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回归模型介绍

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回归模型介绍

回归模型是统计学和机器学习中常用的一种建模方法，用于研究自变量（或特征）与因变量之间的关系。回归分析旨在预测或解释因变量的值，以及评估自变量与因变量之间的相关性。以下是回归模型的介绍：

• 线性回归（Linear Regression）： 线性回归是最简单的回归模型之一，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。 简单线性回归涉及到一个自变量和一个因变量，而多元线性回归包含多个自变量。 线性回归模型的目标是找到一条最佳拟合直线或超平面，使得预测值与实际观测值的误差最小。 模型的形式可以表示为：

𝑌=𝑏0+𝑏1𝑋1+𝑏2𝑋2+⋯+𝑏𝑝𝑋𝑝+𝜀

其中，𝑌是因变量， 𝑋1,𝑋2,…𝑋𝑝 是自变量，𝑏0,𝑏1,…,𝑏𝑝 是回归系数，𝜀是误差项。

• 逻辑回归（Logistic Regression）： 逻辑回归是用于处理分类问题的回归模型，它基于逻辑函数（也称为S形函数）将线性组合的值映射到概率范围内。 逻辑回归常用于二元分类问题，例如预测是否发生某个事件（0或1）。 模型的输出是一个概率值，通常用于判断一个样本属于某一类的概率。 逻辑回归的模型形式为：

𝑃(𝑌=1)=11+𝑒𝑏0+𝑏1𝑋1+𝑏2𝑋2+⋯+𝑏𝑝𝑋𝑝

其中𝑃(𝑌=1)是事件发生的概率，𝑏0,𝑏1,…,𝑏𝑝是回归系数，𝑋1,𝑋2,…𝑋𝑝是自变量。

• 多项式回归（Polynomial Regression）： 多项式回归是线性回归的扩展，允许模型包括自变量的高次项，以适应非线性关系。 通过引入多项式特征，可以更灵活地拟合数据，但也可能导致过拟合问题。 模型形式可以表示为：

𝑌=𝑏0+𝑏1𝑋+𝑏2𝑋2+⋯+𝑏𝑝𝑋𝑝+𝜀

其中，𝑋是自变量，𝑋2,𝑋3,…,𝑋𝑝是其高次项。

• 岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）： 岭回归和Lasso回归是用于解决多重共线性问题的回归技术。 这些方法引入了正则化项，以减小回归系数的大小，防止模型过度拟合。 岭回归使用L2正则化，Lasso回归使用L1正则化，它们的区别在于正则化惩罚的形式。 回归模型广泛应用于各个领域，包括经济学、金融学、医学、工程学和机器学习等。选择合适的回归模型取决于问题的性质和数据的特点，以及对模型的解释性和预测性能的需求。

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多项式回归、非线性回归模型

多项式回归、非线性回归模型

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多项式回归、非线性回归模型

关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型

一、回归方程的统计检验

1. 拟合优度检验

1. 概念介绍

SST总离差平方和total

SSR回归平方和regression

SSE剩余平方和error

niiiniiiniiiniiiyyyyyyyyR121212122)()ˆ()()ˆ(1

2. 例题1

存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。

2. 回归方程的显著性检验

)2/()2/()ˆ()ˆ(1212nSSESSAnyyyyFniiiniii

例6（F检验）

在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：

表5 X射线照射次数与残留细菌数的方差分析表

来源 平方和 自由度 均方 比 值

回归 34.327RS 184.94 0.0000

残差

总计

这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

3. 回归系数的显著性检验

4. 残差分析

二、一元多项式回归模型 Fp1Rf34.327RMS72.17eS10ef77.1eMS06.345TS11Tf2

模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：

0111axaxaxaynnnn

例1（多项式回归模型）

为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为t，照射后的细菌数为y见表1。试求：

（1）给出y与t的二次回归模型。

（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。

（3）预测16t时残留的细菌数。

（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？

地理加权回归模型介绍

地理加权回归模型介绍

第三章 地理加权回归模型介绍

3.1 基本模型

在地学空间分析中，n组观测数据通常是在n个不同地理位置上获取的样本数据，全局空间回归模型就是假定回归参数与样本数据的地理位置无关，或者说在整个空间研究区域内保持稳定一致，那么在n个不同地理位置上获取的样本数据，就等同于在同一地理位置上获取的n个样本数据，其回归模型与最小二乘法回归模型相同，采用最小二乘估计得到的回归参数户既是该点的最优无偏估计，也是研究区域内所有点上的最优无偏估计。而在实际问题研究中我们经常发现回归参数在不同地理位置上往往表现为不同，也就是说回归参数随地理位置变化，这时如果仍然采用全局空间回归模型，得到的回归参数估计将是回归参数在整个研究区域内的平均值，不能反映回归参数的真实空间特征。为了解决这一问题，国外有些学者提出了空间变参数回归模型（Spatially Varying-Coeffi Cient Regression Model） （Fosterand Gorr，1986； Gorrand

Olligschlaeger，1994），将数据的空间结构嵌入回归模型中，使回归参数变成观测点地理位置的函数。Fortheringham等（Brunsdonetal，1996；Fortheringham et al，1997；Brunsdon et al，1998）在空间变系数回归模型基础上利用局部光滑思想，提出了地理加权回归模型（Geographieally Weighted Regression Model-GWR）。

地理加权回归模型（GWR）是对普通线性回归模型（OLR）的扩展，将样点数据的地理位置嵌入到回归参数之中，即：

式中：（ui，vi）为第i个样点的坐标（如经纬度）；βk（ui，vi）是第i个样点的第k个回归参数；εi是第i个样点的随机误差。为了表述方便，我们将上式简写为：

若𝛽1𝑘=𝛽2𝑘=⋯=𝛽𝑛𝑘，则地理加权回归模型（GWR）就退变为普通线性回归模型（OLR）。

地理加权回归模型介绍 2

地理加权回归模型介绍 2

地理加权回归模型介绍

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

第三章 地理加权回归模型介绍

基本模型

在地学空间分析中，n组观测数据通常是在n个不同地理位置上获取的样本数据，全局空间回归模型就是假定回归参数与样本数据的地理位置无关，或者说在整个空间研究区域内保持稳定一致，那么在n个不同地理位置上获取的样本数据，就等同于在同一地理位置上获取的n个样本数据，其回归模型与最小二乘法回归模型相同，采用最小二乘估计得到的回归参数户既是该点的最优无偏估计，也是研究区域内所有点上的最优无偏估计。而在实际问题研究中我们经常发现回归参数在不同地理位置上往往表现为不同，也就是说回归参数随地理位置变化，这时如果仍然采用全局空间回归模型，得到的回归参数估计将是回归参数在整个研究区域内的平均值，不能反映回归参数的真实空间特征。为了解决这一问题，国外有些学者提出了空间变参数回归模型（Spatially Varying-Coeffi Cient Regression Model） （Fosterand Gorr，1986；

Gorrand Olligschlaeger，1994），将数据的空间结构嵌入回归模型中，使回归参数变成观测点地理位置的函数。Fortheringham等（Brunsdonetal，1996；Fortheringham et al，1997；Brunsdon et al，1998）在空间变系数回归模型基础上利用局部光滑思想，提出了地理加权回归模型（Geographieally Weighted Regression Model-GWR）。

地理加权回归模型（GWR）是对普通线性回归模型（OLR）的扩展，将样点数据的地理位置嵌入到回归参数之中，即：

式中：（ui，vi）为第i个样点的坐标（如经纬度）；βk（ui，vi）是第i个样点的第k个回归参数；εi是第i个样点的随机误差。为了表述方便，我们将上式简写为：

线性回归模型

线性回归模型

线性回归模型

1.回归分析

回归分析研究的主要对象是客观事物变量之间的统计关系，它是建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，用来寻找隐藏在那些看上去是不确定的现象中的统计规律性的方法。回归分析方法是通过建立模型研究变量间相互关系的密切程度、结构状态及进行模型预测的一种有效工具。

2.回归模型的一般形式

如果变量x_1,x_2,…,x_p与随机变量y之间存在着相关关系，通常就意味着每当x_1,x_2,…,x_p取定值后，y便有相应的概率分布与之对应。随机变量y与相关变量x_1,x_2,…,x_p之间的概率模型为

y = f(x_1, x_2,…,x_p) + ε （1）

f(x_1, x_2,…,x_p)为变量x_1,x_2,…,x_p的确定性关系，ε为随机误差项。由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。

当概率模型（1）式中回归函数为线性函数时，即有

y = beta_0 + beta_1*x_1 + beta_2*x_2 + …+ beta_p*x_p +ε (2)

其中，beta_0，…,beta_p为未知参数，常称它们为回归系数。当变量x个数为1时，为简单线性回归模型，当变量x个数大于1时，为多元线性回归模型。

3.回归建模的过程

在实际问题的回归分析中，模型的建立和分析有几个重要的阶段，以经济模型的建立为例：

否

是

具体社会经济问题

设置指标变量

收集整理数据

构造理论模型

估计模型参数

模型

检验

模型运用

经济因素分析 经济变量控制 经济决策预测 修改

（1）根据研究的目的设置指标变量

回归分析模型主要是揭示事物间相关变量的数量关系。首先要根据所研究问题的目的设置因变量y，然后再选取与y有关的一些变量作为自变量。通常情况下，我们希望因变量与自变量之间具有因果关系。尤其是在研究某种经济活动或经济现象时，必须根据具体的经济现象的研究目的，利用经济学理论，从定性角度来确定某种经济问题中各因素之间的因果关系。