条件概率与事件的独立性习题课教案

年级：高二科目：数学授课人：
教 学 过
程
教 学 过 程
(|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数＝
在发生的条件下样本点数包含的样本点数＝
包含的样本点数
AB P AB B P B 包含的样本点数/总数（）
＝
＝
包含的样本点数/总数（）例盒中
有球如表任取一球 玻璃 木质 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率
例1 A:取得是蓝球,B:取得是玻璃球
例2
变式:
若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率
例3
在5道题中有3道理科题和2道文科题。

如果不放回的依次抽取2道题，求：
（1） 第1次抽到理科题的概率；
（2） 第
1次和第2次都抽到理科题的概率；
)
|(A B P )
()
(A P AB P =
11
416
11164=
=
)
|(B A P )
()(B P AB P =
6
416
6164=
=
()
,()()r
r p AB n A m m p B A n
=⋅=
即p。

2.2.1 条件概率课堂探究探究一 条件概率的计算对于条件概率的计算问题，首先要判断是否是条件概率，若确定为条件概率，则可采用下面两种方法进行计算：(1)从古典概型角度看，事件有限定的前提条件，则各事件包含的基本事件个数发生了变化，故首先要准确计算各事件包含的基本事件个数，然后得出条件概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )，n (AB )表示AB 同时发生包含的基本事件的个数，同理n (A )表示事件A 发生所包含的基本事件的个数．当然这个公式只是对于古典概型而言，即组成事件A 的各基本事件发生的概率相等(等可能事件)．(2)利用条件概率的定义，先分别求出P (A )和P (A ∩B )，再用P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )求解． 【典型例题1】 在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．思路分析：根据分步乘法计数原理先计算出事件总数，然后计算出各种情况下的事件数后即可求解．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A ∩B .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的基本事件数为A 25＝20.根据分步乘法计数原理，事件A 包含的基本事件数为A 13×A 14＝12.故P (A )＝1220＝35. (2)因为事件A ∩B 包含的基本事件数为A 23＝6，所以P (A ∩B )＝620＝310. (3)方法1：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝31035＝12. 方法2：因为事件A ∩B 包含的基本事件数为6，事件A 包含的基本事件数为12，所以P (B |A )＝612＝12.探究二 条件概率的应用复杂的条件概率问题可以先分解为两个(或多个)较简单的互斥事件的并，再求这些简单事件的概率，最后利用概率加法公式P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )求得复杂事件的概率，但在拆分时要保证拆分的事件之间互斥．【典型例题2】 已知袋中有6个黑球，4个白球，这些球除颜色外其他均相同，从中依次取出3个球，不放回．若第一次取出的是白球，求第三次取出黑球的概率．思路分析：第三次取出黑球是在第一次取出白球的条件下发生的，属于条件概率． 解：设A ＝{第一次取出的是白球}，B ＝{第三次取出的是黑球}，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝410×39×68＋410×69×58410＝415410＝23. 探究三 易错辨析易错点：误认为P (B |A )与P (B )相同【典型例题3】 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.7，活到20岁的概率为0.3，现有一个10岁的这种动物，则它能活到20岁的概率是多少？错解：它能活到20岁的概率为0.3.错因分析：出现错误的原因是不明白题意，误认为动物活到20岁的概率与10岁的动物活到20岁的概率相同．正解：设该动物活到10岁的事件为A ，活到20岁的事件为B ，则P (A )＝0.7，P (B )＝0.3.由于A ∩B ＝B ，所以P (A ∩B )＝P (B )．所以这个动物能活到20岁的概率为P (B |A )＝P (B )P (A )＝0.30.7＝37. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

-2.2.2 条件概率与事件独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能，这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩概率是多少？解析：一个家庭两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个根本领件发生是等可能.根据题意，设根本领件空间为Ω，A=“其中一个是女孩〞，B=“其中一个是男孩〞，那么Ω={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}， A={〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}，B={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕}，AB={〔男，女〕，〔女，男〕}，问题是求在事件A 发生情况下，事件B 发生概率，即求P 〔B|A 〕.由上面分析可知P 〔A 〕=43，P 〔AB 〕=42. 由公式②可得P 〔B|A 〕=, 因此所求条件概率为32. 温馨提示关键是弄清楚P 〔A·B〕及P 〔A 〕.二、事件独立性应用【例2】甲、乙两名篮球运发动分别进展一次投篮，如果两人投中概率都是0.6，计算： 〔1〕两人都投中概率；〔2〕其中恰有一人投中概率；〔3〕至少有一人投中概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲〔或乙〕是否投中，对乙〔或甲〕投中概率是没有影响，也就是说，“甲投篮一次，投中〞与“乙投篮一次，投中〞是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生概率，从而可以得到所求各个事件概率.解：〔1〕设A=“甲投篮一次，投中〞，B=“乙投篮一次，投中〞，那么AB=“两人各投篮一次，都投中〞.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为 P 〔AB 〕=P 〔A 〕·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中〞包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中〔事件A∩B 发生〕，另一种是甲未投中、乙投中〔事件A∩B 发生〕。

9.2.条件概率与事件的独立性（学案） 姓名【概念与方法】1.定义：设A ，B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P = 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。

特别注意．．．．：()P AB 是指A 、B 同时发生的概率，①当A 、B 为互相独立事件时()P AB ＝()()P A P B ⋅；②当事件A 与事件B 有公共部分，或有包含关系时，就要单独算()P AB 。

2.相互独立事件①定义：设A ，B 是两个事件，如果)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立. ②性质：如果事件A 与事件B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都是相互独立的。

【题组一：条件概率】1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：(l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．3.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求:（1）第二次才取到黄色球的概率．（2）在发现其中之一是黄色的条件下，另一个也是黄色的概率4.甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：（1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.【题组二：事件的独立性】5.甲, 乙两人同时向敌机发射导弹,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.6.设A、B、C三人投篮命中的概率分别为0.9、0.8、0.7，且他们相互之间投篮是没有影响的。

3.1 条件概率与事件的独立性3.1.1 条件概率一、课程标准结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.二、教学目标1.通过实例了解条件概率的概念，掌握求条件概率的两种方法；2.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；3.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.三、学情与内容分析本节内容是高中数学选择性必修第二册《第三章概率》第一节内容，本节之前学生已经学习古典概率及两个事件独立的基础上，学习如何计算两个事件不独立时的概率问题，即在事件A发生的条件下事件B发生的概率，一方面，它是对古典概型计算方法的巩固，另一方面，为后续研究独立事件打下良好基础. 条件概率概念比较抽象，学生较难理解。

遇到具体问题时，学生常因分不清是P（B|A）还是P（AB）而导致出错. 基于此，在本节的教学中，应特别注意对于条件概率概念的生成，借助图示形象直观地展现条件概率概念的生成过程.四、教学重难点重点：结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.难点：理解条件概率的概念，会用条件概率解决实际问题.五、教学过程（一）情境引入高一我们已经学习了概率的基础知识，会求一些简单的概率问题。

但实际生活中，有时会遇到在事件A发生的条件下计算事件B的概率问题，怎样解决这类问题呢？（二）新知探究问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率.问题2：掷一个骰子，已知掷出的点数为奇数，求这个奇数是3的概率.问题3:问题2与问题1都是求掷出点数3的概率，为什么结果不一样？【设计意图】教师提出问题，让学生思考、讨论，个别提问，让学生直观感觉回答，再让学生运用古典概型公式计算出问题1、问题2的答案.然后教师提出问题3，让学生对问题3进行充分的讨论并发表意见，直到学生认识到“问题2是在原有条件下增加了一个附加条件”即“缩小了基本事件的范围，改变了样本空间”，从而引起事件的概率发生变化.条件概率定义：如果事件A,B是两个随机事件，且P（A）>0,则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫做条件概率，记为P(B|A).问题4.如何计算P(B|A)？【设计意图】通过问题3的探讨，教师给出条件概率的概念，并且教师引导学生类比问题总结出条件概率的计算公式()(|)()n ABP B An A.条件概率也是概率，教师引导学生回忆概率性质，经过思考和充分讨论，大胆发表条件概率的性质，最后总结.1.条件概率的定义: 如果事件A,B是两个随机事件,且P(A)>0,则在事件A 发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率,记为P(B∣A)2.条件概率计算公式:用n(A),n(AB)分别表示A,AB中的样本点个数,由条件概率的定义可知,在事件A发生的条件下事件B发生的概率,等于在事件A发生的条件下事件A 和事件B同时发生的概率，即:P(B∣A)=n(AB)n(A)=P(AB)P(A)借助图形来理解计算公式。

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。

理解两个事件相互独立的概念。

2，掌握一些简单的条件概率的计算。

能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

3，通过对实例的分析，会进行简单的应用教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。

例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求（1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率；（2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A =表示不超过2次就按对密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。

这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。

在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3.例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36（2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。

一、教学目标1. 理解概率论中的条件概率和独立事件的定义。

2. 掌握计算条件概率和独立事件概率的方法。

3. 能够运用条件概率和独立事件的性质解决实际问题。

二、教学内容1. 条件概率的定义及计算方法。

2. 独立事件的定义及计算方法。

3. 条件概率和独立事件的性质。

三、教学重点与难点重点：条件概率和独立事件的定义及计算方法。

难点：条件概率和独立事件的性质在解决实际问题中的应用。

四、教学过程（一）导入1. 回顾概率论的基本概念，如概率的定义、随机事件的定义等。

2. 提出问题：如何计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率？（二）新课讲授1. 条件概率的定义及计算方法- 定义：设A、B为两个随机事件，且P(B)≠0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率称为条件概率，记为P(A|B)。

- 计算方法：P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和B同时发生的概率。

2. 独立事件的定义及计算方法- 定义：若两个随机事件A和B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A和事件B 相互独立。

- 计算方法：若A和B相互独立，则P(AB) = P(A)P(B)。

3. 条件概率和独立事件的性质- 性质1：P(A|B) ≤ P(A)- 性质2：若A和B相互独立，则A的任意子事件与B也相互独立。

- 性质3：若A和B相互独立，则A和B的任意并事件也相互独立。

（三）例题讲解1. 已知某班级男生比例为60%，女生比例为40%，随机选取一名学生，求这名学生是男生的概率。

2. 某城市有1000户居民，其中600户有宽带网络，400户没有宽带网络。

现随机选取一户居民，求该户居民既有宽带网络又有电视的概率。

（四）课堂练习1. 某产品有90%的概率是合格的，已知一件产品是合格的，求其重量超过100g的概率。

2. 某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。

随机选取一名学生，求这名学生是女生的概率。

【主问题的提出】：独立性与条件概率的关系是什么？（1）求抽到的人有自主创业打算的概率；（2）求抽到的人是女生的概率；（3）若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；（4）判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立.小结1：两个事件是否独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:当P (AB )=P (A )P (B )时,事件A ,B 独立.(3)条件概率法:当P (A )>0时,可用P (B|A )=P (B )判断.变式1：将上题中有自主创业打算的女生人数由原来的15人改成16人，判断“抽到的人是女生”与 “抽到的人有自主创业打算”是否独立.例 2已知甲、乙、丙3人参加驾校考试时，通过的概率分别为0.8，0.9,0.7，而且这3人之间的考试互不影响.求：（1）甲、乙、丙通过的概率；（2）甲、乙通过且丙未通过的概率.小结2：与相互独立事件有关的概率问题求解策略明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件A ,B ,它们的概率分别为P (A ),P (B ),那么:(1)A ,B 中至少有一个发生为事件A+B. (2)A ,B 都发生为事件AB.(3)A ,B 都不发生为事件A B . (4)A ,B 恰有一个发生为事件A B +A B.(5)A ,B 中至多有一个发生为事件A B +A B+A B .变式2. 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.例3 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率成为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，各部件的可靠度均为()10<<r r ，而且甲、乙、丙互不影响，求系统的可靠度.例4 两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率是多少？归纳小结：归纳本节课所学的知识点及易错点：本节课你学到了什么？你的疑惑：。