傅里叶变换及小波分析(修改后)

二维离散傅里叶、余弦、小波变换专业班级：10 信息安全学生姓名：***学生学号：_ ************** _指导教师：***完成时间：2022年4月28日数字图像处理实验三：二维离散傅里叶、余弦、小波变换一、实验目的1. 了解图像正变换和逆变换的原理。

2. 了解图像变换系数的特点。

3. 掌握常用图像变换的实现过程。

4. 掌握图像的频谱分析方法。

5. 了解图像变换在图像数据压缩等方面的应用。

二、实验主要仪器设备1. 微型计算机：Intel Pentium 及更高。

2. MATLAB 软件。

三、实验原理二维离散傅里叶变换、余弦变换、小波变换的正逆变换公式，MATLAB 中的上述变换的实现函数以及讨论正交变换的应用。

1. 二维离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform ，DFT ）对于二维傅立叶变换，其离散形式如式（1）所示；逆变换公式如式（2）所示：∑∑-=-=+-=101)//(2),(1),(M x N y N vy M ux j e y x f MN v u F π （1） ∑∑-=-=+=1010)//(2),(),(M u N v N vy M ux j e v u F y x f π （2）频谱公式如式（3）所示：),(),(|),(|),(),(|),(|),(22),(v u I v u R v u F v u jI v u R e v u F v u F v u j +=+==ϕ （3） 由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。

先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。

显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的，这里不再一一赘述。

此外，在实际工程应用中分析幅度谱较多，习惯上也常把幅度谱称为频谱。

小波变换与傅里叶变换的对比分析引言：在信号处理领域，小波变换和傅里叶变换是两种常用的数学工具。

它们在信号的频域分析和时域分析方面有着不同的特点和应用。

本文将对小波变换和傅里叶变换进行对比分析，探讨它们的异同以及各自的优势和适用场景。

一、基本原理1. 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。

它通过将信号分解为一系列正弦和余弦函数的叠加来表示。

傅里叶变换的基本原理是将信号在频域上进行分解，得到信号的频谱信息。

2. 小波变换：小波变换是一种将时域信号转换为时频域信号的数学方法。

它通过将信号分解为一系列小波基函数的线性组合来表示。

小波变换的基本原理是将信号在时频域上进行分解，得到信号的时频特性。

二、分辨率1. 傅里叶变换：傅里叶变换在频域上具有高分辨率，能够精确地表示信号的频谱信息。

但是，傅里叶变换无法提供信号在时域上的信息。

2. 小波变换：小波变换在时频域上具有高分辨率，能够提供信号在时域和频域上的信息。

小波变换通过不同尺度的小波基函数对信号进行分解，可以获得信号的时频局部特征。

三、时频局部性1. 傅里叶变换：傅里叶变换将信号分解为一系列的正弦和余弦函数，其频谱信息是全局性的。

傅里叶变换无法提供信号在不同时间段的时频特性。

2. 小波变换：小波变换将信号分解为一系列的小波基函数，其时频信息是局部性的。

小波变换能够提供信号在不同时间段的时频特性，对于非平稳信号的分析具有优势。

四、应用场景1. 傅里叶变换：傅里叶变换广泛应用于信号滤波、频谱分析和图像处理等领域。

它能够准确地表示信号的频谱信息，对于周期性信号的分析效果较好。

2. 小波变换：小波变换广泛应用于信号压缩、边缘检测和非平稳信号分析等领域。

它能够提供信号在时频域上的局部特征，对于非平稳信号的分析效果较好。

五、小波变换与傅里叶变换的关系小波变换和傅里叶变换是相互关联的。

小波变换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它通过引入尺度参数，对信号进行了更精细的时频分析。

傅里叶变换及小波分析傅里叶变换 (Fourier transform) 和小波分析 (wavelet analysis) 是信号处理中经常使用的两种数学工具。

它们都可以用于将一个时间域的信号转换为频域的表示，从而帮助分析信号的频谱特性和频域处理。

傅里叶变换是一种将一个信号或者函数表示为基本频率成分的叠加形式的方法。

它基于一个假设，即任何一个周期信号可以看作是一系列正弦和余弦函数的加权和。

傅里叶变换将一个定义在时间域中的信号分解为一系列复数频率分量，每个频率分量都表示了信号中特定频率的振幅和相位信息。

这种频域的表示使得我们可以分析信号的频谱特性，包括频率成分的强度和相互之间的关系。

小波分析则是一种将信号分解为一系列多尺度基函数的方法。

与傅里叶变换只考虑特定频率的正弦和余弦函数不同，小波分析使用的基函数包含了时间和频率的局部化特性。

在小波分析中，一组称为小波基函数的窄带信号被用来分析信号。

这些小波基函数具有在时间和频域上局部化的特性，这意味着它们能够捕捉信号中短时的频率变化。

因此，小波分析可以提供更丰富的频谱信息，包括信号的时间定位和频率局部化特性。

傅里叶变换和小波分析在信号处理中有着广泛的应用。

傅里叶变换广泛应用于频域滤波、频谱分析和谱估计等领域。

通过将信号从时间域转换到频域，我们可以分析信号的频率成分和频谱特性，从而实现滤波和频谱修复等处理。

小波分析则广泛应用于信号压缩、边缘检测和图像处理等领域。

小波分析具有时间和频率局部化的特性，因此在一些需要考虑信号中的短时频率变化的应用中具有优势。

除此之外，傅里叶变换和小波分析也可以相互补充。

在一些情况下，我们可以使用傅里叶变换来获取信号的大致频谱特性，然后使用小波分析来进行进一步的细节和局部化分析。

例如，在音频信号的处理中，可以使用傅里叶变换来了解音频信号的整体频谱，然后使用小波分析来定位和分析特定频率范围内的细节和局部化特征。

总之，傅里叶变换和小波分析是信号处理中常用的数学工具。

小波变换与傅里叶变换的对比异同IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】小波变换与傅里叶变换的对比、异同一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。

而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。

展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。

这也就是相似性检测的思想。

但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。

因此，小波在实轴上是紧的。

而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。

而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。

此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。

（时频能量守恒）。

二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。

但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。

第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。

第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。

这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。

借此，计算机的处理才成为可能。

所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。

小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。

但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。

用更为专业的俗语，叫再生核。

也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。

这就叫冗余性。

这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。

但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。

为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。

傅里叶变换的特点：
对于数据信号的去噪,傅立叶变换是将信号完全的放在频率域中分析,但无法给出信号在每一个时间点的变化情况,无论信号在时间轴上任何一点产生突变,都将会影响到整个频域的信号。

因此,傅立叶变换不能有效的区分出信号中出现的尖峰是由突变部分还是不平稳白噪声引起的。

小波变换的特点
小波变换是以某些特定的函数为基,将数据信号展开成级数系列,它是空间(时间)和频率的局部变换,因此,小波变换可同时在时域和频域中对数据信号进行多尺度联合分析,从而能有效地从信号中提取信息。

对于数据信号的去噪,由于小波分析可以同时在时域和频域中对信号进行联合分析,并且它具有多尺度细化分析的功能。

因此,我们可以在不同的分解层上和不同的小波基函数下对信号的突变部分和噪声进行有效的区分,从而实现信号的消噪。

小波变换与傅里叶变换的区别和联系小波变换（WaveletTransform）和傅里叶变换（FourierTransform）是现代信号处理领域的两种重要变换技术。

不论它们有哪些相似之处，这两种变换技术也在许多方面存在本质上的不同。

本文将通过对小波变换和傅里叶变换的综述介绍它们的区别和联系。

一、小波变换小波变换是一种信号处理的重要技术，它的基本思想就是将信号划分成瞬态信号和非瞬态信号，以提取瞬态信号中的特征，从而得到更丰富的信息。

它的实质是将时域的信号转换到时频域的信号，这样可以获取时域信号中隐藏的频率特性。

小波变换有两个主要优势：时间精度高和高分辨率。

它可以准确地定位信号变化的时间；而且，由于小波变换采用分段处理的方式，因此其分辨率更高。

二、傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种时域到频域的变换技术，它可以将时间域的信号转换到频域。

傅里叶变换可以精确地表示频域信号；它可以将平稳信号拆分成不同的频率分量，其变换结果是一个复数函数。

傅里叶变换最大的优势就是其时域到频域的变换非常有效。

傅里叶变换可以将频域信号简化到时域信号，从而可以快速计算出信号的频率特性。

三、小波变换与傅里叶变换的区别（1）小波变换是一种由瞬态信号构成的时频域变换，是将短时信号分解成多个小时间片，获取每个小时间片的频率特性；而傅里叶变换是一种将平稳信号从时域转换到频域的变换技术，它可以将信号拆分成不同的频率分量。

（2）傅里叶变换更侧重于精确表示频域信号；而小波变换更侧重于时精度和高分辨率。

（3）同时，小波变换和傅里叶变换可以获取信号的频率特性，但是它们获取信号的方式有很大不同。

四、小波变换与傅里叶变换的联系小波变换和傅里叶变换都可以获取信号的频率特性，因此，它们也具有一定的共性。

（1）小波变换和傅里叶变换都使用矩阵运算来进行计算，可以有效提高处理速度。

（2）通过比较两种变换技术的优劣，可以帮助使用者更好地选择合适的信号处理技术。

收稿日期：２０２０－０２－１７ 修回日期：２０２０－０６－２２基金项目：海南省自然科学基金资助项目（６１９ＭＳ０７６）作者简介：李社蕾（１９７９－），女，副教授，研究方向为智能算法、人工智能。

谱图傅里叶变换与谱图小波变换基分析研究李社蕾１，２，杨博雄１，２，陆娇娇１，２（１．三亚学院信息与智能工程学院，海南三亚５７２０２２；２．三亚学院陈国良院士工作站，海南三亚５７２０２２）摘　要：卷积神经网络在欧氏数据上取得巨大成功之后，开始在图结构、几何流行等非欧数据上泛化。

当前图卷积神经已成为研究热点。

在数字图像去噪、压缩、增强、融合以及加密方面傅里叶变换与小波变换是不可或缺的处理手段，在图卷积神经中有卷积定理将傅里叶变换用于实现图上的卷积运算，谱图小波变换也只是实现了卷积的快速算法，都是围绕如何在图结构上做卷积而展开的研究，没有真正发挥其作用，大大限制了图卷积神经网络性能的发挥。

该文对谱图傅里叶变换与谱图小波变换基进行分析研究，同时研究基与图结构之间的关系。

实验表明通过谱图傅里叶变换和谱图小波变换可以获取图结构的特征信息，为谱图小波变换和谱图傅里叶变换更深入地与图卷积神经网络结合提供了参考。

关键词：谱图；小波变换；图卷积神经网络；傅里叶变换；卷积定理；本征函数；拉普拉斯算子中图分类号：ＴＮ９１１．３０－３９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－６２９Ｘ（２０２１）０５－００８５－０５ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－６２９Ｘ．２０２１．０５．０１５ＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＳｔｕｄｙｏｆＳｐｅｃｔｒａｌＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＳｐｅｃｔｒａｌＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍＢａｓｉｓＬＩＳｈｅ－ｌｅｉ１，２，ＹＡＮＧＢｏ－ｘｉｏｎｇ１，２，ＬＵＪｉａｏ－ｊｉａｏ１，２（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ＆ＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳａｎｙａ，Ｓａｎｙａ５７２０２２，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｈｅｎＧｕｏｌｉａｎｇＡｃａｄｅｍｉｃｉａｎＷｏｒｋｓｔａｔｉｏｎ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳａｎｙａ，Ｈａｉｎａｎ５７２０２２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＡｆｔｅｒａｃｈｉｅｖｉｎｇｇｒｅａｔｓｕｃｃｅｓｓｉｎＥｕｃｌｉｄｅａｎｄａｔａ，ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｂｅｇａｎｔｏｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｏｎｎｏｎ－Ｅｕｃｌｉｄｅａｎｄａｔａｓｕｃｈａｓｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｏｐｕｌａｒｉｔｙ．Ａｔｐｒｅｓｅｎｔ，ｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｒｖｅｈａｓｂｅｃｏｍｅａｒｅｓｅａｒｃｈｈｏｔｓｐｏｔ．Ｉｎｔｈｅｄｉｇｉｔａｌｉｍａｇｅｄｅｎｏｉｓｉｎｇ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ，ｆｕｓｉｏｎａｎｄｅｎｃｒｙｐｔｅｄ，Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｒｅｉｎｄｉｓｐｅｎｓａｂｌｅｍｅａｎｓｏｆｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ．ＴｈｅｒｅｉｓａｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍｉｎｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｒｖｅｔｏｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｉｏｎｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｂｙｓｐｅｃｔｒａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｆａｓｔｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｂｙｓｐｅｃｔｒａｌｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｔｈｅｓｔｕｄｙｉｓｏｖｅｒｈｏｗｔｏｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｓｏｎｔｈｅｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｗｈｉｃｈｄｏｅｓｎｏｔｒｅａｌｌｙｐｌａｙｉｔｓｒｏｌｅａｎｄｇｒｅａｔｌｙｌｉｍｉｔｓｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｗｅａｎａｌｙｚｅａｎｄｓｔｕｄｙｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｂａｓｉｓｏｆｓｐｅｃｔｒｏｇｒａｍａｎｄａｌｓｏｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｂａｓｉｓａｎｄｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．ＴｈｅｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｇｒａｐｈｓｔｒｕｃｔｕｒｅｃａｎｂｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｔｈｅＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍ，ｗｈｉｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓａｒｅｆｅｒｅｎｃｅｆｏｒｔｈｅｄｅｅｐｅｒｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｎｄＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｔｈｅｓｐｅｃｔｒｕｍｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｏｆｔｈｅｇｒａｐｈ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｐｅｃｔｒａｌ；ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｇｒａｐｈｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋ；Ｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎｔｈｅｏｒｅｍ；ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ｌａｐｌａｃｅｏｐｅｒａｔｏｒ０　引　言在现实世界中，大量数据是以图或者网络的形式存在的，比如社交网络、知识图谱、蛋白质相互作用网、世界贸易网等等。

傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换傅里叶变换是信号处理领域常用的一种数学方法，用于将信号在不同频率上的成分分离开。

它是将一个信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。

傅里叶变换的原理是将一个函数在时间域上的表示转换为频域上的表示。

傅里叶变换可以将一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波的叠加。

这种分解使得我们可以更好地理解信号的频域特性。

傅里叶变换的公式定义如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)是频率域上的复值函数，f(t)是时域上的实值函数，ω是角频率。

傅里叶变换有许多应用领域，例如音频和图像处理。

在音频处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解成不同的频率成分，从而实现声音的频谱分析和滤波。

在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像分解成不同空间频率上的成分，从而实现图像的频域滤波和增强。

然而，傅里叶变换的一个主要缺点是它只能提供信号的频域表示，而不能提供信号的时域信息。

这导致了傅里叶变换在处理一些时变信号时的不足。

为了解决这个问题，人们发展出了一种叫做短时傅里叶变换（STFT）的方法。

短时傅里叶变换将傅里叶变换应用到一小段信号上，然后将这些小段信号的频域表示拼接起来。

这样一来，就可以得到信号在不同时间窗口上的频域表示，从而更好地了解信号在时间和频率上的变化。

短时傅里叶变换的公式定义如下：STFT(x, t, ω) = ∫[x(τ) * w(τ - t) * e^(-iωτ)] dτ其中，x是信号，t是时间，ω是角频率，w是窗函数。

短时傅里叶变换的应用非常广泛。

在语音处理中，短时傅里叶变换可以将一个信号分解成不同时间窗口上的频谱成分，从而实现语音的时频分析和合成。

在音乐处理中，短时傅里叶变换可以实现音乐信号的节拍检测和音高分析。

在图像处理中，短时傅里叶变换可以提取图像的纹理特征和边缘信息。

然而，短时傅里叶变换在处理一些时变信号时也存在一些问题。

例如，窗口函数的选择会影响到短时傅里叶变换的结果。

小波变换和傅里叶变换一、小波变换的基本概念及原理小波变换是一种时频分析方法，它将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数，从而能够更好地描述信号的局部特征。

小波变换与傅里叶变换相比，具有更好的时域局部性和多分辨率特性。

1. 小波基函数小波基函数是一组紧凑支撑的函数，可以用于表示任意信号。

常见的小波基函数包括哈尔、Daubechies、Symlet等。

2. 小波分解小波分解是指将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。

通常采用离散小波变换（DWT）实现。

3. 小波重构小波重构是指将经过小波分解后得到的系数重新合成成原始信号。

通常采用离散小波逆变换（IDWT）实现。

二、傅里叶变换的基本概念及原理傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的方法，能够揭示出信号中各个频率成分所占比例，从而能够更好地描述信号在频域上的特征。

1. 傅里叶级数傅里叶级数是指将周期信号分解成一组正弦、余弦函数的线性组合，通常采用复数形式表示。

2. 傅里叶变换傅里叶变换是指将非周期信号分解成一组连续的正弦、余弦函数的线性组合，通常采用积分形式表示。

3. 傅里叶逆变换傅里叶逆变换是指将经过傅里叶变换后得到的频域信号重新合成成原始信号，通常采用积分形式表示。

三、小波变换与傅里叶变换的比较小波变换和傅里叶变换都是将信号从时域转化为频域的方法，但两者有着明显的区别。

1. 时域局部性小波变换具有更好的时域局部性，即小波基函数在时间上具有紧凑支撑。

而傅里叶基函数则是在整个时间轴上存在。

2. 多分辨率特性小波变换具有多分辨率特性，可以将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。

而傅里叶变换则只能得到整体频谱信息。

3. 计算复杂度小波变换的计算复杂度比傅里叶变换低，因为小波基函数具有局部性质，可以在不同尺度上分别计算。

而傅里叶变换则需要对整个信号进行计算。

4. 应用领域小波变换主要应用于信号的时频分析、图像处理等领域。

而傅里叶变换则主要应用于通信、音频处理等领域。

小波变换与傅里叶变换小波变换和傅里叶变换是两种非常常用的信号处理方法，它们可以用来分析和处理信号，以便更好地理解信号的特性，从而实现更好的控制和应用。

下面分别介绍这两种变换的基本原理和应用。

一、小波变换小波变换（Wavelet Transform）是一种将信号分解成一系列基本小波函数的方法，可以用于处理具有不同频率的信号。

采用小波变换的目的是将复杂的信号分解成简单的构建块，以便更好地理解信号，从而更好地处理和控制信号。

小波变换的优点在于它可以提供更好的时间和频率局部性，这是傅里叶变换所缺乏的。

另外，小波变换中的小波函数可以以多种形式出现，从而使得对信号进行分解更加灵活和精确。

小波变换的应用包括信号压缩、信号去噪、图像处理、数据处理等方面，广泛应用于计算机视觉、音频识别、医学图像处理等领域。

二、傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号分解成一系列正弦和余弦函数的方法，可以用于分析具有不同频率的信号。

傅里叶变换的目的是将时域信号转换到频域，以便更好地进行分析和处理。

傅里叶变换的优点在于它可以提供全局频率信息，可以揭示信号的周期性和频率成分。

另外，傅里叶变换可以将时域信号转化为时频分布图像，以便更好地理解信号。

傅里叶变换的应用包括音频信号分析、光学信号分析、图像处理等方面，广泛应用于通信、电子、生物医学等领域。

三、小波变换和傅里叶变换的比较小波变换和傅里叶变换都是常用的信号处理方法，它们各有优缺点。

一些比较如下：1. 时间和频率局部性：小波变换提供更好的时间和频率局部性，而傅里叶变换则提供全局频率信息。

2. 分解形式：小波变换中的小波函数可以以多种形式出现，从而使得对信号进行分解更加灵活和精确。

傅里叶变换采用正弦和余弦函数来表示信号，这些函数的组合较少，可能无法适应复杂信号的分解需要。

3. 计算复杂度：小波变换和傅里叶变换都是计算复杂度较高的信号处理方法，但小波变换需要更多的计算和存储资源。

傅里叶变换与小波变换的比较分析傅里叶变换与小波变换都是信号处理中常用的数学工具，它们的目的是将一个特定的各种信号分解成其基本成分。

这些成分能够使得我们更好地理解信号的本质，并且在提取有用信息方面非常重要。

虽然这两个工具在原理上都是用于分析信号的，但它们之间存在明显的差异，本文将就其分别进行详细分析和比较。

傅里叶变换(Fourier Transform)是一个非常重要的数学工具，它可以将一个信号分解成其不同频率的成分。

换句话说，它可以将时域信号转换成频域信号，进而可以对其进行频谱分析，得出其频率成分的强弱。

如果一个信号是由若干个频率不同的正弦波叠加而成，那么傅里叶变换可以将其分解成不同频率的正弦波。

不仅如此，FFT(快速傅里叶变换)的发明更加速了对信号的频域分析。

小波变换(Wavelet Transform)是一种分析时域信号的数学工具。

该工具可以将信号分解成具有不同频率和时间分辨率的小波基成分。

这种分解方式具有时间域和频域的优点，因此可以对信号的局部特征进行较好的分析。

相比于傅里叶变换，小波变换在处理非线性问题、非平稳信号和信号突变点等问题上具有很好的应用实例。

在计算速度方面，傅里叶变换有着很大的优势。

由于傅里叶变换基于频域的分析，相比于时域信号，其重要的时间数据相对较少，因此可以大大加快计算速度。

这也是FFT（快速傅里叶变换）能够以较快的速度计算出傅里叶变换的主要原因。

相比较而言，小波变换的计算速度更慢。

这是因为小波变换需要同时考虑时间和频域信息，因此需要更复杂的算法和计算方式。

同时，小波变换的基函数需要满足一些特定的条件，这也增加了计算的复杂度。

在信号信息提取方面，小波变换则更具优势。

在信号分析方面，小波变换不仅可以提供整个信号的频率信息，而且可以提供信号的局部信息，例如信号的突变点、瞬时频率等特征。

当一个信号的主要频率成分集中在小时间窗口内时，小波变换可以更好地检测和分析这个信号。

相反，傅里叶变换不能提供这样的局部时间-频率分析，因为其只能计算整个信号的功率谱密度。

傅立叶分析和小波分析之间的关系之通俗终极版转载请注明出处和作者知乎作者:咚懂咚懂咚从傅里叶变换到小波变换，并不是一个完全抽象的东西，完全可以讲得很形象。

小波变换有着明确的物理意义，如果我们从它的提出时所面对的问题看起，可以整理出非常清晰的思路。

下面我就按照傅里叶-->短时傅里叶变换-->小波变换的顺序，讲一下为什么会出现小波这个东西、小波究竟是怎样的思路。

（反正题主要求的是通俗形象，没说简短，希望不会太长不看。

）一、傅里叶变换关于傅里叶变换的基本概念在此我就不再赘述了，默认大家现在正处在理解了傅里叶但还没理解小波的道路上。

（在第三节小波变换的地方我会再形象地讲一下傅里叶变换）下面我们主要将傅里叶变换的不足。

即我们知道傅里叶变化可以分析信号的频谱，那么为什么还要提出小波变换？答案就是方沁园所说的，“对非平稳过程，傅里叶变换有局限性”。

看如下一个简单的信号：做完FFT（快速傅里叶变换）后，可以在频谱上看到清晰的四条线，信号包含四个频率成分。

一切没有问题。

但是，如果是非平稳信号呢？如上图，最上边的是频率始终不变的平稳信号。

而下边两个则是频率随着时间改变的非平稳信号，它们同样包含和最上信号相同频率的四个成分。

做FFT后，我们发现这三个时域上有巨大差异的信号，频谱却非常一致。

尤其是下边两个非平稳信号，我们从频域上无法区分它们，因为它们包含的四个频率的信号的成分确实是一样的，只是出现的先后顺序不同。

可见，傅里叶变换处理非平稳信号有天生缺陷。

它只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。

因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

然而平稳信号大多是人为制造出来的，自然界的大量信号几乎都是非平稳的，所以在比如生物医学信号分析等领域的papers中，基本看不到单纯傅里叶变换这样naive的方法。

上图所示的是一个正常人的事件相关电位。

对于这样的非平稳信号，只知道包含哪些频率成分是不够的，我们还想知道各个成分出现的时间。

傅立叶变换和小波分析收藏无论是傅立叶变换还是小波变换，其实质都是一样的，既：将信号在时间域和频率域之间相互转换，从看似复杂的数据中找出一些直观的信息，再对它进行分析。

由于信号往往在频域有比在时域更加简单和直观的特性，所以，大部分信号分析的工作是在频域中进行的。

音乐——其实就是时/频分析的一个极好例子，乐谱就是音乐在频域的信号分布，而音乐就是将乐谱变换到时域之后的函数。

从音乐到乐谱，是一次傅立叶或小波变换；从乐谱到音乐，就是一次傅立叶或小波逆变换。

1、傅立叶变换可以理解为：任意一条在实数域内有意义的曲线都可以分解为若干个正弦曲线的叠加。

傅立叶变换与分形的原理其实是同源的，不要小瞧这个变换，它可能就是宇宙的一个最基本法则。

换句通俗的话说就是：无论多么复杂的物质，都可以用几种简单的基本物质通过一定方式的组合来构成。

小到分子原子，中到地形地貌，大到银河系宇宙，其实都是这样。

但是，傅立叶变换也有它的缺陷。

由于正弦波是无限宽度的，这使得被分析的信号也需要具有从负无穷大到正无穷大都有意义的特性，所以傅立叶变换不能很好的处理一些局部信号。

比如，一个在局部范围内有非0值而其余所有地方都等于0的函数，它的频谱会呈现出一幅相当混乱的状况。

这时，频域的信号反而不如时域的直观，频谱分析变得很艰难。

2、小波分析为了克服傅立叶变换的这些缺陷，数学家和工程师们已经开发出若干种使用有限宽度基函数进行变换的方法。

这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，这些有限宽度的波被称为“小波”（Wavelet）。

基于它们的变换被称为“小波变换”（Wavelet transforms）。

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。

傅里叶变换与小波变化第一个问题：傅里叶变换和傅里叶级数什么关系？动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。

周期信号靠傅立叶级数，非周期信号靠傅立叶变换。

傅里叶级数是将函数展开成正弦的相加，傅里叶变换是解决其如何展开的一个公式或方法，最后变换的结果是用频域表示出来的。

当原函数为非周期函数的时候，则可以看成周期无穷大，频率w无穷小的情况，同样通过傅立叶级数进行展开，可是这时候可以看到，每一项前面的系数都开始趋于无穷小，但是这个原函数确实是由各种频率分量组合而成的，只不过每一个分量的作用都非常小。

这时候为了看到各种频率分量之间的关系，前辈们在以上这个无穷小的系数上除了一个无穷小量w，这样得到了一般意义上的傅立叶变换，每个频率分量代表着各自的相对大小。

第二个问题：傅里叶变换将时域转换为频域，但是请问什么是频域？所有的函数都能表示为正弦（或余弦）函数的叠加，这里就有两个可以控制的因素了，一个是正弦函数的频率，一个是相应频率的正弦函数所对应的幅度大小，这两种信息完全可以描述这函数。

以频率为x 轴，幅度值为y轴就代表了这个函数。

一般的描述方法是时域的，就是幅值大小随时间变化的关系，但我们完全可以不考虑时间的，它可以包含在频率这个信息中，把这些信息进行重整，就有频域这样一种描述方法了。

频域是描述信号在频率方面特性的一种坐标系，而对于一个信号来说，它也有很多方面的特性。

如信号强度随时间的变化规律（时域特性），信号是由哪些单一频率的信号合成的（频域特性）第三个问题：小波变换信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号所包含的重要信息能显现出来。

小波分析属于信号时频分析的一种，在小波分析出现之前，傅立叶变换是信号处理领域应用最广泛、效果最好的一种分析手段傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和。

正是傅立叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。

深度解析小波变换与傅里叶变换的区别和联系如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好（深入理解概念），是否能学好小波？答案是否定的。

如果有人还问我，如果第一代小波变换没学好，能否学好第二代小波变换？答案依然是否定的。

但若你问我，没学好傅里叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换？答案是肯定的。

一、基的概念两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和(叠加)。

而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。

展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。

这也就是相似性检测的思想。

但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。

因此，小波在实轴上是紧的。

而傅里叶的基(正弦或余弦)，与此相反。

而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。

此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。

(时频能量守恒)。

二、离散化的处理傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。

但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。

第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换(DTFT)，频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数(DFS)，时域进一步被周期化。

第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换(DFT)。

这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。

借此，计算机的处理才成为可能。

所有满足容许性条件(从-INF到+INF积分为零)的函数，都可以成为小波。

小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。

但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。

用更为专业的俗语，叫再生核。

也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。

这就叫冗余性。

这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。