安徽省蚌埠市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(含答案)

安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．空间直角坐标系中，点)3,2,1(P 关于平面xOz 对称的点的坐标为（ ） A ．)3,2,1(- B ．)3,2,1(- C ．)3,2,1(- D ．)3,2,1(---2．若直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 平行，则a 的值为（ ）A ．1=aB ．2=aC ．2-=aD ．1-=a3．将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为21,S S ，那么=21:S S （ ）A ．2:1B ．1:2C ．4:1D ．1:44．准线为43-=y 的抛物线标准方程是（ ） A ．y x 32= B ．223x y -= C ．23y x = D ．223y x -=5．下列命题中正确的是（ ）A ．如果平面⊥α平面β，则α内任意一条直线必垂直于βB ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l6．已知双曲线12222=-by a x 的一个焦点为)0,2(F ，且离心率2=e ，则双曲线的方程为（ ）A ．13722=-y xB ．17322=-y xC ．1322=-y xD ．1322=-y x 7．“直线b a ,不相交”是“直线b a ,为异面直线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件8．易知点M 是直线0243=-+y x 上的动点，点N 为圆1)1()1(22=+++y x 上的动点，则||MN 的最小值为（ ） A.54 B. 1 C.59 D.513 9．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．348m B ．330m C ．328m D ．324m10．双曲线12222=-by a x 右焦点为F ，点A 在双曲线的右支上，以AF 为直径的圆M 与圆222a y x =+的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切11．《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面ABCD 为矩形，棱AB EF //.若此几何体中，ADE EF AB ∆==,2,4和BCF ∆都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）A ．38B ．388+C ．3226+D ．32268++ 12．设抛物线x y 22=的焦点为F ，两垂直直线过F ，与抛物线相交所得的弦分别为CD AB ,，则||||CD AB ⋅的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是 .14．直线l 垂直于0143=-+y x ，且平分圆C ：044222=+-++y x y x ，则直线l 的方程为 .15．将边长为1的正方形O O AA 11（及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，0120=∠AOC ，011160=∠B O A ，其中1B 与C 在平面O O AA 11的同侧，则异面直线C B 1与1AA 所成角的大小是 .16．已知点),1(e A 和点)23,(e B 都在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上，其中e 为椭圆的离心率，则=e .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知p ：01452≤--x x ，q ：)0(0)]1()][1([>≤--+-a a x a x .若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知圆C 的圆心在直线012=--y x 上，且圆C 经过点)2,0(),2,4(B A . （1）求圆的标准方程；（2）直线l 过点)1,1(P 且与圆C 相交，所得弦长为4，求直线l 的方程.19．在三棱锥ABC V -中，平面⊥VAB 平面ABC ，BC AC =，M O ,分别为VA AB ,的中点.（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）求证：平面⊥MOC 平面VAB .20．已知抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，直线4=y 与y 轴交于点P ，抛物线C 交于点Q ，且||45||PQ QF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过原点O 作斜率为1k 和2k 的直线分别交抛物线C 于B A ,两点，直线AB 过定点)0,2(T ，21k k 是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.21．如图，ABC ∆中，090,4,2=∠==ACB BC AC ，E D ,分别是AB AC ,的中点，将ADE ∆沿DE 折起成PDE ∆，使面⊥PDE 面BCDE ，F H ,分别是PD 和BE 的中点，平面BCH 与PE ，PF 分别交于点G I ,. （1）求证：BC IH //；（2）求二面角C GI P --的正弦值.22．经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中心的弦称为椭圆的直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹所在直线交椭圆所得的弦，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为1422=+y x . （1）若一条直径的斜率为31，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）如图，若椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为21,k k ，证明：四边形ACBD 的面积为定值.试卷答案一、选择题1-5：BDCAC 6-10：DBABB 11-12：BA二、填空题13．存在四面体没有内切球 14．01034=+-y x 15．4π 16．22 三、解答题17．解：p ：720)2)(7(01452≤≤-⇔≤+-⇔≤--x x x x xq ：a x a a x a x +≤≤-⇔≤--+-110)]1()][1([∵p 是q 的充分不必要条件，∴q p ⇒，p p即}72|{≤≤-x x }11|{a x a x +≤≤-∴⎪⎩⎪⎨⎧>≥+-≤-07121a a a 且两个等号不同时成立，解得6≥a 故实数a 的取值范围是),6[+∞.18．（1）解 ：（Ⅰ）设圆心为M ，则M 应在AB 的中垂线上，其方程为2=x ， 由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=320122y x y x x ，即圆心M 坐标为)3,2(又半径5||==MA r ，故圆的方程为5)3()2(22=-+-y x .（Ⅱ）点)1,1(P 在圆内，且弦长为524<，故应有两条直线. 圆心到直线距离145=-=d .①当直线的斜率不存在时，直线的方程为1=x ， 此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为k ，直线方程为)1(1-=-x k y 整理为01=+--k y kx ，则圆心到直线距离为11|132|2=++--=k k k d解得43=k ，直线方程为0143=+-y x 综上①②，所求直线方程为1=x 或0143=+-y x . 19．（1）因为M O ,分别为VA AB ,的中点，所以VB OM //， 又因为⊄VB 平面MOC ，⊂OM 平面MOC ，所以//VB 平面MOC . （2）证明：因为BC AC =，O 为AB 的中点，所以AB OC ⊥.又因为平面⊥VAB 平面ABC ，平面 VAB 平面AB ABC =，且⊂OC 平面ABC ， 所以⊥OC 平面VAB ，又⊂OC 平面MOC ，所以平面⊥MOC 平面VAB . 20. 解：（1）)4,8(),4,0(p Q P ，由||45||PQ QF =以及抛物线定义可知，4528=+p p∵0>p ，∴2=p ，抛物线C 的方程为x y 42=.（2）不妨设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB ：2+=my x ，由⎩⎨⎧=+=xy m y x 422，得0842=--my y ，821-=y y ， 故21621212121-===y y x x y y k k . 21.(1)证明：∵E D ,分别是AB AC ,的中点，∴BC DE //，而⊂DE 平面PDE ，⊄BC 平面BC A 1， ∴//BC 平面PDE又平面 BCH 平面IH PDH =，故BC IH //. （2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)1,0,0(P ，)0,21,3(F ，)21,0,0(H ，∴)1,0,2(-=EP ，)0,21,1(=EF ，)21,1,0(-=CH ，)0,0,1(21==DE HI ，设平面PGI 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅0212y x z x n EP ，令1=x ，解得2,2=-=z y ， ∴)2,2,1(-=设平面CGI 的一个法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅0021a c b m CH ，取1=b ，得)2,1,0(=，设二面角C GI P --的平面角为θ， 则155253|42||||||cos |=⨯+-==n m n m θ，∴15205sin =θ. ∴二面角C GI P --的正弦值为15205. 22. 解：（1）设与斜率为31的直径平行的弦的端点坐标为),(),,(2211y x y x ， 该弦中点为),(y x ，则有14,1422222121=+=+y x y x ， 相减得0))((4))((21212121=+-++-y y y y x x x x由于221x x x +=，221y y y +=，且312121=--x x y y ，所以得043=+y x 故该直径的共轭直径所在的直线方程为043=+y x . （2）证明：椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为21,k k ，四边形ACBD 显然为平行四边形.设与AB 平行的弦的端点坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则2121221211,x x y y k x x y y k ++=--=，而14,1422222121=+=+y x y x ，0))((4))((21212121=+-++-y y y y x x x x故4122221222121-=--=x x y y k k 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=14221y x xk y 得B A ,的坐标分别为)412,412(21121k k k ++，)412,412(21121k k k +-+-， 故21211414||k k AB +⋅+=同理D C ,的坐标分别为)412,412(22222k k k ++，)412,412(22222k k k +-+-设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，则22212121222221411||21|412412|k k k k k k k k k d +⋅+-=++-+=，21212221211414411||2||k k k k k k AB d S +⋅+⋅+⋅+-=⋅=416)(41284141||822212221212221222121=+++-+⨯=+⋅+-=k k k k k k k k k k k k 为定值.。

安徽省蚌埠市2017-2018学年高二上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】点关于平面对称的点的坐标为,选B2. 若直线：与直线：平行，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3. 将半径相同，圆心角之比为1：2的两个扇形作为两个圆锥的侧面，这两个圆锥底面面积依次为，那么（）A. B. C. D.【答案】C...............4. 准线为的抛物线标准方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】准线为的抛物线标准方程是，选A.5. 下列命题中正确的是（）A. 如果平面平面，则内任意一条直线必垂直于B. 若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线C. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D. 若直线不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线【答案】C【解析】如果平面平面，则内一条直线不一定垂直于；若直线不平行于平面，且直线在平面内，则内有无数条直线平行于直线；若直线不垂直于平面，且直线在平面内，则内有无数条直线垂直于直线；所以A,B,D都错；因为平面内存在直线垂直于平面则有平面垂直于平面，所以其逆否命题也成立，即C正确，选C.6. 已知双曲线的一个焦点为，且离心率，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即双曲线的方程为，选D.7. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线不相交”是“直线为异面直线”的必要不充分条件，选B.8. 易知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（）A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】的最小值为 ,选A.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．9. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】几何体为两个柱体的组合，高皆为4，一个底面为梯形（上底为1，下底为2，高为1），另一个为矩形，长为3，宽为2，所以体积为，选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．10. 双曲线右焦点为，点在双曲线的右支上，以为直径的圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切【答案】B【解析】设为左焦点，则，从而圆心O到AF中点M距离为，所以以为直径的圆与圆的位置关系是外切，选B.点睛：判断圆与圆位置关系，实质就是探求圆心距与两半径之间关系，利用圆锥曲线定义揭示两圆圆心距与半径关系.11. 《九章算术》提到了一种名为“刍甍”的五面体如图：面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ．∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，∴OP=（AB﹣EF）=1，PF=，OQ=BC=1，∴OF==，FQ==，∴S梯形EFBA=S梯形EFCB==3，又S△BCF=S△ADE==，S矩形ABCD=4×2=8，∴几何体的表面积S==8+8．故选：B．12. 设抛物线的焦点为，两垂直直线过，与抛物线相交所得的弦分别为，则的最小值为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】设倾斜角为，则，因为垂直，所以因此，选A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是______.【答案】存在四面体没有内切球【解析】命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：存在四面体没有内切球14. 直线垂直于，且平分圆：，则直线的方程为_______. 【答案】【解析】设直线：，因为过圆心（-1，2），所以，即15. 将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是_______.【答案】【解析】试题分析：设点在下底面圆周的射影为,连结,则,为直线与所成角(或补角),,连结,，为正三角形,,直线与所成角大小为.考点：异面直线所成角.【方法点睛】求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.16. 已知点和点都在椭圆上，其中为椭圆的离心率，则_______.【答案】【解析】点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知：，：.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先解不等式得p,q,再根据是的充分不必要条件得p,q包含关系，最后根据数轴求实数的取值范围.试题解析：：：∵是的充分不必要条件，∴，即∴且两个等号不同时成立，解得故实数的取值范围是.18. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.（1）求圆的标准方程；（2）直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：（1）先求的中垂线方程，再求交点得圆心，最后求半径（2）根据垂径定理得圆心到直线距离，设直线点斜式，根据点到直线距离公式求斜率，最后验证斜率不存在的情况是否满足条件试题解析：（1）解：（Ⅰ）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，由，即圆心坐标为又半径，故圆的方程为.（Ⅱ）点在圆内，且弦长为，故应有两条直线.圆心到直线距离.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意.②当直线的斜率存在时，设为，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为解得，直线方程为综上①②，所求直线方程为或.19. 在三棱锥中，平面平面，，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果（2）先根据等腰三角形性质得.再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据面面垂直判定定理得结果试题解析：（1）因为分别为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为，为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.20. 已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过原点作斜率为和的直线分别交抛物线于两点，直线过定点，是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）先求点P,Q坐标，再根据求得（2）先设，则，再根据点在抛物线上化简得，最后根据直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理解得，即得试题解析：（1），由以及抛物线定义可知，∵，∴，抛物线的方程为.（2）不妨设，直线：，由，得，，故.21. 如图，中，，分别是的中点，将沿折起成，使面面，分别是和的中点，平面与，分别交于点.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，最后根据线面平行性质定理得结论（2）根据以及建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，由向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果试题解析：(1)证明：∵分别是的中点，∴，而平面，平面，∴平面又平面平面，故.（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：，，，，，∴，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，∴设平面的一个法向量为，则，取，得，设二面角的平面角为，则，∴.∴二面角的正弦值为.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22. 经过椭圆中心的弦称为椭圆的直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹所在直线交椭圆所得的弦，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）如图，若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用点差法计算. 设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，该弦中点为，将坐标代入椭圆方程，作差，然后化简得，即直径的共轭直径所在的直线方程为；（2）四边形显然为平行四边形，联立直线的方程和椭圆的方程，分别求得四点的坐标分别为，，，，然后利用两点间距离公式和点到直线距离公式，求得面积为.试题解析：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，，该弦中点为，则有，，相减得：，由于，，且，所以得：，故该直径的共轭直径所在的直线方程为.（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，，则，，而，，，故，由得的坐标分别为，故，同理的坐标分别为，设点到直线的距离为，四边形的面积为,所以，，则，为定值.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．点差法，设而不求是一个很经典的方法.。

蚌埠市2015～2016学年度第一学期期末学业水平监测高二数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的A、B、C、D 四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号代号写在答题卡上。

1.直线x 3y ＋2＝0的倾角为A．－π6B．π56C．－π3D．π232.命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0”的否定是A．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0B．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ＞0C．∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a ＞0D．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤03.以下命题正确的是A．经过空间中的三点，有且只有一个平面B．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等C．空间中，两条异面直线所成角的范围是(0，π2]D．如果直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l 平等于平面α4.已知圆M 的方程为2x 2＋2y 2＋4x －5y ＝0，则下列说法中不正确的是A．圆M 的圆心为(－1，54)B．圆M 的半径为334C．圆M 被x 3D．圆M 被y 轴截得的弦长为1725.已知a ，b ，c 是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，直线l ∥α，则A．a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b B．a ∥β，b ∥β⇒a ∥bC．a ∥c ，c ∥α⇒a ∥αD．a ∥l ⇒a ∥α6.“a ＝－1”是“直线l 1：(a 2＋a )x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0垂直”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.某几何体的三视图(单位：cm)如图，则这个几何体的表面积为(单位：cm 2)33338.已知P (2cos α，3sin α，1)和Q (2cos β，3sin β，1)则|PQ|的取值范围是A．(1，25)B．C．D．(1，5)9.若直线l 的方向向量为u ＝(1，1，2)平面α的法向量为n ＝(－3，3，－6)，则A．l ∥αB．l ⊥αC．l ⊂αD．l 与α与斜交10.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球P 的球面上，且AB ＝4，BC ＝3，则棱锥P －ABCD 的体积为33C．33311.已知不等式组x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋3－63＋－2－－2表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为A．2B．3C．4D．512.在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋16＝0，若直线kx －y ＋3＝0上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆M 有公共点，则k 的取值范围是A．(－∞，43]B．D．(－∞，43]∪，使得xe ＋x 2＋3－m ＜0”是假命题，则实数m 的取值范围为___________________。

蚌埠市２０１６—２０１７学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题５分，共６０分）题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＣＣＡＢＢＡＤＢＣＤＡＡ二、填空题：（每小题５分，共２０分）槡５２７ｘ＋ｙ＝０１ａ≤０三、解答题：（本题满分１２分）解：（Ⅰ）∵ｚ１ｚ２＝－５＋５ｉ∴ｚ２＝－５＋５ｉｚ１＝－５＋５ｉ－２＋ｉ＝３－ｉ６分…… … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）ｚ２＝（３－ｚ２）［（ｍ２－２ｍ－３）＋（ｍ－１）ｉ］＝ｉ［（ｍ２－２ｍ－３）＋（ｍ－１）ｉ］＝－（ｍ－１）＋（ｍ２－２ｍ－３）ｉ所对应的点在第四象限∵ｚ１所对应的点在第四象限∴－（ｍ－１）＞０ｍ２－２ｍ－３＜{０∴实数ｍ的取值范围是－１＜ｍ＜１１２分…… … … … … … … … … … … … …（本题满分１２分）解：（Ⅰ）∵Ｋ２＝１００（６０×１０－２０×１０）２７０×３０×８０×２０＝１００２１＞３．８４１所以有９５％的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”６分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）从５名数学系学生中任取３人的一切可能结果所组成的基本事件共１０个：（ａ１，ａ２，ｂ２），（ａ１，ａ２，ｂ２），（ａ１，ａ２，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ２，ｂ３），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ２，ｂ３），（ｂ１，ｂ２，ｂ３），其中ａｉ（ｉ＝１，２）表示喜欢甜品的学生，ｂｊ（ｊ＝１，２，３）表示不喜欢甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的用表示“３人中至多有１人喜欢甜品”这一事件，则事件由７个基本事件组成：（ａ１，ｂ１，ｂ２），（ａ１，ｂ１，ｂ３），（ａ１，ｂ２，ｂ３），（ａ２，ｂ１，ｂ２），（ａ２，ｂ１，ｂ３）（ａ２，ｂ２，ｂ３），（ｂ１，ｂ２，ｂ３）∴Ｐ（Ａ）＝７１０１２分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（本题满分１２分）解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（２ｘ－π６）＋２ｃｏｓ２ｘ－１）页３共（页１第准标分评及案答考参）科文（学数二高市埠蚌＝槡３２ｓｉｎ２ｘ－１２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝槡３２ｓｉｎ２ｘ＋１２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ（２ｘ＋π６），由－２＋２ｋπ≤２ｘ＋π６≤π２＋２ｋπ（ｋ∈Ｚ）得，－π３＋ｋπ≤ｘ≤π６＋ｋπ（ｋ∈Ｚ），故ｆ（ｘ）的单调递增区间是［－π３＋ｋπ，π６＋ｋπ］（ｋ∈Ｚ）６分…… … … … …（２）ｆ（Ａ）＝ｓｉｎ（２Ａ＋π６）＝１２，０＜Ａ＜π，π６＜２Ａ＋π６≤２π＋π６，于是２Ａ＋π６５π６，故Ａ＝π３由ｂ、ａ、ｃ成等差数列得：２ａ＝ｂ＋ｃ，由ＡＢ→·ＡＣ→＝９得：ｂｃｃｏｓＡ＝９，１２ｂｃ＝９，ｂｃ＝１８，由余弦定理得：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝（ｂ＋ｃ）２－３ｂｃ，于是，ａ２＝４ａ２－５４，ａ２＝１８，ａ＝槡３１２分……………………………………（本题满分１２分）证明：（Ⅰ）因为ａ＞０，ｂ＞０且ａ≠ｂ，所以ａ＋ｂ＝（ａ＋ｂ）（１ａ＋１ｂ）＝１＋１＋ｂａ＋ａｂ＞２＋２ｂａａ槡ｂ所以ａ＋ｂ＞４６分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）因为ａ＞ｂ＞ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝０，所以ａ＞０，ｃ＜０，要证明原不等式成立，只需证明ｂ２槡－ａｃ＜槡３ａ即证ｂ２－ａｃ＜３ａ２，又ｂ＝－（ａ＋ａ＋ｃ），从而只需证明（ａ＋ｃ）２－ａｃ＜３ａ２，即证（ａ－ｃ）（２ａ＋ｃ）＞０，因为ａ－ｃ＞０，２ａ＋ｃ＝ａ＋ａ＋ｃ＝ａ－ｂ＞０，所以（ａ－ｃ）（２ａ＋ｃ）＞０成立，故原不等式成立１２分…… … … … … … …（本题满分１２分）（Ⅰ）证明：∵ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ，ｆ′（ｘ）＝１－１ｘ＝ｘ－１ｘ，∴当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０，此时ｆ（ｘ）单调递减；当１＜ｘ＜ｅ时，ｆ′（ｘ）＞０，此时ｆ（ｘ）单调递增∴ｆ（ｘ）的极小值为ｆ（１）＝１，即ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上的最小值为１，令ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋１２＝ｌｎｘｘ＋１２，ｈ′（ｘ）＝１－ｌｎｘｘ２，当０＜ｘ＜ｅ时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递增，∴ｈ（ｘ）ｍａｘ＝ｈ（ｅ）＝１ｅ＋１２＜１２＋１２＝ｆ（ｘ）ｍｉｎ．∴ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）＋１２恒成立６分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … …）页３共（页２第准标分评及案答考参）科文（学数二高市埠蚌（Ⅱ）假设存在实数ａ，使ｆ（ｘ）＝ａｘ－ｌｎｘ（ｘ∈（０，ｅ］）有最小值３，ｆ′（ｘ）＝ａ－１ｘ＝ａｘ－１ｘ①当ａ≤０时，ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递减，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｅ）＝ａｅ－１＝３，ａ＝４ｅ（舍去），∴ａ≤０时，不存在ａ使ｆ（ｘ）的最小值为②当０＜１ａ＜ｅ时，ｆ（ｘ）在（０，１ａ）上单调递减，在（１ａ，ｅ］上单调递增，∴ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（１ａ）＝１＋ｌｎａ＝３，ａ＝ｅ２，满足条件③当１ａ≥ｅ时，ｆ（ｘ）在（０，ｅ］上单调递减，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｅ）＝ａｅ－１＝３，ａ＝４ｅ（舍去），∴１ａ≥ｅ时，不存在ａ使ｆ（ｘ）的最小值为综上，存在实数ａ＝ｅ２，使得当ｘ∈（０，ｅ］时，ｆ（ｘ）有最小值３１２分…… … … …（本题满分１２分）（Ⅰ）消去参数ｔ得到Ｃ１的普通方程ｘ２＋（ｙ－１）２＝ａ２Ｃ１是以（０，１）为圆心，ａ为半径的圆２分…… … … … … … … … … … … … … … … …将ｘ＝ρｃｏｓθ，ｙ＝ρｓｉｎθ代入Ｃ１的普通方程中，得到Ｃ１的极坐标方程为ρ２－２ρｓｉｎθ＋１－ａ２＝５分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）曲线Ｃ１，Ｃ２的公共点的极坐标满足方程组ρ２－２ρｓｉｎθ＋１－ａ２＝０ρ＝４ｃｏｓ{θ，若ρ≠０，由方程组得１６ｃｏｓ２θ－８ｓｉｎθｃｏｓθ＋１－ａ２＝０，由已知ｔａｎθ＝２，可得１６ｃｏｓ２θ－８ｓｉｎθｃｏｓθ＝０，从而１－ａ２＝０，解得ａ＝－１（舍去），ａ＝ａ＝１时，极点也为Ｃ１，Ｃ２的公共点，在Ｃ３上所以ａ＝１０分…………………（本题满分１０分）解：（Ⅰ）ｆ（ｘ）＝－ｘ＋３，ｘ＜－３－３ｘ－３，－３≤ｘ≤０ｘ－３，ｘ＞{０由图知，函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与直线ｙ＝７相交于横坐标为ｘ１＝－４，ｘ２＝１０的两点，由此得Ｓ＝［－４，１０］５分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）由（Ⅰ）知，ｆ（ｘ）的最小值为－３，则不等式ｆ（ｘ）＋｜２ｔ－３｜≤０有解必须且只需－３＋｜２ｔ－３｜≤０，解得０≤ｔ≤３，所以ｔ的取值范围是［０，３］１０分…… … … … … … … … … … … … … … … … … …（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分））页３共（页３第准标分评及案答考参）科文（学数二高市埠蚌。

P2017-2018 学 年 安 徽 省 蚌 埠 市 高 二 （ 上 ） 期 末 试 卷（文科数学）一 、本 大 题 共 12 小 题 ，每 小 题 5 分 ，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是符合题目要求的 . 1 ． 直 线 y= x+1 的 倾 斜 角 为 （ ） A ． 30° B ． 60° C ． 120° D ． 150°2 ． 对 于 任 意 的 直 线 l 与 平 面 α ， 在 平 面 α 内 必 有 直 线 m ， 使 m 与 l （ ） A ． 平 行 B ． 相 交 C ． 垂 直 D ． 互 为 异 面 直 线3 ． 下 列 结 论 错 误 的 是 （ ）A ．命 题 “ 若 x 2 ﹣ 3x ﹣ 4=0 ，则 x=4” 的 逆 否 命 题 是 “ 若 x≠ 4，则 x 2 ﹣ 3x ﹣ 4≠ 0”B ． 命 题 “ 若 m ＞ 0 ， 则 方 程 x 2 +x ﹣ m=0 有 实 根 ” 的 逆 命 题 为 真 命 题C ． “ x=4” 是 “ x 2 ﹣ 3x ﹣ 4=0” 的 充 分 条 件D ． 命 题 “ 若 m 2 +n 2 =0 ， 则 m=0 且 n=0” 的 否 命 题 是 “ 若 m 2 +n 2 ≠ 0， 则 m≠ 0 或 n≠ 0”4 ． 已 知 水 平 放 置 的 △ ABC 按 “ 斜 二 测 画 法 ” 得 到 如 图 所 示 的 直 观 图 ， 其 中B′ O′ =C′ O′ =1， A′ O′ =， 那 么 △ ABC 是 一 个 （ ）A ． 等 边 三 角 形B ． 直 角 三 角 形C ． 等 腰 三 角 形D ． 钝 角 三 角 形5 ． 在 正 方 体 ABCD ﹣ A B C D 中 ， 若 E 为 A C 中 点 ， 则 直 线 CE 垂 直 于 （）1 1 1 11 1A ． ACB ． BDC ． AD D ． A A1 16 ． 给 定 下 列 四 个 命 题 ， 其 中 为 真 命 题 的 是 （ ）A ．若 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 与 另 一 个 平 面 都 平 行 ，那 么 这 两 个 平 面 相 互 平 行B ． 若 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 垂 线 ， 那 么 这 两 个 平 面 相 互 垂 直C ． 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 相 互 平 行D ．若 两 个 平 面 垂 直 ，那 么 ，一 个 平 面 内 与 它 们 的 交 线 不 垂 直 的 直 线 一 定 垂 直 于另一个平面7 ． 圆 （ x+2 ） 2 +y 2 =4 与 圆 （ x ﹣ 2 ） 2 + （ y ﹣ 1 ） 2 =9 的 位 置 关 系 为 （ ） A ． 内 切 B ． 相 交 C ． 外 切 D ． 相 离8 ． 曲 线 y=e 2 x 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 （ ）A ． y= x+1B ． y= ﹣ 2x+1C ． y=2x ﹣ 1D ． y=2x+19 ．给 定 空 间 直 角 坐 标 系 中 ，x 轴 上 到 点 （ 4 ，1 ，2 ）的 距 离 为 A ． 2 个 B ． 1 个 C ． 0 个 D ． 无 数 个的 点 有（ ）10．如果实数x、y满足条件，则2x+y的最大值为（）A．1B．C．2D．311．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“p：x∈R，x2+2x+a≤0”的否定形式为．14．已知l：2x+my=0与l：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．1215．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积是．16．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．18．设函数f（x）=lnx﹣x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．19．已知圆O的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．20．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y=log x在（0，+∞）内单调递减，q：a曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同两点．（Ⅰ）若命题p，q均是真命题，求a的取值范围；（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．21．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，BD=，PD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面P B C⊥平面PBD；（Ⅱ）在△PBD中，∠PBD=30°，点E在PB上且BE=3PE，求三棱锥P﹣CDE的体积．22．已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求a，b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．2017-2018学年安徽省蚌埠市高二（上）期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y=x+1的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系，结合倾斜角的取值范围即可求出答案．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，则tanα=，其中α∈[0°，180°）；∴α=60°．故选：B．2．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意分两种情况判断①l⊂α；②l⊄α，再由线线的位置关系的定义判断．【解答】解：对于任意的直线l与平面α，分两种情况①l在平面α内，l与m共面直线，则存在直线m⊥l或m∥l；②l不在平面α内，且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l；若l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直；若l∥α，则存在直线m⊥l．故选C．3．下列结论错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题是“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题C．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对四个命题进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、逆否命题，条件、结论均否定，并交换，所以命题：“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为：“若x≠4，则x2﹣3x+﹣4≠0”，故正确；B、命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”由△=1+4m≥0，解得：m≥﹣，是假命题，故错误；C、x=4时：x2﹣3x﹣4=0，是充分条件，可知正确；D、命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0，故正确．故选：B．4．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′=，那么△ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状．【解答】解：由已知中△ABC的直观图中B′O′=C′O′=1，A′O′=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC为等边三角形，故选：A5．在正方体ABCD﹣A B C D中，若E为A C中点，则直线CE垂直于（）111111A．AC B．BD C．A D D．A A11【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出向量的坐标，以及、、的坐标，可以发现•=0，因此，⊥，即CE⊥BD．【解答】解：以A为原点，AB、AD、AA所在直线分别为x，y，z轴建空间直1角坐标系，设正方体棱长为1，则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，1），E（1∴=（﹣，﹣，1），，，1），=（1，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣1），=（0，0，﹣1），显然•=﹣+0=0，∴⊥，即CE⊥BD．故选：B．6．给定下列四个命题，其中为真命题的是（）A．若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么，一个平面内与它们的交线不垂直的直线一定垂直于另一个平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，这两个平面平行或相交；在B中，由线面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直；在C中，两条直线相交、平行或异面；在D中，与它们的交线不垂直的直线一定不垂直于另一个平面．【解答】解：在A中，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故A错误；在B中，若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由线面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故B正确；在C中，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故C错误；在D中，若两个平面垂直，那么，一个平面内与它们的交线不垂直的直线一定不垂直于另一个平面，故D错误．故选：B．7．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2．1圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C（2，1），半径R=3，2两圆的圆心距d=R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，=，P故 选 B ．8 ． 曲 线 y=e 2 x 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 （）A ． y= x+1B ． y= ﹣ 2x+1C ． y=2x ﹣ 1D ． y=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程． 【 解 答 】 解 ： 由 于 y=e 2 x ， 可 得 y′ =2e 2 x ， 令 x=0 ， 可 得 y′ =2，∴ 曲 线 y=e 2 x 在 点 （ 0 ， 1 ） 处 的 切 线 方 程 为 y ﹣ 1=2x ， 即 y=2x+1 ． 故 选 ： D ．9 ．给 定 空 间 直 角 坐 标 系 中 ，x 轴 上 到 点 （ 4 ，1 ，2 ）的 距 离 为 的 点 有（ ）A ． 2 个B ． 1 个C ． 0 个D ． 无 数 个【考点】空间向量的基本定理及其意义．【 分 析 】 设 点 A 的 坐 标 是 （ x ， 0 ， 0 ）， 由 题 意 |PA|=由此能求出结果．【 解 答 】 解 ： 设 点 A 的 坐 标 是 （ x ， 0 ， 0 ），由 题 意 |PA|== ，∴ （ x ﹣ 4 ） 2 =25 ． 解 得 x=9 或 x= ﹣ 1 ．∴ 点 A 坐 标 为 （ 9 ， 0 ， 0 ） 或 （ ﹣ 1 ， 0 ， 0 ）．∴ 给 定 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， x 轴 上 到 点 P （ 4 ， 1 ， 2 ） 的 距 离 为 个．故 选 ： A ．= ，的点有 210 ． 如 果 实 数 x 、 y 满 足 条 件， 则 2x+y 的 最 大 值 为 （ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最 优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立，解得B（1，1），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过B时直线在y轴上的截距最大，z最大为2×1+1=3．故选：D．11．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点．从而问题得解．【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．12．用一个平行于棱锥底面的平面截这个棱锥，截得的棱台上、下底面面积比为1：4，截去的棱锥的高是3cm，则棱台的高是（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm【考点】棱锥的结构特征．【分析】根据棱锥的性质，用平行于正棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得截去大棱锥的高，进而得到棱台的高．【解答】解：∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为L，根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则32：L2=1：4，∴L=6，故棱台的高是6﹣3=3故棱台的高为：3cm，故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“p：∃x∈R，x2+2x+a≤0”的否定形式为∀x∈R，x2+2x+a＞0．【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“p”的否定形式为：∀x∈R，x2+2x+a＞0．故答案为：∀x∈R，x2+2x+a＞0．14．已知l：2x+my=0与l：y=3x﹣1，若两直线平行，则m的值为．12【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当斜率相等但截距不相等建立等式关系，解之即可求出m使两直线平行．【解答】解：直线l：y=3x﹣1的斜率为3．2=3即m=﹣．∴直线l：2x+my=0的斜率1故答案为：．15．如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是边长为2的等边三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是边长为2的等边三角形，∴r=1，h=，∴V==．故答案为：．16．在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，则R=cm．【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出球的体积等于水面高度恰好上升Rcm的体积，即可求出R的值．【解答】解：在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为Rcm的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm，所以，，所以R=（cm）；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）求出圆的圆心为C（1，0），半径r=4．根据垂径定理，弦AB的垂直平分线经过圆心C，由此加以计算即可得出AB的垂直平分线方程；（2）利用点到直线的距离公式，算出圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离，再根据垂径定理加以计算，可得弦AB的长．【解答】解：（1）∵圆x2+y2﹣2x﹣15=0化成标准方程得（x﹣1）2+y2=16，∴圆心为C（1，0），半径r=4．∵直线x+2y+4=0和圆x2+y2﹣2x﹣15=0相交于点A、B，∴设弦AB的垂直平分线为l：2x﹣y+m=0，由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1﹣0+m=0，解之得m=﹣2．因此，弦AB的垂直平分线方程为2x﹣y﹣2=0；（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：d==．根据垂径定理，得|AB|=2=2，即弦AB的长等于2．18．设函数f（x）=lnx﹣x（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值，f（x）=f（1）=﹣1．极大值19．已知圆O的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆O的方程；（2）过点P（8，6）引圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，求直线AB的方程．【考点】圆的切线方程．【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径即可求出圆的方程；（2）根据条件构造以OP为直径的圆，则AB为公共弦，即可求直线AB的方程．【解答】解：（1）∵圆与直线x+y+4=0相切，∴圆心到直线的距离d=，即圆的半径R=4，则圆的方程为x2+y2=16．设过P点的圆的切线方程为y+1=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k﹣1=0．（2）在Rt△PAO中，∵|PO|=，∴O，P的中点坐标为M（4，3），则M为圆心，|PO|为直径的圆MM的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即x2+y2﹣8x﹣6y=0AB为圆O与圆M的公共弦，由x2+y2﹣8x﹣6y=0x2+y2﹣8x﹣6y=0与x2+y2=16相减得：8x+6y﹣16=0，即4x+3y﹣8=0．∴直线AB的方程为4x+3y﹣8=020．已知a＞0，a≠1，命题p：函数y=log x在（0，+∞）内单调递减，q：a曲线y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同两点．（Ⅰ）若命题p，q均是真命题，求a的取值范围；（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（Ⅰ）根据函数的性质分别求出命题的等价条件即可．（Ⅱ）如果“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，则p，q有且只有一个为真命题，进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数y=log x在（0，+∞）内单调递减，a∴命题p为真时⇔0＜a＜1…当命题q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足△=（2a﹣3）2﹣4＞0⇒或…（Ⅱ）由“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，知p，q有且只有一个为真命题．…①当p真q假⇒…（②当 p 假 q 真， ⇒ …综上所述， a 取值范围是…21 ．如 图 所 示 ，四 棱 锥 P ﹣ ABCD 中 ，底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，AB=2AD=2 ，BD= ， PD⊥ 平 面 ABCD ．（ Ⅰ ） 证 明 ： 平 面 PBC⊥ 平 面 PBD ；（ Ⅱ ） 在 △ PBD 中 ， ∠ PBD=30°， 点 E 在 PB 上 且 BE=3PE ， 求 三 棱 锥 P ﹣ CDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【 分 析 】 I ）根 据 PD⊥ 底 面 ABCD 得 PD⊥ BC ，由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 出 BC⊥ BD ， 故 BC⊥ 平 面 PBD ， 于 是 平 面 PBC⊥ 平 面 PBD ；（ II ） 在 Rt△ PBD 中 ， 求 出 DP ， 由 E 为 PB 的 四 等 分 点 得 出 S△ PDE = ，于是 VP ﹣ CDE =V C ﹣ PDE = ． 【 解 答 】（ Ⅰ ） 证 明 ： ∵ BC=1， CD=2 ， BD= ，∴ CD 2 =BC 2 +BD 2 ， ∴ BC⊥ BD ，∵ PD⊥ 平 面 ABCD ， BC ⊂ 平 面 ABCD ，∴ PD⊥ BC ， 又 PD ⊂ 平 面 PBD ， BD ⊂ 平 面 PBD ， BD∩ PD=D ，∴ BC⊥ 平 面 PBD ， ∵ BC ⊂ 平 面 PBC ，∴ 平 面 PBC⊥ 平 面 PBD ．（ Ⅱ ） 解 ： 在 Rt△ PBD 中 ， ∵ ∠ PBD=30°， BD= ， ∴ PD=1，∵ BE=3PE ， ∴ S△ PDE = == ． ∴VP ﹣ CDE =V C ﹣ PDE == = ．22 ． 已 知 函 数 f （ x ） =ax 2 +1 （ a ＞ 0 ）， g （ x ） =x 3 +bx ．（ 1 ） 若 曲 线 y=f （ x ） 与 曲 线 y=g （ x ） 在 它 们 的 交 点 （ 1 ， c ） 处 有 公 共 切 线 ， 求 a ， b 的 值 ；（ 2 ） 当 a=3 ， b= ﹣ 9 时 ， 函 数 f （ x ） +g （ x ） 在 区 间 [k ， 2] 上 的 最 大 值 为 28 ， 求 k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方 程．【分析】（1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求导函数，确定函数的极值点，进而可得k≤﹣3时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28，由此可得结论．【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k=2a，1g（x）=x3+bx，则g′（x）=3x2+b，k=3+b，2由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b①又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．（2）当a=3，b=﹣9时，设h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1则h′（x）=3x2+6x﹣9，令h'（x）=0，解得：x=﹣3，x=1；12∴k≤﹣3时，函数h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调增，在（﹣3，1]上单调减，（1，2）上单调增，所以在区间[k，2]上的最大值为h（﹣3）=28﹣3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k，2]上的最大值小于28所以k的取值范围是（﹣∞，﹣3]。

蚌埠市2017—2018学年度第二学期期末学业水平监测高二数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的，，，的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用交集定义进行运算即可.详解：由集合，，.故选B.点睛：本题考查交集运算，属基础题.2. 下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A. ①②③；B. ②③④；C. ②④⑤；D. ①③⑤。

【答案】D【解析】根据归纳推理的定义知归纳推理是由部分到整体的推理，故①正确；根据演绎推理的定义知演绎推理是由一般到特殊的推理，故③正确；根据类比推理的定义知类比推理是由特殊到特殊的推理，故⑤正确；所以选D3.已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的点位于复平面内的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：先求出复数z,再得到复数z对应的点所在的象限.详解：由题得，所以复数z对应的点为（2，-1），故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数对应的点是（a,b）,点（a,b）所在的象限就是复数对应的点所在的象限.复数和点（a,b）是一一对应的关系.4.已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（）A. -1B. 1C. 2D. 5【答案】A【解析】分析：利用回归方程，计算时，的值，进而可求方程在样本处的残差．详解：当时，，∴方程在样本处的残差是故选A.点睛：本题考查线性回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】当输入x=1时，输出y=12-1=0；当输入x=2时，输出y=22-1=3；故选B.【考点】程序框图和算法.6.设，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．详解：．故选B.点睛：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．7.已知向量，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：求出，计算可得结果.详解：.故选A.点睛：本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属基础题.8.用反证法证明某命题时，对其结论“，都是正实数”的假设应为（）A. ，都是负实数B. ，都不是正实数C. ，中至少有一个不是正实数D. ，中至多有一个不是正实数【答案】C【解析】分析：“都是”的否定为“不都是”，观察选项只有C符合.详解：“都是”的否定为“不都是”，故“，都是正实数”否定为“，中至少有一个不是正实数”.故选C.点睛：本题考查命题的否定，属基础题.9.已知函数，则在原点附近的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：由题可得，则在上恒成立，得到函数的单调性，进而判断函数的奇偶性推出结果即可．详解：由题可得，则在上恒成立，故函数在上单调递增，又，即函数为奇函数，综上，故选B.点睛：本题考查函数的单调性和奇偶性，属基础题.10.设：实数，满足且；：实数，满足，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】且，,充分性不成立;,不满足且，所以选D.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．11.将函数的图象向右平移个单位后的图象关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得由此根据求得的值，进而得到结论.详解：函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得，由得，故由题意，得故当时，取得最小值为，故选：A.点睛：本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．12.函数满足，且当时，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意求出函数的周期，利用周期得到函数的图像，则问题转化为直线与函数图像交点问题，数形结合可得结论.详解：的周期为2．当时，，即当时．在同一坐标系下画出直线的图像如图所示，当时，须满足即同理当时，综上所述，.故选C.点睛：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，利用数形结合是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填在答题卡上.13.命题“，”的否定为__________．【答案】，【解析】分析：利用命题的否定的定义即可判断出．详解：根据命题的否定的定义知，命题“，”的否定为“，”.即答案为，.点睛：本题考查了命题的否定的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程．详解：曲线，可得，．切线的斜率为：2．曲线在点处的切线方程为，即．即答案为.点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力．属基础题.15.若，，则的值为__________．【答案】【解析】分析：解方程，求出，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简得到关于的表达式，代入求值即可.详解：由，，得到，由得，又即答案为.点睛：本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简求值，属基础题.16.已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第行、第行的数记为，如，.若，则__________．【答案】72【解析】分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得的值.详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，，第n行有n个偶数，则前n行共有个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位，所以当n=44时，第44个偶数为，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,由题得2018排在第45行的第27位，所以45+27=72.故答案为：72.点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式找到2018所在的行.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必做题：每小题12分，共60分.17.记函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若集合且，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).【解析】【详解】分析：（1）求解，，从而求出和；；（2）化简集合，由可得不等式，从而解出实数的取值范围．详解：（Ⅰ）由条件得，，，所以，.（Ⅱ）因为且，所以，得.点睛：本题考查了集合的化简与集合的运算，同时考查了函数的定义域的求法及集合的相互关系，属于中档题．18.如图，在四边形中，，，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的长.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】分析：（Ⅰ）设，，由余弦定理求出，再由正弦定理能求出．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，而，得sin∠CBD=cos∠ABD，求出，，由此利用正弦定理能求出．详解：（Ⅰ）因为，所以设，，其中，在中，由余弦定理，，所以，解得，则，而，在中，由正弦定理，.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，而，则，在中，，由正弦定理，.点睛：本题考角的正弦值的求法，考查三角形边长的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.某数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：序号12345678910身高（厘米）192164172177176159171166182166脚长（码）48384043443740394639序号11121314151617181920身高（厘米）169178167174168179165170162170脚长（码）43414043404438423941（Ⅰ）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出关于的线性回归方程；（Ⅱ）若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成列联表，并根据列联表中数据说明能有多大的把握认为脚的大小与身高之间有关系.附表及公式：，，.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828列联表：高个非高个总计大脚非大脚总计【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（I）分别求出，的值，求出，的值，代入回归方程即可；（II）根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表；求出，得到结论.详解：（Ⅰ）“序号为5的倍数”的数据有4组，记：，；，；，；，，所以，，计算得，，关于的线性回归方程为.（Ⅱ）列联表：高个非高个总计大脚527非大脚11213总计61420，所以有超过的把握认为脚的大小与身高之间有关系.点睛：本题考查回归直线方程的求求法，看出独立性检验的应用，包括数据的统计，属中档题．20.如图1，已知中，，点在斜边上的射影为点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）如图2，已知三棱锥中，侧棱，，两两互相垂直，点在底面内的射影为点.类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥中与，，的关系，并证明.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先分析得到，再由勾股定理得到，再化简即得.( Ⅱ)先类比猜想得到猜想：.再利用（Ⅰ）的结论证明.详解：（Ⅰ）由条件得，，所以，由勾股定理，，所以，所以.（Ⅱ）猜想：.证明如下：连接延长交于点，连接，因为，，点，所以平面，又平面，得，平面，平面，则.在直角三角形中，由（Ⅰ）中结论，.平面，则，又平面，所以，而点，平面，所以平面，.又，由（Ⅰ）中结论，得.所以.点睛：（1）本题主要考查几何证明和类比推理及其证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第2问的关键有两个，其一是连接延长交于点，连接，证明，其二是证明都用到第1问的结论.21.已知函数.（Ⅰ）求证：当时，函数在上存在唯一的零点；（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).【解析】分析：(Ⅰ)f求导得，，由，所以，则函数在单调递增，计算f，，即可证明结论．（Ⅱ）由（Ⅰ），，，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，当时，在时取最大值，最大值为.，“存在，使得成立”等价于“时，”，即可得出．详解：（Ⅰ）函数，定义域为，，由，所以，则函数在单调递增，又，，函数在上单调递增，所以函数在上存在唯一的零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），，，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，则在时取最大值，且最大值为.“存在，使得成立”等价于“时，”，所以，即，令，，则在单调递增，且，所以当时，，当时，，即的取值范围为.点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，与的交点为，，求的面积.【答案】(Ⅰ)的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.(Ⅱ).【解析】分析：（1）利用恒等式消参法得到的普通方程，再把极坐标公式代入求其极坐标方程,可以直接写出的直角坐标方程.(2) 设，，再求得，，再利用面积公式求得的面积.详解：（Ⅰ）消去参数，曲线的普通方程为，即，把，代入方程得，所以的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（Ⅱ）设，，分别将，代入，得，，则的面积为.点睛：（1）本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和转化分析能力.(2)本题解答的难点在第2问，直接用极坐标比较快捷，如果化成直角坐标就比较麻烦，注意灵活选择.23.已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）求证：.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）利用分类讨论法解绝对值不等式.( Ⅱ）先放缩得到，再利用绝对值三角不等式得到详解：（Ⅰ）当时，不等式，即，当时，不等式可化为，解得，所以，当时，不等式可化为，解得，所以无解，当时，不等式可化为，解得，所以，综上可知，不等式的解集为.（Ⅱ）.：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化的能力.(2)解答第2问的关键一是先要放缩，其二是要利用绝对值三角不等式.。

高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题５分，共６０分）题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＣＣＤＡＡＢＤＣＣＢＡ二、填空题：（每小题５分，共２０分）１３ １０１４ ８４１５ １１２０１６ （０，１２）三、解答题：１７ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－６ｘ－９＝３（ｘ－３）（ｘ＋１）１分…… … … … … … … … … … … … … … …令ｆ′（ｘ）＞０，得ｘ＜－１或ｘ＞３令ｆ′（ｘ）＜０，得－１＜ｘ＜３３分∴ｆ（ｘ）的增区间为（－∞，－１）和（３，＋∞），ｆ（ｘ）的减区间为（－１，３）６分（Ⅱ）由（１）知，当－１＜ｍ≤３时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｍ）＝ｍ３－３ｍ２－９ｍ＋２８分…… … … … … … … … … … … … … … … …当ｍ＞３时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（３）＝－２５１０分∴ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｍ３－３ｍ２－９ｍ＋２，－１＜ｍ≤３－２５，{ｍ＞３１２分………………………………１８ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）由题意得２Ｃ１ｎ·１２＝Ｃ０ｎ＋Ｃ２ｎ·（１２）２，解得ｎ＝１（舍）或ｎ＝８，∴ｎ＝８３分在（槡ｘ＋１２３槡ｘ）ｎ中，令ｘ＝１，则展开式中各项系数和为（１＋１２）８＝（３２）８＝６５６１２５６，６分（Ⅱ）设展开式中第ｒ＋１项系数最大，）页４共（页１第准标分评及案答考参）科理（学数二高市埠蚌则Ｔｒ＋１＝Ｃｒ８（槡ｘ）８－ｒ（１）ｒ＝Ｃｒ８１２ｒｘ４－５６ｒ，７分…… … … … … … … … … … … … …于是Ｃｒ８·１２ｒ≥Ｃｒ－１８·１２ｒ－１Ｃｒ８·１２ｒ≥Ｃｒ＋１８·１２ｒ＋１解得２≤ｒ≤３１０分…… … … … … … … … … … … … …因此ｒ＝２或３，即展开式中第３项和第４项系数最大，且Ｔ３＝Ｃ２８·１２２ｘ４－５３＝７ｘ７Ｔ４＝Ｃ３８·１２３ｘ４－５２＝７ｘ３２１２分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …１９ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）由题意可知，Ｘ＝０，１，２，３，且每个男性以运动为休闲方式的概率为Ｐ＝１０３０＝１３，１分…… … … … … … … … …根据题意可得Ｘ～Ｂ（３，１３），∴Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ３（２３）３－ｋ（１３）ｋ，ｋ＝０，１，２，３，故Ｘ的分布列为Ｘ０１２３Ｐ８２７４９２９１５分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … …… … … … … … … … … … …∴Ｅ（Ｘ）＝３×１３＝１６分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）由Ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），得Ｋ２＝８０×（４５×１０－２０×５）２６５×１５×５０×３０＝７８４１１７≈６ ７０，１０分…… … … … … … … … … … …因为６ ７００＞６ ６３５，所以我们有９９％的把握认为休闲方式与性别有关１２分…… ……… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …２０ （本题满分１２分）解：（Ⅰ）依题设可得ａ１＝１２＝１１×２，ａ２＝１６＝１２×３，ａ３＝１１２＝１＝１２０＝１４×５；４分…（Ⅱ）猜想：ａｎ＝１ｎ（ｎ＋１）５分…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …证明：①当ｎ＝１时，猜想显然成立６分…… … … … … … … … … … … … … … …）页４共（页２第准标分评及案答考参）科理（学数二高市埠蚌②假设ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ ）时，猜想成立，即ａｋ＝１ｋ（ｋ＋１）那么，当ｎ＝ｋ＋１时，Ｓｋ＋１＝１－（ｋ＋１）ａｋ＋１，即Ｓｋ＋ａｋ＋１＝１－（ｋ＋１）ａｋ＋１又Ｓｋ＝１－ｋａｋ＝ｋｋ＋１，所以ｋｋ＋１＋ａｋ＋１＝１－（ｋ＋１）ａｋ＋１，从而ａｋ＋１＝１（ｋ＋１）（ｋ＋２）＝１（ｋ＋１）［（ｋ＋１）＋１］即ｎ＝ｋ＋１时，猜想也成立１１分…… … … … … … … … … … … … … … … … … …故由①和②，可知猜想成立１２分…… … … … … … … … … … … … … … … … … …解：（Ⅰ）直线ｙ＝ｘ＋３的斜率为１，函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），ｆ′（ｘ）＝－２ｘ２＋ａｘ，∴ｆ′（１）＝－２１２＋ａ１＝－１，解得ａ＝１２分…… … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）ｇ（ｘ）＝２ｘ＋ｌｎｘ＋ｘ－２－ｂ（ｘ＞０），ｇ′（ｘ）＝ｘ２＋ｘ－２ｘ２，由ｇ′（ｘ）＞０得ｘ＞１，由ｇ′（ｘ）＜０得０＜ｘ＜１∴ｇ（ｘ）的单调递增区间是（１，＋∞），单调递减区间为（０，１），４分…… … … … …当ｘ＝１时，ｇ（ｘ）取得极小值ｇ（１）５分…… … … … … … … … … … … … … … … …∵函数ｇ（ｘ）在区间［ｅ－１，ｅ］上有两个零点，∴ｇ（ｅ－１）≥０ｇ（ｅ）≥０ｇ（１）{＜０７分…… … … … … …解得１＜ｂ≤２ｅ∴ｂ的取值范围是（１，２ｅ＋ｅ－１］８分…… … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅲ）∵πｆ（ｘ）＞（１π）ｔ＋ｘ－ｌｎｘ在｜ｔ｜≤２时恒成立，∴ｆ（ｘ）＞－ｔ－ｘ＋ｌｎｘ，即ｘｔ＋ｘ２－２ｘ＋２＞０在｜ｔ｜≤２时恒成立，令ｇ（ｔ）＝ｘｔ＋ｘ２－２ｘ＋２，∵ｘ＞０，）页４共（页３第准标分评及案答考参）科理（学数二高市埠蚌∴只需ｇ（－２）＞０，即ｘ２－４ｘ＋２＞０解得ｘ∈（０，槡２－２）∪（槡２＋２，＋∞）１２分………………………………………………２２ （本题满分１０分）解析：（Ⅰ）由ρｓｉｎ２θ＝４ｃｏｓθ，得ρ２ｓｉｎ２θ＝４ρｃｏｓθ，所以曲线Ｃ１的直角坐标方程为：ｙ２＝４ｘ３分…… … … … … … … … … … … …由ｘ＝２＋１２ｔｙ＝槡３２ｔ（ｔ为参数）得曲线Ｃ２的直角坐标方程为：槡槡３ｘ－ｙ－２３＝０５分……… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …（Ⅱ）将ｘ＝２＋１２ｔｙ＝槡３２ｔ代入ｙ２＝４ｘ，得３ｔ２４＝４（２＋１２ｔ）即３ｔ２－８ｔ－３２＝０，Δ＝（－８）２－４×３×（－３２）＝４４８＞０，ｔ１·ｔ２＝－３２３，８分…… … … … … … … …∴｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜＝｜ｔ１｜·｜ｔ２｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝３２３１０分…………………………………２３ （本题满分１０分）解：（Ⅰ）当ａ＝ｃ＝３，ｂ＝１时，ｆ（ｘ）＝｜３ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜，∴不等式ｆ（ｘ）≥４可化为｜３ｘ－１｜＋｜ｘ＋３｜≥４，即ｘ＜－３－４ｘ－２{４，或－３ ｘ＜１３４－２ｘ≥{４，或ｘ≥１３４ｘ＋２≥{４，解得ｘ≤０或ｘ≥１２，所求不等式的解集为｛ｘ｜ｘ≤０或ｘ≥１２｝ ５分（Ⅱ）当ａ＝１，ｃ＞０，ｂ＞０时，ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ｂ｜＋｜ｘ＋ｃ｜≥｜ｘ－ｂ－（ｘ＋ｃ）｜＝｜ｂ＋ｃ｜＝ｂ＋ｃ，又ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝１，∴ｂ＋ｃ＝１∴１ｂ＋１ｃ＝（１ｂ＋１ｃ）（ｂ＋ｃ）＝１＋１＋ｃｂ＋ｂｃ≥４，当且仅当ｂ＝ｃ＝１２时取等号，∴１ｂ＋１ｃ的最小值为４１０分…… … … … … … …（以上各题其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）。

2017-2018学年安徽省蚌埠市高一（下）期末数学试卷一、选择题1．数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式是（）A．n2﹣2n+2 B．C．2n﹣1 D．2n﹣12．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°4．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值为（）A．3 B．2+3C．3+2D．2﹣35．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员得分情况的茎叶图，从此图可看出甲、乙两人得分的中位数为（）A．31，26 B．26，23 C．36，26 D．31，236．如果点P在平面区域内，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣2 D．﹣11A．（2.5，2）B．（2.5，3.5）C．（3.5，2.5）D．（3.5，2）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1 C．2 D．39．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．18910．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5 B．6 C．7 D．811．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.4512．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，] D．[，]二、填空题．13．不等式≤1的解集是．14．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．15．当时，函数的最小值为．16．在△ABC中，若A=，AB=6，AC=3，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=．三、解答题．17．已知tanx=，求下列各式的值：（Ⅰ）tan（+x）；（Ⅱ）．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．19．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？20．“端午节”小长假期间，某旅游社共组织1000名游客，分三批到青岛、海南旅游．为了（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名幸运者，问第三批应该抽取多少人？（Ⅱ）已知y≥136，z≥133，求第三批参加旅游的游客中到青岛的比到海南的多的概率？21．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求：（Ⅰ）cosC的值；（Ⅱ）△ABC周长的最小值．22．已知数列{a n}中，a1=3，前项和S n=（n+1）（a n+1）﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前项和为T n，是否存在实数M，使得T n≤M对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年安徽省蚌埠市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．数列1，2，5，10，17，…的一个通项公式是（）A．n2﹣2n+2 B．C．2n﹣1 D．2n﹣1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】设此数列为{a n}，则a1=1，a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，a5﹣a4=7，…．利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设此数列为{a n}，则a1=1，a2﹣a1=1，a3﹣a2=5﹣2=3，a4﹣a3=10﹣5=5，a5﹣a4=17﹣10=7，…．）∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+…（a n﹣a n﹣1=1+1+3+…+（2n﹣3）=1+=n2﹣2n+2．故选：A．2．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】所取之数与4之和大于10可得6＜x≤10，长度与10之比即为所求概率．【解答】解：在区间[0，10]中任意取一个数x，则它与4之和大于10的x满足x+4＞10，解得6＜x≤10，∴所求概率为=故选：B3．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得sinA=，再由大边对大角可得A＞B=45°，从而求得A的值．【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinA=．∵B=45°，a＞b，再由大边对大角可得A＞B，故B=60°或120°，故选，C．4．已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值为（）A．3 B．2+3C．3+2D．2﹣3【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质，先把转化为=2+++1，即可到答案．【解答】解：==2+++1≥3+2=3+2，当且仅当x=1﹣，y=﹣1时取等号．故的最小值为3，故选：C5．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员得分情况的茎叶图，从此图可看出甲、乙两人得分的中位数为（）A．31，26 B．26，23 C．36，26 D．31，23【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图列出甲、乙二人的得分，从而得出他们的中位数．【解答】解：从茎叶图知，甲运动员的得分是12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；∴中位数是36．乙运动员的得分是8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51；∴中位数是26．∴甲、乙两名运动员得分的中位数分别是36，26．故选：C．6．如果点P在平面区域内，则z=2x﹣3y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣2 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：设z=2x﹣3y，则得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）．平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣经过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（0，2）．将A（0，2）代入目标函数z=2x﹣3y，得z=0﹣3×2=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．A．（2.5，2）B．（2.5，3.5）C．（3.5，2.5）D．（3.5，2）【考点】线性回归方程．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上．【解答】解：∵==3.5，==2，∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点（3.5，2）故选：D．8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足﹣=1，则数列{a n}的公差是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】等差数列的性质．【分析】先用等差数列的求和公式表示出S3和S2，进而根据﹣=，求得d．【解答】解：S3=a1+a2+a3=3a1+3d，S2=a1+a2=2a1+d，∴﹣==1∴d=2故选C9．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．84 D．189【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21，可求得q，根据等比数列的通项公式，分别求得a3，a4和a5代入a3+a4+a5，即可得到答案．【解答】解：在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前三项和为21故3+3q+3q2=21，∴q=2，∴a3+a4+a5=（a1+a2+a3）q2=21×22=84故选C．10．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等比数列的前n项和；循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为7故选C11．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．12．设等差数列{a n}满足：=1，公差d∈（﹣1，0）．若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[，] D．[，]【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d 的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．【解答】解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，∴sin（3d）=﹣1．∵d∈（﹣1，0），∴3d∈（﹣3，0），则3d=，d=﹣．由=．对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴，解得：．∴首项a1的取值范围是．故选：B．二、填空题．13．不等式≤1的解集是（﹣2，1] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】先化简分式不等式，再进行等价转化为一元二次不等式组，由一元二次不等式的解法求出解集．【解答】解：由得，则，所以，解得﹣2＜x≤1，即不等式的解集是（﹣2，1]，故答案为：（﹣2，1]．14．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．【考点】数列的求和．【分析】由已知条件推导出{a n}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到，log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前n项和．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3=8，∴，解得a1=2，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n=1+2+3+…+n=．故答案为：．15．当时，函数的最小值为4．【考点】三角函数的最值．【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系对函数解析式化简整理，然后利用基本不等式求得函数的最小值．【解答】解：==+≥4当且仅当4sin2x=cos2x时等号成立．故答案为；416．在△ABC中，若A=，AB=6，AC=3，点D在BC的边上且AD=BD，则AD=．【考点】正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．【解答】解：∵A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3，…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：=，∴sinB=，∴cosB=，…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===．故答案为：．…12分三、解答题．17．已知tanx=，求下列各式的值：（Ⅰ）tan（+x）；（Ⅱ）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正切函数化简tan（+x），代入求解即可；（Ⅱ）化为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）tanx=，tan（+x）===3；（Ⅱ）====．18．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B={x|x2+2x﹣3＞0}，C={x|x2﹣3ax+2a2＜0}（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．（Ⅰ）通过解集合A，B里的两个一元二次不等式即可得出A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x 【分析】＜﹣3，或x＞1}；（Ⅱ）容易求出A∩B，根据条件C⊆（A∩B），并讨论a的符号：a=0，a＞0，和a＜0，进而便可解出每种情况下的集合C，并可得出每种情况下a的范围，求并集即可得出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解x2﹣2x﹣8＜0得，﹣2＜x＜4；解x2+2x﹣3＞0得，x＜﹣3，或x＞1；∴A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＜﹣3，或x＞1}；（Ⅱ）A∩B={x|1＜x＜4}；∵C⊆（A∩B）；（1）若a=0，C=∅，满足条件；（2）若a＞0，C={x|a＜x＜2a}，则：；∴1≤a≤2；（3）若a＜0，C={x|2a＜x＜a}，不满足条件；∴实数a的取值范围为{a|1≤a≤2，或a=0}．19．某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可得到关系式．（2）将关系式化简为（x＞0），根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数．【解答】解：（1）由题意可知年平均污水处理费用为：即（x＞0）；（2）由均值不等式得：（万元）当且仅当，即x=10时取到等号答：该企业10年后需要重新更换新设备．20．“端午节”小长假期间，某旅游社共组织1000名游客，分三批到青岛、海南旅游．为了（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名幸运者，问第三批应该抽取多少人？（Ⅱ）已知y≥136，z≥133，求第三批参加旅游的游客中到青岛的比到海南的多的概率？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）应用分层抽样中不同的层所占比例求出x值；（Ⅱ）同理求出y+z的值，最后用列举法写出全部基本事件来解决问题．【解答】解：（I）∵=0.21，∴x=210，第三批旅游人数为y+z=1000﹣=280，现用分层抽样的方法在所有游客中抽取50名游客，应在第三批参加旅游的游客中抽取的人数为×280=14（人）．（II）设“第三批参加旅游的游客中到青岛游的人数比到海南游的人数多”为事件A，第三批参加旅游的游客中到青岛游的人数、到海南游的人数记为（y，z），由（I）知y+z=280，且y，z∈N*则基本事件空间包含的基本事件有共12个．事件A包含的基本事件有共7个∴P（A）=．答：第三批参加旅游的游客中到青岛游的人数比到海南游的人数多的概率为．21．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求：（Ⅰ）cosC的值；（Ⅱ）△ABC周长的最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根可求cosC=﹣．（Ⅱ）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2ab•（﹣）=（a+b）2﹣ab，由a=5时，及c最小且可求，进而可求△ABC周长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵2x2﹣3x﹣2=0，∴x1=2，x2=﹣，…又∵cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，∴cosC=﹣．…（Ⅱ）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2ab•（﹣）=（a+b）2﹣ab，即：c2=100﹣a（10﹣a）=（a﹣5）2+75，…当a=5时，c最小且c==5，此时a+b+c=10+5，…∴△ABC周长的最小值为10+5．…22．已知数列{a n}中，a1=3，前项和S n=（n+1）（a n+1）﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前项和为T n，是否存在实数M，使得T n≤M对一切正整数都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据a n+1=S n+1﹣S n，判断得出2a n+1=a n+2+a n，得出数列{a n}为等差数列．由na n+1=（n+1）a n﹣1，可求得a2=2a1﹣1=5，又a1=3可求公差，从而可得a n；（2）使得T n≤M对一切正整数n恒成立，等价于T n的最大值小于等于M，利用裂项相消法可求得T n，进而可求得其最大值；【解答】解：①∵S n=（n+1）（a n+1）﹣1，S n+1=（n+2）（a n+1+1）﹣1，∵a n+1=S n+1﹣S n，∴na n+1=（n+1）a n﹣1 (1)∴（n+1）a n+2=（n+2）a n+1﹣1 (2)（2）﹣（1），得（n+1）a n+2﹣na n+1=（n+2）a n+1﹣（n+1）a n，∴2（n+1）a n+1=（n+1）（a n+2+a n），∴2a n+1=a n+2+a n，∴数列{a n}为等差数列．∵na n+1=（n+1）a n﹣1，得a2=2a1﹣1=5，又a1=3，∴a2﹣a1=2，即公差为2，a n=3+（n﹣1）×2=2n+1；（2）由（1）知a n=2n+1；∴==（﹣）∴T n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜则要使得T n≤M对一切正整数都成立，只要（T n）max≤M，所以只要M∴存在实数M，使得T n≤M对一切正整数都成立，且M的最小值为2018年8月25日。

2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;11.C;解析：∵ ∴，设过(0，0)点与 相切的切点为 ，∴解得 且 ，即过点 ， 与 相切的切线方程为当直线 与直线平行时，;当 时，当 时， ;当 时，∴ 和y=的图象在 ， ， ， 各有1个交点；直线 在y= 与y= 之间时，与函数 图象有两个交点，∴故选C. 二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.①②④16. 答：①②④；解：因为函数 ，所以，因为导函数 在 上单调递增.又，1(0)103f '=->，所以()0f x '=在 上有唯一的实根,设为0x ，且0(1,0)x ∈-，故②正确；同时 在 有极小值也为最小值 ，故①正确；由 得，即 ，故.因为 ， ，由双勾函数性质知值域为，，所以. 故④正确同时判断③错误. 故填写：①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分） 17. （10分）解：(1)当n ＝1时，，………………………1分当n ＝2时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝4. ………………………2分 当n ＝3时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝8. ………………………3分 当n ＝4时， + ＝ ＝ － ，∴ ＝16. ……………………4分 由此猜想： ． ………………………5分 (2)证明：①当 ＝ 时， ＝2，猜想成立． ………………………6分②假设 ＝ 且 时，猜想成立，即 ， ……………………7分 那么n ＝k ＋1时， ……………………8分 ∴ ， 这表明n ＝k ＋1时，猜想成立，……………………9分由①②知猜想 成立．………………………10分18. （12分）解:(Ⅰ)由点斜式方程得直线l 的方程为， ……1分将cos ,sin x y ρθρθ==代人以上方程中，所以,直线l 的极坐标方程为. ………………3分同理,圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. …………6分 (Ⅱ)在极坐标系中,由已知可设，，.联立……………………7分可得 ，所以233ρρ+=+ ………………………8分 因为点M 恰好为AB 的中点,所以 ,即 ，. ……………9分把，代入得………11分所以. …………………………………12分19.（12分）解：（Ⅰ）…………………………………………2分 根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，………… 4分又∵ 且 …………………………5分 答：有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关． ……………………………6分 （Ⅱ）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆数为 ，根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100/km h 的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为． …………… 8分 由已知可知X 服从二项分布，即 ，， ………………………………9分所以驾驶员为男性且超过100km/h 的车辆数 的均值(辆). ………11分答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过100/km h . ……12分 20.（12分）解：（Ⅰ）因为14=x 时，， 代入关系式，得， 解得 . ……………………………………4分 （Ⅱ）由（1）可知，套题每日的销售量， …………5分所以每日销售套题所获得的利润定义域 ， ……………………………………6分从而 . （7分） 令 ，∵ ,得（8分）且当 ， 时, ， 当， 时， ，函数 在 ，上单调递增；在， 上单调递减， ……………………9分 所以是函数 在()16,12内的极大值点，也是最大值点， ………………10分所以当时，函数 取得最大值. …………………………11分答：当销售价格为3.13元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. ……………………12分 21.（12分）解：（Ⅰ）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：种……………………………………2分 选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种……………3分第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:…4分或者用排除法种所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；………………………………5分（Ⅱ）随机变量 的可能取值为0，1，2，3 …………………………………………6分则………………………………………………………………7分………………………………………………………………8分………………………………………………………………9分21y =……………………………………………………………………………10分女生人数为数学期望…………………12分22.（12分）解：（Ⅰ）∵，∴，…（1分）当时，∵，∴．∴在上是递增函数，即的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．…………………………………3分当时，，令，得．∴当，时，；当时，；．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．……………………5分综上，当a≤0时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．………………6分（Ⅱ）当﹣时，，（＞）正实数，满足，⇒⇒………………………………7分令函数﹣，（），则﹣……………………………………9分，时，，为递减；，∞时，，为递增；即当t=1时有极小值也是最小值；∴（）（）∴．…………………………10分则，或（舍去）, ………………………………………………11分∴………………………………………………12分。