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课后习题及答案_第3章离散傅⾥叶变换--上机习题答案第3章离散傅⾥叶变换(DFT)上机习题答案1. 解：该题求解程序为ex323.m，程序运⾏结果如下图所⽰。
第（1）⼩题⽤1024点DFT近似x(n)的傅⾥叶变换；第（2）⼩题⽤32点DFT。
题下图(e)和(f)验证了X(k)是X(e jω)的等间隔采样，采样间隔为2π/N。
图(g) 验证了IDFT 的惟⼀性。
2. 解：设x1(n)和x2(n)的长度分别为M1和M2，X1(k)=DFT［x1(n)］N, X2(k)=DFT［x2(n)］NY c(k)=X1(k)X2(k), y c(n)=IDFT［Y c(k)］N所谓DFT的时域卷积定理，就是当N≥M1+M2－1时，y c(n)=x1(n)*x2(n)。
本题中，M1=M2=4，所以，程序中取N=7。
本题的求解程序ex324.m如下：% 程序ex324.mx1n=［2 1 1 2］；x2n=［1 －1 －1 1］；%时域直接计算卷积yn：yn=conv(x1n，x2n)%⽤DFT计算卷积ycn：M1=length(x1n)；M2=length(x2n)；N=M1+M2－1；X1k=fft(x1n，N)；%计算x1n的N点DFTX2k=fft(x2n，N)；%计算x2n的N点DFTYck=X1k.*X2k；ycn=ifft(Yck，N)程序运⾏结果：直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积yn和⽤DFT计算x1(n)与x2(n)的卷积ycn 如下：yn=［2 －1 －2 2 －2 －1 2］ycn=［ 2.0000 －1.0000 －2.0000 2.0000－2.0000 －1.0000 2.0000］3.解：本题的求解程序为ex325.m。
程序运⾏结果如下图所⽰。
由图可见，循环卷积为线性卷积的周期延拓序列的主值序列；当循环卷积区间长度⼤于等于线性卷积序列长度时，⼆者相等，见图（b）和图(c)。
第三章 习题解答(部分)［1］求以下序列)(n x 的频谱()j X e ω，其中0a >。
(2)()an e u n - (5)0sin()()an e n u n ω-解：对题中所给的)(n x 先进行z 变换，再求其频谱。
(2)由于111)]([)(----==ze n u e Z z X a an ，所以ωωωj a ez j e e z X e X j --=-==11)()(。
(5)由于aa a ane z e z e z n u n eZ z X 2201010cos 21sin )]()sin([)(-------+-==ωωω，所以ωωj e z j z X e X ==)()(aj a j a j e e e e e e 2200c o s 21s i n ------+-=ωωωωω ［2］ 设()j X e ω和()j Y e ω分别是()x n 和()y n 的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换。
(7)(2)x n (8)(),()20n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩＝偶，＝奇解：(7)2)()2()]2([ωωn jn n jn en x en x n x DTFT -∞∞-∞=-∑∑==为偶数 2)]()1()([21ωn j nn e n x n x -∞-∞=-+=∑)(21)(21)(21)(212222⎪⎭⎫⎝⎛+∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-∞-∞=-+=+=∑∑πωωπωωj j n n j n n j e X e X e n x e n x(8))()'()2/()]([2''2ωωωj n n j n jn e X en x en x n g DTFT ===∑∑∞-∞=-∞-为偶数［3］求出下面序列的傅里叶变换(1))5(2)(-δ=n n x (4))3()2()(--+=n u n u n x解：由DFT 定义有：(1)ωωωδ52)5(2)(j n jn j e en e X -∞-∞=-=-=∑(4)ωωωωωωj j j n jn n jn j ee e een u n u e X ---=-∞-∞=---==--+=∑∑1)]3()2([)(3222⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=------ωωωωωωωωωωωω21sin 25sin 11222225252525j j j j j j j j j j e e e e e e e e e e ［5］已知001,()0,j X e ωωωωωπ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩，求()j X e ω的傅里叶逆变换()x n 。
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。
（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。
请确定其傅里叶级数的系数()Xk 。
解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.2 （1）设()xn 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*()()X k X k =- 。
（2）证明当()xn 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。
证明：（1）1011**()()()[()]()()N nkNn N N nk nkNNn n Xk xn W X k xn W xn W Xk --=---==-=-===∑∑∑（2）因()xn 为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =- 或*()()X k X k -= 又因()xn 为偶函数，即()()x n x n =- ，所以有 (1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k xn W xn W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()xn 。
利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk ，确定以下式子是否正确。
（1）()(10)Xk X k =+ ，对于所有的k ； （2）()()Xk X k =- ，对于所有的k ； （3）(0)0X= ；（4）25()jkXk e π ，对所有的k 是实函数。
解：（1）正确。
因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()Xk 也是一个周期为N ＝10的周期序列。
（2）不正确。
因为()x n 一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()Xk 是共轭对称的，即应有*()()Xk X k =- ，这里()X k 不一定是实数序列。
第三章傅立叶变换
第一题选择题
1．连续周期信号f (t )的频谱F(w)的特点是 D 。
A 周期连续频谱
B 周期离散频谱
C 非周期连续频谱
D 非周期离散频谱
2．满足抽样定理条件下，抽样信号f s (t)的频谱)(ωj F s 的特点是 （1）
（1）周期、连续频谱； （2）周期、离散频谱；
（3）连续、非周期频谱； （4）离散、非周期频谱。
3．信号的频谱是周期的连续谱，则该信号在时域中为 D 。
A 连续的周期信号
B 离散的周期信号
C 连续的非周期信号
D 离散的非周期信号
4．信号的频谱是周期的离散谱，则原时间信号为 （2） 。
（1）连续的周期信号 （2）离散的周期信号
（3）连续的非周期信号 （4）离散的非周期信号
5．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t -4）的频带宽度为（ 1 ）
（1）2Δω （2）ω∆2
1 （3）2（Δω-4） （4）2（Δω-2） 6．若=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f （ 4 ）
（1）ωω41)(21j e j F - （2）ωω41)2
(21j e j F -- （3）ωωj e j F --)(1 （4）ωω21)2
(21j e j F -- 7．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率f s 为（ 1 ）
（1）π100 （2）π
200 （3）100π （4）200
π 8．某周期奇函数，其傅立叶级数中 B 。
A 不含正弦分量 B 不含余弦分量 C 仅有奇次谐波分量 D 仅有偶次谐波分量
9．某周期偶谐函数，其傅立叶级数中 C 。
A 无正弦分量
B 无余弦分量
C 无奇次谐波分量
D 无偶次谐波分量
10．某周期奇谐函数，其傅立叶级数中 C 。
A 无正弦分量
B 无余弦分量
C 仅有基波和奇次谐波分量
D 仅有基波和偶次谐波分量
11．某周期偶函数f(t)，其傅立叶级数中 A 。
A 不含正弦分量
B 不含余弦分量
C 仅有奇次谐波分量
D 仅有偶次谐波分量
第二题判断题
1．若周期信号f （t ）是奇谐函数，则其傅氏级数中不会含有直流分量。
（√）
2．若f (t )是周期奇函数，则其傅氏级数中仅含有正弦分量。
(√)
3．若周期信号f （t ）是周期偶函数，则其傅氏级数中只有偶次谐波 （×）
4．奇函数加上直流后，傅氏级数中仍含有正弦分量。
（√）
5．周期性冲激序列的傅里叶变换也是周期性冲激函数。
（√）
6．周期性的连续时间信号，其频谱是离散的、非周期的。
（√）
7．非周期的取样时间信号，其频谱是离散的、周期的。
（×）
8．周期信号的频谱是离散谱，非周期信号的频谱是连续谱。
(√)
9．周期信号的傅里叶变换由冲激函数组成。
( √ )
10．信号在时域中压缩，等效于在频域中扩展。
( √ )
11．信号在时域中扩展，等效于在频域中压缩。
(√)
12．周期信号的幅度谱是离散的。
( √ )
13．周期信号的幅度谱和频谱密度均是离散的。
(√)
14．奇谐函数一定是奇函数。
(×)
15．满足抽样定理条件下，时域抽样信号的频谱是周期连续谱。
(√)
第三题填空题
1．已知F )()]([ωj F t f =，则
F =-)]33([t f 1()33
j j F e ωω- F =-)]1([t f ωωj e j F --)( F =-)]52([t f ωω25)2(21j e j F - F [f （3-2t ）] =3
21()22
j j F e ωω-- F =)]2([t tf )2(21ωj jF F =])([0
t j e t f ω)(F )]([00ωωωω--或j F F[f （t ）cos200t ]={}1[(200)][(200)]2
F j F j ωω++- F =
-]cos )([0t t f ωτ{}
00()()001[()][()]2j j F j e F j e ωωτωωτωωωω-+--++-
F 0)([t j e j F ωω--1]=0()f t t - F 10[(()]F j ωω--=0()j t f t e ω
2.已知信号的频谱函数)()()(πωδπωδω--+=j F ，该信号为
t j t f ππsin 1)(= 3．已知信号f （t ）的频谱函数在（-500Hz ，500Hz ）区间内不为零，现对f （t ）进行理想取样，则奈奎斯特取样频率为 1000 Hz 。
4.对带宽为20kHz 信号)(t f 均匀抽样，其奈奎斯特间隔 25 us ；信号f(2t) 的带宽为 40 kHz ，其奈奎斯特频率f N = 80 kHz 。
5．=)(1ωj F F =)()],([21ωj F t f 则F =-)]24([1t f ωωωω2121)2
(21)2(21j j e F e j F ----或 6．周期信号f （t ）如题图所示，若重复频率f =5KHz ，脉宽s μτ20=，幅度E =10V ，则直流分量= 1 V 。
22
四、计算题
1、若F[f(t)]=)(ωF ,t t p cos )(=，)()()(t p t f t f p =，求)(ωp F 的表达式，并画出频谱图。
解：t t p cos )(=， 所以 )]1()1([)(-++=ωδωδπωP
因 )()()(t p t f t f p =，由频域卷积性质可得
)]1()1([)(21)()(21)(-++*=*=ωδωδπωπ
ωωπωF P F F p )]1()1([2
1-++=ωωF F
2、若单位冲激函数的时间按间隔为T 1，用符号)(t T δ表示周期单位冲激序列，即∑∞
-∞=-=
n T nT t t )()(1δδ，求单位冲激序列的傅里叶级数和傅里叶变换。
解：因为)(t T δ是周期函数，可把它表示成傅立叶级数 ∑∞-∞==
n t jn n T e F t 1)(ωδ，其中121T πω=
1
2121112121111)(1)(1T dt e t T dt e t T F T
T t jn T
T t jn T n =⎰=⎰=----ωωδδ ∑∞-∞
==∴n t jn T e T t 111)(ωδ )(t T δ的傅立叶变换为：
∑∑∑∞-∞=∞-∞=∞
-∞=-=-=-=n n n n n n T n F F )()(22)(2)(11111ωωδωωωδππωωδπω。
