下载文档原格式
2021-2022学年山东省临沂市兰山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1. 以下关于新型冠状病毒(2019−nCoV)的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 若关于x的一元二次方程x2−2x+m＝0有一个解为x＝−1，则另一个解为（）A.1B.−3C.3D.43. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45∘后得到△A′OB′，若∠AOB=15∘，则∠AOB′的度数是( )A.25∘B.30∘C.35∘D.40∘4. 用配方法解一元二次方程x2−6x−10=0时，下列变形正确的为()A.(x+3)2=1B.(x−3)2=1C.(x+3)2=19D.(x−3)2=195. 抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）A.y=(x+1)2+2B.y=(x−1)2−2C.y=(x+1)2−2D.y=(x−1)2+26. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m<2B.m≤2C.m<2且m≠1D.m≤2且m≠17. 函数y=x2−6x+c的图象过A(−1, y1)，B(3, y2)，C(5, y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y28. 国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2018年至2020年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2018年至2020年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为( )A.5000(1+2x)=7500B.5000(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75009. 如图．在平行四边形ABCO中．∠C＝45∘，点A，B在⊙O上，点D在上，DA＝DB，则∠AOD的度数为（）A.112.5∘B.120∘C.135∘D.150∘10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4, 0)，其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac<0；②2a−b＝0；③当x>2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题（本题共t小题，每小题3分，共18分）在平面直角坐标系中，点P(4, −6)与点Q(−4, m+1)关于原点对称，那么m＝________．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为________．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y<0时，x的取值范围是________．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A(2, 1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为________．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90∘到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为49，AE＝8，则DE的长为________．在Rt△ABC中，∠B＝90∘，AB＝6厘米，BC＝3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，到C点停止运动．如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过________秒钟后，P，Q两点间距离为4厘米．三、解答题（本题共6小题，共52分）解下列方程：（1）x2+2x＝0；（2）3(x−2)2＝x(x−2)．在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90∘后的△A2B2C1；（3）连接A1A2，则△C1A1A2是________三角形，并直接写出△C1A1A2的面积．往直径为68cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝60cm，求油的最大深度．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w=−2x+80(20≤x≤40)，设销售这种手套每天的利润为y （元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30∘．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若OA＝2，求弦AC的长．如图，抛物线y＝ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(−2, 0)和点B(8, 0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC．BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC．当S△PBC＝S△ABC时，求点P 的坐标．参考答案与试题解析2021-2022学年山东省临沂市兰山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1.【答案】A【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据沿一条直线对折，图形两部分能够重合的图形叫做轴对称图形；根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.则可知：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误.故选A.2.【答案】C【考点】一元二次方程的解根与系数的关系【解析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于−b，即可得出关于x1的一元一次方程，解a之即可得出结论．【解答】设方程的另一个解为x1，根据题意得：−1+x1＝2，解得：x1＝3．3.【答案】B【考点】旋转的性质【解析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45∘后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45∘，∠AOB=∠A′OB′=15∘，∴∠AOB′=∠A′OA−∠A′OB′=45∘−15∘=30∘，故选B．4.【答案】D【考点】解一元二次方程-配方法【解析】方程移项变形后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2−6x=10，配方得：x2−6x+9=19，即(x−3)2=19.故选D.5.【答案】C【考点】二次函数图象与几何变换【解析】原抛物线顶点坐标为(0, 0)，平移后抛物线顶点坐标为(−1, −2)，根据顶点式可确定抛物线解析式．【解答】解：由题意，得平移后抛物线顶点坐标为(−1, −2)，又平移不改变二次项系数，∴得到的二次函数解析式为y=(x+1)2−2．故选C．6.【答案】D【考点】根的判别式一元二次方程的定义【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+1=0有实数根，∴{m−1≠0，Δ=22−4×1×(m−1)≥0，解得：m≤2且m≠1．故选D.7.【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解析】=3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴二次函数抛物线向下，且对称轴为x=−b2a的远近来判断纵坐标的大小．【解答】解：∵二次函数y=x2−6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3．∵点(−1, y1)、(3, y2)、(5, y3)都在二次函数y=x2−6x+c的图象上，且点(3, y2)在对称轴上，而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为：(−1, y1)、(5, y3)、(3, y2)，∴y2<y3<y1.故选B．8.【答案】C【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】根据题意可得等量关系：2017年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：根据题意，可列方程为5000(1+x)2=7500.故选C.9.【答案】∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠OAB＝∠C＝45°，∵ OA＝OB，∴∠OBA ＝∠OAB＝45°，∴∠AOB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∵ DA＝DB，∴【考点】圆心角、弧、弦的关系平行四边形的性质圆周角定理【解析】连接OB，先由平行四边形的性质得∠OAB＝∠C＝45∘，再由等腰三角形的性质得∠OBA ＝∠OAB＝45∘，则∠AOB＝90∘，然后证，即可得出∠AOD＝∠BOD＝135∘．【解答】连接OB，如图所示：∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠OAB＝∠C＝45∘，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45∘，∴∠AOB＝180∘−45∘−45∘＝90∘，∵DA＝DB，∴，∴∠AOD＝∠BOD＝(360∘−90∘)＝135∘，故选：C．10.【答案】C【考点】抛物线与x轴的交点根的判别式二次函数图象与系数的关系【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴、y轴的交点，综合判断即可．【解答】抛物线开口向上，因此a>0，因此c<0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝6，则-，于是有2a+b＝4；x>1时，y随x的增大而增大；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝8有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，二.填空题（本题共t小题，每小题3分，共18分）【答案】5【考点】关于原点对称的点的坐标【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出m的值即可．【解答】∵点P(4, −6)与点Q(−8，∴m+1＝6，解得：m＝3，【答案】x(x−12)＝864【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】由长和宽之间的关系可得出宽为(x−12)步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为(x−12)步．依题意，得：x(x−12)=864．故答案为：x(x−12)=864．【答案】−1<x<3【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点【解析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点，从而可以得到当y<0时，x的取值范围．【解答】由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(−1，故抛物线与x轴的另一个交点为(7, 0)，故当y<0时，x的取值范围是−6<x<3．【答案】√5−1【考点】垂线段最短线段的性质：两点之间线段最短勾股定理距离问题【解析】连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A(2, 1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接AO交⊙O于B，则线段AB的长度即为点A(2, 1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离，∵点A(2, 1)，∴OA=√22+12=√5，∵OB=1，∴AB=OA−OB=√5−1，即点A(2, 1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为√5−1.故答案为：√5−1.【答案】√15【考点】旋转的性质正方形的性质【解析】由旋转得△ADE≅ABF，四边形AECF的面积为49，实际正方形ABCD的面积是49，进而求出正方形的边长，在直角三角形中，由勾股定理可以求出DE的长．【解答】四边形AECF的面积为49，实际上就是正方形的面积为49，∴正方形ABCD的边长为7，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=√AE2−AD2=√82−72=√15，【答案】【考点】一元二次方程的应用【解析】设t秒后PQ＝4，则BP＝6−t，BQ＝2t，在直角△BPQ中，根据勾股定理BP2+ BQ2＝PQ2可求t的值．【解答】设t秒后PQ＝4，则BP＝7−t，BQ＝2t，∵∠B＝90∘，∴PB2+BQ6＝PQ2，∴(6−t)2+(2t)2＝(5）2，解得t＝或2（舍弃）．答：秒后PQ间的距离为4，故答案为：．三、解答题（本题共6小题，共52分）【答案】x2+2x＝8，x(x+2)＝0，∴x7＝0，x2＝−4；3(x−2)2＝x(x−2)，3(x−8)2−x(x−2)＝2(x−2)[3(x−2)−x]＝0(x−2)(4x−6)＝0x−7＝0或2x−6＝0∴x1＝4，x2＝3．【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】（1）用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．【解答】x2+2x＝8，x(x+2)＝0，∴x7＝0，x2＝−4；3(x−2)2＝x(x−2)，3(x−8)2−x(x−2)＝2(x−2)[3(x−2)−x]＝0(x−2)(4x−6)＝0x−7＝0或2x−6＝0∴x1＝4，x2＝3．【答案】如图，△A1B1C2为所作；如图，△A2B2C7为所作；等腰直角【考点】作图-轴对称变换作图-旋转变换【解析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1的对应点A2、B2即可；（3）利用勾股定理的逆定理可判断△C1A1A2是等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式计算它的面积．【解答】如图，△A1B1C2为所作；如图，△A2B2C7为所作；∵C1A13＝12+42＝5，C8A22＝72+25＝5，A1A62＝17+32＝10，∴C6A12+C5A22＝A2A22，∴△C3A1A2是直角三角形，而C5A1＝C1A4，∴△C1A1A5是等腰直角三角形，它的面积＝××＝．故答案为等腰直角．【答案】油的最大深度为18cm．【考点】垂径定理的应用【解析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．【解答】过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD＝AB＝，∵⊙O的直径为68cm∴OB＝34cm，在Rt△ODB中，OD＝＝，∴DC＝OC−OD＝34−16＝18(cm)；【答案】解：(1)y=w(x−20)=(−2x+80)(x−20)=−2x2+120x−1600(20≤x≤40)；(2)y=−2(x−30)2+200，∵20≤x≤40，a=−2<0，∴当x=30时，y最大值=200．答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．【考点】二次函数的应用二次函数的最值【解析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：(1)y=w(x−20)=(−2x+80)(x−20)=−2x2+120x−1600(20≤x≤40)；(2)y=−2(x−30)2+200，∵20≤x≤40，a=−2<0，∴当x=30时，y最大值=200．答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．【答案】证明：连接OC，如图1，∵OA＝OC，∠A＝30∘，∴∠A＝∠ACO＝30∘，∵CA＝CP，∴∠A＝∠P＝30∘，∴∠ACP＝180∘−∠A−∠P＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∴∠OCP＝∠ACP−∠ACO＝120∘−30∘＝90∘，∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切线；如图2，连接BC，∵OA＝OB＝6，∴AB＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90∘，∵∠A＝30∘，∴BC＝AB＝2，∴AC＝＝＝2．【考点】切线的判定与性质圆周角定理【解析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACO＝30∘，∠P＝30∘，求出∠ACP的度数，则可求出答案；（2）连接BC，由勾股定理可求出答案．【解答】证明：连接OC，如图1，∵OA＝OC，∠A＝30∘，∴∠A＝∠ACO＝30∘，∵CA＝CP，∴∠A＝∠P＝30∘，∴∠ACP＝180∘−∠A−∠P＝180∘−30∘−30∘＝120∘，∴∠OCP＝∠ACP−∠ACO＝120∘−30∘＝90∘，∴OC⊥CP，∴CP是⊙O的切线；如图2，连接BC，∵OA＝OB＝6，∴AB＝4，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90∘，∵∠A＝30∘，∴BC＝AB＝2，∴AC＝＝＝2．【答案】∵抛物线y＝ax2+bx+8(a≠6)过点A(−2, 0)和点B(3，∴，解得，∴抛物线解析式为：y＝-x2+3x+7；当x＝0时，y＝8，∴C(5, 8)，∴直线BC解析式为：y＝−x+8，∵S△ABC＝AB⋅OC＝，∴S△PBC＝S△ABC＝24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，设P(t，-t7+3t+8)，∴F(t, −t+5)，∴PF＝-t5+4t，∴S△PBC＝PF⋅OB＝24，即×(−t2+3t)×8＝24，∴t1＝4，t2＝6，∴P6(2, 12)，P2(6, 8)．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）直接将A(−2, 0)和点B(8, 0)代入y＝ax2+bx+8(a≠0)，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设设P(t，-t2+3t+8)，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标．【解答】∵抛物线y＝ax2+bx+8(a≠6)过点A(−2, 0)和点B(3，∴，解得，∴抛物线解析式为：y＝-x2+3x+7；当x＝0时，y＝8，∴C(5, 8)，∴直线BC解析式为：y＝−x+8，∵S△ABC＝AB⋅OC＝，∴S△PBC＝S△ABC＝24，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，设P(t，-t7+3t+8)，∴F(t, −t+5)，∴PF＝-t5+4t，∴S△PBC＝PF⋅OB＝24，即×(−t2+3t)×8＝24，∴t1＝4，t2＝6，∴P6(2, 12)，P2(6, 8)．。
2023－2024学年度上学期阶段质量调研九年级数学一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分在每小题所给的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解一元二次方程26100x x --=时，下列变形正确的为（）A ．()231x +=B ．()231x -=C ．()2319x +=D ．()2319x -=3．对于二次函数()21234y x =---，下列说法正确的是（）A ．开口向上B ．对称轴为2x =C ．图象的顶点坐标为()2,3--D ．当2x >时，y 随x 的增大而增大4．若关于x 的方程220x x n --=没有实数根，则n 的值可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．5．如图，AB 是O 的直径，50BAC ∠=︒，则D ∠=（）A ．20︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒6．在如图44⨯的正方形网格中，MNP △绕某点旋转一定的角度，得到111M N P △，则其旋转中心可能是（）（第6题）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D7．如果二次函数2y ax c =+的图象如图所示，那么一次函数y ax c =+的图象大致是（）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意一点（点P 不与点B 重合），连接CP ．若70BAC ∠=︒，则BPC ∠的度数可能是（）A ．70︒B ．105︒C ．125︒D ．155︒9．抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则新的抛物线式是（）A ．()253y x =-+B ．()253y x =+-C ．()253y x =--D ．()253y x =++10．若()16,A y -，()23,B y -，()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．312y y y <<D ．213y y y <<11．某超市1月份营业额为90万元．1月、2月、3月总营业额为144万元，设平均每月营业额增长率为x ，则下面所列方程正确的是（）A ．()2901144x +=B ．()2901144x -=C．()9012144x +=D ．()()290190114490x x +++=-12．已知0m n >>，若关于x 的方程2230x x m +--=的解为1x ，()212x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3x ，()434x x x <．则下列结论正确的是（）A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）13．一元二次方程240x x +=的两个根是______．14．在直角坐标系中，点()1,2-关于原点对称点的坐标是______．15．半径为3的圆中，一条弦长为3，则这条弦所对的圆周角的度数是______．16．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度/C t ︒4-2-014植物高度增长量/mml 4149494625科学家经过猜想、推测出l 与t 之间是二次函数关系，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为______C ︒．17．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()3,0A -，对称轴为1x =-，给出以下结论：①0abc <②240b ac ->③40b c +<④若13,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭为函数图象上的两点，则12y y >⑤当31x -≤≤时，0y ≥，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______．三、解答题（共64分）18．解方程（每小题4分，共8分）（1）2560x x --=（2）2410x x +-=19．（7分）ABC △在平面直角坐标系中的位置如图所示（一格代表一个单位长度）．（1）将ABC △向右平移5个单位长度，同时向下平移4个单位长度得到111A B C △，请在方格纸中画出111A B C △；（2）将ABC △绕点A 顺时针旋转90︒得到22AB C △，连接12AC ，直接写出12AC 的长．20．（7分）已知二次函数的解析式为243y x x =+-．（1）直接写出顶点坐标（______）；与x 交点坐标（______）；（______）；与y 轴交点坐标（______）；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数图象的示意图．21．（8分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020－2022年买书资金的平均增长率．22．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）如果该文具的销售单价高于进价且不超过30元，请你计算最大利润．23．（11分）如图，将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，AB 与11AC 相交于点D ，AC 与11AC 、1BC 分别交于点E 、F ．（1）求证：1BCF BA D ≌△△．（2）当C α∠=度时，判定四边形1A BCE 的形状并说明理由．24．（13分）如图1．对称轴为直线1x =的抛物线经过()3,0B 、()0,4C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．图1图2（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线对称轴上的一点，使PA PC +取得最小值，求点P 的坐标：（3）如图2，若M 是线段BC 上方抛物线上一动点，过点M 作MD 垂直于x 轴，交线段BC 于点D ，是否存在点M 使线段MD 的长度最大，如存在求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．九年级数学答案与解折一、选择题：相信你一定能选对!（下列各小题的四个选项中，有且只有一个是符合题意的，把你认为符合题意的答案代号填入答题表中，每小题3分，共42分）1．选：B ．2．解析：解：方程移项得：2610x x -=，配方得：26919x x -+=，即()2319x -=，故选：D ．3．解析：解：A 、由104a =-<知抛物线开口向下，此选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线2x =，此选项正确；C ．函数图象的顶点坐标为()2,3-，此选项错误：D 、当2x >时，y 随x 的增大而减小，此选项错误；故选：B ．4．D 5．B 6．B 7．C 8．D9．解析：解：将抛物线2y x =先向右平移5个单位，再向上平移3个单位所得抛物线解析式为()253y x =-+．故选：A ．10．解析：解：∵()16,A y -、()23,B y -、()31,C y 为二次函数245y x x =+-图象上的三点，∴17y =，28y =-，30y =，∴231y y y <<．故选：B ．11．解析：解：设平均每月营业额的增长率为x ，则第二个月的营业额为：()901x ⨯+，第三个月的营业额为：()2901x ⨯+，则由题意列方程为：()()290190114490x x +++=-．故选：D ．12．B二、填空悬（共7小题，每小题3分，满分21分）13．解析：解：方程整理得：()40x x +=，解得：10x =，24x =-．故答案为：10x =，24x =-．14．解析：解：在直角坐标系中，点()1,2-关于原点对称点的坐标是()1,2-，故答案为：()1,2-．15．30︒或150︒16．解析：解：设()20l at bt c a =++≠，选()0,49，()1,46，()4,25代入后得方程组494616425c a b c a b c =⎧⎪+==⎨⎪++=⎩，解得：1249a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以l 与t 之间的二次函数解析式为：2249l t t =--+，当12bt a=-=-时，l 有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是1C -︒．另法：由()2,49-，()0,49可知抛物线的对称轴为直线1t =-，故当1t =-时，植物生长的温度最快．故答案为：1-．17．解析：解：由图象可知，0a <，0b <，0c >，∴0abc >，故①错误．∵抛物线与x 轴有2个交点，∴240b ac ∆=->，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为()3,0-，抛物线的对称轴为直线1x =-，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0，∴1x =时，0y =，即0a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴48350b c a a a +=-=<，所以③正确；∵点13,2B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线1x =-的距离大于点21,2C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线1x =-的距离，∴12y y =，所以④错误：当31x -≤≤时，0y ≥，所以⑤正确：故答案为：②③⑤三、开动脑筋，你一定能做对!（共63分）18．解析：解：（1）2560x x --=，()()610x x -+=，60x -=，10x +=，16x =，21x =-；（2）2410x x +-=，移项，得241x x +=，配方，得24414x x ++=+，即()225x +=，开方，得2x +=即12x =-+，22x =-．19．（1）解：如图：（2）解：如图：∴22126335AC =+=20．（1）()2,1，()1,0()3,0，()0,3-．（2）图省略21．解：设2020－2022年买书资金的平均增长率为x 由题意得()2500017200x +=解得10.2x =，2 2.2x =-（舍）答：2020－2022年买书资金的平均增长率为20%．22．解析：解：（1）由题意得，销售量()250102510500x x =--=-+，则()()2010500w x x =--+21070010000x x =-+-；（2）()22107001000010352250w x x x =-+-=--+．∵100-<，∴函数图象开口向下，w 有最大值，当35x =时，max 2250w =，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）2030x <≤，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，故当30x =时，w 有最大值，此时2000w =．23．解析：（1）证明：∵ABC △是等腰三角形，∴AB BC =，A C ∠=∠，∵将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，∴1A B AB BC ==，1A A C ∠=∠=∠，11A BD CBC ∠=∠，在BCF △与1BA D △中，111A C AB BCA BD CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴1BCF BA D ≌△△；（2）解：四边形1A BCE 是菱形，∵将等腰ABC △绕顶点B 逆时针方向旋转α度到11A BC △的位置，∴1A A ∠=∠，∵1ADE A DB ∠=∠，∴1AED A BD α∠=∠=，∴180DEC α∠=︒-，∵C α∠=，∴1A α∠=，∴111360180A BC A C A EC α∠=︒-∠-∠-∠=︒-，∴1A C ∠=∠，11A BC A EC ∠=∠，∴四边形1A BCE 是平行四边形，∵1A B BC =，∴四边形1A BCE 是菱形．24．（1）解：∵对称轴为直线1x =的抛物线经过()3,0B ，与x 轴的另一交点为A∴点A 的坐标为()1,0-设该抛物线的解析式为()()13y a x x =+-把()0,4C 代入，得43a=-解得43a =-故抛物线的解析式为()()2448134333y x x x x =-+-=-++；（2）解：设BC 所在的直线的解析式为()0y kx b k =+≠把B 、C 的坐标分别代入得：304k b b +=⎧⎨=⎩解得434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴BC 的解析式为443y x =+，当1x =时，83y =∴81,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭此时PA PC PB PC BC +=+=取得小小值；（3）解：存在，设248,433M m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，4,43D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2224844434443333332MD m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，03m <<∵403a =-<，∴当32m =时，MD 取得最大值，此时点M 的坐标为3,52⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
山东省临沂市兰山区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的方程()2120a x x ++-=是一元二次方程，则a 满足（）A ．1a ≠-B ．1a ≠C ．1a ≠±D ．为任意实数2．一元二次方程25410x x --=的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A ．5,4,1B ．2,1,0C ．25-4-1x x ，，D ．5-4-1，，3．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．在如图4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D5．在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（）A ．(2x x ππ=+10．为响应“足球进校园间都要比赛一场），计划安排A ．611．根据下列表格，x 1.5-2891x x +- 3.5同时出发，分别沿A →B →C 和A →D →C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为y ，运动时间记为x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题15．如图所示，若15,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，图象上三点，则1y ，2y ，3y16．如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽点）距离水面3m ，当水面下降三、计算题17．解下列方程．(1)()3133x x x +=+(2)2178x x+=四、问答题18．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m ，那么它的下部应设计多高？19．如图，在ABC 中，65CAB ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△的位置，使得C C AB '∥．(1)请判断ACC '△的形状，并说明理由；(2)求BAB ∠'的度数．六、计算题21．如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点，……七、作图题【实验猜想】（1）为观察s与t之间的关系，请在方格图坐标系中描出表中数据对应的平滑曲线连接它们：（2）试猜想这图象应该是我们已经学过的函数图象数．【推理验证】（3）试求出函数解析式．【数据分析】（4）滑雪者滑行5秒，滑行距离（5）若滑行者在山坡上的出发点和终点的距离是点？八、应用题23．“直播带货”已经成为信息社会中商家的一种新型促销手段．某主播小莉在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如图所示：(1)当定价为元时，开始无人购买；(2)设小莉每天的销售利润需要写出自变量x的取值范围）(3)当销售单价定为多少元时，值；(4)若小莉每天想获得的销售利润为多少元？(5)在（4）中，若不考虑库存问题．小莉的哥哥建议她采取（述建议的理由．。
山东省临沂市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分）已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c=0；（2）x2﹣4x=8+x2；（3）1+（x﹣1）（x+1）=0；（4）（k2+1）x2+kx+1=0中，一元二次方程的个数为（）个．A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）一只蚂蚁要在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017八下·东城期中) 下列命题中，正确的是（）．①有两个角是直角，且对角线相等的四边形是矩形．②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．③两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形．④对角线互相垂直且一组邻边相等的四边形是菱形A . ①②B . ②③C . ①④D . ③④4. （2分）若x：y=5：2，则（x+y）：y的值是（）A . 2：5B . 7：2C . 2：7D . 3：25. （2分）受全球金融危机的影响，2008年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（）A . 10%B . 20%C . 19%D . 25%6. （2分）下列说法正确的是（）A . 所有的等腰三角形都相似B . 所有的直角三角形都相似C . 所有的等腰直角三角形都相似D . 有一个角相等的两个等腰三角形都相似二、填空题 (共6题；共7分)7. （1分）已知实数m是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的一根，则代数式2m2﹣4m+2值为________．8. （1分）(2018·嘉定模拟) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，AB=4，BC=8，点E、F 分别在边CD、BC上，联结EF．如果△CEF沿直线EF翻折，点C与点A恰好重合，那么的值是________．9. （1分） (2017七下·景德镇期末) 小明正在玩飞镖游戏，如果他将飞镖随意投向如图所示的正方形网格中，那么投中阴影部分的概率是________；10. （1分） (2020九下·襄城月考) 一只小狗在如图所示的矩形草地ABCD内自由的玩耍，点P是矩形的边CD上一点，点E、点F分别为PA，PB的中点，连接EF，则这只小狗跑到△PEF内的概率是________.11. （2分）如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为________ 或________ ．12. （1分）(2017·湖州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点C（0，4），射线CE∥x轴，直线y=﹣ x+b 交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若存在点D，使得△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为________．三、计算题 (共5题；共47分)13. （15分）(2019·武汉模拟) 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N.（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；（2）若 =2，求的值；（3）若 =n，当n为何值时，MN∥BE？14. （10分）(2018·青岛模拟) 计算（1）化简：（ +n）÷ ；（2）关于x的一元二次方程2x2+3x﹣m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．15. （5分）如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．16. （5分） (2017九上·黄岛期末) 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．17. （12分） (2016九下·巴南开学考) 已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是________，MN与EC的数量关系是________．（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A顺时针旋转45°得到的图2，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（3）若把（1）小题中的△AED绕点A逆时针旋转45°得到的图3，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．四、解答题 (共6题；共49分)18. （9分）某中学号召学生利用假期开展社会实践活动，开学初学校随机地通过问卷形式进行了调查，其中将学生参加社会实践活动的天数，绘制了下列两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，完成下列问题（填入结果和补全图形）：（1）问卷调查的学生总数为________ 人（2）扇形统计图中a的值为________（3）补全条形统计图（4）该校共有1500人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有________ 人（5）如果从全校1500名学生中任意抽取一位学生准备作交流发言，则被抽到的学生，恰好也参加了问卷调查的概率是________19. （10分）(2017·迁安模拟) 如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a；为了要让铁片能穿过直径为的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；（1）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，①则此时铁片是什么形状；②给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；（2）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；①当BE=DF= 时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围．20. （5分） (2017八下·瑶海期中) 如图所示，某工人师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m．求裁剪后剩下的阴影部分的面积．21. （5分） (2017九下·盐都开学考) 如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度？22. （10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2=0（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1+2x2=9，求m的值．23. （10分）如图，△ABC中，CA=CB，E、F分别在AC、AB的延长线上，且CE=CF，EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，连接EF．（1）求证：四边形FEGH是矩形；（2）若∠A=30°，且四边形FEGH是正方形时，求AC：CE的值．参考答案一、选择题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共6题；共7分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、三、计算题 (共5题；共47分)13-1、13-2、13-3、14-1、14-2、15-1、16-1、17-1、17-2、17-3、四、解答题 (共6题；共49分) 18-1、18-2、18-3、18-4、18-5、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（）A. B. C. D.3.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4.⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙内B. 点P的⊙上C. 点P在⊙外D. 点P在⊙上或⊙外5.我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A. B. C. D.6.将抛物线y=2（x-7）2+3平移，使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则下列平移正确的是（）A. 向上平移3个单位B. 向下平移3个单位C. 向左平移7个单位D. 向右平移7个单位7.已知点A（1，2），O是坐标原点，将线段OA绕点O逆时针旋转90°，点A旋转后的对应点是A1，则点A1的坐标是（）A. B. C. D.8.2则该函数图象的对称轴是（）A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线9.如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°，则∠AOB的度数是（）A.B.C.D.10.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，5）且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②2a+b=0；③b2-4ac＞0；④一元二次方程ax2+bx+c=5有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.抛物线y=-x2+2x-3顶点坐标是______；对称轴是______．12.蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则高度CD为______m．13.如图所示，AB，AC与⊙O相切于点B，C，∠A=50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是______．14.如图，要拧开一个边长为a=12mm的六角形螺帽，扳手张开的开口b至少要______mm．15.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为______米．16.如图，一段抛物线y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得C13．若点P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=______．三、计算题（本大题共1小题，共11.0分）17.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．四、解答题（本大题共4小题，共41.0分）18.用适当的方法解下列方程：（1）x（x-2）=x-2；（2）2x2+1=3x．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，-2），B（3，-1），C（1，-1）．（1）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1，并写出A的对应点A1的坐标；（2）求（1）中点A所走过的路线长．20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？21.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．根据中心对称图形的定义逐个判断即可．本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键．2.【答案】C【解析】解：由原方程移项，得x2-2x=5，方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得x2-2x+1=6∴（x-1）2=6．故选：C．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3.【答案】B【解析】解：根据题意△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．先计算判别式得到△=（-2）2-4×（-1）=8＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4.【答案】A【解析】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），∴OP==＜5，因而点P在⊙O内．故选：A．根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r 时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．5.【答案】B【解析】解：设每年的增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1，解得x=0.1或x=-（舍去）．故选：B．如果设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10（1+x）2=12.1，解方程即可求解．本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．6.【答案】C【解析】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（7，3），平移后抛物线顶点坐标为（0，t）（t为常数），则原抛物线向左平移7个单位即可．故选：C．抛物线y=2（x-7）2+3的顶点坐标为（7，3），使平移后的函数图象顶点落在y轴上，所得的抛物线的顶点坐标为（0，t），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．7.【答案】A【解析】解：如图，根据旋转的性质可知，OB1=OB=1，A1B1=AB=2，可知点A1的坐标是（-2，1），故选：A．根据题意画出图形利用旋转的性质即可解答．本题考查了坐标与图形的变化--旋转，熟悉旋转的性质是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵x=-3和-1时的函数值都是-3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=-2．故选：B．根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵AO∥BC∴∠ACB=∠OAC=20°由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．故选：C．由AO∥BC，可得出内错角∠A和∠C相等；然后利用圆周角和圆心角的关系，可求出∠AOB的度数．本题主要考查了圆周角定理和平行线的性质．10.【答案】C【解析】解：由图象可知，x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，故①正确．∵抛物线的对称轴x=1，∴-=1，∴-b=2a，∴2a+b=0．故②正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2-4ac＞0，故③正确．∵抛物线的顶点坐标为（1，5），∴直线y=5与抛物线的只有一个交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=5有相等的实数根，∴④错误．故选：C．①正确．根据x=-1时，y＞0，即可判断．②正确．根据对称轴x=-=1，即可判断．③正确．根据抛物线与x轴有两个交点，可知△＞0，即可判断．④错误．根据抛物线的顶点坐标为（1，5），直线y=5与抛物线的只有一个交点，推出一元二次方程ax2+bx+c=5有相等的实数根，由此即可判断．本题考查二次函数与x轴的交点、二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】（1，-2）；x=1【解析】解：由题意可知：y=-（x-1）2-2顶点坐标为：（1，-2），对称轴为x=1，故答案为：（1，-2），x=1将抛物线配方后即可求出顶点坐标，以及对称轴．本题考查二次函数的性质，解题的关键是将一般是配方为顶点式，本题属于基础题型．12.【答案】4【解析】解：∵CD垂直平分AB，∴AD=8．∴OD==6m，∴CD=OC-OD=10-6=4（m）．故答案为：4．根据垂径定理和勾股定理求解．此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．13.【答案】65°或115°【解析】解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点∴OC⊥AC，OB⊥AB，∵∠A=50°，∴在△ABC中，∠COB=130°，∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角，∴∠BP1C=65°，（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，∵∠BP1C=65°，∴∠BP2C=115°此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C 时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数．本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用14.【答案】12【解析】解：如图所示：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=12mm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=12×=6，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=12mm．故答案为：12．根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．本题考查了正多边形和圆的知识、三角函数；构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行计算是解决问题的关键．15.【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：-1=-0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13=-（x-36）（x-39），当x=37时，y=-（37-36）×（37-39）=2．故答案为：2．根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．17.【答案】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°-90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8-x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【解析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．18.【答案】解：（1）∵x（x-2）-（x-2）=0，∴（x-2）（x-1）=0，则x-2=0或x-1=0，解得：x=2或x=1；（2）∵2x2-3x+1=0，∴（x-1）（2x-1）=0，则x-1=0或2x-1=0，解得：x=1或x=0.5．【解析】（1）因式分解法求解可得；（2）因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A的对应点A1的坐标为（2，1）；（2）OA==，所以点A所走过的路线长==π．【解析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1，然后写出A的对应点A1的坐标；（2）由于点A所走过的路线是以点O为圆心，OA为半径，圆心角为90°所对的弧，然后根据弧长公式求解．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】解：设道路的宽为xm，由题意得：（30-2x）（20-x）=6×78，整理得：（x-2）（x-33）=0，解得x=2或x=33舍去），答：通道应设计成2米．【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30-2x）m，宽为（20-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30-2x）（20-x）=6×78．21.【答案】解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），∴可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入得4=5a，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x-1）（x-5）=x2-x+4．由图象可知抛物线对称轴x=3．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．设直线AC的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AC解析式为y=-x+4，和对称轴的交点P为（3，）．【解析】（1）因为抛物线经过点B（1，0），C（5，0），可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．求出直线AC的解析式即可解决问题．本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．。
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.2.一元二次方程2x2-3x-1=0的二次项系数是2．则一次项系数是（）A. 3B. 1C. −3D. −13.设a、b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（）A. 2016B. 2017C. 2018D. 20194.抛物线y=-3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线解析式为（）A. y=−3(x−2)2+5B. y=−3(x−2)2−5C. y=−3(x+2)2−5D. y=−3(x+2)2+55.二次函数y=x2-6x-4的顶点坐标为（）A. (3,5)B. (3,−13)C. (3,−5)D. (3,13)6.某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A. 500(1+x)2=72B. 50(1+x)=72C. 50(1+x)2=72D. 50(1+2x)=727.平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（）A. 2B. 4C. 2 或4D. 88.若关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（）A. k<1B. k≤1C. k<1且k≠0D. k≤1且k≠09.2则该函数图象的对称轴是（）A. 直线x=−3B. 直线x=−2C. 直线x=−1D. 直线x=010.如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（）A. ∠QPB=60∘B. ∠PQC=90∘C. ∠APB=150∘D. ∠APC=135∘11.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 50∘B. 80∘C. 100∘D. 130∘12.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A. −1<x<4B. −1<x<3C. x<−1或x>4D. x<−1或x>313.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（）A. 10B. 82C. 413D. 24114.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a-b＜0；③b2＞（a+c）2；④点（-3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）15.一元二次方程x2=6x的根是______．16.在直角坐标系中，点M（5，7）关于原点O对称的点N的坐标是（x，y），则x+y=______．17.如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R=______．18.点P1（-1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．19.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=12x2-1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共63.0分）20.用适当的方法解下列方程（1）2x2-4x-5=0；（2）x（5x+4）=5x+421.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，且△A1B1C1与△ABC关于原点O成中心对称，C点坐标为（-2，1）．（1）请直接写出A1的坐标______；并画出△A1B1C1．（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+2，b-6），请画出平移后的△A2B2C2．（3）若△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．22.如图，已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A（1，4）和点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接回答下列问题：①当-1＜x＜2时，求函数y的取值范围：______．②当y≥3时，求x的取值范围：______．23.如图，某中学准备用长为20m的篱笆围成一个长方形生物园ABCD饲养小兔，生物园的一面靠墙（围墙MN最长可利用15m）试设计一种围法，使生物园的面积为32m2．24.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB+EB=AC．25.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？26.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0）、C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点M（3，n），求使MN+MD取最小值时n的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B、既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】C【解析】解：一元二次方程2x2-3x-1=0的二次项系数是2．则一次项系数是-3，故选：C．根据一元二次方程的一般形式解答．本题考查的是一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式，a叫做二次项系数；b叫做一次项系数；c叫做常数项．3.【答案】B【解析】解：∵a，b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，∴a2+a=2018，a+b=-1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018-1=2017．故选：B．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2018、a+b=-1，将其代入a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=2018、a+b=-1是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：抛物线y=-3x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（-2，5），所以平移后的抛物线解析式为y=-3（x+2）2+5．故选：D．先确定抛物线y=-3x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（-2，5），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．5.【答案】B【解析】解：∵y=x2-6x-4=（x-3）2-13，∴该函数的顶点坐标为（3，-13），故选：B．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可求得该函数的顶点坐标，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6.【答案】C【解析】解：设该厂八九月份平均每月的增长率为x，根据题意得：50（1+x）2=72．故选：C．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，根据该厂7、9月份生产零件的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：当点在圆外时，则⊙O的直径为6-2=4，半径是2；当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2=8，半径为4，故选：C．分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．8.【答案】B【解析】解：（1）当k=0时，-6x+9=0，解得x=；（2）当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，∴△=（-6）2-4k×9≥0，解得k≤1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1．故选：B．由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答．本题考查的是根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．9.【答案】B【解析】解：∵x=-3和-1时的函数值都是-3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=-2．故选：B．根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置，∴△BQC≌△BPA，∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ=BP=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，故B正确，∵△BPQ是等边三角形，∴∠QPB=∠BPQ=∠BQP=60°，故A正确，∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故C正确，∴∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵∠PQC=90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，故选项D错误．故选：D．根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据△BPQ是等边三角形，即可得到∠QPB=∠BPQ=∠BQP=60°，进而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判断D 选项．本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．11.【答案】D【解析】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°-∠ADC=130°．故选：D．首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．12.【答案】B【解析】解：由图象知，抛物线与x轴交于（-1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，且当-1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，∴当-1＜x＜3时，y＜0．故选：B．根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y ＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考查二次函数图象的题目．13.【答案】D【解析】【分析】本题考查切线的性质、坐标与图形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），∴AM⊥OA，OA=8，∴∠OAM=∠MHO=∠HOA=90°，∴四边形OAMH是矩形，∴AM=OH，∵MH⊥BC，∴HC=HB=6，∴OH=AM=10，在RT△AOM中，OM===2．故选D．14.【答案】B【解析】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵-＜0，∴b＞0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵-＞-1，a＞0，∴b＜2a，∴2a-b＞0，故②错误，∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∴a+c＞-b，∵x=-1时，y＜0，∴a-b+c＜0，∴（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c）＜0，∴b2＞（a+c）2，故③正确，∵点（-3，y1），（1，y2）都在抛物线上，观察图象可知y1＞y2，故④正确．故选：B．观察图象判断出a、b、c的符号，即可得出结论①正确，利用对称轴公式x＞-1，可得结论②错误；利用平方差公式，可得结论③正确，利用图象法可以判断出④正确；本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15.【答案】x1=0，x2=6【解析】解：x2=6x则x（x-6）=0，解得：x1=0，x2=6，故答案为：x1=0，x2=6．直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．16.【答案】-12【解析】解：点M（5，7）关于原点O对称的点N的坐标是（x=-5，-7），∴x=-5，y=-7，则x+y=-12，故答案为：-12．根据关于原点对称的点的坐标特点求出x、y，计算即可．本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．17.【答案】1【解析】解：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC的内切圆半径R===1．故答案为1．先利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，然后利用△ABC的内切圆半径R=进行计算．本题考查了三角形内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．也考查了勾股定理的逆定理．18.【答案】y1=y2＞y3【解析】解：∵y=-x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故答案为y1=y2＞y3．根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y1=y2＞y3．本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．19.【答案】（6，2）或（-6，2）【解析】解：依题意，可设P（x，2）或P（x，-2）．①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y=x2-1，得2=x2-1，解得x=±，此时P（，2）或（-，2）；②当P的坐标是（x，-2）时，将其代入y=x2-1，得-2=x2-1，即-1=x2无解．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（-，2）；故答案是：（，2）或（-，2）．当⊙P与x轴相切时，点P的纵坐标是2或-2，把点P的纵坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标．本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论．20.【答案】解：（1）2x2-4x-5=0，a=2，b=-4，c=-5，∵△=b2-4ac=16+40=56＞0∴方程有两个不相等的实数根，x=−b±b2−4ac2a=2±142，∴x1=2+142，x2=2−142；（2）x（5x+4）=5x+4，x（5x+4）-（5x+4）=0，（5x+4）（x-1）=0，5x+4=0，x-1=0，x1=−45，x2=1．【解析】（1）先求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元一次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．21.【答案】（3，-4）（1，-3）【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；A1的坐标为（3，-4），故答案为：（3，-4）．（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；（3）△A1B1C1和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为：（1，-3）．故答案为：（1，-3）．（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置位置，进而得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．22.【答案】0＜9≤4 0≤x≤2【解析】解：（1）将点A和点C的坐标代入函数解析式，得，解得，二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；（2）由图象知，①当-1＜x＜2时，求函数y的取值范围：0＜y≤4．②当y≥3时，求x的取值范围：0≤x≤2．故答案为：0＜y≤4，0≤x≤2．（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象即可得到结论．此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．23.【答案】解：设BC的长为x米，则AB的长为20−x2米，根据题意得：x×20−x2=32解得：x1=4，x2=16∵x≤15∴x=4答：围成BC为4米，AB为8米的长方形．【解析】设BC的长为x米，则AB的长为米，根据等量关系列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是本题的关键．24.【答案】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；（1分）∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，∴BD=DF，（3分）∴AC为⊙D的切线．（4分）（2）∵AC为⊙D的切线，∴∠DFC=∠B=90°，在Rt△BDE和Rt△FCD中；∵BD=DF，DE=DC，∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），（6分）∴EB=FC．（8分）∵AB=AF，∴AB+EB=AF+FC，即AB+EB=AC．（10分）【解析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．（2）先证明△BDE≌△FCD（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，得出AB+EB=AC．本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等．25.【答案】解：（1）y=（x-20）w=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600，∴y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x-1600；（3分）（2）y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，∴当x=30时，y有最大值200，∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（6分）（3）当y=150时，可得方程：-2（x-30）2+200=150，解这个方程，得x1=25，x2=35，（8分）根据题意，x2=35不合题意，应舍去，∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．（10分）【解析】依据“利润=售价-进价”可以求得y与x之间的函数关系式，然后利用函数的增减性确定“最大利润”．本题是函数思想的具体运用，构建二次函数关系式，利用二次函数的最大值确定销售的最大利润．26.【答案】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：−1−b+c=0−4+2b+c=3，解得：b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y═-x2+2x+3．设直线AC的解析式为y=kx+b．∵将点A和点C的坐标代入得−k+b=02k+b=3，解得k=1，b=1．∴直线AC的解析式为y=x+1．（2）如图，设点P（m，-m2+2m+3），∴Q（m，m+1），∴PQ=（-m2+2m+3）-（m+1）=-m2+m+2=-（m-12）2+94，∴S△APC=12PQ×|x C-x A|=12[-（m-12）2+94]×3=-32（m-12）2+278，∴当m=12时，S△APC最大=278，y=-m2+2m+3=154，∴P（12，154）；（3）如图1所示，过点N与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．∵当x=0时y═3，∴N（0，3）．∵点N与点N′关于x=3对称，∴N′（6，3）．∵y═-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴D（1，4）．设DN的解析式为y=kx+b．将点N′与点D的坐标代入得：6k+b=3k+b=4，解得：k=-15，b=215．∴直线DN′的解析式为y=-15x+215．当x=3时，n=−35+215=185．【解析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b，c的值，从而得到抛物线的解析式，设直线AC的解析式为y=kx+b．将点A和点C的坐标代入可求得k、b的值，从而得到直线AC的解析式；（2）设点P的坐标，进而表示出PQ，进而得出S△APC=-（m-）2+，即可得出结论；（3）过点N与直线x=3的对称点N′，连接DN′，交直线x=3与点M．先求得点N的坐标，然后可得到点N′的坐标，接下来求得DN′的解析式，然后将x=3代入直线DN′的解析式可求得点M的纵坐标此题是二次函数综合题，主要考查的了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、轴对称路径最短、平行四边形的判定定理，明确点D、M、N′在一条直线上时，MN+DM有最小值是解答问题（3）的关键．第21页，共21页。
初中数学试卷鼎尚图文**整理制作2015-2016学年山东省临沂市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和22．下列图形中，中心对称图形有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能4．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是( )A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．25．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的)位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于(A．115°B．120°C．125°D．145°6．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到2013年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为( )A．10% B．15% C．20% D．25%7．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为( )A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+68．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )A．160°B．150°C．140°D．120°9．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°10．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点11．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：（每题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是__________．14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为a与b，则的值是__________．15．如图，点A、B、P在⊙O上，∠APB=50°，若M是⊙O上的动点，则等腰△ABM顶角的度数为__________．16．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B 落在BC延长线上的D点处，∠BDA=45°，则∠BDE=__________．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为__________．18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）三、解答下列各题（共60分）19．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0．（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0．20．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为__________；旋转角度为__________；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．21．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心__________ 点，按顺时针方向旋转__________度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为__________．（直接写结果）22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．23．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC 与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣．2015-2016学年山东省临沂市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．2．下列图形中，中心对称图形有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形．中心对称图形有3个．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能【考点】根的判别式．【分析】先计算判别式的值得到△=4k2+4，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：△=4k2﹣4×（﹣1）=4k2+4，∵4k2≥0，∴4k2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是( )A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．【解答】解：依题意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a，∴﹣=1﹣a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1﹣x1x2+x2=1﹣a，得出x1+x2﹣x1x2=1﹣a是解决问题的关键．5．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A．115°B．120°C．125°D．145°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先利用互余计算出∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAB′等于旋转角，然后利用邻补角计算∠BAB′的度数即可．【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′等于旋转角，且∠BAB′=180°﹣∠BAC=120°，∴旋转角等于120°．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到2013年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为( )A．10% B．15% C．20% D．25%【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x，2011年的人均收入×（1+平均增长率）2=2013年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．【解答】解：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：7200（1+x）2=8712，解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．答：该村人均收入的年平均增长率为10%．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．7．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为( )A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=﹣2x2相同，a=﹣2．y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），利用交点式求表达式即可．【解答】解：根据题意a=﹣2，所以设y=﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式y=﹣2（x+1）（x﹣3），即是y=﹣2x2+4x+6．故选D．【点评】本题考查了抛物线的形状系数的关系，本题用交点式比较容易解．8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )A．160°B．150°C．140°D．120°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．9．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．【解答】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．10．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．11．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故（4）正确；正确个数有4个，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．二、填空题：（每题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0，∴k的取值范围是k＜﹣1；故答案为：k＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为a与b，则的值是﹣1．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=﹣3，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：根据题意得a+b=3，ab=﹣3，所以原式===﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．15．如图，点A、B、P在⊙O上，∠APB=50°，若M是⊙O上的动点，则等腰△ABM顶角的度数为50°或80°或130°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】首先连接AM，BM，分别从若点M在优弧APB上与若点M在劣弧AB上，根据圆周角定理与等腰三角形的性质，即可求得等腰△ABM顶角的度数．【解答】解：连接AM，BM，①若点M在优弧APB上，∴∠M=∠APB=50°，若AM=BM，则等腰△ABM顶角的度数为50°；若AM=AB或BM=AB，则等腰△ABM顶角的度数为：180°﹣2∠M=80°；②若点M在劣弧AB上，则∠M=180°﹣∠APB=130°，此时∠M是顶角．∴等腰△ABM顶角的度数为：50°或80°或130°．故答案为：50°或80°或130°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．16．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B 落在BC延长线上的D点处，∠BDA=45°，则∠BDE=85°．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得∠ADE=∠B=40°，然后计算∠BDA+∠ADE即可．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，∴∠ADE=∠B=40°，∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=45°+40°=85°．故答案为85°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是①②⑤．（填正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；所以这结论正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答下列各题（共60分）19．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0．（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解；（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，则x1=1+，x2=1﹣；（2）分解因式得：（x﹣1）[（x﹣1）+2x]=0，可得x﹣1=0或3x﹣1=0，解得：x1=1，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为点A；旋转角度为90°；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD﹣AE计算即可得解；（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．【解答】解：（1）旋转中心为点A，旋转角为∠BAD=90°；（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE=AF=4，AD=AB=7，∴DE=AD﹣AE=7﹣4=3；（3）BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=180°﹣90°=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为64．（直接写结果）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，证△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠FAB即可．（2）根据全等三角形性质和旋转的性质得出即可．（3）求出四边形AECF的面积等于正方形ABCD面积，求出正方形的面积即可．【解答】解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，∴AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAE=∠DAB=90°，即△AEF是等腰直角三角形．（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到的，故答案为：A，90．（3）∵△ADE≌△ABF，∴S ADE=S△ABF，∴四边形AECF的面积S=S四边形ABCE+S△ABF=S四边形ABCE+S△ADE=S正方形ABCD=8×8=64，故答案为：64．【点评】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．【考点】确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．23．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为4．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10求出即可．【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）=10．化简，整理，的x2﹣3x+2=0．解这个方程，得x1=1，x2=2，则3+1=4，2+3=5，答：每盆应植4株或者5株．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC 与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，利用SSS即可判定△ABC≌△BAD，又由抛物线的与y轴交于点C，即可求得点C的坐标，由对称性可求得D点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），∴，解得：．故抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴为：x=﹣=1，∴根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，此时，AC=BD，BC=AD，在△ABC和△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（SSS）．在y=x2﹣2x﹣3中，令x=0，得y=﹣3，则C（0，﹣3），D（2，﹣3）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与二次函数的对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．。
\2019-2020 年山东省临沂市九年级上期中数学试卷及答案解析一、选择题：（每小题 3 分，本题满分共 36 分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程 x （ x ﹣ 2） =2﹣ x 的根是（ ）￥A ．﹣ 1B ． 2C ． 1 和 2D ．﹣ 1 和 22．下列图形中，中心对称图形有（））|A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ． 1 个2|3．关于 x 的方程 x +2kx ﹣ 1=0 的根的情况描述正确的是（ ）A ． k 为任何实数，方程都没有实数根B ． k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 'C ． k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ． k 取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能[4．关于 x 的方程 ax 2﹣（ 3a+1） x+2（ a+1） =0 有两个不相等的实根x 1、 x 2，且有 x 1﹣x 1x 2+x 2=1﹣ a ，则 a 的值是（ ）A ． 1B ．﹣ 1C ． 1 或﹣ 1D ． 2￥5．如图，将 Rt △ ABC （其中∠ B=30 °，∠ C=90 °）绕点 A 按顺时针方向旋转到△ AB 1C 1 的位置，使得点 C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角等于（）…;,A ． 115°B ． 120°C ． 125°D ． 145°\6．年向阳村农民人均收入为7200 元，到年增长至 8712 元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为（—）A ． 10% 。
B ． 15%C ． 20%D ． 25%~7．抛物线21， 0），（ 3， 0），其形状与抛物线 $y= ﹣y=ax +bx+c 与 x 轴的两个交点为（﹣8．如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 丄 AB ，∠ CAB=20 °，则∠ AOD 等于（）;1 / 21A ． 160°B． 150°C． 140°D． 120°9．如图，△ ABC 的边 AC 与⊙ O 相交于 C、 D 两点，且经过圆心O，边 AB 与⊙ O 相切，切点为 B．已知∠ A=30 °，则∠ C 的大小是（）A ． 30°B ． 45°C． 60°D． 40°2）10．对于二次函数 y=（ x﹣ 1） +2 的图象，下列说法正确的是（A ．开口向下B．对称轴是 x= ﹣1C．顶点坐标是（ 1， 2）D．与 x 轴有两个交点11．二次函数2y=ax +bx+c （a， b， c 为常数，且a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：X﹣ 1013y﹣ 1353下列结论：（1） ac＜ 0；（2）当 x＞ 1 时， y 的值随 x 值的增大而减小．2（3） 3 是方程 ax +（ b﹣1） x+c=0 的一个根；2（4）当﹣ 1＜ x＜ 3 时， ax +（ b﹣ 1） x+c＞ 0．其中正确的个数为（）A ． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个12．如图， P 为⊙ O 的直径 BA 延长线上的一点， PC 与⊙ O 相切，切点为 C，点 D 是⊙上一点，连接 PD．已知 PC=PD=BC ．下列结论：（1） PD 与⊙ O 相切；（ 2）四边形 PCBD 是菱形；（ 3） PO=AB ；（ 4）∠ PDB=120 °．其中正确的个数为（）A ． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个二、填空题：（每题 4 分，共 24 分）13．若关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ 2x﹣ k=0 没有实数根，则k 的取值范围是．14．已知一元二次方程x 2﹣ 3x﹣3=0 的两根为 a 与 b，则的值是．15．如图，点 A 、B 、P 在⊙ O 上，∠ APB=50 °，若 M 是⊙ O 上的动点，则等腰△ ABM 顶角的度数为．16．如图所示，在△ABC 中，∠ B=40 °，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转至△ ADE 处，使点B 落在 BC 延长线上的 D 点处，∠ BDA=45 °，则∠ BDE=．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为 2 的⊙ P 的圆心 P 的坐标为（﹣ 3，0），将⊙ P 沿 x 轴正方向平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为．218．已知二次函数y=ax +bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：2① b ＞ 4ac；② abc＞ 0；③ 2a﹣ b=0 ；④ 8a+c＜ 0；⑤9a+3b+c＜ 0．其中结论正确的是．（填正确结论的序号）三、解答下列各题（共60 分）19．解方程2﹣ 2x﹣ 1=0．（1） x2（2）（ x﹣1） +2x （x﹣ 1） =0．20．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE ，若AF=4 ． AB=7 ．（1）旋转中心为；旋转角度为；（2）求 DE 的长度；（3）指出 BE 与 DF 的关系如何并说明理由．21．四边形ABCD 是正方形， E、 F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连接AE 、AF 、 EF．（1）试判断△ AEF 的形状，并说明理由；（2）填空：△ ABF 可以由△ ADE 绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若 BC=8，则四边形AECF 的面积为．（直接写结果）22．如图， AD 为△ ABC 外接圆的直径， AD ⊥ BC，垂足为点 F，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E，连接 BD ，CD ．（1）求证： BD=CD ；（2）请判断 B ，E， C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上并说明理由．23．（ 10 分）（新疆）如图， AB 是⊙ O 的直径，点F，C 是⊙ O 上两点，且== ，连接 AC ， AF ，过点 C 作 CD ⊥ AF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D．（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；（2）若 CD=2 ，求⊙ O 的半径．24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入 3 株时，平均单株盈利 3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加 1 株，平均单株盈利就减少元．要使每盆的盈利达到10 元，每盆应该植多少株25．（ 10 分）（牡丹江）如图，抛物线2y=x +bx+c 经过点（ 1，﹣ 4）和（﹣ 2， 5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若与 x 轴的两个交点为 A ， B，与 y 轴交于点 C．在该抛物线上是否存在点 D ，使得△ABC 与△ABD 全等若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由2．注：抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴是 x=﹣-学年九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 3 分，本题满分共 36 分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（ x﹣ 2） =2﹣ x 的根是（）A ．﹣ 1 B． 2 C． 1 和 2D．﹣ 1 和 2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到 x（ x﹣ 2） +（ x﹣ 2） =0 ，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解： x（ x﹣2） +（ x﹣2） =0，∴（ x﹣ 2）（ x+1 ） =0，∴x﹣ 2=0 或 x+1=0 ，∴x1=2 ， x2=﹣ 1．故选 D ．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．2．下列图形中，中心对称图形有（）A ． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第 2 和第 3 个是中心对称图形．中心对称图形有 3 个．故选： B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180 度后所得的图形与原图形完全重合．23．关于 x 的方程 x +2kx ﹣ 1=0 的根的情况描述正确的是（）A ． k 为任何实数，方程都没有实数根B． k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C． k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D． k 取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能【考点】根的判别式．2+4，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义【分析】先计算判别式的值得到△ =4k进行判断．2﹣ 4×（﹣ 1）【解答】解：△ =4k2=4k +4，2∵4k ≥0，2∴4k +4＞ 0∴方程有两个不相等的实数根．故选 B ．【点评】本题考查了一元二次方程22ax +bx+c=0 （a≠0）的根的判别式△ =b ﹣ 4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．关于 x 的方程 ax 2﹣（ 3a+1） x+2（ a+1） =0 有两个不相等的实根 x1、 x2，且有 x1﹣x1x2+x 2=1﹣ a，则 a 的值是（）A ． 1 B．﹣ 1 C． 1 或﹣ 1D． 2【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣， x1x2= ，整理原式即可得出关于 a 的方程求出即可．【解答】解：依题意△＞ 0，即（ 3a+1）2﹣ 8a（ a+1）＞ 0，即a2﹣ 2a+1＞0，（ a﹣ 1）2＞ 0，a≠1，∵关于 x 的方程 ax2﹣（ 3a+1） x+2 （a+1） =0 有两个不相等的实根 x1、 x2，且有 x1﹣ x1x2+x2=1﹣ a，∴x1﹣ x1x2+x 2=1﹣ a，∴x1+x 2﹣ x1x2=1﹣ a，∴﹣=1﹣ a，解得： a=±1，又a≠1，∴a=﹣ 1．故选： B．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1﹣x1x2+x 2=1 ﹣a，得出 x1+x 2﹣ x1x2=1﹣ a是解决问题的关键．5．如图，将 Rt△ ABC （其中∠ B=30 °，∠ C=90 °）绕点 A 按顺时针方向旋转到△ AB 1C1的位置，使得点 C、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A ． 115°B． 120°C． 125°D． 145°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先利用互余计算出∠ BAC=60 °，再根据旋转的性质得到∠利用邻补角计算∠ BAB ′的度数即可．【解答】解：∵∠ B=30 °，∠ C=90°，∴∠ BAC=60 °，∵Rt △ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转到△ AB 1C1的位置，使得点上，∴∠ BAB ′等于旋转角，且∠BAB ′=180°﹣∠ BAC=120 °，∴旋转角等于120°．故选 B ．BAB ′等于旋转角，然后C、A 、B 1在同一条直线【点评】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．年向阳村农民人均收入为 7200 元，到年增长至 8712 元．这两年中，该村农民人均收入 平均每年的增长率为（ ） A ． 10% B ． 15% C ． 20% D ． 25%【考点】 一元二次方程的应用．【专题】 增长率问题．2 【分析】 设该村人均收入的年平均增长率为 x ，年的人均收入 ×（ 1+平均增长率） =年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．【解答】 解：设该村人均收入的年平均增长率为x ，由题意得：27200（ 1+x ） =8712 ，解得： x 1=﹣ （不合题意舍去）， x 2==10% ．答：该村人均收入的年平均增长率为 10%．故选 A ．【点评】 本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入 =增长前的人均收入 ×（1+增长率）．2 与 x 轴的两个交点为（﹣ 1， 0），（ 3， 0），其形状与抛物线 y= ﹣ 7．抛物线 y=ax +bx+c2x2相同，则 y=ax2+bx+c 的函数关系式为（）2222A ． y=﹣ 2x ﹣ x+3B ． y= ﹣2x +4x+5C ． y= ﹣2x +4x+8D ． y= ﹣2x +4x+6【考点】 待定系数法求二次函数解析式．【专题】 压轴题． 22 2【分析】 抛物线 y=ax +bx+c 的形状与抛物线 y= ﹣ 2x 相同， a=﹣ 2． y=ax +bx+c 与 x 轴的两个交点为（﹣ 1， 0），（ 3， 0），利用交点式求表达式即可． 【解答】 解：根据题意 a=﹣ 2， 所以设 y=﹣ 2（ x ﹣ x 1）（ x ﹣ x 2）， 求出解析式 y= ﹣ 2（x+1 ）（ x ﹣3），即是 y= ﹣ 2x 2+4x+6 ． 故选 D ．【点评】 本题考查了抛物线的形状系数的关系，本题用交点式比较容易解． 8．如图，线段 AB 是⊙ O 的直径，弦CD 丄 AB ，∠ CAB=20 °，则∠ AOD 等于（）A ． 160°B ． 150°C ． 140°D ． 120°【考点】 圆周角定理；垂径定理． 【专题】 压轴题． 【分析】 利用垂径定理得出=，进而求出∠ BOD=40 °，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】 解：∵线段 AB 是⊙ O 的直径，弦 CD 丄 AB ，∴ = ， ∵∠ CAB=20 °，∴∠ BOD=40 °，∴∠ AOD=140 °．故选： C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠ BOD 的度数是解题关键．9．如图，△ ABC 的边 AC 与⊙ O 相交于 C、 D 两点，且经过圆心O，边 AB 与⊙ O 相切，切点为 B．已知∠ A=30 °，则∠ C 的大小是（）A． 30°B ． 45°C． 60°D． 40°【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】根据切线的性质由 AB 与⊙ O 相切得到 OB ⊥AB ，则∠ ABO=90 °，利用∠ A=30 °得到∠ AOB=60 °，再根据三角形外角性质得∠AOB= ∠ C+ ∠OBC ，由于∠ C=∠ OBC ，所以∠C=AOB=30 °．【解答】解：连结 OB，如图，∵AB 与⊙ O 相切，∴OB ⊥ AB ，∴∠ ABO=90 °，∵∠ A=30 °，∴∠ AOB=60 °，∵∠ AOB= ∠ C+∠ OBC ，而∠ C=∠ OBC ，∴∠ C=AOB=30 °．故选： A ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．210．对于二次函数 y=（ x﹣ 1） +2 的图象，下列说法正确的是（）A ．开口向下B．对称轴是 x= ﹣1C．顶点坐标是（ 1， 2）D．与 x 轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】 根据抛物线的性质由 a=1 得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（ 1，2），对称轴为直线 x=1 ，从而可判断抛物线与 x 轴没有公共点．21， 2），对称轴为【解答】 解：二次函数 y= （ x ﹣1） +2 的图象开口向上，顶点坐标为（ 直线 x=1 ，抛物线与 x 轴没有公共点． 故选： C ． 2【点评】 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=a （ x ﹣y=ax +bx+c （a≠0）的顶点式为2，的顶点坐标是（﹣， ），对称轴直线x= ﹣b2a ，当 a ＞0） +2 2时，抛物线 y=ax +bx+c （ a≠0）的开口向上，当 a ＜ 0 时，抛物线 y=ax +bx+c （ a≠0）的开口向下．11．二次函数 2y=ax +bx+c （a ， b ， c 为常数，且 a≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： X ﹣ 1 0 1 3 y ﹣ 1 3 5 3 下列结论：（ 1） ac ＜ 0；（ 2）当 x ＞ 1 时， y 的值随 x 值的增大而减小．2（3） 3 是方程 ax +（ b ﹣1） x+c=0 的一个根；（4）当﹣ 1＜ x ＜ 3 时， ax +（ b ﹣ 1） x+c ＞ 0． 其中正确的个数为（ ）A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ． 1 个【考点】 二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点；二次函数与不等式（组）． 【专题】 压轴题；图表型． 【分析】 根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x= ，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】 解：（ 1）由图表中数据可得出： x=1 时， y=5 ，所以二次函数 y=ax 2 +bx+c 开口向 下， a ＜ 0；又 x=0 时， y=3，所以 c=3＞ 0，所以 ac ＜ 0，故（ 1）正确；（2）∵二次函数 y=ax 2+bx+c 开口向下，且对称轴为 x==，∴当 x≥ 时， y 的值随x 值的增大而减小，故（ 2）错误；2（3）∵ x=3 时， y=3，∴ 9a+3b+c=3 ，∵ c=3，∴ 9a+3b+3=3 ，∴ 9a+3b=0，∴3 是方程 ax +（b ﹣ 1） x+c=0 的一个根，故（ 3）正确；2 2，∵ x=32（4）∵ x= ﹣1 时， ax +bx+c= ﹣ 1，∴ x= ﹣ 1 时， ax +（ b ﹣ 1） x+c=0时， ax +（ b﹣1） x+c=0 ，且函数有最大值，∴当﹣ 1＜ x ＜ 3 时， ax 2+（ b ﹣1） x+c ＞ 0，故（ 4）正确．故选： B ．【点评】 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交 点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12．如图， P 为⊙ O 的直径 BA 延长线上的一点， PC 与⊙ O 相切，切点为 C ，点 D 是⊙上 一点，连接 PD ．已知 PC=PD=BC ．下列结论：（ 1） PD 与⊙ O 相切；（ 2）四边形 PCBD 是菱形；（ 3） PO=AB ；（ 4）∠ PDB=120 °．其中正确的个数为（）A ． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）利用切线的性质得出∠ PCO=90 °，进而得出△ PCO≌△ PDO（ SSS），即可得出∠PCO=∠ PDO=90 °，得出答案即可；（2）利用（ 1）所求得出：∠ CPB= ∠ BPD ，进而求出△ CPB≌△ DPB （ SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△ PCO≌△ BCA （ ASA ），进而得出CO= PO=AB ；（4）利用四边形 PCBD 是菱形，∠ CPO=30°，则 DP=DB ，则∠ DPB= ∠DBP=30 °，求出即可．【解答】解：（ 1）连接 CO， DO，∵PC 与⊙ O 相切，切点为 C，∴∠ PCO=90°，在△ PCO 和△PDO 中，，∴△ PCO≌△ PDO（ SSS），∴∠ PCO=∠ PDO=90 °，∴PD 与⊙ O 相切，故（ 1）正确；（2）由（ 1）得：∠ CPB=∠ BPD，在△ CPB 和△DPB 中，，∴△ CPB≌△ DPB （ SAS ），∴BC=BD ，∴P C=PD=BC=BD ，∴四边形 PCBD 是菱形，故（ 2）正确；（3）连接 AC ，∵PC=CB ，∴∠ CPB=∠ CBP，∵AB 是⊙ O 直径，∴∠ ACB=90 °，在△ PCO 和△BCA 中，，∴△ PCO≌△ BCA （ASA ），∴AC=CO ，∴AC=CO=AO ，∴∠ COA=60 °，∴∠ CPO=30°，∴CO= PO=AB ，∴PO=AB ，故（ 3）正确；（4）∵四边形 PCBD 是菱形，∠ CPO=30°，∴DP=DB ，则∠ DPB= ∠ DBP=30 °，∴∠ PDB=120 °，故（ 4）正确；正确个数有 4 个，故选： A ．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．二、填空题：（每题 4 分，共 24 分）13．若关于 x 的一元二次方程x 2﹣ 2x﹣ k=0 没有实数根，则k 的取值范围是k＜﹣ 1 ．【考点】根的判别式．【分析】根据关于 x 的一元二次方程 x2﹣ 2x﹣ k=0 没有实数根，得出△=4+4k ＜ 0，再进行计算即可．【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣ 2x﹣ k=0 没有实数根，∴△ =（﹣ 2）2﹣ 4×1×（﹣ k） =4+4k ＜ 0，∴k 的取值范围是 k＜﹣ 1；故答案为： k＜﹣ 1．【点评】本题考查了一元二次方程0，方程有两个不相等的实数根；当实数根．22ax +bx+c=0（a≠0）的根的判别式△ =b ﹣ 4ac：当△＞△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有14．已知一元二次方程x2﹣ 3x﹣3=0 的两根为 a 与 b，则的值是﹣ 1 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3， ab=﹣ 3，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：根据题意得a+b=3， ab=﹣ 3，所以原式 ===﹣ 1．故答案为﹣ 1．2【点评】本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1x2= ．15．如图，点 A 、B 、P 在⊙ O 上，∠ APB=50 °，若 M 是⊙ O 上的动点，则等腰△ ABM 顶角的度数为 50°或 80°或 130°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】首先连接 AM ， BM ，分别从若点M 在优弧 APB 上与若点M 在劣弧 AB 上，根据圆周角定理与等腰三角形的性质，即可求得等腰△ ABM 顶角的度数．【解答】解：连接 AM ， BM ，① 若点 M 在优弧 APB 上，∴∠ M= ∠ APB=50 °，若AM=BM ，则等腰△ ABM 顶角的度数为 50°；若AM=AB 或 BM=AB ，则等腰△ABM 顶角的度数为： 180°﹣2∠ M=80 °；② 若点 M 在劣弧 AB 上，则∠ M=180 °﹣∠ APB=130 °，此时∠ M 是顶角．∴等腰△ ABM 顶角的度数为：50°或 80°或 130°．故答案为： 50°或 80°或 130°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．16．如图所示，在△ABC 中，∠ B=40 °，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转至△ ADE 处，使点 B 落在 BC 延长线上的 D 点处，∠ BDA=45 °，则∠ BDE= 85°．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得∠ADE= ∠B=40 °，然后计算∠BDA+ ∠ADE 即可．【解答】解：∵△ ABC 绕点 A 逆时针旋转至△ADE 处，使点 B 落在 BC 延长线上的 D 点处，∴∠ ADE= ∠ B=40 °，∴∠ BDE= ∠BDA+ ∠ ADE=45 °+40 °=85°．故答案为85°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半径为 2 的⊙ P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙ P 沿 x 轴正方向平移，使⊙P 与 y 轴相切，则平移的距离为 1 或 5 ．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．【分析】平移分在 y 轴的左侧和 y 轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙ P 位于 y 轴的左侧且与 y 轴相切时，平移的距离为1；当⊙ P 位于 y 轴的右侧且与 y 轴相切时，平移的距离为 5．故答案为： 1 或 5．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．218．已知二次函数y=ax +bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：2① b ＞ 4ac；②abc＞ 0；③ 2a﹣ b=0 ；④8a+c＜ 0；⑤9a+3b+c＜ 0．其中结论正确的是①②⑤．（填正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：① 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△ =b2﹣ 4ac＞ 0，∴ b2＞4ac，故① 正确；② 抛物线开口向上，得：a＞ 0；抛物线的对称轴为x=﹣=1， b=﹣ 2a，故 b＜ 0；抛物线交y 轴于负半轴，得：c＜0；所以 abc＞ 0；故② 正确；③ ∵抛物线的对称轴为x= ﹣=1 ， b=﹣ 2a，∴2a+b=0 ，故 2a﹣ b=0 错误；④ 根据② 可将抛物线的解析式化为：y=ax 2﹣2ax+c （a≠0）；由函数的图象知：当x= ﹣ 2 时， y＞ 0；即 4a﹣（﹣ 4a） +c=8a+c ＞0，故④ 错误；⑤ 根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1， 0）关于对称轴的对称点是（3， 0）；当x= ﹣ 1 时， y＜ 0，所以当 x=3 时，也有 y＜ 0，即 9a+3b+c＜ 0；故⑤ 正确；所以这结论正确的有①②⑤ ．故答案为：①②⑤ ．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答下列各题（共60 分）19．解方程（1） x2﹣ 2x﹣ 1=0．2（2）（ x﹣1） +2x （x﹣ 1） =0．【考点】解一元二次方程 -因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上 1 变形后，开方即可求出解；（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0 转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：（ 1）方程移项得： x2﹣ 2x=1，2﹣2x+1=22配方得： x，即（ x﹣ 1） =2，开方得： x﹣ 1=± ，则 x1=1+， x2=1 ﹣；（2）分解因式得：（ x﹣ 1）[ （ x﹣ 1） +2x] =0，可得 x﹣ 1=0 或 3x﹣ 1=0，解得： x1=1， x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE ，若AF=4 ． AB=7 ．（1）旋转中心为点 A ；旋转角度为90°；（2）求 DE 的长度；（3）指出 BE 与 DF 的关系如何并说明理由．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据旋转的性质，点 A 为旋转中心，对应边AB 、 AD 的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF ， AD=AB ，然后根据DE=AD ﹣ AE 计算即可得解；（3）根据旋转可得△ ABE 和△ADF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF ，全等三角形对应角相等可得∠ABE= ∠ ADF ，然后求出∠ABE+ ∠F=90 °，判断出BE⊥ DF．【解答】解：（ 1）旋转中心为点 A ，旋转角为∠BAD=90 °；（2）∵△ ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE ，∴A E=AF=4 ， AD=AB=7 ，∴D E=AD ﹣ AE=7 ﹣4=3 ；（3） BE 、 DF 的关系为： BE=DF ， BE⊥ DF．理由如下：∵△ ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ ABE ，∴△ABE ≌△ ADF ，∴BE=DF ，∠ ABE= ∠ ADF ，∵∠ADF+ ∠ F=180 °﹣ 90°=90°，∴∠ ABE+∠F=90°，∴B E ⊥DF，∴B E 、DF 的关系为： BE=DF ， BE ⊥ DF．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．四边形ABCD 是正方形， E、 F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且DE=BF ，连接AE 、AF 、 EF．（1）试判断△ AEF 的形状，并说明理由；（2）填空：△ ABF 可以由△ ADE 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）若 BC=8，则四边形AECF 的面积为64．（直接写结果）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD ，∠ DAB= ∠ ABF= ∠ D=90 °，证△ADE ≌△ ABF ，推出 AE=AF ，∠ DAE= ∠ FAB 即可．（2）根据全等三角形性质和旋转的性质得出即可．（3）求出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 面积，求出正方形的面积即可．【解答】解：（ 1）△ AEF 是等腰直角三角形，理由是：∵四边形 ABCD 是正方形， F 是 BC 延长线上一点，∴ A B=AD ，∠ DAB= ∠ ABF= ∠D=90 °，在△ ADE 和△ ABF 中，，∴△ ADE ≌△ ABF （ SAS ）∴ A E=AF ，∠ DAE= ∠ FAB ， ∵∠ DAB= ∠ DAE+ ∠ BAE=90 °， ∴∠ FAE= ∠DAB=90 °，即△ AEF 是等腰直角三角形．（2） △ ABF 可以由 △ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90°得到的，故答案为： A ， 90．（ 3）∵△ ADE ≌△ ABF ，∴SADE =S △ ABF， ∴四边形 AECF 的面积 S=S 四边形 ABCE +S △ABF=S 四边形 ABCE +S △ADE =S 正方形ABCD =8×8 =64，故答案为： 64．【点评】 本题考查了旋转性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．22．如图， AD 为 △ ABC 外接圆的直径， AD ⊥ BC ，垂足为点 F ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E ，连接 BD ，CD ．（ 1）求证： BD=CD ；（ 2）请判断 B ，E ， C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上并说明理由．【考点】 确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系． 【专题】 证明题；探究型．【分析】 （1）利用等弧对等弦即可证明．（ 2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD= ∠CBD 再等量代换得出∠ DBE= ∠ DEB ，从而证明 DB=DE=DC ，所以 B ， E ，C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上．【解答】 （1）证明：∵ AD 为直径， AD ⊥ BC ， ∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD ．（2）解： B ， E， C 三点在以 D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由（ 1）知：，∴∠ 1=∠ 2，又∵∠ 2=∠3，∴∠ 1=∠ 3，∴∠ DBE= ∠3+∠ 4，∠ DEB= ∠1+∠ 5，∵BE 是∠ ABC 的平分线，∴∠ 4=∠ 5，∴∠ DBE= ∠DEB ，∴DB=DE ．由（ 1）知： BD=CD∴DB=DE=DC ．∴B ， E， C 三点在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上．（7 分）【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．23．（ 10 分）（新疆）如图， AB 是⊙ O 的直径，点F，C 是⊙ O 上两点，且== ，连接 AC ， AF ，过点 C 作 CD ⊥ AF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D．（1）求证： CD 是⊙ O 的切线；（2）若 CD=2 ，求⊙ O 的半径．【考点】切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）连结 OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC= ∠ BAC ，而∠OAC= ∠ OCA ，则∠ FAC=∠ OCA ，可判断OC∥ AF ，由于 CD⊥ AF ，所以 OC⊥ CD ，然后根据切线的判定定理得到CD 是⊙ O 的切线；（2）连结 BC，由 AB 为直径得∠ ACB=90 °，由= =得∠ BOC=60 °，则∠BAC=30 °，所以∠ DAC=30 °，在 Rt△ ADC 中，利用含30 度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在 Rt△ ACB 中，利用含30 度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4 ，AB=2BC=8 ，所以⊙ O 的半径为 4．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠ FAC= ∠ BAC ，∵OA=OC ，∴∠ OAC= ∠ OCA ，∴∠ FAC= ∠ OCA ，∴OC∥ AF ，∵CD ⊥ AF ，∴OC⊥ CD ，∴CD 是⊙ O 的切线；（2）解：连结 BC ，如图，∵AB 为直径，∴∠ACB=90 °，∵ = = ，∴∠ BOC=×180°=60 °，∴∠ BAC=30 °，∴∠ DAC=30 °，在 Rt△ ADC 中， CD=2，∴AC=2CD=4，在 Rt△ ACB 中， BC= AC=×4 =4 ，∴A B=2BC=8 ，∴⊙ O 的半径为 4．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30 度的直角三角形三边的关系．24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入 3 株时，平均单株盈利 3 元；以同样的栽培条件，若每盆增加 1 株，平均单株盈利就减少元．要使每盆的盈利达到10 元，每盆应该植多少株【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣）元，由题意得（ x+3）（ 3﹣） =10 求出即可．【解答】解：设每盆花苗增加 x 株，则每盆花苗有（ x+3）株，平均单株盈利为：（3﹣）元，由题意得：（ x+3 ）（ 3﹣）=10 ．2解这个方程，得x1=1， x2=2，则3+1=4 ， 2+3=5，答：每盆应植 4 株或者 5 株．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利 =总盈利得出方程是解题关键．25．（ 10 分）（牡丹江）如图，抛物线2y=x +bx+c 经过点（ 1，﹣ 4）和（﹣ 2， 5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若与 x 轴的两个交点为 A ， B，与 y 轴交于点 C．在该抛物线上是否存在点 D ，使得△ABC 与△ABD 全等若存在，求出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由2．注：抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴是 x=﹣【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线 y=x2 +bx+c 经过点（ 1，﹣ 4）和（﹣ 2， 5），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；2（2）首先由抛物线y=ax +bx+c 的对称轴是x=﹣，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对称的性质，点 C 关于 x=1 又由抛物线的与 y 轴交于点【解答】解：（ 1）∵抛物线的对称点D 即为所求，利用 SSS 即可判定△ABC ≌△ BAD ，C，即可求得点 C 的坐标，由对称性可求得 D 点的坐标．2y=x +bx+c 经过点（ 1，﹣ 4）和（﹣ 2， 5），∴，解得：．故抛物线的解析式为：y=x2﹣ 2x﹣ 3．（2）存在．∵抛物线y=x 2﹣ 2x﹣3 的对称轴为：x= ﹣=1，∴根据轴对称的性质，点 C 关于 x=1 的对称点 D 即为所求，此时， AC=BD ，BC=AD ，在△ ABC 和△ BAD 中，∵，∴△ ABC ≌△ BAD （ SSS）．2得y= ﹣ 3，则 C（ 0，﹣ 3）， D （2，﹣ 3）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与二次函数的对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．。
初中数学试卷马鸣风萧萧2015-2016学年山东省临沂市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和22．下列图形中，中心对称图形有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能4．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a 的值是( )A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．25．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、)A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于(A．115°B．120°C．125°D．145°6．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到2013年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为( )A．10% B．15% C．20% D．25%7．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c 的函数关系式为( )A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+68．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )A．160°B．150°C．140°D．120°9．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°10．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点11．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个12．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：（每题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是__________．14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为a与b，则的值是__________．15．如图，点A、B、P在⊙O上，∠APB=50°，若M是⊙O上的动点，则等腰△ABM顶角的度数为__________．16．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，∠BDA=45°，则∠BDE=__________．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为__________．18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是__________．（填正确结论的序号）三、解答下列各题（共60分）19．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0．（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0．20．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为__________；旋转角度为__________；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．21．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心__________ 点，按顺时针方向旋转__________度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为__________．（直接写结果）22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．23．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF 交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD 全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣．2015-2016学年山东省临沂市九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，本题满分共36分，）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是( )A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．2．下列图形中，中心对称图形有( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形．中心对称图形有3个．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能【考点】根的判别式．【分析】先计算判别式的值得到△=4k2+4，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：△=4k2﹣4×（﹣1）=4k2+4，∵4k2≥0，∴4k2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a 的值是( )A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣，x1x2=，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．【解答】解：依题意△＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0，即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a，∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a，∴﹣=1﹣a，解得：a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1﹣x1x2+x2=1﹣a，得出x1+x2﹣x1x2=1﹣a是解决问题的关键．5．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )A．115°B．120°C．125°D．145°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先利用互余计算出∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAB′等于旋转角，然后利用邻补角计算∠BAB′的度数即可．【解答】解：∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=60°，∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′等于旋转角，且∠BAB′=180°﹣∠BAC=120°，∴旋转角等于120°．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到2013年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为( )A．10% B．15% C．20% D．25%【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x，2011年的人均收入×（1+平均增长率）2=2013年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．【解答】解：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：7200（1+x）2=8712，解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．答：该村人均收入的年平均增长率为10%．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．7．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c 的函数关系式为( )A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8 D．y=﹣2x2+4x+6【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】抛物线y=ax2+bx+c的形状与抛物线y=﹣2x2相同，a=﹣2．y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），利用交点式求表达式即可．【解答】解：根据题意a=﹣2，所以设y=﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式y=﹣2（x+1）（x﹣3），即是y=﹣2x2+4x+6．故选D．【点评】本题考查了抛物线的形状系数的关系，本题用交点式比较容易解．8．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( )A．160°B．150°C．140°D．120°【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】压轴题．【分析】利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．9．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°【考点】切线的性质．【专题】计算题．【分析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．【解答】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∴∠C=AOB=30°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．10．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．11．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．【专题】压轴题；图表型．【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：（1）由图表中数据可得出：x=1时，y=5，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；（2）∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；（4）∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．其中正确的个数为( )A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）利用切线的性质得出∠PCO=90°，进而得出△PCO≌△PDO（SSS），即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可；（2）利用（1）所求得出：∠CPB=∠BPD，进而求出△CPB≌△DPB（SAS），即可得出答案；（3）利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA（ASA），进而得出CO=PO=AB；（4）利用四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，则DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，求出即可．【解答】解：（1）连接CO，DO，∵PC与⊙O相切，切点为C，∴∠PCO=90°，在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO（SSS），∴∠PCO=∠PDO=90°，∴PD与⊙O相切，故（1）正确；（2）由（1）得：∠CPB=∠BPD，在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB（SAS），∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四边形PCBD是菱形，故（2）正确；（3）连接AC，∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA（ASA），∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故（3）正确；（4）∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故（4）正确；正确个数有4个，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的判定与性质和全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识，熟练利用全等三角形的判定与性质是解题关键．二、填空题：（每题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，则k的取值范围是k＜﹣1．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，得出△=4+4k＜0，再进行计算即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=4+4k＜0，∴k的取值范围是k＜﹣1；故答案为：k＜﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为a与b，则的值是﹣1．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系得到a+b=3，ab=﹣3，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算．【解答】解：根据题意得a+b=3，ab=﹣3，所以原式===﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．15．如图，点A、B、P在⊙O上，∠APB=50°，若M是⊙O上的动点，则等腰△ABM顶角的度数为50°或80°或130°．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】首先连接AM，BM，分别从若点M在优弧APB上与若点M在劣弧AB上，根据圆周角定理与等腰三角形的性质，即可求得等腰△ABM顶角的度数．【解答】解：连接AM，BM，①若点M在优弧APB上，∴∠M=∠APB=50°，若AM=BM，则等腰△ABM顶角的度数为50°；若AM=AB或BM=AB，则等腰△ABM顶角的度数为：180°﹣2∠M=80°；②若点M在劣弧AB上，则∠M=180°﹣∠APB=130°，此时∠M是顶角．∴等腰△ABM顶角的度数为：50°或80°或130°．故答案为：50°或80°或130°．【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．16．如图所示，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，∠BDA=45°，则∠BDE=85°．【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质得∠ADE=∠B=40°，然后计算∠BDA+∠ADE即可．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC延长线上的D点处，∴∠ADE=∠B=40°，∴∠BDE=∠BDA+∠ADE=45°+40°=85°．故答案为85°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．17．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为1或5．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质；平移的性质．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为：1或5．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是①②⑤．（填正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；所以这结论正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答下列各题（共60分）19．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0．（2）（x﹣1）2+2x（x﹣1）=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解；（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，则x1=1+，x2=1﹣；（2）分解因式得：（x﹣1）[（x﹣1）+2x]=0，可得x﹣1=0或3x﹣1=0，解得：x1=1，x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．20．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为点A；旋转角度为90°；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD﹣AE计算即可得解；（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．【解答】解：（1）旋转中心为点A，旋转角为∠BAD=90°；（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE=AF=4，AD=AB=7，∴DE=AD﹣AE=7﹣4=3；（3）BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=180°﹣90°=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为64．（直接写结果）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，证△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠FAB即可．（2）根据全等三角形性质和旋转的性质得出即可．（3）求出四边形AECF的面积等于正方形ABCD面积，求出正方形的面积即可．【解答】解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，∴AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAE=∠DAB=90°，即△AEF是等腰直角三角形．（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到的，故答案为：A，90．（3）∵△ADE≌△ABF，∴S ADE=S△ABF，∴四边形AECF的面积S=S四边形ABCE+S△ABF=S四边形ABCE+S△ADE=S正方形ABCD=8×8=64，故答案为：64．【点评】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．22．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．【考点】确定圆的条件；圆心角、弧、弦的关系．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件．23．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF 交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．【考点】切线的判定；三角形三边关系；圆周角定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为4．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．24．某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（3﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（3﹣0.5x）=10求出即可．【解答】解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，平均单株盈利为：（3﹣0.5x）元，由题意得：（x+3）（3﹣0.5x）=10．化简，整理，的x2﹣3x+2=0．解这个方程，得x1=1，x2=2，则3+1=4，2+3=5，答：每盆应植4株或者5株．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD 全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，利用SSS即可判定△ABC≌△BAD，又由抛物线的与y轴交于点C，即可求得点C的坐标，由对称性可求得D点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点（1，﹣4）和（﹣2，5），∴，解得：．故抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴为：x=﹣=1，∴根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，此时，AC=BD，BC=AD，在△ABC和△BAD中，∵，∴△ABC≌△BAD（SSS）．在y=x2﹣2x﹣3中，令x=0，得y=﹣3，则C（0，﹣3），D（2，﹣3）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与二次函数的对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．。
