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电路 第十三章 拉普拉斯变换

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《电路》第十三章 拉普拉斯变换

《电路》第十三章 拉普拉斯变换

S
12
3.积分性质
设： [ f (t)] = F (s)
则：
∫t
[ 0−
f
(t)dt] =
1 F(s) s
证：令
∫t
[ 0−
f (t)dt] =
φ( s )
[ f (t)] =
⎡ ⎢⎣
d dt
∫t 0−
f
(t
)dt
⎤ ⎥⎦
F(s) =
sφ(s) −
∫t 0−
f (t)dt
t =0−
应用微分性质
∴ φ(s) = F (s) s
注 f (t − t0) = 0 当 t < t0
[ ] ∫ 证：
f(t - t0 )
=
∞ 0−
f (t − t0 )e−stdt
∫=
f (t − t )e e dt ∞
f (t) = δ (t)
∫ F (s) =
[δ (t)] =
∞ 0−
δ
(
t
)e
−
st
dt
∫=
δ0+
0−
(
t
)e − st dt
= e−s0 = 1
(3)指数函数的象函数
f ( t ) = eat
[ ] ∫ F( s ) =
e at
=
e e dt ∞ at −st
0−
= − 1 e−(s−a)t s−a
1
− jω
−
S
1⎤
+ jω ⎥⎦
=
ω S2 +ω2
9
2. 微分性质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若： [ f ( t ) ] = F ( S )

第十三章 拉普拉斯变换

第十三章 拉普拉斯变换

拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的 方法间接求得。 设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数，且 n ≥m 。
N ( s ) a0 s m + a1s m −1 + L + am F ( s) = = D( s ) b0 s n + b1s n −1 + L + bn
∞
−
F (s) f (ξ )dξ ] = s
e-stdt，
利用∫ udv = uv − ∫ vdu
则： 0 [(
1 − st ∴ du = f (t )dv，v = − e s
− st ∞
∫ ∫
= (∫
t
t
0−
f (ξ )dξ )e − st dt ] = ( ∫
t
0−
0−
e f (ξ )dξ ) −s
16
例：13-7
s+3 求：F(s) = 2 的原函数f (t ) s + 2s + 5
17
3、D(s)=0 具有q阶重根p1 ， 其余为单根p2、 p3、
K11 K2 则：F ( s ) = + +L+ +( + L) 2 q s − p1 ( s − p1 ) ( s − p1 ) s − p2
则 f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。 本书涉及的f(t)均满足上述条件
1 c + j∞ 拉普拉斯反变换的定义： f (t ) = F ( s )e st ds 2πj ∫c − j∞
式中，M , c为正的有限常数
−1
用 [ ]表示对中括号中的时域函数作拉氏变换 用 [ ]表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换 例如：F(s)= [f(t)]=

13-1拉普拉斯变换

13-1拉普拉斯变换


j
F
(S
)e
st
ds
3
定义在 (0, ) 区域内的函数 f (t) ，如果满足下列两个 条件：
（1） t 0 的任一有限区间内， f (t) 分段连续； （2）在 t 充分大时， f (t) 满足不等式
| f (t) | Mect 其中 M、C 为实常数（即 f (t) 为一指数函数），则 f (t) 的拉氏变换 F (s) f (t)est dt ，在复平面上
f (t)est ，再在（0－，∞）内对 t 积分，该积分称为单边
拉普拉斯（Laplace）正变换，简称拉氏变换。 L[ f (t)] F (s) f (t)estdt
0
式中 s j 为复数（复频率变量） 上式对 t 求定积分后，变成了复变量 s 的函数，所以记作 F(s) 。
∴
|
0
f (t)e st dt |
M e ( c)t dt
0
当 c 0 ，即 c ，即 Re(s) c 时， M e( c)t dt 是
0
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

电路十拉普拉斯变换

电路十拉普拉斯变换
（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值 和电容电压初始值 ；
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。

电路(第五版)邱关源原著电路教案第13章拉普拉斯变换

电路(第五版)邱关源原著电路教案第13章拉普拉斯变换

第13章 拉普拉斯变换● 本章重点1、 掌握几个常见函数的拉氏变换。

2、 掌握部分分式展开法；3、运算法求解暂态过程。

● 本章难点 1、作运算电路● 教学方法本章讲述了线性动态电路的频域分析法，即拉普拉斯变换法（又称运算法）。

对KCL 和KVL 运算形式及元件VCR 运算形式、运算阻抗和导纳、运算电路等重点和难点内容，讲述中不仅要讲清基本概念，还要强调和时域形式、相量形式的对应关系，并通过实例加以分析，讲清运算法在电路中的运用。

课后布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。

本章以讲授为主，共用4课时。

● 授课内容13.1拉普拉斯变换的定义 拉氏正变换：F(S)=()dt e t f St -∞⎰-拉氏反变换：f(t)=dS e S F j St J J ⎰+-ωσωσπ)(21拉氏变换的作用：时域 复频域微分方程 代数方程 微积分运算 代数运算 一、三个常见函数的拉氏变换1、 阶跃函数ε(t)L[ε(t)]=S 12、 指数函数t e α-L[te α-]=α+S 13、 冲激函数()t δ L[()t δ]=1 二、拉氏变换的性质微分性质：L [f’(t)]=SF(S)-f(0-) 三、拉氏反变换（部分分式展开法）1、 分母多项式存在n 个单根()()()()()n P S P S P S S F S F +++=211=nn P S A P S A P S A +++++ 2211其中：()()111P S P S S F A -=+=()()222P S P S S F A -=+=()()n n n P S P S S F A -=+=例：求原函数()10712+++=S S S S F 解：()()()5252121+++=+++=S A S A S S S S F()()31221-=-=+=S S S F A ()()34552=-=+=S S S F A ∴()53/423/1+++-=S S S F ∴()tt e e t f 523431--+-= 2、 分母多项式存在重根()()()()()nn nP S A P S A P S A P S S F S F +++++=+=2211 其中：()()P S S F P S A nn -=⋅+=()()P S dSs F p s d A n n -=⋅+=--11()()()P S dSs F p s d n A n n n -=⋅+-=---111!111 13.2用拉氏变换法（运算法）分析电路 一、基本定律的运算形式1、 KCL ：()0=∑S I 2、KVL ：()0=∑S U二、R 、L 、C 伏安关系的运算形式1、电阻 i(t)Ru(t)=R i(t)U(S)=R I(S)2、电感I(S) SL - Li L (0-)+ u(t)=L dtdi lU(S)=SLI(S) - Li L (0-) 2、 电容拉氏正变换 I(S) + u(t) -+U(S) - i(t)=Cdt du c ()()()SuS I SC S U c C C -+=01三、运算法分析线性电路动态过程的步骤1、 求初值u c (0-)、i L(0-)；2、 将激励拉氏正变换；3、 作运算等效电路；4、 用求解线性电路的方法求响应；5、 将响应拉氏反变换回到时域。

第13章 拉普拉斯变换

第13章 拉普拉斯变换

k2 s2

k3 s5

0 .1 s

0 .5 s2

0 .6 s5
k 1 sF ( s )
s0

1 25
0 .1
k1
2s 1 3s 14s 10
2 s0

1 10
0 .1
k 2 ( s 2 ) F ( s ) s 2
2( 2) 1 2 ( 2 5)
I2(s) + sL2
+ i1
u1 –
u 1 L1
M
L1 L2
i2
+
u2 –
+ –
+ – + –
+
L2i2(0-)
U2(s)
–
Mi1(0-)
+
–
d i1 dt d i2 dt
M
d i2 dt
U 1 ( s ) sL 1 I 1 ( s ) L1 i 1 ( 0 ) sMI 2 ( s ) Mi 2 ( 0 ) U 2 ( s ) sL 2 I 2 ( s ) L 2 i 2 ( 0 ) sMI 1 ( s ) Mi 1 ( 0 )
本章重点：
1. 运算形式的电路定律和元件约束
2. 用运算法分析线性电路
§13－1 拉普拉斯变换的定义
一、定义
F 双边拉氏变换：( s ) F 单边拉氏变换：( s ) 1 f (t ) 拉氏反变换： 2 j

f (t ) e

0
c j
c j
把傅氏变换的 j s j F f ( t ) e dt 记作 ( s ) L [ f ( t )] 正变换 1 F ( s ) e ds 记作 f ( t ) L [ F ( s )] 反变换

电路第十三章拉普拉斯变换

电路第十三章拉普拉斯变换

电路第十三章拉普拉斯变换第十三章拉普拉斯变换内容提要本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。

主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理),还将介绍KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。

目录§13—1拉普拉斯变换的定义§13—2拉普拉斯变换的基本性质§13—3拉普拉斯反变换的部分分式展开§13—4运算电路§13—5应用拉普拉斯变换法分析线性电路本章作业13—1(2)(4)(6)(8)、13—2(1)(3)、13—3(2)(4)、13—4、13—12、12—16、12—18§13—1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种数学变换。

定义：F()=∫f(t)e–tdt0–∞S=σ+jω拉普拉斯正变换1σ+j∞F()etdf(t)=拉普拉斯反变换2πj∫σ–j∞拉氏正变换f(t)拉氏反变换F()=L[f(t)]原函数一一对应象函数f(t)=L–1[F()]F()简写符号例：计算下列原函数的象函数；1.f(t)=ε(t)2.f(t)=δ(t)∞0–3.f(t)=e–αtε(t)4.f(t)=tε(t)解：F()=∫f(t)e–tdt1.F()=L[ε(t)]=∫∞0–ε(t)e–tdt=∫0∞–e–tdt=0+1–t–e1=0–∞∞2.F()=L[δ(t)]=∫δ(t)e–tdt=∫δ(t)dt=10–0–∞3.F()=L[e–αtε(t)]=∫∞∞0–e–αte–tdt=1e–(α+)t–α+∞0–1=α+0–124.F()=L[tε(t)]=∫=–1[te–t0–同理：F()=L[tnε(t)]=n!n+1te–tdt–∫∞0–e–tdt]=§13—2拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质若：L[f1(t)]=F1()L[f2(t)]=F2()则：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1()+A2F2()证：L[A1f1(t)+A2f2(t)]=∫[A1f1(t)+A2f2(t)]e–tdt0–∞=∫A1f1(t)e–tdt+∫0A2f2(t)e–tdt0––∞∞=A1∫0f1(t)e–tdt+A2∫f2(t)e–tdt–∞∞0–=A1F1()+A2F2()例：计算下列原函数的象函数；1、常数U解：1、L[U]=L[Uε(t)]=U2、L[A(1–e–αt)]=L[A]–L[Ae–αt]=3、L[inωt]=L[1ejωt–2j11–=2j–jωαAA–A+α=(+α)2、A(1–e–αt)3、inωt1–jωte]2jω112j+jω=2+ω2同理：L[coωt]=22+ω二、(时域)微分性质设：L[f(t)]=F()则：L[f′(t)]=F()–f(0–)证：L[f′(t)]=∫∞df(t)0–dte–tdt=∫e–tdf(t)0–∞=e–tf(t)∞0––∫f(t)(–)e–tdt∞0–0–∞=–f(0–)+∫f(t)e–tdt=F()–f(0–)导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换为象函数乘以再减去初始值的代数运算。

电路第十三章 拉普拉斯变换

电路第十三章 拉普拉斯变换

目录
§13—1 拉普拉斯变换的定义 §13—2 拉普拉斯变换的基本性质 §13—3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 §13—4 运算电路 §13—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
本章作业
13—1(2)(4)(6)(8)、13—2(1)(3)、 13—3(2)(4)、13—4、13—12、 12—16、12—18
例： δ(t) R C uC
求：uc(t)的冲击响应 duc 1 解： C + uc=δ(t) dt R 等式两边进行拉普拉斯变换
duc 1 L[C dt ]+L[ R uc]=L[δ(t)] 1 sCUC(s) –Cuc(0–)+ UC(s)=1 R 1 1 1 UC(s)= 1 1 = C s+ RC sC+ R
t 1 1 1 –τ uc(t)=L–1[ C 1 ]= C e s+ RC
1 (sC+ )UC(s)=1 R 进行拉氏反变换
三、(时域)积分性质 设：L[f(t)]=F(s) F(s) 则：L[ ∫ f(ξ)d(ξ)]= s 0–
t
积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算 转换为复频域中象函数除以s的代数运算。 d t f(ξ)d(ξ)=f(t) 证： dt ∫ 0– 两边进行拉氏变换 根据导数性质 d t f(ξ)d(ξ) ]=L[f(t)] L[ ∫ dt 0–
原函数f(t)
Aδ(t) Aε(t) Ae–αt 1–e–αt sin(ωt) cos(ωt) sin(ωt+ϕ) cos(ωt+ϕ) e–αtsin(ωt)
常用函数的拉氏变换表 象函数F(s) 原函数f(t)
A A/s A s+α α s(s+α) ω s2+ω2 s s2+ω2 ssinϕ+ωcosϕ s2+ω2 scosϕ+ωsinϕ s2+ω2 ω (s+α)2+ω2 e–αtcos(ωt) te–αt t sinh(αt) cosh(αt) (1–αt)e–αt 1 2 2 t 1 tn n！ 1 tne–αt n！

13第十三章拉普拉斯变换

13第十三章拉普拉斯变换

1 ( s 1)
2 t
3
( s 1)
t
2


f (t ) 3e
2 te
0 .5 t e
3t
小结： 1.由F(S)求f(t) 的步骤 1.) n =m 时将F(S)化成真分式
F (S ) C0 P(S ) D(S )
2.)求真分式分母的根，确定分解单元 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
2 t
(t ) 7e
(t )
例
求 F (s) s
2s 1
3
7s
2
10 s
的 原 函 数 f ( t )。
解：令D(s)=0，则 s1 = 0，s2=－2，s3=－5
D ( s ) 3 s 14 s 10
2
K1
N (s) D ( s )
s s1
3


s p1
则： f (t ) K1e 当为n阶重根：
Kn
K 2te
d
( n 1) ( n 1)
p1t

1 2
K 3t e
n
2
p1t
1
(n 1)! ds
(s p )
1
F ( s)

s p1
例： 2 S ( S 1)
S 4

K1 S

K 21 ( S 1)
L[ (t )]

0

(t )e
St
dt

0 0

(t )e
St
dt

0 0

电路分析第十三章-拉普拉斯变换

电路分析第十三章-拉普拉斯变换
⑵ 在t充分大时， f (t) 满足不等式
f (t) ≤ Me ct
其中M和c 都是实常数，即f(t)为指数级函数。
∫ 则 F (s) = ∞ f (t)e−st dt 0− 在σ > c 的范围内存在。
西南交通大学
证明条件⑵：
∫ 若 ∞ f (t)e−st dt 收敛， 则 L[ f (t)] 也收敛。 0−
)
−
Eε (t
−
t0
)
F (s)
=
L
[
f
(t)] =
E t0
⋅
1 s2
−
E t0
⋅
1 s2
e − st0
−
E
1 e−st0 s
=
E s 2t0
[1− (1+
st0 )e−st0 ]
西南交通大学
3、复频域位移 f (t) ↔ F (s)
f (t)e−αt ↔ F (s + α)
∫ 证明：L [ f (t)e−αt ] = ∞ f (t)e−αte−st dt 0− ∫= ∞ f (t)e−(s+α)t dt = F (s + α) 0−
同理
L[
cosω0t ⋅ε (t)
]=
s
s2 + ω02
5、幂函数tn ，n为正整数
L [ tn
]=
n! s n+1
L[
t
]=
1 s2
西南交通大学
4、幂指数信号 tn n为正整数
L ∫ [t n ] =
∞ 0−
t
en −st
dt
| ∫ =
− tn s
e − st
∞ 0−

第十三章拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换

4、时域位移定理
L f t F S ,
L f t F S ,
L[ f (t t0 ) 1(t t0 )] F ( S )e St0
5、初值定理与终值定理
f (0 ) lim f (t ) lim SF ( S )
S j
f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。
拉普拉斯反变换：
f (t ) [ F ( S )]
1
1 2 j

j
j
F ( S )e St dS
13.2 拉氏变换的性质
13-2拉氏变换的性质
1、线性定理
L f1 t F1 S , L f 2 t F2 S : L af1 t bf 2 t aL f1 t bL f 2 t aF1 S bF2 S
2、微分定理
L f t F S
df SF ( S ) f (0 ) dt
3、积分定理
L f t F S ,
t F S L f t dt 0 S
13.2 拉氏变换的性质
]

0
e

t St
e
dt

0
e( S )t dt
0
1 ( S )t e S

0

1 S
2、常数
1 [1(t )] 1 t e st dt e st 0 S


1 S
3、正弦函数
[ 1 jt 1 1 1 (e e jt )] ( ) 2 2j 2 j S j S j S 2

《电路分析》拉普拉斯变换

《电路分析》拉普拉斯变换

A (t ) A
A (t ) A / s
P294
A eat A sa
t 1/ s2
sin(t )
s2
2
c os(t )
s2
s
2
四、分部分式法求反拉氏变换
F(s) N(s) D(s)
1、当D(s)=0有n个不同实根p1、p2……时
F(s) N (s) k1 k2 kn
D(s) s p1 s p2
k11
n
ki
D(s) s p1 (s p1 )2
(s p1 ) m i2 s pi
其中：k11
(s
p1 ) m
N(s) D(s)
s p1
k12
d [(s ds
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k13
1 2
d2 ds2
[(s
p1 )m
N(s)] D(s)
s p1
k1m
1 (m 1)!
d m1 dsm1
s j
N(S) D'(s) s j
| k1
| e j1
k2 [s ( j)] F(s)
s j
N(S) D' (s) s j
| k1 | e j1
K1、K2是一对共轭复数。
例3: 已知
F(s) s2 6s 5 s(s2 4s 5)
求 f (t)
F (s)
s2 6s 5 s(s2 4s 5)
s
iC(t) C
+
-
uC(t)
+ UC(s) -
IC(s)
1/sC
CuC(0-)
3、电感 U L (s) sL I L (s) LiL (0 )

第十三章拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换

t f (ξ )dξ e − st dt 所以 ∫ ∫ 0− 0−
∞
t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s t f (ξ )dξ e = ∫ 0− −s
− st ∞
− ∫ f (t )e − st dt
0−
∞ ∞
其中，当t<t0时，f (t-t0)=0。令τ=t-t0
ℓ[ f (t − t 0 )] = ∫ f (t − t 0 )e dt = ∫ f (t − t 0 )e − st dt
0− ∞ t0 − st ∞
= ∫ f (τ )e
0−
− s (τ + t 0 )
dτ = e
− st 0
∫
0−
−t
( s − pi ) n 的因 3、如果D(s)=0具有重根，则应含 ( s − pi )3的因式，p1为 式。现设D(s)中含有
即
N (s) Ki = (i = 1、、 …、n) 2 3、 D′( s) s = pi
确定了各待定系数后，相应的原函数为
f (t ) = ℓ [ F ( s)] = ∑ K i e
−1 i =1 n pi t
N ( pi ) pit =∑ e i =1 D′( pi )
n
例13-6
解 因为
2s + 1 求 F ( s) = s 3 + 7 s 2 + 10s
ω = 2 s +ω2
(2)ℓ[ K (1 − e −αt )] = ℓ[ K ] − ℓ[ Ke −αt ] K K = − s s +α Kα = s( s + α )
由此可见，根据拉氏变换的线性性质， 求函数乘以常数的象函数以及求几个函数 相加减的结果的象函数时，可以先求各函 数的象函数再进行计算。

第十三章 拉氏变换分析线性电路

第十三章 拉氏变换分析线性电路
K1 K2 N1 ( s) s α jω s α jω D1 ( s )
2 若D( s) 0有共轭复根
K1,K2也是一对共轭复根
设K1 K e
jθ
K2 K e
( α jω ) t
-jθ
f (t ) ( K1e( α jω) t K 2e( α jω) t ) f1 (t )
F (s)
sin(t )

1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 S j S j 2 2j S 2
2. 微分性质
若： f (t ) F ( S )
则
例 解
df ( t ) dt sF ( s ) f (0 )
求 : f (t ) t ( t )的象函数
[tε( t )]
[ 0 ε( t )dt ]


ห้องสมุดไป่ตู้
11 ss
4.延迟性质
设：
注
例
[ f ( t )] F ( s )
则：
[ f ( t t0 )] e
st0
F ( s)
f ( t t0 ) 0 当 t t0
求矩形脉冲的象函数
方法2
求极限的方法
i
i 1、 、 、n 23
N ( s )( s pi ) ki lim s p D( s ) ' N ( s )( s pi ) N ( s ) N ( pi ) lim ' ' s p D ( pi ) D ( s)
i
i
4s 5 求F ( s ) 2 的原函数 例 s 5s 6 4s 5 K1 K2 解法1 F ( s) 2 s 5s 6 s2 s3 4s 5 4s 5 K2 7 K1 3 s 3 S 2 s2 s3 N ( p1 ) 4 s 5 解法2 K1 ' 3 s 2 D ( p1 ) 2 s 5

第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用

第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用
第十三章 拉普拉斯变换在电路分析中的应用（289）
简述： 一、拉普拉斯变换——一种积分变换法 通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的 微分方程化为频域的代数方程。 经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。
二、正弦稳态电路、一阶二阶动态电路均为时域电路 用拉普拉斯变换法求解也是可行方法之一。 三、拉普拉斯变换法分析时域电路——运算法 1、拉普拉斯变换将时域电路转化为运算电路（频域电路） 2、在运算电路中求频域响应U(S)、I(S) 3、拉普拉斯反变换将U(S)、I(S)转化为时域函数u(t)、i(t)
O j45
K 0.5 j0.5 0.5 2e
αt
f(t) 2 K e cos(ωtθ) 2e cos （2t 45 ）
t 0
14
S3 例：求F（s） 的原函数f（t） 2 （s 1）(S 4S 8)
解：S2 4S 8 0有解 P1 ， 2 2 j2 K1 K2 K F（s） s 1 S 2 j2 S 2 j2
4
$13-2 拉氏变换的基本性质（291）
若L[f（t）] F（S），则拉氏变换 有如下性质：
1、线性性质 L[Kf（t）]=K L[f（t）]=KF（s） L[f1（t）+ f2（t）]= F1（S）+ F2（S） L[K1f1(t)+K2 f2(t)]=K1 F1(S)+ K2 F2(S) 例13-2（291页）
解： S2 3S 2 0， 有 解 S 1， S 2 8S 2 k1 k2 F（ s） （ S 1） （ s 2） （ S 1）（ S 2）
求k1：等式二边同乘以（S 1）并令S 1 8S 2 有：k1 [(S 1)F(S)] 6 S 1 S 1 （s 2） 8S 2 同理：k2 [(S 2)F(S)] 14 S 2 S- 2 S 1 6 14

第十三章 拉普拉斯变换法

第十三章 拉普拉斯变换法
一﹑线性性质： 线性性质： 设 L[ f 1 (t )] = F 1 ( s )， L[ f 2 (t )] =
a和b为两个任意实常数， 为两个任意实常数，则
F ( s ),
2
2
L[ a
例1.
f ( t ) + b f ( t )] = a F ( s ) + b F ( s )
1 2 1
f ( t ) = A (1 −
j 26 . 6
× e (− 1 −
j 2 )t
= 0 . 559 e − t ⋅ e j (2 t − 26 . 6 ) + 0 . 559 e − t ⋅ e − j (2 t − 26 . 6 ) = 2 × 0 . 559 e − t cos 2 t − 26 . 6 = 1 . 118 e − t cos 2 t − 26 . 6
t ε
L[ f (t − t0 )] = e
F (S )
页
华东理工大学 上 页 下
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时， 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式
三﹑积分性质： 积分性质：
1 若 L [ f ( t )] = F ( s ), 则有 L [ ∫0 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
t
说明： 说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中 算子s与象函数的除法运算。 与象函数的除法运算。 华东理工大学 上 页 下
页
证明： 证明：
t

第十三章拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换经典法——依照电路列出微分方程然后进行求解来求解动．．．（求解时刻函数方程）。

态电路响应的方式。

也叫时域解法．．．．优势：物理概念清楚，便于明白得。

可是这种方式关于求解二阶以上的复杂电路，很困难。

即便是一阶电路，当鼓励为常数、正弦函数与冲击函数时，应用三要素法进行时域分析是方便的，但当鼓励为指数函数、斜坡函数、专门是任意函数式，时域分析也是很麻烦的。

在正弦稳态分析中，采纳向量法后，将时域中的微积分运算转化成了频域中的代数运算，使运算十分简单。

向量分析是一种变换。

在暂态分析中，可否也成立这种类似的变换?拉普拉斯变换（简称拉氏变换）线性定常电路的拉氏变换分析与向量分析十分相似，用拉氏变换求解动态电路，先将时域函数通过拉氏变换变成复频域（S域）函数，并画出S域电路，在S域电路中确信响应后，通过拉氏反变换取得时域响应。

这种分析法不用求特解、通解、及确信积分常数，所得结果确实是全响应。

拉氏变换将时域中的微积分方程变成S域中的代数方程。

因为拉氏变换分析要通过求拉氏变换和反变换两次运算（变换），因此也称为运算法．．．。

运算法是一种通过数学变换间接求解动态电路的简捷方式。

应当指出，拉氏变换求解动态电路，只适用于线性，非时变的电路，不适用于时变及非线性电路。

§15-1 拉普拉斯变换的概念一、 拉氏变换的概念先概念一个复数 ωδj s +=其中δ是使函数)(t f 在区间（0－，∞）内积分收敛而选定的一个常数；ω是角频率，是变量；s 是复变量。

δ、ω、s 的单位都是1/秒。

复变量s 也称为广义频率，或复频率。

1、 拉氏正变换的概念概念在（0－，∞）内的时刻函数)(t f （)(t f 代表电路中的鼓励，或响应），与因子ste -相乘，组成一个新的函数st e t f -)(，再在（0－，∞）内对t 积分，该积分称为单边拉普拉斯（Laplace ）正变换，简称拉氏变换。

⎰∞--== 0 )()()]([dt e t f s F t f L st式中 ωδj s +=为复数（复频率变量）上式对t 求定积分后，变成了复变量s 的函数，因此记作)(s F 。

第十三章 拉普拉斯变换电路

第十三章 拉普拉斯变换电路

相量法(频 域分析法) 谐波分析 法(频域分 析法)
列解相量为 变量的线性 代数方程 列解相量为 变量的线性 代数方程
相量变换 变量频域形式的 KVL、KCL和VCR 激励的傅立叶级数 展开
任意激励 动态电路
？
？
？
13.1 拉普拉斯变换的定义
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变 量及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始 条件。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在 t=0+时刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大 ，也很困难，高阶动态电路中尤为突出。 积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频 域函数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出 函数的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条 件的原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积 分常数。拉普拉斯变换和傅立叶变都是积分变换，但拉普拉斯变 换比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解 任意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
二.傅立叶变换 周期函数如果连续或在一个周期内只有有限个第一类 间断点和有限个极值点，它能展开成收敛的傅立叶级数。即 周期函数可表示为成谐波关系的正弦函数的加权和。
f (t ) a0 (ak cos k1t bk sin k1t ) ＝A0 Akm cos(k1t k )
例13－2
二.微分性质
若L f t =F ( s )，则 L f ' t sF ( s ) f (0 )
例13－3 三.积分性质
t f t dt F ( s) 若L f t =F (s)，则 L 0 s
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第十三章 拉普拉斯变换13．1 基本概念13．1．1拉普拉斯变换的定义一个定义在[)∞,0区间的函数()t f ，它的拉普拉斯变换式()S F 定义为()()dt e t f s F st -∞⎰-=0式中ωσj s +=为复数，()S F 称为()t f 的象函数，()t f 称为()S F 的原函数。

式中积分下限取-=0t ，把上述定义式作如下变形：()()()()dt e t f dt e t f dt e t f s F st stst-∞+--∞⎰⎰⎰+==+--0000可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及-=0t 时()t f 可能包含的冲激。

13．1．2 拉普拉斯变换的基本性质设()[]()s F t f L 11= ()[]()s F t f L 22=，则有下表中性质。

表13-1拉普拉斯变换的基本性质13．1．3 拉普拉斯反变换对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即()()[]()ds e s F js F L t f stj c j c ⎰∞+∞--==π211，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。

电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s 的多项式之比，即s 的一个有理分式()()()nn n mm m b s b s b a s a s a s D s N s F ++++++==-- 110110 式中m 和n 为正整数，且m n ≥。

若m n =时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。

1．()0=s D 具有n 个单实根时()iini p s K s F -=∑=1式中：()()i p s i i s F p s K =-=|则 ()()[]t p ni i ie K s F Lt f ∑=-==112．()0=s D 具有重根时设()0=s D 除了m 个重根外，其它均为单根，共有n 个根。

()()()()iinmn i mm m p s K p s K p s K p s K s F -+-++-+-=∑-=-111112111式中：()()()[]i p s mq q q s F p s ds d q K =--⋅--=|!111111 则 ()()[]()()t p nm n i i tp m m m i e K e K t m K t m K s F L t f ∑-=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-==111121111!2!13．()0=s D 具有共轭根时若()0=s D 有复数根，一定是一对共轭根。

设有n 个单根，其中两个为一对共轭根，ωαj p +=1，ωαj p -=2。

()ii ni p s K p s K p s K s F -+-+-=∑=32211 21,K K 为一对共轭复数，设1|11θj e K K =，1|12θj e K K -=，则 ()()∑=++=ni tp iti eK t e K t f 311cos ||2θωα13．1．4 线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法） 1． 元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。

在分析时，注意以下几点：（1）式中各元件的电压、电流均为关联的参考方向； （2）附加电源的极性与初始值参考方向相同；（3）由互感引起的附加电源除了与初始值有关外，还和同名端有关。

2．基尔霍夫定律的运算形式如表13-3所示见附表13-3。

3．用运算法分析动态电路的步骤复频域的基尔霍夫定律和各种元件伏安关系都是线性代数方程，与直流电路中的相应方程一一对应。

因此，在线性直流电路中建立的各种分析方法、定理可推广用于复频域电路模型。

具体步骤如下：（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值()-0L i和电容电压初始值()-0C u；（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算U等；形式的电路方程，求出响应的象函数()s I或()s（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应()t i或()t u等。

13．2 重点、难点分析13．2．1 本章重点F联拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数()t f与以复频率s为变量的复变函数()s系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。

所以，本章重点为：1．拉普拉斯变换求解线性动态电路的概念；2．拉普拉斯变换的定义及其基本性质；3．拉普拉斯反变换的部分分式展开法；4．元件伏安关系及电路定律的复频域形式；5．运用拉普拉斯变换分析计算线性电路的过渡过程。

13．2．2 本章难点前面我们学习了用经典法求线性电路的动态过程的方法，学习了用相量法求正弦激励下线性电路的稳态过程的方法，而拉普拉斯变换却能求得电路的全响应、全过程，因此，它是全面分析线性电路的一种有力工具。

拉普拉斯变换法在解决一些电路分析的具体问题时比较简便，如避开了在()tδ作用下的电感电流和电容电压的跃变问题，但其物理意义没有经典法明显。

在学习本章内容的同时，注意与前面所学内容相比较，注意它们之间的联系。

应用拉普拉斯变换分析线性电路的瞬态，须经过三个过程：（1）从时域到复频域的变换，即对电路的输入取拉普拉斯变换，给出相应的复频域电路；（2）在复频域对电路列方程和应用电路定理，求出相应的象函数；（3）从复频域到时域的变换，求出响应的时域表达式。

用拉氏变换法求解线性电路的响应时，要注意以下几点：1．初始状态的确定。

对于复杂的电路，往往不能正确地计算出动态元件的初始值。

2． 正确地画出复频域等效电路模型。

注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。

3． 正确地计算出响应的象函数。

在求解象函数时，由于复频率s 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。

13．3 典型例题13．3．1 拉普拉斯变换的定义及性质例13-1 已知()t f 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。

113-图解题指导：首先正确地写出函数的时域表达式，然后利用拉普拉斯变换的时移性质来求。

解 由题图得函数的时域表达式为()()()()()211---+--=t t t t t t t f εεεε其象函数为()ss e s e ss s F 222111----=例13-2求图13-2(a)所示三角脉冲电流的象函数。

)(213a -图)(213b -图解题指导：本题可利用拉普拉斯变换的时域微分性质，先写出三角脉冲电流的微分信号及其象函数，再进行求解。

解 对电流()t i 求导，波形如题图13-2（b ）所示。

则()()()[]()()[]211'------=t t I t t I t i m m εεεε()()()212-+--=t I t I t I m m m εεε于是得到()[]()()22'121s m s s m e sI e e s I t i L ----=+-=根据拉普拉斯的微分性质()[]()()--=0'i s sI t i L ，即得()()[]2'11⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==-s e I t i L s s I s m 例13-3 已知周期函数()⎩⎨⎧≤≤≤≤=πππ200sin t t t t f ，周期为π2，试求其拉氏变换式。

解题指导：这是一个周期函数的象函数的求解问题。

可利用拉普拉斯变换的时移特性。

解 求周期函数的拉氏变换，可以应用时移特性。

用()t f 1，()t f 2，…分别表示第一周、第二周的波形，则()()()()()()()()+--+--+=++=T t T t f T t T t f t f t f t f t f 2211121εε根据时移特性，若：()()[]t f L s F 11= 则：()()[]()()()s F e e es F t f L s F sTsT sT1211111----=+++==根据上式，首先求第一个周期波形的拉氏变换式。

由拉氏变换定义可得：()()[]()1101cos sin sin 20211++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--===----⎰-s e s t t s e dt te t f L s F s st stπππ 本题中周期为π2，于是得到()()()()11111212+-=-=--s e s F e s F s s ππ 例13-4 求()()()θβεα+=-t Aet t f tsin 的拉氏变换式。

解题指导：任意函数与te α的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。

解 应用频移特性，先求()[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=+22sin cos sin cos cos sin sin βθθβθβθβθβs s A t t AL t A L所以：()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=+-22sin cos sin βαθαθβθβαs s A t Ae L t13．3．2 拉普拉斯反变换例13-5 已知下列象函数()s F 。

求原函数()t f 。

（1）()()()321+++=s s s s F（2）()()212++=s s s s F（3）()132++=-s e s F s解 （1）解题指导：仅含有两个单实根的情况。

()()()t e e t f t t ε322--+-=（2）解题指导：包含了两个重根的情况。

()()()t e te t f t t ε--+-=22（3）解题指导：象函数乘以0st e-，相当于时域中发生了时移0t 。

()()()()1321-+=---t et e t f t tεε例13-6 已知象函数()()()52440252052223++++++=s s s s s s s F 。

求其原函数()t f 。

解题指导：当包含有共轭复根时，往往用配方法做比较简单。

解 象函数可变换为()()222211045++++=s s s s F 其原函数为()()()t t e t t f t ε2sin 52cos 5-+=例13-7 求()123++=s s s s F 的拉氏反变换。

解题指导：当所给出的有理分式不是真分式时，应先用长除法进行处理，变成真分式，然后再进行求解。

解 所给函数()s F 不是真分式，用长除法，得()()()222232123321111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+-=+++-=s s s s s s F 于是可得()()()()t et t t f t 23sin32211-+-=δδ13．3．3 应用拉普拉斯变换法分析线性电路例13-8 用拉普拉斯变换法求图13-3(a)电路中开关S 闭合后的电容电压()t u C （要求画出运算电路模型）。