第三章指数函数与对数函数复习一(学案)

学习目标 1.了解三种函数的增长特征。

2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。

(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。

3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。

3.4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．(重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 换底公式阅读教材P 83～P 86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log －3 2log －3 5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2. (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 【解析】 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.【答案】 D[小组合作型]1681(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】 (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2. 换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .[再练一题]1. 化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56log 23·32log 32＝54.1836【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数． 【尝试解答】法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18 18×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴lo g 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18 5×9log 18 4×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.法三：∵log 189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 9×5 lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3 注意一些派生公式的使用.[再练一题]2. 若本例条件不变，求log 92545(用a ，b 表示)．【解】 由18b＝5，得log 185＝b ，∴log 92545＝log 1845log 18925＝log 185＋log 189log 189－log 1825＝b ＋aa －2b.[探究共研型]探究 1 设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．【提示】 依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ，其中x ≥1，x ∈N .探究 2 探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)【提示】 依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． 【尝试解答】 (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴x＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝ t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.【答案】 131. 若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b aB.a bC ．a bD ．b a【解析】 log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .【答案】 B2. log 2125·log 3 18·log 5 19＝________.。

学习必备欢迎下载指数函数与对数函数[教学目标 ]1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数函数、对数函数的定义、图像与性质．（3）熟练运用指数函数、对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对指数函数和对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）两种函数的图像和性质对比掌握, 解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习指数函数、对数函数的图像和性质，培养研究函数问题的思维方法,．[教学重点 ]: 指数函数、对数函数的图像与性质[ 教学难点 ] ：指数函数与对数函数的性质．[课时安排 ]: 1课时[ 学法指导 ] ：学生动脑、动手总结规律, 梳理知识．[讲授过程 ]【建构知识网络】指数函数的图像指指数函数的图像与性质数指数函数的性质函数对对数函数的图像数函对数函数的图像与性质数对数函数的性质指数函数的图像与性质a 10 a1图象（1）定义域：R（2）值域：(0,)性，即 x0 时y1（3）过点(0,1)质当 x>0 时 ,y>1；当 x<0 时 ,0<y<1当 x>0 时, 0<y<1 ；当 x<0 时, y>1（4）在R上是增函数（ 4）在R上是减函数对数函数的图像与性质函（ a>1）y log a x （0<a<1）y log a x数图像定义域（0， +∞）（ 0， +∞）值域R R单调性增函数减函数过定点（1， 0）（1，0）0<x<1 时， y<00<x<1 时， y>0取值范围x>1 时， y>0x>1 时， y<0例题 :一、定义域1例 1．求下列函数的定义域（ 1 ）y log 2(x 2) ;（2）y2 x214解 : （ 1 ）要使函数有意义 , 须使log2( x2)0,即 log 2 (x2)log 2 1 ,因为函数y log 2 x 为增函数,所以 x 21,x 1 ,所以函数的定义域为{x| x1}（ 2）要使函数有意义,须使2x1102 x 1 2 2 ,x12,x 1 ,所以函数4的定义域为 {x| x1}12练习 1:求下列函数的定义域（1）y;（ 2）y32xlg(x3)二、值域例 2．求下列函数的值域1（ 1）y 5 2x（ 2）y1 2 x（ 3）y log 1 (4x5)3分析 :要求函数的值域 ,必须先求函数的定义域,要在函数的定义域范围内求出．11解 :（ 1）函数y52x的定义域为 {x | x2} ,指数0 ,所以 y1,函数的值域为x2{y | y0, y1} ;（ 2）函数y1 2 x有意义 ,必须12x02x1x0 ,函数的定义域为 (,0] ,因为 2x0,0 1 2x1,所以函数的值域为[0,1)．（ 3 ）y log1(4x5) 要有意义,须使 4 x50x 5,函数的定义域为43{x | x 5} ,此时真数 4x50 ,所以函数的值域为R41x1x1练习 2: 求下列函数的值域（1）y1（ 2）y 1 （3） y ln32x51解 :（ 1）函数y31 x的值域为0 ，;x x11 有意义,则1所以函数的定义域为（ 2 ）函数y 1 0, x 022{x | x 0} ,值域为 [0,) ．（ 3）函数 y ln1 要有意义 ,须使1 0 x5,函数的定义域为 {x | x5} ,函5 x 5 x数的值域为 R ．三、单调性例 3．已知 f (x)1 log x 3 ， g( x) 2log x2 ,试比较 f ( x)和g( x) 的大小。

一、1、本节课的重点分析：指数函数与对数函数的图像与性质。

2、本节课的难点分析：指数函数与对数函数的运用。

二、授课内容：一、知识归纳：1、指数函数、对数函数的定义；2、指数函数与对数函数的图像和性质；3、指数函数与对数函数的联系。

指数函数重难点：对分数指数幂的含义的理解，学会根式与分数指数幂的互化并掌握有理指数幂的运算性质；指数函数的性质的理解与应用，能将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．考纲要求：①了解指数函数模型的实际背景；②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；③理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图像通过的特殊点；④知道指数函数是一类重要的函数模型．经典例题：求函数y =3322++-x x 的单调区间和值域．对数函数重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数(),1a o a ≠ ． 幂函数重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两幂值的大小． 考纲要求：①了解幂函数的概念；②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x =====的图像，了解他们的变化情况．二、题型归纳：◆比较大小及解不等式：1、用不等号“ > ”、“ < ”填空：(1)log 0.56 ___ log 0.54 ;(2) log 812 ___ log 1211 ;(3) 若log 1.5m < log 1.5n , 则m___n ;(4) 若log 0.125m < log 0.125n , 则m___n ;2、解下列关于x 的不等式:(3) log 0.5x > log 0.5(1-x) (4) log 2(x+3) < 0◆求定义域和值域：3、求函数91312-=-x y 的定义域4、求下列函数定义域（1）y=(1-x) (2) y= (3) y=(4）= （5）32log x y = （6）)34(log 5.0-=x y ）5、例 f(x)=3x +5，则f -1(x)的定义域是 。

指数函数与对数函数复习课一. 复习目标1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解.3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想.二．指数函数1．指数函数定义：地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．2．指数函数xy a =在底数及这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞（3）过点(0,1)，即0x =时1y =（4）在R 上是增函数（4）在R 上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）11()2x y =-（3）3xy -= （4）1(0,1)1x xa y a a a -=>≠+ 练习1．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数练习2．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。

还应要求学生注意不同题型的解答方法。

三 对数函数1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。

2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。

同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =（图1）与x y 21log =（图2）为例。

（3）对数函数性质列表：图 象1a >01a <<性 质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1=x 时，0=y（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在(0,)+∞上是减函数例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．分析：此题主要利用对数函数x y a log =的定义域(0,)+∞求解。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

第2课时 对数的运算性质1．理解对数的运算性质，能灵活准确地进行对数式的化简与计算；2．了解对数的换底公式，并能将一般对数式转化为自然对数或常用对数，从而进行简单的化简与证明．1．对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，n ∈R ，那么： 指数的运算法则⇒对数的运算法则 ①a m ·a n ＝a m ＋n⇒log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②a m a n ＝a m ·a －n ＝a m －n ⇒log a MN ＝log a M －log a N ； ③(a m )n ＝a mn ⇒log a (N n)＝n ·log a N.积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前． 【做一做1－1】计算：(1)log 26－log 23＝________；(2)log 53＋log 513＝__________.答案：(1)1 (2)0【做一做1－2】若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值是__________． 解析：由等式得(x －2y )2＝xy ， 从而(x －y )(x －4y )＝0， 因为x ＞2y ，所以x ＝4y . 答案：4 2．换底公式 (1)log a b ＝log log c c ba，即有log c a ·log a b ＝log c b (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)； (2)log b a ＝1log a b，即有log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)； (3)log m na b ＝log a nb m(a ＞0，a ≠1，b ＞0)．换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做2】已知lg N ＝a ，用a 的代数式表示： (1)log 100N ＝__________；(2)＝__________. 答案：(1)12a (2)2a运用对数的运算性质应注意哪些问题？ 剖析：对数的运算性质有三方面，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求对每一条性质都会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以免乱造公式．例如：log n (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N 等都是错误的．第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母取值的范围：a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0.例如，lg(－2)(－3)是存在的，但lg(－2)、lg(－3)都不存在，因而得不到lg(－2)(－3)＝lg(－2)＋lg(－3)．第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时不仅要掌握公式的“正用”，同时还应掌握公式的“逆用”．题型一 有关对数式的混合运算 【例1】求下列各式的值：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514；(2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.分析：利用对数运算性质和“lg 2＋lg 5＝1”解答． 解：(1)log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝log 535×5014＋12122log 2＝log 553－1＝2. (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋lg 22＝2lg 10＋(lg 2＋lg 5)2＝2＋1＝3.(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8＝12lg 2＋lg 9－lg 10lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝12. 反思：对数的运算一般有两种方法：一种是将式中真数的积、幂、商、方根运用对数运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后计算；另一种是将式中的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、幂、商、方根，然后化简求值．另外注意利用“lg 2＋lg 5＝1”来解题．题型二 有关对数式的恒等证明【例2】已知4a 2＋9b 2＝4ab (a ＞0)，证明lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b 2.分析：运用对数运算性质对所证等式转化为lg 2a ＋3b4＝lg ab ，因此只要利用条件证出真数相等即可．证明：由4a 2＋9b 2＝4ab ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝ab ， 因为a ＞0，所以b ＞0，两边取以10为底的对数，得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b 42＝lg(ab )， 即2lg 2a ＋3b 4＝lg(ab )，lg 2a ＋3b 4＝12lg(ab )，所以lg 2a ＋3b 4＝12(lg a ＋lg b )．因此lg 2a ＋3b 4＝lg a ＋lg b2，所以原等式成立．反思：在由一般等式证明对数式时，要注意使对数有意义，这里在取对数前要说明b ＞0.题型三 对数换底公式的应用【例3】已知log 23＝a,3b＝7，则log 1256＝__________(用a ，b 表示)．解析：方法一：∵log 23＝a ，∴2a＝3.又3b ＝7，∴7＝(2a )b ＝2ab.故56＝8×7＝23＋ab.又12＝3×4＝2a ×4＝2a ＋2， 从而33+22256=(2)=12ab ab a aa ++++.故log 1256＝32123log 12=2ab a aba ++++. 方法二：∵log 23＝a ，∴log 32＝1a. 又3b＝7，∴log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a＝ab ＋3a ＋2.方法三：∵log 23＝lg 3lg 2＝a ，∴lg 3＝a lg 2.又3b＝7，∴lg 7＝b lg 3.∴lg 7＝ab lg 2.从而log 1256＝lg 56lg 12＝3lg 2＋lg 72lg 2＋lg 3＝3lg 2＋ab lg 22lg 2＋a lg 2＝3＋ab2＋a.答案：3＋ab 2＋a反思：方法一是借助指数变形来解；方法二与方法三是利用换底公式来解，显得较简明．应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可．题型四 有关对数的应用题【例4】科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性14C.14C 的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”，动植物在生长过程中衰变的14C ，可以通过与大气的相互作用而得到补充，所以活着的动植物每克组织中的14C 含量保持不变，死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的14C 按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5 730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的14C 含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量p ；(2)湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．解：(1)设生物体死亡1年后，体内每克组织中14C 的残留量为x .由于死亡机体中原有的14C 按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的14C 含量p 有如下关系：由于大约经过5 730年，死亡生物体的14C 含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730.于是x ＝5 73012＝1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以生物死亡t 年后体内每克组织中的14C 含量573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭.(2)由573012t p ⎛⎫=⎪⎝⎭可得125730log t p =.湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始含量的76.7%，即p ＝0.767. 所以125730log 0.767 2 193t =≈.故马王堆汉墓约是2 193年前的遗址．反思：生物体死亡后，机体中原有的14C 每年按相同的比率衰减，因此，可以根据“半衰期”得到这一比率．已知衰减比率，求若干年后机体内14C 的含量属于指数函数模型；反之，已知衰减比率和若干年后机体内14C 的含量，求衰减的年数应属于对数知识．1设lg a ＝1.02，则0.010.01的值为__________(用a 表示)．解析：设0.010.01＝x ，则lg x ＝lg 0.010.01＝0.01lg 0.01＝－0.02， ∴lg a ＋lg x ＝lg ax ＝－0.02＋1.02＝1.∴ax ＝10，x ＝10a.答案：10a2若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 0.18等于__________． 解析：lg 0.18＝lg 18－2＝2lg 3＋lg 2－2＝a ＋2b －2. 答案：a ＋2b －23已知＝1－aa，则log 23＝__________.解析：由条件得log 23＝a 1－a ，所以log 23＝2a 1－a.答案：2a1－a4计算：log 2748＋log 212－12log 242. 解：原式＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12.5设x ，y ，z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，求证：1z －1x ＝12y.证明：设3x ＝4y ＝6z＝k ，且x ，y ，z 为正数， 所以k ＞1.那么x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，所以1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y .所以1z －1x ＝12y.。

高中数学总复习对数和指数函数复习内容：高中数学第三章【复习目标】1． 理解对数的意义，会熟练的将指数式与对数式互化，掌握积、商、幂的对数运算性质换底公式； 2． 理解反函数的概念，会求已知函数的反函数，掌握函数与它的反函数在定义域、值域及图像上的关系；3． 理解指数函数和对数函数的要领，掌握指数函数和对数函数的图像和性质，掌握指数函数和对数函数互为反函数的结论；4． 理解指数方程和对数方程的意义，会解简单的指数方程和对数方程. 5． 掌握数学方法：分类讨论，数形结合，换元法，等价转换.【重点难点】对数的意义与运算性质，反函数的概念及性质，指数函数和对数函数的图像和性质. 【课前预习】1.函数()(2)x f x =-、2()3x f x -=、1()2()3x f x =⋅、3()f x x =中，指数函数是2.（1）函数1()()2x f x =的值域是 （2）函数212()log (25)f x x x =-+的值域是3.（1）函数()f x =（2）函数()f x =4.（1）函数()y f x =的图像与函数()2x f x =的图像关于x 轴对称，则()y f x == （2）函数lg(2)(2)y x x =->的图像关于x 轴对称的函数()y f x ==5. 函数2()(1)x f x a =-是R 上的减函数，则实数a 的取值X 围是6. 已知0<a<1，b<-1，则函数()x f x a b =+的图像不经过 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 7.函数213()log (232)f x x x =--的单调递增区间是8. 使log 2(-x)<x+1成立的x 的取值X 围是 9.不论a 为何值时，函数y=(a-1)2x -2a 的图像过一定点，这个定点的坐标是(-1,-12)10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)=1()3x ，则f(12)11.已知函数y=4x -32x +3的值域为[1，7]，则实数x 的取值X 围是(-∞,0]∪[1，2]12．函数()2x f x =，x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，则 （ ） A.12121[()()]()22x x f x f x f ++= B.12121[()()]()22x x f x f x f ++> C.12121[()()]()22x x f x f x f ++< D.以上答案都不对【基础知识】1．幂的有关概念(1)正整数指数幂()nna a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈ (2)零指数幂)0(10≠=a a(3)负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ (4)正分数指数幂()0,,,1mn m n a a a m n N n *=>∈>； (5)负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0(0)a a >，没有意义.2．有理数指数幂的性质()()10,,rsr sa a aa r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。