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第二部分课后习题第1章技术1．如果()V y 是个凸集，那么相关的生产集Y 一定是凸的。
对或错？True or false ?If ()V y is a convex set,then the associated production set Y must be convex.答：这个说法错误。
理由如下：凸生产集意味着凸投入要素集，但是反过来不成立。
首先证明凸生产集意味着凸投入要素集：证明：如果Y 是一个凸集，那么可以得出，对任何使(),y x -和(),y x '-都在Y 中的x 和x '′来说，一定会有()()()1,1ty t y tx t x '+----在Y 中，即()(),1y tx t x '---在Y 中。
从而可知：如果x 和x '在()V y 中，那么()1tx t x '+-也在()V y 中，从而可知()V y 也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。
考虑由生产函数()2f x x =规定的技术。
生产集(){}2,Y y x y x =-≤∶当然不是凸的，但投入要素集(){}v y x x y =≥:是凸集。
2．当12a a ≠时，CES 生产函数11122()y a x a x ρρρ=+的替代弹性是什么？What is the elasticity of substitution for the general CES technology 11122()y a x a x ρρρ=+when 12a a ≠?解：为了计算替代弹性，首先要计算技术替代率，根据技术替代率的定义：11111222fx a x TRS f a x x ρρ--∂∂=-=-∂∂上式两边取对数后得到：()1221ln ||ln1ln a x TRS a x ρ=+-根据替代弹性的定义：()23ln /1ln 1d x x d TRSσρ==-3．将要素i 的产出弹性定义成：()()()i i if x x x x f x ε∂=⋅∂，如果()12a bf x x x =，每个要素的产出弹性是什么？Define the output elasticity of a factor i to be ()()()i i if x x x x f x ε∂=∂.If ()12a bf x x x =,what is the output elasticity of each factor?解：()()11112212,a b a b f x ax x f x bx x --==，从而第一个要素的产出弹性为：()()()111111212a ba bx x x f x ax x a f x x x ε-===第二个要素的产出弹性为：()()()122221212a b a bx x x f x bx x b f x x x ε-===4．如果()x ε是规模弹性，()i x ε是要素i 的产出弹性，证明：()()1ni i x x εε==∑If ()x εis the elasticity of scale and ()i x εis the output elasticity of factor i ,show that()()1ni i x x εε==∑证明：对生产函数()y f x =，令()()y t f tx =，其中0t >。
第4章成本最小化1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。
Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.证明：令*x 为价格(),p w 下利润最大化的一个投入向量。
这意味着，对于所有可允许的x ，*x 必须满足()()**pf x wx pf x wx -≥-。
假设对于产出()*f x ，*x 没有使成本最小化，即存在一个向量**x 满足()()***f x f x ≥与w ()***0x x -<，因而在**x 下所取得的利润必须大于在*x 下所取得的利润：()()()*********pf x wx pf x wx pf x wx --≥>-这与*x 使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。
2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。
Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.答：互补—松弛条件为：()()()()******0000j j j j jj f x t w x x f x t w x x y f x t y f x t ⎡⎤∂⎢⎥-=∂⎢⎥⎣⎦∂-≤∂≥⎡⎤-=⎣⎦-≤≥当*0i x >和*0j x =成立时，上式就隐含着：()()**iijj f x x w w f x x ∂∂≥∂∂这个不等式意味着用 j x 代替i x 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的 j x 的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。
3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为()2111/2C y y =和()222C y y =。
第10章消费者剩余1．假设效用函数是拟线性的，证明间接效用函数是价格的凸函数。
Suppose that utility is quasilinear.Show that the indirect utility function is a convex function of prices.证明：假设效用函数具有()01x u x +的形式，考虑效用的下面形式的最大化问题：将预算约束代进目标函数，把此问题变成无约束的最大化问题：()1111max x u x m p x +-这有明显的一阶条件()11u x p '=。
这只要求物品1消费的边际效用等于它的价格。
通过检查一阶条件可知，物品1的需求仅仅是物品1价格的函数，所以把需求函数写成()11x p 。
物品0的需求可由预算约束()0111x m p x p =-决定。
把这些需求函数代进效用函数得间接效用函数：拟线性效用函数的间接效用函数可以写成：由于支出函数是间接效用函数的反函数，因此得到支出函数为：支出函数必然是价格的凹函数，这意味着()v p 是价格的凸函数。
2．埃尔斯沃思（Ellsworth）的效用函数是。
埃尔斯沃思有150美元。
x 和y 的价格都是1。
他的老板想派他去另一个城市，那里x 的价格是1，y 的价格是2。
老板不提高支付。
埃尔斯沃思完全理解补偿和等价变动，他很是抱怨。
他说虽然他不介意搬动本身,并且新城和老城一样愉快，但是搬家就像减少A 美元薪水那样坏。
他又说如果他获得B 美元加薪的话他不介意搬家，求A 和B。
Ellsworth’s utility function is (){}min U x y x y = ，，.Ellsworth has ＄150and the price of x and the price ofy are both 1.Ellsworth’s boss is thinking of sending him to another town where the price of x is 1and the price ofy is 2.The boss offers no raise in pay.Ellsworth,who understands compensating and equivalent variation perfectly,complains bitterly.He says that although he doesn’t mind moving for its own sake and the new town is just as pleasant as the old,having to move is as bad as a cut in pay of ＄A.He also says he wouldn’t mind moving if when he moved he got a raise of ＄B.What are A and B equal to?答：由效用函数可以看出，x 和y 是互补的，这是里昂惕夫技术。
第19章时间1．考虑对数效用的例子()() ln u c c =。
证明：任意t 期的消费由下式给出：Consider the logarithmic utility example in Chapter 19.Show that consumption in an arbitrary period t isgiven by证明：对数效用为：()11ln T t T t t U c c c α= =∑，…，（1）效用最大化行为满足：111max ln ..t Tt t c t T T t t t t c s t c w α=== =∑∑∑（2）建立拉格朗日函数：111ln T T T t t t t t t t L c c w αλ===⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑∑（3）一阶条件为：t t αλ=（4）将（4）式代入（3）式中得到：可以推出：一阶条件为：求解可以得到：2．考虑下述“租金稳定化”计划。
每年地主被允许按通货膨胀率的34／来提高租金。
新建造公寓的所有者能够按其意愿的价格来设定初始租金。
此计划的支持者声称，因为新公寓的初始价格可以设定于任何水平，所以新公寓的供给不会被抑制。
让我们在一个简单模型中分析这种说法。
假设公寓持续两个时期。
令r 为名义利息率，π为通货膨胀率。
假定没有租金稳定化计划时，第1期租金为p ，第2期租金为()1p π＋．令c 为新公寓建造的恒定边际成本，且令每期对公寓的需求由()D p 给出。
最后，令k 为租金受到控制的公寓供给。
（编者注：此外还应当假设房屋市场是完全竞争的）（a）在没有租金稳定化计划时，在第1期的租价p 和新公寓建造边际成本间的均衡关系是什么？（b）若采用了租金稳定化计划，这一关系将如何变化？（c）画出简单的供给一需求曲线，并图示没有租金稳定化计划时新公寓的数量。
（d）租金稳定计划将导致更多还是更少新公寓的建造？（e）在租金稳定化计划之下，新公寓的均衡价格将较高还是较低？Consider the following scheme for “rent stabilization.”Each year landlords areallowed to increase their rents by 3/4of the rate of inflation.Owners of newly constructed apartments can set their initial rent at any price they please.Advocates of this plan claim that since the initial price of new apartments can be set at any level,the supply of new housing will not be discouraged.Let us analyze this claim in a simple model.Suppose that apartments last for 2periods.Let r be the nominal rate of interest and πbe the rate of inflation.Assume that in the absence of rent stabilization the rent in period 1will be p and the rent in period 2will be ()1p π＋.Let c be the constant marginal cost of constructing new apartments and let the demand function for apartments in each period be given by ()D p .Finally,let k be the supply of rent controlled apartments.（a ）In the absence of rent stabilization,what must be the equilibrium relationship between the period 1rental pricep and the marginal cost of constructing a new apartment?（b）If the rent stabilization plan is adopted,what will this relationship have to be?（c）Draw a simple supply-demand diagram and illustrate the number of new apartments without rent stabilization.（d）Will the rent stabilization plan result in more or fewer new apartments being built?（e）Will the equilibrium price of new apartments be higher or lower under this rent stabilization plan?答：（a）显然，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：求解均衡时的租金的价格可以得到：（b）在采用了租金稳定化计划后，只要租金的未来现金流的贴现值大于建造公寓的边际成本，则公寓将会被提供：（c）可以画出第一期的需求曲线减去受到控制的住房供给的k 部分,得到剩余的需求即为市场需求曲线。
第十章寡头垄断市场产量和价格的决定10.1 复习笔记一、寡头市场的特征1．寡头市场的定义寡头垄断是指这样一种市场结构，一种产品只有少数几家大厂商生产或经销，而这几家厂商中任何一家在该行业的总产量中都占有相当大的份额，因而每一个厂商的竞争行动都会影响其他几家的生产数量和利润。
这些大厂商之间往往进行着激烈而针锋相对的竞争，寡头垄断市场介于垄断竞争市场与完全垄断市场之间，又称寡头竞争，简称寡头市场。
2．寡头市场模型的假定条件（1）假定在一个寡头市场中，各厂商的产品是同质无差别的。
（2）假定各寡头厂商在生产要素市场上以完全竞争的买者身份出现，即寡头购买的生产要素的数量不至于影响生产要素的价格，这使对其成本的分析简化。
3．寡头垄断形成的原因（1）规模经济。
如果一个厂商较低成本的产量在整个市场的总量需求中占有很大的比重，那么就容易产生寡头垄断。
（2）行业进入的障碍。
比如，建立某些类型的工厂必须花费大量的资金，聘用大量的熟练工人，这些条件并不是随时可以具备的。
（3）某些自然资源特别难以获得，使以这些自然资源为原材料的产业，只能容纳为数很少的几家企业。
（4）产品的专利权和由政府颁发的特许权，对寡头垄断的形成也起了很大作用。
二、寡头垄断模型1．古诺模型古诺模型考察的是一个行业中仅有两个厂商的双头垄断的情况。
假定生产者之间不存在任何形式勾结和串通，并且每一方都知道对方怎样行动。
（1）古诺模型的假定①A 、B 两个生产者生产完全相同的产品——矿泉水。
②两个厂商的总成本和边际成本都为零。
③两家都掌握市场需求。
各家根据对手采取的行动，并假定对手继续如此行事，来作出自己的决策。
（2）古诺模型的分析设市场需求函数为Q ＝a －（a/b ）P ，两个厂商分别生产Q 1和Q 2的产量，市场总供给量Q 为两家厂商产量之和，即Q ＝Q 1＋Q 2，因此需求函数可写成P ＝b －（b/a ）（Q 1＋Q 2）。
厂商1的利润π1为：()1121b b Q Q Q a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦厂商1利润最大化的一阶条件为：1121d 20d b b b Q Q Q a aπ=--= 从而厂商1的反应函数为：Q 1＝（1/2）（a －Q 2）从中可以看出，厂商1的利润最大化的决策与厂商2的行为直接相关，因为只有当厂商2的产量确定后，厂商1才能确定自己利润最大化的产量。
第8章选择1．弗兰克·费雪的支出函数是()e p u ，，他对开玩笑的需求函数是()j x p m ，，其中p 为价格向量，收入0m 。
证明：对弗兰克而言，当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is ()e p u ，.His demand function for jokes is ()j x p m ，,where p is vector of prices and 0m is his income.Show that jokesare a normal good for Frank if and only if 2/0j e p u ∂∂∂>.证明：恒等式()()()/j j j x p m h p v p m e p v p m p ≡ ≡∂ ∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，，，，，两边关于m 求导得：()()()2ji e p v p m x v p m m p u m∂ ∂∂ =⋅∂∂∂∂，，，，由于收入的边际效应/v m ∂∂一定为正，故当且仅当2/0j e p u ∂∂∂>时，0j x m∂>∂，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。
验证对角线各项是负的，交叉价格效应是对称的。
Calculate the substitution matrix for the Cobb-Douglas demand system with two goods.Verify that the diagonal terms are negative and the cross-price effects are symmetric.答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：()11212a au x x x x - =，，在两边取对数，两种物品的需求函数可以通过解下式导出：()1212max ln 1ln x x a x a x +-，满足1122p x p x m+=将约束条件代入目标函数得到：()11112max ln 1lnx a x a p -+-解出物品1的马歇尔需求为：()1121am x p p m p =，，代入预算约束得出物品2的马歇尔需求为：()()11221a mx p p m p - =，，简化起见，令1a a =，21a a =-，则两物品的柯布-道格拉斯需求函数可以写成：111222a m x p a m x p ==由斯拉茨基方程：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =-∂∂∂，，，，，中可以得出替代效应：()()()()()j j j i iih p v p m x p m x p m x p m p p m∂ ∂ ∂ =+∂∂∂，，，，，将需求函数分别对1p 、2p 、m 求导，代入替代效应表达式中，即得出替代矩阵如下：22211111112121122212122222a mp a mp a a mp p a a mp p a mp a mp --------⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭从上面表达式中可以看出，其对角线各项是正的，且交叉价格效应相等：1112121221h h a a mp p p p --∂∂==∂∂3．假设一个消费者具有线性需求函数x ap bm c =++。
第24章垄断24.1本章要点●垄断利润最大化●垄断的低效率●垄断的额外损失●垄断形成的原因24.2重难点解读当市场上只有一家厂商时，该厂商不太可能接受既定的市场价格。
由于垄断市场只有一个厂商，所以，市场的需求曲线就是垄断厂商所面临的需求曲线。
垄断厂商向右下方倾斜的需求曲线意味着垄断厂商可以通过调整销售量来改变市场价格。
当然，垄断厂商不可能独立地选择价格和产量；对于任何给定的价格，垄断厂商只能出售市场所能够承受的数量。
消费者的需求行为限制了垄断厂商对价格和产量的选择。
一、利润最大化与成本加成定价1．利润最大化令()p y 表示市场反需求曲线，()c y 表示成本函数，()()r y p y y =表示收益函数。
垄断厂商的利润最大化问题表示为：()()max yr y c y -对产量y 求一阶导数可得：MR MC=即：在产量的最优水平上，边际收益一定等于边际成本。
利用弹性公式将边际收益表示为以下的形式：()()()d 11d TR y MR y p MC y y ε⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭（1）在竞争情形下，厂商面临的是一条水平的需求曲线——一条弹性无穷大的需求曲线，这意味着110ε==∞，所以，对于一家竞争厂商，这个方程的表现形式就是价格等于边际成本。
（2）垄断厂商决不会选择在需求曲线无弹性的点经营。
因为，如果ε＜1，那么11ε>，边际收益就只可能取负值。
此时，减产会使得利润增加。
因此，任何ε＜1的点都不可能是垄断厂商实现利润最大化的点。
从而得出结论：垄断厂商实现利润最大化的点只可能出现在1ε≥的地方。
2．线性需求曲线和垄断假定垄断厂商面临一条线性需求曲线：()p y a by=-那么，收益函数为：()()r y p y y ay by==-边际收益函数为：()2MR y a by=-如图24-1所示，最优产量*y 在边际收益曲线与边际成本曲线相交的地方，垄断厂商将索取它可能获得的最高价格()*p y ，可以得到收益()**p y y ，从中扣除总成本()()***c y AC y y =后，剩下的那块面积就是利润。
第28章寡头垄断28.1 复习笔记1．寡头垄断（1）寡头寡头亦称“寡头垄断”或“寡占”，是指在一种商品或劳务的市场上只有少数几个卖者而有许多买者的市场结构。
在寡头垄断市场上，整个行业（或市场）的产品（或劳务）的一大部分是由少数几个企业（或卖者）供给的。
作为卖主的垄断寡头之间仍然存在着竞争，每个寡头都要考虑竞争对手对于自己的每一行动的反应，彼此之间的决策行为是相互依赖的。
一方面，如果有一卖主为争取更大的市场销售份额而降低商品价格，那么其他卖主势必也会降低价格，最终使各个卖主的原有市场份额保持不变，而使利润减少。
另一方面，如果有一卖主提高价格，那么其他卖主不一定会提高价格，从而使提高价格的卖主丧失原来占有的市场份额。
由于垄断寡头能预计到这种结果，垄断寡头不会轻易提价。
因此，在卖方寡头市场上，商品价格一般比较稳定。
（2）寡头垄断的类型寡头垄断的类型有产量领导，价格领导，联合定产，联合定价以及串谋。
（3）反应函数在寡头垄断理论中，针对竞争对手所选择的不同决策变量，经济当事人会选择相应的最优决策量。
这样，经济当事人的利润最大化选择就取决于竞争对手的选择。
由于双方的策略选择是一个连续的过程，经济当事人的利润最大化产量就可以表示为竞争对手选择的函数，这一函数称为反应函数，它表示经济当事人相应于竞争对手的选择如何反应，如图28-1所示。
图28-1 反应曲线的推导2．产量领导模型（斯塔克尔伯格模型）（1）模型假设市场上有两个厂商，厂商1是领导者，它选择的产量是y 1，厂商2根据厂商1的产量y 1确定产量y 2，p （y ）表示作为行业产量y ＝y 1＋y 2的反需求函数，c 1（y 1）和c 2（y 2）分别是两个厂商的成本函数。
（2）追随者的利润最大化追随者的利润最大化可以描述为：()()212222max y p y y y c y +- 根据边际收益等于边际成本，得到：MR 2＝p （y 1＋y 2）＋y 2Δp/Δy 2＝MC 2；从中解得厂商2的反应函数：y 2＝f 2（y 1）。
第16章寡头垄断
1．假定有两个具有固定边际成本为1c 的厂商和两个具有固定边际成本为2c 的厂商，且21c c >，该模型的伯特兰均衡是什么？竞争均衡是什么？
Suppose that we have two firms with constant marginal costs of 1c and two firms with constant marginal costs of
2c ,and that 21c c >.What is the Bertrand equilibrium in this model?What is the competitive equilibrium in this model?
2．考虑本章的销售模型，当U I 增加时，() F p 会发生什么？解释此结果。
Consider the model of sales described in the section.As U I increases,what happens to () F p ?Interpret this result.
答：首先阐述一下产品销售模型：假设市场上有两个厂商，每个厂商的边际成本都是零，固定成本为k 。
此外，市场上的消费者分为两种类型：消息灵通者（共有I 个）和消息不灵通者（共有2U 个）。
前者只选择价格较低的厂商的产品，后者随机地选择两个厂商的产品，每个消费者的保留价格都是r 。
最后，每个厂商都采用混和策略，并且假设他们的策略是对
称的。
假设均衡的混合策略是() F p （() F p 表示厂商的定价低于p 的概率，相应的密度函数为() f p ）。
对于定价为p 的厂商，其期望收益为：
根据同等支付原则可知，对于均衡的混合策略，必有：
解得：。
又因为每个厂商制定的价格上限不能超过消费者的保留价格r ，所以必有()1F r =，把此式代入上式中得到
从而，因为r p ≥，所以，这就说明/U I 增加时，() F p 将变小，同时每个厂商的定价范围也会减小，特别的，当/U I =+∞时，即市场上的消费者全部是消息不灵通的类型时，() F p 就会垂直于横轴，此时每个厂商的要价都等于消费者的保留价格。
如图16-1所示，其中曲线AB 表示/U I 增大时的混合策略的概率分布。
图16-1混合策略的概率分布
3．考虑本章中的线性反需求函数，推导关于直接需求函数参数的公式。
Given the linear inverse demand functions in the section derive formulas for the parameters of the direct demand functions.
答：消费者的线性反需求函数由下式给出：
11112
p y y αβγ=--（1）22122p y y αγβ=--（2）
下面求直接需求函数的参数：
对（1）式乘以γ，得到：
211112
p y y γγαγβγ=--（3）对（2）式乘以1β，得到：
121211122p y y ββαβγββ=--（4）（3）式减去（4）式得到：
变形得到：
4．使用习题3中得到的线性需求函数，证明古诺竞争比伯特兰竞争总是数量更低而价格更高。
Using the linear demand functions in the previous problem,show that quantities are always lower and prices higher in Cournot competition than in Bertrand competition.
证明：定义：2124ββγ∆=-和2124D b b c =-，通过计算可知:
其中标c 表示古诺竞争，b 表示伯特兰竞争。
6．与竞争性模型有关的猜想变量为1v =-，这意味着一个厂商增加一单位产量，另一
厂商就要减少一单位产量，直觉地，这很难像是竞争性行为，错在哪里？
The conjectural variation associated with the competitive model is 1v =-.This means that when one firm increases its output by one unit,the other firm reduces its output by one unit.Intuitively,this hardly seems like competitive behavior.What’s wrong?
答：猜想变量是指满足如下条件的变量12v ：
()()[]()
121111p Y p Y v y c y ''++=特别的，当12v 取不同的值时，就可以得到不同模型的均衡条件，比如完全竞争模型（121v =-），古诺模型
（120v =）等等。
在完全竞争模型中，每个追求利润最大化的企业都希望通过降低产量，提高价格来增加自己的利润，但是
121v =-意味着当一个企业将它的产出下降1个单位时，
它相信其他企业将提高一单位产出，这时总产出不变，从而市场价格不变。
因此，在这种情况下，单个厂商的产量变化无法影响市场价格，所以市场是竞争性的。
而题目中错误的观点认为所有的企业会提供总量一定的产品，并且这个总量是事先确定的，这类似于垄断合谋。
但事实上，竞争市场中的厂商并不知道所有厂商的总产量，他们唯一得到的信号就是产品的价格。
7．证明：对所有的。
Show that if ()()12
c x c x ''<for all x>0,then the cartel solution involves 12y y >.证明：考虑如果两个厂商选择它们的产量以最大化共同的利润。
在这种情况下，厂商同时选择1y 和2y ，以便最大化行业利润：
一阶条件为：
由于这个方程的左边项相同，右边项也必然相同——厂商的边际生产成本必然相等。
但是，由于()()12
c x c x ''<，而上式要求两个企业的边际成本相等，因此，必然有卡特尔解12y y **>。
8．假设两个相同的厂商正在卡特尔解中经营，每一厂商都相信，如果他调整产量，其他厂商也将会调整产量，以保证市场份额为1/2。
这意味着猜想变量是什么？意味着何种产业结构？
Suppose that two identical firms are operating at the cartel solution and that each firm believes that if it adjusts its output the other firm will adjust its output so as to keep its market share equal to 1/2.What does this imply about the conjectural variation?What kind of industry structure does this imply?
答：假设厂商1的产量为1y ，那么市场总产量就是12y ，于是厂商1的利润最大化问题是：
相应的一阶条件为：
由此可见猜想变量为1。
如果每一厂商都相信，如果它调整产量，其他厂商也将会调整产量，以保证市场份额为。
