正弦定理习题 2月22日

正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C ，则sin A sin C 等于A.cos 2BB.1-cos 2BC.1+cos 2BD.1+sin 2B16.在△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC 中，b Cos A =a cos B ，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 18.△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC 中,A =60°,b =1,这个三角形的面积为,则△ABC 外接圆的直径为 A. B. C. D.20.在△ABC 中，,则k 为A.2RB.RC.4RD.(R 为△ABC 外接圆半径)二、填空题1.在△ABC 中，A =60°，C =45°，b =2，则此三角形的最小边长为 .2.在△ABC 中，= . 3.在△ABC 中,a ∶b ∶c =(+1)∶∶2，则△ABC 的最小角的度数为 . 4.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，则sec A = . 5.△ABC 中，，则三角形为 _________.6.在△ABC 中，角A 、B 均为锐角且cos A ＞sin B ，则△ABC 是 ___________.7.在△ABC 中，若此三角形有一解，则a 、b 、A 满足的条件为 ____________________.8.已知在△ABC 中，a =10,b =5,A =45°,则B = .9.已知△ABC 中，a =181,b =209,A =121°14′，此三角形 解.10.在△ABC 中,a =1,b =1,C =120°则c = .11.在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为 .12.在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为 _____________. 13.在△ABC 中，BC =3，AB =2，且，A = .14.在△ABC中，B=,C=3,B=30°，则A= .15.在△ABC中，a+b=12,A=60°，B=45°，则a= ,b= .16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ABC中，化简b cos C+c cos B= .18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题1.已知在△ABC中，c=10，A=45°，C=30°，求a、b和B.2.已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=，求三角形的最大内角.3.已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=，解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a，DC=2a，四个角A、B、C、D度数的比为3∶7∶4∶10，求AB的长.5.在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C，A+C=2B，求此三角形三边之比.6.证明：在△ABC中，.（其中R为△ABC的外接圆的半径）7.在△ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=m∶n∶l，且a+b+c=S，求a.10.根据所给条件，判断△ABC的形状（1）a cos A=b cos B(2)11.△ABC中，a+b=10，而cos C是方程2x2－3x－2=0的一个根，求△ABC周长的最小值.12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A－C=,求sin B的值.13.已知△ABC中，a=1,b=,A=30°,求B、C和c.14.在△ABC中，c=2，tan A=3,tan B=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S△ABC=10,一个角为60°，这个角的两边之比为5∶2，求三角形内切圆的半径.16.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.17.已知△ABC的面积为1，tan B=,求△ABC的各边长.18.求值：19.已知△ABC的面积，解此三角形.20.在△ABC中，a=,b=2,c=+1，求A、B、C及S△.21.已知（a2+bc）x2+2=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是△ABC的三边，(1)若∠A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求∠A的度数.22.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判断△ABC的形状.23.在△ABC中，a＞b,C=，且有tan A·tan B=6，试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（1）若方程组有实数解，求k的值.（2）对于（1）中的k值，若且有关系式,试求A、B、C的度数.正弦定理、余弦定理答案一、选择题二、1 A2A3C4 B5 C6D7A8 D9B.10 B11 B12C13C14C15.B16. C17：C18A19C20. A二、1. 2（-1）23. 45°4. 85.等腰三角形6.：钝角三角形7. a=b sin A或b＜a8. 60°或120°9无10.11.钝角三角形直角三角形锐角三角形12.等腰三角形13. 120°14.或215. 36-1216.＜x＜17.a18. 2、3、4三、1.a=B=105°.b=2.∠C=120°3.∠B=75°或∠B=15°b=+1，∠C=60°，∠B=75°或b=－1，∠C=120°，∠B=15°4. AB的长为5.：此三角形三边之比为6∶5∶47.a=6,b=5,c=48.当θ=时，S四边形OACB最大,最大值为+29.10（1）△ABC是等腰三角形或直角三角形（2）△ABC为等边三角形11△ABC周长的最小值为12.13.B1=60°,B2=120°；C1=90°，C2=30°；c1=2,c2=114..15.16.等边三角形17.18.20. A=60°，B=45°，C=75°，S△=21. (1)没有实数根(2)60°.22.等腰三角形或直角三角形23.24.（1）k=1，2，3（2）C=45°,B=15°。

正弦定理习题姓名_______班级______一、选择题1. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若a =3，b =√3，A =π3，则B =( ) A. π6 B. 5π6 C. π6或5π6 D. 2π32. 在△ABC 中，若∠A =60°，∠B =45°，BC =3√2，则AC =( ) A. 4√3 B. 2√3 C. √3 D. √323. 在△ABC 中，已知a =√3,b =√2,B =45°，则角A 的值为( )A. 60°或120°B. 120°C. 60°D. 30°或150°4. 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c =2bcosA ，则此三角形必是( )A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形5. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosC =2√23，bcosA +acosB =2，则△ABC 的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π 二、填空题6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =60°，b =√6，c =3，则A =______．7. 设ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a =√3，sin B =12，C =π6，则b =_________．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可求sinB=bsinAa =12，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．【解答】解：∵a=3，b=√3，A=π3，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =√3×√323=12，∵a>b，∴B为锐角，B=π6．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．结合已知，根据正弦定理，BCsinA =ACsinB可求AC．【解答】解：根据正弦定理，BCsinA =ACsinB，则AC=BC⋅sinBsinA =3√2×√22√32=2√3，故选：B．3.【答案】A【解析】【分析】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．由B的度数求出sin B的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sin A的值，根据a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=√3，b=√2，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得：sinA=asinBb =√3×√222=√32，∵b<a，∴B<A，即45°<A<180°，∴A=60°或120°．故选：A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用以及两角和与差的三角函数公式等内容，考查运算能力，属于基础题．利用正弦定理、两角和与差的三角函数公式化简即可判断．【解答】解：∵c=2bcosA，由正弦定理，可得：，即，，∴sinAcosB−sinBcosA=0，即，∵A、B是△ABC的内角，∴A=B，故△ABC是等腰三角形，故选B．5.【答案】C【解析】【解答】解：∵bcosA+acosB=2，∴由余弦定理可得：b×b2+c2−a22bc +a×a2+c2−b22ac=2，整理解得：c=2，又∵cosC=2√23，可得：sinC=√1−cos2C=13，∴设三角形的外接圆的半径为R，则2R=c sinC=213=6，可得：R=3，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=9π．故选C．【分析】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．6.【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．根据正弦定理和三角形的内角和计算即可．【解答】解：根据正弦定理可得bsinB =csinC，C=60°，b=√6，c=3，∴sinB=√6×√3 23=√22，∵b<c，∴B=45°，∴A=180°−B−C=180°−45°−60°=75°，故答案为75°．7.【答案】1【解析】【分析】本题考查了正弦定理、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 由sinB =12，可得B =π6或B =5π6，结合a =√3，C =π6及正弦定理可求b ． 【解答】解：∵sinB =12，∴B =π6或B =5π6， 当B =π6时，a =√3，C =π6，A =2π3， 由正弦定理可得，√3sin 2π3=b12，则b =1；当B =5π6时，C =π6，与三角形的内角和为π矛盾． 故答案为：1．。

正弦定理练习题(含答案)正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。

正弦定理综合练习题1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 33．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.146．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或328．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a 等于( )A. 6 B．2 C. 3 D.29．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.10．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 12．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.15．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，及灯塔A的距离是多少？18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sin C2cosC2＝14，sin B sinC＝cos2A 2，求A、B及b、c.19．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝3 5，sin B＝10 10(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．余弦定理综合练习题1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝13，那么AC等于( )A．6 B．2 6 C．3 6 D．462．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )A. 3B. 2C. 5 D．23．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( )A．60° B．45° C．120° D．150°4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则∠B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为( )A．2 B．－2 C．4 D．－48．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．29．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．10．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.13．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝a2＋b2－c24，则角C＝________.16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．18．已知△ABC的周长为2＋1，且sin A＋sin B＝2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为16sin C，求角C的度数．19．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－π4 )的值．20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC 的形状．正弦定理综合练习题答案1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．26解析：选A.应用正弦定理得：asin A＝bsin B，求得b＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.14解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由bsin B＝csin C得c＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵ba＝sin Bsin A，∴cos Acos B＝sin Bsin A，sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝π2.7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.ABsin C＝ACsin B，求出sin C＝32，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·AC sin A可求面积．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a 等于( )A. 6 B．2 C. 3 D.2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C＝12.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝ 2.9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：asin A＝csin C，所以sin A＝a·sin Cc＝12.又∵a＜c，∴A＜C＝π3，∴A＝π6. 答案：π610．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.解析：由正弦定理得asin A＝bsin B⇒sin B＝b sin Aa＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由asin A＝bsin B得，a＝12×sin30°sin120°＝43，∴a＋c＝8 3.答案：8312．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，代入式子a＝2b cos C，得2R sin A ＝2·2R·sin B·cos C，所以sin A＝2sin B·cos C，即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B ＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.解析：由正弦定理得a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝63sin60°＝12，又S△ABC＝12bc sin A，∴12×12×sin60°×c＝183，∴c＝6. 答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝asin A ＝1sin30°＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝2R sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：依题意，sin C＝223，S△ABC＝12ab sin C＝43，解得b＝2 3.答案：2316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C＝43×12＝23且c＝2，∴c<b sin C，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，及灯塔A的距离是多少？解：在△ABC中，BC＝40×12＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C点时，及灯塔A的距离是10 2 km.18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sin C2cosC2＝14，sin B sinC＝cos2A2，求A、B及b、c.解：由sin C2cosC2＝14，得sin C＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π6或C＝5π6.由sin B sin C＝cos2A2，得sin B sin C＝12[1－cos(B＋C)]，即2sin B sin C＝1－cos(B＋C)，即2sin B sin C＋cos(B＋C)＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝c＝asin Bsin A＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.19．在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝1010，∴cos B＝1－sin2B＝31010.又cos 2A＝1－2sin2A＝35，∴sin A＝55，cos A＝255，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4 .(2)由(1)知，C＝3π4，∴sin C＝22.由正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝ 5.20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．解：由S＝12ab sin C得，153＝12×603×sin C，∴sin C＝12，∴∠C＝30°或150°.又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝603，asin A＝bsin B，∴b＝215.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为215.余弦定理综合练习题答案1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cos B＝13，那么AC等于( )A．6 B．2 6 C．3 6 D．46解析：选A.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D．2解析：选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30°＝2，∴c＝ 2. 3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋3bc，则∠A等于( ) A．60° B．45° C．120° D．150°解析：选D.cos∠A＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32，∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝3 ac，则∠B的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，联想到余弦定理，代入得cos B＝a2＋c2－b22ac＝32·1tan B＝32·cos Bsin B.显然∠B≠π2，∴s in B＝32.∴∠B＝π3或2π3.5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则a cos B＋b cos A等于( ) A．a B．b C．c D．以上均不对解析：选C.a·a2＋c2－b22ac＋b·b2＋c2－a22bc＝2c22c＝c.6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形D．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a，b，c且a2＋b2＝c2.设增加的长度为m，则c＋m＞a＋m，c＋m＞b＋m，又(a＋m)2＋(b＋m)2＝a2＋b2＋2(a＋b)m＋2m2＞c2＋2cm＋m2＝(c＋m)2，∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC中，|AB→|＝4，|AC→|＝1，△ABC的面积为3，则AB→·AC→的值为( )A．2 B．－2 C．4 D．－4解析：选 A.S△ABC＝3＝12|AB→|·|AC→|·sin A＝12×4×1×sin A，∴sin A＝32，又∵△ABC为锐角三角形，∴cos A＝12，∴AB→·AC→＝4×1×12＝2.8．在△ABC中，b＝3，c＝3，B＝30°，则a为( )A. 3 B．2 3 C.3或2 3 D．2解析：选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即3＝a2＋9－33a，∴a2－33a＋6＝0，解得a＝3或2 3.9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD 的长为________．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝π3 .在△ABD中，AD＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案：310．△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A∶sin B∶sin C＝(3－1)∶(3＋1)∶10，∴a∶b∶c＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a＝(3－1)k，b＝(3＋1)k，c＝10k(k＞0)，∴c边最长，即角C最大．由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________．解析：S＝12ab sin C，sin C＝32，∴C＝60°或120°.∴cos C＝±12，又∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴c2＝21或61，∴c＝21或61.答案：21或6112．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.解析：由正弦定理a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，设a＝2k(k＞0)，则b＝3k，c＝4k，cos B＝a2＋c2－b22ac＝2k2＋4k2－3k22×2k×4k＝1116，同理可得：cos A＝78，cos C＝－14，∴cos A∶cos B∶cos C＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC中，a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：∵cos C＝13，∴sin C＝223.又S△ABC＝12ab sin C＝43，即12·b·32·223＝43，∴b＝2 3.答案：2314．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB→·BC→的值为________．解析：在△ABC中，cos B＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－19 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎨⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13， 由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理ABsin C＝BCsin A，得AB＝sin Csin ABC＝2BC＝2 5.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cos A＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255，于是sin A＝1－cos2A＝55.从而sin 2A＝2sin A cos A＝45，cos 2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin(2A－π4)＝sin 2A cosπ4－cos 2A sinπ4＝210.20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin Csin B＝cb.由2cos A sin B＝sin C，有cos A＝sin C2sin B＝c2b.又根据余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，所以b＝c，所以a＝b＝c，因此△ABC为等边三角形．。

正弦定理练习题及答案解析Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( )A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135°C ．B ＝45°D ．以上答案都不对解析：选 B ＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°.2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C sin C ＝12，于是C ＝30°A ＝30°a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1， 则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，交对边BC 于D ，求证：BD DC ＝AB AC .证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ.在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BD AB ＝sin A 2sin θ；①在△ACD 中，CD sin A 2＝AC sinπ－θ， ∴CD AC ＝sin A 2sin θ.②由①②得BD AB ＝CD AC ，∴BD DC ＝AB AC .一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是( )解析：选A.根据正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B.∵sin A a ＝cos C c ，∴sin A cos C ＝a c ，又由正弦定理a c ＝sin A sin C .∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223C ．－63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B ， ∴sin B ＝10·sin 60°15＝10×3215＝33.∵a ＞b ，A ＝60°，∴B 为锐角．∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－332＝63.4．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝b sin B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1B ．2 －1解析：选B.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°.由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________.解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.答案：2 58．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________.解析：A ＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.答案：1∶1∶ 39．(2010年高考北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵∠C 为钝角，∴∠B 必为锐角，∴∠B ＝π6，∴∠A ＝π6.∴a ＝b ＝1.答案：1三、解答题10．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝30，求a .解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝a 2R ∶b 2R ∶c 2R ＝a ∶b ∶c ，∴a ∶b ∶c ＝4∶5∶6.∴a ＝30×415＝8.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝2，B ＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝5×322＝534＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以A ＞B ＝120°.所以A ＋B ＞240°，这与A ＋B ＋C ＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a ＝5，b ＝2，B ＝120°，所以a sin B ＝5sin 120°＝532，所以b ＜a sin B ．又因为若三角形存在，则b sin A ＝a sin B ，得b ＞a sin B ，所以此三角形无解．12．在△ABC 中，a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：a ·a 2R ＝b ·b 2R ，∴a 2＝b 2，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 法二：∵a cos(π2－A )＝b cos(π2－B )，∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理可得：2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．。

正弦定理练习（参考答案）一、选择题. 1. C 【解析】21bc sin A = 163，∴ sin A =21，A = 30° ，或 150° . 2. D 【解析】b a =3sin 2A ，∴ 3sin 2sin sin A B A =，∴ sin B =23，∴ B =3π，或32π. 3. C 【解析】 ①sin (A + B )+ sin C = 2sin C ，不一定为常数. ②cos (B + C )+ cos A = - cos A + cos A = 0，③tan ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2B A tan 2C = tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-︒290C tan 2C = cot 2C tan 2C = 1. ∴ ②和③为常数.4. C 【解析】 A = B ⇒sin A = sin B ，若sin A = sin B ，又∵ A + B ＜π，∴ A = B.5. C 【解析】 原式可化为 a 2+ ab + b 2- c 2= 0，∴ cos C =ab c b a 2222-+= -21，∴ C ＝120°.6. C 【解析】 ①∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且4＜5，∴ △ABC 不存在. ②∵ b sin A = 10×sin 30° = 5，且5＜6＜10，∴ △ABC 有两解. 错误！未找到引用源。

∵ ∠A = 150° 且a ＜b ， ∴ △ABC 不存在. ④∵ ∠A = 150° 且a ＞b ，∴ △ABC 有一解.⑤ 由已知，得∠C = 105°，当⎪⎩⎪⎨⎧b c a c ＞,＞时，各边有正数解，∴ △ABC 有一解，∴ ④⑤符合题条件.7. B 【解析】 sin (A + B )sin (A - B )= sin 2 C ，∴ sin C sin (A - B )= sin 2 C . ∵ C ∈(0，π)，∴ sin (A - B )= sin C = sin (A + B ). ∴ sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B ， ∴ cos A sin B = 0，∴ A =2π，∴ △ABC 为直角三角形.8. A 【解析】 ∵ 2b = a + c ，∴ 4b 2= a 2+ c 2+ 2ac ，∴ cos B =ac b c a 2222-+= 1 +acb 232.∴ 2b = a + c ≥2ac ，∴ ac ≤b 2，∴ cos B ≥23- 1=21，∴ B ∈ ⎝⎛⎥⎦⎤3π 0，.9. A 【解析】 cos A cos B = cos (120º- B )cos B =(-21cos B +23sin B )cos B= -41(1 + cos 2B )+43sin 2B =21sin (2B - 30º)-41，∵ B ∈(0º，120º)，∴ -30°＜2B - 30°＜210°，∴ 由图象知cos A cos B ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41 21，.10. C 【解析】 由题知21ab sin C =41(a 2 + b 2 - c 2)，∴ sin C =ab c b a 2222-+= cos C ，∴ C =4π.二、填空题. 1. -41.【解析】 因为sin A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4，所以设 a = 2k ，b = 3k ，c = 4k . cos C =ab c b a 2222-+=3221694⨯⨯-+= -41.2. 等腰.【解析】 ∵ sin A = sin (B + C )= 2sin C cos B ，∴ sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B ， ∴tan B = tan C ，∵ B ，C ∈(0，π)，∴ B = C ，即为等腰三角形.3. 46；26.【解析】 ∵ cos α =542495422⨯⨯-+= -51，∴ sin α =526，∴ S =21×4×5×526= 46.∵ 642)754(=⨯++r ，∴ 26=r . 4.21.【解析】 ∵ C + A = 2B ，∴ B =3π。

正弦定理训练测试题（含答案）正弦定理⼀、单选题（共15题；共30分）1.（2020⾼⼀下·⼤庆期末）已知的三个内⾓的对边分别为，且满⾜，则等于（）A. B. C. D.2.（2020⾼⼀下·六安期末）设的内⾓所对的边分别为，若，则的形状为（）A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 等腰三⾓形3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆⾯积为（）A. B. π C. 2π D. 4π4.在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，为使此三⾓形有两个，则a满⾜的条件是（）A. B. C. D.5.（2020⾼⼀下·抚顺期末）在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2，b＝2 ，C＝30°，则B等于（）A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 60°或120°6.（2020⾼⼀下·南昌期末）在中，，，，则（）A. B. C. D.7.（2020⾼⼀下·牡丹江期末）已知的内⾓的对边分别为，若，则等于（）A. B. C. D.8.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）在中，，那么（）A. B. C. 或 D.9.（2020⾼⼀下·台州期末）在中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. 2 D.10.（2020⾼⼀下·⾦华⽉考）在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则b=（）A. B. C. D.11.（2020·南昌模拟）已知中⾓所对的边分别为，若，则⾓A等于( )A. B. C. D.12.（2020·漯河模拟）设锐⾓的三内⾓A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且，，则a的取值范围为( )A. B. C. D.13.（2020⾼⼀下·太原期中）在锐⾓三⾓形中，已知，则的范围是( )A. B. C. D.14.（2020⾼⼀下·怀仁期中）在△ABC中，，则三⾓形解的情况是（）A. ⼀解B. 两解C. ⼀解或两解D. ⽆解15.（2020⾼⼀下·沈阳期中）的内⾓的对边分别为,且, ，，则⾓C=( )A. B. C. 或 D. 或⼆、填空题（共4题；共5分）16.（2020⾼⼆下·嘉兴期末）已知中，，是的中点，且，则________.17.（2020⾼⼀下·哈尔滨期末）已知中，，则⾓A等于________.18.（2020⾼⼀下·温州期末）在中，，，点M在上，且，则________，________．19.（2020⾼⼀下·六安期末）在中，⾓所对的边分别是，若，则⾓C的⼤⼩为________.三、解答题（共5题；共35分）20.（2020⾼⼀下·深圳⽉考）在中，已知，，，求的值．21.（2019⾼三上·杭州期中）在中，a，b，c分别为⾓A，B，C所对边的长，且.（Ⅰ）求⾓B的值；（Ⅱ）若，求的⾯积.22.（2019⾼⼆上·榆林⽉考）在中，，，分别是⾓，，的对边，且，，．求：（1）的值．（2）的⾯积．23.（2019·贵州模拟）在中，内⾓的对边分别为，已知.（1）求；（2）已知，的⾯积为，求的周长.24.（2018·天津）在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.（Ⅰ）求⾓B的⼤⼩；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和的值.答案解析部分⼀、单选题1.【答案】D【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得,所以,因为在中, ,所以,因为,所以,故答案为：D【分析】利⽤正弦定理化边为⾓可得,则,进⽽求解.2.【答案】B【解析】【解答】∵，由正弦定理得：，∵，∴，，故三⾓形为直⾓三⾓形，故答案为：B.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为⾓的正弦，利⽤两⾓和公式化简求得的值进⽽求得A，判断出三⾓形的形状.3.【答案】B【解析】【解答】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.故答案为：B.【分析】根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆⾯积S＝πR2＝π.4.【答案】C【解析】【解答】为使此三⾓形有两个，即bsinA＜a＜b，∴2 × ＜a＜2 ，解得：3＜a＜2 ，故答案为：C．【分析】为使此三⾓形有两个，只需满⾜bsinA＜a＜b，即可求a范围．5.【答案】D【解析】【解答】由c＝2，b＝2 ，C＝30°，由正弦定理可得：，，由⼤边对⼤⾓可得：，解得60°或120°．故答案为：D.【分析】由正弦定理可解得，利⽤⼤边对⼤⾓可得范围，从⽽解得A的值．6.【答案】C【解析】【解答】∵，，，∴由正弦定理，可得，∵，B为锐⾓，∴．故答案为：C【分析】由已知利⽤正弦定理可得，结合，可得B为锐⾓，可求．7.【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】利⽤正弦定理可求的值.8.【答案】D【解析】【解答】由正弦定理得，因为，∴，所以，从⽽．故答案为：D．【分析】由正弦定理求C，然后再得A⾓．9.【答案】B【解析】【解答】根据正弦定理可得，即，解得，故答案为：B.【分析】直接利⽤正弦定理，结合题中所给的条件即可得结果.10.【答案】D【解析】【解答】解：在中，⾓A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，，，利⽤正弦定理：，整理得：．故答案为：D．【分析】直接利⽤正弦定理的应⽤和三⾓函数值的应⽤求出结果．11.【答案】B【解析】【解答】由及正弦定理可得，⼜，所以，解得或（舍），⼜，所以.故答案为：B【分析】由正弦定理可得，结合解⽅程组即可得到答案.12.【答案】A【解析】【解答】且为锐⾓三⾓形，，，⼜，，，，，由正弦定理得：，.故答案为：A.【分析】根据锐⾓三⾓形的特点和可确定的取值范围，进⽽求得的取值范围；利⽤正弦定理可得到，进⽽求得结果.13.【答案】C【解析】【解答】，⼜，，锐⾓三⾓形，∴，故，故.故答案为：C.【分析】根据正弦定理得到，计算，得到答案.14.【答案】D【解析】【解答】过点A作AD⊥BD．点D在∠B的⼀条边上，∵h＝csinB＝6 3 3＝b＝AC，因此此三⾓形⽆解．故答案为：D．【分析】由csinB＞b，即可得出解的情况．15.【答案】B【解析】【解答】由正弦定理，，所以，⼜，则，所以，故答案为：B。

正弦定理训练题之阳早格格创做1．正在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝2，则b等于()A.6B. 2C. 3 D．26 2．正在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 33．正在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对于的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝()A．1 B.12C．2 D.144．正在△ABC中，角A、B、C的对于边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为()A．45°或者135° B．135° C．45° D．以上问案皆分歧过失5．△ABC的内角A、B、C的对于边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.26．正在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．没有决定7．正在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．曲角三角形D．等腰三角形或者曲角三角形8．正在△ABC中，角A、B、C所对于的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.9．正在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.10．正在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a ＋c ＝________.11．正在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．12 . 推断谦脚下列条件的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解正弦定理1．正在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．26剖析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B，供得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．正在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323剖析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．正在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对于的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14剖析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 4．正在△ABC 中，角A 、B 、C 的对于边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或者135°B ．135°C ．45°D ．以上问案皆分歧过失a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对于边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6B ．2 C.3D.26sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为钝角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.6．正在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．没有决定A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.7．正在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．曲角三角形 D ．等腰三角形或者曲角三角形剖析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或者2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或者A ＋B ＝π2. 8．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的里积为( )A.32B.34C.32或者3D.34或者32剖析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，供出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有二解，即∠C ＝60°或者120°，∴∠A ＝90°或者30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可供里积． 9．正在△ABC 中，角A 、B 、C 所对于的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 剖析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 问案：π610．正在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.剖析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 问案：3211．正在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.剖析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.问案：8312．正在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．剖析：∵B b C c sin sin =，有B sin 3430sin 2=︒，得sinB=13＞∴此三角形无解． 问案：0一，二，二，无。

正 余 弦 定 理3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c23C π∠=，则a= 。

5、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．6、在∆ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且274sin cos 222B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c .1.在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB ..AB2.在△ABC 中，已知cos A ＝35 ，sin B ＝513 ，求cos C 的值.3、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状.4..在△ABC 中，若sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ，试判断△ABC 的形状.5.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：a 2－b 2c 2 ＝sin （A －B ）sin C. .6..在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc ，并且sin A ＝2sin B cos C ，试判断△ABC 的形状. \1.解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC ＝72＋32－522×7×3 ＝1114 ，又0＜C ＜180°，∴sin C ＝5314在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ∴AB ＝sin C sin B AC ＝5314· 2 ·7＝5622.解：∵cos A ＝35 ＜22＝cos45°，0＜A ＜π∴45°＜A ＜90°，∴sin A ＝45∵sin B ＝513 ＜12 ＝sin30°，0＜B ＜π ∴0°＜B ＜30°或150°＜B ＜180° 若B ＞150°，则B ＋A ＞180°与题意不符.∴0°＜B ＜30° cos B ＝1213∴cos （A ＋B ）＝cos A ·cos B －sin A ·sin B ＝35 ·1213 －45 · 513 ＝1665又C ＝180°－（A ＋B ）.∴cos C ＝cos ［180°－（A ＋B ）］＝－cos （A ＋B ）＝－1665 . 3.解：在原等式两边同乘以sin A 得2cos B sin A sin C ＝sin 2A ， 由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝sin 2A ， ∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形.4.解：∵sin A ＝sin B ＋sin C cos B ＋cos C，∴cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A ，应用正、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ，∴b （a 2c 2－b 2）＋c （a 2－b 2c 2）＝2bc （b ＋c ）， ∴a 2（b ＋c ）－（b ＋c ）（b 2－2bc ＋c 2）＝2bc （b ＋c ） 即a 2＝b 2＋c 2故△ABC 为直角三角形.5.证明：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 两式相减得a 2－b 2＝c （a cos B －b cos A ）， ∴a 2－b 2c 2 ＝a cos B －b cos A c 2.又a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C ，∴a 2－b 2c 2 ＝sin A cos B －sin B cos A sin C ＝sin （A －B ）sin C解：由已知条件（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝bc 及余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）2（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝12∴A ＝60°又由已知条件sin A ＝2sin B cos C 得sin （B ＋C ）＝sin （B ＋C ）＋sin （B －C ） ∴sin （C －B ）＝0，∴B ＝C 于是有A ＝B ＝C ＝60°， 故△ABC 为等边三角形. 3、【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得1sin A =得1sin 2A =，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin90 1.C ==4、【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33a a π+-⨯⨯⨯=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。

完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。

解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。

2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。

解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。

3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。

解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。

代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。

由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。

代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。

由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。

由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。