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一、选择题1．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ） ①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒； ③若//BC AD ，则230∠=︒； ④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．5，6，11B ．3，4，8C ．5，6，10D ．6，6，13 3．已知三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm4．如图，12AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且4AC cm =，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P ，Q 两点同时出发，运动______分钟后CAP 与PQB △全等（ ）A ．4或6B ．4C ．6D ．55．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A ．2cm ，3cm ，4cmB ．1cm ，4cm ，2cmC ．1cm ，2cm ，3cmD ．6cm ，2cm ，3cm6．如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边AC ，BD ，CE 的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC 的面积为（ ）平方厘米A ．8B ．12C ．16D ．187．如图，△ABC 和△AED 共顶点A ，AD ＝AC ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E ． BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，甲说：“一定有△ABC ≌△AED ．”乙说：“△ABM ≌△AEN ．”那么（ ）A ．甲、乙都对B ．甲、乙都不对C ．甲对、乙不对D ．甲不对、乙对8．在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，点G 是重心，如果6AG =，那么线段DG 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．9 D ．12 9．以下列长度的三条线段为边能组成三角形的是（ ）A ．2、3、1B ．2、3、5C ．10、4、5D ．14、15、1610．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB 的边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合（即CM ＝CN ）．此时过直角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．这种做法的道理是（ ）A ．HLB ．SASC ．SSSD ．ASA11．如图，要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先过点B 作BF AB ⊥，在BF 上找点D ，过D 作DE BF ⊥，再取BD 的中点C ，连接AC 并延长，与DE 交点为E ，此时测得DE 的长度就是AB 的长度．这里判定ABC 和EDC △全等的依据是（ ）A ．ASAB ．SASC ．SSSD ．AAS12．如图，已知ABC ADE △≌△，若70E ∠=︒，30D ∠=︒，则BAC ∠的度数是（ ）A ．80︒B ．70︒C ．40︒D ．30二、填空题13．如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，BE 平分NBA ∠，BE 的反向延长线与BAO ∠的平分线交于点C ，则ACB ∠的度数是_______．14．如图，Rt ABC 和Rt EDF 中，AE CF =，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你添加一个条件__________使Rt ABC 和Rt EDF 全等．15．如图，BF 平分∠ABD ，CE 平分∠ACD ，BF 与CE 交于G ，若130,90BDC BGC ∠=︒∠=︒，则∠A 的度数为_________．16．如图，点D 在ABC 的边BA 的延长线上，点E 在BC 边上，连接DE 交AC 于点F ，若3117DFC B ∠∠==︒，C D ∠=∠，则BED ∠=________．17．如图，ABC DEF △≌△，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，AC 、DF 交于点M ，30ACB ∠=︒，则AMF ∠的度数是______°．18．如图的三角形纸片中，AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ．点D 是AC 上一点，沿过BD 折叠，使点C 落在AB 上的点E 处，则AED 的周长为___________cm ．19．如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM=ON ，在分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点P ，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠的依据是____________20．用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为________个．三、解答题21．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，CE ⊥AD 于点E ．求证：AD ＝2CE ．22．如图（1）在凸四边形ABCD 中，3060ABC ADC AD DC ∠=︒∠=︒=，，． （1）如图（2），若连接AC ，则ADC 的形状是________三角形，你是根据哪个判定定理？答：______________________________________（请写出定理的具体内容）（2）如图（3），若在四边形ABCD 的外部以BC 为一边作等边BCE ，并连接AE ．请问：BD 与AE 相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．23．如图，点B 、E 、C 、F 四点在一条直线上，∠A =∠D ，AB //DE ，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC ≌△DEF ．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB =DE ；乙说：添加AC //DF ；丙说：添加BE =CF ．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________； （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．24．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为AD 延长线上一点，PE BC ⊥于点E ，若70C ∠=︒，24B ∠=︒，求P ∠的度数．25．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．26．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅； （2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解CAD ∠，再利用结论②可判断③，由150CAD ∠=︒，先求解230∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G 再求解90AGE ∠=︒， 再利用三角形的外角的性质求解4∠， 从而可判断④． 【详解】 解：90BAC DAE ∠=∠=︒， 122390∴∠+∠=∠+∠=︒，13∴∠=∠，故①符合题意， 19090180BAE CAD BAE DAE BAC DAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，故②符合题意；//,BC AD180C CAD ∴∠+∠=︒， 45C ∠=︒， 135CAD ∴∠=︒，218018013545CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故③不符合题意； 150180CAD BAE CAD ∠=︒∠+∠=︒，， 30BAE ∴∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G60E ∠=︒，180306090AGE ∴∠=︒-︒-︒=︒，45,B C ∠=∠=︒4904545.AGE B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 4.C ∴∠=∠ 故④符合题意，综上：符合题意的有①②④． 故选：.C 【点睛】本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．C解析：C 【分析】根据三角形的两边和大于第三边解答. 【详解】A 、5+6=11，故不能构成三角形；B 、3+4<8，故不能构成三角形；C 、5+6>10，故能构成三角形；D 、6+6<13，故不能构成三角形； 故选：C. 【点睛】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.3．B解析：B 【分析】利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：第三边长x 的范围是：8383x -<<+，即5cm 11cm x <<， 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．4．B解析：B 【分析】分当△CPA ≌△PQB 时和当△CPA ≌△PQB 时，两种情况进行讨论，求得BQ 和BP 的长，分别求得P 和Q 运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：当△CPA ≌△PQB 时，BP=AC=4（米）， 则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米）， A 的运动时间是：4÷1=4（分钟）， Q 的运动时间是：8÷2=4（分钟）， 则当t=4分钟时，两个三角形全等； 当△CPA ≌△QPB 时，BQ=AC=4（米）， AP=BP=12AB =6（米）， 则P 运动的时间是：6÷1=6（分钟）， Q 运动的时间是：4÷2=2（分钟）， 故不能成立．总之，运动4分钟后，△CPA 与△PQB 全等， 故选B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA ≌△PQB 和△CPA ≌△QPB 两种情况讨论是关键．5．A解析：A 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可． 【详解】A 、2+3＞4，能围成三角形；B 、1+2＜4，所以不能围成三角形；C 、1+2=3，不能围成三角形；D 、2+3＜6，所以不能围成三角形； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．6．C解析：C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形进行解答即可． 【详解】解：∵F 是EC 的中点， ∴142AEF AFC AEC S S S ∆∆∆===， ∴8AEC S ∆=， ∵ E 是BD 的中点 ，∴ABE AED S S ∆∆=，BEC ECD S S ∆∆=， ∵8AED ECD AEC S S S ∆∆∆+==， ∴8ABE BEC AEC S S S ∆∆∆+==，∴228=16ABC ABE BEC AEC AEC S S S S S ∆∆∆∆∆=++==⨯， 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的中线与三角形的面积关系，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解答的关键．7．A解析：A 【分析】利用AAS 判定△ABC ≌△AED ，则可得到AB=AE ，再利用ASA 判定△ABM ≌△AEN ． 【详解】 ∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAC ＝∠2+∠MAC ，∴∠BAC ＝∠EAD ， 在△BAC 和△EAD 中，B E BAC EAD AC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BAC ≌△EAD ， ∴甲说的正确；∵△BAC ≌△EAD （AAS ）， ∴AB=AE ，在△BAM 和△EAN 中，12B E AB AE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△BAM ≌△EAN （ASA ）， ∴乙说的正确； 故选A ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键．8．A解析：A 【分析】根据三角形重心的定义求解即可. 【详解】∵AD 是BC 边上的中线，点G 是重心， ∴AG ：DG=2：1, ∵6AG =， ∴DG=3. 故选A. 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟记重心的性质，并能灵活运用是解题的关键.9．D解析：D根据三角形三边关系解答．【详解】A 、1+2=3，故不能组成三角形；B 、2+3=5，故不能组成三角形；C 、4+5<10，故不能组成三角形；D 、14+15>16，故能组成三角形；故选：D ．【点睛】此题考查三角形的三边关系：两边之和大于第三边，熟记三边关系是解此题的关键． 10．C解析：C【分析】根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC ≌△ONC(SSS)，即可得到结论.【详解】在△OMC 和△ONC 中，OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC ，∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，故选：C.【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.11．A解析：A【分析】根据条件可得到BC=CD ，∠ABD=∠EDC ，∠ACB=∠DCE ，可得出所用的判定方法．【详解】解：∵C 为BD 中点，∴BC=CD ，∵AB ⊥BF ，DE ⊥BF ，∴∠ABC=∠CDE=90°，且∠ACB=∠DCE ，∴在△ABC 和△EDC 中，满足ASA 的判定方法，故选：A ．本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．12．A解析：A【分析】由全等三角形的性质可得到∠BAC=∠EAD ，在△ADE 中可求得∠EAD ，则可求得∠BAC ．【详解】解：∵∠E=70°，∠D=30°，∴∠EAD=180°-∠E-∠D=180°-70°-30°=80°，∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC=∠EAD=80°，故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出再根据角平分线的定义求出和然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解【详解】解：根据三角形的外角性质可得平分 解析：45︒【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出ABN ∠，再根据角平分线的定义求出ABE ∠和BAC ∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【详解】解：根据三角形的外角性质，可得ABN AOB BAO ∠=∠+∠， BE 平分NBA ∠，AC 平分BAO ∠，12ABE ABN ∴∠=∠，12BAC BAO ∠=∠，C ABE BAC ∴∠=∠-∠，1)2ABN BAO =∠-∠， ()1122AOB BAO BAO =∠+∠-∠， 12AOB =∠， 90MON ∠=︒，90AOB ∠=︒∴，190452C ∴∠=⨯︒=︒． 故答案为：45°．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．（答案不唯一）【分析】根据三角形全等判定条件即可得解；【详解】当时满足条件；∵∴∴在和中∴；故答案是：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件准确分析判断是解题的关键解析：BC DF =（答案不唯一）【分析】根据三角形全等判定条件即可得解；【详解】当BC DF =时满足条件；∵AE CF =，∴AE EC CF EC +=+，∴AC EF =，在Rt ABC 和Rt EDF 中，AC EF BC DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC Rt EDF ≅；（答案不唯一）．故答案是：BC DF【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键．15．50°【分析】连接BC根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数即可求得∠A的度数【详解】解：连接BC∵∠BDC＝130°解析：50°【分析】连接BC，根据三角形内角和定理可求得∠DBC＋∠DCB的度数，再利用三角形内角和定理及角平分线的定义可求得∠ABC＋∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．【详解】解：连接BC，∵∠BDC＝130°，∴∠DBC＋∠DCB＝180°−∠BDC＝50°，∵∠BGC＝90°，∴∠GBC＋∠GCB＝180°−∠BGC＝90°，∴∠GBD＋∠GCD＝（∠GBC＋∠GCB）−（∠DBC＋∠DCB）＝40°，∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠ABD＋∠ACD＝2∠GBD＋2∠GCD＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝（∠ABD＋∠ACD）＋（∠DBC＋∠DCB）＝130°，∴∠A＝180°−（∠ABC＋∠ACB）＝180°−130°＝50°．故答案为：50°．【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．16．102°【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°可以算出∠B＝39°然后设∠C＝∠D＝x°根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117再解方程即可得到x＝39再根据三角形内角和定理求出∠BED的度解析：102°【分析】首先根据∠DFC＝3∠B＝117°，可以算出∠B＝39°，然后设∠C＝∠D＝x°，根据外角与内角的关系可得39＋x＋x＝117，再解方程即可得到x＝39，再根据三角形内角和定理求出∠BED的度数．【详解】解：∵∠DFC＝3∠B＝117°，∴∠B＝39°，设∠C＝∠D＝x°，39＋x＋x＝117，解得：x＝39，∴∠D＝39°，∴∠BED＝180°−39°−39°＝102°．故答案为：102°．【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．17．60【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵△ABC≌△DEF∴∠DFE=∠ACB=30°∵∠AMF 是△MFC的一个外角∴∠AMF=∠解析：60【分析】根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE=∠ACB=30°，∵∠AMF是△MFC的一个外角，∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，故答案为：60．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．18．7【分析】根据折叠的性质可得BE＝BC＝6cmCD＝DE可得AE＝2cm即可求△AED的周长【详解】解：∵折叠∴△BCD≌△BED∴BE＝BC＝6cmCD＝DE∴AE ＝AB﹣BE＝2cm∴△AED的解析：7【分析】根据折叠的性质可得BE＝BC＝6cm，CD＝DE，可得AE＝2cm，即可求△AED的周长．【详解】解：∵折叠，∴△BCD≌△BED，∴BE ＝BC ＝6cm ，CD ＝DE ，∴AE ＝AB ﹣BE ＝2cm ，∴△AED 的周长＝AD+DE+AE ＝AD+CD+AE ＝AC+AE ＝7cm ．故答案为7．【点睛】本题考查了翻折变换，熟练运用折叠的性质是本题的关键．19．全等三角形判定（斜边和直角边对应相等）【分析】利用判定方法HL 证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等进而得出答案【详解】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ）∴∠MOP ＝解析：全等三角形判定（斜边和直角边对应相等HL ）【分析】利用判定方法“HL”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故答案为HL【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定20．2【分析】本题根据三角形的三边关系定理得到不等式组从而求出三边满足的条件再根据三边长是整数进而求解【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x 根则第三边是（）根根据三角形的三边关系定理得到：则又因为是整数 解析：2【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解．【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x 根，则第三边是（122x -）根，根据三角形的三边关系定理得到：122122x x x x x x +>-⎧⎨-+>⎩， 则3x >， 6x <，又因为x 是整数，∴x 可以取4或5，因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况，则能摆出不同的等腰三角形的个数为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12．三、解答题21．见解析【分析】延长AB 、CE 交于点F ，证明△ABD ≌△CBF ，根据全等三角形的性质得到AD ＝CF ，证明△CAE ≌△FAE ，得到CE ＝EF ，进而证明结论．【详解】证明：延长AB 、CE 交于点F ，∵∠ABC ＝90°，CE ⊥AD ，∠ADB ＝∠CDE ，∴∠BAD ＝∠ECD ，在△ABD 和△CBF 中，BAD BCF AB CB ABD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABD ≌△CBF （SAS ），∴AD ＝CF ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠FAE ，在△CAE 和△FAE 中，CAE FAE AE AEAEC AEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△CAE ≌△FAE （ASA ），∴CE ＝EF ，∴AD ＝CF ＝2CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解题的关键．22．（1）等边三角形；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；（2）BD EA =，理由见解析．【分析】（1）连接AC ，由AD DC =判定ADC 是等腰三角形，再根据一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形即可解题；（2）根据等边三角形的性质得，在ADC 中，,60DC AC DCA =∠=︒，在BCE 中，,60CB CE BCE =∠=︒，继而证明DCB ACE ∠=∠，得到()BDC EAC SAS ≅，最后由全等三角形的对应边相等解题即可．【详解】解：（1）连接AC ，在ADC 中，AD DC =，∴ADC 是等腰三角形，又60ADC ∠=︒，∴ADC 是等边三角形（一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形）故答案为：等边三角形；一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；（2）BD EA =，理由如下： ADC 是等边三角形，,60DC AC DCA ∴=∠=︒又BCE 是等边三角形，,60CB CE BCE ∴=∠=︒， DCA ACB ECB ACB ∴∠+∠=∠+∠即DCB ACE ∠=∠()BDC EAC SAS ∴≅BD AE ∴=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB ∥DE 可得∠B ＝∠DEC ，再加上条件∠A =∠D ，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC //DF 不能证明△ABC ≌△DEF ；（2）添加AB =DE ，再由条件AB ∥DE 可得∠B ＝∠DEC ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】（1）解：∵AB //DE ，∴∠B ＝∠DEC ，又∵∠A =∠D ，∴添加AB =DE ，可得△ABC ≌△DEF （ASA ）；添加BE =CF ，可得BC=EF ，可得△ABC ≌△DEF （AAS ）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中A DB DEF AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．24．23°【分析】在△ABC 中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD 的度数，在△ACD 中，利用三角形外角定理可求出∠CDP 的度数，结合PE BC ⊥即90PED ∠=︒及三角形外角定理，从而得出P CDP PED ∠=∠-∠即可求得∠P 的度数．【详解】解：在ABC 中，70C ∠=︒，24B ∠=︒，∴180702486BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴43CAD ∠=︒，∴4370113CDP CAD C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵PE BC ⊥，即90PED ∠=︒，∴1139023P CDP PED ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了三角形外角定理、角平分线的定义，利用三角形外角定理及角平分线的定义，求出∠CDP 的度数是解题的关键．25．32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．【详解】解：∵ AD CE ⊥， BE CE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，在ACD △与CBE △中，ADCCEB ACDCBE AC BC∴ACD CBE ≌(AAS) ∴ 3CD BE ==， AD CE =，∵ 358CE CD DE =+=+=，∴ 8AD =．ACE 11883222S CE AD △．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 26．（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB ACBAD ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．。
第四章 三角形测试题1．一定在△ABC 内部的线段是（ ）A ．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B ．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C ．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D ．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．下列说法中，正确的是（ ）A ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C ．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形3．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对 （注意考虑完全，不要漏掉某些情况）4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定5．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ）A ．18B ．15C ．18或15D ．无法确定6．两根木棒分别为5cm 和7cm ，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（ ）种A ．3B ．4C ．5D ．6A ．180°B ．360°C ．720°D ．540°7．如图:（1）AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是________的高，∠________＝∠________＝90°；（2）AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则AE 叫________， ∠________＝∠________＝21∠________，AH 叫________；（3）若AF ＝FC ，则△ABC 的中线是________；（4）若BG ＝GH ＝HF ，则AG 是________的中线，AH 是________的中线．8．在等腰△ABC 中，如果两边长分别为6cm 、10cm ，则这个等腰三角形的周长为________． 9．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点I ．（1）若∠ABC ＝70°，∠ACB ＝50°，则∠BIC ＝________； （2）若∠ABC ＋∠ACB ＝120°，则∠BIC ＝________； （3）若∠A ＝60°，则∠BIC ＝________； （4）若∠A ＝100°，则∠BIC ＝________； （5）若∠A ＝n °，则∠BIC ＝________．10．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．画出：（1）∠ABC的平分线；（2）边AC上的中线；（3）边AC上的高．11．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4cm，2S，求△ABD中AB边上的高．=12cm∆ABC12．学校有一块菜地，如下图．现计划从点D表示的位置（BD∶DC＝2∶1）开始挖一条小水沟，希望小水沟两边的菜地面积相等．有人说：如果D是BC的中点的话，由此点D 笔直地挖至点A就可以了．现在D不是BC的中点，问题就无法解决了．但有人认为如果认真研究的话一定能办到．你认为上面两种意见哪一种正确，为什么?13．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实习，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．14．一个三角形的周长为36cm，三边之比为a∶b∶c＝2∶3∶4，求a、b、c．15．如图，AB∥CD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，（1）完成下面的证明：∵ MG 平分∠BMN （ ），∴ ∠GMN ＝21∠BMN （ ）， 同理∠GNM ＝21∠DNM ． ∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠BMN ＋∠DNM ＝________（ ）．∴ ∠GMN ＋∠GNM ＝________．∵ ∠GMN ＋∠GNM ＋∠G ＝________（ ），∴ ∠G ＝ ________．∴ MG 与NG 的位置关系是________．（2）把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题：_______________________________________________________________．16．已知，如图D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ， ∠A ＝46°，∠D ＝50°．求∠ACB 的度数．17．已知，如图△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点O ．若∠BAC ＝60°，求∠BOC 的度数．18．已知，如图△ABC 中，∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求∠DAE 的度数．1．A ； 2．D ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ；7.（1）BC 边上，ADB ，ADC ；（2）∠BAC 的角平分线，BAE ，CAE ，BAC ，∠BAF 的角平分线；（3）BF ； （4）△ABH ，△AGF ；8．22cm 或26cm ；9．（1）120°； （2）120°； （3）120°； （4）140°； （5）290︒+︒n ； 10．略； 11．212cm =∆ABC S ，∴21AB ·BC ＝12，AB ＝4，∴ BC ＝6， ∵ AB ∥CD ，∴ △ABD 中AB 边上的高＝BC ＝6cm ．12．后一种意见正确．13．不作垂线，一个直角三角形，即：1＝2×0＋1，作一条垂线，三个直角三角形，即：3＝2×1＋1，同理，5＝2×2＋１，找出相应的规律，当作出k k D D 1-时，图中共有2×k ＋1，即2k ＋1个直角三角形．14．设三边长a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，∵ 三角形周长为36，∴ 2k ＋3k ＋4k ＝36，k ＝4，∴ a ＝8cm ，b ＝12cm ，c ＝16cm ．15．（1）已知，角平分线定义，已知，180°，两直线平行同旁内角互补，90°，180°，三角形内角和定理，90°，互相垂直．（2）两平行直线被第三条直线所截，它们的同旁内角的角平分线互相垂直．16．94° 17．120° 18．10°；。
第4章三角形一、选择题（每题3分，答案填写在下表对应位置，共36分）1．下列说法正确的是（）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形2．如图，AB＝AD，AC＝AE，如果想增加一个有关角相等的条件，就可以直接得到△ABC ≌△ADE，那么这个条件是（）A．∠B＝∠C B．∠B＝∠D C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAE 3．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（）A．x＞12B．x＜6C．6＜x＜12D．0＜x＜124．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定5．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m，作法合理的顺序依次为（）①延长CD到B，使BD＝CD；②连接AB；③作△ADC，使DC＝a，AC＝b，AD＝m．A．③①②B．①②③C．②③①D．③②①7．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形8．下列条件中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A．两边一角对应相等B．两角一边对应相等C．三边对应相等D．两边和它们的夹角对应相等9．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A．60°≤α＜90°B．60°＜α＜180°C．60°＜α＜90°D．0°＜α＜90°10．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线的交点11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF12．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处二、填空题（每题4分，共16分）13．在等腰△ABC中，如果两边长分别为6cm、10cm，则这个等腰三角形的周长为．14．五条线段长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长，则可以组成个三角形．15．如图，AB、CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是．16．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为．三、解答题（共48分）17．已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A ＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．18．已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC 的度数．19．三月三，放风筝．如图所示是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学知识给予证明．20．已知：如图AC、BD相交于点O，AC＝BD，BC＝AD，求证：OC＝OD．21．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．第4章三角形参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列说法正确的是（）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形【分析】根据钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的关系，分别进行判断，即可求出答案．【解答】解：A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确；故选：D．2．如图，AB＝AD，AC＝AE，如果想增加一个有关角相等的条件，就可以直接得到△ABC ≌△ADE，那么这个条件是（）A．∠B＝∠C B．∠B＝∠D C．∠C＝∠E D．∠BAC＝∠DAE 【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：这个条件是：∠BAC＝∠DAE，理由：在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．故选：D．3．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（）A．x＞12B．x＜6C．6＜x＜12D．0＜x＜12【分析】等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则底边长为24﹣2x，根据三边关系可以求出x的取值范围．【解答】解：等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则底边长为24﹣2x，根据三边关系，x+x＞24﹣2x，解得，x＞6；x﹣x＜24﹣2x，解得，x＜12，所x的取值范围是6＜x＜12．故选：C．4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；D、能确定C正确，故错误．故选：C．5．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据平行的性质及全等三角形的判定方法来确定图中存在的全等三角形共有三对：△ABC≌△DCB，△ABE≌△CDE，△BFE≌△CFE．再分别进行证明．【解答】解：∵AB∥EF∥DC，∴∠ABC＝∠DCB，在△ABC和△DCB中，∵，∴△ABC≌△DCB（SAS）；在△ABE和△CDE中，∵，∴△ABE≌△CDE（AAS）；在△BFE和△CFE中，∵，∴△BFE≌△CFE．∴图中的全等三角形共有3对．故选：C．6．已知线段a，b和m，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线AD＝m，作法合理的顺序依次为（）①延长CD到B，使BD＝CD；②连接AB；③作△ADC，使DC＝a，AC＝b，AD＝m．A．③①②B．①②③C．②③①D．③②①【分析】需先作△ADC，进而延长，连接即可．【解答】解：根据已知条件，能够确定的三角形是△ADC，故先作△ADC，使DC＝a，AC＝b，AD＝m；再延长CD到B，使BD＝CD；连接AB；即可得△ABC，故选A．7．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（）A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形【分析】由三角形内角和定理可得关于∠A的一元一次方程，解方程即可得解．【解答】解：∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B+∠C＝3∠A，∴∠B+∠C+∠A＝4∠A＝180°，∴∠A＝45°．故选：A．8．下列条件中，不能判定两个三角形全等的条件是（）A．两边一角对应相等B．两角一边对应相等C．三边对应相等D．两边和它们的夹角对应相等【分析】两个三角形全等，判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，分别根据判定方法进行选择．【解答】解：A、两边一角对应相等，不符合全等的判定方法；B、两角一边对应相等，符合全等的判定方法；C、三边对应相等，符合全等的判定方法；D、两边和它们的夹角对应相等，符合全等的判定方法；故选：A．9．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A．60°≤α＜90°B．60°＜α＜180°C．60°＜α＜90°D．0°＜α＜90°【分析】根据三角形的内角和是180°可知．【解答】解：三角形中最大的角不能小于60°，如果小于60°，则三角形的内角和将小于180°，又该三角形是锐角三角形，则最大角必须小于90°，故最大角的取值范围是60°≤α＜90°．故选：A．10．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线的交点【分析】根据三角形角平分线上的点到角的两边的距离相等可得此点为角平分线的交点．【解答】解：∵三角形内有一点，它到三边的距离相等，∴此点为角平分线的交点．故选：B．11．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF B．AC＝EF，BC＝DFC．AB＝DE，BC＝EF D．∠C＝∠F，BC＝EF【分析】针对选项提供的已知条件，结合直角三角形全等的判定方法对选项逐一验证，其中B虽是两边相等，但不是对应边对应相等，也不能判定三角形全等．【解答】解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；B、当∠A＝∠D＝90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等；C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．故选：B．12．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选：D．二．填空题13．在等腰△ABC中，如果两边长分别为6cm、10cm，则这个等腰三角形的周长为22cm或26cm．【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为6cm时，②当腰长为10cm 时，解答出即可；【解答】解：根据题意，①当腰长为6cm时，周长＝6+6+10＝22（cm）；②当腰长为10cm时，周长＝10+10+6＝26（cm）．故答案为：22cm或26cm．14．五条线段长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长，则可以组成3个三角形．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断三条线段能否构成三角形．【解答】解：根据三角形的三边关系可知：以其中三条线段为边长，可以组成三角形的是：2cm、3cm、4cm；3cm、4cm、5cm；2cm、4cm、5cm，共3个三角形．15．如图，AB、CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是∠A＝∠C或∠ADO＝∠CBO．【分析】本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可．【解答】解：添加条件可以是：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．∵添加∠A＝∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，添加∠ADC＝∠ABC根据AAS判定△AOD≌△COB，故填空答案：∠A＝∠C或∠ADC＝∠ABC．16．已知：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为14cm．【分析】两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△AEF的周长转化为AC+AB．【解答】解：∵DE∥BC∴∠DOB＝∠OBC，又∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠DBO＝∠OBC，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝OD，同理：OE＝EC，∴△ADE的周长＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC＝14cm．故答案是：14cm．三．解答题（共5小题）17．已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A ＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．【分析】在直角三角形DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数；再在△ABC 中求∠ACB的度数即可．【解答】解：在△DFB中，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∵∠D＝50°，∠DFB+∠D+∠B＝180°，∴∠B＝40°．在△ABC中，∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝94°．所以∠ACB的度数是94°．18．已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，求∠BOC 的度数．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠ABE、∠ACF的度数，再根据三角形内角和定理求出∠EBO+∠FCB的度数，即可求出∠BOC．【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝60°，三条高AD、BE、CF相交于点O．∴∠BEA＝90°，∠CF A＝90°，∴∠ABE＝30°，∠ACF＝30°，∴∠OBD+∠OCB＝180°﹣∠BAC﹣∠OBA﹣∠OCA＝60°，所以，∠BOC＝180°﹣60°＝120°．19．三月三，放风筝．如图所示是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学知识给予证明．【分析】证△DEH≌△DFH，连接DH，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，DH是公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出∠DEH＝∠DFH相等．【解答】证明：连接DH，∵DE＝DF，EH＝FH，DH＝DH，∴△DEH≌△DFH，∴∠DEH＝∠DFH．20．已知：如图AC、BD相交于点O，AC＝BD，BC＝AD，求证：OC＝OD．【分析】根据SSS证明△ADB与△BCA全等，进而利用全等三角形的性质得出∠CAB＝∠DBA，进而得出OA＝OB，利用等式的性质解答即可．【解答】证明：在△ADB与△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SSS），∴∠CAB＝∠DBA，∴OA＝OB，∴DB﹣OB＝AC﹣OA，∴OC＝OD．21．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．【分析】可在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，得出△ACP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论．【解答】解：PB+PC＞AB+AC．如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP，由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，又AP是公共边，AE＝AC，在△ACP与△AEP中，，∴△ACP≌△AEP（SAS），从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，而BE＝AB+AE＝AB+AC，故PB+PE＞AB+AC，所以PB+PC＞AB+AC．1、三人行，必有我师。
北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，一定全等的两个三角形是（）A.①与②B.①与③C.②与③D.以上答案都不对2、如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（）A.两点之间线段最短B.垂线段最短．C.两定确定一条直线D.三角形具有稳定性3、如图，△ABC≌△AED，点 E 在线段 BC 上，∠1=48º，则∠AED 的度数是（）A.66°B.65°C.62°D.60°4、下列命题中，真命题是（）A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等5、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②四边形CGMH是矩形；③△EGM≌△MHA；④S△ABC +S△CDE≥S△ACE；⑤图中的相似三角形有10对．正确结论是（）A.①②③④B.①②③⑤C.①③④D.①③⑤6、下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠A：∠B：∠C=3：4：5B.∠A ∠B= ∠CC.∠B=50°，∠C=40°D.a=5，b=12，c=137、以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3cmB.2cm，3cm，8cmC.5cm，12cm，6cm D.4cm，6cm，9cm8、如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（）A. B. C. D.9、若△ABC∽△A'B'C'，∠A＝30°，∠C＝110°，则∠B'的度数为（）A.30°B.50°C.40°D.70°10、如图，中，于D，下列条件中：① ；②；③ ；④ ；⑤，⑥ ，一定能确定为直角三角形的条件的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，，，，，则A.27°B.54°C.30°D.55°12、如图，在△ABC中，∠C=40 ° ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（）.A.140°B.210°C.220°D.320°13、已知m是整数，以4m＋5、2m－1、20－m这三个数作为同一个三角形三边的长，则满足条件的三角形个数有（）A.0个B.1个C.2个D.无数个14、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，点E在边AD上，AE＝1，过E、D两点的圆的圆心O在边AD的上方，直线BO交AD于点F，作DG⊥BO，垂足为G.当△ABF与△DFG全等时，⊙O的半径为（）A. B. C. D.15、如图所示，在中，，于，，则线段的长是（）A.3B.4C.8D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、下列关于两个三角形全等的说法：①面积相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；④有两边和一个角对应相等的两个三角形全等；⑤腰相等的两个等腰三角形一定全等．其中说法正确的是________．（填写序号）17、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝22°，则∠ADE＝________°．18、如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点D在线段BE上．若，∠2＝30°，∠3＝55°则∠1＝________.19、已知等腰三角形的周长为20，腰长为x，则x的取值范围是________ ．20、如图，中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形是全等形的有哪几对________21、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是________．①BE＝CD；②∠BOD＝60º；③△BOD∽△COE．22、已知，如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，若∠D=25°，则∠B的度数为________.23、若等腰三角形的两边长为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为________ cm.24、如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________ cm2.25、三角形的一边是5，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．27、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8。
北师大版七年级数学下册第4单元《三角形》单元测试题（含答案）1．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3B．1，1，2C．1，2，2D．1，5，72．在△ABC中作AB边上的高，下图中不正确的是（）A．B．C．D．3．若AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（）A．AD⊥BC B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．AD＝BC 4．下列说法正确的是（）A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形5．如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS6．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS7．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，有下列结论：①BH＝DH；②BD＝CD；③AD+CF＝BD；④CE＝BF．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④8．如图，在△ABC中，E、F分别是AD、CE边的中点，且S△BEF＝2cm2，则S△ABC为（）A．4 cm2B．6 cm2C．8 cm2D．10 cm29．如图所示，BE＝3EC，D是线段AC的中点，BD和AE交于点F，已知△ABC的面积是7，求四边形DCEF的面积（）A．1B．C．D．210．如图将一副三角板拼成如图所示的图形（∠D＝30°，∠ABC＝90°，∠DCE＝90°，∠A＝45°），BC交DE于点F，则∠DFC的度数是（）A．75°B．105°C．135°D．125°11．下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．两个等边三角形是全等图形C．两个全等图形的面积一定相等D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形12．如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD ≌△CEB的有（）组．A．4B．3C．2D．113．如图，△ABC的两条中线AD、CE交于点G，联结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是（）A．AF＝FC B．GF＝BG C．AG＝2GD D．EG＝CE 14．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．120°D．110°15．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°16．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠DC．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC．若AC＝8，则四边形ABCD的面积为（）A．32B．24C．40D．3618．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（）A．9B．6C．5D．319．要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加根木条才能固定．20．（1）线段AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD＝∠＝∠．（2）线段AE是△ABC的中线，那么BE＝＝BC．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交边BC于点D，过点D作DE ⊥AB，垂足为E．若∠CAD＝20°，则∠EDB的度数是．22．如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∠A＝60°，则∠E＝．23．如图，已知∠1＝∠2、AD＝AB，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE≌△ABC成立，则这个条件是．24．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是．25．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线上取两点C、D，使CD＝BC，再在过点D的垂线上取点E，使A、C、E三点在一条直线上，可证明△EDC≌△ABC，所以测得ED的长就是A、B两点间的距离，这里判定△EDC≌△ABC 的理由是．26．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．27．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E，∠A＝∠D，BF＝CE．求证：△ABC≌△DEF．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．29．如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，∠A＝60°，∠BDC ＝100°．求∠BDE的度数．30．如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB ∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．31．如图所示，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用含t的式子表示PC的长度是；（2）若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？参考答案1．解：A.1+2＝3，不能构成三角形，不合题意；B.1+1＝2，不能构成三角形，不合题意；C..1+2＞2，能构成三角形，符合题意；D.1+5＜7，不能构成三角形，不合题意．故选：C．2．解：由题可得，过点C作AB的垂线段，垂足为H，则CH是BC边上的高，∴A、B、D选项正确，C选项错误．故选：C．3．解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，故选：B．4．解：A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确；故选：D．5．解：由画法得OC＝OD，PC＝PD，而OP＝OP，所以△OCP≌△ODP（SSS），所以∠COP＝∠DOP，即OP平分∠AOB．故选：D．6．解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量，即他的依据是ASA．故选：B．7．解：∵DH⊥BC，∠ABC＝45°，∴△BDH为等腰直角三角形，∴BH＝DH，故①正确，∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD＝CD．故②正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC（ASA）．∴BF＝AC；DF＝AD．∵CD＝CF+DF，∴AD+CF＝BD；故③正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE＝AE＝AC．又由（1）可知：BF＝AC，∴CE＝AC＝BF；故④正确；故选：D．8．解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC，∴S△BCE＝S△ABC，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE．∴S△ABC＝8cm2故选：C．9．解：∵AD＝DC，BE＝3EC，∴可以假设S△ADF＝S△DFC＝x，S△EFC＝y，则S△EFB＝3y，则有，解得，∴四边形DCEF的面积＝x+y＝，故选：B．10．解：由题意得，∠ACB＝45°，∠DEC＝60°，∵∠DFC是△CFE的一个外角，∴∠DFC＝∠ACB+∠DEC＝105°，故选：B．11．解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．故选：C．12．解：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DF A＝∠BEC，∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），若①③④为条件，不能证明△AFD≌△CEB，若②③④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），故选：C．13．解：如图连接DE．∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴DF也是△ABC的中线，∴AF＝FC，故A不符合题意，∵BE＝AE，BD＝CD，∴DE∥AC，DE＝AC，∴＝＝＝，∴AG＝2DG，EG＝CE，故C，D不符合题意，故选：B．14．解：如图：∵m∥n，∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°．∵∠ACB＝90°，∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．故选：C．15．解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴当添加EB＝BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE＝∠D时，此时∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD，故选：D．16．解：A、AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．17．解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD＝∠BCD＝90°∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN；∴△ABM与△ADN的面积相等；∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；设AM＝a，由勾股定理得：AC2＝AM2+MC2，而AC＝8；∴2a2＝64，a2＝32，故选：A．18．解：∵BD、CE均是△ABC的中线，∴S△BCD＝S△ACE＝S△ABC，∴S四边形ADOE+S△COD＝S△BOC+S△COD，∴S四边形ADOE＝S△BOC＝5×2÷2＝5．故选：C．19．解：如图，，要想使一个六边形活动支架ABCDEF稳固且不变形，至少需要增加3根木条才能固定．故答案为：3．20．解：（1）线段AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD＝∠CAD＝∠BAC．故答案为：CAD，BAC；（2）线段AE是△ABC的中线，那么BE＝CE＝BC．故答案为：CE，．21．解：∵AD平分∠CAB，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．22．解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ECD＝（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD＝∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC＝（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°．故答案为30°．23．解：增加的条件为DE＝BC，理由：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∵AD＝AB，DE＝BC，∴△ADE≌△ABC不一定成立，故答案为：DE＝BC．24．解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，∵在△MCO和△NCO中，∴△COM≌△CON（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，即OC是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．25．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABD＝∠EDC＝90°，在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故答案为：ASA．26．证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，在Rt△ABF和Rt△DCE中，，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，∴OE＝OF．27．证明：∵BF＝EC∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，∵∠B＝∠E，∠A＝∠D，∴180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣∠E﹣∠D，即∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．28．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH与△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．29．解：如图，∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝100°﹣60°＝40°∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝40°，又∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝40°．30．（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BF+FC＝EC+FC，∴BF＝EC，∵BE＝10m，BF＝3m，∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．31．解：（1）PC＝3﹣t．（2）△CPQ≌△BDP，理由如下：∵P、Q的运动速度相等，∴1秒后，CQ＝BP＝1，CP＝BC﹣BP＝3﹣1＝2，∵D为AB的中点，∴BD＝，∴CP＝BD，在△CPQ和△BDP中，，∴△CPQ≌△BDP（SAS）．（3）解：由（1）知，PC＝3﹣t，BP＝t，CQ＝at，BD＝2，∵∠C＝∠B∵△BPD与△CQP全等，①当△CPQ≌△BDP时，BP＝CQ，t＝at，∵t≠0，∴a＝1与P、Q的运动速度不相等矛盾，故舍去．②当△CPQ≌△BPD时，BP＝CP，CQ＝BD，∴t＝3﹣t，at＝2，t＝a＝．即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使△BPD与△CQP 全等。
北师大版七年级数学下册第4单元《三角形》单元测试题（含答案）1．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定2．下列各组线段能组成一个三角形的是（）A．2cm，3cm，6cm B．6cm，8cm，10cmC．5cm，5cm，10cm D．4cm，6cm，10cm3．画△ABC的边BC上的高，正确的是（）A．B．C．D．4．已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，下列条件中，不一定能得到△ABC≌△A′B′C′的是（）A．BC＝B'C' B．∠A＝∠A′C．∠C＝∠C′D．∠B＝∠B′＝90°5．如图，△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（）A．20B．24C．26D．286．如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（）A．100°B．120°C．130°D．140°7．如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（）A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B 8．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（）A．60°B．100°C．120°D．130°9．如图，点C，F，B，E在同一直线上，∠C＝∠DFE＝90°，添加下列条件，仍不能判定△ACB与△DFE全等的是（）A．∠A＝∠D，AB＝DE B．AC＝DF，CF＝BEC．AB＝DE，BC＝EF D．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E10．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°11．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，BC∥EF，AC＝FD，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．12．如图，在△ABC中，已知点D、点E分别为BC、AD的中点，且△BDE的面积为3，则△ABC的面积是．13．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝．14．如图，∠ABC与∠ACB的平分线交于I点，若∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC ＝；若∠A＝50°，则∠BIC＝．15．如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点O，若∠A＝75°，则∠ABD＝，∠ACE＝，∠BOC＝．16．如图，三角形ABC的面积为1，分别延长AB、BC、CA至M、N、P，使得BM＝2AB，CN＝3BC，AP＝4CA，则三角形MNP面积是．17．将一副三角板如图所示摆放，若∠BAE＝125°，则∠CAD的度数是．18．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．19．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝．20．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE是高线，∠BAC＝50°，∠EBC＝20°，则∠ADC的度数为．21．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，下列结论正确的是．A．∠1＝∠2；B．BE＝CF；C．△CAN≌△ABM；D．CD＝DN．22．如图，在△ABC中，点E为边BC的中点，连接AE，点D为线段AE上的一点（不与A，E重合），连接BD、CD，若BD＝CD，求证：∠ADB＝∠ADC．23．已知：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE，∠B＝∠DEF．求证：△ABC≌△DEF．24．如图，△ABC中，点D、E在边BC上，∠ADC＝∠AEB，CD＝BE．求证：∠BAD＝∠CAE．25．风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图，在小明设计的“风筝”图案中，已知AB＝AD．∠B＝∠D，∠BAE＝∠DAC．求证：AC＝AE．26．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，且AD ＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB．（2）若∠BDC＝70°．求∠ADB的度数．27．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：△ACE≌△DBF．（2）若BF⊥CE于点H，求∠HBC的度数．28．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A 之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．参考答案1．解：因为∠A+∠B+C＝180°，且∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B﹣∠C+∠B+C＝180°，所以∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形．故选：C．2．解：A、2+3＜6，不能组成三角形，不符合题意；B、6+8＝14＞10，能组成三角形，符合题意；C、5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意；D、4+6＝10，不能组成三角形，不符合题意；故选：B．3．解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CD不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中CD是AB边上的高，不符合题意；D．此图形中AD是AB边上的高，不符合题意；故选：A．4．解：A、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B'C'可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSS），不符合题意．B、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′可以判定△ABC≌△A′B′C′（SAS），不符合题意．C、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′不可以判定△ABC≌△A′B′C′（SSA），符合题意．D、由AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′＝90°可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL），不符合题意．故选：C．5．解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD．∵△ABD的周长为30，∴AB+BD+AD＝30．∴BD+AD＝30﹣AB＝30﹣15＝15．∴△BCD的周长为BC+CD+BD＝BC+AD+BD＝9+15＝24．故选：B．6．解：∵∠1＝140°，∠2＝100°，∴∠3＝360°﹣140°﹣100°＝120°，故选：B．7．解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB＝∠DFE，∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，故选：C．8．解：如图，∵CD、BE均为△ABC的高，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠OCE＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，则∠BOC＝∠BEC+∠OCE＝90°+30°＝120°．故选：C．9．解：A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°，根据AAS判定△ACB与△DFE 全等，不符合题意；B、∵CF＝BE，可得，BC＝EF，AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据SAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°，根据HL判断Rt△ACB与Rt△DFE全等，不符合题意；D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°，由AAA不能判定△ACB与△DFE全等，符合题意；故选：D．10．解：如图，∵∠1＝54°，a∥b，∴∠3＝∠1＝58°．∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，∴∠A＝58°﹣24°＝34°．故选：B．11．解：∵BC∥EF，∴∠BCA＝∠EFD，若添加BC＝EF，且AC＝FD，由“SAS”可证△ABC≌△DEF；若添加∠B＝∠E，且AC＝FD，由“AAS”可证△ABC≌△DEF；若添加∠A＝∠D，且AC＝FD，由“ASA”可证△ABC≌△DEF；故答案为：BC＝EF或∠B＝∠E或∠A＝∠D（答案不唯一）．12．解：∵点E为AD的中点，△BDE的面积为3，∴△ABD的面积为3×2＝6，∵点D为BC的中点，∴△ABC的面积为6×2＝12．故答案为：12．13．解：∵∠B＝46°，∠C＝30°，∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°，∵∠EFC＝70°，∴∠AFD＝70°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°，故答案为：34°．14．解：∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝130°；当∠A＝50°时，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝115°．故答案为：130°；115°．15．解：∵△ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠A＝75°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣75°﹣90°＝15°，∠ACE＝180°﹣∠A﹣∠AEC＝180°﹣75°﹣90°＝15°，在△ABC中，∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠A﹣∠ABD﹣∠ACE＝180°﹣75°﹣15°﹣15°＝75°，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣75°＝105°．故答案为：15°，15°，105°．16．解：连接MC，AN∵2AB＝BM，∴S△BCM＝2S△ABC，∴S△BCM＝2×1＝2，∵3BC＝CN，∴S△MNC＝3S△BCM，S△ACN＝3S△ABC，∴S△MNC＝3×2＝6，S△ACN＝3×1＝3，∵4CA＝AP，∴S△ANP＝4S△ACN，S△AMP＝4S△AMC，∴S△ANP＝4×3＝12，S△AMP＝4×（2+1）＝12，∵S△MNP＝S△ABC+S△BCM+S△MNC+S△ACN+S△ANP+S△AMP，∴S△MNP＝1+2+6+3+12+12＝36．故答案为：36．17．解：∵∠BAE＝125°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝125°﹣90°＝35°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣35°＝55°，故答案为：55°．18．解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，∠ABP＝15°，∴∠CBP＝∠ABP＝15°，∵CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，故答案为：35．19．解：∵a、b、c分别为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c+b﹣c﹣a＝2b﹣2c，故答案为：2b﹣2c．20．解：∵AD平分∠BAC，BE是高，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∠ABE＝40°．∵∠EBC＝20°，∴∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝∠ABE+∠EBC+∠BAD＝40°+20°+25°＝85°．故答案为：85°．21．解：如图，∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴Rt△ABE≌Rt△ACF（AAS），∴∠F AC＝∠EAB，BE＝CF，AB＝AC，∴∠1＝∠2，故A，B正确；又∠B＝∠C，∠CAN＝∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA），故C错误；∵△ACN≌△ABM（ASA），∴AN＝AM，∴MC＝BN，而∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，∴△DMC≌△DMB（AAS），∴DC＝DB，∴DC≠DN，故D错误．故答案为：A，B；22．证明：∵点E为边BC的中点，∴BE＝CE，在△BDE和△CDE中，，∴△BDE≌△CDE（SSS），∴∠BDE＝∠CDE，∠DBE＝∠DCE，∴∠ADB＝∠ADC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠ADB＝∠ADC．23．证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．24．证明：∵∠ADC＝∠AEB，∴AD＝AE，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠BAE＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．25．证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（ASA），∴AC＝AE．26．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝70°，∴∠DBC＝40°，∴∠ADB＝∠CBD＝40°．27．（1）证明：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC．∴AC＝BD．在△ABC和△EDF中，，∴△ACE≌△DBF（SAS）；（2）解：由（1）知△ACE≌△DBF，∴∠ACE＝∠DBF．∵BF⊥CE，∴∠BHC＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠HBC＝∠HCB＝45°．28．（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．。
一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 3．已知，D 是ABC ∠的边BC 上一点，//DE BA ，CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，若F α∠=，则ABE ∠的大小为（ ）A ．αB ．52αC ．2αD ．32α 4．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 5．如图，12AB =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，且4AC cm =，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P ，Q 两点同时出发，运动______分钟后CAP 与PQB △全等（ ）A ．4或6B ．4C ．6D ．56．已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 7．如图，已知∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加以下条件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．∠ACB ＝∠DFEC ．AC ＝DFD ．BE ＝CF 8．如图，AE ∥DF ，AE ＝DF ．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE ≌△DBF 的是（ ）A ．AB ＝CDB ．EC ＝BF C ．∠E ＝∠FD ．EC ∥BF 9．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）A ．2，9B ．17，29C ．3，12D ．4，4 10．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）A ．40°B ．35C ．30°D ．45°11．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒ 12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB ∠∠='''的依据是（ ）A ．S ．S ．SB ．S ．A ．SC ．A ．S ．AD ．A ．A ．S二、填空题13．如图，ACE DBF ≌，//AE DF ，8AD =，2BC =，则AB =______．14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝100°，AD ⊥BC 于D 点，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ．若∠C ＝26°，则∠DAE 的度数为_____．15．已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且90EDF ∠=︒，连接EF ，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①270BEF CFE ∠+∠=︒；②ED FD =；③EF FC =；④12ABC AEDF S S =四边形16．如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．17．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．18．有两根小棒分别长2厘米和4厘米．要围成一个等腰三角形，第三根小棒的长度应该是____厘米．19．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，已知点E ，F 分别是AD ，CE 边上的中点，且△BEF 的面积为6，则△ABC 的面积等于_____．20．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A ,B 两点在网格格点上，若点C 也在网格格点上，以A ,B ,C 为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C 有______个．三、解答题21．如图，已知：AD ＝AB ，AE ＝AC ，AD ⊥AB ，AE ⊥AC ．猜想线段CD 与BE 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．22．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．23．如图，ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为AD 延长线上一点，PE BC ⊥于点E ，若70C ∠=︒，24B ∠=︒，求P ∠的度数．24．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．25．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．26．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】解：在△ABC 和△ADC 中，∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确在△ABO 与△ADO 中AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABO ≌△ADO （SAS ），∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA∵∠BOA+∠DOA=180°∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥故①④正确；∵AD≠CD∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误所以，正确的结论是①②④，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．B解析：B【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．【详解】解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x ，∵三角形两边的长分别是1和4，∴4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5．故选：B ．【点睛】此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．解析：C【分析】先利用角平分线和三角形外角的性质可得2BED α∠=，再根据平行线的性质定理即可得出ABE ∠的大小．【详解】解：如下图所示，∵CBE ∠和CDE ∠的平分线交于点F ，∴21,22C CBE DE ∠∠==∠∠，∵12F ∠+∠=∠，F α∠=，∴21α∠-∠=，∵EBD BED EDC ∠+∠=∠，∴22212ED D C BE EBD α∠∠-∠=∠-==∠，∵//DE BA ，∴2ABE BED α∠==∠，故选：C ．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质定理，与角平分线有关的计算．正确理解三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．4．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE ，∠AEB=∠DEC ，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE （由AC=BD 也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D ，∠B=∠C ，∴选项A 、B 、C 可以判定，选项D 不能判定，故选：D ．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．解析：B【分析】分当△CPA≌△PQB时和当△CPA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．【详解】解：当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（米），则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），A的运动时间是：4÷1=4（分钟），Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），则当t=4分钟时，两个三角形全等；当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），AP=BP=12AB=6（米），则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），故不能成立．总之，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．6．C解析：C【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案．【详解】解：如图，∵两三角形全等，∴∠2=60°，∠1=52°，∴∠α=180°-50°-60°=70°，故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．解析：C【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可；【详解】A、根据ASA，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．B、根据AAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．C、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．D、根据SAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；8．B解析：B【分析】结合题目条件，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可．【详解】∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，A、根据SAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．B、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．C、根据ASA，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．D、根据AAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．9．A解析：A【分析】根据三角形三边关系判断即可；【详解】+=＞8，9279211-=＜8，故A正确；-=＞8，故B错误；172946+=＞8，29171212315+=＞8，1239-=＞8，故C 错误；448+=，故D 错误；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．10．A解析：A【分析】 根据已知ACB ≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．【详解】解：∵ACB ≌A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，∵∠ACB′=100︒，∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 11．C解析：C【分析】先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠B=∠C ，∵∠C=35︒，∴∠B=35︒，∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．12．A解析：A【分析】利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．【详解】解：易得OC=O C'，OD=O′D'，CD=C′D'，∴△OCD≌△O′C′D′，∴∠A′O′B′=∠AOB，所以利用的条件为SSS，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．二、填空题13．3【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD再求出AB=CD然后代入数据进行计算即可得解【详解】解：∵△ACE≌△DBF∴AC=DB∴AC-BC=BD-BC 即AB=CD∵AD=8BC=2∴AB=解析：3【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解．【详解】解：∵△ACE≌△DBF，∴AC=DB，∴AC-BC=BD-BC，即AB=CD，∵AD=8，BC=2，∴AB=12（AD-BC）=12×（8-2）=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键．14．14°【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°然后计算∠CAD﹣∠CAE 即可【详解】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝9解析：14°【分析】利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可．【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝12∠BAC＝12×100°＝50°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．故答案为14°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用相关性质求角．15．①②④【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D证明根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；【详解】；故①正确；连接AD∵∴又∵点为的中点∴即又∵∴又∵∴在△BED和△AFD中∴∴ED=FD；故②正确解析：①②④【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D，证明BED AFD≅△△，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；【详解】()()∠+∠=∠-∠+∠-∠BEF CFE AEB AEF AFC AFE，()()AEB AFC AEF AFE=∠+∠-∠+∠，()360180A=︒-︒-∠，36090270=︒-︒=︒；故①正确；连接AD，∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90B C ∠=∠=︒，又∵点D 为BC 的中点，∴BD AD =，90BDA ∠=︒，45DAC ∠=︒，即EBD DAF ∠=∠，又∵90EDF ∠=︒，∴90EDA ADF ，又∵90BDA BDE EDA ∠=∠+∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在△BED 和△AFD 中，EBD DAF BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BED AFD ≅△△，∴ED=FD ；故②正确；∵BED AFD ≅△△，∴△△BED ADF S S =， 则四边形△△△△△△12AEDF AED ADF AED BED ABD ABC S S S S S S S =+=+==， 故④正确；当点E 移动到点A 时，此时点F 与点C 重合，很明显此时EF=AC ，FC=0，即≠EF FC ； 故③错误；故答案为①②④．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键． 16．或2【分析】分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M 可证可得由等腰三角形的性质可得AC=BC 根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时如图过点E 作解析：25或2 【分析】 分两种情况：（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，可证ADC △AEM ≌△，EMP △BCP ≌△，可得,AM CD PC PM ==，由等腰三角形的性质可得AC=BC ，根据线段的和差关系可证的结论；（2）当点D 位于CB 之间时，如图过点E 作AP 的垂线于点N ，可证ADC △AEN ≌△，ENP △BCP ≌△，可得,AN CD PC PN ==，由等腰三角形的性质可得AC=BC ，根据线段的和差关系可证的结论；【详解】（1）当点D 位于CB 延长线上时，如图：过点E 作AP 延长线的垂线于点M ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90BCP ACD AME ∴∠=∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAM ∴∠+∠=︒ADC EAM ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEM △中ADC EAMACD AMEAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAM∴CD MA =，AC EM =EM BC ∴=BPC EPM ∠=∠∴在BCP 和EMP 中BPC EPM BC EM ⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴EMP △BCP ≌△PC PM ∴=CD AM =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PM x ==3AC BC x ∴==5CD AM x ∴==CD BD BC =+2BD x ∴= 2255BD x CD x ∴== （2）当点D 位于CB 之间时，如图：过点E 作AP 的垂线于点N ，ABC 为等腰直角三角形AC BC ∴=90ACD ANE ∴∠=∠=︒90ADC DAC ∴∠+∠=︒AE AD ⊥90DAE ∴∠=︒90DAC EAN ∴∠+∠=︒ADC EAN ∴∠=∠AD AE =∴在ADC 和AEN △中ADC EAN ACD ANE AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EAN∴CD NA =，AC EN =EN BC ∴=∴在BCP 和ENP 中BCP ENP BPC EPN BC EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ENP △BCP ≌△PC PN ∴=CD AN =，3AC PC =，AC BC =∴设PC PN x ==3AC BC x ∴==CD AN x ∴==CD BC BD =-2BD x ∴=22BD x CD x∴== 故答案为：25或2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题关键是利用三角形全等和线段的和差得出所求线段之间的关系，同时运用分类讨论的思想．17．【分析】延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N 根据平行的性质得由得再根据三角形的外角的性质得即可求出和的数量关系【详解】解：如图延长线段BA 交CE 于点M 过点G 作AB 的平行线GN 解析：1483E G ∠=︒-∠【分析】延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，根据平行的性质得G BAG GCD ∠=∠+∠，由3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，得333G BAG DCG ∠=∠+∠，再根据三角形的外角的性质得E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，即可求出E ∠和G ∠的数量关系．【详解】解：如图，延长线段BA 交CE 于点M ，过点G 作AB 的平行线GN 交CE 于点N ，∵//AB CD ，∴////BH GN CD ，∴BAG AGN ∠=∠，NGC GCD ∠=∠，EMA ECD ∠=∠，∵G AGN NGC ∠=∠+∠，∴G BAG GCD ∠=∠+∠，∵3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，∴333G BAG DCG ∠=∠+∠，∵EAB E EMA ∠=∠+∠，EAB EAF BAF ∠=∠-∠，∴E EMA EAF BAF ∠+∠=∠-∠，∴E ECD EAF BAF ∠+∠=∠-∠，∴31483E DCG BAG ∠+∠=︒-∠，∴()14833E BAG DCG ∠=︒-∠+∠，∴1483E G ∠=︒-∠．故答案是：1483E G ∠=︒-∠．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是通过平行线的性质和三角形外角的性质找到角与角之间的数量关系．18．4【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边即可得出结果【详解】解：∵要围成一个等腰三角形∴有两种可能：224和2442+2=4所以224舍掉∴第三根小棒的长度解析：4【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得出结果．【详解】解：∵要围成一个等腰三角形，∴有两种可能：2、2、4和2、4、4，2+2=4，所以2、2、4舍掉，∴第三根小棒的长度为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查的三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．19．24【分析】由EF分别为ADCE的中点可得BECEBF分别为△ABD△ACD△BEC的中线根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分据此即可解答【详解】解：∵由于EF分别为ADCE的中点∴S解析：24【分析】由E、F分别为AD、CE的中点可得BE、CE、BF分别为△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．【详解】解：∵由于E、F分别为AD、CE的中点，∴S△ABE=S△DBE，S△DCE=S△AEC，S△BEF=S△BCF，∴S△BEC＝2S△BEF＝12，∴S△ABC＝2S△BEC＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟知三角形的中线将相应的三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．20．4【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点总共有16个点可以依次尝试一遍【详解】根据题意遍历网络中的所有点发现符合条件的点C点如下图：故答案为：4【点睛】本题考查在格点中找寻符合要求的点此类题型我们需要解析：4【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍．【详解】根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点如下图：故答案为：4．【点睛】本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．三、解答题21．CD ＝BE ，CD ⊥BE ，证明见解析【分析】证明△ACD ≌△AEB ，根据全等三角形的性质得到CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，根据三角形内角和定理得出∠BFD ＝∠BAD ＝90°，证明结论．【详解】解：猜想：CD ＝BE ，CD ⊥BE ，理由如下：∵AD ⊥AB ，AE ⊥AC ，∴∠DAB ＝∠EAC ＝90°．∴∠DAB +∠BAC ＝∠EAC +∠BAC ，即∠CAD ＝∠EAB ，在△ACD 和△AEB 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AEB （SAS ），∴CD ＝BE ，∠ADC ＝∠ABE ，∵∠AGD ＝∠FGB ，∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°，即CD ⊥BE ．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）∠BCF ＝∠CAD ；（2）AD ＝CF +DF ，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，由“ASA ”可证△ACD ≌△CBG ，可得CD ＝BG ，AD ＝CG ，由“SAS ”可证△BDF ≌△BGF ，可得DF ＝GF ，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF ＝∠CAD ，理由如下：∵CE ⊥AD ，∴∠CED ＝∠ACD ＝90°，∴∠CAD +∠ADC ＝90°＝∠ADC +∠BCF ，∴∠CAD ＝∠BCF ；（2）如图所示：猜想：AD ＝CF +DF ，理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，则∠ACB +∠CBG ＝180°，∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，在△ACD 和△CBG 中，∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BG ＝BD ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CBA ＝45°，∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG ＝∠FBD ，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．23．23°【分析】在△ABC 中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC 的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD 的度数，在△ACD 中，利用三角形外角定理可求出∠CDP 的度数，结合PE BC ⊥即90PED ∠=︒及三角形外角定理，从而得出P CDP PED ∠=∠-∠即可求得∠P 的度数．【详解】解：在ABC 中，70C ∠=︒，24B ∠=︒，∴180702486BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分BAC ∠，∴43CAD ∠=︒，∴4370113CDP CAD C ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵PE BC ⊥，即90PED ∠=︒，∴1139023P CDP PED ∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了三角形外角定理、角平分线的定义，利用三角形外角定理及角平分线的定义，求出∠CDP 的度数是解题的关键．24．（1）见解析；（2）8秒【分析】（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．【详解】（1）证明：PD BD ⊥，90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠又AE AC ⊥，90PAD ∴∠=︒90PAD C ∴∠=∠=︒又6cm BC =，6cm AD =AD BC ∴= 在PAD △和DCB 中PAD C AD CBPDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()PDA DBC ASA ∴△≌△（2）PD AB ⊥，90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒APF DAF ∴∠=∠又90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =在APD △和CAB △中APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PAD ACB AAS ∴△≌△8cm AP AC ∴==即8t =秒．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．25．见解析【分析】在 AB 上取 AE = AC ，然后证明ADC ≌()SAS ADE △，根据全等三角形对应边相等得到DC DE =，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．【详解】证明：如解图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，∵ AD 是ABC 的角平分线，∴ CAD EAD ∠=∠．在ADC 和ADE 中，,,,AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ ADC ≌()SAS ADE △．∴ DC DE =．∵在BDE 中，BE BD ED >-，∵ AB AE BE -=，∴ AB AC BD CD ->-．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，∴12AC C E ．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．。
一、选择题1．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ） ①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒； ③若//BC AD ，则230∠=︒； ④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中AB CD ⊥，现添加以下条件，不能判定ABC ABD △≌△的是（ ）A ．ACB ADB ∠=∠ B ．AB BD =C ．AC AD = D ．CAB DAB ∠=∠3．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D ．104．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 5．已知三角形的一边长为8，则它的另两边长分别可以是（ ）A ．4，4B ．17，29C ．3，12D ．2，96．如图，AB DE =，A D ∠=∠，要说明ABC DEF △≌△，需添加的条件不能是（ ）A ．//AB DE B ．//AC DF C ．AC DE ⊥D ．AC DF =7．直角ABC 、DEF 如图放置，其中90ACB DFE ∠=∠=︒，AB DE =且AB DE ⊥．若DF a =，BC b =，CF c =．则AE 的长为（ ）A ．a c +B ．b c +C ．a b c +-D ．a b c -+8．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．3 9．将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成三角形的是（ ）A ．4、5、6B ．3、4、5C ．2、3、4D ．1、2、310．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A ．两条直角边对应相等 B ．斜边和一锐角对应相等 C ．斜边和一直角边对应相等D ．两个锐角对应相等11．如图，ABC ADE ≅，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G ，∠D ＝25°，∠E ＝105°，∠DAC ＝16°，则∠DGB 的度数为（ ）A ．66°B ．56°C ．50°D ．45°12．如图，已知AC ⊥BD ，垂足为O ，AO ＝ CO ，AB ＝ CD ，则可得到△AOB ≌△COD ，理由是( )A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS二、填空题13．如图，已知AC DB =，添加一个条件________，可以得到ABC DCB △≌△．14．如图，在ABC 和DEF 中，点B F C E ，，，在同一直线上，,//BF CE AB DE =，请添加一个条件，使ABC DEF ≅，这个添加的条件可以是________．15．己知三角形的三边长分别为2，x ﹣1，3，则三角形周长y 的取值范围是__． 16．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．17．等腰三角形一边长是10cm ，一边长是6cm ，则它的周长是_______________cm ． 18．如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，已知点E ，F 分别是AD ，CE 边上的中点，且△BEF 的面积为6，则△ABC 的面积等于_____．19．已知三角形ABC 的三边长分别是,,a b c ，化简a b c b a c +----的结果是_________________;20．如图，在AOB ∠的两边上，分别取OM=ON ，在分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点P ，画射线OP ，则OP 平分AOB ∠的依据是____________三、解答题21．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图①摆放，连结AC ，BD ．（1）如图①，猜想线段AC 与BD 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD 绕点O 逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC ，BD ，其他条件不变，线段AC 与BD 存在怎样的关系？请直接写出结论．22．如图1，在ABC 中，过点B 作BD AB ⊥，且BD AB =，连接CD ．（问题原型）（1）若90ACB ∠=︒，且8AC BC ==，过点D 作的BCD △的BC 边上的高DE ，易证ABC BDE △≌△，从而得到BCD △的面积为______．（变式探究）（2）如图2，若90ACB ∠=︒，BC a =，用含a 的代数式表示BCD △的面积，并说明理由．（拓展应用）（3）如图3，若AB AC =，8BC =，则BCD △的面积为______．23．已知△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，且∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ． （1）如图1，点E 在BC 上，求证：BC ＝BD+BE ；（2）如图2，点E 在CB 的延长线上，（1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出成立的式子并证明．（3）如图3，点E 在BC 的延长线上，直接写出线段BC 、CD 、CE 三者之间的关系.24．如图，在五边形ABCDE 中，AB DE =，AC AD =．（1）请你添加一个与角有关的条件，使得ABC DEA ≌，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，求BAE ∠的度数．25．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明． （1）____________； （2）____________．26．如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌； （2）若1GF =，求线段HC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用同角的余角相等可判断①，利用角的和差与直角三角形的性质可判断②，利用平行线的性质先求解CAD ∠，再利用结论②可判断③，由150CAD ∠=︒，先求解230∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G 再求解90AGE ∠=︒， 再利用三角形的外角的性质求解4∠， 从而可判断④． 【详解】 解：90BAC DAE ∠=∠=︒， 122390∴∠+∠=∠+∠=︒， 13∴∠=∠，故①符合题意，19090180BAE CAD BAE DAE BAC DAE ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒， 故②符合题意；//,BC AD180C CAD ∴∠+∠=︒， 45C ∠=︒， 135CAD ∴∠=︒，218018013545CAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故③不符合题意； 150180CAD BAE CAD ∠=︒∠+∠=︒，， 30BAE ∴∠=︒， 如图，记,AB DE 交于,G60E ∠=︒，180306090AGE ∴∠=︒-︒-︒=︒，45,B C ∠=∠=︒4904545.AGE B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 4.C ∴∠=∠ 故④符合题意，综上：符合题意的有①②④． 故选：.C 【点睛】本题考查的是角的和差，余角与补角，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．2．B解析：B 【分析】根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB ，结合全等三角形的判定定理依次对各个选项判断． 【详解】解：∵AB CD ⊥， ∴∠ABC=∠ABD=90°， ∵AB=AB ，∴若添加ACB ADB ∠=∠，可借助AAS 证明ABC ABD △≌△，A 选项不符合题意； 若添加AB BD =，无法证明ABC ABD △≌△，B 选项符合题意；若添加AC AD =，可借助HL 证明ABC ABD △≌△，C 选项不符合题意； 若添加CAB DAB ∠=∠，可借助ASA 证明ABC ABD △≌△，D 选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键．3．B解析：B 【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值． 【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E=∠ADC=90︒， ∴∠EBC+∠BCE=90︒， ∵∠BCE+∠ACD=90︒， ∴∠EBC=∠DCA ，在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ， ∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)， ∴BE=DC=1，CE=AD=3， ∴DE=EC-CD=3-1=2， 故选：B ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．4．A解析：A 【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥， ∴90PMO PNO ∠=∠=． ∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠， 故选：A ． 【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.5．D解析：D 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”进行判断即可． 【详解】A 、∵4＋4＝8，∴构不成三角形；B 、29−17＝12＞8，∴构不成三角形；C 、∵12−3＝9＞8，∴构不成三角形；D 、9−2＝7＜8，9＋2＝11＞8，∴能够构成三角形， 故选：D ． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”是解题的关键．6．C解析：C 【分析】直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可； 【详解】A 、∵AB ∥DE ，∴∠ABC=∠DEC ，∴根据ASA 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；B 、∵AC ∥DF ，∴∠DFE=∠ACB ，∴根据AAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意； C 、AC ⊥DE ，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；D 、∵AC=DF ，∴根据SAS 即可判定三角形全等，故此选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；7．C解析：C 【分析】先利用AAS 证明ABC DEF ≅，再根据全等三角形的性质进行线段和差计算即可． 【详解】 解：90ACB ∠=︒，DE AB ⊥，90A B ∴∠+∠=︒，90A E ∠+∠=︒，B E ∴∠=∠，在ABC 与DEF 中90B E ACB DFE AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABC DEF AAS ∴≅△△；AC DF =∴，BC EF =，∵DF a =，BC b =，CF c =，AE AC EF CF =+-， ∴AE a b c =+- 故选C ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用AAS 定理进行证明是关键．8．B解析：B 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可． 【详解】解：∵△DEF ≌△ABC ， ∴BC=EF ， ∴BE+EC=CF+EC ， ∴BE=CF ，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5 ∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2． 故选：B ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．9．D解析：D 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】D 、4＋5>6，能组成三角形，故此选项错误； B 、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项错误； A 、2＋3>4，能组成三角形，故此选项错误； D 、1＋2＝3，不能组成三角形，故此选项正确； 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．10．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；B 、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；C 、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意；D 、三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条件是解题的关键．11．A解析：A【分析】先根据全等三角形的性质可得105ACB E ∠=∠=︒，再根据三角形的外角性质可得AFC ∠的度数，然后根据对顶角相等可得DFG ∠的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】ABC ADE ≅，105E ∠=︒，105ACB E ∴∠=∠=︒，ACB DAC AFC ∠=∠+∠，16DAC ∠=︒，10516AFC ︒=︒+∴∠，解得89AFC ∠=︒，89DFG AFC ∴∠=∠=︒，在DFG 中，180GB F D D D G ∠∠=+∠+︒，25D ∠=︒，2518089DGB ∴∠+︒+=︒︒，解得66DGB ∠=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．12．A解析：A【分析】根据三角形全等的判定定理进行判断.【详解】A. AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，所以由HL可得到△AOB≌△COD，所以A正确；B.错误；C.错误；D.错误.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握定理是本题解题的关键.二、填空题13．（答案不唯一）【分析】要使△ABC≌△DCB由于BC是公共边若补充一组边相等则可用SSS判定其全等；【详解】解：添加AB=DC∵AC=BDBC=BCAB=DC∴△ABC≌△DCB（SSS）∴加一个适=（答案不唯一）解析：AB DC【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等；【详解】解：添加AB=DC，∵ AC=BD，BC=BC，AB=DC，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴加一个适当的条件是AB=DC，故答案为：AB=DC．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知图形以及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（答案不唯一）【分析】根据等式的性质可得BC=EF根据平行线的性质可得再添加AB=DE可利用SAS判定【详解】添加AB=DE∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC即BC=EF∵AB//DE∴∠B=∠E=（答案不唯一）解析：AB DE【分析】∠=∠，再添加AB=DE可利用SAS 根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得B E≅.判定ABC DEF【详解】添加AB=DE，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，∵AB//DE，∴∠B =∠E ，在△ABC 和△DEF 中AB ED B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC DEF ≅ (SAS )，故答案为AB DE =（答案不唯一）【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL15．6＜y ＜10【详解】根据三角形的三边关系得3-2＜x-1＜2+3解得：1<x-1<5所以三角形周长y 的取值范围：1+2+3＜y ＜2+3+5即6＜y ＜10故答案为6＜y ＜10【点睛】本题考查三角形三边解析：6＜y ＜10【详解】根据三角形的三边关系，得3-2＜x-1＜2+3，解得：1<x-1<5，所以三角形周长y 的取值范围：1+2+3＜y ＜2+3+5，即6＜y ＜10，故答案为6＜y ＜10．【点睛】本题考查三角形三边的关系，解决此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．16．145【分析】由已知角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小从而得到∠AOF 的值【详解】解：∵∵OE 平分∠AOC ∴∵OF ⊥OE 于点O ∴∠EOF ＝90°∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55解析：145【分析】由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．【详解】解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,∵OE 平分∠AOC ，∴1552AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，故答案为145．【点睛】本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．17．26或22【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定6cm可以为底边也可以为腰长故分两种情况：当6cm为腰时底边为10cm先判断三边能否构成三角形若能求出此时的周长；当6cm为底边时10cm为腰长先判断解析：26或22【分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定，6cm可以为底边也可以为腰长，故分两种情况：当6cm为腰时，底边为10cm，先判断三边能否构成三角形，若能，求出此时的周长；当6cm 为底边时，10cm为腰长，先判断三边能否构成三角形，若能，求出此时的周长．【详解】解：若6cm为等腰三角形的腰长，则10cm为底边的长，6cm，6cm，10cm可以构成三角形，此时等腰三角形的周长=6+6+10=22（cm）；若10cm为等腰三角形的腰长，则6cm为底边的长，10cm，10cm，6cm可以构成三角形，此时等腰三角形的周长=10+6+10=26（cm）；则等腰三角形的周长为26cm或22cm．故答案为：26或22．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．18．24【分析】由EF分别为ADCE的中点可得BECEBF分别为△ABD△ACD△BEC的中线根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分据此即可解答【详解】解：∵由于EF分别为ADCE的中点∴S解析：24【分析】由E、F分别为AD、CE的中点可得BE、CE、BF分别为△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．【详解】解：∵由于E、F分别为AD、CE的中点，∴S△ABE=S△DBE，S△DCE=S△AEC，S△BEF=S△BCF，∴S△BEC＝2S△BEF＝12，∴S△ABC＝2S△BEC＝24．故答案为：24．【点睛】本题考查了三角形中线的性质，属于常考题型，熟知三角形的中线将相应的三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．19．【分析】先根据三角形的三边关系定理可得再根据绝对值运算整式的加减即可得【详解】由三角形的三边关系定理得：则故答案为：【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理绝对值运算整式的加减熟练掌握三角形的三边关系 解析：22b c -【分析】先根据三角形的三边关系定理可得,a b c a c b +>+>，再根据绝对值运算、整式的加减即可得．【详解】由三角形的三边关系定理得：,a b c a c b +>+>，0,0a b c b a c ∴+->--<， 则()a b c b a c a b c a c b +----=+--+-，a b c a c b =+---+，22b c =-，故答案为：22b c -．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、绝对值运算、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．20．全等三角形判定（斜边和直角边对应相等）【分析】利用判定方法HL 证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等进而得出答案【详解】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ）∴∠MOP ＝解析：全等三角形判定（斜边和直角边对应相等HL ）【分析】利用判定方法“HL”证明Rt △OMP 和Rt △ONP 全等，进而得出答案．【详解】解：在Rt △OMP 和Rt △ONP 中，OM ON OP OP⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △OMP ≌Rt △ONP （HL ），∴∠MOP ＝∠NOP ，∴OP 是∠AOB 的平分线．故答案为HL【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定三、解答题21．（1）AC=BD ，AC ⊥BD ，证明见解析；（2）存在，AC=BD ，AC ⊥BD ，证明见解析；（3）AC=BD ，AC ⊥BD【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可；（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可；（3）BD交AC于点H，AO于M，可证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可．【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明：延长BD交AC于点E．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90º，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90º，∴AC⊥BD．【点睛】本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键．22．（1）32；（2）212BCD S a =△，理由见解析；（3）16． 【分析】（1）如图1中，由AAS 定理可证△ABC ≌△BDE ，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论；（2）如图2中，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由AAS 定理可证得△ABC ≌△BDE ，就有DE=BC=a ．进而由三角形的面积公式得出结论．（3）如图3中，过点A 作AF ⊥BC 与F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出BF=12BC ，由条件可以得出△AFB ≌△BED 就可以得出BF=DE ，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】解：（1）∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，过点B 作BD AB ⊥且过点D 作的BCD △的BC 边上的高DE ，∴90DEB ACB ABD ∠=∠=∠=︒∴90ABC DBE ∠+∠=︒∵90DBE BDE ∠+∠=︒∴ABC BDE ∠=∠．在Rt ABC △与Rt BDE △中，ACB DEB ABC BDE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()Rt Rt ABC BDE AAS ≌△△，8DE CB == ∴18823212BCD S CB DE ⋅⨯=⨯==△ 故答案为：32（2）212BCD S a =△ 理由：过点D 作DE CB ⊥延长线于点E∴90DEB ACB ∠=∠=︒∵BD AB ⊥，1290∠+∠=︒∵290A ∠+∠=︒∴1A ∠=∠． 在Rt ABC △与Rt BDE △中，1ACB DEB A AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()Rt Rt ABC BDE AAS ≌△△，DE CB a ==∴21122BCD S CB DE a =⋅=△ （3）如图3中，∵AB AC = ∴BF=12BC=12×8=4． 过点A 作AF ⊥BC 与F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ，∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．在△AFB和△BED中，AFB EFAB EBD AB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=4．∵S△BCD=12BC•DE，∴S△BCD=184162⨯⨯=∴△BCD的面积为16．故答案为：16【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．23．（1）见解析；（2）（1）的结论不成立，成立的结论是BC＝BD﹣BE，证明见解析；（3）BC=CD-CE【分析】（1）证得∠DAB=∠EAC，证明△DAB≌△EAC（SAS），由全等三角形的性质得出BD=CE，则可得出结论；（2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，则成立的结论是BC=BD-BE；（3）证明△DAC≌△EAB（SAS），得出BE=CD，则成立的结论是BC=BD-BE．【详解】解：（1）证明：∵∠BAC＝DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）解：（1）的结论不成立，成立的结论是BC ＝BD ﹣BE证明：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠EAB ＝∠DAE+∠EAB ，即∠DAB ＝∠EAC ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴BD ＝CE ，∴BC ＝CE ﹣BE ＝BD ﹣BE（3）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC+∠EAC ＝∠DAE+∠EAC ，即∠BAE ＝∠DAC ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△BAE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝CD ，∴BC ＝CD ﹣CE【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 24．（1）添加一个角有关的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌，理由见解析；（2）BAE ∠的度数为135︒．【分析】(1)根据已知条件，选择SAS 原理，可确定添加的角；(2)利用三角形全等，∠B 的度数，可求∠BAC+∠DAE ，问题可解.【详解】（1）添加一个角方面的条件为BAC EDA ∠=∠，使得ABC DEA ≌.在ABC 和DEA △中∵AB DE =，BAC EDA ∠=∠，AC DA =，∴()SAS ABC DEA ≌△△； （2）在（1）的条件下∵ABC DEA ≌，∴ACB DAE ∠=∠，若65CAD ∠=︒，110B ∠=︒，则18070ACB BAC B ∠+∠=︒-∠=︒，∴70DAE BAC ACB BAC ∠+∠=∠+∠=︒，∴7065135BAE DAE BAC CAD ∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，即BAE ∠的度数为135︒.【点睛】本题考查了三角形全等，熟练掌握全等三角形判定原理和性质是解题的关键.25．（1）∠ADE=∠ADF ；证明见解析；（2）AE=AF ；证明见解析．【分析】（1）∠ADE=∠ADF ，根据DE ⊥AB ，DF ⊥AC 及AD 为∠BAC 的角平分线，即可证得∠ADE=∠ADF；（2）AE=AF，根据（1）可知证明△AED≌△AFD，即可证得AE=AF．【详解】（1）结论1：∠ADE=∠ADF，证明如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90︒，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∴∠ADE=∠ADF；（2）结论2：AE=AF，证明如下：由（1）可知：△AED≌△AFD，∴AE=AF．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质解决问题．26．（1）见详解；（2）1【分析】（1）先证明AC=DF，再根据HL证明Rt ABC Rt DEF≌；（2）先证明∠AFG=∠DCH，从而证明∆AFG≅∆DCH，进而即可求解．【详解】（1）∵AF CD=，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在Rt ABC与Rt DEF△中，∵AC DF AB DE=⎧⎨=⎩，∴Rt ABC≅Rt DEF△（HL）；（2）∵Rt ABC≅Rt DEF△，∴∠A=∠D，∠EFD=∠BCA，∵∠AFG=180°-∠EFD，∠DCH=180°-∠BCA，∴∠AFG=∠DCH，又∵AF CD=，∴∆AFG≅∆DCH，∴HC=GF =1．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL和ASA证明三角形全等，是解题的关键．。
北师大版七年级下册数学第四章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A.4.5B.5C.5.5D.62、已知三角形的三边长分别为3、4、x，则x不可能是（）A.2B.4C.5D.83、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:3,则△ABC为( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形4、在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝90°，则下列条件中，不一定能判定△ABC和△A'B'C'全等的是（）A. AB＝A′ B′，BC＝B′ C′B. AB＝A′ B′，∠ A＝∠A′ C.∠ A＝∠ A′，∠ C＝∠ C′ D. AC＝A′ C′，BC＝B′ C′5、如图，在△ABC 中，AB = AC ，E 、D 分别为AB 、AC 边上的中点，连接BD 、CE 交于O ，此图中全等三角形的对数为( ) 对．A.4B.3C.2D.16、如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠得到，延长交边于点，则的长为（）A.2B.C.3D.7、如图，在，中，，，，点，，三点在同一条直线上，连结，则下列结论中错误的是（）A. B. C. D.8、如图，四边形中，，平分，，，，则四边形的面积为（）A.30B.40C.50D.609、一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（）A.13B.17C.22D.17或2210、如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（）A.∠ADB＝∠ADCB.∠B＝∠CC.AB＝ACD.DB＝DC11、一个三角形的三个内角中，至少有（）A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角12、一个零件的形状如图所示，，则的度数是（）A.70°B.80°C.90°D.100°13、观察下列个命题：其中真命题是（）.（ 1 ）直线、、，如果a⊥b、b⊥c ，那么a⊥c .（）三角形的三个内角中至少有两个锐角.（）平移变换中，各组对应点连成的两线段平行（或共线）且相等.（）三角形的外角和是.A.（）（）B.（）（）C.（）（）D.（）（）14、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.6，8 ，10B.4，5，9C.1，2，4D.5，15，815、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）A.8B.C.D. .二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于点D，∠A＝30°，∠F＝40°，∠ACF的度数是________．17、如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，则∠A1=________；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的值最大为________．18、如图，过点的直线交轴于点，，，曲线过点，将点沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为________．19、如图，等于 ________20、如图，共有________个三角形．21、如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，与交于点P，则的长度为________．22、如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接，.若，则的度数为________；23、下列四个图形：正方形，长方形，直角三角形，平行四边形，其中有稳定性的是________ ．24、如图，∠AOB是一角度为15°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为________.25、等腰三角形的一个外角为100°，则它的底角是________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．27、如图，中，AB=AC，∠A=36°，DE垂直平分AB，的周长为20，BC=9①求∠ABC的度数；②求的周长28、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF。
