下载文档原格式
(每日一练)人教版高一数学指对幂函数典型例题单选题1、若√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[12,+∞)B ．(−∞,12]C ．[−12,12]D ．R 答案：B解析：根据根式与指数幂的运算性质，化简得到√(2a −1)2=√(1−2a)33，即可求解.根据根式和指数幂的运算性质，因为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，可化为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，即√(2a −1)2=√(1−2a)33，可得|2a −1|=1−2a ，所以1−2a ≥0，即a ≤12． 故选：B.2、已知a =log πe ，b =ln πe ，c =ln e 2π，则（ ）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <b <a答案：B解析：利用换底公式化简,利用对数函数的单调性、作差法即可得出答案．∵1<πe <√e,∴0<b <12,∵b+c=ln πe+lne2π=ln e=1.∴c>ba−c=1lnπ−(2−lnπ)=1lnπ+lnπ−2>2−2=0∴a>c,∴b<c<a故选：B．小提示：本题考查对数函数的应用，考查换底公式，考查学生的计算能力，属于基础题．3、已知f(x)={2x−2,x≥0−x2+3,x<0，若f(a)＝2，则实数a的值为（）A．－1B．－1或－2C．－1或2D．－1或1或2答案：C解析：根据f(x)={2x−2,x≥0−x2+3,x<0，分a≥0，a<0讨论求解.因为f(x)={2x−2,x≥0−x2+3,x<0，当a≥0时，2a−2=2，即2a=4=22，解得a=2，当a<0时，−a2+3=2，则a2=1，解得a=−1或a=1（舍去）综上：实数a的值为－1或2，故选：C.填空题4、函数y=log0.4(−x2+3x+4)的值域是________.答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)，则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4，所以函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)， 则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254， 而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞).所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.5、若幂函数y =f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________.答案：−2解析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x −13，再求出f(−18)的值得解. 设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a=2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13. 所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2. 所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
(每日一练)人教版高一数学指对幂函数知识总结例题单选题>0，1、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1>0又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0,[f (x 1)−f (x 2)]⋅(x 1−x 2)>0，属中档题.2、指数函数y =a x 的图象经过点(3,18)，则a 的值是（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B解析：将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得a 的值.因为y =a x 的图象经过点(3,18)，所以a 3=18，解得a =12， 故选：B.3、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A ．y =1−x 2B ．y =2|x |C ．y =√xD ．y =lnx答案：B解析：根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案.解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =1−x 2，是二次函数，是偶函数，在区间(0,1)上为减函数，不符合题意；对于B ，y =2|x |={2x ,x ⩾02−x ,x <0 ，既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增，符合题意；对于C ，y =√x ，其定义域为[0，+∞)，不是偶函数，不符合题意；对于D ，y =lnx ，是对数函数，，其定义域为(0,+∞)，不是偶函数，不符合题意；故选：B.填空题4、已知1+2x +4x ⋅a >0对一切x ∈(−∞,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是______．答案：(−34,+∞) 解析：根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值．1+2x +4x ⋅a >0可化为a >−1+2x4x =−2−2x −2−x ，令t =2−x ，由x ∈(−∞,1]，得t ∈[12,+∞)， 则a >−t 2−t ，−t 2−t =−(t +12)2+34在[12,+∞)上递减，当t =12时−t 2−t 取得最大值为−34， 所以a >−34．故答案为(−34,+∞)．小提示：本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.5、按从小到大的顺序，可将2√3,3√2,π√5,2π重新排列为_________（可用计算工具）.答案：2√3<3√2<2π<π√5解析：利用计算器算出每个指数幂的值，即可进行比较.利用计算器2√3=3.32,3√2=4.73,π√5=12.93,2π=8.82，所以2√3<3√2<2π<π√5.所以答案是：2√3<3√2<2π<π√5小提示：此题考查指数幂的大小比较，利用计算器计算求解，也可根据函数单调性处理．。
〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x=是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x=是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．2.3幂函数的图象及性质1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 232．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－123．以下关于函数y ＝x α当α＝0时的图象的说法正确的是( )A ．一条直线B ．一条射线C ．除点(0,1)以外的一条直线D ．以上皆错 4．函数f(x)＝(1－x)0＋(1－x)12的定义域为________． 5．已知幂函数f(x)的图象经过点(2，22)，则f(4)的值为( ) A ．16 B.116 C.12D ．26．下列幂函数中，定义域为{x|x ＞0}的是( ) A ．y ＝x 23 B ．y ＝x 32 C ．y ＝x －13D ．y ＝x －347．已知幂函数的图象y ＝x m2－2m －3(m ∈Z ，x≠0)与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，则m 为( )A ．－1或1B ．－1,1或3C ．1或3D ．3 8．下列结论中，正确的是( )①幂函数的图象不可能在第四象限②α＝0时，幂函数y ＝x α的图象过点(1,1)和(0,0) ③幂函数y ＝x α，当α≥0时是增函数④幂函数y ＝x α，当α<0时，在第一象限内，随x 的增大而减小 A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④9．在函数y ＝2x 3，y ＝x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝x 0中，幂函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．幂函数f(x)的图象过点(3，3)，则f(x)的解析式是________ ．11．函数f(x)＝(m 2－m －5)x m －1是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．12．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·x m2＋m －1，m 为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数？13．已知幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．答案1. 解析：选D.y ＝x 23＝3x 2，其定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同． 2.解析：选B.当x ＝2时，22＞212＞2－12＞2－2，即C 1：y ＝x 2，C 2：y ＝x 12，C 3：y ＝x －12，C 4：y ＝x －2.3.解析：选C.∵y ＝x 0，可知x≠0，∴y ＝x 0的图象是直线y ＝1挖去(0,1)点．4.解析：⎩⎪⎨⎪⎧1－x≠01－x≥0，∴x<1.答案：(－∞，1)5 解析：选C.设f(x)＝x n ，则有2n ＝22，解得n ＝－12，即f(x)＝x －12，所以f(4)＝4－12＝12.6 解析：选D.A.y ＝x 23＝3x 2，x ∈R ；B.y ＝x 32＝x 3，x≥0；C.y ＝x －13＝13x，x≠0；D.y ＝x－34＝14x 3，x ＞0.7 解析：选B.因为图象与x 轴、y 轴均无交点，所以m 2－2m －3≤0，即－1≤m≤3.又图象关于y 轴对称，且m ∈Z ，所以m 2－2m －3是偶数，∴m ＝－1,1,3.故选B.8 解析：选D.y ＝x α，当α＝0时，x≠0；③中“增函数”相对某个区间，如y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，①④正确．9 解析：选B.y ＝x 2与y ＝x 0是幂函数．10 解析：设f(x)＝x α，则有3α＝3＝312⇒α＝12.答案：f(x)＝x 1211 解：根据幂函数的定义得：m 2－m －5＝1，解得m ＝3或m ＝－2，当m ＝3时，f(x)＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－2时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m ＝3.12 解：(1)若f(x)为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m≠0⇒m ＝1. (2)若f(x)为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m≠0⇒m ＝－1. (3)若f(x)为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±213 解：由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3.当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意． ∴m ＝±1或m ＝3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图(1)．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图(2)．.。
拓展延伸应用点一 幂函数的定义【例1】函数y ＝(a 2＋1)·211a x－是幂函数，求a 的值．思路分析：形如y ＝x α的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数，符合此定义即可．解：根据幂函数的定义知：若y ＝(a 2＋1)·11ax －是幂函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝1，1－a 2≠0. 解得a ＝0即为所求．应用点二 幂函数的定义域、值域 【例2】求下列函数的定义域和值域． (1)23=y x-；(2)34=y x-.思路分析：本例是两个幂函数，且幂指数分别为－23，－34，可将分数指数幂化为根式求解．解：(1)解析式化为23=y x-＝13x 2，其定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}； 值域为(0，＋∞)． (2)解析式化为34=y x-＝14x 3，其定义域为(0，＋∞)；值域为(0，＋∞)． 应用点三 幂函数的图象【例3】如图2.37所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )．图2.3-7A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12思路分析：考虑幂函数在第一象限内的增减性．注意当n ＞0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 增幅越快，n ＜0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n ＞0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故c 1的n ＝2，c 2的n ＝12，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝－12，曲线c 4的n ＝－2，故选B.答案：B应用点四 比较大小【例4】比较下列各题中两个值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813.思路分析：比较两个幂的大小关键要看是底数相同还是指数相同． 解：(1)函数y ＝3x 是增函数，所以30.8＞30.7； (2)函数y ＝x 3是增函数，所以0.213＜0.233； (3)212＞1.812＞1.813，所以212＞1.813.下列函数为幂函数的是( )．A ．y ＝2x 3－1B ．y ＝2xC ．y ＝1x2 D ．y ＝2x 2求下列幂函数的定义域．y ＝x 3，13y x ＝，12y x ＝，y ＝x －2，12y x－＝，y ＝x 0.下列幂函数的值域错误的是( )．A ．43y x ＝的值域为[0，＋∞) B ．13y x ＝的值域为RC ．y ＝x－2的值域为(0，＋∞) D ．12y x－＝的值域为[0，＋∞)函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b比较下列各组数的大小．(1)(23)0.5，(35)0.5；(2)788－－，781()9－；(3)254.1，233.8－，351.9 －. 应用点五 解含幂的不等式【例5】(1)已知(0.71.3)m ＜(1.30.7)m ，求m 的取值范围； (2)已知2335x x ＞，求x 的取值范围．思路分析：根据幂函数的图象以及单调性比较大小，求出范围． 解：(1)根据幂函数y ＝x 1.3的图象， 当0＜x ＜1时，0＜y ＜1，∴0＜0.71.3＜1.又根据幂函数y ＝x 0.7的图象，当x ＞1时，y ＞1，∴1.30.7＞1.于是0.71.3＜1.30.7.考查幂函数y ＝x m ，由(0.71.3)m ＜(1.30.7)m 知当x ＞0时，y ＝x m 为增函数，∴m ＞0.(2)函数23y x ＝与35y x ＝的定义域都是R ，23y x ＝的图象分布在第一、二象限；35y x ＝的图象分布在第一、三象限，∴当x ∈(－∞，0)时，2335>x x ；当x ＝0时，显然不合题意；当x ∈(0，＋∞)时，23>x 0，35>x 0，2335x x＝115>1x ，∴x ＞1，即x ＞1时，2335>x x .综上所述，满足条件的x 的取值范围为{x |x ＜0或x ＞1}．迁移1.C 解析：幂函数的表达式y ＝x α(α∈R )的要求比较严格，系数是1，底数是x ，α∈R 为常数，选项A 、B 、D 都是幂函数类型的函数，选项C 中y ＝x－2是幂函数．迁移2.解：y ＝x 3的定义域是R ；13y x ＝的定义域是R ；12y x ＝的定义域是[0，＋∞)；y ＝x －2＝1x2的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；12121y x x－＝＝的定义域是(0，＋∞)；y ＝x 0的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 迁移3.D 解析：12121y x x－＝，∵x ＞0，∴y ＞0.∴值域为(0，＋∞)．迁移4.A 解析：按幂函数的图象特征判断，也可作一条直线x ＝m (m ＞1)与各图象相交，按交点的高低判断．迁移5.解：(1)∵幂函数y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是单调递增函数， 又∵23＞35，∴(23)0.5＞(35)0.5.(2)∵778818()8－－＝－，又∵幂函数y ＝78x 在(0，＋∞)上是单调递增函数，又18＞19，∴778811()>()89.∴778811()<()89－－，即77881<()9－－8－.(3)∵22554.1>1＝1,0＜22333.8<1－－＝1， 351.9<0－－，∴2235354.1>3.8> 1.9－－－.。
3.3幂函数【知识梳理】知识点一幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y xy ＝x－1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是________．①y ＝x 0；②y ＝x 3；③y ＝2x ；④y ＝x －1.2．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a>>>3．已知幂函数f (x )＝k ·x αk ＋α等于()A.12B ．1C.32D ．24．函数()12f x x -=的定义域为_______，值域为___________．5．已知幂函数()()221m f x m m x +=-+是奇函数，则m =___________.【例题详解】一、幂函数的概念例1(1)给出下列函数：①31y x=；②32y x =-；③42y x x =+；④y =；⑤()21y x =-；⑥0.3x y =，其中是幂函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知幂函数()(R,R)f x k x k αα=⋅∈∈的图象经过点(14,2)，则k α+=（）A ．12B ．1C ．32D ．2(3)若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数=a ______．跟踪训练1(1)下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2xy =(2)（多选）如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．0B ．2C ．1D ．无解(3)已知幂函数()2232(1)mm f x m x -+=-在()0+∞，上单调递增，则()f x 的解析式是_____.二、幂函数的图象及应用例2(1)如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x -=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =(2)函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．跟踪训练2(1)图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3(2)在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是()A ．B ．C ．D ．三、比较幂值的大小例3(1)1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小关系是（）A ．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B ．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C ．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1D ．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1(2)下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭跟踪训练3(1)设1313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12c =，则（）A ．a b c<<B ．c a b<<C ．b c a<<D ．b a c<<(2)已知0.325a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．b<c<aD ．b a c<<四、幂函数性质的应用例4(1)若幂函数f （x ）的图象过点（16，8），则f （x ）<f （x 2）的解集为（）A ．（–∞，0）∪（1，+∞）B ．（0，1）C ．（–∞，0）D ．（1，+∞）(2)已知12()3f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（）．A ．11()()f a f b f f a b ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11()()f f f b f a a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11()()f a f b f f b a ⎛⎫⎛⎫<<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11()()f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)已知函数355()3f x x =，若当()0,x ∈+∞时，()0a f x f x ⎛+-> ⎝恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．(),2-∞C ．()3,+∞D ．(),1-∞跟踪训练4(1)对于幂函数45()=f x x ，若0<a <b ，则2+⎛⎫⎪⎝⎭a b f ，()()2f a f b +的大小关系是________．(2)已知幂函数的图象经过点1(,22，那么()f x 的解析式为____________；不等式()2f x ≤的解集为____________.(3)已知幂函数39m y x -=（*m N ∈）的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是减函数．（i ）求m 的值；（ii ）求满足不等式33(1)(32)m m a a +<-的实数a 的取值范围．【课堂巩固】1．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x2．函数y =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限4．对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方．（3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．5．幂函数()()222mm m f x x =+-在区间()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为______．6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．7．已知幂函数()()211m f x m m x +=--是奇函数，则实数m 的值为________.8．已知幂函数1101 ()f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()182f a f a -<-，则a 的取值范围是__________.9．比较下列各组数的大小：(1)33()(2 2.5)----，；(2)788-，7819⎛⎫ ⎪⎝⎭.10．已知幂函数()()222322N mm y k k xm --*=--⋅∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数.(1)求m 和k 的值；(2)求满足()()132mma a --+<-的a 的取值范围.11．已知幂函数()y f x =的表达式为223()(21)()n n f x m x n -++=-∈Z ，函数()y f x =的图像关于y 轴对称，且满足(3)(5)f f <，求m n +的值．12．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1,3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．【课时作业】1．“当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数”是“1m =-或2”的（）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要2．已知幂函数122()(32)m f x m m x -=-满足(2)(3)f f >，则m =（）A ．23B ．13-C ．1D ．1-3．函数23y x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4．给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x =⑤()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是（）A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ）C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx =+与幂函数(0)ba y x x =>图像的关系可能为（）A ．B ．C ．D ．7．已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（）A ．12B ．1C D ．28．函数()()2231mm f x m m x +-=--是幂函数，对任意()12,0,,x x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,a b R ∈，且0,0a b ab +><，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断9．（多选）已知幂函数()()2m f x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m -<-D 2=10．（多选）下列说法正确的是（）A ．若幂函数的图象经过点1(,2)8，则解析式为13y x -=B ．若函数()45f x x -=，则()f x 在区间(,0)-∞上单调递减C ．幂函数y x α=()0α>始终经过点(0,0)和()1,1D ．若幂函数()()2223m f x m m x =--图象关于y 轴对称，则()()2253f a a f -+->11．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为__________.12．不等式()()2233213x x +<-的解为______.13．已知幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，且()()212f b f b -<-，则b 的取值范围是______.14．已知幂函数()f x 经过点(9,3)，则不等式()211f x x -+<的解集为___________．15．已知幂函数()()35m f x xm N -=∈在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，求m 的值．16．已知幂函数f （x ）=()12-+m m x （m ∈N *）的图象经过点(2．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （a 的取值范围．17．已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f x g x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.18．已知幂函数22+1()=(2+2)m f x m m x -在(0,)+∞上是减函数(1)求()f x 的解析式(2)若f f <，求a 的取值范围.。
第二章基本初等函数（1）2.3 幂函数测试题知识点：幂函数的概念1、下列函数中是幂函数的是( )A.y=B.y=2x-2C.y=x+1D.y=12、下列函数中,是幂函数的是( )A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x23、已知幂函数的图象过点(8,2),则其解析式是( )A.y=x+2B.y=C.y=D.y=x34、下列幂函数中过点(0,0),(1,1)的偶函数是( )A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=5、下列函数:①y=x2+1;②y=;③y=3x2-2x+1;④y=x-3;⑤y=+1.其中是幂函数的是( )A.①⑤B.①②③C.②④D.②③⑤6、(2014·石家庄高一检测)已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(25)= .7、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.8、比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.9、(2015·长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图象不过原点,则m的取值范围为( )A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=110、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-411、在下列函数中,定义域为R的是( )A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-112、幂函数f(x)=xα过点,则f(x)的定义域是.13、(2015·铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.知识点：常见幂函数的图像和性质14、(2015·沈阳高一检测)下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=B.y=x2C.y=x3D.y=15、函数y=x-2在区间上的最大值是( )A. B. C.4 D.-416、幂函数y=x-2的图象大致是( )17、(2014·宿州高一检测)已知函数f(x)=(m2+2m),m为何值时,f(x)是(1)正比例函数.(2)反比例函数.(3)二次函数.(4)幂函数.18、(2014·济宁高一检测)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x m为减函数,则实数m的值为.19、若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.【参考答案】1【解析】选A.y==符合幂函数的定义,而B,C,D均不是幂函数.【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项2C中y==x-1符合幂函数的特征.【解析】选B.设幂函数解析式为y=xα,因为图象过点(8,2),所以8α=2,所以α=,所3以y=.【解析】选B.因为y=是非奇非偶函数,y=是奇函数,y=x-2图象不过点(0,0),所以4A,C,D均不正确.5 【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知②④符合,而①③⑤中有常数项1,均不符合幂函数的特征.6 【解析】设f(x)=xα,代入得9α=. 即32α=3-1,所以2α=-1,所以α=-.所以f(x)=,所以f(25)=2=.答案:7 【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log23,则f(x)=,于是f====. 答案:8 【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限内单调递增,而0.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.9 【解析】选D.由题意得解得m=1.10【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,所以x=时,取得最大值为4.11【解析】选C.选项A中函数的定义域为[0,+∞),选项B,D中函数的定义域均为(-∞,0)∪(0,+∞).12 【解析】因为幂函数f(x)过点,所以=2α, 所以α=-1,所以f(x)=x-1=,所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:(-∞,0)∪(0,+∞)13 【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y≥0,故该函数的值域为[0,+∞).答案:[0,+∞)14【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-∞,0)上是减函数.15【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,所以x=时,取得最大值为4.16【解析】选B.因为y=x-2=,所以y=x-2是定义域为{x|x≠0}的偶函数,故选B.17 【解析】(1)当m2+m-1=1,且m2+2m≠0时,即m=1,f(x)是正比例函数.(2)当m2+m-1=-1,且m2+2m≠0时,即m=-1,f(x)是反比例函数.(3)当m2+m-1=2,且m2+2m≠0时,即m=,f(x)是二次函数.(4)当m2+2m=1时,即m=-1±,f(x)是幂函数.18 【解析】由于函数y=(m2-m-1)x m为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=2时函数在(0,+∞)上递增,所以要舍去. 当m=-1时函数在(0,+∞)上递减,所以m=-1符合题意,故填-1.答案:-119 【解析】依题意设f(x)=xα,则有=3,得α=log23,则f(x)=,于是f====. 答案:。
高一数学幂函数习题及答案高一数学幂函数习题及答案在高一数学课程中，幂函数是一个非常重要的概念。
幂函数是指形如f(x) =ax^b的函数，其中a和b是常数，x是自变量。
在本文中，我们将探讨一些关于幂函数的习题，并提供相应的答案。
1. 习题一：已知函数f(x) = 2x^3，求f(2)的值。
解答：将x替换为2，得到f(2) = 2(2)^3 = 2(8) = 16。
因此，f(2)的值为16。
2. 习题二：已知函数g(x) = 4x^2，求g(0)的值。
解答：将x替换为0，得到g(0) = 4(0)^2 = 4(0) = 0。
因此，g(0)的值为0。
3. 习题三：已知函数h(x) = 5x^-2，求h(1)的值。
解答：将x替换为1，得到h(1) = 5(1)^-2 = 5(1/1^2) = 5(1/1) = 5。
因此，h(1)的值为5。
4. 习题四：已知函数k(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x - 1，求k(-1)的值。
解答：将x替换为-1，得到k(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 - 3(-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 2 - 3 - 1 - 1 = -5。
因此，k(-1)的值为-5。
5. 习题五：已知函数m(x) = (1/2)x^2 - 3x + 2，求m(3)的值。
解答：将x替换为3，得到m(3) = (1/2)(3)^2 - 3(3) + 2 = (1/2)(9) - 9 + 2 = 4.5 - 9 + 2 = -2.5。
因此，m(3)的值为-2.5。
通过以上习题，我们可以看到幂函数的计算方法。
对于给定的函数，我们只需将自变量替换为相应的值，然后按照幂函数的定义进行计算即可。
在实际应用中，幂函数常常用于描述各种变化规律，如物体的增长、衰减等。
除了计算习题，我们还可以通过绘制幂函数的图像来更好地理解其特点。
下面是几个常见的幂函数图像：1. 当b>0时，函数f(x) = ax^b的图像呈现出从左下方向右上方递增的趋势。
幂函数练习题及答案幂函数是数学中常见的一类函数，其形式为 f(x) = a^x，其中 a 为常数且a ≠ 0。
幂函数在数学中有广泛的应用，涉及到各个领域的问题。
本文将通过一些幂函数的练习题及其答案，来帮助读者更好地理解和掌握幂函数的性质和运算。
1. 练习题一：简单的幂函数求值计算以下幂函数在给定点上的函数值：(a) f(x) = 2^x，当 x = 3；(b) g(x) = (-3)^x，当 x = -2；(c) h(x) = 0.5^x，当 x = 4。
答案：(a) f(3) = 2^3 = 8；(b) g(-2) = (-3)^(-2) = 1/((-3)^2) = 1/9；(c) h(4) = 0.5^4 = 1/2^4 = 1/16。
这些计算可以通过将给定的 x 值代入幂函数的定义中进行求解。
注意负指数的处理方式。
2. 练习题二：幂函数的图像与性质研究以下幂函数的图像，并回答相应问题：(a) f(x) = 2^x；(b) g(x) = (-2)^x；(c) h(x) = 3^x。
答案：(a) f(x) = 2^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。
当 x 取负值时，函数值逐渐趋近于 0，当 x 取正值时，函数值逐渐增大。
(b) g(x) = (-2)^x 的图像是一条交替变化的曲线。
当 x 为偶数时，函数值为正，当 x 为奇数时，函数值为负。
(c) h(x) = 3^x 的图像是一条递增曲线，穿过点 (0, 1)。
函数值随 x 的增大而迅速增大。
通过观察这些幂函数的图像，我们可以发现幂函数的一些共同性质，如递增或递减性、穿过点 (0, 1)、趋近于 0 等。
3. 练习题三：幂函数的运算计算以下幂函数的运算结果：(a) f(x) = 2^x * 2^3；(b) g(x) = (2^x)^3；(c) h(x) = 2^(x+3)。
答案：(a) f(x) = 2^x * 2^3 = 2^(x+3)；(b) g(x) = (2^x)^3 = 2^(3x)；(c) h(x) = 2^(x+3) = 2^x * 2^3。
幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是( )A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq(|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x pq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xpq的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x 75是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x 25是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x 85或t＝－1且f(x)＝x25.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解 根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式 已知y ＝(m 2＋2m －2)x1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1978.分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1978.点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式 比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23；(2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.(2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3<(3－2a)－m3的a的范围．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，∴有(a＋1)－13<(3－2a)－13.又∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a，解得23<a<32或a<－1.点评(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y＝xm2－2m－3 (m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．解由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2答案 A3．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝x －2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．26 B ．64 C.24D.164答案 C解析 设f (x )＝x α(α为常数)，将⎝⎛⎭⎪⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x 2C ．y ＝x －2D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析 由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上， ∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5 解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
简单的幂函数习题举例题组一：幂函数的概念例1：下列函数是幂函数的是：．①()2xf x =．②2()3f x x =．③2()f x x =-．④()f x x π=．⑤3()(1)f x x =-．⑥21()f x x =2．已知2212()(2)m m f x m xm --=+,当m 取何值时,〔1()f x 是幂函数；〔2()f x 是正比例函数〔3()f x 是反比例函数 1．下列函数中是幂函数的是〔 ①31y x =②m y ax =〔,a m 为非零常数,且1a ≠； ③145y x x =+④n y x = ⑤3(6)y x =-⑥28y x =⑦2y x x =+⑧1y =A ．①②③⑧B ．①④C ．③④⑤⑥D ．②④⑦参考答案：B2．在函数y=,32y x =,21y x =+,3(1)y x =+中,幂函数的个数为〔 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4参考答案：A3．已知2121(23)(22)m y n m x m -=+-+-⋅是幂函数,求,m n 的值。
参考答案：33,2m n =-= 4．已知函数f <x >＝<m 2＋2m >·xm 2＋m －1,m 为何值时,f <x >是：<1>正比例函数；<2>反比例函数；<3>二次函数；<4>幂函数？解：<1>若f <x >为正比例函数,则错误!⇒m ＝1；<2>若f <x >为反比例函数,则错误!⇒m ＝－1；<3>若f <x >为二次函数,则错误!⇒m ＝错误!；<4>若f <x >为幂函数,则m 2＋2m ＝1,∴m ＝－1±错误!.5．下列函数中是幂函数的是<>A ．y ＝3x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x －1＋1D ．y ＝x 3.14[答案] D题组二：函数奇偶性的判断。
