快速分解法原理及应用

有理分式的快速分解方法及其应用
鲁志波;勒孚龙;张启慧
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2011(031)005
【摘要】根据有理分式的不同结构特点,给出了相应的分解为部分分式的快速算法及其应用,有效解决了这类函数的积分问题.
【总页数】4页(P7-10)
【作者】鲁志波;勒孚龙;张启慧
【作者单位】信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001;信息工程大学理学院,河南郑州450001
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.快速子空间分解方法及其维数的快速估计 [J], 黄磊;吴顺君;张林让;冯大政
2.基于偏微分方程的快速二维经验模态分解方法及其应用 [J], 李翠芸;曹潇男;姬红兵;邹其兵
3.区域分解方法在快速旋转行星流体动力学并行计算中的应用 [J], 冯天厚
4.一种快速特征分解方法及其在高分辨率谱估计中的应用 [J], 王曙光; 何振亚
5.基于局部峰值约束的快速正交匹配追踪地震数据分解方法 [J], 杜泽源;杨森;陶永慧;蔡杰雄;何兵红
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分解因式的方法与技巧分解因式是数学中的一项基本技能，它被广泛应用在代数、方程、函数及相关问题的求解中。

通过分解因式，我们可以将复杂的算式转化为更简单的形式，从而更方便地计算和解决问题。

本文将介绍一些常见的分解因式的方法和技巧。

一、提取公因式法提取公因式法是最常见且最基础的分解因式方法之一。

当一个多项式中各项有一个公共因子时，我们可以先提取出这个公因式，然后将多项式进行化简。

例如，对于多项式2x + 4xy，可以提取出公因式2，得到2(x+2y)。

二、差平方公式差平方公式是分解二次多项式的一种常见方法。

对于形如a^2 - b^2的二次多项式，我们可以将其分解为(a+b)(a-b)的形式。

例如，对于多项式x^2 - 4，可以直接使用差平方公式进行分解，得到(x+2)(x-2)。

三、完全平方公式完全平方公式是分解二次多项式的另一种常见方法。

对于形如a^2 + 2ab + b^2的二次多项式，我们可以将其分解为(a+b)^2的形式。

例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，可以直接使用完全平方公式进行分解，得到(x+2)^2。

四、因式分解公式因式分解公式是一些特殊形式多项式的分解方法。

通过对这些特殊形式的多项式进行因式分解，可以加快计算速度。

例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以使用因式分解公式(x+2)(x+3)进行分解。

五、配方法配方法是一种适用于二次多项式的分解方法。

通过将二次多项式中的一项进行分解，然后进行配对，可以将其分解为两个一次多项式的乘积。

例如，对于多项式x^2 + 7x + 10，可以进行如下分解：将10分解为2和5，然后配对得到(x+2)(x+5)。

六、二次三项式的分解对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，可以使用二次三项式的分解公式进行分解。

例如，对于多项式x^2 + 6x + 8，可以使用二次三项式的分解公式得到(x+2)(x+4)。

综上所述，以上是一些常见的分解因式的方法和技巧。

一、概述MATLAB是一种强大的数学软件工具，它提供了许多优秀的数值计算和数据分析功能。

其中，牛顿拉夫逊法和快速分解法是两种常用的数值计算方法，它们在解决非线性方程组和矩阵分解等问题中具有重要的应用价值。

本文将介绍如何在MATLAB中实现这两种方法，并对它们的优缺点进行详细分析。

二、牛顿拉夫逊法的实现1. 算法原理牛顿拉夫逊法是一种用于求解非线性方程组的迭代算法。

它利用函数的一阶和二阶导数信息来不断逼近方程组的解，直到满足精度要求为止。

算法原理可以用以下公式表示:公式1其中，x表示解向量，F(x)表示方程组的函数向量，J(x)表示方程组的雅可比矩阵，δx表示解的更新量。

通过不断迭代更新x，最终得到方程组的解。

2. MATLAB代码实现在MATLAB中，可以通过编写函数来实现牛顿拉夫逊法。

以下是一个简单的示例代码：在这段代码中，首先定义了方程组的函数向量和雅可比矩阵，然后利用牛顿拉夫逊法进行迭代更新，直到满足精度要求为止。

通过这种方式，就可以在MATLAB中实现牛顿拉夫逊法，并应用于各种实际问题。

三、快速分解法的实现1. 算法原理快速分解法是一种用于矩阵分解的高效算法。

它利用矩阵的特定性质，通过分解为更小的子问题来加速计算过程。

算法原理可以用以下公式表示:公式2其中，A表示要分解的矩阵，L和U分别表示矩阵的下三角和上三角分解。

通过这种分解方式，可以将原始矩阵的计算量大大减小，提高求解效率。

2. MATLAB代码实现在MATLAB中，可以利用内置函数来实现快速分解法。

以下是一个简单的示例代码：在这段代码中，利用MATLAB内置的lu函数进行LU分解，得到矩阵的下三角和上三角分解。

通过这种方式，就可以在MATLAB中实现快速分解法，并应用于各种矩阵计算问题。

四、方法比较与分析1. 算法复杂度牛顿拉夫逊法和快速分解法在计算复杂度上有所不同。

牛顿拉夫逊法的迭代次数取决于所求解问题的非线性程度，通常需要较多的迭代次数。

方法得当分解快速一、提取系数例1 因式分解：13x2-27.分析：该多项式不能直接用公式法分解，但是适当提取某个数字因数后，便可继续分解了.解：原式=13（x2-81）=13（x+9）（x-9）.二、整体切入例2 因式分解：（x2-1）+6（1-x2）+9.分析：将x2-1看成一个整体，利用完全平方公式进行分解，最后利用平方差公式达到分解彻底的目的.解：原式=（x2-1）2-6（x2-1）+9=[（x2-1）-3]2=（x2-4）2=[（x+2）（x-2）]2=（x+2）2（x-2）2.三、变换符号例3 因式分解：3n（2m-n）2+（n-2m）3.分析：（n-2m）3=-（2m-n）3，则多项式的公因式是（2m-n）2.解：原式=3n（2m-n）2-（2m-n）3=（2m-n）2[3n-（2m-n）]=（2m-n）2（4n-2m）=2（2n-m）（2m-n）2.四、处理括号例4因式分解：（1）（3m-n）2+12mn；（2）x（x-1）-3x+4.分析：本题不能直接因式分解，但是去掉括号合并同类项后可以因式分解.解：（1）原式=9m2-6mn+n2+12mn=9m2+6mn+n2=（3m+n）2；（2）原式=x2-x-3x+4=x2-4x+4=（x-2）2.五、变换指数例5 因式分解：m4（m+2n2）-16n4（m+2n2）.分析：提出公因式m+2n2后，剩余因式为m4-16n4，而m4=（m2）2，16n4=（4n2）2，故m4-16n4可继续因式分解.解：原式=（m+2n2）（m4-16n4）=（m+2n2）[（m2）2-（4n2）2]=（m+2n2）（m2+4n2）（m2-4n2）=（m+2n2）（m2+4n2）（m+2n）（m-2n）.。

第四节 PQ 分解法潮流计算一 、PQ 分解法的基本方程式60年代以来N —R 法曾经是潮流计算中应用比较普遍的方法，但随着网络规模的扩大（从计算几十个节点增加到几百个甚至上千个节点）以及计算机从离线计算向在线计算的发展，N —R 法在内存需要量及计算速度方面越来越不 适应要求。

70年代中期出现的快速分解法比较成功的解决了上述问题，使潮流计算在N —R 法的基础上向前迈进了一大步，成为取代N —R 法的算法之一。

快速分解法（又称P —Q 分解法）是从简化牛顿法极坐标形式计算潮流程序的基础上提出来的。

它的基本思想是根据电力系统实际运行特点：通常网络上的电抗远大于电阻值 ，则系统母线电压副值的微小变化V ∆对母线有功功率的改变P ∆影响很小。

同样，母线电压相角的少许改变θ∆，也不会引起母线无功功率的明显改变Q ∆。

因此，节点功率方程在用极坐标形式表示时，它的修正方程式可简化为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆V V L H Q P /00θ （4—19） 这就是把2（n —1）阶的线性方程组变成了两个n —1阶的线性方程组，将P 和Q 分开来进行迭代计算，因而大大地减少了计算工作量。

但是，H ，L 在迭代过程中仍然在不断的变化，而且又都是不对称的矩阵。

对牛顿法的进一步简化（也是最关键的一步），即把（4—19）中的系数矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。

在一般情况下，线路两端电压的相角ij θ是不大的（不超过10○～20○）。

因此，可以认为：⎭⎬⎫<<≈ij ij ij ij B G θθsin 1cos （4—20）此外，与系统各节点无功功率相应的导纳B LDi 远远小于该节点自导纳的虚部，即 ii iiLDi B V Q B <<=2 因而 ii i i B V Q 2<< （4—21） 考虑到以上关系，式（4—19）的系数矩阵中的各元素可表示为： ij j i ij B V V H = （i,j=1,2,………，n-1） （4—22）ij j i ij B V V L = （i,j=1,2,……………，m ） (4—23)而系数矩阵H 和L 则可以分别写成：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------11,1122,1111,1111,222222121211,1121211111n n n n n n n n n n n n V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------1211,12,11,11,222211,11211121n n n n n n n n V V V B B B B B B B B B V V V =11D D BV V （4—24）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mm m m m m m m m m m m V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V L 22122222212121121211111 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mm m m m m m V V V B B B B B B B B B V V V2121222211121121=22''D D V B V （4—25） 将（4—24）和（4—25）式代入（4—19）中，得到[][][][][]θ∆'-=∆11D D V B V P[][][][]V B V Q D ∆-=∆''2用[]11-D V 和[]12-D V 分别左乘以上两式便得：[][][][][]θ∆-=∆-111'D D V B P V （4—26）[][][][]V B Q V D ∆-=∆-''12 （4—27）这就是简化了的修正方程式，它们也可展开写成：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆----------1122111,12,11,11,222211,11211112211n n n n n n n n n n V V V B B B B B B B B B V P V P V P θθθ（4—28）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆m mm m m m m m mV V V B B B B B B B B B V Q V Q V Q 212122221112112211 （4—29） 在这两个修正方程式中系数矩阵元素就是系统导纳矩阵的虚部，因而系数矩阵是对称矩阵，且在迭代过程中保持不变。

《加快分解》教案教学设计加快分解教案教学设计
教学目标
- 了解分解的定义和作用；
- 掌握分解的方法和步骤；
- 培养学生的分析和解决问题的能力。

教学准备
- 教师准备好分解的相关资料和实例；
- 学生准备好笔和纸。

教学过程
1. 导入（5分钟）
- 引发学生对分解的兴趣，例如通过一个有趣的问题或故事；
- 引导学生思考：什么是分解？在我们的生活中，我们可以怎样运用分解？
2. 知识讲解（15分钟）
- 介绍分解的定义和作用，通过例子帮助学生理解；
- 解释分解的方法和步骤，包括拆分、分析和解决。

3. 实践训练（30分钟）
- 给学生提供一些练题，要求他们运用分解的方法解决问题；
- 在学生进行实践训练的过程中，教师可以提供指导和提示，
帮助学生理解和掌握分解的技巧。

4. 总结归纳（10分钟）
- 请几个学生分享他们的解决思路和答案，进一步巩固分解的
概念；
- 对本节课的研究进行总结，强调分解在解决问题中的重要性。

展示活动
- 邀请学生设计一个实际问题，并运用分解的方法解决，然后
向全班展示解题过程和答案。

课后作业
- 要求学生完成一份作业，选择一个生活中的问题，使用分解
的方法解决，并书写解题过程和答案。

教学评价
- 教师观察学生在课堂上的参与和理解程度；- 回答学生提出的问题；
- 批改并评价学生的作业。

参考资料
- 无
延伸阅读
- 无。

凑十法分解式凑十法分解式是一种在初中数学中经常使用的分解技巧，它可以帮助我们快速解决一些较为复杂的分解式题目。

下面我们就详细介绍一下这种方法的具体步骤及应用场景。

一、凑十法的基本原理凑十法是一种将加数、减数、乘数、除数等转化成10的倍数以方便计算的简单技巧。

在分解式中，如果遇到若干项的和或差不方便直接计算的情况，可以利用凑整数的方法将其转化为10的倍数。

二、凑十法的常用方法1、将加数凑成10的倍数对于两个数的和不是10的整数倍的情况，需要用一些数的加减法变换调整成10的倍数。

有一个基本的方法是，在某一个加数上加上或减去一个和另一个加数相距差值的数。

例如，分解式 7x + 4 。

4不是10的倍数，所以我们需要将它凑成10的倍数。

我们可以发现，离4最近的10的倍数是10，所以我们可以用10-4=6来达到凑数的目的。

现在我们将这个式子变为 7x + 6 + (-2) ，即 (7x + 6) + (-2) ，由于7x + 6是10的倍数，所以我们只需要计算-2即可。

对于减法，我们通常将减数凑成10的倍数，这与将加数凑成10的倍数的方法类似，只不过需要用另一种思路。

我们可以发现，减数与余数的和等于被减数，所以当减数不是10的倍数时，需要用被减数减去与余数相等的数。

对于分式中的除法运算，如果分母不是10的倍数，我们也需要将其凑成10的倍数。

具体的方法是将分子与分母同时乘以一个差值，使得分母凑成10的倍数。

三、凑十法在解题中的应用凑十法在解决分解式题目中的应用非常广泛。

例如：1、求解式子 15x - 23 - 7x 的值。

我们可以先将式子变形为(15x - 7x) - 23 ，然后将减数23凑成10的倍数，得到(15x - 7x) - 20 - 3，最后计算出值为8x - 23。

我们可以将分母2x + 3凑成10的倍数，得到(5x + 1)/(10x + 15)，然后计算分子的式子，得到(5x + 1)/(2x + 3) = (5x + 1)/(10x + 15) × 5/5 = (25x + 5)/(50x + 75)。

潮流计算的基本算法及使用方法Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】潮流计算的基本算法及使用方法一、 潮流计算的基本算法1.牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。

这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。

牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。

因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。

而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。

1．2 一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。

由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x ∆和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。

接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。

因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。