121200f x f xg x g x x x x x x x --<⇒<--,故()g x 在()0,∞+上为减函数.又()20f -=,故()2(2)02f g --==-. 综上, ()g x 为偶函数,且在(),0-∞上单调递增,在()0,∞+上单调递减. 且()()220g g -==.故()0f x x<即()()2g x g <. 根据函数性质解得()(),22,x ∈-∞-⋃+∞，故答案为：()(),22,-∞-+∞.7.【答案】(-∞，1]4-【解析】设12x x >，则221212()()f x f x x x -<-，221122()()f x x f x x ∴-<-，令221()()2g x f x x alnx x x =-=-+，12()()g x g x ∴<，6()g x ∴在(0,)+∞上单调递减，()10ag x x x∴'=-+， 2211()24a x x x ∴-=--，14x ∴=时，21()4min x x -=-，14a ∴-．a ∴的取值范围是(-∞，1]4-．故答案为：(-∞，1]4-．。