2019版高考理科数学一轮复习精选提分练含最新2018模拟

一、选择题1．(2017·郑州模拟)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 152．已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *，那么“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n <nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7<－1，则( ) A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 74．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2 013<0B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 013>0D ．若a 4>0，则S 2 014>05．已知数列{a n }满足：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫94，3B.⎣⎡⎭⎫94，3 C ．(1,3) D ．(2,3)6．已知数列{a n}的通项公式为a n＝log3nn＋1(n∈N*)，则使S n<－4成立的最小自然数n为()A．83 B．82 C．81 D．807．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项积为T n.若a m＋1·a m－1＝2a m(m≥2，且m∈N*)，T2m－1＝512，则m的值为()A．4 B．5 C．6 D．78．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，给出下列结论：①若d<0，则数列{S n}有最大项；②若数列{S n}有最大项，则d<0；③若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0；④若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列．其中错误的是()A．①②B．③C．④D．③④二、填空题9．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n.若S nT n＝7n＋14n＋27(n∈N*)，则a7b7＝________.10．在数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，数列{a n a n＋1}是公比为q (q>0)的等比数列，则数列{a n}的前2n项和S2n＝____________.11．已知数列{a n}是单调递增数列，且对于任意的n∈N*，a n＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．12．(2017·兰州调研)已知各项均为正数的等比数列{a n}，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a8＋a7的最小值为________．答案精析1．C [∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数，∴a 1＋6d 为常数．∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数．] 2．A [由题意，函数y ＝f (x )，x ∈R ，数列{a n }的通项公式是a n ＝f (n )，n ∈N *.若“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”，则“数列{a n }是递增数列”一定成立；若“数列{a n }是递增数列”，则“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”不一定成立，举例说明，如函数在[1,2]上先减后增，且在1处的函数值小．综上，“函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件，故选A.]3．D [由(n ＋1)S n <nS n ＋1，得(n ＋1)·n (a 1＋a n )2<n ·(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n <a n ＋1， 所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7<－1，所以a 8>0，a 7<0，所以数列{a n }的前7项为负值， 即S n 的最小值是S 7.]4．C [设a n ＝a 1q n －1，因为q 2 010>0，所以A ，B 不成立． 对于C ，当a 3>0时，a 1>0，因为1－q 与1－q 2 013同号，所以S 2 013>0，选项C 正确，对于D ，取数列：－1,1，－1,1，…，不满足结论，D 不成立，故选C.]5．D [根据题意，a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )n －3，n ≤7，a n －6，n >7，n ∈N *，要使{a n }是递增数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，(3－a )×7－3<a 8－6，解得2<a <3.]6．C [∵a n ＝log 3n n ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)， ∴S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.故最小自然数n 的值为81.]7．B [因为a m ＋1·a m －1＝2a m ＝a 2m (m ≥2)，所以a m ＝2(m ≥2)，所以T 2m －1＝a 1·a 2·…·a m ·…·a 2m －1＝(a 2m )m －1·a m ＝22m －1＝512，解得m ＝5.] 8．B 9.927910.⎩⎪⎨⎪⎧3(1－q n )1－q ，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1解析 ∵数列{a n a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，即a n ＋2a n ＝q ， 这表明数列{a n }的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ， 又a 1＝1，a 2＝2，∴当q ≠1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝a 1(1－q n )1－q ＋a 2(1－q n )1－q ＝3(1－q n )1－q； 当q ＝1时，S 2n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )综上所述，S 2n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(1－q n )1－q ，q >0且q ≠1，3n ，q ＝1.11．(－3，＋∞)解析 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n ＋1)(n ∈N *)恒成立．而当n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．12．54解析 设{a n }的公比为q ，由2a 4＋a 3－2a 2－a 1＝8，得(2a 2＋a 1)·q 2－(2a 2＋a 1)＝8，∴(2a 2＋a 1)(q 2－1)＝8，显然q 2>1,2a 8＋a 7＝(2a 2＋a 1)q 6＝8q 6q 2－1，令t ＝q 2，则2a 8＋a 7＝8t 3t －1，设函数f (t )＝8t 3t －1(t >1)，f ′(t )＝8t 2(2t －3)(t －1)2，易知当t ∈⎝⎛⎭⎫1，32时，f (t )为减函数，当t ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (t )为增函数，∴f (t )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫32＝54，故2a 8＋a 7的最小值为54.。

一、选择题1．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．02．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝2sin 2xB ．y ＝2cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝－cos 2x3．在△ABC 中，锐角A 满足sin 4A －cos 4A ≤sin A －cos A ，则( )A ．0<A ≤π6B ．0<A ≤π4C.π6≤A ≤π4 D.π4≤A ≤π34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，A ＝60°，若三角形有两解，则b 的取值范围为( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1，233 C ．(1,2) D.⎝⎛⎭⎫233，2 5．将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 6．把函数y ＝2cos 2x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的函数图象是( )7．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，3π2，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,2)C ．[1,2]D ．[1,2)8．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2一定是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称． 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．③④C ．①③D ．②③二、填空题9.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.10．(教材改编)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])的单调递增区间是________．11．已知在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为________．12．(2018届呼和浩特市考试)如图，现有一个∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB ，现欲在弧AB 上取不同于A ，B 的点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)，半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ，若OA ＝1 cm ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ，求所需渔网长度(即图中弧AC ，半径OC 和线段CD 长度之和)的最大值为________．答案精析1．D 2.A3．B [∵sin 4A －cos 4A ＝(sin 2A －cos 2A )·(sin 2A ＋cos 2A )＝sin 2A －cos 2A ，∴原不等式转化为sin 2A －cos 2A ＝(sin A －cos A )(sin A ＋cos A )≤sin A －cos A ，∴(sin A －cosA )(sin A ＋cos A －1)≤0.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4∈(1，2]， ∴sin A ＋cos A －1>0，∴sin A －cos A ≤0，∴0<A ≤π4.] 4．B [∵在△ABC 中，a ＝1，A ＝60°，∴由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝132＝233， ∴b ＝233sin B ，B ＋C ＝120°. ∵三角形有两解，∴A <B <180°－A ，且B ≠90°，∴60°<B <120°，且B ≠90°，即32<sin B <1，∴b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1，233.] 5．B [将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象．令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，故函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．令k ＝0，得函数的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选B.] 6．A 7.B8．D [因为函数的最小正周期为π， 所以x 1－x 2＝k 2π，k ∈Z ，故①不正确； 因为4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故②正确； 因为当x ＝π6时，y ＝0，故③正确；因为当x ＝－π6时，y ＝23， 所以x ＝－π6不是y ＝f (x )图象的对称轴，故④不正确．]9．3 10.⎣⎡⎦⎤π3，5π611．[2，6)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ S △ABC ＝12ac sin B ＝3，2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，可得⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝4，sin B ＝32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得ac ＝b 2sin 2B·sin A sin C ， 所以4＝43b 2sin A sin(120°－A )， 即b 2＝3sin A sin (120°－A )＝3sin A ⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14(1－cos 2A )＝6sin (2A －30°)＋12， 因为30°<A <90°，所以30°<2A －30°<150°，1<sin(2A －30°)＋12≤32， 所以632≤b 2<61，即4≤b 2<6，所以2≤b < 6. 12.π＋6＋236解析 由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ， 得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ， 在△OCD 中，由正弦定理，得CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 设渔网的长度为f (θ)，可知f (θ)＝θ＋1＋23sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ， 由f ′(θ)＝0，得θ＝π6，又当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，f ′(θ)>0， 当θ∈⎝⎛⎭⎫π6，π3时，f ′(θ)<0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝π＋6＋236， 根据函数f (θ)的单调性，∴当θ＝π6时，f (θ)取最大值， 故所需渔网长度的最大值是π＋6＋236.。

一、选择题1．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)等于( )A ．8B ．－8C ．±8 D.982．数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和为( ) A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.3n 2n ＋13．设等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5等于( )A ．54B ．56C ．58D ．574．在等差数列{a n }中，3a 4＝7a 7，且a 1>0，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的取值为( )A ．8或9B ．8C ．9D ．105．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式b n 为( )A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2nD ．2n ＋1 6．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，则数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( ) A ．n ·2nB ．(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n ＋1D ．2n ＋17．若在数列{a n }中，对任意正整数n ，都有a 2n ＋a 2n ＋1＝p (p 为常数)，则称数列{a n }为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{a n }为“等方和数列”，其前n 项和为S n ，且“公方和”为1，首项a 1＝1，则S 2 014的最大值与最小值之和为( )A ．2 014B ．1 007C ．－1D ．28．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016·(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( )A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题9．在△ABC 中，sin B 既是sin A ，sin C 的等差中项，又是sin A ，sin C 的等比中项，则B ＝________.10．设P (x ，y )是函数y ＝f (x )的图象上一点，向量a ＝(1，(x －2)5)，b ＝(1，y －2x )，且满足a ∥b .已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝36，则a 1＋a 2＋…＋a 9＝________.11．已知数列a n －1＝－n 2＋52λn ＋5λ2－2λ＋1为单调递减数列，则λ的取值范围是__________________．12．设首项不为零的等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若不等式a 2n ＋S 2n n 2≥λa 21对任意a n 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为________．答案精析1．B [由题意，得a 2－a 1＝d ＝－1＋94－1＝83，b 22＝9， 又因为b 2是等比数列中的第三项，所以与第一项同号，即b 2＝－3，所以b 2(a 2－a 1)＝－8.故选B.]2．B [∵11＋2＋3＋…＋n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴数列1，11＋2，11＋2＋3，11＋2＋3＋4，…，11＋2＋3＋…＋n的前n 项和为 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1 ＝2n n ＋1，故选B.] 3．D 4.C5．A [根据题意，在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝9，则公差d ＝2， 则a n ＝2n －1(n ∈N *)，对于{b n }，由b n ＋1＝2b n －1，可得b n ＋1－1＝2(b n －1)，即{b n －1}是公比为2的等比数列， 且首项b 1－1＝3－1＝2，则b n －1＝2n ，b n ＝2n ＋1.]6．C [∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n ，∴a 2n ＝102n ，即a n ＝10n ，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg 10n ＝n ·2n －1， ∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.]7．D [由题意可知，a 2n ＋a 2n ＋1＝1，首项a 1＝1，∴a 2＝0，a 3＝±1，a 4＝0，a 5＝±1，…，∴从第2项起，数列的奇数项为1或－1，偶数项为0，∴S 2 014的最大值为1 007，最小值为－1 005，∴S 2 014的最大值与最小值之和为2.]8．D [∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ，则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0，化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0，∵m 2＋n 2－mn ＋2 016>0，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0，∴a 4＋a 2 013＝2，∴S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝2 016(a 4＋a 2 013)2＝2 016. 又a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013，故选D.] 9.π3解析 由题意及正弦定理可知2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3. 10．18解析 ∵向量a ＝(1，(x －2)5)，b ＝(1，y －2x )，且a ∥b ， ∴y －2x －(x －2)5＝0，即y ＝(x －2)5＋2x ，∴f (x )＝(x －2)5＋2x .令g (x )＝f (x ＋2)－4＝x 5＋2x ， 则函数g (x )为奇函数，且是定义域内的增函数， 由f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝36，得g (a 1－2)＋g (a 2－2)＋…＋g (a 9－2)＝0，又数列{a n }是公差不为0的等差数列，∴g (a 5－2)＝0，即a 5－2＝0，a 5＝2，∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2＝18.11．(0，＋∞)解析 ∵数列a n －1＝－n 2＋52λn ＋5λ2－2λ＋1为单调递减数列， ∴当n ≥2时，a n －1>a n ，∴－n 2＋52λn ＋5λ2－2λ＋1>－(n ＋1)2＋52λ(n ＋1)＋5λ2－2λ＋1， 即52λ<2n ＋1， 由于数列{2n ＋1}在n ≥2时单调递增，因此其最小值为5，∴52λ<5，∴2λ>1，∴λ>0. 12.15解析 在等差数列{a n }中，首项不为零，即a 1≠0，则数列的前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2.由不等式a 2n ＋S 2n n 2≥λa 21，得a 2n ＋n 2(a 1＋a n )24n 2≥λa 21， ∴54a 2n ＋12a 1a n ＋14a 21≥λa 21，即54⎝⎛⎭⎫a n a 12＋a n 2a 1＋14≥λ. 设t ＝a n a 1，则y ＝54t 2＋12t ＋14＝54⎝⎛⎭⎫t ＋152＋15≥15， ∴λ≤15，即λ的最大值为15.。

一、选择题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )<x 2的解集是( ) A ．(2，＋∞)∪(－∞，0]B ．RC ．[0,2)D ．(－∞，0)2．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)3．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a >－2C ．a >－6D ．a <－64．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶15．已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)6．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)7．若关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，－2)C ．(－2,2)D ．(－2,2]8．设定义域为R 的函数f (x )满足下列条件：①对任意的x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0；②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0，且f (－1)＝－1. 若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)二、填空题9．不等式2x 2－9x ＋9>0的解集为________．10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1，则方程[x 2]－[x ]－2＝0的解集为________．11．(2017·浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若存在实数a ∈[1,2]，对任意x ∈[1,2]，都有f (x )≤1，则7b ＋5c 的最大值是________．12．(2017·浙江五校联考)设实数x >0，y >0且满足x ＋y ＝k ，则使不等式⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y ≥⎝⎛⎭⎫k 2＋2k 2恒成立的k 的最大值为________．答案精析1．A 2.D 3.A4．B [∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b a. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧ －b ＋c a ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎨⎧ b ＝a 2，c ＝3a 2，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a 2＝2∶1∶3.] 5．C [把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，故只需f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，且f (1)＝x 2－3x ＋2>0即可，联立方程解得x <1或x >3.]6．A [∵x －1x <0，∴x 2－1x<0，解得x <－1或0<x <1， 由x 2－1x>0，解得x <0或x >1.故x <－1.] 7．D [当a ＝2时，－4<0恒成立；当a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， 解得－2<a <2.故－2<a ≤2.]8．D [由题设条件知f (x )是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f (x )max ＝f (1)＝－f (－1)＝1.f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立．设g (a )＝t 2－2at ，a ∈[－1,1]，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D.] 9.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞)解析 因为2x 2－9x ＋9>0，所以x <32或x >3，即解集为⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞)． 10．[－1,0)∪[2,3)解析 由[x ]2－[x ]－2＝0，得[x ]＝－1或[x ]＝2，即－1≤x <0或2≤x <3.11．－6解析 因为x ∈[1,2]，所以ax 2＋bx ＋c ≤1等价于a ≤1－bx －c x 2， 因为存在a ∈[1,2]，使得不等式a ≤1－bx －c x 2成立， 所以1－bx －c x 2≥1，即x 2＋bx ＋c －1≤0对x ∈[1,2]恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c －1≤0，4＋2b ＋c －1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ≤0，2b ＋c ≤－3， 所以7b ＋5c ＝3(b ＋c )＋2(2b ＋c )≤－6，即7b ＋5c 的最大值为－6.12．22＋ 5解析 不妨设x ≥y ，令m ＝k 2，x ＝m ＋t ，y ＝m －t,0≤t <m ，则原不等式化为⎝⎛⎭⎫m ＋t ＋1m ＋t ⎝⎛⎭⎫m －t ＋1m －t ≥⎝⎛⎭⎫m ＋1m 2，即t 2≥m 4－4m 2－1m 2恒成立，由m 4－4m 2－1m 2≤0，得m 2≤2＋5， ∴k ＝2m ≤22＋ 5.。

一、选择题1．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(－1,1)D ．(2，－3)2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和03．设正数x ，y 满足－1<x －y <2，则z ＝x －2y 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－∞，2) C ．(－2,2)D ．(2，＋∞)4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则其最大值为( )A ．10B ．12C ．14D ．155．一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( ) A ．16 B ．18 C ．20D ．366．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5D ．27．当实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)时，z ＝x ＋3y 有最大值12，则实数k的值是( ) A ．－12 B ．－9 C ．9D ．128．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元二、填空题9．已知正数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －1≤0，则z ＝4x ·2y 的最大值为________．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________． 11．已知A ，B 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0内的两个动点，向量n ＝(3，－2)，则AB →·n 的最大值是________．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则M ∩N 所构成平面区域的面积为______．答案精析1．B2．B [在平面直角坐标系中， 作出变量x ，y 的约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0的区域，如图阴影部分所示，由图可知，当z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，z 最小，z min ＝2，当z ＝2x ＋y 过点B (2,0)时，z 最大，z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为4和2.故选B.] 3．B [作出x ，y 满足的条件所对应的可行域，如图阴影部分所示，当目标函数z ＝x －2y 经过点(2,0)时，z ＝x －2y 取得最大值(不能取到)2，所以z ∈(－∞，2)，故选B.]4．A [画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l ：y ＝－3x ，平移l ，从而可知当x ＝2，y ＝4－c 时，z 取得最小值，z min ＝3×2＋4－c ＝10－c ＝5，所以c ＝5，当x ＝4＋c 3＝3，y ＝8－c 3＝1时，z 取得最大值，z max ＝3×3＋1＝10.]5．C [平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，0，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8,0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2,8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.]6．B [线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.] 7．B [画出可行域(图中阴影部分)．由图可知，当直线x ＋3y －z ＝0经过点A ⎝⎛⎭⎫－k 3，－k 3时，z ＝x ＋3y 取得最大值，且z max ＝－k 3－k ＝－4k3＝12，解得k ＝－9.]8．D [设甲、乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示．可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．] 9．32 10．3解析 由约束条件可画出可行域，利用yx 的几何意义求解．画出可行域如图中阴影部分所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点C 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴C (1,3)．∴y x 的最大值为3.11．10解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，则AB →·n ＝3(x 2－x 1)－2(y 2－y 1)＝3x 2－2y 2－(3x 1－2y 1)．令z ＝3x －2y ，画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，可知z max ＝6，z min ＝－4，则AB →·n 的最大值为z max －z min ＝10. 12．2π解析 由f (x )＋f (y )＝x 2－2x ＋y 2－2y ≤2， 得(x －1)2＋(y －1)2≤4，于是点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}表示的平面区域是以(1,1)为圆心，半径r ＝2的圆面． 同理，由f (x )－f (y )＝x 2－2x －y 2＋2y ≥0，可得(x －y )(x ＋y －2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≤0.于是点集N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}表示的平面区域就是不等式组所表示的平面区域． 所以M ∩N 所构成的平面区域如图阴影部分所示，所以S ＝12·π·r 2＝2π.。

一、选择题1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．8个2．设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 4．给出下列命题，正确命题的个数是( ) ①若a >b ，则2a >2b ； ②若a >b >0，则1a <1b；③若a >0，b >0，c >0，则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc ≥3；④若a >0，b >0，则不等式a ＋2b ab ≥92a ＋b 恒成立．A ．1B ．2C ．3D ．45．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫－∞，13 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 4＝8，且S n ＋1＝p S n ＋1，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.34 D ．47．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2B.⎣⎡⎦⎤0，32C.⎣⎡⎦⎤12，32D ．[0,1]8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC的面积为( ) A.1574B.1572C.574D.5729．(2017·台州诊断)已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，3 B.⎣⎡⎦⎤32，6 C ．[3,12]D.⎣⎡⎦⎤－32，12 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A ．－32 B ．－16 C ．16 D ．32 二、填空题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则A ∪B ＝________，(∁U A )∩B ＝________.12．(2017·台州调研)已知a ＝2x ，b ＝423，则log 2b ＝________，满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是____________．13．已知α∈R,2sin α－cos α＝5，则sin α＝________，tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 1a 2a 3…a 15＝________；设b n ＝(－1)n a n ，数列{b n }前n 项的和为S n ，则S 2 016________.15．设n 是正整数，由数列1,2,3，…，n 分别求相邻两项的和，得到一个有n －1项的新数列：1＋2,2＋3,3＋4，…，(n －1)＋n ，即3,5,7，…，2n －1.对这个新数列继续上述操作，这样得到一系列数列，最后一个数列只有一项，则最后的这个项是____________．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域为三角形，则实数k 的取值范围是________________．17．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，DC ＝1，AD ＝2，∠DAB ＝60°，点E 在线段BD 上，点F 在线段AC 上，且BE →＝λBD →，CF →＝μCA →，AE →·DF →＝4，则λ＋μ的最小值为________． 三、解答题18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos 2A ＋32＝2cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．19．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋a －1x .(1)若a ＝4，求f (x )的极值；(2)若f (x )在定义域内无极值，求实数a 的取值范围．20．已知f (x )＝(x －1)2，g (x )＝4(x －1)，数列{a n }满足：a 1＝2，a n ≠1，且(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}是等比数列； (2)若数列{b n }满足b n ＝2n －14n －1(a n －1)，求数列{b n }的前n 项和T n .21．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．(1)若f (－1)＝f (2)，且不等式x ≤f (x )≤2|x －1|＋1对x ∈[0,2]恒成立，求函数f (x )的解析式； (2)若c <0，且函数f (x )在[－1,1]上有两个零点，求2b ＋c 的取值范围．22．(2018届嘉兴一中基础测试)已知数列{x n }满足x 1＝1，x n ＋1＝2x n ＋3，求证： (1)0<x n <9； (2)x n <x n ＋1；(3)x n ≥9－8·⎝⎛⎭⎫23n －1.答案精析1．A [B ＝{(2,1)}，则子集为∅，{(2,1)}，共2个，故选A.] 2．B [由题意可得f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，导数零点为x ＝12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝－ln 2＋5>0，f (e 2)＝8－2e 2<0， 由f ⎝⎛⎭⎫1e 10f ⎝⎛⎭⎫12<0，f ⎝⎛⎭⎫12f (e 2)<0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一零点， 所以零点的个数为2，故选B.]3．D [y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得T ＝π.] 4．D [①显然由指数函数单调性可知其正确． ②∵a >b >0，∴a ab >b ab ，∴1b >1a .③若a >0，b >0，c >0， 则b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a －1＋a b ＋c b －1＋a c ＋b c －1 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3， ∵b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2， ∴⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c －3 ≥2＋2＋2－3＝3，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，∴原不等式成立． ④要证a ＋2b ab ≥92a ＋b，即证(a ＋2b )(2a ＋b )≥9ab ，即证2a 2＋5ab ＋2b 2≥9ab ， 即证a 2＋b 2≥2ab ，显然成立．]5．C [当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点A (－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.]6．B [因为数列{a n }是等比数列，由S n ＋1＝p S n ＋1，得S n ＋2＝p S n ＋1＋1，两式相减得a n ＋2a n ＋1＝p ，所以公比q ＝p ，由S n ＋1＝p S n ＋1，得a 1＋a 2＝pa 1＋1， 所以a 1＋pa 1＝pa 1＋1，即a 1＝1，由a 4＝8＝a 1p 3，得p 3＝8，所以p ＝2，故选B.]7．C [将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x,0)，0≤x ≤1.又M ⎝⎛⎭⎫1，12，C (1,1)，所以EM →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12， EC →＝(1－x,1)，所以EM →·EC →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，12·(1－x,1)＝(1－x )2＋12.因为0≤x ≤1，所以12≤(1－x )2＋12≤32，即EM →·EC →的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，32.]8．A [cos A ＝34，cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ， BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解得BD ＝7x ＝372，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.]9．C [由于f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程3x 2＋4bx ＋c ＝0有两个根x 1，x 2， 且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，令g (x )＝3x 2＋4bx ＋c ， 结合二次函数图象可得只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝12－8b ＋c ≥0，g (－1)＝3－4b ＋c ≤0，g (1)＝3＋4b ＋c ≤0，g (2)＝12＋8b ＋c ≥0，此即为关于点(b ，c )的线性约束条件，作出其对应的平面区域(图略)，f (－1)＝2b －c ，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f (－1)＝2b －c 的最值问题，由线性规划易3≤f (－1)≤12，故选C.]10．D [由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6＋π3＝0，可得πx 6＋π3＝k π，k ∈Z ， ∴x ＝6k －2，k ∈Z .∵－2<x <10，∴k ＝1，x ＝4，即A (4,0)． ∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点， ∴B ，C 两点关于A 对称，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 即x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(4,0)＝4(x 1＋x 2)＝32.故选D.]11．{x |x ≥0} {x |0≤x <2}解析 由题意可得A ∪B ＝{x |x ≥0}．(∁U A )∩B ＝{x |x <2}∩{x |0≤x <5}＝{x |0≤x <2}． 12.43(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 b ＝423＝243，所以log 2b ＝log 2243＝43log 22＝43.log a b ≤1等价于log 2x 243＝43x ≤1，即3x －43x ≥0，解得x ≥43或x <0，故x 的取值范围为(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 13.2553解析 由同角三角函数的基本关系，得sin 2α＋(2sin α－5)2＝1，解得sin α＝255，cos α＝－55， ∴tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝3. 14．3 －2 100解析 因为a 1＝2，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2，…，由此可推出数列{a n }的项是以4为周期出现的， 且a 1a 2a 3a 4＝1，所以a 1a 2a 3…a 15＝(a 1a 2a 3a 4)3·a 1a 2a 3＝a 1a 2a 3＝3. 因为b n ＝(－1)n a n ，所以b 1＝－2，b 2＝－3，b 3＝12，b 4＝13，b 5＝－2，…，所以数列{b n }的项也是以4为周期出现的， 所以S 2 016＝504(b 1＋b 2＋b 3＋b 4) ＝504⎝⎛⎭⎫－2－3＋12＋13＝－2 100. 15．2n －2(n ＋1)解析 设数列{a n }为题干一系列新数列中的第一项，则由归纳推理得a n ＝2a n －1＋2n －2(n ≥2，n ∈N *)，所以a n 2n －a n －12n －1＝14，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为14的等差数列，则a n 2n ＝12＋14(n －1)＝n ＋14，可得a n ＝2n －2(n ＋1)，即最后一个数列的项是a n ＝2n －2(n ＋1)． 16．(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析 如图，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到直线n 移动，或者从直线a 到直线b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k (x ＋1)表示的平面区域才是三角形．故实数k 的取值范围是0<k ≤23或k <－2.17.11＋463解析 AB →·AD →＝4×2×12＝4，AE →·DF →＝(AB →＋BE →)·(DA →＋AF →) ＝(AB →＋λBD →)·[－AD →＋(1－μ)AC →]＝[AB →＋λ(AD →－AB →)]·[－AD →＋(1－μ)(AD →＋DC →)] ＝[(1－λ)AB →＋λAD →]·⎣⎡⎦⎤(1－μ)4AB →－μAD →＝(1－λ)(1－μ)4×42＋λ(1－μ)4×4－4(1－λ)μ－4λμ＝4，所以8λ＋3μ＝3，所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝⎛⎭⎫8λ＋3μ＝13⎝⎛⎭⎫11＋8μλ＋3λμ ≥13⎝⎛⎭⎫11＋2 8μλ·3λμ＝11＋463， 当且仅当8μλ＝3λμ时等号成立．18．解 (1)根据二倍角公式得2cos 2A ＋12＝2cos A ，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理 得b ＝23 sin B ，c ＝23sin C ， 所以l ＝1＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C )． 因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以l ＝1＋23⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. 因为0<B <2π3，所以l ∈(2,3]．19．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝4ln x －x ＋3x(x >0)，f ′(x )＝4x －1－3x 2＝－x 2＋4x －3x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝3. 当0<x <1或x >3时，f ′(x )<0，当1<x <3时，f ′(x )>0，f (1)＝2，f (3)＝4ln 3－2， 所以f (x )的极小值为2，极大值为4ln 3－2. (2)f (x )＝a ln x －x ＋a －1x(x >0)，f ′(x )＝ax －1－a －1x 2＝－x 2＋ax －(a －1)x 2，f (x )在定义域内无极值，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域上恒成立． 即方程f ′(x )＝0在(0，＋∞)上无变号零点． 设g (x )＝－x 2＋ax －(a －1)， 则Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2≤0，g (0)≤0，解得a ＝2，所以实数a 的取值范围为{2}．20．(1)证明 由(a n －a n ＋1)g (a n )＝f (a n )(n ∈N *)，得 4(a n －a n ＋1)(a n －1)＝(a n －1)2(n ∈N *)．由题意知a n ≠1，所以4(a n －a n ＋1)＝a n －1(n ∈N *)，即3(a n －1)＝4(a n ＋1－1)(n ∈N *)，所以a n ＋1－1a n －1＝34. 又a 1＝2，所以a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是以1为首项，34为公比的等比数列． (2)解 由(1)得a n －1＝⎝⎛⎭⎫34n －1，b n ＝2n －14n －1(a n －1)＝2n －13n －1. 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23×1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n. 所以T n ＝3－n ＋13n －1. 21．解 (1)因为f (－1)＝f (2)，即1－b ＋c ＝4＋2b ＋c ，所以b ＝－1，因为当x ∈[0,2]时，都有x ≤f (x )≤2|x －1|＋1，所以f (1)＝1，即c ＝1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为f (x )在[－1,1]上有两个零点，且c <0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)≥0，f (1)≥0，c <0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c ＋1≥0，b ＋c ＋1≥0，c <0，通过线性规划知识可得－2<2b ＋c <2， 故2b ＋c 的取值范围为(－2,2)．22．证明 (1)①当n ＝1时，因为x 1＝1，所以0<x 1<9成立． ②假设当n ＝k 时，0<x k <9成立， 则当n ＝k ＋1时，x k ＋1＝2x k ＋3. 因为x k ＋1＝2x k ＋3≥3>0， 且x k ＋1－9＝2x k －6＝2(x k －3)<0，得x k ＋1<9， 所以当n ＝k ＋1时，0<x n <9亦成立． 综上，由①②可知，0<x n <9.(2)因为0<x n <9，所以x n ＋1－x n ＝－x n ＋2x n ＋3 ＝－(x n －3)(x n ＋1)>0，所以x n <x n ＋1.(3)因为0<x n <9，所以x n >x n 3. 从而x n ＋1＝2x n ＋3>23x n ＋3. 所以x n ＋1－9>23(x n －9)，即9－x n ＋1<23(9－x n )． 所以9－x n ≤⎝⎛⎭⎫23n －1(9－x 1)．故x n ≥9－8·⎝⎛⎭⎫23n －1.。

一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n 2．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2n ，n ≥2C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋1 3．(2017·丽水模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．(－2)n －1＋1B ．2n －1＋1 C ．(－2)n －1 D ．(－2)n ＋1－1 4．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( ) A.b －a nB.a －b n ＋1C.b －a n ＋1D.b －a n ＋25．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ a n ＋d ，n 2∉N *，qa n ，n 2∈N *(q 为非零常数)，若{a n }为等比数列，且首项为a (a ≠0)，公比为q ，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝a 或a n ＝q n －1 B ．a n ＝(－1)n －1a C ．a n ＝a 或a n ＝(－1)n －1a D ．a n ＝q n －1 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }中的a 12为( )A ．20 480B ．49 152C ．60 152D ．89 1507．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A ．0B ．3C ．8D ．118．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列二、填空题9．数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝________. 10．定义：称n x 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1(n ∈N *)，则数列{c n }的通项公式c n ＝________. 11．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝⎩⎨⎧ 1＋2a n 2，n 为偶数，12＋2a n －12，n 为奇数， n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________．12．已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案精析1．A 2.B 3.A 4.C 5.C6．B [由S 2＝4a 1＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝8，故a 2－2a 1＝4， 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因此数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项， 2为公比的等比数列，则a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1， 于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1， 因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n 2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，a n ＝n ·2n (n ∈N *)， 所以a 12＝12×212＝49 152，故选B.]7．B [∵{b n }为等差数列且b 3＝－2，b 10＝12， ∴b 10－b 3＝7d ＝14，∴d ＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8. ∴a n ＋1－a n ＝2n －8.∴a 8－a 7＝6，a 7－a 6＝4，…，a 2－a 1＝－6，累加得a 8－a 1＝7×(6－6)2＝0，∴a 8＝a 1＝3，故选B.] 8．A [若c n ∥b n ，可得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，a n ＋1a n ＝n ＋1n. 即a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1＝n n －1·n －1n －2·n －2n －3·…·32·21.所以a n ＝na 1， 所以数列{a n }是等差数列．易判断当c n ⊥b n 时，数列{a n }既不是等差数列也不是等比数列，故选A.]9．－ 3解析 由a n ＋1＝a n －33a n ＋1，得a 2＝a 1－33a 1＋1＝－3， a 3＝a 2－33a 2＋1＝－3－3－3＋1＝3，a 4＝a 3－33a 3＋1＝3－33＋1＝0， 所以数列{a n }的循环周期为3.故a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝－ 3. 10．4n －1 11.b n ＝2n12．[0，＋∞)解析 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，得a n ＋2n ＋2－a n n＝λ，令b n ＝a n n ， 则{b n }的奇数项和偶数项分别成首项为1，且公差为λ的等差数列， 所以b 2k －1＝1＋(k －1)λ，b 2k ＝1＋(k －1)λ，k ∈N *， 故a 2k －1＝2k －1＋(2k －1)(k －1)λ，a 2k ＝2k ＋2k (k －1)λ，k ∈N *，因为a n <a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，所以a 2k －1＝2k －1＋(2k －1)(k －1)λ<a 2k ＝2k ＋2k (k －1)λ恒成立， 同时a 2k ＝2k ＋2k (k －1)λ<a 2k ＋1＝2k ＋1＋(2k ＋1)kλ恒成立， 故－1<(k －1)λ且－3kλ<1恒成立，当k >1时，－1k －1<λ，而k →＋∞时，－1k －1→0， 所以λ≥0即可，当k ＝1时，－1<(k －1)λ恒成立．由－3kλ<1得－13k <λ，当k →＋∞时，－13k→0， 所以λ≥0即可．综上可知，λ≥0.。

一、选择题1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >2ab C.b a ＋a b ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]5．(2018届阜阳市太和中学期中)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋2≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－22，＋∞)C ．[－3，＋∞)D ．[－22，＋∞)6．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b的最小值为( )A.2＋1B ．4 2C ．3＋2 2D ．67．在下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 5＋5x(x ∈R 且x ≠0) B ．y ＝x ＋2xC ．y ＝a x ＋a －x (a >0)D ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 8．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2D ．v ＝a ＋b 2二、填空题9．(教材改编)若x >0，则x ＋2x的最小值为________． 10．一条长为2的线段，它的三视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为________．11．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000v v 2＋18v ＋20l. (1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．12．已知正实数x ，y 满足等式x ＋y ＋8＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案精析1．B 2.C 3.C 4.D5．D [由x ∈(1,2)时，x 2＋mx ＋2≥0恒成立，得m ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋2x 对任意x ∈(1,2)恒成立， 即m ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ， ∵当且仅当x ＝2时，－⎝⎛⎭⎫x ＋2x 取得最大值－22， ∴m ≥－22，∴m 的取值范围是[)－22，＋∞.]6．C [画出y ＝1＋sin πx (0<x <2)的图象(图略)，可知此曲线的对称中心为(1,1)，则直线ax ＋by －1＝0过点(1,1)，所以a ＋b ＝1，又a >0，b >0，所以1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (a ＋b )＝1＋b a ＋2a b＋2≥3＋22， 当且仅当b a ＝2a b，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号． 即⎝⎛⎭⎫1a ＋2b min ＝3＋2 2.故选C.]7．C [A 中，当x <0时，y <0；B 中，y ≥22；D 中，当0<x <π2时，sin x ≠1sin x，取不到最小值；C 中，y ＝a x ＋a －x ≥2a x ·a －x ＝2，当且仅当a x ＝a －x ，即x ＝0时等号成立，则y 的最小值为2.]8．A 9.2 210.52解析 构造一个长方体，使其体对角线长为2，三条面对角线的长分别为3，a ，b .设长方形的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则x 2＋z 2＝3，x 2＋y 2＋z 2＝4，且x 2＋y 2＝b 2，y 2＋z 2＝a 2，所以x 2＋a 2＝4，z 2＋b 2＝4，进而x 2＋z 2＋a 2＋b 2＝8，即a 2＋b 2＝5.又ab ≤a 2＋b 22＝52，所以ab ≤52(当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 11．(1)1 900 (2)100解析 (1)依题意，知l >0，v >0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v ＋18≤76 0002v ·121v ＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v ＋18≤2 000，当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．12.⎝⎛⎦⎤－∞，658 解析 因为x ＋y ＋8＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22， 即4(x ＋y )＋32≤(x ＋y )2，解得x ＋y ≥8或x ＋y ≤－4(舍去)．不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立可等价转化为 a ≤(x ＋y )2＋1x ＋y恒成立， 令x ＋y ＝t (t ≥8)，且f (t )＝t 2＋1t ＝t ＋1t. 函数f (t )在[8，＋∞)上单调递增，所以f (t )min ＝f (8)＝8＋18＝658. 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，658.。

一、选择题1．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －12．数列{a n }的通项公式为a n ＝cos n π2，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则S 2 017等于( ) A ．1 008B ．－1 008C ．－1D ．03．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1＋n 的前2 017项的和为( ) A. 2 018＋1B. 2 018－1C. 2 017＋1D. 2 017－14．1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋1210的值为( ) A ．18＋129 B ．20＋1210 C ．22＋1211 D ．18＋12105．已知函数f ()x ＝a x ＋b ()a >0，a ≠1的图象经过点P ()1，3，Q ()2，5，当n ∈N *时，a n ＝f ()n －1f ()n ·f ()n ＋1，记数列{}a n 的前n 项和为S n ，当S n ＝1033时，n 的值为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．已知数列{}a n 的前n 项和S n ，a 1<0且a 2a n ＝S 2＋S n ，对一切正整数n 都成立，记⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n －1T n 中的最大值为( )A.22 B ．－22 C. 2 D ．－ 27．(2017·温州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n (n ∈N *)，数列{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n n的最小值是( ) A ．62－6 B.135 C.52 D ．38．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎭⎫12，34D.⎣⎡⎦⎤12，34 二、填空题9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，a 2＝2，b 1＝－1，且对任意的正整数m ，n ，p ，q ，当m＋n ＝p ＋q 时，都有a m －b n ＝a p －b q ，则12 018∑i ＝12 018 (a i －b i )的值是________． 10．若数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 11．设S ＝ 1＋112＋ 122＋ 1＋122＋132＋ 1＋132＋142＋…＋ 1＋12 0142＋12 0152，则不大于S 的最大整数[S ]＝________.12．已知递增数列{}a n 共有2 017项，且各项均不为零，a 2 017＝1，如果从{}a n 中任取两项a i ，a j ，当i <j 时，a j －a i 仍是数列{}a n 中的项，则数列{}a n 的各项和S 2 017＝________.答案精析1．B [当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1， 所以a n ＝2n －1，则a 2n ＝4n －1，a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝13(4n －1)，故选B.] 2．D [∵a n ＋4＝a n ，∴T ＝4，S T ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0， ∴S 2 017＝504S T ＋a 1＝0.]3．B [由已知条件，得1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， 裂项累加得S 2 017＝ 2 017＋1－ 2 017＋ 2 016＋1－ 2 016＋…＋2－1＝ 2 018－1.]4．B [设a n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1 ＝1－12n 1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2－12n －1(n ∈N *)， ∴S n ＝2n －1－12n 1－12＝2n －2⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2n －2＋12n －1(n ∈N *)， ∴S 11＝20＋1210，故选B.] 5．D [由题意结合函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，a 2＋b ＝5，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 则函数的解析式为f ()x ＝2x ＋1，当x ∈N *时，a n ＝f ()n －1f ()n ·f ()n ＋1＝2n()2n ＋1()2n ＋1＋1 ＝12n ＋1－12n ＋1＋1， 则S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－122＋1＋⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋ ⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1＝13－12n ＋1＋1， 由13－12n ＋1＋1＝1033，可得n ＝4.] 6．A [由作差法可得a n ＝()1－2()－2n －1 ，T n ＝－2＋2⎝⎛⎭⎫－22n ， 即T n ＝⎩⎨⎧ －2－2⎝⎛⎭⎫22n ，n 是奇数，－2＋2⎝⎛⎭⎫22n ，n 是偶数，当n 为奇数时，T n 随n 的增大而增大，所以T 1＝－2－1≤T n <－2，∴－2≤T n －1T n <－22； 当n 为偶数时，T n 随n 的增大而减小，所以－2<T n ≤T 2＝－22，∴－22<T n －1T n ≤22. 综上，当n ∈N *时，总有－2≤T n －1T n ≤22.] 7．C [S n ＝n 2－6n ，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－5，也符合，∴a n ＝2n －7.当n ≤3，n ∈N *时，a n <0；当n ≥4，n ∈N *时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，n ≤3，n ∈N *，n 2－6n ＋18，n ≥4，n ∈N *. ∴T n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6－n ，n ≤3，n ∈N *，－6＋⎝⎛⎭⎫n ＋18n ，n ≥4，n ∈N *. 当n ＝4时，⎝⎛⎭⎫T n n min ＝172－6＝52.] 8．A [由已知可得a 1＝f (1)＝12， a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝⎛⎭⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)·f (1)＝[f (1)]3＝⎝⎛⎭⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ， 因为n ∈N *，所以12≤S n <1.] 9．2 019解析 由题意可得a 2－b 1＝a 1－b 2，b 2＝－2，a 3－b 1＝a 2－b 2，得a 3＝3， 又a n ＋1－b n ＝a n －b n ＋1，a n ＋1＋b n ＋1＝a n ＋b n ＝…＝a 1＋b 1＝0， 即a n ＝－b n ，a n －b n ＝2a n ，原式可化为当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q ，即{a n }为等差数列，a n ＝n ，12 018∑i ＝12 018 (a i －b i )＝12 018∑i ＝12 018 (2a i )＝2 019. 10．3 018解析 由于f (n )＝cos n π2的值具有周期性， 所以可从数列的周期性及从头开始连续四项的和为定值入手解决． 当n ＝4k ＋1(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋1)·cos4k ＋12π＋1＝1， 当n ＝4k ＋2(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋2)·cos4k ＋22π＋1 ＝－(4k ＋2)＋1＝－4k －1，当n ＝4k ＋3(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋3)cos4k ＋32π＋1＝1， 当n ＝4k ＋4(k ∈N )时，a n ＝(4k ＋4)cos4k ＋42π＋1 ＝(4k ＋4)＋1＝4k ＋5，∴a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝1－4k －1＋1＋4k ＋5＝6.∴S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋…＋a 2 012＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＝6×503＝3 018. 11．2 014解析 ∵ 1＋1n 2＋1(1＋n )2＝ (n 2＋n )2＋2(n 2＋n )＋1n 2(1＋n )2 ＝n 2＋n ＋1n (n ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S ＝1＋⎝⎛⎭⎫11－12＋1＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋1＋⎝⎛⎭⎫12 014－12 015＝2 015－12 015，故[S ]＝2 014. 12．1 009解析 ∵当i <j 时，a j －a i 仍是数列{}a n 中的项，而数列{}a n 是递增数列， ∴a n －a n －1<a n －a n －2<a n －a n －3<…<a n －a 1<a n ， 所以必有a n －a n －1＝a 1，a n －a n －2＝a 2，…，a n －a 1＝a n －1， 利用累加法可得()n －1a n ＝2()a 1＋a 2＋…＋a n －1， 故S n ＝()n ＋1a n 2，得S 2 017＝2 018×12＝1 009.。

一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43B.34 C ．－34 D ．－433．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cosC )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形4．已知ω为正整数，若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增，则函数f (x )的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°6．已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，有以下命题：①函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为π；②函数y ＝f (x )g (x )的最大值为2；③将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象； ④将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位长度后得到y ＝g (x )的图象． 其中正确命题的序号是( )A ．②③④B ．①②C ．①④D ．③④7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)．若α，β满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－4π3，2k π－5π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋2π3(k ∈Z ) 8．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( ) A. 3 B.32 C.34 D.12二、填空题9．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝________.10．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心．若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________． 11．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 12．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________.答案精析1．C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.] 2．C [∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.] 3．B [由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C .在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，整理得sin A cos B ＝cos A sin B ，∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B .∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12. ∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22.∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．] 4．D [函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在区间⎝⎛⎭⎫－π3，π6内单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －π3ω＋π4≥－π2，π6ω＋π4≤π2，ω∈N *，解得ω＝1，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π，故选D.] 5．B [由题意可得2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，根据正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 即2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B .又sin B ≠0，所以cos B ＝12，即B ＝60°.] 6．C [因为f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ，所以y ＝f (x )g (x )＝(－sin x )(－cos x )＝12sin 2x ， 所以函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为12，故①对，②错； 将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos x 的图象，故③错； 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位长度后得到y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－cos x 的图象，故④对．] 7．B [f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎫ωx ＋π3. 因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2， 所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)， 故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 令2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )．] 8．A [根据正弦定理和a ＝2，可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 故b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3. 根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.] 9.72510.π 11.782 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2. 12.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝437. 又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β∈(0，π)，∴β＝π3.。