2018-2019学年江苏省无锡市高二(上)期末数学试卷(解析版)

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2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答

案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．

2．（5分）（文科）命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是 ．

3．

（理科）已知向量＝（2，4，5）

，＝（3，x，y）

，若

∥，则xy＝ ．

4．（5

分）过椭圆的左焦点F

1作直线l交椭圆于A，B两点，则△ABF

2（其中

F

2为椭圆的右焦点）的周长为 ．

5．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若

m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m

∥n；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是 ．

6．（5分）以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是 ．

7．（5分）

函数在[a，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围为 ．

8．（5分）

如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ．

9．（5分）圆O

1：x2+y2+6x﹣7＝0与圆O

2：x2+y2+6y﹣27＝0的位置关系是 ．

10．（5分）函数f（x）＝x﹣2sinx，x∈[0，π]的最小值为 ．

11．（5

分）与双曲线

﹣＝1有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2）的双曲线方

程是 ．

12．（5分）正三棱柱ABC﹣A

1B

1C

1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，则三棱

锥A﹣B

1C

1D的体积为 ．

13．（5分）抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0于点A，B，若AB＝8，则

抛物线的焦点为 ．

14．（5

分）已知函数，若f（x

1）＝f（x

2）＝f（x

3）（x

1＜x

2＜x

3），则

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的取值范围为 ．

15．（5分）有公共焦点F

1，F

2的椭圆和双曲线的离心率分别为e

1，e

2，点A为两曲线的一

个公共点，且满足∠F

1AF

2＝90

°，则的值为 ．

二、解答题（本大题共4小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字

说明，证明过程或演算步骤．）

16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，DP⊥平面PBC，E，F分

别为PA与BC的中点．

（1）求证：BC⊥平面PDC；

（2）求证：EF∥平面PDC．

17．（14分）已知△ABC的内角平分线CD的方程为2x+y﹣1＝0，两个顶点为A（1，2），B

（﹣1，﹣1）．

（1）求点A到直线CD的距离；

（2）求点C的坐标．

18．（14分）（文科）已知m为实数，命题P：“x≥m是x≥0的充分不必要条件”；命题Q：

“若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣m）2+y2＝2有公共点”．若“P且Q”为假命题，“P或Q”

为真命题，求m的取值范围．

19．（理科）如图，在三棱柱ABC﹣A

1B

1C

1中，侧棱与底面垂直，∠BAC＝90°，AB＝AC

＝AA

1＝2，点M，N分別为A

1B和B

1C

1的中点．

（1）求异面直线A

1B与NC所成角的余弦值；

（2）求A

1B与平面NMC所成角的正弦值．

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20．（16分）设直线l的方程为x+my﹣1﹣m＝0（m∈R），圆O的方程为x2+y2＝r2（r＞0）．

（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；

（2）当时，直线x+2y﹣t＝0与圆O交于M，N

两点，若，求

实数t的取值范围．

21．（16分）已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直

线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．

22．（16

分）已知函数，a≠0．

（1）当a＝1时，求：①函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；②函数f（x）

的单调区间和极值；

（2

）若不等式恒成立，求a的值．

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2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答

案填写在答题卡相应的位置上．）

1．【解答】解：由直线x﹣y+1＝0变形得：y＝x+1

所以该直线的斜率k＝1，

设直线的倾斜角为α，即tanα＝1，

∵α∈[0，180°），

∴α＝45°．

故答案为：45°．

2．【解答】解：命题“存在x∈R，x2+x＜0”的否定是：任意的x∈R，x2+x≥0，

故答案为：任意的x∈R，x2+x≥0．

3．【解答】

解：∵

∥，∴存在实数k

使得＝

k．

∴，则xy

＝

＝＝45．

故答案为：45．

4．【解答】

解：由椭圆可得a＝2；

椭圆的定义可得：|AF

1|+|AF

2|＝|BF

1|+|BF

2|＝2a＝4．

∴△ABF

2的周长＝|AB|+|AF

2|+|BF

2|＝|AF

1|+|BF

1|+|AF

2|+|BF

2|＝8．

故答案为：8．

5．【解答】解：由m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：

在①中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故①正确；

在②中，若α∥β，β∥γ，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；

在③中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③错误；

在④中，α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．

故答案为：①②．

6．【解答】解：以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的半径为r＝＝

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，

故圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣3）2＝13，

故答案为：（x+2）2+（y﹣3）2＝13．

7．【解答】

解：由，得f′（x

）＝（x＞0），

函数f′（x）在（0，+∞）上为增函数，

要使函数在[a，a+1]上单调递减，

则，解得0＜a≤1．

∴实数a的取值范围为（0，1]．

故答案为：（0，1]．

8．【解答】

解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，

∴a2＞a+12＞0，解得a＞4或﹣12＜a＜﹣3，

∴实数a的取值范围是（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．

故答案为：（﹣12，﹣3）∪（4，+∞）．

9．【解答】解：圆O

1：x2+y2+6x﹣7＝0，化为标准方程为（x+3）2+y2＝16，圆心为（﹣3，

0），半径为4，

圆O

2：x2+y2+6y﹣27＝0，化为标准方程为x2+（y+3）2＝36，圆心为（0，﹣3），半径为

6，

圆心距为3

∵6﹣4＜3＜6+4，

∴两圆相交，

故答案为：相交．

10．【解答】解：因为f（x）＝x﹣2sinx，所以f′（x）＝1﹣2cosx，

当

0时，f′（x）≤0，

当时，f′（x）≥0，

即函数f（x）在[0

，]为减函数，在

[，π]为增函数，

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故f（x）

min＝f

（

）＝，

故答案为：．

11．【解答】

解：与双曲线

﹣＝1有公共的渐近线，

设所求双曲线的方程为

﹣＝m（m≠0），

代入点A（﹣3，2），得m

＝．

则所求双曲线的方程为

﹣

＝．

故答案为：．

12．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A

1B

1C

1中，∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCC

1B

1，且平面ABC∩平面BCC

1B

1＝BC，

∴AD⊥平面BCC

1B

1

，则． 故答案为：．

13．【解答】解：抛物线的准线方程为：y

＝﹣，

圆x2+y2+6y﹣16＝0，可得圆心（0，﹣3），半径为：5，

抛物线x2＝2py（p＞0）的准线交圆x2+y2+6y﹣16＝0于点A，B，若AB＝8，

可得：，

解得：p＝12．

抛物线x2＝24y，

抛物线的焦点坐标：（0，6）．

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故答案为：（0，6）．

14．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝xex，

∴f′（x）＝（1+x）ex，

当x＜﹣1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

∴f（x）

min＝f（﹣1

）＝﹣，

当x→﹣∞时，f（x）→0，当x＝0时，f（0）＝0，

∴当x≤0时，f（x）∈[

﹣，0），

分别画出y＝x

﹣与y＝xex﹣的图象，如图所示，

∵﹣1＜x

2＜0，

∴﹣＜f（x

2）＜0，

当﹣＜x

3

﹣＜0时，

∴＜x

3

＜，

∴∈（﹣1，0）．

故答案为：（﹣1，0）．

15．【解答】解：可设A为第一象限的点，|AF

1|＝m，|AF

2|＝n，

由椭圆的定义可得m+n＝2a，

由双曲线的定义可得m﹣n＝2a'

可得m＝a+a'，n＝a﹣a'，

由∠F

1AF

2＝90°，可得

m2+n2＝（2c）2，